ENGENHARIA e GESTÃO INDUSTRIAL - norg.uminho.pt · 2 =3e nmax ´ =10e alterando os ... 10 1 4 0...

UNIVERSIDADE DO MINHO

MÉTODOS NUMÉRICOS

ENGENHARIA

e GESTÃO INDUSTRIAL

EXERCÍCIOS PRÁTICOS

Ano lectivo de 2005/2006

Métodos Numéricos - L.E.G.I.Exercícios práticos - CONUM

Solução de uma equação não linear

Folha 1

1. Calcule um zero da função

f (x) = ex − x2 − 2x− 2

com o método da secante. Considere ε1 = ε2 = 0.0001 usando

(a) x1 = −1, x2 = 0.25 e nmax = 10.Comente:

(b) x1 = −1, x2 = 0.25 e nmax = 30.Comente:

(c) x1 = 2, x2 = 3 e nmax = 10.No de iterações= ; solução: x = ; f (x) =

(d) x1 = 2, x2 = 3 e nmax = 10 e alterando os valores de ε1 e ε2 para 0.0000001.No de iterações= ; solução: x = ; f (x) =

2. Resolva a equação f (x) = 0, com f (x) dada na pergunta 1, mas agora com ométodo de Newton e usando no critério de paragem ε1 = ε2 = 0.0000001, para asseguintes condições:

(a) x1 = 0.25 e nmax = 30.No de iterações= ; solução: x = ; f (x) =

(b) x1 = −1 e nmax = 30.Comente:

(c) x1 = 2.5 e nmax = 10.No de iterações= ; solução: x = ; f (x) =

3. Resolva a seguinte equação não linear recorrendo ao método de Newton:

cos (x)− cos (3.1x) = 0.

Considere as seguintes condições:

(a) x1 = −1, ε1 = ε2 = 0.0001 e nmax = 5.Comente:

(b) x1 = 1, ε1 = ε2 = 0.0001 e nmax = 5.Comente:

(c) x1 = 1, ε1 = ε2 = 0.0001 e nmax = 30.No de iterações= ; solução: x = ; f (x) =

2

(d) x1 = 0, ε1 = ε2 = 0.0001 nmax = 10.Comente:

4. Determine uma solução da seguinte equação não linear:

x4 + 8x3 − 8x2 − 200x− 425 = 0

(a) pelo método de Newton, com o seguinte valor inicial x1 = 1010.No de iterações= ; solução: x = ; f (x) =

(b) pelo método da secante, com o seguinte valor inicial x0 = 910, x1 = 1010.No de iterações= ; solução: x = ; f (x) =

3

Métodos Numéricos - L.E.G.I.Exercícios práticos - MATLAB

Solução de uma equação não linear

Folha 1

1. Utilize os comandos plot e fplot doMATLAB, para resolver a seguinte questão:

(a) Localize o zero da função

f (x) = ex − x2 − 2x− 2

no intervalo [0, 4].

(b) Descubra as diferenças entre os dois comandos utilizados:_________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

2. Com o comando fzero, calcule o zero da função

f (x) = ex − x2 − 2x− 2

usando os seguintes valores iniciais:

(a) x1 = 0.25solução: x = ; f (x) =

4

(b) x1 = 2.5solução: x = ; f (x) = .

3. Encontre os zeros do seguinte polinómio

x4 + 8x3 − 8x2 − 200x− 425 = 0

(a) solução: x1 = ; x2 = ;

x3 = ; .x4 = .

5

Métodos Numéricos - L.E.G.I.Exercícios práticos - CONUMSistemas de equações lineares

Folha 2

1. Resolva os seguintes sistemas através de um método directo e estável.

(a) 4x1 + 13x2 + 2x3 = −15−8x1 + 10x2 + 8x3 = 62x1 + 6.5x2 + 5.5x3 = −3

Solução: x1 = ;x2 = ;x3 =

(b) −30x1 + 9x2 + 9x3 = 1010x1 − 2.999999x2 − 2.999999x3 = 206x1 − 6x2 − 20x3 = 10


(c) −30x1 + 9x2 + 9x3 = 1010x1 − 2.999999x2 − 2.999999x3 = −3.3333336x1 − 6x2 − 20x3 = 10


2. Calcule o determinante e a inversa das seguintes matrizes:

(a) A =

−602.9 −0.4762 301.0−248.8 −0.1048 124.2−200.6 0.00001367 101.7

Solução:

A−1 =

_____ _____ __________ _____ __________ _____ _____

, det (A) = _____

(b) B =

10 1 4 01 10 5 −14 5 10 70 −1 7 9

Solução:

B−1 =

_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____

, det (B) = _____

6

3. Resolva o sistema seguinte pelo método iterativo de Gauss-Seidel, com = 10−6,x1 = (0, 0, 0, 0)

T e nmax = 30.6x1 + x2 + 2x3 + x5 = 10

2x1 + 8x2 + x3 + 2x4 + 2x5 = 15x1 − 2x2 + 8x3 + x4 = 8−x3 + 9x4 + 2x5 10

x1 + x2 +−x4 + 7x5 8

(a) Solução: x1 = ;x2 = ;x3 = ;

x4 = ;x5 = .

4. Resolva os seguintes sistemas pelo método iterativo de Gauss-Seidel. Considere= 0.0001, x1 = (0, 0, 0)

T e nmax = 200.

(a) −30x1 + 9x2 + 9x3 = 1010x1 − 2.999999x2 − 2.999999x3 = 206x1 − 6x2 − 20x3 = 10

No iterações: Solução: x1 = ;x2 =;x3 = .

(b) −30x1 + 9x2 + 9x3 = 1010x1 − 2.999999x2 − 2.999999x3 = −3.3333336x1 − 6x2 − 20x3 = 10

No iterações: Solução: x1 = ;x2 =;x3 = .

(c) Compare com a alínea c. da pergunta 1. e comente os resultados.

5. Resolva novamente os exercícios 3. e 4. recorrendo ao método de Jacobi.

7

Métodos Numéricos - L.E.G.I.Exercícios práticos - MATLABSistemas de equações lineares

Folha 2

1. Utilize as funções doMATLAB para resolver as seguintes questões:Resolva os seguintes sistemas de equações algébricas lineares, através de um métododirecto e estável:

(a) 4x1 + 13x2 + 2x3 = −15−8x1 + 10x2 + 8x3 = 62x1 + 6.5x2 + 5.5x3 = −3


(b) −30x1 + 9x2 + 9x3 = 1010x1 − 2.999999x2 − 2.999999x3 = 206x1 − 6x2 − 20x3 = 10


2. Calcule o determinante e a inversa das seguintes matrizes:

(a) A =

−602.9 −0.4762 301.0−248.8 −0.1048 124.2−200.6 0.00001367 101.7

Solução:

A−1 =

_____ _____ __________ _____ __________ _____ _____

, det (A) = _____

(b) B =

10 1 4 01 10 5 −14 5 10 70 −1 7 9

Solução:

B−1 =

_____ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ __________ _____ _____ _____

, det (B) = _____

8


Sistemas de equações não lineares

Folha 3

1. Resolva o seguinte sistema de equações não lineares nas variáveis x1 e x2, com ométodo iterativo de Newton.

sen

µx1 + x22

¶= 2x1

cos

µx1 − x22

¶= 2x2

(a) Considere uma aproximação inicial x(1) = (0, 0)T , ε1 = ε2 = 10−4 e nmax = 20.

No de iterações: Solução: x1 = ;x2 =

(b) Reinicie o processo iterativo com o ponto (1, 2) e considere no critério de para-gem os valores ε1 = ε2 = 10

−4 e nmax = 20.No de iterações: Solução: x1 = ;x2 =

2. Determine a solução do sistema de equações não lineares nas variáveis x1, x2 e x3 x1 = 0x22 + x2 = 0ex3 − 1 = 0

(a) usando o método de Newton com a aproximação inicial x(1) = (1, 1,−1)T enmax = 10.No de iterações: Solução: x1 = ;x2 = ;x3 =

(b) usando o método de Newton com a aproximação inicial x(1) = (1, 1, 5)T enmax = 10.No de iterações: Solução: x1 = ;x2 = ;x3 =

3. O sistema de equações não lineares:½x21 − x22 − 1 = 0(x21 + x22 − 1) (x21 + x22 − 2) = 0

tem uma raíz na vizinhança do ponto (1, 1)T . Calcule-a usando o método iterativode Broyden. Pare o processo iterativo quando o critério de paragem for verificadopara ε1 = ε2 = 0.5.

(a) No de iterações:Solução: x1 = ;x2 = .

9

Métodos Numéricos - L.E.G.I.Exercícios práticos - MATLABSistemas de equações não lineares

Folha 3

1. Resolva o seguinte sistema de equações não lineares nas variáveis x1 e x2,:sin

µx1 + x22

¶= 2x1

cosµx1 − x22

¶= 2x2

(a) Considere uma aproximação inicial x(1) = (0, 0)T , .No de iterações: .Solução: x1 = ;x2 = .

(b) Reinicie o processo iterativo com o ponto (1, 2)No de iterações: .Solução: x1 = ;x2 = .

2. Determine a solução do sistema de equações não lineares nas variáveis x1, x2 e x3 x1 = 0x22 + x2 = 0ex3 − 1 = 0

(a) com a aproximação inicial x(1) = (1, 1,−1)T .No de iterações: Solução: x1 = ;x2 = ;x3 =.

(b) com a aproximação inicial x(1) = (1, 1, 5)T .No de iterações: Solução: x1 = ;x2 = ;x3 =.

10

Métodos Numéricos - L.E.G.I.Exercícios práticos - CONUMInterpolação polinomial

Folha 4

1. Dada a tabela de valores de uma função f(x)

xi 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6fi 0.063927 0.080043 0.098785 0.120251 0.144176 0.171432 0.201019

xi 5.7 5.8 5.9 6.0fi 0.233069 0.267349 0.303567 0.341383

Determine o valor de f (5.45) através do polinómio interpolador de Newton baseadoem diferenças divididas:

(a) de grau dois (apresente as duas melhores soluções possíveis);Solução: f (5.45) ≈ p2 (5.45) = ; f (5.45) ≈ p2 (5.45) = .

(b) de grau cinco (apresente a melhor solução);Solução: f (5.45) ≈ p5 (5.45) = .

(c) de grau dez.Solução: f (5.45) ≈ p10 (5.45) = .

2. Dada a tabela de doze valores de f (x) ,

xi 0.00 0.30 0.50 0.70 0.90 1.00 1.20fi 0.000000 0.295520 0.479426 0.644218 0.783327 0.841471 0.932039

xi 1.50 1.60 1.75 2.00 2.10fi 0.997495 0.999574 0.983986 0.909297 0.863209

e usando a aproximação polinomial de Newton, baseada em diferenças divididas, dêuma estimativa a f (1.57) usando:

(a) quatro pontos (a melhor estimativa);Solução: f (1.57) ≈ p3 (1.57) = .

(b) seis pontos (a melhor estimativa);Solução: f (1.57) ≈ p5 (1.57) = .

(c) doze pontos.Solução: f (1.57) ≈ p11 (1.57) = .

11

3. Considerando a função f(x) dada pela tabela

xi 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6fi 0.063927 0.080043 0.098785 0.120251 0.144176 0.171432 0.201019

xi 5.7 5.8 5.9 6.0fi 0.233069 0.267349 0.303567 0.341383

qual o valor aproximado da função no ponto x = 5.45

(a) usando uma ”spline” cúbica natural?Solução: s3 (x) =f (5.45) ≈ s3 (5.45) =

(b) usando uma ”spline” cúbica completa?Solução: s3 (x) =f (5.45) ≈ s3 (5.45) =

4. De uma tabela de logaritmos obteve-se o seguinte quadro de valores:

xi 1 1.5 2 3 3.5ln(xi) 0 0.4055 0.6931 1.0986 1.2528

(a) Usando uma funçao “spline” cúbica natural calcule uma aproximação a ln(2.5);Solução: s3 (x) =ln (2.5) ≈ s3 (2.5) =

(b) Usando uma funçao “spline” cúbica completa calcule uma aproximação a ln(2.5);Solução: s3 (x) =ln (2.5) ≈ s3 (2.5) =

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Métodos Numéricos - L.E.G.I.Exercícios práticos - MATLABInterpolação polinomial

Folha 4

1. Considerando a função f(x) dada pela tabela

xi 5.0 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6fi 0.063927 0.080043 0.098785 0.120251 0.144176 0.171432 0.201019

xi 5.7 5.8 5.9 6.0fi 0.233069 0.267349 0.303567 0.341383

qual o valor aproximado da função no ponto x = 5.45

(a) usando uma ”spline” cúbica natural?Solução: s3 (x) =f (5.45) ≈ s3 (5.45) =

(b) usando uma ”spline” cúbica completa?Solução: s3 (x) =f (5.45) ≈ s3 (5.45) =

2. De uma tabela de logaritmos obteve-se o seguinte quadro de valores:

xi 1 1.5 2 3 3.5ln(xi) 0 0.4055 0.6931 1.0986 1.2528

(a) Usando uma funçao “spline” cúbica natural calcule uma aproximação a ln(2.5);Solução: s3 (x) =ln (2.5) ≈ s3 (2.5) =

(b) Usando uma funçao “spline” cúbica completa calcule uma aproximação a ln(2.5);Solução: s3 (x) =ln (2.5) ≈ s3 (2.5) =

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Aproximação dos mínimos quadrados (linear)Folha 5

1. Considere a seguinte tabela:

xi 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4fi 1.000 1.221 1.492 1.822 2.226 2.718 3.320 4.056

Com base na teoria dos mínimos quadrados escreva, para construir um polinómiode grau três

(a) Os coeficientes da relação de recorrência na construção dos polinómios ortogo-nais:Solução: B0 = , B1 = , B2 = , C1 = , C2 =

(b) Os coeficientes do polinómio:Solução: c0 = , c1 = , c2 = , c3 =

(c) Os polinómios ortogonais:Solução: P0 (x) = , P1 (x) =P2 (x) =P3 (x) =

(d) O polinómio resultante:Solução: p3 (x) =

(e) O resíduo:Solução:

P8i=1 (fi − p3 (xi))

2 =

2. Considerem-se as seguintes funções de aproximação:

M (x) = c1 + c2cos (x) + c3sen (x) ;

N (x) = c1ex + c2

1

x;

O (x) = c1 + c2x+c3x;

Q (x) = c1x+ c2ex.

(a) Calcule os coeficientes dos vários modelos (e construa-os) que melhor se ajustamà função f (x) dada pela tabela seguinte, no sentido dos mínimos quadrados.

xi −1.00 −0.95 −0.85 −0.80 0.20 0.50 0.90fi −1.00 −0.05 0.90 1.00 0.90 0.50 −0.30

Solução:M (x) =N (x) =O (x) =Q (x) =

14

(b) Estime f (0.6) para cada um deles.Solução:f (0.6) ≈M (0.6) =f (0.6) ≈ N (0.6) =f (0.6) ≈ O (0.6) =f (0.6) ≈ Q (0.6) =

(c) Indique o resíduo para cada um dos modelos.Solução:P7

i=1 (fi −M (xi))2 =P7

i=1 (fi −N (xi))2 =P7

i=1 (fi −O (xi))2 =P7

i=1 (fi −Q (xi))2 =

(d) Qual dos modelos é melhor, no sentido dos mínimos quadrados? Justifique.

15


Aproximação dos mínimos quadrados (linear)

Folha 5

1. Considerem-se as seguintes funções de aproximação:

M (x) = c1 + c2cos (x) + c3sen (x) ;

N (x) = c1ex + c2

1

x;

O (x) = c1 + c2x+c3x;

Q (x) = c1x+ c2ex.

(a) Calcule os coeficientes dos vários modelos (e construa-os) que melhor se ajustamà função f (x) dada pela tabela seguinte, no sentido dos mínimos quadrados.

xi −1.00 −0.95 −0.85 −0.80 0.20 0.50 0.90fi −1.00 −0.05 0.90 1.00 0.90 0.50 −0.30

Solução:M (x) =N (x) =O (x) =Q (x) =

(b) Estime f (0.6) para cada um deles.Solução:f (0.6) ≈M (0.6) =f (0.6) ≈ N (0.6) =f (0.6) ≈ O (0.6) =f (0.6) ≈ Q (0.6) =

(c) Qual dos modelos é melhor, no sentido dos mínimos quadrados? Justifique(através da representação gráfica).

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Aproximação dos mínimos quadrados (não linear)

Folha 6

1. Pretende-se ajustar o modelo não linear

M (x; c1, c2) = c1 (1− cx2)

no sentido dos mínimos quadrados, usando a aproximação de Gauss-Newton, sabendoque os valores de f são os da tabela

xj 1 2 3fj 1.5 2.25 2.625

Considere c(1) = (0.1, 0.1)T , β = 0.001, ε1 = ε2 = 10−4 e nmax = 10.

No de iterações: ; Solução: c1 = ; c2 =M (x) =Resíduo:

P3j=1 (fj −M (xj))

2 =

2. Dada a função f (x) definida pela tabela de seis valores,

xi −5 −3 −1 1 3 5fi 127 151 379 421 460 426

pretende-se calcular o modelo não linear

M (x; c1, c2, c3) = c1 + c2exc3 ,

que depende dos parâmetros c1, c2 e c3, que melhor se ajusta à função no sentido dosmínimos quadrados, usando o método de Gauss-Newton. Inicie o processo iterativocom c(1) = (580, −180, −0.16)T e tome ε1 = ε2 = 10

−6, nmax = 30 e β = 0.0001.No de iterações: ;Solução: c1 = ; c2 = ; c3 =

M (x) = _______________________.

Resíduo:P6

i=1 (fi −M (xi))2 =

18


Integração numérica

Folha 7

1. Calcule o integral

I =

Z 1

0

4

1 + x2dx

com um espaçamento constante de h = 0.25, recorrendo às fórmulas compostas deNewton-Cotes.Solução: I = ; Fórmula utilizada:

2. Dada a tabela de valores da função f (x)

xi 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0fi −4271 −2522 −499 1795 4358 7187 10279 13633 17247

(a) Calcule a melhor aproximação ao integralZ 4.0

0.0

f (x) dx

usando toda a informação da tabela.Solução:

(b) Qual foi a fórmula utilizada?Solução:

(c) Se pretendesse calcular o erro de truncatura, qual o valor das diferenças divi-didas que utilizaria para estimar a derivada?Solução:

3. Considere a seguinte tabela de valores da função f (x):

xi −1.0 −0.95 −0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0.2 0.6 1.0 1.4fi −1.00 −0.05 1.00 0.98 0.95 0.90 0.85 0.20 −0.50 −2.00

(a) Calcule numericamenteR 1.4−1.0 f (x) dx utilizando as fórmulas compostas de Newton-

Cotes e usando todos os pontos da tabela. Qual a fórmula ou fórmulas apli-cadas?Solução:

R 1.4−1.0 f (x) dx = ; Fórmula(s):

(b) Calcule o mesmo integral usando apenas uma fórmula composta com um valorde h constante (deixando de fora o menor número possível de pontos). Qual éessa fórmula?Solução:

R 1.4−1.0 f (x) dx = ; Fórmula:

19

(c) Calcule o erro de truncatura cometido na alínea (b).Solução: ET =

4. Calcule a melhor aproximação ao integralZ 1.0

−0.2f (x) dx

baseando-se nos pontos (−0.2, 1.1) , (0, 0.8) , (0.4, 1.1) e (1.0, 2.0).Solução:

R 1.0−0.2 f (x) dx =

20


Integração numérica

Folha 7

1. Calcule o integral

I =

Z 1

0

4

1 + x2dx

recorrendo ao comando quad (MATLAB):Solução: I = .

2. Calcule o integral anterior considerando com Tol = 10−3.Solução: I = .

21

Métodos Numéricos A — M.I.E.G.I. Exercícios práticos — CONUM

Equações diferenciais Folha 8

1. Considere a seguinte equação diferencial

)()cos()(' xyxxy = resolva-a pelo método de Runge-Kutta de segunda ordem, no intervalo 20 ≤≤ x , sendo o valor inicial 1)0( =y e h=0.5.

Solução:

ix )( ixy

2. Considere o seguinte sistema de equações diferenciais:

=−−=−=−

0'0'02'

123

21

321

xeyyyxyy

yyy

com as seguintes condições iniciais:

718.2)1()1( 21 == yy e 2)1(3 =y . Determine a sua solução através do método de Runge-Kutta de segunda ordem, no intervalo [1, 1.2] com h=0.1.

Solução:

ix )(1 ixy )(2 ixy )(3 ixy

Métodos Numéricos A — M.I.E.G.I. Exercícios práticos — MATLAB

Equações diferenciais Folha 8

1. Considere a seguinte equação diferencial

)()cos()(' xyxxy =

resolva-a pelo método de Runge-Kutta, no intervalo 20 ≤≤ x , sendo o valor inicial 1)0( =y e h=0.5.

Solução:

2. Considere o seguinte sistema de equações diferenciais:

=−−=−=−

0'0'02'

123

21

321

xeyyyxyy

yyy

com as seguintes condições iniciais: 718.2)1()1( 21 == yy e 2)1(3 =y .

Determine a sua solução através do método de Runge-Kutta, no intervalo [1, 1.2] com h=0.1.

Solução:

ix )( ixy

ix )(1 ixy )(2 ixy )(3 ixy


Equações diferenciais de ordem igual ou superior a 2 Folha 9

1. Um modelo simples que descreve o bater do coração humano, consiste num sistema de equações diferenciais ordinárias, em ordem ao tempo:

( ) ( )( ) xtc

cAxxtx=

+−−='

' 3ε

onde )(tx representa o afastamento do equilíbrio da fibra do músculo do coração, )(tc é a concentração duma substância química de controlo, ε e A são constantes positivas ( ε =1.0 e A=3). Calcule a solução numérica no intervalo 30 ≤≤ t , com 1.0)0( =x e 1.0)0( =c , considerando um espaçamento constante e igual a h=1 e usando o método de Runge-Kutta de 2ª ordem.

2. Resolva numericamente a seguinte equação diferencial

02)('3)('' =+− xyxy

com 1)0( =y e 0)0(' =y , no intervalo [0,1.5]. Considere h=0.5 e use o método de Runge-Kutta.

Solução:

3. Dada a equação diferencial de 2ª ordem:

( )22 )'()(3')'( xuxuxu −=+

com ( )u 0 5= e ( )u' 0 0= . Escreva-a como um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem. Diga qual a variável independente e as variáveis dependentes. Resolva o sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem resultante, usando o método de Runge-Kutta, no intervalo [0,1.5], com h=0.5. Solução:

ix )x(y i )x('y i

ix u(xi) u'(xi)

Métodos Numéricos A — M.I.E.G.I. Exercícios práticos — MATLAB

Equações diferenciais de ordem igual ou superior a 2 Folha 9

1. Um modelo simples que descreve o bater do coração humano, consiste num sistema de equações diferenciais ordinárias, em ordem ao tempo:

( ) ( )( ) xtc

cAxxtx=

+−−='

' 3ε

onde )(tx representa o afastamento do equilíbrio da fibra do músculo do coração, )(tc é a concentração duma substância química de controlo, ε e A são constantes positivas ( ε =1.0 e A=3). Calcule a solução numérica no intervalo 30 ≤≤ t , com 1.0)0( =x e 1.0)0( =c , considerando um espaçamento constante e igual a h=1 e usando o método de Runge-Kutta de 2ª ordem.

2. Resolva numericamente a seguinte equação diferencial

02)('3)('' =+− xyxy

com 1)0( =y e 0)0(' =y , no intervalo [0,1.5]. Considere h=0.5 e use o método de Runge-Kutta.

Solução:

3. Dada a equação diferencial de 2ª ordem:

( )22 )'()(3')'( xuxuxu −=+

com ( )u 0 5= e ( )u' 0 0= . Escreva-a como um sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem. Diga qual a variável independente e as variáveis dependentes. Resolva o sistema de equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem resultante, usando o método de Runge-Kutta, no intervalo [0,1.5], com h=0.5. Solução:

ix )x(y i )x('y i

ix u(xi) u'(xi)


Problemas com condições de fronteira Folha 10

1. Dada a equação diferencial de segunda ordem

2)('1)('' −=+ xyx

xy

em que 0)2.0( =y e y(0.5)=0, calcule a solução numérica no intervalo [0.2,0.5]. Use h=0.05. Solução:

),,,,,,(),,,,,,( 6543210 =yyyyyyy

2. Considere o seguinte problema de equações diferenciais: ( ) ( )xyxxy )1('' 2−=

com y(0)=0 e y’(1)=0. Calcule as soluções numéricas para y(0.25), y(0.5), y(0.75) e y(1), pelo método das diferenças finitas. Solução: y(0.25)= , y(0.5) = , y(0.75) = e y(1) =

3. Considere o seguinte problema de condução de calor a uma dimensão (estado estacionário), com condições de fronteira de Neumann:

( ) 0102

2

=+ gkdx

xTd Lx ≤≤0

com ( )

( ) LxCxT

xqdx

xdTk

==

==−

para º0

0 para 0

sendo CmWk º12= , 37

0 104 mWg ×= , 25

0 10 mWq = e mL 012.0= , calcule a sua solução numérica usando o método das diferenças finitas dividindo L em 4 partes iguais.

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