Ensino Superior Cálculo 1 Aplicabilidade do Cálculo Diferencial Amintas Paiva Afonso.
Ensino Superior Cálculo 1 2.1- Regras de Derivação Amintas Paiva Afonso.
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Ensino Superior
Cálculo 1
2.1- Regras de Derivação
Amintas Paiva Afonso
1. REGRAS DE DERIVAÇÃO
Considere u e v funções deriváveis de x, com k IR
e n IR.
As principais regras de derivação e derivadas das principais funções elementares segundo a Regra da Cadeia são:
Regras de derivação
R1 - Derivada de uma função constante
Se k é uma constante e f(x) = k para todo x, então f’(x) = 0.
Exemplo
Seja f(x) = 5 f’(x) = 0.
Se aplicarmos a definição:
x
xfxxfxf
x
)()(lim)(' 11
01
00lim55
lim)('00
1
xx x
xf
Cálculo 1 - Derivadas
Cálculo 1 - Derivadas
R2 - Derivada de uma função potência
Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então:
f’(x) = n. xn-1
Exemplo: Seja f(x) = x5 f’(x) = 5x4.
R3 - Derivada de uma função multiplicada por k
Sejam f uma função, k uma constante e g a função definida por g(x) = k.f(x), então:
g’(x) = k.f’(x).
Exemplo: f(x) = 8x2 f’(x) = 8.(2x) = 16x
Cálculo 1 - Derivadas
R4 - Derivada da Soma
• Sejam f e g duas funções e h a função definida por
h(x) = f(x) + g(x).
A derivada da soma é: h’(x) = f’(x) + g’(x).
Exemplo: f(x) = 3x4 + 8x + 5
f’(x) = 3.(4x3) + 8.1 + 0 = f’(x) = 12x3 + 8
R5 - Derivada do Produto
• Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) . g(x). A derivada do produto é:
h’(x) = f (x) . g’(x) + f’(x).g(x) y’ = u.v’ + u’.v
Exemplo f(x) = (2x3 - 1)(x4 + x2) f’(x) = (2x3 - 1).(4x3 + 2x) + (x4 + x2).6x2
Cálculo 1 - Derivadas
R6 - Derivada do quociente
– Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) / g(x). A derivada do quociente é:
Exemplo:
2)]([
)(').()(').()('
xg
xgxfxfxgxh
35
32)(
2
4
xx
xxf 22
432
)35(
)52)(32()04.2).(35()('
xx
xxxxxxf
22
432
)35(
)52)(32()8).(35()('
xx
xxxxxxf
2
'.'.'
v
vuuvy
Exercícios de Fixação
R1 - Derivada de uma função constante
Se c é uma constante e f(x) = c para todo x, então f’(x) = 0.
a)
b)
c)
8y 3y
5y
a) b)
c)
cosy)3( seny
ey R2 - Derivada de uma função potência
Se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então
f’(x) = n. xn-1.
a)
b)
c)
8xy 3xy2/1xy
Cálculo 1 - Derivadas
R3 - Derivada de uma função multiplicada por uma constante
Sejam f uma função, k uma constante e g a função definida por g(x) = k.f(x) g’(x) = k.f’(x).
a)
b)
c)
82xy 36 xy
2/14xy
d)
e)
f)
35 xy3/238 xy
baexy /
g)
h)
i)
3/5 xy3/2/1 xybaxey //
Cálculo 1 - Derivadas
R4 - Derivada da Soma e da Diferença
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x) + g(x).
A derivada da soma é: h’(x) = f ’(x) + g’(x)
A derivada da diferença é: h’(x) = f ’(x) - g’(x)
xxy 82
xxy 26 3
234 2/1 xxy
45 3 xy
3/13/238 xxy
23 3/5 xxy
xxy 2/1 3/2
2
3
2
3 xxy x
ba
x
ba
xy
25
Cálculo 1 - Derivadas
R5 - Derivada do Produto
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x).g(x). A derivada do produto é h’(x) = f(x) . g’(x) + f ’(x) . g(x).
a)
b)
c)
xxy 82xxy 2.6 3xxy 3.4 2/1
d)
e)
f)
xxy 4.5 33/13/23 .8 xxy
g)
h)
i)
23 3./5 xxy
xxy 2./1 3/2
161
3
x
xxy 2312 xxxy
Cálculo 1 - Derivadas
R6 - Derivada do quociente
Sejam f e g duas funções e h a função definida por h(x) = f(x)/g(x)
A derivada do quociente é:
2)]([
)(').()(').()('
xg
xgxfxfxgxh
a)
b)
c)
)1/()2( 8 xxxy
32/6 3 xxy
d)
e)
f)
)23/(5 3 xxy3/13/23 /8 xxy
g)
h)
i)
xxxy 2/)2( 3/2
23/12 xxxy 2
3
31
x
xy
22
42
xb
xy
xa
xay
Cálculo 1 - Derivadas
R7 - Seja f(x) = sen x, a derivada do seno é f’(x) = cos x.
R8 - Seja f(x) = cos x, a derivada do cosseno é f’(x) = - sen x.
R9 - Seja f(x) = cotg x, a derivada da cotangente é f’(x) = - cosec2 x.
R10 - f(x) = sec x, a derivada da secante é f’(x) = sec x . tg x.
R11 - f(x) = cosec x, a derivada da cosec é f’(x) = -cosec x . cotg x.
Cálculo 1 - Derivadas
Exemplo– Calcule a derivada de h(x) = (2x + 1)10.
A função h(x) é composta, f(x) = x10 e g(x) = 2x + 1.
Pela regra da cadeia, temos
h’(x) = f‘(g(x)) . g’(x) = 10.(2x + 1)9.2 = 20(2x + 1)9
R12 - Regra da Cadeia
Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função composta f(g(x)) é dada por:
[f(g(x))]’ = f’(g(x)) . g’(x)
Cálculo 1 - Derivadas
R12) Regra da Cadeia
Se f e g são funções diferenciáveis, então a derivada da função composta f(g(x)) é dada por:
[f(g(x)]’ = f’(g(x)) . g’(x)
a)
b)
c)
8)32( xy
d)
e)
f)
522 axy
331 xy 3
xa
xay
x
xy
1
1
22 32 xy
Cálculo 1 - Derivadas
R13 - Derivada da função logarítmica natural
Seja f(x) = lnx, sua derivada é; f’(x) = 1/x.
Exemplo:
xx
xx
xxxf
entãoxxxf
22
2
3
16)16.(
3
1)('
),3ln()(
10ln.
1)('
,log)( 10
xxf
entãoxxf
R14 - Derivada da função logarítmica de base a
Seja f(x) = loga(x), sua derivada é; f’(x) = 1/x . lna
Exemplo:
Cálculo 1 - Derivadas
R15 - Derivada da função exponencial de base “e”
Seja f(x) = ex, sua derivada é a própria f’(x) = ex.
R16 - Derivada da função exponencial de base “a”
Seja f(x) = ax, sua derivada é: f’(x) = ax . lna
(u + v) = +
+
DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE
= 0 dk = 0 (k)´= 0
d(ku) = 0 (ku)´= 0
d(u+v) = du+dv (u+v)´= u´+ v´
d(u.v) = vdu + udv (uv)´= u´v+v´u
d(u/v) = (vdu –udv)/v2 (u/v)´= (u’v – v’u)/v2
d(un) = n.un-1.du (un)´= n.un-1.u´
d(eu) = eu.du (eu)´= eu.u´
DERIVADAS DIFERENCIAIS NOTAÇÃO DE LAGRANGE
d(au) = au.lna.du (au)’ = au.lna.u’
d(senu) = cosu.du (senu)’ = cosu.u’
d(cosu) = - senu.du (cosu)’ = -senu.u’
d(lnu) = (1/u).du (lnu)´= (1/u).u’
d(arctgu) = du/(1+u2)
(arctgu)’ = u’/(1+u2)