Ensino Superior
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Derivadas de Funções de 2 Variáveis
A definição de derivada parcial de uma função de 2 variáveis é a mesma que a de funções de uma variável. A única diferença aqui é que , como se tem duas variáveis , uma delas deve ser mantida fixa enquanto se dá acréscimos para a outra. Assim, seja a função f(x,y), sua derivada em relação a x é
Significado matemático
x
yxfyxxfyxf xx
),(),(lim),( 0
y
yxfyyxfyxf yy
),(),(lim),( 0
1) Derivada parcial em x:
2) Derivada parcial em y:
Nomenclatura
Seja z = f(x,y), então a derivada parcial de z em relação a x escreve-se:
xx Dx
fyxf
),(
Exemplos
),,( ),,(etermine ,643),,( )1
31
322322
zyxfezyx fdxyzyxzyxzyxfSe
Derivada em relação a x
Derivada em relação a z
323321 686),,( yzyxzxyzyxf
224223 49),,( yxzyxzyxf
Exemplos
),,( ),,(etermine ),5()4(cot)(),,( )1
23
3222
zyxfezyx fdzxysenzygzxtgzyxfSe
Derivada em relação a z Derivada em relação a y
332222223 5)5cos(24)4(cos)(sec),,( xyzxyzyzyeczxzyxf
2322222 15)5cos(8)4(cos),,( zxyzxyyzzyeczyxf
Derivada Total
).,,(),,( ),,(etermine ),cot()()2(),,( )1
321
33232
zyxfzyxfzyx fdzyzxtgyxsenzyxfSe
2223221 3)4(sec4)2cos(),,( zxzxxyyxzyxf
32332222 3)5(cos2)2cos(),,( zyzyecxyxzyxf
2333232323 3)(cos2)(sec),,( zyzyeczxzxzyxf
A derivada total é a soma das derivadas parciais.
Significado geométrico
Derivada parcial em x, significa a inclinação da reta que toca a superfície z = f(xo,yo), em ponto desta
superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos z e x, de abscissa yo. A reta pertence a este plano.
Derivada parcial em y, significa a inclinação da reta que toca a superfície z = f(xo,yo), em ponto desta
superfície e de um plano vertical paralelo aos eixos z e y, de ordenada xo. A reta pertence a este plano.
Significado geométrico
Eixo horizontal no plano y = yo
A curva z = f (x, y0)no plano y = yo
Reta tangente
Eixo vertical no plano y = yo
Significado geométrico
Eixo vertical no plano x = xo
Reta tangente
A curva z = f (x, y0)no plano x = xo
Eixo horizontal no plano x = xo
Significado geométrico
A curva z = f (x, y0)no plano y = yo
Esta reta tangente tem coeficiente angular f (x0, y0)
A curva z = f (x, y0)no plano x = xo
Esta reta tangente tem coeficiente angular f (x0, y0)