ENGC33: Sinais e Sistemas II - DEE – Departamento de ... · Transformada de Fourier de tempo...
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Transformada de Fourier de tempo discreto
ENGC33: Sinais e Sistemas II
Departamento de Engenharia Eletrica - DEEUniversidade Federal da Bahia - UFBA
07 de dezembro de 2016
Prof. Tito Luís Maia Santos 1/ 25
Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais aperiodicos
4 Transformada de Fourier
5 Comentarios Finais
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais aperiodicos
4 Transformada de Fourier
5 Comentarios Finais
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Introducao
Objetivos da aula de hoje:
Apresentar a Transformada de Fourier de tempo discreto;
Realizar discussoes baseadas em exemplos.
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais aperiodicos
4 Transformada de Fourier
5 Comentarios Finais
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RevisaoSerie de Fourier
Serie de Fourier de tempo discreto ⇒ Sinais periodicos.
Decomposicao numa serie de exponenciais complexas
x [n] =∑
k=〈N0〉
ak ejk(2π/N0)n,
ak =1
N0
∑
n=〈N0〉
x [n]e−jk(2π/N0)n.
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais aperiodicos
4 Transformada de Fourier
5 Comentarios Finais
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Representacao de sinais aperiodicosFormulacao via sinal periodico
Seja x [n] um sinal periodico, considerem x [n] como segue
x [n] =
x [n], −N1 ≤ n ≤ N2
0, para outros casos
0−N1
N2
N0
−N0
0−N1
N2
x[n]
x [n]
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Representacao de sinais aperiodicosFormulacao via sinal periodico
Para N0 → ∞, temos x [n] = x [n] para qualquer n finito (n < ∞).
0−N1
N2
N0
−N0
0−N1
N2
x[n]
x [n]
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Representacao de sinais aperiodicosObtencao da serie de Fourier
Como x [n] e periodico, temos:
x [n] =∑
k=〈N0〉
ak ejk(2π/N0)n,
ak =1
N0
∑
n=〈N0〉
x [n]e−jk(2π/N0)n.
Por conveniencia escolheremos n = 〈N0〉 de maneira que
ak =1
N0
N2∑
n=−N1
x [n]e−jk(2π/N0)n.
Para o intervalo em questao, x [n] = x [n], entao
ak =1
N0
N2∑
n=−N1
x [n]e−jk(2π/N0)n =1
N0
∞∑
n=−∞
x [n]e−jk(2π/N0)n.
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Representacao de sinais aperiodicosObtencao da serie de Fourier
Sabemos que o coeficiente de Fourier pode ser calculado por
ak =1
N0
∞∑
n=−∞
x [n]e−jk(2π/N0)n.
Considerem uma frequencia Ω qualquer dada por
Ω = kΩ0 = k2π/N0.
Vamos definir uma funcao X(ejΩ) conveniente
X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jkΩon = X(ejkΩ0)
Assim temos
ak =1
N0X(ejkΩ0),
bem como
x [n] =∑
k=〈N0〉
1
N0X(ejkΩ0)ejkΩ0n.
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Representacao de sinais aperiodicosObtencao da serie de Fourier
Sabemos que o coeficiente de Fourier pode ser calculado por
ak =1
N0
∞∑
n=−∞
x [n]e−jk(2π/N0)n.
Considerem uma frequencia Ω qualquer dada por
Ω = kΩ0 = k2π/N0.
Vamos definir uma funcao X(ejΩ) conveniente
X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jkΩon = X(ejkΩ0)
Assim temos
ak =1
N0X(ejkΩ0),
bem como
x [n] =∑
k=〈N0〉
1
N0X(ejkΩ0)ejkΩ0n.
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Representacao de sinais aperiodicosObtencao da serie de Fourier
Sabemos que o coeficiente de Fourier pode ser calculado por
ak =1
N0
∞∑
n=−∞
x [n]e−jk(2π/N0)n.
Considerem uma frequencia Ω qualquer dada por
Ω = kΩ0 = k2π/N0.
Vamos definir uma funcao X(ejΩ) conveniente
X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jkΩon = X(ejkΩ0)
Assim temos
ak =1
N0X(ejkΩ0),
bem como
x [n] =∑
k=〈N0〉
1
N0X(ejkΩ0)ejkΩ0n.
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Representacao de sinais aperiodicosObtencao da serie de Fourier
Chegamos a relacao
x [n] =∑
k=〈N0〉
1
N0X(ejkΩ0)ejkΩ0n.
com
X(ejkΩ0) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jkΩ0n.
Uma vez que Ω0 = 2π/N0, temos 1/N0 = Ω0/(2π) de maneira que
x [n] =∑
k=〈N0〉
Ω0
2πX(ejkΩ0)ejkΩ0n =
1
2π
∑
k=〈N0〉
X(ejkΩ0)ejkΩ0nΩ0.
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Representacao de sinais aperiodicosInterpretacao grafica
Seja Ω = kΩ0 com
x [n] =1
2π
∑
k=〈N0〉
X(ejkΩ0)ejkΩ0nΩ0,
pode-se utilizar a seguinte interpretacao grafica.
0Ω=kΩ
0
X(ejΩ
)ejΩn
=X(ejkΩ
0)ejkΩ
0 n
−2π −π π 2π
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Representacao de sinais aperiodicosInterpretacao grafica
Seja Ω = kΩ0 com
x [n] =1
2π
∑
k=〈N0〉
X(ejkΩ0)ejkΩ0nΩ0 =1
2π
∑
k=〈N0〉
X(ejΩ)ejΩn∆Ω,
pode-se utilizar a seguinte interpretacao grafica.
0Ω
X(ejΩ
)ejΩn
−2π −π π 2π
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Representacao de sinais aperiodicosInterpretacao grafica
Da definicao de x [n] sabemos que
x [n] = limN0→∞
x [n] = limN0→∞
1
2π
∑
k=〈N0〉
X(ejΩ)ejΩn∆Ω.
0Ω
X(ejΩ
)ejΩn
−2π −π π 2π
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Representacao de sinais aperiodicosTransformada de Fourier
Da definicao de x [n] sabemos que
x [n] = limN0→∞
x [n] = limN0→∞
1
2π
∑
k=〈N0〉
X(ejkΩ0)ejkΩ0n∆Ω.
Alem disso sabemos que
∆Ω = 2π/N0 de maneira que ∆Ω → dΩ quando N0 → ∞.
N0∆Ω = N0Ω0 = N02π/N0 = 2π;
Da definicao da soma de Rieman:
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ.
Assim chegamos ao par da Transformada de Fourier:
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ
X(ejΩ) =∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn
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Representacao de sinais aperiodicosTransformada de Fourier
Da definicao de x [n] sabemos que
x [n] = limN0→∞
x [n] = limN0→∞
1
2π
∑
k=〈N0〉
X(ejkΩ0)ejkΩ0n∆Ω.
Alem disso sabemos que
∆Ω = 2π/N0 de maneira que ∆Ω → dΩ quando N0 → ∞.
N0∆Ω = N0Ω0 = N02π/N0 = 2π;
Da definicao da soma de Rieman:
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ.
Assim chegamos ao par da Transformada de Fourier:
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ
X(ejΩ) =∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn
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Representacao de sinais aperiodicosTransformada de Fourier
Da definicao de x [n] sabemos que
x [n] = limN0→∞
x [n] = limN0→∞
1
2π
∑
k=〈N0〉
X(ejkΩ0)ejkΩ0n∆Ω.
Alem disso sabemos que
∆Ω = 2π/N0 de maneira que ∆Ω → dΩ quando N0 → ∞.
N0∆Ω = N0Ω0 = N02π/N0 = 2π;
Da definicao da soma de Rieman:
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ.
Assim chegamos ao par da Transformada de Fourier:
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ
X(ejΩ) =∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais aperiodicos
4 Transformada de Fourier
5 Comentarios Finais
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Transformada de FourierComentarios
Equacao de sıntese:
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ.
Equacao de analise:
X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn.
X(ejΩ) e chamado de espectro (spectrum) de x [n].
X(ejΩ) e uma funcao periodica.
O intervalo de integracao da Eq. de sıntese e finito.
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Transformada de FourierExemplos
Exemplo 5.1 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectral
do sinal
x [n] = anu[n], |a| < 1.
Exemplo 5.2 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectraldo sinal
x [n] = a|n|, |a| < 1.
Exemplo 5.3 - casa (Oppenheim) Determinar o comportamentoespectral do sinal
x [n] =
1, |n| ≤ 10, |n| > 1.
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Transformada de FourierExemplos
Exemplo 5.1 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectral
do sinal
x [n] = anu[n], |a| < 1.
Exemplo 5.2 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectraldo sinal
x [n] = a|n|, |a| < 1.
Exemplo 5.3 - casa (Oppenheim) Determinar o comportamentoespectral do sinal
x [n] =
1, |n| ≤ 10, |n| > 1.
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Transformada de FourierExemplos
Exemplo 5.1 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectral
do sinal
x [n] = anu[n], |a| < 1.
Exemplo 5.2 (Oppenheim) Determinar o comportamento espectraldo sinal
x [n] = a|n|, |a| < 1.
Exemplo 5.3 - casa (Oppenheim) Determinar o comportamentoespectral do sinal
x [n] =
1, |n| ≤ 10, |n| > 1.
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Transformada de FourierAspectos de convergencia
Para obter o par
x [n] =1
2π
∫
2π
X(ejΩ)ejΩndΩ
X(ejΩ) =
∞∑
n=−∞
x [n]e−jΩn
assumiu-se que x [n] tem duracao finita.
Para obtencao da Eq. de analise basta que
∞∑
−∞
|x [n]| < ∞
ou que o sinal tenha energia finita
∞∑
−∞
|x [n]|2 < ∞.
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Transformada de FourierSinais periodico
Um sinal periodico x [n] pode ser expresso pela serie de Fourier na
forma:x [n] =
∑
k=〈N0〉
ak ejk(2π/N0)n.
Neste caso, a transformada de Fourier e dada por:
X(ejΩ) =
∞∑
k=−∞
2πakδ
(
Ω−2πk
N0
)
.
Exercıcio para casa - demonstrar que:
x [n] =1
2π
∫
2π
∞∑
k=−∞
2πakδ
(
Ω−2πk
N0
)
ejΩndΩ
=∑
k=〈N0〉
ak ejk(2π/N0)n
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Transformada de FourierSinais periodico
Exemplo: Considerando a relacao para sinais periodicos
x [n] =∑
k=〈N0〉
ak ejk(2π/N0)n
X(ejΩ) =
∞∑
k=−∞
2πakδ
(
Ω−2πk
N0
)
determine X(ejΩ) para o sinal x [n] = sen((2π/N0)n) = sen(Ω0n).
Sabemos que:
a−1+mN0=
−1
2j, m = −...,−1, 0, 1, ...
a1+mN0=
1
2j, m = −...,−1, 0, 1, ...
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Transformada de FourierSinais periodico
Exemplo: Considerando a relacao para sinais periodicos
x [n] =∑
k=〈N0〉
ak ejk(2π/N0)n
X(ejΩ) =
∞∑
k=−∞
2πakδ
(
Ω−2πk
N0
)
determine X(ejΩ) para o sinal x [n] = sen((2π/N0)n) = sen(Ω0n).
Sabemos que:
a−1+mN0=
−1
2j, m = −...,−1, 0, 1, ...
a1+mN0=
1
2j, m = −...,−1, 0, 1, ...
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Transformada de FourierSinais periodico
Assim temos
a−1+mN0=
−1
2j, m = −...,−1, 0, 1, ...
a1+mN0=
1
2j, m = −...,−1, 0, 1, ...
com
X (ejΩ) =
∞∑
k=−∞
2πakδ
(
Ω−
2πk
N0
)
=
∞∑
m=−∞
2π
−2jδ
(
Ω−
2π(−1 + mN0)
N0
)
+
∞∑
m=−∞
2π
2jδ
(
Ω−
2π(1 + mN0)
N0
)
=
∞∑
m=−∞
−
π
jδ
(
Ω+2π
N0− 2πm
)
+
∞∑
m=−∞
π
jδ
(
Ω−
2π
N0− 2πm
)
.
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Sumario
1 Introducao
2 Revisao
3 Representacao de sinais aperiodicos
4 Transformada de Fourier
5 Comentarios Finais
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Comentarios Finais
Nesta aula apresentou-se a transformada de Fourier de tempo
discreto;
Foram apresentados alguns exemplos de determinacao da
transformada de Fourier de tempo discreto;
Na proxima aula discutiremos sobre:
Propriedades da transformada de Fourier de tempo discreto.
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