Teorema de Reynolds

Efrain Corro 8-916-1506

Ensayo científico del teorema de transporte de Reynolds

EL teorema de transporte de Reynolds (TTR) que tiene ese nombre en honor al ingeniero ingles Osborne Reynolds (1842-1912), quien relaciona en este teorema el sistema con el volumen de control lo cual es de gran utilidad para analizar estos sistemas abiertos los cuales son usados en la dinámica de fluidos

El Teorema del transporte de Reynolds relaciona la variación de una propiedad extensiva en un sistema, en función de las variaciones de la propiedad intensiva relacionada:

"El flujo de la propiedad extensiva en un sistema es igual a la acumulación de la propiedad intensiva más el flujo de esta por las superficies del sistema".

En otras palabras, este teorema relaciona la tasa de cambio en el tiempo de una propiedad extensiva Η con la generación y el flujo de la propiedad intensiva correspondiente η, una y otra relacionadas por la ecuación:

Demostracion:

Para deducir el teorema de manera más sencilla se hará uso del Teorema de Leibnitz, en la versión unidimensional de este teorema se permite derivar una integral cuyos límites de integración son funciones que depende de la variable con la cual se va a derivar. En la fig. 1 se observa un ejemplo donde se puede aplicar el teorema de Leibnitz:

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Teorema de Reynolds

Figura 1. Teorema unidimensional de Leibnitz.

El ya mencionado teorema toma en cuenta el cambio de los limites respecto del tiempo, así como los cambios no estacionarios del integrando con el tiempo y este teorema en tres dimensiones seria:

Donde v(t) es un volumen en movimiento o deformación (función del tiempo), A(t) es su superficie (frontera) y Va es la velocidad absoluta de esta superficie (en movimiento) (fig. 2). La ecuación 2 es válida para cualquier volumen, que se mueve o se deforma arbitrariamente en el espacio y tiempo. Para que sea más orientado hacia mecánica de fluidos se integra G sea pb para su aplicación al flujo de fluidos:

Figura 2. Volumen de cambios

Si se aplica el teorema de Leibnitz a un caso especial de un volumen de sustancia (un sistema de masa fija que se mueve con el flujo de fluido), entonces Va = V en todas partes sobre la superficie de este volumen de sustancia, porque se mueve con el fluido. En este caso, es la velocidad local del fluido y la Ec. 3 queda como:

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Teorema de Reynolds

La ecuación 4 es válida en cualquier instante t. Se define el volumen de control de manera tal que, en este instante t, el volumen y el sistema ocupen el mismo espacio; en otras palabras, que sean coincidentes. En algún instante posterior t + ∆t, el sistema se movió y deformó con el flujo, pero el volumen de control puede haberse movido y deformado de manera diferente como lo muestra en la Fig. 3. Sin embargo, la clave es que en el instante t, el sistema (volumen de sustancia) y el volumen de control son uno y el mismo. Así, se puede evaluar la integral de volumen de la parte derecha de la Ec. (4) sobre el volumen de control en el instante t, y la integral de superficie se puede evaluar sobre la superficie de control en el instante t; donde el RTT general para un volumen de control fijo es:

Figura 3. Volumen de sustancia y volumen de control en el mismo espacio con diferentes deformaciones y movimientos. Esta expresión es la misma que se obtendría por otros medios de deducción y es válida para un volumen de control con forma arbitraria, en movimiento o deformación, en el instante t sabiendo que V de la Ec.(5) es la velocidad absoluta del fluido.

Conclusiones:

En conclusión el teorema de transporte de Reynolds:

-El teorema refleja todos los detalles con gran precisión

-Para resolver un problema son únicamente las condiciones fronteras

-las ecuaciones integrales son más fáciles, pero las diferenciales son mas complejas

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