Enquadramento - webx.ubi.ptwebx.ubi.pt/~fantunes/disciplinas/2016-2017/CalculoFinanceiroEcono... ·...
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1
CAPÍTULO IICAPÍTULO IIRENDASRENDAS
CálculoCálculo FinanceiroFinanceiroCálculo Cálculo FinanceiroFinanceiro**
Francisco AntunesFrancisco AntunesPaulo Paulo MêdaMêda
EnquadramentoEnquadramento
Regime de Juro CompostoRegime de Juro Composto SabeSabe se que utilizando o factor dese que utilizando o factor de SabeSabe--se que utilizando o factor de se que utilizando o factor de
actualização (1+i)actualização (1+i)--nn ou o de capitalização ou o de capitalização (1+i)(1+i)nn é possível movimentar no tempo um é possível movimentar no tempo um capital de cada vez.capital de cada vez.
Mas e se forem 10 ou 30 ouMas e se forem 10 ou 30 ou
33
Mas e se forem 10 ou 30 ou Mas e se forem 10 ou 30 ou 1.000? Pode dar uma trabalheira 1.000? Pode dar uma trabalheira enorme!!!enorme!!!
2
Conceito de rendaConceito de renda
Conjunto de capitais (termos) que Conjunto de capitais (termos) que i l d i ii l d i iocorrem em intervalos de tempo iguais ocorrem em intervalos de tempo iguais
(equidistância temporal).(equidistância temporal).Não interessa que os diferentes capitais Não interessa que os diferentes capitais
(os termos) sejam de igual montante.(os termos) sejam de igual montante.A i di id d d d é d fi id lA i di id d d d é d fi id l
44
A periodicidade da renda é definida pelo A periodicidade da renda é definida pelo período de tempo entre dois termos período de tempo entre dois termos consecutivos.consecutivos.
Conceito de rendaConceito de renda
Para definir uma renda é preciso saber:Para definir uma renda é preciso saber:–– o momento de referência;o momento de referência;–– o momento de vencimento do primeiro o momento de vencimento do primeiro
termo;termo;–– o número de termos;o número de termos;
55
–– o valor de cada termo;o valor de cada termo;–– o intervalo de tempo (constante) entre os o intervalo de tempo (constante) entre os
termos.termos.
3
Representação de uma rendaRepresentação de uma renda
t1 t2 t3 (…) tn-1 tnTermos
0 (origem) 1 2 3 (…) n-1 n
Tempo
66
p
Valor actual de uma rendaValor actual de uma renda
t1 t2 t3 (…) tn-1 tn
VV00= t= t11.(1+i).(1+i)--11 + t+ t22.(1+i).(1+i)--22 + t+ t33.(1+i).(1+i)--33 + … + t+ … + t(n(n--1)1).(1+i).(1+i)--(n(n--1)1) + t+ tnn.(1+i).(1+i)--nn
0 1 2 3 (…) n-1 n
77
4
Valor acumulado de uma rendaValor acumulado de uma renda
t1 t2 t3 (…) tn-1 tn
VVnn= t= t11.(1+i).(1+i)(n(n--1)1) + t+ t22.(1+i).(1+i)(n(n--2)2) + t+ t33.(1+i).(1+i)(n(n--3)3) + … + t+ … + t(n(n--1)1).(1+i).(1+i) + t+ tnn
0 1 2 3 (…) n-1 n
88
nn 11 ( )( ) 22 ( )( ) 33 ( )( ) (n(n--1)1) ( )( ) nn
nn é o momento em que é o momento em que ocorre o último termoocorre o último termo
Tipos de rendasTipos de rendas
Quanto à sua duração:Quanto à sua duração:ÁÁ–– TEMPORÁRIASTEMPORÁRIAS
O número de termos é finito.O número de termos é finito.
–– PERPÉTUASPERPÉTUASO ú d t d id dO ú d t d id d
99
O número de termos pode ser considerado O número de termos pode ser considerado ilimitado.ilimitado.
5
Tipos de rendasTipos de rendas
Quanto à sua duração:Quanto à sua duração:ÁÁ–– TEMPORÁRIASTEMPORÁRIAS
–– PERPÉTUASPERPÉTUAS
€12 €33 €34 (…) €45 €49
0 1 2 3 (…) n-1 n
€12 €33 €34 ( )
1010
€12 €33 €34 (…)
0 1 2 3 (…) +∞
Tipos de rendasTipos de rendas
Quanto ao período da renda:Quanto ao período da renda:–– INTEIRASINTEIRASO período da renda corresponde ao período O período da renda corresponde ao período
da taxa (ex: ano/tx anual, mês/tx mensal,…).da taxa (ex: ano/tx anual, mês/tx mensal,…).
–– FRACCIONADASFRACCIONADAS
1111
–– FRACCIONADASFRACCIONADASO período da renda difere do período da taxa.O período da renda difere do período da taxa.
6
Tipos de rendasTipos de rendas
Quanto ao período da renda:Quanto ao período da renda:–– INTEIRASINTEIRAS
FRACCIONADASFRACCIONADAS
€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 (i mensal)
0 1 2 3 (…) 34 meses
1212
–– FRACCIONADASFRACCIONADAS€2.000 €2.500 (i anual)
0 1 2 3 4 meses
Tipos de rendasTipos de rendas
Quanto ao valor dos termos:Quanto ao valor dos termos:CONSTANTESCONSTANTES–– CONSTANTESCONSTANTES Todos os termos têm o mesmo valor.Todos os termos têm o mesmo valor.
–– VARIÁVEISVARIÁVEIS
1313
Os termos têm valores diferentes:Os termos têm valores diferentes:–– Sem regularidade matemática;Sem regularidade matemática;–– Com progressão aritmética;Com progressão aritmética;–– Com progressão geométrica.Com progressão geométrica.
7
Tipos de rendasTipos de rendas
Quanto ao valor dos termos:Quanto ao valor dos termos:–– CONSTANTESCONSTANTES
VARIÁVEISVARIÁVEIS
€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000
0 1 2 3 (…) 34
1414
–– VARIÁVEISVARIÁVEIS€1.000 €750 €320 (…) €238
0 1 2 3 (…) 103
Tipos de rendasTipos de rendas
Quanto ao momento de referência:Quanto ao momento de referência:–– IMEDIATASIMEDIATAS Coincide com a origem.Coincide com a origem.
DIFERIDASDIFERIDAS
1515
–– DIFERIDASDIFERIDASO momento de referência é anterior à origem.O momento de referência é anterior à origem.
8
Tipos de rendasTipos de rendas
Quanto ao momento de referência:Quanto ao momento de referência:–– IMEDIATASIMEDIATAS
DIFERIDASDIFERIDAS
€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000
0 1 2 3 (…) 34
1616
–– DIFERIDASDIFERIDAS€1.000 (…) €1.000
0 1 2 3 (…) 34
Tipos de rendasTipos de rendas
Quanto ao vencimento dos termos:Quanto ao vencimento dos termos:–– NORMAIS (OU POSTECIPADAS)NORMAIS (OU POSTECIPADAS)Os termos vencem no final de cada período.Os termos vencem no final de cada período.
ANTECIPADASANTECIPADAS
1717
–– ANTECIPADASANTECIPADASOs termos vencem no início de cada período.Os termos vencem no início de cada período.
9
Tipos de rendasTipos de rendas
Quanto ao vencimento dos termos:Quanto ao vencimento dos termos:–– NORMAIS (OU POSTECIPADAS)NORMAIS (OU POSTECIPADAS)
–– ANTECIPADASANTECIPADAS
€1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000 €1.000
0 1 2 3 (…) 34 35
1818
€1.000 €1.000 €1.000 €1.000 (…) €1.000
0 1 2 3 (…) 34 35
Quadro Resumo Quadro Resumo
1919
10
Quadro Resumo Quadro Resumo
2020
Não interessa!!!Não interessa!!!
2121
11
Só nos interessam:Só nos interessam:
TEMPORÁRIASTEMPORÁRIAS ou ou PERPÉTUASPERPÉTUASÁÁ CONSTANTESCONSTANTES ouou VARIÁVEISVARIÁVEIS
INTEIRASINTEIRAS–– basta converter a taxa das fraccionadasbasta converter a taxa das fraccionadas
IMEDIATASIMEDIATAS e e DE TERMOS NORMAISDE TERMOS NORMAISb l / l é db l / l é d
2222
–– basta actualizar/capitalizar através de basta actualizar/capitalizar através de (1+i)(1+i)--nn/(1+i)/(1+i)nn
RENDAS TEMPORÁRIASRENDAS TEMPORÁRIAS
TERMOS CONSTANTESTERMOS CONSTANTES
2323
12
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante
VV00= t= t11.(1+i).(1+i)--11 + t+ t22.(1+i).(1+i)--22 + t+ t33.(1+i).(1+i)--33 + … + t+ … + t(n(n--1)1).(1+i).(1+i)--(n(n--1)1) + t+ tnn.(1+i).(1+i)--nn
mas como tmas como t1 1 = t= t2 2 = t= t3 3 = … = t= … = tnn--1 1 = t= tnn vem que:vem que:
VV00 = =
i
︶i︵11t.n
2424
n ia
n iA
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante1) Considere uma taxa mensal de 2%
t1 t2 t3 t4 t5
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €100 €100 €100 €100
2525
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
13
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €100 €100 €100 €100
2626
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante2) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €100 €100 €100 €100
2727
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
14
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante3) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €100 €100 €100 €100
2828
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante4) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 … 69 70 meses
€100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100
2929
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
15
Valor acumulado: r. constanteValor acumulado: r. constante
VVnn= V= V00.(1+i).(1+i)nn
vem que:vem que:
VVnn = = nn
︶ i︵1i
︶i︵11t.
.
3030
i
n is
Valor acumulado: r. constanteValor acumulado: r. constante
VVnn= V= V00.(1+i).(1+i)nn
vem que:vem que:
VVnn = =
i1︶i︵1t.
n
3131
n is
n iS
16
Valor acumulado: r. constanteValor acumulado: r. constante1) Considere uma taxa mensal de 2%
t1 t2 t3 t4 t5
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €100 €100 €100 €100
3232
Qual é o valor acumulado da renda no momento 5?ou
Qual é o valor da renda no final do prazo?
Valor acumulado: r. constanteValor acumulado: r. constante1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €100 €100 €100 €100
3333
Qual é o valor acumulado da renda no momento 5?ou
Qual é o valor da renda no final do prazo?
17
Valor acumulado: r. constanteValor acumulado: r. constante2) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €100 €100 €100 €100
3434
Qual é o valor acumulado da renda no momento 4?ou
Qual é o valor da renda no final do prazo?
Valor acumulado: r. constanteValor acumulado: r. constante3) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €100 €100 €100 €100
3535
Qual é o valor acumulado da renda no momento 7?
18
Valor acumulado: r. constanteValor acumulado: r. constante4) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 … 69 70 meses
€100 €150 €100 €150 €100 … €150 €100
3636
Qual é o valor acumulado da renda no momento 70?ou
Qual é o valor da renda no momento 70?
RENDAS TEMPORÁRIASRENDAS TEMPORÁRIAS
TERMOS VARIÁVEISTERMOS VARIÁVEIS–– Sem regularidade matemática;Sem regularidade matemática;–– Com termos em progressão aritmética;Com termos em progressão aritmética;–– Com termos em progressão geométrica.Com termos em progressão geométrica.
3737
19
TERMOS SEM REGULARIDADETERMOS SEM REGULARIDADE
EfectuaEfectua--se o cálculo (actualizar/capitalizar) se o cálculo (actualizar/capitalizar) d d áli !d d áli !termo a termo para a data de análise!termo a termo para a data de análise!
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €37 €11 €143 €20 (i mensal = 3%)
3838
TERMOS EM P. ARITMÉTICATERMOS EM P. ARITMÉTICAr é a RAZÃORAZÃO da progressão aritmética
t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-2)r t+(n-1)r
0 1 2 3 4 5 … n-1 n
A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0
3939
A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t ÷ | r |(é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes…)
20
Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA
VV00= t.(1+i)= t.(1+i)--11 + (t+r).(1+i)+ (t+r).(1+i)--22 + (t+2r).(1+i)+ (t+2r).(1+i)--33 + … + + … + [t+(n[t+(n--2).r].(1+i)2).r].(1+i)--(n(n--1)1) + [t+(n+ [t+(n--1).r].(1+i)1).r].(1+i)--nn[t (n[t (n 2).r].(1 i)2).r].(1 i) [t (n [t (n 1).r].(1 i)1).r].(1 i)
VV00 = = i
nrnr
ir
t.
i︶i︵11 n
4040
n ia
a n iA
Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA1) Considere uma taxa mensal de 2%
t t+r t+2r t+3r t+4r
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €120 €140 €160 €180
4141
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
21
Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €120 €140 €160 €180
4242
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA2) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €90 €80 €70 €60
4343
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
22
Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA3) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €85 €70 €55 €40
4444
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA4) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 … 69 70 meses
€10 €70 €12 €68 €14 … €150 €80
4545
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
23
Valor acumulado em PAValor acumulado em PA
VVnn= V= V00.(1+i).(1+i)nn
vem que:vem que:
VVnn = = = = a n iS 1
n
a n iA i
4646
TERMOS EM P. GeométricaTERMOS EM P. Geométricar é a RAZÃORAZÃO da progressão geométrica
t t.r1 t.r2 t.r3 t.r4 … t.r(n-2) t.r(n-1)
0 1 2 3 4 5 … n-1 n
4747
24
Valor actual com termos em PGValor actual com termos em PG
VV00= t.(1+i)= t.(1+i)--11 + (t.r).(1+i)+ (t.r).(1+i)--22 + (t.r+ (t.r22).(1+i)).(1+i)--33 + … + + … + [t.r[t.r(n(n--2)2)].(1+i)].(1+i)--(n(n--1)1) + [t.r+ [t.r(n(n--1)1)].(1+i)].(1+i)--nn[t.r[t.r ].(1 i)].(1 i) [t.r [t.r ].(1 i)].(1 i)
VV00 = =
i1r
i1r .
i)(1
t nn
n
4848
g n iA
Valor actual com termos em Valor actual com termos em PGPG1) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €110 €121 €133,1 €146,41
4949
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
25
Valor actual com termos em Valor actual com termos em PGPG1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €110 €121 €133,1 €146,41
5050
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
Valor actual com termos em Valor actual com termos em PGPG2) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €110 €121 €133,1 €146,41
5151
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
26
Valor actual com termos em Valor actual com termos em PGPG3) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 7 meses
€100 €110 €121 €133,1 €146,41
5252
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
Valor acumulado em PGValor acumulado em PG
VVnn= V= V00.(1+i).(1+i)nn
vem que:vem que:
VVnn = == =
i1r
i1r t.
nn
1n
g n iA i
5353
27
Caso particular da PGCaso particular da PG
r =(1+i)r =(1+i)
0 1 2 3 4 5 6 7
€100 €110 €121 €133,1 €146,41
Considere uma taxa de 10% ao período (i = 0,1)
5454
r = 1+ 0,1 = 1,1
= = n.n.tt..(1+i)(1+i)--11 g n i
A
RENDAS PERPÉTUASRENDAS PERPÉTUAS
TERMOS CONSTANTESTERMOS CONSTANTES
0 1 2 3 4 5 … 100 meses
€1.000 €1.000 €1.000 €1.000 €1.000 … €1.000
1) Calcule o valor actual do último termo:
5555
1) Calcule o valor actual do último termo:
1.1) Considere uma taxa mensal de 10%
1.2) Considere uma taxa mensal de 20%
28
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante
︶i︵11VV00 = =
i
︶i︵11t.
Como (1+i)-∞ → 0, vem que
5656
Como (1+i) → 0, vem que
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante
1VV00 = =
i1t.
ia
5757Não faz sentido falar de valor acumulado…Não faz sentido falar de valor acumulado…
i
iA
29
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante1) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses
€100 €100 €100 €100 €100 €100 …
5858
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%
0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses
€100 €100 €100 €100 €100 €100 …
5959
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
30
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante2) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses
€100 €100 €100 €100 €100 €100 €100 …
6060
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
Valor actual: renda constanteValor actual: renda constante3) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses
€100 €100 €100 €100 …
6161
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
31
RENDAS PERPÉTUASRENDAS PERPÉTUAS
TERMOS VARIÁVEISTERMOS VARIÁVEIS–– Com termos em progressão aritmética;Com termos em progressão aritmética;–– Com termos em progressão geométrica.Com termos em progressão geométrica.
6262
TERMOS EM P. ARITMÉTICATERMOS EM P. ARITMÉTICAr é a RAZÃORAZÃO da progressão aritmética
t t+r t+2r t+3r t+4r … t+(n-1)r …
0 1 2 3 4 5 … n ∞
A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0
6363
A RAZÃO tanto pode ser maior que 0 ou menor que 0Se r < 0, então o n.º de termos possíveis é n = t ÷ | r |(é óbvio que quando a razão é zero os termos são constantes…)
32
Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA
VV00 ==nr
nrr
t.
︶i︵11 n
VV00 i
nri
t.
iComo (1+i)-∞ → 0, vem que
nr
nrr
t1 rt
6464
inr
it.
i 2ii
a iA
Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA1) Considere uma taxa mensal de 2%
t t+r t+2r t+3r t+4r …
0 1 2 3 4 5 ∞ meses
€100 €120 €140 €160 €180 …
6565
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
33
Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA1) Considere uma taxa anual de 26,82417946%
0 1 2 3 4 5 ∞ meses
€100 €120 €140 €160 €180 …
6666
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA2) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 ∞??? meses
€100 €90 €80 €70 €60 …
6767
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
34
Valor actual com termos em PAValor actual com termos em PA3) Considere uma taxa mensal de 2%
0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses
€100 €120 €140 €160 …
6868
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
TERMOS EM P. GeométricaTERMOS EM P. Geométricar é a RAZÃORAZÃO da progressão geométrica
t t.r1 t.r2 t.r3 t.r4 … t.r(n-1)
0 1 2 3 4 5 … n ∞
6969
35
Valor actual com termos em PGValor actual com termos em PG
VV ==
i1
i1r.
i)(1
t nn
nVV00 = = i1ri)(1 n
i1r
i1.
i)(1
t
i1r
r .
i)(1
t n
n
n
n ri1
t
7070
[r ÷ (1+i)]∞ → 0, apenas se r < (1+i)
i1ri)(1i1ri)(1 ri1
g iA
Valor actual com termos em Valor actual com termos em PGPG1) Considere uma taxa mensal de 20%
0 1 2 3 4 5 ∞ meses
€100 €110 €121 €133,1 €146,41 …
7171
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
36
Valor actual com termos em Valor actual com termos em PGPG1) Considere uma taxa anual de 791,6100448%
0 1 2 3 4 5 ∞ meses
€100 €110 €121 €133,1 €146,41 …
7272
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
Valor actual com termos em Valor actual com termos em PGPG2) Considere uma taxa mensal de 20%
0 1 2 3 4 ∞ meses
€100 €110 €121 €133,1 €146,41 …
7373
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?
37
Valor actual com termos em Valor actual com termos em PGPG3) Considere uma taxa mensal de 20%
0 1 2 3 4 5 6 ∞ meses
€100 €110 €121 €133,1 …
7474
Qual é o valor actual da renda no momento 0?ou
Qual é o capital equivalente no momento 0?