Engineering Economy Week 3 Gradient · PDF fileJune 2016)HS Engineers( مكتانق ىلع...

HS Engineersللعديد من المواد على قناتكم مجاناشرح فيديو

net.hs-eng مكموقعب مجانا النوتات متوفرة etnhs.-enginfo@ (1) 26044449 م. حمادة شعبان

بند في قائمة اهتماماتك.لتكن أنت أهم

Gradient Series

:Gradient Series-Uniform

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1) = 𝐴1 + 𝐺 (𝐴/𝐺, 𝑖, 𝑛)

𝑃𝐺 = 𝐺 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1 − 𝑖 𝑛

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑛) = 𝐺 (𝑃/𝐺, 𝑖, 𝑛)

Geometric-Gradient Series:

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔)

OR

𝑔′ =(1 + 𝑖)

(1 + 𝑔)− 1

𝑃𝑔 =𝐴1

(1 + 𝑔)(

(1 + 𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′(1 + 𝑔′)𝑛) =

𝐴1

1 + 𝑔(𝑃/𝐴, 𝑔′, 𝑛)

𝑨𝟏 𝑮

𝒏 0 1 2

𝑨𝟏 𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈) 𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)𝟐

𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)𝒏−𝟏

0 1 2 3 𝒏

Week 3

3

Engineering Economy

شرح النوت فيديو متوفر على قناتكم

HS Engineers

تابعونا ليصل لكم كل جديد



لك شيء في هذا العالم،

فهيا لتحصل عليه.

Gradient Series-Uniform

( يمكن إيجاد𝑷( باعتبار كل دفعة على حدة كأنها )𝑭.)

𝑷 =𝑮

(𝟏 + 𝒊)𝟐+

𝟐𝑮

(𝟏 + 𝒊)𝟑+

𝟑𝑮

(𝟏 + 𝒊)𝟒+ ⋯ ⋯ ⋯ ∙ +

𝑮 (𝒏 − 𝟏)

(𝟏 + 𝒊)𝒏

( 𝟏بضرب طرفي المعادلة السابقة في + 𝒊) :ينتج

𝑷 (𝟏 + 𝒊) =𝑮

(𝟏 + 𝒊)+

𝟐𝑮

(𝟏 + 𝒊)𝟐+

𝟑𝑮

(𝟏 + 𝒊)𝟑+ ⋯ ⋯ ⋯ ∙ +

𝑮 (𝒏 − 𝟏)

(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏

المعادلة الثانية ينتج:بطرح المعادلة األولى من

𝑷 𝒊 =𝑮

(𝟏 + 𝒊)+

𝑮

(𝟏 + 𝒊)𝟐+

𝑮

(𝟏 + 𝒊)𝟑⋯ +

𝑮

(𝟏 + 𝒊)𝒏−𝟏−

𝑮 (𝒏 − 𝟏)

(𝟏 + 𝒊)𝒏

= 𝑮 (𝟏

(𝟏 + 𝒊)+

𝟏

(𝟏 + 𝒊)𝟐+

𝟏

(𝟏 + 𝒊)𝟑+ ⋯ +

𝟏

(𝟏 + 𝒊)𝒏−

𝒏

(𝟏 + 𝒊)𝒏)

= 𝑮 ((𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

𝒊 (𝟏 + 𝒊)𝒏) −

𝒏

(𝟏 + 𝒊)𝒏= 𝑮 (

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 − 𝒊 𝒏

𝒊 (𝟏 + 𝒊)𝒏)

∴ 𝑷 = 𝑮 ((𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 − 𝒊 𝒏

𝒊𝟐 (𝟏 + 𝒊)𝒏) = 𝑮 (𝑷/𝑮, 𝒊, 𝒏)

𝑮 (𝒏 − 𝟏)

𝑮 𝟐𝑮

𝒏 2 1 0

Factor of P/A

االستنتاج

غير مطلوب

Alone



أماكن شاغرة هناك دائما

على القمة.

,𝑨/𝑮استنتاج قانون ) 𝒊, 𝒏)

( إليجاد𝑨/𝑮, 𝒊, 𝒏( يتم مساواة )𝑷( من قانونيها مع )𝑨( ،)𝑮:كما يلي )

𝑨𝒆𝒒(𝑷/𝑨, 𝒊, 𝒏) = 𝑮 (𝑷/𝑮, 𝒊, 𝒏)

𝑨𝒆𝒒 ((𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏

𝒊 (𝟏 + 𝒊)𝒏) = 𝑮 (

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 − 𝒊 𝒏

𝒊𝟐 (𝟏 + 𝒊)𝒏 )

𝑨𝒆𝒒 =𝑮

𝒊(

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏 − 𝒊 𝒏

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏)

=𝑮

𝒊(𝟏 −

𝒊 𝒏

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏)

𝑨𝒆𝒒 = 𝑮 (𝟏

𝒊−

𝒏

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏) = 𝑮 (𝑨/𝑮, 𝒊, 𝒏)

( في حال كانت الدفعة األولى عند𝒕 = فإن صيغة لصفر كما بالشكل التالي لها قيمة خالف ا( 𝟎

(𝑨𝒆𝒒( يضاف إليها قيمة )𝑨𝟏:كما يلي )

𝑨𝒆𝒒 = 𝑨𝟏 + 𝑮 (𝟏

𝒊−

𝒏

(𝟏 + 𝒊)𝒏 − 𝟏) = 𝑨𝟏 + 𝑮 (𝑨/𝑮, 𝒊, 𝒏)

( في حال تناقص الدفعات𝐀𝟏 > 𝐀𝟐 > 𝐀𝟑 > ⋯ > 𝐀𝐧ه( فإن ( يتم التعويض عن𝑮.بالسالب )

:إليجاد قيمة آخر دفعة نستخدم

𝑨𝒏 = 𝑨𝟏 + 𝑮 (𝒏 − 𝟏)

𝑨𝟏

0 1 2 𝒏

𝑨𝟐 𝑨𝟑 𝑮

𝑨𝒏

االستنتاج

غير مطلوب



ممن فشلوا لم يدركوا مدى الكثيرون

قربهم من النجاح عندما استسلموا.

b)

الحل باستخدام القانون:

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $10,000 − $100 ∗ (1

0.08−

42

(1 + 0.08)42 − 1)

= $10,000 − $100 ∗ (10.77)

= $8,923

نبنا عمل ( بالجداول.42( لعدم وجود عدد سنوات )interpolation) استخدام القوانين يُجَّ

2 1 0 42

$5,900

𝑨𝟏 = $10,000

∫ ∫

∫ ∫

𝒊 = 𝟖% (𝒄𝒐𝒎𝒑𝒐𝒖𝒏𝒅𝒆𝒅 𝒂𝒏𝒏𝒖𝒂𝒍𝒍𝒚)

Recommended

What annual equal-payment series is necessary to repay the following

decreasing series of payments?

a. A series of 10 end-of-year payments that begins at $6,000 and

decreases at the rate of $200 a year with 12% interest

compounded annually.

b. A series of 42 end-of-year payments that begins at $10,000 and

decreases at the rate of $100 a year with 8% interest compounded

annually.

c. A series of 19 end-of-year payments that begins at $1,500 and

decreases at the rate of $40 a year with 14.3% interest

compounded annually. Answer: $1,285



إذا كاااان السااافهاء والحمقاااى يقاااررون كياااا

يعيشون فمن المؤكد أن هذا الحق مكفول لنا.

For the cash flows below, determine the amount in year 1, if the annual worth

in year 1 through 9 is $601.17 and the interest rate is 10% per year.

Year 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Cost A A+30 A+60 A+90 A+120 A+150 A+180 A+210 A+240

( يمكن حساب𝑨𝒆𝒒 )( بداللة𝑨 )( ( إليجاد قيمة )601.17$ومن ثم مساواتها بالقيمة𝑨.)

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (𝐴/𝐺, 10%, 9)

= $𝐴 + $30 (1

0.1−

9

(1 + 0.1)9 − 1)

= $𝐴 + $30 (3.3724)

= $𝐴 + $101.17

∴ $601.17 = $𝐴 + $101.17

∴ 𝐴 = $500

0 1 2 9 years

$𝑨 $(𝑨 + 𝟑𝟎)

𝒊 = 𝟏𝟎%

$(𝑨 + 𝟐𝟒𝟎)

3 4 5 6 7 8

Recommended



بال أهداف كي أريك أحد أرني شخصا

الذين تتحرك أجسادهم. ىأنواع الموت

𝐴𝑒𝑞 = ∑(𝐴1 + 𝐺 (𝐴/𝐺, 16%, 5))

= (𝐴1 + 𝐺1 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)) − (𝐴2 − 𝐺2 (

1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1))

= ($4,000,000 + $500,000 ∗ (1.706))

− ($1,000,000 − $100,000 ∗ (1.706))

𝐴𝑒𝑞 = $4,023,600

$4,000,000

0 1 2 3 4 5

$6,000,000 $5,500,000

$5,000,000 $4,500,000

$600,000 $700,000 $800,000 $900,000 $1,000,000

$4,000,000 $500,000 5

$1,000,000 $100,000 5

0.16 0.16

A start-up direct marketer of car parts expects to spend $1

million the first year for advertising, with amounts decreasing

by $100,000 each year. Income is expected to be $4 million

the first year, increasing by $500,000 each year. Determine

the equivalent annual worth in years 1 through 5 of the

company’s net cash flow at an interest rate of 16% per year.



المصيبة، دالجزع عن

مصيبة أخرى.

الحل األول :( بحساب𝑷𝒆𝒒) ( وقيمة كل 8لسلسلة متساوية عدد دفعاتها )( 1,000دفعة 𝑲𝑫= 𝑨 ،)

( لمدة ثمان سنوات.𝑮( وتزداد بمقدار )𝑲𝑫 0مطروحا منها سلسلة متزايدة تبدأ بـ )

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴 (𝑃/𝐴, 10%, 8) − 𝐺 (𝑃/𝐺, 10%, 8)

= 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) − 𝐺 (

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 − 𝑖 𝑛

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑛)

= 𝐾𝐷 1,000 ∗ (5.3349) − 𝐺 ∗ (16.0287)

𝐾𝐷 5,000 = 𝐾𝐷 5,335 − 16 𝐺 ⇒ 𝐺 = 𝐾𝐷 20.94

الحل الثاني: ( بحساب𝑨𝒆𝒒) ( 000لسلسلة واحدة تبدأ بـKD 1( وتتناقص بمقدار )𝑮لمدة ثمان سنوات ).

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 − 𝐺 (𝐴/𝐺, 10%, 8) = 𝐴1 − 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= 𝐾𝐷 1,000 − 𝐺 (1

0.1−

8

(1 + 0.1)8 − 1) = 𝐾𝐷 1,000 − 3𝐺

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑒𝑞(𝑃/𝐴, 10%, 8) = 𝐴𝑒𝑞 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛)

= 𝐴𝑒𝑞 ((1 + 0.1)8 − 1

0.1 ∗ (1 + 0.1)8) = (𝐾𝐷 1,000 − 3𝐺) ∗ (5.335)

𝐾𝐷 5,000 = 𝐾𝐷 5,335 − 16 𝐺 ⇒ 𝐺 = 𝐾𝐷 20.94

The present worth of a uniform gradient decreasing series cash flow

is KD 5,000. If the interest rate is 10% per year compounding

annually and 8 annual payments with first payment is KD 1000,

calculate the G (Decreasing amount)

𝑲𝑫 1,000 0.10 8

𝒊 = 𝟏𝟎%

8 0.10

1 2 3 4 5 6 7 8 0

𝑨𝟏 = 𝑲𝑫1,000



مما ال شاك فياه أن الحيااة ممكناة دون

سعادة، فاألغلبية العظمى من البشرية

يفعلون ذلك طواعية أو رغما عنهم.

1 2 3 4 5 6 7 8 0

$700 $1,000 $1,300

$1,600 $1,900

$2,200 $2,500

𝒊 = 𝟏𝟐%

( يمكن تقسيم الدفعات إلى سلسلة دفعات متساوية بقيمة𝑨 = $700لمدة ثما ) سانوات، وسلسالة ن

( 𝑷𝒆𝒒حيا ياتم حسااب ) (لمادة سابع سانوات( تبدأ مان السانة الثانياة )𝑮 = $300متزايدة بقيمة )

𝒕لها عند نهاية السنة األولى ومن ثم يتم نقلها إلى ) = 𝟎).

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴 (𝑃/𝐴, 12%, 8) + 𝐺 (𝑃/𝐺, 12%, 7) ∗ (𝑃/𝐹, 12%, 1)

= 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) + 𝐺 (

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 − 𝑖 𝑛

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑛) ∗ (1 + 0.12)−1

= $700 ∗ (4.9676) + $300 ∗ (11.6443) ∗ (0.8929)

= $6,596

0.12 8 7 0.12

Recommended

A construction firm is considering the purchase of an air compressor.

The compressor has the following end-of-year maintenance costs:

Year 1 2 3 4 5 6 7 8

Maintenance

costs $700 $700 $1,000 $1,300 $1,600 $1,900 $2,200 $2,500

What is the present equivalent maintenance cost if the interest rate is 12%?



يسهل علينا إدراك الفرص

تفلت من بين أيدينا. بعد أن

Option #1:

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (𝐴/𝐺, 10%, 5)

= 𝐴1 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $100 + $50 ∗ (1

0.1−

5

(1 + 0.1)5 − 1)

= $100 + $50 ∗ (1.8101) = $190.5

𝑃𝑡=0 = 𝐴𝑒𝑞 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛)

= 190.5 ∗ ((1 + 0.1)5 − 1

0.1 ∗ (1 + 0.1)5) = $722

Option #2:

𝑃𝑡=0 = ∑ 𝐹 (1 + 𝑖)−𝑛

= $240 (1 + 0.1)−1 + $240 (1 + 0.1)−3 + $240 (1 + 0.1)−5

+ $240 (1 + 0.1)−7 + $240 (1 + 0.1)−9

= $772 (𝑏𝑒𝑡𝑡𝑒𝑟)

At 𝑖 = 10% compounded annually, which is better: a reward of $100

at the end of year one that increases by $50 every year for 5 years

(Final reward is at the end of year 5), or five equal rewards of $240

every two years starting at the end of year one?

0 1 2 3 4 5

𝑨𝟏 = $100 $150

$200 $250

$300

𝒊 = 𝟏𝟎%

9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

$240



لمجراها الطبيعي، كما تنجذب المياه

ينجذب النجاح للمستعدين له.

Find the present worth and the future worth for the following CFD, 𝑖 = 12%


0 3 4 5 6 10 15

$2,000

$1,500

𝑨𝟏 =$220

1 2 7 8 11 9 12 13 14

G = $175

( نقوم بتحويل سلسلة الادفعات المتزايادة𝑮( إلاى )𝑨𝒆𝒒( أوال ثام نساتخدم )𝑨𝒆𝒒( إليجااد )𝑭 عناد )

(𝒕 = 𝟏𝟓.)

( نقوم بنقل كل الدفعات األخرى إلى𝒕 = (، ماع 𝑭𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍( وجمعها ماع بعضاها الابعض إليجااد )𝟏𝟓

مراعاة أن إشارة الدفعات التي لها أسهم ألعلى تكون موجبة والعكس.

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $220 + $175 (1

0.12−

7

(1 + 0.12)7 − 1) = $666.5

𝐹𝑒𝑞 = 𝐴𝑒𝑞 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖) = $666.5 (

(1 + 0.12)7 − 1

0.12) = $6,724

𝐹$970 = −$970 (1 + 0.12)10 = −$3,013

𝐹$2,000 = +$2,000 (1 + 0.12)12 = $7,792

𝐹$1,500 = −$1,500 (1 + 0.12)15 = −$8,210

𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹𝑒𝑞 + 𝐹$970 + 𝐹$2,000 + 𝐹$1,500 = $3,293

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (1 + 𝑖)−𝑛

= $3,293 (1 + 0.12)−15 = $601.6

$970

$1,270

𝒊 = 𝟏𝟐%

Recommended



لن يمكنك تحقيق شيء تعتقد

أنك عاجز عن تحقيقه.

b)


𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (𝐴/𝐺, 9%, 30)

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $250 + $50 ∗ (1

0.09−

30

(1 + 0.09)30 − 1)

= $250 + $50 ∗ (8.6657)

= $250 + $433.28

= $683.3

( لكنها أقل من المتوسط ألنه تم 1,700$ ,250$( هي قيمة متوسطة بين )683.3$نالحظ أن )

إزاحة بعض المبالغ يسارا .

0 1 3 5 30

𝑨𝟏 = $250

$1,700

:طبقن 1,700$لحساب

𝑨𝟏 + 𝑮 (𝒏 − 𝟏)

𝒊 = 𝟗%

Recommended

4 2

What annual equal payment series in necessary to repay the following

increasing series of payments?

a. A series of 7 end-of-year payments that begins at $2,000 and

increases at the rate of $100 a year with 10% interest compounded

annually.

b. A series of 30 end-of-year payments that begins at $250 and

increases at the rate of $50 a year with 9% interest compounded

annually.

c. A series of 25 end-of-year payments that begins at $400 and

increases at the rate of $200 year with 12.5% interest compounded

annually.



ذلك ه يفعليحارب الجبان، لكن

حين ال يتمكن من الهرب.

c)


𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $400 + $200 (1

0.125−

25

(1 + 0.125)25 − 1)

= $400 + $1,322

= $1,722

الحل باستخدام الجداول أو اآللة:

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (𝐴/𝐺, 12.5%, 25)

= $400 + $200 ∗ (6.7708 + 6.4566

2)

= $1,723 (𝑆𝑎𝑚𝑒)

( لكنها أقل من المتوسط ألنه تم 5,200$ ,400$)( هي قيمة متوسطة بين )1,722$نالحظ أن

إزاحة بعض المبالغ يسارا .

0 1 2 3 25

𝑨𝟏 = $400

$5,200

5,200$كيفية حساب

𝑨𝒏 = 𝑨𝟏 + 𝑮 (𝒏 − 𝟏)

𝒊 = 12.5%

∫ ∫

∫ ∫

What annual equal payment series is necessary to repay the

following increasing series of payments?

c. a series of 25 end-of-year payments that begins at $400 and

increases at the rate of $200 a year with 12.5% interest




إن الحياة ليست بروفة لتجربة

ثوب، إنها أصلية وواحدة فقط.

a)

الحل األول( حساب :𝑷𝒆𝒒) مباشرة

بقيماةدفعاات متسااوية عشاراألولاى :الدفعات أعاله تمثال سلسالتين (𝑨 = (، والثانياة $𝟒𝟎𝟎

𝑮وتزيد بقيمة )( 0$)دفعات متزايدة تبدأ بقيمة عشر = $𝟏𝟓𝟎.)

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐺 = 𝐴 (𝑃/𝐴, 15%, 10) + 𝐺 (𝑃/𝐺, 15%, 10)

= 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) + 𝐺 (

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 − 𝑖 𝑛

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑛)

= $400 ∗ (5.0188) + $150 ∗ (16.9795)

= $4,554 ( يمكن استخدام𝑷𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 )( لحساب𝑭𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍 )( عند𝒕 = 𝟏𝟎).

b)

𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙(𝐹/𝑃, 15%, 10)

= 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (1 + 𝑖)𝑛 = $4,554 (4.0456)

= $18,424

$400 +( $150 * 9) = $1,750

3 2 1 0 10

$700 $550 𝑨𝟏 =$400

𝒊 = 𝟏𝟓%

10

$400 0.15

$150 0.15 10

A person wishes to provide withdrawals from his bank with interest rate

of 15% compounded annually of $400 at the end of the first year, $550 at

the end of the second year, $700 at the end of the third year, and so on up

to $1,750 at the end of the tenth year.

a. How much should he invest today?

b. What is the future value of these withdrawals?

$4,554 10 0. 15

4 5 6 7 8 9

Recommended



(.𝑭𝒆𝒒( أو )𝑷𝒆𝒒لحساب )واستخدامها (𝑨𝒆𝒒حساب ): الحل الثاني

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺(𝐴/𝐺, 15%, 10)

= 𝐴1 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $907.5

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑒𝑞 (𝑃/𝐴, 15%, 10)

= 𝐴𝑒𝑞 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛)

= $4,555

𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑒𝑞 (𝐹/𝐴, 15%, 10)

= 𝐴𝑒𝑞 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖)

= $18,426

أجمل األنهار لم نرها بعد، أجمال الكتاب لام

بعد. ها بعد، أجمل أيام حياتنا لم تأت نقرأ

$400 10

$150

$907.5

10

0.15

0.15

10

$907.5

0.15



أن نحيا ذلك شيء نادر الحدوث، الحقيقة أن

كل شيء. معظم الناس متواجدون فقط، هذا


( الدفعات أعاله تمثال سلسالتين: األولاى متسااوية عاددها عشـاـر دفعاات بقيماـة𝑨 = $2,000 ،)

(.𝑮= $200( وتزيد بمقدار )0$والثانية متزايدة عددها عشرة تبدأ بقيمة )

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐺

= 𝐴 (𝑃/𝐴, 12%, 10) + 𝐺 (𝑃/𝐺, 12%, 10)

= 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) + 𝐺 (

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 − 𝑖 𝑛

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑛)

= $2,000 ∗ (5.6502) + $200 ∗ (20.2541)

= $15,351

الحل الثاني :( حساب𝑨𝒆𝒒) ( ومن ثم حساب𝑷𝒆𝒒.)

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (𝐴/𝐺, 12%, 10)

= 𝐴 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1) = $2,000 + $200 ∗ (3.5847)

= $2,717

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑒𝑞 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) = $15,352

$2,000 + $200 * 9 = $3,800

3 2 1 0 10

$2,200 𝑨𝟏 = $2,000

𝒊 = 𝟏𝟐%

10

$2,000 0.12

$200 10 0.12

An uniform gradient increasing series of payment starts at the end of

first year with $2,000 and increasing at $200 per year to year 10 at an

interest rate of 12% annually, what is the present value of this series?

$2,000 $200 10

0.12

$2,717

0.12 10

4 5 6 7 8 9

Recommended



أحااد تعااد الحياااة بااال أهااداف جري ااة

صور الموت ألناس على قيد الحياة.

Profits from recycling paper, cardboard, aluminum, and glass at a

liberal arts college have increased at a constant rate of $1,100 in each of

the last 3 years. If this year’s profit (end of year 1) is expected to be

$6,000 and the profit trend continues through year 5, (a) what will the

profit be at the end of year 5 and (b) what is the present worth of profit

at an interest rate of 8% per year?

a)

𝐴𝑛 = 𝐴1 + 𝐺 (𝑛 − 1)

𝐴5 = $6,000 + $1,100 (5 − 1)

= $10,400

b)


𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝐴 + 𝑃𝐺

= 𝐴 (𝑃/𝐴, 8%, 5) + 𝐺(𝑃/𝐺, 8%, 5)

= $6,000 ((1 + 0.08)5 − 1

0.08 (1 + 0.08)5) + $1,100 (

(1 + 0.08)5 − 1 − 0.08 ∗ 5

(0.08)2(1 + 0.08)5)

= $6,000 (3.9927) + $1,100 (7.3724)

= $32,066

1 2 3 4 5

𝑨𝟓 =?

𝑨𝟏 =$6,000

𝒊 = 𝟖% 0

years



خالصة الحكمة: عش وأنت على

الحياة وال تمت قبل موتك.قيد

الثانيالحل( حساب :𝑨𝒆𝒒) ( ومن ثم حساب𝑷𝒆𝒒)

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (𝐴/𝐺, 8%, 5)

= $6,000 + $1,100 (1

0.08−

5

(1 + 0.08)5 − 1)

= $6,000 + $1,100 (1.8465)

= $8,031

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑒𝑞(𝑃/𝐴𝑒𝑞, 8%, 5)

= $8,031 ((1 + 0.08)5 − 1

(0.08)(1 + 0.08)5)

= $8,031 (3.9927)

= $32,065

يفضل دائما ( تحويل سلسلة الـ𝑮( إلى ماا يكاف هاا )𝑨𝒆𝒒 ثام التعامال معهاا باأ مان قاوانين )

(.equal payment seriesالـ )



النجاح ملك لمن يدفع الثمن.

Sheila deposits her annual bonus into a saving account that pays 8% interest

compounded annually, the size of her bonus increases by $3,000 each year,

and the initial bonus is $6,000. Determine how much will be in the account

immediately after the fifth deposit.

الحل األول( حساب :𝑷𝒆𝒒) ( ومن ثم حساب𝑭𝒆𝒒.)

( دفعااات وقيمااة كاال منهااا 5، األولااى متساااوية عااددها )سلساالتينيمكاان تقساايم الاادفعات أعاااله إلااى

𝑮( وتزداد بقيمة )0$تبدأ بقيمة ) متزايدة (، والثانية$6,000) = .بعدد خمس دفعات( $3,000

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴 (𝑃/𝐴, 8%, 5) + 𝐺 (𝑃/𝐺, 8%, 5)

= 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) + 𝐺 (

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 − 𝑖 𝑛

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑛)

= $6,000 ∗ (3.9927) + $3,000 ∗ (7.3724)

= $46,073

𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (1 + 𝑖)𝑛

= $67,696

1 2 3 4 5

$18,000

𝑨𝟏 = $6,000

𝒊 = 𝟖%

5 $46,073 0.08

0

$6,000 0.08 5

$3,000 0.08 5



إن أ شكل من أشكال التخطيط أفضل

من عدم التخطيط على اإلطالق.

الثانيالحل( حساب :𝑨𝒆𝒒) ( ومن ثم حساب𝑭𝒆𝒒.)

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (𝐴/𝐺, 8%, 5)

= 𝐴1 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $6,000 + $3,000 ∗ (1

0.08−

5

(1 + 0.08)5 − 1)

= $6,000 + $3,000 ∗ (1.8465)

= $11,540

𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴𝑒𝑞(𝐹/𝐴, 8%, 5)

= 𝐴𝑒𝑞 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖)

= 11,540 (5.8666)

= $67,701

5

0.08



فاي حاد طالما أن الموت ليس هدفا

ذاته، فلماذا نعايش حيااة األماوات،

وكأنه الهدف األوحد في حياتنا؟

Year 1 2 3 4 5

Payment ($) 3,200 2,800 2,400 2,000 1,600

1 2 3 4 5

𝑨𝟏 = $3,200 $2,800

$2,400 $2,000

$1,600

0

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 − 𝐺 (𝐴/𝐺, 10%, 5)

= 𝐴1 − 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $3,200 − $400 ∗ (1

0.1−

5

(1 + 0.1)5 − 1)

= $3,200 − $400 ∗ (1.8101)

= $2,476

( يالحظ أن𝑨𝒆𝒒= $2,476( أكبر من متوسط )$2,400 ). إلزاحة بعض المبالغ يمينا

Find the equal annual series that would be equivalent for the following

decreasing series if the interest rate 10% compounded annually. Draw the

cash flow diagram.

𝒊 = 𝟏𝟎%

Recommended



الغضب هو ذلك السم الذ يبتلعه

أن يموت غيره. المرء آمال

What is the equal-payment series for 10 years that is equivalent to a

payment series starting with $15,000 at the end of the first year and

decreasing by $3,000 each year over 10 years? Interest is 9% compounded

annually.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

$12,000

$9,000

$6,000

$3,000

$3,000

$6,000

$9,000

$12,000

$15,000

𝒊 = 𝟗%

( يمكن حساب𝑨𝒆𝒒:مباشرة بتطبيق القانون )

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 − 𝐺 (𝐴/𝐺, 9%, 10)

= 𝐴1 − 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $15,000 − $3,000 ∗ (1

0.09−

10

(1 + 0.09)10 − 1)

= $15,000 − $3,000 ∗ (3.7978)

= $3,607



إذا جاءك الطعن من الخل

يعني أنك في المقدمة. فذاك

0 1 2 3 4 5

$200,000

40,000

80,000

120,000 160,000

𝒊 = 𝟏𝟐%

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = (𝑃𝐴 − 𝑃𝐺) ∗ 0.90

= {𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) − 𝐺 (

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 − 𝑖𝑛

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑛)} ∗ (0.90)

= {$200,000 ((1 + 0.12)5 − 1

0.12 (1 + 0.12)5)

−$40,000 ((1 + 0.12)5 − 1 − 0.12 ∗ 5

0.122 (1 + 0.12)5)} ∗ (0.90)

= ($720,955 − $255,881) ∗ 0.90

= $465,074 ∗ 0.90

= $418,567 > $400,000 (𝑂𝑘)

patented براءة اختراع

owing to نظرا لـ

A manufacturing firm is seeking a loan of $400,000 to finance production

of a newly patented product line. Owing to a good reception of the

product at its introductory showing, a bank had agreed to lend the firm

and amount equal to 90% of the present worth of firm orders received for

delivery during the next 5 years. The orders received are as follows:

50,000 during the first year.

40,000 during the second year.

30,000 during the third year.

20,000 during the fourth year.

10,000 during the fifth year.

If the product will set for $4 each, will the present worth of the orders

received justify the loan required? Interest is 12% compounded annually.



للحياة معان كثيرة لم يتعرف

أغلب الناس على معظمها.

What is the accumulated value at the end of year 4 of 4 annual beginning–

of–period deposits that start at $150 and increase by $50 every period?

Assume 𝑖 = 10% compounded annually.

.سنقوم أوال بتحويل السلسلة السابقة إلى سلسلة متساوية ومن ثم التعامل معها

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (𝐴/𝐺, 10%, 4)

= 𝐴1 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $150 + $50 (1

0.1−

4

(1 + 0.1)4 − 1)

= $150 + $50 (1.3812) = $219

( يمكن حساب𝑭 لهذه )( بداية المدة الرابعةالسلسلة عند نهاية السنة الثالثة.)

𝐹 = 𝐴𝑒𝑞(𝐹/𝐴, 10%, 4)

= 𝐴𝑒𝑞 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖)

= $219 ∗ ((1 + 0.1)4 − 1

0.1)

= $219 (4.641) = $1,016 (@ 𝑡 = 3)

اآلن( يمكن نقل𝑭.إلى نهاية السنة الرابعة )

𝐹′ = 𝐹 (𝐹/𝑃, 10%, 1)

= $1,016 ∗ (1 + 0.1)1 = $1,118

0 1 2 3 4

𝑨𝟏 =$150

$200

$250

$300

𝒊 = 𝟏𝟎%

Recommended



مجموعتينيمكن تقسيم الدفعات السابقة إلى:

( تباادأ ماان الساانة األولااى ولماادة عشاار 13$عبااارة عاان سلساالة دفعااات متساااوية ) المجموعااة األولااى

.من القانون مباشرة (0( لها عند السنة )𝑷𝟏حي يمكن حساب )سنوات،

عناد السانة الرابعاة عباارة عان سلسالة دفعاات متزايادة تبادأ المجموعة الثانية(𝒕 = كال ( وتازداد𝟒

(.3السنة )نهاية ( لها عند 𝑷𝟐( ولمدة سبع سنوات حي يمكن حساب )𝑮 = $3بمقدار ) سنة

( بعد حساب𝑷𝟐( عند )𝒕 = 𝒕يمكن نقلها إلى )( 𝟑 = (.𝑷/𝑭( بعالقة )𝟎

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴 (𝑃/𝐴, 12%, 10) + 𝐺 (𝑃/𝐺, 12%, 7) ∗ (𝑃/𝐹, 12%, 3)

= 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) + 𝐺 (

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 − 𝑖𝑛

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑛) ∗ (1 + 0.12)−3

= $13 ∗ (5.6502) + $3 ∗ (11.6443) ∗ (0.7118)

= $98.32

يتكلم بعض الناس أثناء نومهم، أما

الُمحاضرون فيتكلمون أثناء نوم اآلخرين.

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

𝑷 = ?

$31 $28 $25 $22 $19 $16

$13

0.12 10 0.12 7

𝒊 = 𝟏𝟐%

Recommended

For the cash flows shown, determine the present worth in year 0,

if the interest rate is 12% per year.

Year 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Cash Flow, $ 13 13 13 13 16 19 22 25 28 31



يمكن تقسيم الدفعات أعاله إلى مجموعات الدفعات التالية:

𝒕( عند )𝑷𝟏( نحسب لها )𝑨 = $1,000)دفعات متساوية ثالث - = 𝒕( ثم ننقلها إلى )𝟐 = 𝟏𝟓.)

𝒕( عند )𝑭𝟐( نحسب لها )𝐀 = $300ست دفعات متساوية ) - = .( مباشرة 𝟏𝟓

𝒕) ( عند𝑷𝟑) نحسب لها (𝑮 = $100ست دفعات متزايدة ) - = 𝒕) ( ثم ننقلها إلى𝟗 = 𝟏𝟓).

𝒕يتم نقلهما عند ) (5,000$( واألخرى )1,000$( أحدهما )singleدفعتان ) - = .( بإشارات سالبة𝟏𝟓

𝑃1 = 𝐴 (𝑃/𝐴, 10%, 3) = 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) = $2,487 (@𝑡 = 2)

𝐹1 = 𝑃1(𝐹/𝑃, 10%, 1) = 𝑃1(1 + 𝑖)13 = $8,586 (@𝑡 = 15)

𝐹2 = 𝐴 (𝐹/𝐴, 10%, 6) = 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 ) = $2,315 (@𝑡 = 15)

𝑃3 = 𝐺 (𝑃/𝐺, 10%, 6) = 𝐺 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1 − 𝑖 𝑛

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑛) = $968 (@𝑡 = 9)

𝐹3 = 𝑃3(𝐹/𝑃, 10%, 6) = 𝑃3 (1 + 𝑖)𝑛 = $1,715 (@𝑡 = 15)

𝐹4 = 𝑃4(𝐹/𝑃, 10%, 15) = 𝑃4 (1 + 𝑖)𝑛 = $4,177 (@𝑡 = 15)

𝐹5 = 𝑃5(𝐹/𝑃, 10%, 7) = 𝑃5 (1 + 𝑖)𝑛 = $9,744 (@𝑡 = 15)

𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐹1 + 𝐹2 + 𝐹3 − 𝐹4 − 𝐹5 = أحيانا تظل المرأة أنثى بعد زواجها. $1,305−

Find the future worth for the following CFD, 𝑖 = 10% compounded

annually.

0.1

0 3 4 5 6 10 15

$5,000

𝑨 = $1,000

$1,000

𝑨𝟏 = $300

1 2 7 8 11 9 12 13 14

$800

$1,000 3 0.1

$300 6

0.1

$100 6 0.1

$968 6

$1,000 15 0.1

0.1

$5,000 7 0.1

𝒊 = 𝟏𝟎%

Recommended



a)

b)

( يمكن تحويل سلسلة𝑮( إلى )𝑨𝒆𝒒:كما يلي )

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= 𝐾𝐷 (500 + 4.177 𝐺)

اآلن يمكن ( حساب𝑷𝟏 المكاف ة لسلسلة ) الدفعات المتساوية(𝑨𝒆𝒒.)

𝑃1 = 𝐴𝑒𝑞 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛)

= 𝐾𝐷 8.11 (500 + 4.177 𝐺)

= 𝐾𝐷 (4,055 + 33.88 𝐺)

السابقة، أخطاءكاغفر لنفسك

ال تجعلها تقتلك.

A deposit of KD 10,000 is used to provide a sequence of twenty

payments. The payments 1 through 10 form a uniform gradient series

which increase by an amount G. The first payment is equal to KD 500.

Payments 11 to 20 form an equal payment series and the value of each

payment is equal to the 10th payment.

a. Draw the cash flow diagram.

b. Calculate the gradient G.

c. Calculate the equivalent equal payment series made over 25 years.

(i = 4%, annual compounding).

20 10 2 1 0

𝑲𝑫 10,000

𝒊 = 𝟒%

11 12

𝑨 = 𝑲𝑫 (𝟓𝟎𝟎 + 𝟗 𝑮) 𝑲𝑫 (𝟓𝟎𝟎 + 𝟗 𝑮)

𝑨𝟏 = 𝑲𝑫 𝟓𝟎𝟎

3 4 5 6 7 8 9

𝑲𝑫 (500 + 4.177 G) 0.04 10

10

0.04

KD 500

13 14 15 16 17 18 19



كما تعتقد، وفي األمر ليس سي ا

الصباح سيبدو األمر أفضل.

( يمكن حساب𝑷𝟐( المكافئة لسلسلة الدفعات المتساوية ونقلها إلى )𝒕 = ( كما يلي:𝟎

𝑃2 = 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) ∗ (1 + 𝑖)−𝑛

= 𝐾𝐷 (500 + 9 𝐺)(8.11) ∗ (0.6756)

= 𝐾𝐷 (2,740 + 49.3 𝐺)

( يمكن مساواة𝑷𝟏 + 𝑷𝟐( بالمبلغ المودع )𝑲𝑫 10,000 إليجاد )𝑮).)

𝑃1 + 𝑃2 = $10,000

𝐾𝐷 (4,055 + 33.88 𝐺) + 𝐾𝐷 (2,740 + 49.3 𝐺) = 𝐾𝐷 10,000

∴ 𝐺 = 𝐾𝐷 38.5

c)

𝐴𝑒𝑞 = 𝑃 (𝑖 (1 + 𝑖)𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $10,000 (0.04 (1 + 0.04)25

(1 + 0.04)25 − 1)

= $640

( = 10t( من )2Pلنقل )

(.t = 0إلى )

10

0.04

10



تقسيم الدفعات إلى ثالث مجموعات يمكن:

( المجموعة األولى عبارة عن سلسلة متساوية بقيمة𝑨 = $50( بعدد )دفعات8 ).

( المجموعاة الثانياة عباارة عان سلسالة متزايادة بمقادار𝑮 = $20) تبادأ مان السانة الثانياة بعادد

𝒕))لها عند المكاف ة ( 𝑷𝑮يمكن حساب )حي ، (𝒏 = 7دفعات ) = 𝟏.

( وهي القيمة 60$دفعة وحيدة بمقدار )عند ) الزائدة عن السلسلة𝒕 = 𝟓).

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴 (𝑃/𝐴, 10%, 8) + 𝐺 (𝑃/𝐺, 10%, 7) ∗ (𝑃/𝐹, 10%, 1) + 𝐹 (𝑃/𝐹, 10%, 5)

= 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) + 𝐺 (

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 − 𝑖 𝑛

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑛) ∗ (1 + 0.1)−1

+ 𝐹 (1 + 0.1)−5

= $50 ∗ (5.3349) + $20 ∗ (12.7631) ∗ (0.9091) + $60 ∗ (0.6209)

= $536

يقضااي معظاام الناااس فااي اإلعااداد

لحفاااااالت مااااايالدهم أكثااااار مماااااا

يقضونه في التخطيط لحياتهم.

$60

$110

𝒊 = 𝟏𝟎% 𝐩𝐞𝐫 𝐲𝐞𝐚𝐫

0.1

0

7 0.1 8

Recommended

For the present worth in year 0 for the cash flows shown.

Let 𝑖 = 10% per year.



تسلط البعض ال يمكن حدوثه

إال عن طريق جبن آخرين.

مجموعتينيمكن تقسيم الدفعات السابقة إلى:

( تبدأ من السنة األولى8,000$دفعات متساوية ) (5) عبارة عن سلسلة المجموعة األولى.

عبااارة عاان سلساالة دفعااات متزاياادة) المجموعااة الثانيااة𝑮( تباادأ عنااد )𝒕 = حياا يااتم طاارح (𝟐

.السلسلة الثانية من السلسلة األولى إليجاد الصافي

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝐴(𝑃/𝐴, 10%, 5) − 𝐺 (𝑃/𝐺, 10%, 4) ∗ (𝑃/𝐹, 10%, 1)

= 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) − 𝐺 (

(1 + 𝑖)𝑛 − 1 − 𝑖𝑛

𝑖2 (1 + 𝑖)𝑛) ∗ (1 + 0.1)−1

$16,000 = $8,000 ∗ (3.7908) − 𝐺 ∗ (4.3781) ∗ (0.9091)

𝐺 = $3,600

1 2 3 4 5

$8,000 $8,000 $8,000 - 𝑮

$8,000 - 𝟐𝑮 $8,000 - 𝟑𝑮

0.1 4 0.1 5

0 𝒊 = 𝟏𝟎%

For the cash flows shown, determine the value of G such

that the present worth in year 0 equals $16,000 at an

interest rate of 10% per year.

Year 0 1 2 3 4 5

Cash Flow, $ 0 8000 8000 8000 − 𝐺 8000 − 2𝐺 8000 − 3𝐺



الهم أحد أنواع التعذيب الذاتي للنفس،

بعض الناس يتقنون هذا الفن!

إيجاد (𝑨𝒆𝒒 ) لسلسلة الدفعات السبعة المتزايدةالمكافئة:

𝐴𝑒𝑞 = 𝐴1 + 𝐺 (1

𝑖−

𝑛

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $300 + $200 (1

0.1−

7

(1 + 0.1)7 − 1)

= $824.3 (for seven years)

( إيجاد𝑭𝒆𝒒( المكافئة لسلسلة )𝑨𝒆𝒒بعدد سبع دفعات متساوية ):

𝐹𝑒𝑞 = 𝐴𝑒𝑞 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖)

= $824.3 ((1 + 0.1)7 − 1

0.1) = $7,820 @ (𝑡 = 8)

( إيجاد𝑨 ) لسلسلة ثمان دفعات متساويةالمكافئة:

𝐴 = 𝐹𝑒𝑞 (𝑖

(1 + 𝑖)𝑛 − 1)

= $7,820 (0.1

(1 + 0.1)8 − 1) ≃ $684

What equal annual amount must be deposited for 8 years in order to provide

withdrawals of $300 at the end of the second year, $500 at the end of the

third year, $700 at the end of the fourth year, and so on, up to $1500 at the

end of 8 year? The interest rate is 10% compounded annually?

0 1 2 3 8 7 6 4 5

$1,500 $1,300

$1,100 $900

$700 $500

𝑨𝟏 = $300

𝒊 = 𝟏𝟎%

Recommended



إما أن تفعل الشيء أو

.ال تفعله، كفى ترددا

Gradient Series-Geometric

Case 𝒊 #𝒈:

( يمكن إيجاد𝑷( باعتبار كل دفعة على حدة كأنها )𝑭.)

𝑷𝒈 =𝑨𝟏

(𝟏 + 𝒊)+

𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)

(𝟏 + 𝒊)𝟐+

𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)𝟐

(𝟏 + 𝒊)𝟑+ ⋯ ⋯ +

𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)𝒏−𝟏

(𝟏 + 𝒊)𝒏

( 𝟏بضرب طرفي المعادلة السابقة في + 𝒈) :ينتج أن

𝑷𝒈(𝟏 + 𝒈) = 𝑨𝟏 ((𝟏 + 𝒈)

(𝟏 + 𝒊)+

(𝟏 + 𝒈)𝟐

(𝟏 + 𝒊)𝟐+

(𝟏 + 𝒈)𝟑

(𝟏 + 𝒊)𝟑+ ⋯ ⋯ ⋯ ∙ +

(𝟏 + 𝒈)𝒏

(𝟏 + 𝒊)𝒏)

∎𝑰𝒇 𝒘𝒆 𝒍𝒆𝒕 (𝟏 + 𝒈

𝟏 + 𝒊) =

𝟏

(𝟏 + 𝒈′),

(𝟏 + 𝒈)𝟐

(𝟏 + 𝒊)𝟐=

𝟏

(𝟏 + 𝒈′)𝟐⋯ ⋯ ⋯ 𝒆𝒕𝒄

𝑷𝒈 (𝟏 + 𝒈) = 𝑨𝟏 (𝟏

(𝟏 + 𝒈′)+

𝟏

(𝟏 + 𝒈′)𝟐+

𝟏

(𝟏 + 𝒈′)𝟑+ ⋯ +

𝟏

(𝟏 + 𝒈′)𝒏)

𝑷𝒈(𝟏 + 𝒈) = 𝑨𝟏 ((𝟏 + 𝒈′)𝒏 − 𝟏

𝒈′(𝟏 + 𝒈′)𝒏)

∴ 𝑷𝒈 =𝑨𝟏

𝟏 + 𝒈(

(𝟏 + 𝒈′)𝒏 − 𝟏

𝒈′(𝟏 + 𝒈′)𝒏 ) = 𝑨𝟏

𝟏 + 𝒈(𝑷/𝑨, 𝒈′, 𝒏) (𝒊 ≠ 𝒈)

∎(𝒊 > 𝑔) ⇒ 𝒈′ = +v𝒆, (𝒊 < 𝑔) ⇒ 𝒈′ = −v𝒆

Factor of (𝑷/𝑨, 𝒊, 𝒏)

𝑨𝟏 𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)

𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)𝟐

𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)𝒏−𝟏

0 1 2 3 𝒏

االستنتاج

غير مطلوب



أطلقه، فإن إذا كنت تحب شي ا

عاد إليك فهو ملكك لألبد.

Case (𝒊 = 𝒈):

𝑷𝒈 =𝑨𝟏

(𝟏 + 𝒊)+

𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)

(𝟏 + 𝒊)𝟐+

𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)𝟐

(𝟏 + 𝒊)𝟑+ ⋯ ⋯ ⋯ ∙ +

𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)𝒏−𝟏

(𝟏 + 𝒊)𝒏

= 𝑨𝟏 (𝟏

(𝟏 + 𝒊)+

𝟏

(𝟏 + 𝒊)+

𝟏

(𝟏 + 𝒊)+

𝟏

(𝟏 + 𝒊)+ ⋯ ⋯ +

𝟏

(𝟏 + 𝒊))

𝑷𝒈 = 𝑨𝟏

𝒏

𝟏 + 𝒊

دفعة نطبق المعادلة التالية: آخرإليجاد قيمة

𝑨𝒏 = 𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)𝒏−𝟏

( إليجاد قيمة أ دفعة عند أ زمن𝒕نطبق ) :المعادلة التالية

𝑨𝒕 = 𝑨𝟏 (𝟏 + 𝒈)𝒕−𝟏

( يمكن حساب قيمة𝑷𝒈( بقانون بديل بدون حساب )𝒈′) :كما يلي

𝑷𝒈 = 𝑨𝟏 (𝟏 − (

𝟏 + 𝒈𝟏 + 𝒊

)𝒏

𝒊 − 𝒈) (𝒊 # 𝒈)

أسرع

وأسهل



أعتقد أنه قد آن األوان ألن نجعل من

منظما .االضطراب النفسي والهم شي ا

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

𝒊 = 𝟒%

0

𝑨𝟏 = $𝟗𝟎𝟎

يمكن تطبيق القانون مباشرة ( لحساب𝑷𝒈.)

𝑃𝑔 = 𝐴1 ∗ (𝑛

1 + 𝑖) (𝑖 = 𝑔)

= $900 ∗10

(1 + 0.04)

= $8,654

Find the present value for the following geometrically increasing

series of payments?

Recommended



بعض الناس تحزن إن لم

تجد مشاكل تتحدث عنها.

الحل األول:

𝑔′ = (1 + 𝑖)

(1 + 𝑔)− 1 = 0.2941

𝑃𝑔 = 𝐴1

1 + 𝑔(

(1+𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′(1 + 𝑔′)𝑛) = $36,965,660

(أسهل: )حل آخر

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔) = $36,963,856

𝑨𝟏 = $10,000,000

عدد البراميل مضروبا

في سعر كل برميل

:10A حساب قيمة في حال طلب

𝐹 = 𝑃(1 + 𝑔)𝑛−1

= $10,000,000 ∗ (1 − 0.15)9

= $2,316,169

1 2 3

0.1

10 $10,000,000

0.10 -0.15

10

10 0

-0.15

-0.15

-0.15

$10,000,000

0.2941

𝒊 = 𝟏𝟎 %

wells آبار

prospective المحتمل

Recommended

A petroleum engineer estimates that the present production of

400,000 barrels of oil during this this year from a group of 10 wells

will decrease at the rate of 15% per year for years 2 through 10. Oil is

estimated to be worth $25 per barrel. If the interest rate is 10%

compounded annually, what is the equivalent present amount of the

prospective future receipts from the wells?



ال يمكنك تخطي حدود

تصورك لذاتك.

الحل األول( باستخدام القانون المباشر بدون حساب :𝒈′)

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔)

$10,000 = 𝐴1 (1 − (

1 + 0.051 + 0.12

)12

0.12 − 0.05) ⇒ 𝐴1 = $1,299

الحل الثاني( بحساب :𝒈′)

𝑔′ =1 + 𝑖

1 + 𝑔− 1 =

1 + 0.12

1 + 0.05− 1 = 0.0667

𝑃𝑔 =𝐴1

1 + 𝑔(

(1 + 𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′ (1 + 𝑔′)𝑛)

$10,000 =𝐴1

1 + 0.05(

(1 + 0.0667)12 − 1

0.0667 (1 + 0.0667)12) ⇒ 𝐴1 = $1,299

( يمكن حساب𝑨𝟏𝟎 )من المعادلة:

𝐴𝑛 = 𝐴1 (1 + 𝑔)𝑛−1

= $1,299 (1 + 0.05)9 = $2,015

For the attached cash flow determine the value of the first payment and

payment number (10) for the attached geometric series. The payment

increasing at 5% per year to year 12 at an interest rate of 12% annually

𝑷 = $10,000

0

𝑨𝟏

𝑨𝟏𝟎

𝒊 = 𝟏𝟐%

1 3 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Recommended



الحل األول:

𝑃 = 𝐹1

( 1 + 𝑔 )(

(1 + 𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′(1 + 𝑔′)𝑛)

𝑺𝒐𝒍𝒗𝒊𝒏𝒈 𝒖𝒔𝒊𝒏𝒈 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒕𝒐𝒓 ⟹ 𝑔′ = 0.2

𝑔′ = ( 1 + 𝑖 )

( 1 + 𝑔 )– 1

0.2 = (1 + 𝑖 )

(1 − 0.1)− 1 ⟹ 𝑖 = 0.08 = 8 %

(:أسهل: )حل آخر

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔)

𝑺𝒐𝒍𝒗𝒊𝒏𝒈 𝒖𝒔𝒊𝒏𝒈 𝒄𝒂𝒍𝒄𝒖𝒍𝒂𝒕𝒐𝒓 ⟹ 𝑖 = 0.08 = 8%

قُ ع المصيبة وانتظارها تَوَّ

من وقوعها. أشد ألما

$14,780

- 0.1

6

6 5 4 3 2 1

𝑷𝟏 =$14,780

𝑨𝟏 = $4,000

0

𝒊 = ?

$4,000

$14,780 $4,000

6 -0.10

≈

Recommended

$14,780 was invested, from which can be withdrawn a geometric

gradient series of annual payments decreasing at the rate of 10% per

year. The first payment received was $4,000, and it occurred one year

after the investment, followed by the remaining five payments (a total of

6 withdrawals). What is the rate of interest earned from this investment?



( سيتم حساب𝑷𝒈( بداللاة )𝑨𝟏( ومان ثام تحويال )𝑷𝒈( إلاى )𝑭𝒈 ومسااواتها باـ )

(.𝑨𝟏( إليجاد قيمة )$80,000)

𝑃𝑔 = 𝐴1 ((1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

)

𝑖 − 𝑔) = 6.914 𝐴1

𝐹𝑔 = 𝑃𝑔(1 + 𝑖)𝑛 = 27.97 𝐴1

27.97 𝐴1 = $80,000 ⟹ 𝐴1 = $2,860

توقعاتنا تمثل نبوءات مستقبلنا.

10 9 2 1

𝑨𝟏

𝑭 = $80,000

𝒊 = 𝟏𝟓%

0

10

0.15

0.09

10 0.15

3 4 5 6 7 8

The future worth in year 10 of a geometric gradient series of

cash flows was found to be $80,000. If the interest rate was

15% per year and the annual rate of increase was 9% per year,

what was the cash flow amount in year 1?



ومساواةتطبيق القانون مباشرة يمكن (𝑷𝒈 بالقيمة المعطاة لحساب )(𝒏).

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔)

$88,146 = $25,000 ∗ (1 − (

1 + 0.181 + 0.10

)𝑛

0.10 − 0.18)

3.5258 =1 − (

1.181.10

)𝑛

−0.08

1.2821 = (1.18

1.10)

𝑛

log (1.2821) = 𝑛 ∗ log (1.073)

𝑛 = 3.53 ≃ 4 𝑦𝑒𝑎𝑟𝑠 جحيم الدنيا أن يكون المرء سجين خوف

أو تردد، بعض الناس يجمع بينهما.

Suppose that the present worth of an increasing geometric gradient is

$88,146. If the cash flow in year 1 is $25,000 and the gradient increase

is 18% per year. Find the value of n given that the interest rate is 10%

per year

1 0 𝒏

𝑨𝟏 = $25,000

𝒊 = 𝟏𝟎% 2



أن تتركها حياتك أهم من

للحظ يفعل بها ما يشاء.

What is the amount of 10 equal annual deposits that can provide five annual

withdrawals, where a first withdrawal of $3,000 is made at the end of year 11

and subsequent withdrawals increase at the rate of 6% per year over the

previous year, if the interest rate is 6% compounded annually?

10 2 1 0 11 12 13 14 15

𝑨𝟏 = $3,000

𝑨 = ?

𝒊 = 𝟔%

( يمكن حساب𝑭( المكاف ة لسلسلة الادفعات المتسااوية عناد نهاياة السانة العاشارة بداللاة )𝑨 ،)

.عند السنة العاشرة ومساواتهما ( للدفعات الخمس المتزايدة𝑷) واعتبارها بمثابة

𝐹𝐴 = 𝐴 (𝐹/𝐴, 6%, 10) (@ 𝑡 = 10)

= 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖) = $13.18 𝐴

𝑃𝑔 = 𝐴1 (𝑛

1 + 𝑖) (𝑖 = 𝑔)

= $3,000 ∗ (5

1 + 0.06) = $14,151 (@ 𝑡 = 10)

$13.18 𝐴 = $14,151

𝐴 = $1,074

10 ?

0.06

3 4 5 6 7 8 9

Recommended



لن تستطيع فعل أكثر

عن نفسك. همما تعتقد

Income from mining mineral deposits usually decreased as the resource

becomes more difficult to extract. Determine the future worth in year 10 of

a mineral lease that yielded income of $14,000 in year 1 through 4 and then

the amounts decreased by 5% per year through year 10. Use interest rate of

18% per year.

10 4 3 2 1 0

𝑨 = $14,000

𝒊 = 𝟏𝟖% (𝒑𝒆𝒓 𝒚𝒆𝒂𝒓)

( يمكن إيجاد القيمة المكاف ة𝑭( لعدد )( دفعات متساوية )3𝑨 = 𝒕( عند )$14,000 = 𝟑.)

𝐹 = 𝐴 ((1 + 0.18)3 − 1

0.18) = $50,014

المكاف ة )إيجاد القيمة يمكن𝑷( لسلسة الدفعات المتناقصة )𝑨𝟒 → 𝑨𝟏𝟎( عند )𝒕 = 3.)

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)7

𝑖 − 𝑔) = $47,525

( يمكن نقل القيمتين من𝒕 = 𝒕( إلى )𝟑 = .(𝑭/𝑷, 𝒊, 𝒏)( بالعالقة 𝟏𝟎

𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑔 (1 + 𝑖)𝑛 = $310,707

$14,000

$14,000

- 0.05

0.18 -0.05

0.18 7

5 8 6 7 9

($50,014 + 47,525)

Recommended



الحل األول( بدون حساب :𝒈′)

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔)

= $2,000 ∗ (1 − (

1 + 0.051 + 0.12

)10

0.12 − 0.05) = $13,587

الحل الثاني :( بحساب𝒈′( ومن ثم حساب )𝑷𝒈)

𝑔′ =1 + 𝑖

1 + 𝑔− 1 = 0.0667

𝑃𝑔 =𝐴1

1 + 𝑔(

(1 + 𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′(1 + 𝑔′)𝑛) = $13,585

البعض ينشر السعادة أينما ذهب،

البعض يخلفها وراءه متى ذهب.

A geometrically increasing series of payment starts at the end of first year

with $2,000 and increasing at 5% per year to year 10 at an interest rate of

12% annually. What is the present value of this series?

10 3 2 1 0

𝑷 = ?

𝑨𝟏 = $2,000

𝒊 = 𝟏𝟐%

$3,103

0.12

0.0667

0.05

$2,000 10

0.05

4 5 6 7 8 9



العجياااب أن أغلبناااا يساااعى فقاااط

لتجنب األلم، ال إليجاد السعادة.

What is the present value of the following?

a. A first-year base of $11,000 decreasing by 12% per year, to year 10 with

an interest rate of 17% per year?

b. A first-year base of $15,000 increasing by 8% per year, to year 8 with an

interest rate of 13% per year?

a)

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔) = $35,733

b)

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔) = $91,126

𝑨𝟏 = $11,000

10 1 0

1 0 8

𝒊 = 𝟏𝟕%

𝒊 = 𝟏𝟑%

𝑨𝟏 = $15,000

2

$11,000

-0.12

0.17 -0.12

10

$15,000

0.08 8

0.13

2 3 4 5 6 7

9 8 7 6 5 4 3



األم النشيطة تعلم

ابنتها الكسل.

29,231$حساب ل

= $15,000 ∗ (𝟏 + 𝟎. 𝟏)𝟕

ال.لكن حسابها ليس ضروريا بهذا السؤ

b)

األولحل ال: ( بدون حساب𝒈′.)

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔)

= $96,834

الثاني الحل: ( حساب𝒈′) ( ومن ثم حساب𝑷𝒈.)

𝑔′ =(1 + 𝑖)

(1 + 𝑔)− 1 =

(1 + 0.13)

(1 + 0.10)− 1 = 0.02727

𝑃 =𝐴1

(1 + 𝑔)[(1 + 𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′(1 + 𝑔′)𝑛]

=$15,000

(1 + 0.1)∗ [

(1 + 0.02727)8 − 1

0.02727 ∗ (1.02727)8]

= $96,835

0 1 2

$29,231

$15,000

𝒊 = 𝟏𝟑%

$15,000

0.10 8

0.13

Recommended

What is the present value of the following geometrically increasing series

of payments?

a. A first-year base of $900 increasing at 4% per year to year to year 10

at an interest rate of 12%. Answer: $5,889.

b. A first-year base of $15,000 increasing at 10% per year to year 8 with

an interest rate of 13%.

c. A first-year base of $1,000 increasing at 8% per year to year 20 with

an interest rate of 8%.



ظهور أمارات السعادة عليك

تجذب إليك أروع البشر.

الحل األول: ( بدون حساب𝒈′)

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔) = $119,804

حساب: الثانيالحل(𝒈′( ومن ثم حساب )𝑷𝒈.)

𝑔′ = (1 + 𝑖)

(1 + 𝑔)− 1 = 0.02857

𝐴1 = $42,000 ∗ 0.15 = $6,300

𝑃𝑔 = 𝐴1

(1 + 𝑔)(

( 1 + 𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′( 1 + 𝑔′)𝑛)

= $6,300

( 1 + 0.05)∗ (

( 1 + 0.02857)30 − 1

0.02857 ∗ (1 + 0.02857)30) = $119,807

يمكن حساب اآلن (𝑭𝒈 ) بمعلومية(𝑷𝒈).

𝐹𝑔 = 𝑃𝑔 ( 1 + 𝑖)𝑛 = $1,205,547

0 1 2 3

𝑨𝟏 = $6,300

30

𝒊 = 𝟖%

0.08

0.05

($42,000 * 0.15)

0.05 30

0.05 0.08

$119,804 0.08 30

∫ ∫

∫ ∫

anticipates توقعي

retire يتقاعد

An individual's salary is now $42,000 per year, and she anticipates retiring

in 30 years. If her salary is increased by 5% each year and she deposits

15% of her yearly salary into a fund that earns 8% interest compounded

annually, what will be the amount accumulated at the time of retirement?



كل المصائب إذا عظمت،

فموصول بها فرج قريب.

0 1 2 3

41

$5,481

$200,000

𝒊 = 𝟏𝟑. 𝟓%

c)

الحل األول :( حساب𝑷𝒈( مباشرة بدون حساب )𝒈′.)

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔) = $904,851

الثانيالحل: ( حساب𝒈′) ( ومن ثم حساب𝑷𝒈.)

𝑔′ = (1 + 𝑖)

(1 + 𝑔)− 1

= (1 + 0.135)

(1 − 0.086)− 1 = 0.2418

𝑃𝑔 = 𝐴1

(1 + 𝑔)[(1 + 𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′(1 + 𝑔′)𝑛]

= $200,000

(1 − 0.086)∗ [

(1 + 0.2418)41 − 1

0.2418 ∗ (1.2418)41] = $904,830

$200,000 41

-0.086

0.135 -0.086

∫ ∫

∫ ∫

Recommended

What is the present value of the following geometrically decreasing

series of payments?

a. A first-year base of $9,000 decreasing by 10% per year to year 10

with an interest rate of 17%. Answer: $30,915.

b. A first-year base of $1,000,000 decreasing by 25% per year to

year 4 with an interest rate of 15%.

c. A first-year base of $200,000 decreasing by 8.6% per year to year

41 with an interest rate of 13.5%.



كلمااا صااعد أحاادهم باتجاااه القمااة

تطوع كثيرون لسحبه إلى القاع.

a)


𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔)

= $9,000 (1 − (

1 − 0.111 + 0.18

)10

0.18 − (−0.11)) = $29,186

الحل الثاني( حساب :𝒈′) ( ومن ثم حساب𝑷𝒈.)

𝑔′ =1 + 𝑖

1 + 𝑔− 1 =

1 + 0.18

1 − 0.11− 1 = 0.326

𝑃𝑔 =𝐴1

1 + 𝑔(

(1 + 𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′ (1 + 𝑔′)𝑛)

=$9,000

1 − 0.11(

(1 + 0.326)10 − 1

0.326(1 + 0.326)10)

= $29,174

What is the present value of the following geometrically series of

payments?

a. A first year base of $9,000 decreasing by 11% per year to year 10

with an interest rate of 18%.

b. A first year base of $15,000 increasing at 10% per year to year 9

with an interest rate of 12%.

1 2 10 0

𝒊 = 𝟏𝟖%

𝑨𝟏 = $9,000

$3,153

3 4 5 6 7 8 9



b)


𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔)

= $15,000 (1 − (

1 + 0.11 + 0.12

)9

0.12 − 0.1) = $112,275

الحل الثاني( حساب :𝒈′) ( ومن ثم حساب𝑷𝒈)

𝑔′ =1 + 𝑖

1 + 𝑔− 1 =

1 + 0.12

1 + 0.1− 1 = 0.0182

𝑃𝑔 =𝐴1

1 + 𝑔(

(1 + 𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′ (1 + 𝑔′)𝑛)

=$15,000

1 + 0.1(

(1 + 0.0182)9 − 1

0.0182 (1 + 0.0182)9)

= $112,266

لن ال تقلق مما قد يحدث، فهو

يحدث إال عندما تقلق.

1 0 9

𝒊 = 𝟏𝟐%

𝑨𝟏 =$15,000

2

= $32,154 8$15,000 (1 + 0.1)

3 4 5 6 7 8



الصداقة المزيفة كالطير المهاجر

يرحل إذا ساء الجو.

يمكن حساب(𝑷𝟏) ( للسبع سنوات األولى كقيمة وحيدة عند𝒏 = 𝟎:)

𝑔′ = (1 + 𝑖)

(1 + 𝑔)− 1 = 0.0648

𝑃1 =𝐴1

(1 + 𝑔)(

(1 + 𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′(1 + 𝑔′)𝑛) = $25,409

يمكن حساب(𝑷𝟐) ( سنة التالية 13للـ )تتجمع عند ) حي أنها𝒏 = 𝟕:)

𝑔′ = (1 + 𝑖)

(1 + 𝑔)− 1 = −0.0278

𝑃2 = 𝐹1

(1 + 𝑔)(

(1 + 𝑔′)𝑛 − 1

𝑔′(1 + 𝑔′)𝑛) = $126,350

يمكن نقل(𝑷𝟐) ( عند𝒏 = :(𝑷𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍( إليجاد )𝑷𝟏)( وجمعها مع 𝟎

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃1 + 𝑃2 (1 + 𝑖)−𝑛 = $72,909

$21,579

20 8 7 1 0

5 % 15%

𝑨𝟏 = $5,000

𝑭𝟏 = $8,569 $7,934

0.15

0.08

$5,000

0.08

7

0.0648

0.05

0.08

$8,569 13

0.08 - 0.0278

7 0.15

× × ×

$126,350

$25,409

2 3 4 5 6 ∫ ∫

∫ ∫

Recommended

A cash flow series is increasing geometrically at the rate of 8%

per year. The initial payment at 𝑡 = 1 is $5,000, with increasing

annual payments ending at 𝑡 = 20. The interest rate in effect is

15% compounded annually for the first 7 year and 5%

compounded annually for the remaining 13 years. Find the

present amount that is equivalent to this cash flow.



قيام بأشياء نمقتها وشراء أشياء لللماذا نضطر

نحتاجها إلثارة إعجاب أشخاص ال نحبهم.ال

( يمكن حساب𝑷𝒈( لعدد )( دفعة عند )14𝒕 = ( كما يلي:𝟑

𝑃𝑔 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔)

= 𝐾𝐷 700 (1 − (

1 + 0.151 + 0.1

)14

0.1 − 0.15)

= 𝐾𝐷 12,086

( يمكن اآلن نقل𝑷𝒈( من )𝒕 = 𝒕( إلى )𝟑 = ( كما يلي:𝟎

𝑃 = 𝑃𝑔 (1 + 𝑖)−𝑛

= 𝐾𝐷 12,086 (1 + 0.1)−3

= 𝐾𝐷 9,080

( الـ𝑷( المحسوبة عند )𝒕 = (:𝒙( تكافئ دفعتي الـ )𝟎

𝑃 = 𝑥 + 𝑥 (1 + 0.1)−1

𝐾𝐷 9,080 = 1.909 𝑥

𝑥 = 𝐾𝐷 4,756

In the cash flow diagram shown below, the two equal deposits (x) at

t = 0, and t = 1 are used to provide payments which start at the end of

the fourth year at a value of KD 700. The payments increase annually at

a rate of 15%. The interest rate is 10% per year. Calculate value of x.

𝑨𝟏 = 𝑲𝑫 𝟕𝟎𝟎

𝒙

𝒙

𝒊 = 𝟏𝟎%

(17⟵3دفعة ) 14عدد الدفعات =

0 1 3 4 5 6 7 14 15 16 17 years

∫ ∫

∫ ∫ 2

Recommended



( يمكن حساب𝑷𝒕𝒐𝒕𝒂𝒍( عند )𝒕 = ( بتقسيم الدفعات كما يلي:𝟎

𝑨بقيمة ) (موجبة) دفعات متساوية ألعلى تسع (1 = $𝟓𝟎𝟎.)

1,000$بقيمة ) (موجبة) وحيدة ألعلىدفعة (2 − $𝟓𝟎𝟎 = 𝒕( عند )$𝟓𝟎𝟎 = 𝟒.)

𝟕𝟓𝟎$بقيمة ) (موجبة) دفعة وحيدة ألعلى (3 − $𝟓𝟎𝟎 = 𝒕( عند )$𝟐𝟓𝟎 = 𝟖.)

𝒕( عناد )800$( تبدأ بقيمة )%10متناقصة بمقدار ) (سالبة) دفعات ألسفل خمس (4 = حيا (𝟔

𝒕يمكن تجميعها عند ) = 𝒕( ثم نقلها إلى )𝟓 = 𝟎).

𝑃1 = 𝐴 (𝑃/𝐴, 12%, 9) ∗ (𝑃/𝐹, 12%, 1)

= 𝐴 ((1 + 𝑖)𝑛 − 1

𝑖 (1 + 𝑖)𝑛) ∗ (1 + 0.12)−1 = $2,379

𝑃2 = 𝐹 (𝑃/𝐹, 12%, 4) = 𝐹 (1 + 𝑖)−𝑛 = $318

𝑃3 = 𝐹 (𝑃/𝐹, 12%, 4) = 𝐹 (1 + 𝑖)−𝑛 = $101

𝑃4 = 𝐴1 (1 − (

1 + 𝑔1 + 𝑖

)𝑛

𝑖 − 𝑔) (1 + 𝑖)−𝑛 = $1,372

𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃1 + 𝑃2 + 𝑃3 − 𝑃4 = $1,426

𝐹𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑃𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 (1 + 𝑖)𝑛 = $4,429

قد يجد الجبان ثالثين حال لمشكلته،

الفرار.لكن ال يعجبه منها سوى

$500

0.12 9

For the cash flow diagram shown below, calculate the future value at

t = 10 and the present value at t = 0 if the interest rate is 12%


0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

𝑨 = $500 $750

$1,000

𝑨𝟏 = $𝟖𝟎𝟎

$500 0.12 4

$250 0.12 8

𝒊 = 𝟏𝟐%

$800

-0.10 5

-0.10

0.12

$1,426 0.12 10

0.12 5

تدريب

الدفعات إلى جرب نقل

(𝒕 = ( مباشرة.𝟎

Engineering Economy Week 3 Gradient · PDF fileJune 2016)HS Engineers( مكتانق ىلع...

Documents

Transcript of Engineering Economy Week 3 Gradient · PDF fileJune 2016)HS Engineers( مكتانق ىلع...