Energia del campo elettrostatico - INFN Bolognabruni/didattica/Esercizi_2011/8... · 2011. 11....
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Energia del campo elettrostatico
Carica di un condensatore stato iniziale: carica=(0,0), V=0 stato finale: carica=(Q,-Q), V=Q/C
La separazione di cariche richiede un lavoro
dW = dqV (q) = dq qC
Lavoro per spostare la carica dq da una armatura all’altra quando sulle armature e` presente la carica q e –q.
Energia del campo elettrostatico
W = dW (q) = dq qC0
Q
!0
Q
! =Q2
2C
= energia potenziale elettrostatica immagazzinata nel sistema attraverso l’operazione di carica.
UE =Q2
2C=CV 2
2=QV2
Densita` di energia nel campo elettrostatico Condensatore piano a facce parallele (ideale:
no effetti ai bordi) Area armature: A, distanza: h, volume: Ah
UE =12CV 2 =
12!0Ah(Eh)2 = 1
2!0E
2(Ah)
Dividendo per il volume:
uE =12!0E
2Densita` di energia elettrostatica. Valida in generale.
Densita` di energia nel campo elettrostatico Se in un volume V dello spazio e` presente
un campo elettrostatico E, l’energia elettrostatica contenuta nel volume e`:
UE = uE (!r )dV =
12V!
V! !0 |
!E(!r ) |2 dV
Lavoro per costruire la distribuzione di cariche che origina il campo
Risultato molto importante nei fenomeni dinamici
Esempio Q
r Sfera di raggio r Carica Q sulla superficie
Energia elettrostatica
nel campo ??
!E(r) =
0 r ! R14!"0
Qr2!er r > R
"
#$
%$
UE =!0E
2
2! dV =!02Q2
16"!02
1r4R
!
" (4" r2 )dr = Q2
8!"0
drr2R
!
" =18!"0
Q2
R
Osservazione: coincide con UE =Q2
2C(lavoro per caricare)
Esempio
r R1
R2
R3
Q
-Q
Carica +Q e -Q sulle superficie di un condensatore sferico ai raggi R1 e R2
!E(r) =
14!"0
Qr2!er R1 < r < R2
0 altrove
!
"#
$#
UE =!0E
2
2! dV =Q2
8!"0
drr2R1
R2
! =Q2
8!"0
1R1!1R2
"
#$
%
&'
Esercizio: verificare che UE =Q2
2C
Esempio Condensatore cilindrico di raggi R1e R2 e altezza h
!E(r) =
14!"0
Qh1r!er R1 < r < R2
0 altrove
!
"#
$#
dV = 2! rhdr
UE =!0E
2
2! dV =14!"0R1
R2
! Q2
hrdr =
Q2
4!"0
1hlogR2R1
Esercizio: verificare che UE =Q2
2C
Esempio
C1
V1
Q1 C2
V2
Q2
UEin =
12C1V1
2 +12C2V2
2 =12Q1V1 +
12Q2V2V
Q’1 Q’2
UEfin =
12CV 2 =
12(C1 +C2 )
(C1V1 +C2V2 )2
(C1 +C2 )2 =
(C1V1 +C2V2 )2
2(C1 +C2 )
!UE =UEfin "UE
in = "12C1C2C1 +C2
(V1 "V2 )2 < 0
Lo spostamento delle cariche ha richiesto un lavoro
Q =Q1 +Q2 =Q '1+Q '2Q =CV =C1V1 +C2V2(C1 +C2 )V =C1V1 +C2V2
V =C1V1 +C2V2C1 +C2
Energia di sistemi di cariche
Sistema di cariche puntiformi
UE =12
qiq j4!"0rijij
! =12
qiVijij!
Distribuzioni continue
UE =12V (!x! )!(
!x)d 3x + 1
2V (!x! )! (
!x)dA+ 1
2V (!x! )!(
!x)dl
Sempre vero: UE =!02
|!E(!x! ) |2 d 3x
Energia di sistemi di cariche (distribuzione continua)
UE =12
!Vd 3x! !! "!E = !
"0# ! = "0
!! "!E
UE =12
!0!! "!EVd 3x#
V!! "!E =!! " (V
!E)!
!E !!!V =
!! " (V
!E)+ E 2
UE =!02
d 3x!! V!E( )
SR
" + d 3x |!E |2
SR
"#
$%%
&
'((
=!02
V!E( ) ! !ndA+ E 2" d 3x
#(SR )"
$
%&&
'
())1
r 2
1r
2r !02
E 2d 3x!
Integriamo su una sfera SR e mandiamo il suo raggio all’infinito
Energia di sistemi di conduttori Conduttori
carica superficiale (σι) superficie equipotenziali (Vi)
Esempio. Condensatore: UE =12Q1V1 +Q2V2( ) = 12Q V1 !V2( )
UE =12
!V dA = 12
Vi ! i!!i"! dAi =
12
ViQii"
Esempio
Energia elettrostatica di 2 sfere conduttrici (cariche Q1 e Q2, raggi R1 e R2, distanza d>>Ri)
UE =12Q1V1 +Q2V2( )
V1 !Q1
4!"0R1+Q24!"0d
V2 !Q2
4!"0R2+Q14!"0d
UE =Q12
2C1+Q22
2C2+Q1Q24!"0d
Energia di mutua interazione.
L’unica presente per cariche puntiformi.
Esempio
Energia elettrostatica di una sfera di raggio R uniformemente carica
E(r) =
q4!"0r
2 r > R !UE =!02
E 24! r2 dr = q2
8!"0RR
!
"
!r3!0
r ! R !UE =!02
E 24! r2 dr = 15
q2
8!"0R0
R
!
"
#
$$
%
$$
UE =q2
8!"0R+15
q2
8!"0R=35
q2
4!"0R
Pressione elettrostatica Forza attrattiva tra le armature di un condensatore
piano nel vuoto. UE =
Q2
21C=Q2
2x!0Afissa
mobile
F
Fext Forza esterna bilancia F L’energia cinetica non cambia
dUE = dWext = Fextdx
dUE =Q2
2dx!0A
F =Q2
2!0A= !
"UE
"x
#
$%
&
'(Q=cost
p = FA=Q2
2!0A2 =
" 2
2!0=12|" | E
Pressione elettrostatica Nell’esempio precedente Q=costante. Supponiamo ora
V=costante. Il generatore esterno dovra` compiere un lavoro per fornire la
carica necessaria a mantenere V=costante.
dUE = dWext + dW gen
fissa
mobile
F
Fext
C =!0Ax
UE =12CV 2 =
12V 2 !0A
x
dC = !!0Ax2dx dUE = (F
ext !V 2 !0Ax2)dx
dUE = !V2 !0A2x2
dx
F = !Fext =!0AV
2
2x2=
"UE
"x
#
$%
&
'(V=cost
= Fextdx +VdQ = Fextdx +V 2dC
Condensatori