ศิลปะทางคณิตศาสตร (MATH ART) · 2007-05-10 · 1 ศิลปะทางคณิตศาสตร (math art) โดย อ. บุญฤดีแสงจันทร
Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 ·...
Transcript of Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 ·...
![Page 1: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/1.jpg)
Engineering Math 2 (12026003)
Lecture 7 (Integral Transform Method)
Dr. Santhad Chuwongin
![Page 2: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/2.jpg)
Outline
15.1 ฟังก์ชันข้อผิดพลาด (Error Function)
15.2 การประยุกต์ใช้การแปลงลาปลาซ (Applications of the
Laplace Transform)
15.3 การอินทิกรัลฟูเรียร์ (Fourier Integral)
15.4 การแปลงฟูเรียร์ (Fourier Transforms)
15.5 การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว (Fast Fourier Transform)
![Page 3: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/3.jpg)
ฟังก์ชันข้อผิดพลาด (Error Function)
• ฟังก์ชันข้อผิดพลาด
erf 𝑥 =2
𝜋 𝑒−𝑢
2𝑥
0
𝑑𝑢
• ฟังก์ชันข้อผิดพลาดเพิ่มเติม (Complementary error function)
erfc 𝑥 =2
𝜋 𝑒−𝑢
2∞
𝑥
𝑑𝑢
• ฟังก์ชันทั้งสองสัมพนัธ์กันดังนี้ erf x + erf c x = 1
Figure 15.1.2: Graphs of erf(x) and erfc(x)
![Page 4: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/4.jpg)
• ประโยชน์ส าหรับการแปลงลาปลาซ
ฟังก์ชันข้อผิดพลาด (Error Function)
![Page 5: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/5.jpg)
การประยุกต์ใช้การแปลงลาปลาซ (Applications of the Laplace Transform)
• สมมุติว่าคุณสมบัติในการด าเนินการแปลงลาปลาซ ของฟังก์ชัน 1 ตัวแปร เพื่อน าไปใช้กับฟงัก์ชนั 2 ตัวแปร
• ตัวอย่าง:
ℒ𝜕𝑢
𝜕𝑡= 𝑠𝑈 𝑥, 𝑠 − 𝑢(𝑥, 0)
• เป็นไปตามนี้
ℒ𝜕2𝑢
𝜕𝑡2= 𝑠2𝑈 𝑥, 𝑠 − 𝑠𝑢 𝑥, 0 − 𝑢𝑡(𝑥, 0) ⟹ ℒ
𝜕2𝑢
𝜕𝑡2=𝑑2𝑈
𝑑𝑥2
![Page 6: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/6.jpg)
• ตัวอย่าง: การแปลงสมการอนุพันธ์ย่อย (PDE)
• จงหาการแปลงลาปลาซ ของสมการคลื่น (wave equation)
𝑎2𝑑2𝑢
𝑑𝑥2=𝑑2𝑢
𝑑𝑡2 , 𝑡 > 0
จากคุณสมบัติการแปลงอนุพันธ์ย่อย
ℒ 𝑎2𝑑2𝑢
𝑑𝑥2= ℒ𝑑2𝑢
𝑑𝑡2
จะกลายเป็น
𝑎2𝑑2
𝑑𝑥2ℒ 𝑢(𝑥, 𝑡) = 𝑠2ℒ 𝑢 𝑥, 𝑡 − 𝑠𝑢 𝑥, 0 − 𝑢𝑡(𝑥, 0)
𝑎2𝑑2𝑈
𝑑𝑥2− 𝑠2𝑈 = −𝑠𝑢 𝑥, 0 − 𝑢𝑡(𝑥, 0)
การประยุกต์ใช้การแปลงลาปลาซ (Applications of the Laplace Transform)
![Page 7: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/7.jpg)
การอินทิกรัลฟูเรียร์ (Fourier Integral)
• การอินทิกรัลฟูเรียรข์องฟังก์ชนั 𝑓ถูกนิยามบนช่วง (−∞,∞)โดยมีค่าเท่ากับ
𝑓 𝑥 =1
𝜋 𝐴 𝛼 cos 𝛼𝑥 + 𝐵 𝛼 sin 𝛼𝑥∞
−∞
𝑑𝛼
โดยที่
𝐴 𝛼 = 𝑓 𝑥 cos 𝛼𝑥∞
−∞
𝑑𝑥
𝐵 𝛼 = 𝑓 𝑥 sin 𝛼𝑥∞
−∞
𝑑𝑥
![Page 8: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/8.jpg)
• การอินทิกรัลฟูเรียรข์องฟังก์ชนัคู่บนชว่ง (−∞,∞) คือการอินทิกรัล
โคไซน์ฟังก์ชัน (cosine integral) 𝑓 𝑥 =2
𝜋 𝐴 𝛼 cos 𝛼𝑥∞
0𝑑𝛼
โดยที่ 𝐴 𝛼 = 𝑓 𝑥 cos 𝛼𝑥∞
0𝑑𝑥
• การอินทิกรัลฟูเรียรข์องฟังก์ชนัคี่บนชว่ง (−∞,∞) คือการอินทิกรัลไซน์
ฟังก์ชัน (sine integral) 𝑓 𝑥 =2
𝜋 𝐵 𝛼 sin 𝛼𝑥∞
0𝑑𝛼 โดยที่
𝐵 𝛼 = 𝑓 𝑥 sin𝛼𝑥∞
0𝑑𝑥
การอินทิกรัลฟูเรียร์ (Fourier Integral)
![Page 9: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/9.jpg)
• การอินทิกรัลฟูเรียร ์ยังสามารถจัดให้อยู่ในรูป เชิงซ้อน หรือเอกซ์โพเนนเชียล ไดด้ังนี้
𝑓 𝑥 =1
2𝜋 𝐶 𝛼 𝑒−𝑖𝛼𝑥∞
−∞
𝑑𝛼
𝐶 𝛼 = 𝑓 𝑥 𝑒𝑖𝛼𝑥∞
−∞
𝑑𝑥
การอินทิกรัลฟูเรียร์ (Fourier Integral)
![Page 10: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/10.jpg)
การแปลงฟูเรียร์ (Fourier Transforms)
• การแปลงฟูเรียร ์และ อินเวอร์สของมัน คือคู่ของการแปลง
• ถ้า ℒ 𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑠𝑡∞
0𝑓 𝑡 𝑑𝑡 = 𝐹(𝑠) ดังนั้นอินเวอร์ส
ของการแปลงลาปลาซ คือ คอนทัวร์อินทิกรัล
ℒ−1 𝑓(𝑠) =1
2𝜋𝑖 𝑒𝑠𝑡𝛾+𝑖∞
𝛾−𝑖∞
𝐹 𝑠 𝑑𝑠 = 𝑓 𝑡
• ถ้า 𝑓(𝑥) ถูกแปลงเป็น 𝐹(𝛼) โดยการแปลง 𝐹 𝛼 = 𝑓(𝑥)𝑏
𝑎𝐾 𝛼, 𝑥 𝑑𝑥
ดังนั้นฟังก์ชันสามารถแปลงกลับโดยใช้อินเวอร์สการแปลง𝑓(𝑥) = 𝐹 𝛼
𝑏
𝑐𝐻 𝛼, 𝑥 𝑑𝛼
![Page 11: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/11.jpg)
• คู่ของการแปลงฟเูรียร ์แสดงดังตารางด้านล่าง
การแปลงฟูเรียร์ (Fourier Transforms)
![Page 12: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/12.jpg)
• การตรวจสอบการแปลงของอนุพันธ์จะช่วยในการประยุกต์ใช้กับแนวคิด BVPs
– การแปลงฟูเรียร์ 𝐹 𝑓′′(𝑥) = −𝛼2𝐹 𝛼 + 𝛼𝑓(0)
– การแปลงฟูเรียร์ไซน์ 𝐹𝑠 𝑓′′(𝑥) = −𝛼2𝐹 𝛼 − 𝛼𝑓(0)
– การแปลงฟเูรียร์โคไซน์ 𝐹𝑐 𝑓′′(𝑥) = −𝛼2𝐹 𝛼 − 𝑓′(0)
• ทางเลือกในการใช้การแปลงกับ BVPs ขึ้นอยู่กับประเภทของเงื่อนไขขอบเขตซึ่งถูกก าหนดให้เทา่กับศูนย์
การแปลงฟูเรียร์ (Fourier Transforms)
![Page 13: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/13.jpg)
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว (Fast Fourier Transform)
• พิจารณาฟังก์ชนั 𝑓 ซึ่งถูกนิยามและต่อเนื่องบนชว่ง [0,2𝑝]
• 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, … คือจุดซึ่งถูกแบ่งเท่าๆกันบนช่วง
• ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า 𝑥0, 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛…คือ 𝑓0, 𝑓1, 𝑓2, … , 𝑓𝑛, … ซึ่งแทนการแซมพลิงที่ไมต่่อเนื่อง (discrete
sampling) ของ 𝑓
Figure 15.5.1: Sampling of a continuous function
![Page 14: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/14.jpg)
• แซมพลิง (sampling)
– 𝑇 เป็นอัตราการแซมพลงิ, หรือความยาวของช่วงการแซมพลิง
– 𝜔 =2𝜋
2𝑝 คือ ความถี่เชิงมุมมูลฐาน (fundamental frequency)
– 2𝑝 คือ คาบมูลฐาน
– ถ้า 𝑓 ต่อเนื่องที่ 𝑇, แซมเพิลของ 𝑓 ที่ 𝑇 จะเป็นผลคูณของฟังกช์นั 𝑓 และค่าฟังก์ชันดิแรกเดลตา (Dirac delta), และค่าสัญญาณไม่ต่อเนื่อง (discrete signal) ของ 𝑓 คือ
𝑓(𝑥)𝛿(𝑥 − 𝑛𝑇)
∞
𝑛=−∞
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว : แซมพลิง (Fast Fourier Transform : Sampling)
![Page 15: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/15.jpg)
• การประยุกต์ใช้การแปลงฟเูรียร ์และคณุสมบัติการกรองสัญญาณของ ฟังก์ชันดิแรกเดลตา, เราจะทราบว่าการแปลงฟเูรียรไ์ม่ต่อเนื่อง (discrete Fourier transform-DFT) จะเป็นดังนี้
𝐹(𝛼) = 𝑓(𝑛𝑇)
∞
𝑛=−∞
𝑒𝑖𝛼𝑛𝑇
– พิจารณาค่าฟังก์ชัน 𝑓(𝑥) ที่ ถูกแบ่งเป็น 𝑁ส่วนเท่าๆกัน, 𝑥 = 𝑛𝑇, 𝑛 = 0,1,2,… ,𝑁 − 1
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว : แซมพลิง (Fast Fourier Transform : Sampling)
![Page 16: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/16.jpg)
– อนุกรมฟูเรียร์ไม่ต่อเนื่อง (finite (discrete) Fourier series)
𝐹(𝑥) = 𝑐𝑛∞𝑛=−∞ 𝑒𝑖𝑛𝑥
และท าให้
𝜔𝑛 = 𝑒𝑖2𝜋𝑛 = cos
2𝜋
𝑛+ 𝑖 sin
2𝜋
𝑛
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว : แซมพลิง (Fast Fourier Transform : Sampling)
![Page 17: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/17.jpg)
ระบบถูกแสดงด้วยสัญลักษณเ์มทริกซ์ได้ดังนี ้
2
0 02 1
1 1
2 12 4
2 2
2 1 111 1
1 1 1 1
1
1
1
N
N N N
N
N N N
N NNN N
N N N
f c
f c
f c
f c
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว : แซมพลิง (Fast Fourier Transform : Sampling)
![Page 18: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/18.jpg)
– ให้ 𝑁 × 𝑁 เมทริกซ์ เป็น 𝐹𝑁 – ถ้า 𝐹𝑁 เป็นเมทริกซ์ของคอนจูเกตเชิงซ้อนของ 𝐹𝑁 และ 𝑰 คือ เมทริกซ์
เอกลักษณ,์ ดังนั้น
𝐹𝑁𝐹𝑁 = 𝐹𝑁𝐹𝑁 = 𝑁𝑰 ⟹ 𝐹𝑁−1 =1
𝑁𝐹𝑁
– เป็นดังนี ้0 0
1 1
2 2
1 1
1
N
N N
c f
c f
c fN
c f
F
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว : แซมพลิง (Fast Fourier Transform : Sampling)
![Page 19: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/19.jpg)
• ถ้าสัญญาณเป็นแถบจ ากัด (band-limited) (ย่านความถี่ของสัญญาณ คล้ายแถบ
− 𝐴 < 𝑘 < 𝐴), สัญญาณจะถูกสร้างขึ้นใหม่โดยการแซมพลิง 2 เท่าของ
ความถ่ีสูงสุด ส าหรับแต่ละไซเคิล
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑛𝜋
𝐴)
∞
𝑛=−∞
sin(𝐴𝑥 − 𝑛𝜋)
𝐴𝑥 − 𝑛𝜋
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว (Fast Fourier Transform)
![Page 20: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/20.jpg)
• DFT ถูกเขียนได้ดังนี้
𝐹(2𝜋𝑘
𝑛𝑇) = 𝑇 𝑓(𝑗𝑇)
𝑛−1
𝑗=0
𝜔𝑛𝑘𝑗 , 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1
• หรือ, แสดงด้วยสัญลักษณ์อย่างง่าย
𝑐𝑘 = 𝑓𝑗
𝑛−1
𝑗=0
𝜔𝑛𝑘𝑗 , 𝑘 = 0,1,2, … , 𝑛 − 1
• สัญลักษณ์ ทางเมทริกซ์ 𝐟 = 𝑭𝐧𝐜
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว (Fast Fourier Transform)
![Page 21: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/21.jpg)
• ตัวอย่าง ให ้n = 22 = 4 และให้ 𝐹4 =
1 11 𝑖
1 1−1 −𝑖
1 −11 −𝑖
1 −1−1 𝑖
• 𝐹4 = ABP =
1 00 1
1 00 𝑖
1 00 1
−1 11 −𝑖
1 11 −1
0 00 0
0 00 0
1 11 −1
1 00 0
0 01 0
0 10 0
0 00 1
ถ้า 𝑐 =
35820
ดังนั้น
• 𝐹4𝑐 =
1 00 1
1 00 𝑖
1 00 1
−1 11 −𝑖
1 11 −1
0 00 0
0 00 0
1 11 −1
1 00 0
0 01 0
0 10 0
0 00 1
35820
=
1 00 1
1 00 𝑖
1 00 1
−1 11 −𝑖
1 11 −1
0 00 0
0 00 0
1 11 −1
38520
=
1 00 1
1 00 𝑖
1 00 1
−1 11 −𝑖
11−525−15
=
36−5 − 15𝑖−14−5 + 15𝑖
= 𝐟
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว (Fast Fourier Transform)
![Page 22: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/22.jpg)
• กุญแจส าคัญของการแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว (FFT) คือคุณสมบัติของ 𝜔𝑛 และ การแยกตัวประกอบเมทริกซ์ (matrix factorization)
• ถ้า 𝑛 = 2𝑁 เราสามารถเขียน 𝑭𝑛 ตามรูปแบบด้านล่างนี้ได ้
𝐅2𝑁 =𝐈2𝑁−𝟏 𝐃2𝑁−𝟏
𝐈2𝑁−𝟏 𝐃2𝑁−𝟏
𝐅2𝑁−𝟏 0
0 𝐅2𝑁−𝟏𝐏
• 𝐈2𝑁−𝟏 คือเมทริกซ์เอกลักษณ์และ 𝑷 คือการเรียงสับเปลี่ยนเมทริกซ์ (permutation matrix) ซึ่งจัดเรียงใหม่ 𝒄
𝐃2𝑁−𝟏 =
1ω2𝑁
⋱
ω2𝑁2N−1−1
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว (Fast Fourier Transform)
![Page 23: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/23.jpg)
• 𝑎3 𝑎2 𝑎1 𝑎0 ∗ 𝑏3 𝑏2 𝑏1 𝑏0
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว (Fast Fourier Transform)
𝐴 𝑥 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑥 2 + 𝑎3𝑥
3 + 0𝑥 4 +⋯+ 0𝑥 7
𝐵 𝑥 = 𝑏0 + 𝑏1𝑥 + 𝑏2𝑥 2 + 𝑏3𝑥
3 + 0𝑥 4 +⋯+ 0𝑥 7
𝐹𝐹𝑇(𝐴) ⇒ 𝐴 𝜔0 𝐴 𝜔1 𝐴 𝜔2 … 𝐴 𝜔7
𝐹𝐹𝑇(𝐵) ⇒ 𝐵 𝜔0 𝐵 𝜔1 𝐵 𝜔2 … 𝐵 𝜔7
𝐹𝐹𝑇(𝐴) × 𝐹𝐹𝑇(𝐴) = 𝐶 𝜔0 𝐶 𝜔1 𝐶 𝜔2 … 𝐶 𝜔7
𝐼𝐹𝐹𝑇 𝐶(𝜔) = 𝐶 𝑥 = 𝑐0 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2𝑥 2 + 𝑐3𝑥
3 +⋯+ 𝑐7𝑥 7
![Page 24: Engineering Math 2 (12026003) · 2018-05-03 · •ฟังก์ชันที่สัมพันธ์กับค่า ... หรือความ ... แซมเพิลของ](https://reader033.fdocument.pub/reader033/viewer/2022041611/5e3823bf16862c6adf5b17f5/html5/thumbnails/24.jpg)
การแปลงฟูเรียร์อย่างเร็ว (Fast Fourier Transform)
(0,i)
Re
Img
(−𝟏, 𝟎)
(0,-i)
( 𝟏𝟐,𝐢
𝟐) (− 𝟏
𝟐,𝐢
𝟐)
(𝟏, 𝟎)
(− 𝟏𝟐, −𝐢
𝟐) ( 𝟏
𝟐, −𝐢
𝟐)