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Engineering Mechanics: Statics: Statics
집중하중집중하중◦ 엄밀한 의미에서 집중력이란 존재하지 않음
모든 외력은 미소한 접촉면적에 분포모든 외력은 미소한 접촉면적에 분포◦ 전체에 대하여 외부 영향을 해석할 때에는 힘을 집중된것으로 볼 수 있다
분포하중◦ 내부응력과 변형률이 이어지는 접촉면 주위에 재료의 내력(internal forces) 분포에 대한 해석에서는 실제 분포를고려
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선분포선분포◦ 힘이 선에 따라서 분포될 때, 하중강도는 단위길이당 힘, 즉 N/m 로 표현
면적분포면적분포◦ 힘이 면적에 걸쳐 분포될 때, 강도는 단위면적당 힘으로 표현◦ 압력(pressure), 응력(stress)
N/ 2 P◦ N/m2 , Pa체적분포◦ 체력(body force) : 물체에 전체적으로 분포하는 힘◦ (kg/m3)(m/s2)=N/m3
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력 심( f i )중력중심(center of gravity)◦ 줄의 인장력과 물체에 작용하는 중력의 합력(W)은 평형을 이룬다력의 합력(W)은 평형을 이룬다◦ 합력은 줄의 연장선과 일치◦ 중력중심: 다수의 임의의 점에 대한◦ 중력중심: 다수의 임의의 점에 대한합력의 작용선이 교차하는 점
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물체 중심의 위치 결정 ∫물체 중심의 위치 결정◦ 모멘트원리를 평형 중력계에 적용하여 그 합력의 위치를 결정
∫= xdWxW
∫= ydWyW용하여 그 합력의 위치를 결정
임의 축에 대한 중력의 합력W의 모멘트
∫∫= zdWzW
W의 모멘트◦ 미소요소로 생각한 모든 질점에작용하는 중력 dW와 같은 축에작용하는 중력 dW와 같은 축에대한 모멘트의 합
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dWydWxdW ∫∫∫W
zdWz
W
ydWy
W
xdWx ∫∫∫ ===
gdmdWmgW gdmdWmgW == ,
zdmz
ydmy
xdmx ∫∫∫ ===
mz
my
mx
요소 질량과 질량중심 G의 위치벡터
r dm∫
kjir , kjir zyxzyx ++=++=
r
rm
dm∫=
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질량중심(center of mass)질량중심(center of mass)◦ 질량분포가 함수로 나타나는 물체에서 유일한 점◦ 중력장이 균일하고 평형하면 중력중심 (center of중력장이 균일하고 평형하면 중력중심 (center of
gravity)과 일치◦ 좌표축 선정에 따라 질량중심 위치 산정의 용이성이 결정된다정된다식을 가능한 한 간단히 할 수 있는 곳에 위치원형경계의 물체 : 극좌표 사용물체의 대칭성 고려 : 좌표축이나 면을 대칭축과 일치하도록 선물체의 대칭성 고려 : 좌표축이나 면을 대칭축과 일치하도록 선정
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도심(centroid)도심(centroid)◦ 물체의 밀도가 전체적으로 일정하다면, 물체의 중심을 구하기 위한 식은 오직 물체의 기하학적 성질만을 정의하기 위한 식은 오직 물체의 기하학적 성질만을 정의
∫∫∫ dVzdVydVx ρρρ ※ 물체의 밀도가 일정하면분자 분모의 밀도 가
∫∫
∫∫
∫∫ ===
dVz
dVy
dVx
ρρρ분자,분모의 밀도 ρ가약분된다
◦ 따라서 기하학적 형상만을 고려하여 산정◦ 물체의 형상을 선, 면적 및 체적으로 구분하여 산정
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길이 L 단면적 A 밀도 ρ인 가는 막대나 와이어 같은 물체길이 L, 단면적 A, 밀도 ρ인 가는 막대나 와이어 같은 물체일반적으로 도심 C는 선 위에 놓이지 않는다
m
zdmz
m
ydmy
m
xdmx ∫∫∫ ===
mmm
∫== AdLmAdLdm ρρ ,
∫∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫ ===
AdL
AdLzz
AdL
AdLyy
AdL
AdLxx
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
L
zdLz
L
ydLy
L
xdLx ∫∫∫ ===
∫∫∫
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LLL
두께 t가 얇고 일정한 밀도 ρ를 가진 물체두께 가 얇 일정한 밀 ρ를 가진 물체일반적으로 곡면의 도심 C는 표면에 놓이지 않는다
m
zdmz
m
ydmy
m
xdmx ∫∫∫ ===
mmm
∫== tdAmtdAdm ρρ ,
∫∫∫ ∫∫
∫∫
∫∫ ===
tdA
tdAzz
tdA
tdAyy
tdA
tdAxx
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
ρ
A
zdAz
A
ydAy
A
xdAx ∫∫∫ ===
∫∫∫
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AAA
zdmydmxdm ∫∫∫ m
zdmz
m
ydmy
m
xdmx ∫∫∫ ===
∫ dVdVd ∫== dVmdVdm ρρ ,
∫∫∫ dVzdVydVx ρρρ
dVdVdV ∫∫∫
∫∫
∫∫
∫∫ ===
dVz
dVy
dVx
ρρρ
V
zdVz
V
ydVy
V
xdVx ∫∫∫ ===
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선(lines)의 도심선(lines)의 도심
zdLz
ydLy
xdLx ∫∫∫ ===
면적(Areas)의 도심
L
zL
yL
x ===
면적( )의 도심
A
zdAz
A
ydAy
A
xdAx ∫∫∫ ===
체적(Volumes)의 도심
AAy
A
V
zdVz
V
ydVy
V
xdVx ∫∫∫ ===
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요소의 차수요소의 차수◦ 고차의 요소보다 1차의 미분요소를 취하여 전체 도형을 한 번 적분으로 다룰 수 있도록 한다을 한 번 적분으로 다룰 수 있도록 한다.
적분번한대하여에 : dyldydA =
필요적분번두:dxdydA =
적분번한대하여에 : dydyrdV 2π=
필요적분번세:dxdydzdV =
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필요적분번두 : dxdydA 필요적분번세 : dxdydzdV
연속성( ti it )연속성(continuity)◦ 가능한 한 요소는 한 번의 연속 작업으로 도형을 적분할 수 있는 것을 취해야 한다할 수 있는 것을 취해야 한다.
적합
필요적분이번두불연속이므로에서높이가미소면적의
1xx =적합
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고차항의 제거(discarding higher order고차항의 제거(discarding higher-order terms)◦ 저차항에 비하여 고차항은 항상 버리게 된다. (고차의저차항에 비하여 고차항은 항상 버리게 된다. (고차의미소량은 저차의 미소량과 비교하여 항상 무시할 수있다)
좌표계의 선정좌표계의 선정◦ 대체로 도형의 경계와 잘 들어맞는 좌표계를 선택한다
직각좌표계직각좌표계극좌표계
.
버린다는
취하고를
dxdy
ydxdA
2
1=
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2
요 의 심좌요소의 도심좌표◦ 미분요소를 취하고, 미분요소의 모멘트를 구할 때 모멘트 길이로써 요소도심의 좌표를 사용한다트 길이로써 요소도심의 좌표를 사용한다.
, , A
dAzz
A
dAyy
A
dAxx
ccc ∫∫∫ === , , V
dVzz
V
dVyy
V
dVxx
ccc ∫∫∫ ===
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AAA VVV
y
xdLxL = ∫
3) 선의 도심을 결정
( ) [ ]αα
θθθα αα
α
α
sin22
sincos22
2
rxr
rrdrxr == −−∫∫
x
αα
ααsin
sin22r
x
rxr
=∴
=1) 대칭축을 x축으로 설정하여
도심의 y좌표가 0이 되게 한다
2) 호의 미분요소를 극좌표로 표시
rxrddL θθ cos== , ∫∫ −=
θθθ
θθθ
i
cossin
d
dQ
※ 각도는 라디안
[ ] rrrdL αθθ αα
α
α2=== −−∫
∫ = θθθ sincos d
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※ 각도는 라디안
1) 2α = π 인 원호 2) 2α = π/2 인 원호 45°
√21
y´
y
1) 2α = π 인 원호 2) 2α = π/2 인 원호
y
45
1
´x´
Cr
αα
Cr
α C
r
y´ x′
r2′Cα
αx
Cαα
x πr
x2
=′
x
x
4sin4
sinπ
αr
rx
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
==
x´
παα rr
x2sin
== ( )22
πr
x = ( ) 222414
παrrr
x
x
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
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πα ( )22 πππ
⎟⎠
⎜⎝
3) dA는 적분변수 y방향으로 표시해야 하므로x를 y의 함수로 표시한다.
( ) ( )h
yhbxhyhbx
−=⇒−= ::
dAA ∫
h
4) 도심의 y좌표를 구한다
( )2
10
2
0dybyy
h
bdy
h
yhbyybh
ydAyA
hh
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−=
−=
=
∫∫
∫
6232
1
2
223
00
bhby
h
byybh
yyyh
yh
yy
h
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+−=
⎠⎝∫∫1) x축이 삼각형의 밑변과 일치하는
좌표축을 설정한다
3
62320
hy
h
=∴
⎥⎦
⎢⎣
xdydA =2) 미분 면적요소를 선정한다
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3 xdydA
물체나 도형을 간단한 형태의 여러 부분으로 편리하게물체나 도형을 간단한 형태의 여러 부분으로 편리하게나눌 수 있을 때, 각 부분을 전체의 유한요소(finite element)로 보고 모멘트의 원리를 적용빈 공간 복합 형의 한 부분 생각하여 빈 공간이빈 공간도 복합도형의 한 부분으로 생각하여, 빈 공간이나 구멍에 해당하는 질량을 음의 질량으로 생각한다
( ) 332211321 xmxmxmXmmm ++=++
, , ∑∑
∑∑
∑∑ ===
m
zmZ
m
ymY
m
xmX
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∑∑∑
실제 면적이나 체적의 경계를 수학적으로나 간단한 기하실제 면적이나 체적의 경계를 수학적으로나 간단한 기하학적 형태 등으로 표현할 수 없는 경우부정형 면적의 도심부정형 면적의 도심근사방법의 정확도◦ 띠의 폭이 좁을수록 높다면적 사치에 띠의 평 높이를 사용◦ 면적 근사치에는 띠의 평균높이를 사용
◦ 폭이 일정한 요소를 사용하는 것이 유리 h
Δ= xhA
xΔ
, ∑∑
∑∑ ==
A
yAy
A
xAx cc
xΔ
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180
구분 x AyAxyA
60180
12010110
1 12,000 60 50 720,000 600,000
2 3,000 140 100/3 420,000 100,000
3 -1,414 60 12.73 -84,800 -18,000
100
50100/340
4 -800 120 40 -96,000 -32,000
계 12,790 959,000 650,000 60
14060/3=20
[ ]mmA
xAX 0.75
12790
959000===
∑∑
[ ]mmA
yAY 8.50
12 90
65000===
∑∑
[ ]mmr
y 7312)30(44
3 ===
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[ ]A 12790∑[ ]mmy 73.12
333 ππ
물체를 다섯부분으로 나누고 각각의 평균면적
L)AV( 2.0 ×=×= QAV
물체를 다섯부분으로 나누고 각각의 평균면적,체적, 도심의 위치를 구한다.
구분
0-0 2 3 0 6 0 1 0 060
x xVVA
0-0.2 3 0.6 0.1 0.060
0.2-0.4 4.5 0.90 0.3 0.270
0.4-0.6 5.2 1.04 0.5 0.520
0.6-0.8 5.2 1.04 0.7 0.728
0.8-1.0 4.5 0.90 0.9 0.810
계 4 48 2 388계 4.48 2.388
[ ]mV
xVX 533.0
484
388.2===
∑∑
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V 48.4∑
225 mkg
383.7 mMg=ρ 1) 5개의 요소로 분리하여 고려
2) 삼각부분은 음의 질량을 갖는 것으로 취급3) z축을 대칭축으로 선정
[ ]mmr
z 221)50(44===
4) 각 요소의 도심 결정
[ ]mmz 2.21331 ===ππ
[ ] [ ]mmz 100)75(31251503 −=−−−=
240 mkg 구분 y zmymzm
5) 질량중심 방정식 관련 항 정리
1 0.098 0 21.2 0 2.08
2 0.562 0 -75.0 0 -42.19
3 0 094 0 100 0 0 9 38
y y
[ ]ym 7140∑6) 질량중심 결정
3 -0.094 0 -100.0 0 9.38
4 0.600 50.0 -150.0 30.0 -90.00
5 1.476 75.0 0 110.7 0
[ ]
[ ]mmzm
Z
mmm
ymY
74573.120
3.53642.2
7.140
−=−
==
===
∑∑∑
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계 2.642 140.7 -120.73[ ]mm
mZ 7.45
642.2===
∑
한 평면곡선을 같은 평면 상의 교차하지 않는 축으로 회한 평면곡선을 같은 평면 상의 교차하지 않는 축으로 회전시킬 때 생기는 표면적을 계산
면적 체적dL면적 체적dL
yπ2
∫ ∫ ddd
dAyπ2
∫=⇒= ydLAydLdA ππ 22 ∫=⇒= ydAVydAdV ππ 22
( )2 ∫== ydLLyLyA Qπ ( ) 2 ∫== ydVVyAyV Qπ
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( ) 2 ∫ ydLLyLyA Qπ ( )∫ yyy
선이나 면적을 2π보다 작은 각도 θ만큼 회전시선이나 면적을 2π보다 작은 각도 θ만큼 회전시킬 때
1) 면적
LyA
LyA
θ
π
=
= 2
2) 체적
AyV π= 2
AyV
AyV
θ
π
=
= 2
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1) 체적
( )( ) 222 22 RaaRAyV πππθ ===
1) 체적
2) 면적
( )( ) RaaRLyA 2422 πππθ ===
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1) 체적
( )[ ] ( )( )[ ]( ) [ ]
606021603130
ArV
+==πθ
( ) [ ]35 1083.2 mm=
밀도강철의
2) 질량
Vm = ρ37830
mkg=ρ
( )[ ]k
mm
mmm
m
kg
2121000
11083.27830
335
3 ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=
kg21.2=
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보(beam)보(beam)◦ 수직하중에 의해 발생된 힘에 대해 저항하도록 만든 구조물◦ 대부분 균일단면을 가지며, 하중은 보의 길이방향에 수직으로 작용
보의 하중크기 해석보의 하중크기 해석◦ 보를 분리하여 평형조건 수립
정역학 원리 적용정역학 원리 적용◦ 외부의 합력과 이를 지지하는 보의 내부 저항력 간의관계식 수립재료역학 이용
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지지형태에 따른 분류지지형태에 따른 분류◦ 정정보와 부정정보
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집중하중집중하중
분포하중분포하중◦ 분포하중의 강도
단위길이당 힘으로 표시단위길이당 힘으로 표시
◦ 분포하중의 형태일정강도, 변화강도연속, 불연속
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분 하중의 합력분포하중의 합력◦ 분포하중 강도 w와 분포길이 L로 이루어진면적면적
합력의 작용 위치◦ 분포하중 면적의 도심위치◦ 분포하중 면적의 도심위치
평형조건 수립을 위한 분포하중의 취급◦ 등가 집중하중으로 치환◦ 등가 집중하중으로 치환
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합력합력
∫= dxwR
도심의 x 좌표
∫
( )dxxwxR ∫= 원리모멘트Q
R
dxxwx ∫=
R
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[ ]M 0=∑[ ]( ) ( ) ( )
NRR
M
B
B
A
9840010848000512000
0
=∴=+−−
=∑
[ ]( ) ( ) ( )R
M B
024800512000100
++=∑
( ) ( ) ( )NR
R
A
A
696002480051200010
=∴=++−
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어떤 점 O 에 관한 합력 모멘트는 같은 점 O 에어떤 점 O 에 관한 합력 모멘트는 같은 점 O 에대해 계의 원래 힘들에 의한 모멘트의 합과 같다(Varignon의 정리의 확장)(Varignon의 정리의 확장)
∑FR
( )o
MRdFdMM
===
=
∑ ∑∑FR
≡
oMRd =
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라디안 (radian)라디안 (radian)각도를 나타내는 SI 보조단위1rad : 원주상에서 그 반지름과 같은 길이의 원호를 끊어 이루어진 2개의 반지름의 원호를 끊어 이루어진 2개의 반지름사이의 평면각 (1rad ≒57.3°)360° = 2∏㎭
작은 각도 다루기
1costansin ≅≅≅ θθθθ ,
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