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UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
ENGENHARIA FÍSICA
FENÔMENOS DE TRANSPORTE B
Prof. Dr. Sérgio R. Montoro
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TRANSFERÊNCIA DE CALOR
ENGENHARIA FÍSICA
AULA 4
CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
PROBLEMAS COM PARÂMETRO CONCENTRADO
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
INTRODUÇÃO
Nos problemas de transferência de calor por condução até aqui
considerados, as temperaturas eram independentes do tempo. Entretanto,
em muitas aplicações, as temperaturas variam com o tempo. A análise
destes problemas em regime transiente pode ser feita através da equação
geral da condução. O presente tema trata, inicialmente, do caso
unidimensional para o qual a equação geral da condução se reduz a:
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
INTRODUÇÃO
Para a solução da equação 1 são necessárias duas condições de
contorno na direção x e uma no tempo. Condições de contorno, como o
próprio nome diz, são frequentemente especificadas ao longo das
extremidades físicas do corpo, podendo também ser internas, como, por
exemplo, um gradiente de temperatura conhecido numa linha de simetria
interna. Em geral, a condição no tempo é a temperatura inicial.
t
T
x
T
12
2
Equação 1
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
NÚMEROS DE BIOT E FOURIER
Em alguns problemas em regime transiente, os gradientes internos
de temperatura no corpo podem ser muitos pequenos e de pouco
interesse prático. Ainda assim a temperatura numa dada posição, ou a
temperatura média do objeto, pode estar variando rapidamente com o
tempo. Da equação 1 pode-se notar que este poderia ser o caso para uma
difusibilidade térmica muito grande.
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
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Uma abordagem mais significativa é considerar o problema geral
do resfriamento em regime transiente de um objeto, como o cilindro oco
mostrado na figura abaixo.
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
NÚMEROS DE BIOT E FOURIER
Para ri muito grande, a taxa de transferência de calor por
condução através da parede do cilindro é aproximadamente,
L
TTlrk
rr
TTlrkq si
s
is
iss 22 Equação 2
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
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Onde l é o comprimento do cilindro e L a espessura do material. O fluxo de
calor que deixa a superfície externa do cilindro por convecção é:
Onde h é o coeficiente médio de transferência de calor por convecção ao
longo de toda a superfície.
Equação 3 TTlrhq ss2
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
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Igualando a equação 2 com a equação 3, temos que:
k
hL
TT
TT
s
siNúmero de Biot Equação 4
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O número de Biot é adimensional e pode ser interpretado como a razão:
Bi = Resistência ao fluxo interno de calor
Resistência ao fluxo externo de calor
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
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Sempre que o número de Biot for pequeno, os gradientes
internos de temperatura serão também pequenos e o problema transiente
pode ser tratado pelo método da “capacidade térmica concentrada”,
onde o objeto da análise é considerado numa única temperatura média.
Na derivação anterior, a dimensão característica do corpo foi o
comprimento ao longo do qual o calor se propaga por condução, L = rs – ri.
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
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Em geral, a dimensão característica (S) pode ser encontrada
dividindo-se o volume do sólido pela sua área superficial:
S
S
A
VS
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
NÚMEROS DE BIOT E FOURIER
Usando este método para a determinação de S, objetos com
contornos semelhantes a placas, cilindros ou esferas podem ser
considerados numa temperatura uniforme, sendo o erro resultante menor
que 5% se o número de Biot for menor que 0,1.
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
NÚMEROS DE BIOT E FOURIER
O número de Fourier é o tempo adimensional obtido multiplicando-
se o tempo pela difusibilidade térmica e dividindo-se pelo quadrado da
dimensão característica.
FoS
t
2
Tempo adimensional
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
ANÁLISE CONCENTRADA
Um problema típico que pode ser tratado pela análise
concentrada, se o número de Biot for adequadamente pequeno, é o do
resfriamento de um objeto metálico após um processo de conformação a
quente. Na figura a seguir, h é o coeficiente médio de transferência de
calor para toda a área superficial AS. Energia térmica deixa o corpo por
todos os elementos da superfície; isto é mostrado por simplicidade por
uma flecha.
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
ANÁLISE CONCENTRADA
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
ANÁLISE CONCENTRADA
A primeira lei da termodinâmica aplicada a este problema fica:
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
ANÁLISE CONCENTRADA
PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS EM REGIME TRANSIENTE
Problemas com parâmetros concentrados temos essa classe de
problemas quando:
T(x,t) T(t)
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
ANÁLISE CONCENTRADA
PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS EM REGIME TRANSIENTE
Se:
T1 T2 T3CALOR T1 < T2 < T3
t = 0 t = 1s t = 2s
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
ANÁLISE CONCENTRADA
PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS EM REGIME TRANSIENTE
Considere a situação abaixo:
k
T1 < T2 T1T2
T
h
x
T1 T2 T
Rcond Rconv
qcond = qconv
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
ANÁLISE CONCENTRADA
PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS EM REGIME TRANSIENTE
qcond = qconv
TThA
x
TTkA 2
21
k
xh
TT
TT
2
21
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
ANÁLISE CONCENTRADA
PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS EM REGIME TRANSIENTE
k
xhTTTT
221
Se: k
xhfor baixo o suficiente, T1 T2
k
xhNúmero de Biot
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
ANÁLISE CONCENTRADA
PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS EM REGIME TRANSIENTE
Quando a resistência de condução no sólido for inferior à
resistência de convecção externa, a variação de temperatura no sólido
é pequena.
hA
kAx
R
RBi
conv
cond
/1
/
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
ANÁLISE CONCENTRADA
PROBLEMAS UNIDIMENSIONAIS EM REGIME TRANSIENTE
Biot mostrou que se Bi 0,1 o método é aplicável
De forma geral:
k
ShBi
S
S
A
VS onde:
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CONDUÇÃO EM REGIME TRANSIENTE
ANÁLISE CONCENTRADA
EQUAÇÕES PARA O PROCESSO CONCENTRADO
k
ShBi
S
S
A
VS
mteTT
TtT
0
)(
sp Lc
hm
OBS: Bi 0,1 (vale a hipótese de análise transiente por parâmetros concentrados)
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EXERCÍCIOS
ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA (PARÂMETRO CONCENTRADO)
1) Uma esfera sólida de cobre de 10 cm de diâmetro [ = 8.954 kg/m3,
Cp = 383 J/(kg.ºC), k = 386 W/m.ºC], inicialmente a uma temperatura uniforme T
= 250ºC, é repentinamente imersa em um fluido bem agitado, que é mantido a
uma temperatura uniforme T∞ = 50ºC. O coeficiente de calor entre a esfera e o
fluido é h = 200 W/m2.ºC.
a) Verifique se é possível aplicar a análise global do sistema.
b) Se for possível, determine a temperatura da esfera de cobre em t = 5, 10 e 20
minutos depois da imersão.
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EXERCÍCIOS
ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA (PARÂMETRO CONCENTRADO)
2) Uma barra de ferro de 1 m de comprimento, cilíndrica [ = 7.800 kg/m3,
Cp = 460 J/(kg.ºC), k = 60 W/m.ºC], de diâmetro D = 5 cm, inicialmente na
temperatura T = 700ºC, é exposta a uma corrente de ar à temperatura T∞ = 100ºC.
O coeficiente de transferência de calor entre a corrente de ar e a superfície da
barra de ferro é h = 80 W/m2.ºC.
a) Verifique se é possível utilizar o método de análise global do sistema.
b) Se for possível, determine o tempo necessário para que a temperatura da barra
atinja 300ºC.
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EXERCÍCIOS
ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA (PARÂMETRO CONCENTRADO)
3) Empregando a análise global do sistema, determine o tempo necessário para
que uma esfera maciça de aço, com diâmetro D = 5 cm [ = 7.833 kg/m3,
Cp = 0,465 kJ/(kg.ºC), k = 54 W/m.ºC], esfrie de 600ºC até 200ºC quando exposta
a uma corrente de ar a 50ºC tendo um coeficiente de transferência de calor
h = 100 W/m2.ºC.
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EXERCÍCIOS
ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA (PARÂMETRO CONCENTRADO)
4) Uma esfera de alumínio com 3 cm de diâmetro [ = 2.700 kg/m3,
Cp = 0,896 kJ/(kg.ºC), k = 204 W/m.ºC] está inicialmente a uma temperatura
T = 175ºC. De repente, ela é imersa em um fluido agitado a T∞ = 25ºC. A
temperatura da esfera cai para T(t) = 100ºC em t = 42 s. Calcule o coeficiente de
transferência de calor.
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EXERCÍCIOS
ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA (PARÂMETRO CONCENTRADO)
5) Uma esfera sólida de metal de 10 cm de diâmetro [ = 8.954 kg/m3,
Cp = 383 J/(kg.ºC), k = 400 W/m.ºC], inicialmente a uma temperatura uniforme
T = 230ºC, é repentinamente imersa em um fluido bem agitado, que é mantido
a uma temperatura uniforme T∞ = 40ºC. O coeficiente de calor entre a esfera e
o fluido é h = 220 W/m2.ºC.
a) Verifique se é possível aplicar a análise global do sistema.
b) Se for possível, determine a temperatura da esfera de metal em t = 5, 10 e 20
minutos depois da imersão (RESPOSTAS: 100ºC; 59ºC; 42ºC)
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EXERCÍCIOS
ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA (PARÂMETRO CONCENTRADO)
6) A temperatura de um fluxo de gás deve ser mantida por um termopar cuja
junção pode ser aproximada como sendo uma esfera de 1,2 mm de diâmetro.
As propriedades da junção são: [k = 35 W/m.ºC; = 8.500 kg/m3 e
Cp = 320 J/kg.ºC] e o coeficiente de transferência de calor entre o gás e a
junção é h = 90 W/m2.ºC. Determinar quanto tempo vai demorar para o
termopar ler 99% da diferença inicial de temperatura.
(RESPOSTA: 27,8 segundos)
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EXERCÍCIOS
ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA (PARÂMETRO CONCENTRADO)
7) Para aquecer um pouco de leite para um bebê, a mãe coloca leite em um copo de
paredes finas cujo diâmetro é de 6 cm. A altura do leite no copo é de 7 cm. Ela
então coloca o copo em uma panela grande cheia com água quente a 60ºC. O leite
é agitado constantemente, de modo que sua temperatura seja uniforme o tempo
todo. Se o coeficiente de transferência de calor entre a água e o copo é de
120 W/m2.ºC, determinar quanto tempo vai demorar para aquecer o leite a partir de
3ºC até 38ºC. Tome as propriedades do leite como sendo as mesmas que as da
água.
Observações: Adotar o parâmetro concentrado mesmo Bi 0,1. Considerar a
temperatura média do leite como sendo (3+38)/2 = 20,5ºC e usar as propriedades
da água. Para este caso, considerar as propriedades da água na temperatura de
20ºC. [k = 0,598 W/m.ºC; = 998 kg/m3 e Cp = 4182 J/kg.ºC] RESPOSTA: 5,8 min.
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EXERCÍCIOS
ANÁLISE GLOBAL DO SISTEMA (PARÂMETRO CONCENTRADO)
8) "Previsão da hora da morte" - Uma pessoa é encontrada morta às 17 horas em
uma sala cuja temperatura é de 20ºC. A medida da temperatura do corpo,
quando encontrado, é de 25ºC e o coeficiente de transferência de calor é
estimado em h = 8 W/m2.ºC. Modelando o corpo como um cilindro de 30 cm de
diâmetro e 1,70 m de comprimento, estimar a hora da morte dessa pessoa.
Dados: o corpo humano tem em média 72% de água em massa e, portanto,
pode-se assumir que o corpo tem as propriedades da água na temperatura
média de (37+25)/2 = 31ºC [ = 996 kg/m3, Cp = 4.178 J/(kg.ºC),
k = 0,617 W/m.ºC] (Tabela A-9). (Resp.: 12,2 horas antes do corpo ter sido
encontrado, ou seja, a hora da morte foi às 5 horas da manhã)
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EXPERIMENTO
DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA TEMPERATURA COM
O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES FORMAS
SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
INTRODUÇÃO
Esta experiência visa principalmente a determinação da
temperatura no centro geométrico de diferentes formas sólidas (placa,
cilindro e esfera). Será feita também a comparação com a análise
transiente de parâmetros concentrados, objetivando verificar a validade da
hipótese de parâmetros concentrados.
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
ARRANJO FÍSICO
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ARRANJO FÍSICO
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
EQUAÇÕES QUE REGEM O FENÔMENO
mteTT
TtT
0
)(
s
s
k
LhBi
s
ss
A
VL
sp Lc
hm
OBS: Bi 0,1 (vale a hipótese de análise transiente por parâmetros concentrados)
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
OBSERVAÇÃO: os dados contidos nas tabelas mostradas a seguir deverão ser
entregues ao professor ao término do experimento. O grupo deverá providenciar
uma cópia para que possam elaborar o relatório.
NO TOTAL SERÃO 6 TABELAS PARA O AQUECIMENTO
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
NO TOTAL SERÃO 12 TABELAS:
6 tabelas para a etapa do aquecimento
6 tabelas para a etapa do resfriamento
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
Geometrias:
Placa
Cilindro
Esfera
Materiais:
Cobre e Alumínio
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
RESULTADOS
Plotar os gráficos:
Temperatura x tempo (experimental)
Temperatura x tempo (teórico)
Comparar e discutir os resultados encontrados.
100%exp
teór
teór
t
tte
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
RELATÓRIO
hágua = 1500 W/m2.ºC
har = 15 W/m2.ºC
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EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
RELATÓRIO
DIMENSÕES DAS FORMAS GEOMÉTRICAS
PLACA (Al e Cu) CILINDRO (Al e Cu) ESFERA (Al e Cu)
Espessura = 13 mm
Largura = 102 mm
Comprimento = 153 mm
Diâmetro = 50 mm
Altura = 153 mmDiâmetro = 51 mm
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
ETAPA DE AQUECIMENTO
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
ETAPA DE AQUECIMENTO
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
ETAPA DE AQUECIMENTO
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
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CONSTANTE
ETAPA DE AQUECIMENTO
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
ETAPA DE AQUECIMENTO
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
ETAPA DE AQUECIMENTO
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
ETAPA DE RESFRIAMENTO
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
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ETAPA DE RESFRIAMENTO
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
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ETAPA DE RESFRIAMENTO
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
ETAPA DE RESFRIAMENTO
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CONSTANTE
ETAPA DE RESFRIAMENTO
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
ETAPA DE RESFRIAMENTO
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
Comparações
Aquecimento
Comparativo Alumínio
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
0,000 5,000 10,000 15,000 20,000 25,000 30,000
t (s)
T (°
C)
t teórico Placa
t exp. Placa
t teórico Cilindro
t exp. Cil indro
t teórico Esfera
t exp. Esfera
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
Comparações
Aquecimento
Comparativo Cobre
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 25,00 30,00 35,00 40,00
t (s)
T (°
C)
t teórico Placa
t exp. Placa
t teórico Cilindro
t exp. Cil indro
t teórico Esfera
t exp. Esfera
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
Comparações
ResfriamentoResfriamento - Comparativo Alumínio
20,000
22,000
24,000
26,000
28,000
30,000
32,000
34,000
36,000
38,000
40,000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
t (s)
T (°
C)
T teórica Placa
T exp. Placa
T teóricaCilindroT exp. Cil indro
T teórica Esfera
T exp. Esfera
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TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
Comparações
Resfriamento
Resfriamento - Comparativo Cobre
20,000
22,000
24,000
26,000
28,000
30,000
32,000
34,000
36,000
38,000
40,000
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
t (s)
T (°
C)
T teórica Placa
T exp. Placa
T teóricaCilindroT exp. Cil indro
T teórica Esfera
T exp. Esfera
![Page 64: ENGENHARIA FÍSICA FENÔMENOS DE …sistemas.eel.usp.br/docentes/arquivos/5022779/LOM3213...NÚMEROS DE BIOT E FOURIER Sempre que o número de Biot for pequeno, os gradientes internos](https://reader030.fdocument.pub/reader030/viewer/2022041011/5ebb1ebda0a922124965226b/html5/thumbnails/64.jpg)
UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
Escola de Engenharia de Lorena – EEL
EXPERIMENTO: DETERMINAÇÃO DA VARIAÇÃO DA
TEMPERATURA COM O TEMPO NO CENTRO DE DIFERENTES
FORMAS SÓLIDAS IMERSAS EM FLUIDO A TEMPERATURA
CONSTANTE
CONCLUSÕES:
Influência da geometria no aquecimento e resfriamento
Influência do material no aquecimento e resfriamento
Qual a geometria e material que troca calor com maior
eficiência? (mais rápido, por exemplo)