Energia e Trabalho
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Profª Michelle Paiva
Energia e trabalho
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Energia
Energia potencial é a energia associada com a posição da partícula.
Existe energia potencial gravitacional mesmo no caso de a mergulhadora ficar parada no trampolim.
Nenhuma energia é adicionada ao sistema mergulhadora –terra. Porém a energia armazenada é transformada de uma forma para outra durante sua queda.
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Energia Cinética ENERGIA CINÉTICA (K)
A energia cinética é a energia associada ao estado de movimento de um
objeto.
Quanto mais rapidamente um objeto estiver se movendo, maior será sua energia cinética. Quando o objeto está em repouso, sua energia cinética é nula.
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Para um objeto de massa m cuja velocidade v é bem inferior à velocidade da luz, definimos a sua energia cinética como
K = ½ mv2 A unidade de SI para a energia cinética (e todos os outros
tipos de energia) é o joule ( J ), em homenagem a James Prescott Joule, um cientista inglês do século XIX.
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TRABALHONa linguagem comum, a palavra
trabalho é aplicada a qualquer forma de atividade que requeira um esforço muscular ou mental. Em física, entretanto, este termo é usado num sentido mais específico, que envolve a aplicação de uma força a um corpo e o deslocamento deste corpo.
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TRABALHO DE UMA FORÇA CONSTANTE SOBRE UM OBJETO QUE SE MOVE EM UMA DIMENSÃO
Fr
dr
θ
. cosW F d W Fd θ= ⇒ =rr
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O trabalho é uma grandeza algébrica, que pode ser positivo ou negativo. Quando a força possui uma componente na mesma direção e sentido que o deslocamento, o trabalho realizado por ela é positivo.
Se o sentido da componente da força for oposto ao deslocamento, o trabalho será negativo. Se a força for perpendicular ao deslocamento, ela não terá componente na direção do deslocamento e o trabalho será nulo.
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TEOREMA DO TRABALHO-ENERGIA CINÉTICAO trabalho realizado pela força resultante
sobre uma partícula é igual à variação da energia cinética da partícula
2 20
1 1
2 2W K W mv mv= ∆ ⇒ = −
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Se o trabalho resultante realizado sobre uma partícula for positivo, então a energia cinética da partícula aumenta de uma quantidade igual ao trabalho. Se o trabalho resultante for negativo, então a energia cinética da partícula diminui de uma quantidade igual ao trabalho.
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TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA VARIÁVEL: EM UMA DIMENSÃO
Para uma força constante e de mesma direção e sentido do deslocamento é fácil verificar que o trabalho realizado por ela é igual a “área sob a curva” no gráfico , como está representado na figura abaixo. Mesmo quando o valor da força estiver variando esta propriedade é válida, sendo que o trabalho de uma força variável na direção x pode ser calculada por
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2
1
( )x
x
w F x dx= ∫
wx1 x2
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TRABALHO REALIZADO POR UMA FORÇA DE MOLA A força exercida pela mola pode,
portanto, ser expressa em termos de distância x, através da qual ela é esticada ou comprimida, a partir do seu comprimento de equilíbrio, por
F kx= −
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( )F F Fx x x
xi xi xi
W F x dx kx dx k xdx= = − = −∫ ∫ ∫2 2 2 21 1
( ) ( )2 2f i i fk x x k x x= − − = −
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POTÊNCIAA potência devido a uma força é a taxa
com que essa força realiza um trabalho sobre um objeto. Se a força realiza um trabalho W durante um intervalo de tempo é Δt, a potência média é
m
WP
t=
∆
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A potência instantânea P é a taxa instantânea de realização de trabalho, que pode ser escrita como
dWP
dt=
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Energia
Como a transformação pode ser entendida a partir do teorema trabalho energia.
Veremos que a soma da energia cinética e potencial fornece a energia mecânica total do sistema e essa energia permanece constante durante o movimento do sistema (lei da conservação da energia)
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Energia Potencial Gravitacional
Em muitas situações tudo se passa como se “a energia fosse armazenada em um sistema para ser recuperado depois.”
Garoto em um balanço: Nos pontos mais elevados, a energia é armazenada em outra forma, relacionada com a altura do ponto acima do solo, e esta energia é convertida em K quanto atinge o ponto inferior do arco.
Esse ex. da idéia de que existe uma energia associada com a posição dos corpos em um sistema. Este tipo de energia fornece o potencial ou a possibilidade de realizar trabalho (W)
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Energia Potencial Gravitacional
Quando um martelo é elevado no ar, existe um potencial para um trabalho sobre ele ser realizado pela força da gravidade, porém isso só ocorre quando o martelo é liberado. Por esse motivo, a energia associada com a posição denomina-se ENERGIA POTENCIAL.
Existe uma energia potencial associada com o peso do corpo e com a altura acima do solo. Chamamos essa energia de ENERGIA POTENCIAL GRAVITACIONAL.
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Energia Potencial Gravitacional
Quando um corpo cai sem resistência do ar, a energia potencial diminui à medida que a energia cinética aumenta.
Vimos “ usando o teorema do trabalho-energia para concluir que K do corpo em queda livre aumenta porque a força gravitacional realiza trabalho sobre ele.
Usaremos o teorema W-∆K para demonstrar que essas duas descrições de um corpo são equivalentes e para deduzir uma expressão para energia potencial.
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Energia Potencial Gravitacional
Considere um corpo de massa m que se move ao longo de um eixo 0y. A força que atua sobre ele é a gravitacional.
Qual o Wg realizado pelo peso sobre o corpo qdo cai de uma altura y1 acima da origem até uma altura menor y2?O peso e o deslocamento possui mesmo
sentido, de modo Wg realizado sobre o corpo é
positivo.
)()()( 212121 yymgyymgyyFdFW ggg −=−=−==
Equação também válida para quando y2 é maior que y1. Neste caso:
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Energia Potencial Gravitacional
Podemos expressar Wg em termos da quantidade mgy no início e no final do deslocamento.
mgyU = Energia potencialgravitacional
Seu valor inicial é U1 = mgy1 e seu valor final U2 = mgy2;
12 UUU −=∆
Podemos expressar Wg realizado pela força gravitacional durante o deslocamento de y1 a y2 como
UUUUUW ∆−=−−=−= )( 1221
Corpo se move de baixo para cima - y aumenta; Wg (-); U aumenta (∆U >0).
Corpo se move de cima para baixo - y diminui; Wg (+); U diminui (∆U >0).
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Forças conservativas e não conservativas
As forças que atuam num sistema, modificando-lhe a configuração, dizem-se conservativas quando, regressando o sistema à configuração inicial, readquire também a energia cinética inicial.
Isto significa que as forças conservativas conservaram a capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho, e daí o seu nome.
Fg realiza de A a B, um trabalho resistente, que se traduz num aumento de energia potencial do sistema. Segue-se, depois, um trabalho potente, de B para A, que se traduz na restituição à forma cinética do incremento de energia potencial que tinha sido armazenada.
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Forças conservativas e não conservativas
As forças que atuam num sistema dizem-se não conservativas ou dissipativas quando, ao deixarem de realizar trabalho, o sistema ou não regressa à configuração inicial ou regressa a ela com energia cinética diferente da que tinha no princípio.
A força de atrito, realiza sempre trabalho resistente não traduzido em aumento de energia potencial
Isto quer dizer que as forças não conservativas não conservarama capacidade que o sistema tinha de realizar trabalho.
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Independência da trajetória para o trabalho de forças
conservativas
Consideremos uma partícula em movimento em um percurso fechado, se o W realizado pela força neste percurso for nulo, então dizemos que as forças são conservativas.
Ou seja, a energia total que se transfere da partícula e para a partícula durante a viaje de ida e volta ao longo do percurso fechado é nula.
Exemplo: O lançamento de um tomate.
“O WR realizado pela força conservativa
movendo-se entre dois pontos não depende
da trajetória.”
0=resW
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Independência da trajetória para o trabalho de forças
conservativas
Consideremos um percurso fechado arbitrário para uma partícula sujeita a uma ação de uma única força.
A partícula se move do ponto inicial a para um ponto final b ao longo da trajetória 1 e retorna pela trajetória 2.
“A força realiza W sobre a partícula a medida que ela se movimenta ao longo de cada trajetória.”
• O W realizado de a até b ao longo da trajetória 1 é: Wab,1
• O W realizado da volta de b até a é; Wba,2
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Se F for conservativa; Wres = 0.
2,1,
2,1, 0
baab
baab
WW
WW
−==+
O W realizado ao longo da trajetória de ida é igual ao negativo do W realizado ao longo da volta.
Consideremos o Wab,2 realizado pela força sobre a partícula quando ela se move de a até b ao longo da trajetória 2.
2,2, baab WW −=
Substituindo a equação acima na equação anterior.
2,1, abab WW −=
Portanto o W independe da trajetória quando F for conservativa.
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Determinando Valores de Energia Potencial
Encontrar a energia potencial dos dois tipos de energia discutido nesta seção: energia potencial gravitacional e energia potencial elástica.
Encontrar uma relação geral entre uma força conservativa e a energia potencial a ela associada.
• Considere um objeto que se comporta como uma partícula e que é parte de um sistema no qual atua uma F conservativa.
“ quando esta força realiza W sobre o objeto, a variação ∆U na energia potencial associada ao sistema é o negativo do W.”
UW ∆−=
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Determinando Valores de Energia Potencial
No caso geral onde a força pode variar com a posição
Substituindo W = - ∆U, temos:
Relação geral entre força e energia potencial.
∫=f
i
x
x
dxxFW )(
∫−=∆f
i
x
x
dxxFU )(
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Energia Potencial Gravitacional
Consideremos uma partícula com massa m movendo-se verticalmente ao longo de y (positivo para cima). A medida que a partícula se move do ponto y1 para y2 a Fg realiza W sobre ela.
Podemos usar configurações de referência na qual a partícula esta
em um ponto de referência yi que tomamos como U = 0. Portanto:
“a energia potencial gravitacional associada ao sistema partícula-terra depende apenas da
Posição vertical y da partícula em relação à posição de referência y = 0, e não da
posição. Horizontal.”
ymgmgdymgdyxFU yy
x
x
x
x
f
i
f
i
∆==−−=−=∆ ∫∫ 2
1|)()(
mgyyU =)(
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Energia Potencial Elástica Consideremos um sistema massa-mola, com o bloco se
movendo na extremidade de uma mola de constante elástica k. Enquanto o bloco se move do ponto xi para o xf, a força da mola F = -kx realiza W sobre o bloco.
Escolhendo um valor de referência U com o bloco na posição x na
qual a mola se encontra relaxado x= 0.
22
2
1
2
1
2
1|)()( 2
1
if
xx
x
x
x
x
kxkxU
xkkxdxkxdxxFUf
i
f
i
−=∆
∆==−−=−=∆ ∫∫
22
2
1 ;0
2
10 kxUkxU =−=−
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Conservação da Energia Mecânica
A energia mecânica de um sistema é a soma da energia cinética e potencial dos objetos que compõem o sistema:
Energia mecânica: Forças conservativas e o sistema é isolado (Fext
= 0). Quando uma F conservativa realiza W sobre um objeto dentro
de um sistema, essa força transfere energia entre a K do objeto e a U do sistema. Pelo teorema W-∆K
UKEmec +=
WK =∆
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Usando a equação da variação na energia potencial
Combinando as duas equações anteriores
Uma dessas energias aumenta na mesma quantidade que a outra
diminui.
Podemos reescrever como
WU −=∆
Conservação da Energia Mecânica
UK ∆−=∆
1122
1212 )(
UKUK
UUKK
+=+−−=− Conservação da energia
mecânica.
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“Em um sistema isolado onde apenas forças conservativas causam
variações de energia, a energia cinética e a energia potencial podem
variar, mas a sua soma, a energia mecânica Emec do sistema, não pode
variar”
Este resultado é chamado de PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃODA
ENEGIA MECÂNICA.
Podemos escrever esse princípio de outra forma
Conservação da Energia Mecânica
UKEmec ∆+∆=∆Este princípio nos permite resolverProblemas que seriam difíceis usandoapenas as Leis de Newton.
Quando a energia se conserva, podemos a soma de K e U em cada instante com aquele novo instante sem considerar o movimento intermediário e sem determinar o WR das F envolvidas.
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Conservação da Energia Mecânica
Exemplo do princípio de conservação aplicado: Enquanto um pêndulo oscila, a energia do sistema pêndulo-terra é transferida entre K e U, com a soma K+U permanecendo constante.
Se conhecermos a Ug quando a massa do pêndulo esta no seu ponto mais alto, a equação da conservação da energia nos fornece a K do ponto mais baixo.
Vamos escolher o ponto mais baixo como ponto de referência, com U2 = 0 e no ponto mais alto U1 = 20 J. Como a massa pará momentaneamente no ponto mais alto, K1 = 0. Qual a energia no ponto mais baixo?
JKK 20 ;2000 22 =+=+
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![Page 36: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/36.jpg)
Interpretando uma curva de energia potencial
Consideremos uma partícula que faz parte de um sistema no qual atuam uma força conservativa. O movimento da partícula se dar ao longo de um eixo x enquanto a F conservativa realiza W sobre ela.
Podemos obter bastante informação sobre o movimento da partícula a partir do gráfico energia potencial do sistema U(x).
Vimos que se conhecemos a F(x) que atua sobre a partícula podemos encontrar a energia potencial
∫−=∆f
i
x
x
dxxFU )(
![Page 37: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/37.jpg)
Interpretando uma curva de energia potencial
Queremos fazer agora o contrário; isto é, conhecemos a energia
potencial U(x) e queremos determinar a força.
Para o movimento em uma dimensão, o W realizado pela força que atua sobre a partícula se move através de uma distância ∆x é F(x) ∆x. Podemos escrever
Passando ao limite diferencial
xxFWU ∆−=−=∆ )(
dx
xdUxF
)()( −=
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Interpretando uma curva de energia potencial
Verificar este resultado U(x) = ½ kx2 que é a energia potencial elástica e U(x) = mgx.
A curva de energia potencial
- U versus x : podemos encontrar F medindo a inclinação da curva de U(x) em vários
pontos.
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Interpretando uma curva de energia potencial
Pontos de retorno
Na ausência da força conservativas, a energia mecânica E de um
Sistema possui um valor constante dado por
K(x) é uma função energia cinética de uma partícula no sistema.
Como Emec é constante, pelo ex. anterior igual a 5 J. Portanto no
ponto x5
mecExUxK =+ )()(
)()( xUExK mec −=
JxK 145)( =−=
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Interpretando uma curva de energia potencial
Pontos de Retorno
O valor de K máximo (5J) é no ponto x2 quando U(x) é mínimo.
• K nunca pode ser negativo (v2), a partícula não pode se mover a para esquerda de x1, Emec – U(x) é negativo. Quando a partícula se move em direção a x1 a partir de x2, K diminui até K = 0 em x1.
• Em x1 – a força é positiva (inclinação negativa). Significa que a partícula não permanece em x1, mas começa a se mover para direita, em sentido oposto ao seu movimento anterior. Portanto x1 é um PONTO DE RETORNO, um lugar onde K = 0 (pois U = E) e a partícula inverte o sentido do movimento.
![Page 41: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/41.jpg)
Interpretando uma curva de energia potencial
Pontos de Equilíbrio
3 valores diferentes de Emec.
Se Emec = 4 J, o ponto de retorno mudar de x1 para um valor entre x1 e x2.
Qualquer ponto a direita de x5, a energia mecânica do sistema é igual a U(x); portanto, K = 0e nenhuma força atua sobre a mesma, de modo que ela precisa estáem repouso. Diz-se que a partícula em tal posição está em EQUILÍBRIO NEUTRO.
![Page 42: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/42.jpg)
Interpretando uma curva de energia potencial
Pontos de Equilíbrio
Se Emec = 3 J, existe dois pontos de retorno: um entre x1 e x2 e outro entre x4 e x5. Além disso x3 é um ponto onde K = 0. Se a partícula estiver neste ponto, a F = 0 e a partícula permanecerá em repouso.Se ela for ligeiramente deslocada em qualquer um dos dois sentidos,uma força não nula a empurra no mesmo sentido e a partícula continua se afastando ainda mais do ponto inicial. Uma partícula emtal posição é considerada em EQUILÍBRIO INSTÁVEL.
![Page 43: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/43.jpg)
Interpretando uma curva de energia potencial
Pontos de Equilíbrio
Se Emec = 1 J. Se colocarmos em x4 ela permanecerá nesta posição. Ela não pode se mover nem para direita nem para esquerda por sua conta própria, pois seria necessário uma K negativa.
Se empurramos ligeiramente para a esquerda ou para direita, apareceuma força restauradora que a faz retornar ao ponto x4. Uma partículaem tal posição é considerada em EQUILÍBRIO ESTÁVEL.
![Page 44: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/44.jpg)
Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema
vimos: “ O W é a energia transferida PARA um sistema ou DE
um sistema devido a atuação de uma força externa sobre este
sistema.”
Podemos extender esse conceito para uma Fext atuando sobre
Um sistema.Quando a transferência deenergia é PARA o sistema.
Quando a transferência deenergia é DO o sistema.
![Page 45: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/45.jpg)
Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema
NA AUSÊNCIA DE ATRITO
Num boliche quando você vai arremessar a bola, inicialmente você
se agacha e coloca suas mãos em forma de concha por debaixo da
bola sobre o peso.
Depois você levanta rapidamente enquanto ao mesmo tempo puxa
suas mãos bruscamente, lançando a bola para cima no nível do rosto.
Durante o seu movimento para cima, a F que vc aplica realiza W, isto
é, ela é uma força externa que transfere energia, mas para qual
sistema?
![Page 46: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/46.jpg)
Trabalho Realizado por uma Força Externa sobre um Sistema
NA AUSÊNCIA DE ATRITO
Verificar quais energias se modificam:
Há variação ∆K da bola, e como a bola e a terra ficaram afastada, também houve uma variação ∆Ug do sistema bola-terra.
Para incluir essas variações, precisamos considerar o sistema bola-
terra. Assim F é uma Fext que realiza W sobre o sistema, e o W é
mecEUKW ∆=∆+∆=
Energia equivalente para o W realizado por Fext
sobre um sistema sem atrito.
![Page 47: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/47.jpg)
NA PRESENÇA DE ATRITO
Consideremos um sistema onde uma F horizontal constante puxa o bloco
ao longo do eixo x deslocando-o por uma distância d e aumentando a velo-
cidade do bloco de v0 para v.
O bloco será nosso sistema. Aplicando a segunda lei de Newton
mafF c =−
![Page 48: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/48.jpg)
Como as forças são constantes , temos
Numa situação mais geral (uma na qual o bloco esteja subindo uma
rampa), pode haver uma variação na energia potencial. Para incluir
tal variação, temos
Verificamos experimentalmente que o bloco e a porção do piso ao
longo do qual ele se desloca ficam aquecidos enquanto o bloco
desliza. Portanto foi verificado experimentalmente que essa energia
térmica é igual
Portanto
advv 220
2 +=
dfKFd c+∆=
dfEFd cmec +∆=
dfE cT =∆
Tmec EEW +∆= Trabalho realizado pelo sistema em presença de atrito.
![Page 49: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/49.jpg)
Conservação da Energia
Todos os casos discutidos até agora obedecem a LEI DE CONSERVAÇÃO,
que está relacionada com a energia total de um sistema. Essa energia total é
a soma da energia mecânica com a térmica ou qualquer outro tipo de
energia interna.
“A energia total E de um sistema pode mudar apenas por quantidades de
energias que são transferidas para o sistema ou delas retiradas.”
O único tipo de energia de transferência de energia que consideramos e o W
realizado sobre um sistema. Assim, esta lei estabelece
A lei de conservação de energia é algo baseado em inúmeros experimentos.
intEEEEW Tmec ∆+∆+∆=∆=
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Conservação da Energia
SISTEMA ISOLADO
Se um sistema está isolado de uma vizinhança, não podendo haver
trocas com a vizinhança. Para este caso a lei de conservação da
energia diz:
“A energia total E, de um sistema isolado não pode variar.”
Pode haver muitas transferências dentro do sistema; energia cinética
em energia potencial ou térmica, entretanto a energia total do sistema
não pode variar.
![Page 51: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/51.jpg)
Conservação da Energia
e
int1,2, EEEE Tmecmec ∆−∆−=
“Em um sistema isolado, podemos relacionar a energia total em um dado instante com a energia total em outro instante sem ter que
considerar as energias em tempos intermediários.”
A conservação da energia pode der escrita de duas maneiras:
0int =∆+∆+∆ EEE Tmec0=W
![Page 52: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/52.jpg)
Uma força externa pode mudar a K ou U de um
objeto sem realizar W, isto é, sem transferir energia
para o objeto. Em vez disso, é a força responsável
pela transferência de energia de uma forma para
outra dentro do objeto.
Patinadora no gelo, inicialmente em repouso, empurra
um corrimão e passa a deslizar sobre o gelo. Sua K
aumenta porque o corrimão exerceu uma Fext sobre ela.
No entanto a F não transfere energia para o corrimão
para ela. Assim a força não realiza W sobre ela. Ao
contrário a K aumenta como resultado de transferências
internas a partir da energia bioquimica contida nos seus
musculos.
FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA
![Page 53: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/53.jpg)
Nesta situação podemos relacionar a Fext que atua sobre um objeto com
a variação da energia mecânica do objeto.
Durante seu empurrão e deslocamento de uma distância d, podemos
considerar a aceleração constante, com velocidade variando de v0 a v e a
patinadora com uma partícula desprezando o esforço de seus músculos.
A situação também envolve uma variação na elevação do objeto,
podemos incluir a energia potencial
FORÇAS EXTERNAS E TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA INTERNA
θθ
cos
cos0
FdK
FdKK
=∆=−
θcosFdUK =∆+∆A força do lado direito dessaEq. não realiza W, mais é responsável pelas variações das energias.
![Page 54: Energia e Trabalho](https://reader031.fdocument.pub/reader031/viewer/2022020207/55a0cc081a28ab42218b4607/html5/thumbnails/54.jpg)
Potência é a taxa com que uma força transfere energia de uma forma
para outra.
“Se uma certa quantidade de energia ∆E é transferida durante um
intervalo de tempo ∆t, a potência média devida à força é”
E a potencia instantânea
t
EPmed ∆
∆=
POTÊNCIA
.dt
dEP =