OSNOVE TEORIJE

VEROVATNOĆE

Teorija grešaka geodetskih merenja

Profesor, dr Branko Božić, dipl.geod.inž..

Građevinski fakultet u Beogradu

Odsek za geodeziju i geoinformatiku

Verzija 01.03.2017.

SADRZAJ

• STATISTIČKE RASPODELE

Raspodele diskretnih slučajnih promenljivih

- Binomna

- Poasonova

- Hipergeometrijska

Raspodele kontinuiranih slučajnih promenljivih

- Normalna raspodela

- Studentova raspodela

- Hi-kvadrat raspdela

- Fišerova raspodela

RASPODELE DISKRETNE

SLUČAJNE PROMENLJIVE

Raspodele diskretnih slučajnih

promenljivih – Binomna raspodela

Osnovni priblem glasi – koliko puta će se neki događaj dogoditi u n nezavisnih

pokušaja, a da pri svakom pokušaju verovatnoća pojave događaja A bude ista, P(A) =

p. Funkcija gustina verovatnoća binomne ili Bernulijeve raspodele glasi

xnxqpx

nxf

)(

Srednja vrednost binomne raspodele glasi pn

n - broj nezavisnih pokušaja, a X = x označava da se

događaj A dogodio x puta, a q = 1 - p

Varijansa je jednaka qpn 2

Raspodele diskretnih slučajnih

promenljivih – Poasonova raspodela

Poasonova raspodela je posledica graničnog slučaja binomne raspodele

Funkcija gustine verovatnoća glasi

e

xxf

!)(

3

Srednja vrednost i varijansa su jednaki2

Raspodele diskretnih slučajnih promenljivih –

Hipergeometrijska raspodela

RASPODELE KONTINUIRANE

SLUČAJNE PROMENLJIVE

Raspodele kontinuirane slučajne promenljive – Normalna

raspodela

Slucajna promenljiva X pripada normalnoj raspodeli sa parametrima i 2, u oznaci

X N(, 2), ukoliko je njena funkcija gustine f(x) definisana sa

xзаe

2

1)x(f

2

2

2

)x(

Osnovne osobine f(x):

1. f(x) simetricna u odnosu na srednju vrednost;

2. Srednja vrednost = moda = medijana;

3. Prevojne tacke za udaljene od srednje vrednosti;

4. f(x) se asimptotski priblizava 0 kada n tezi

5. Verovatnoca da X bude u intervalu od x1 do x2 definisana je krivom raspodele, osom x i granicama

intervala x=x1 i x=x2.

9973.033

9545.022

6827.0

xxx

xxx

xxx

xP

xP

xP

(31)

x1 x2 x3

STATISTIČKE RASPODELE – Normalna (Gausova)

raspodela

24

2

2

2y

yx

dx

yd

1

xy

dx

yd2

2

22

2

Ako u (31) za = 0, f(x) = y diferenciramo po x

2

2

22

2

1

x

ex

dx

dy

yx

dx

dy2

Drugi izvod od (31) glasi

222

2y

dx

dyx

dx

yd

2

1y

(32)

(33)

Standardizovana slučajna

promenlljiva

xx/)X(Z

2

2

2

110

z

e),;z(f

2

2

2

2

1x

x )x(

x

e)x(f

Funkcija raspodele standardizovane slučajne

promenlljivedze),;z(F

x z

2

2

2

110

Koristi se pri:

- otkrivanju grubih grešaka

- definisanju intervala

srednje vrednosti

- testiranju na saglasnost

srednjih vrednosti,...

Za

(34)

(35)

Funkcija gustine standardizovane

slučajne promenlljive

STATISTIČKE RASPODELE – Normalna (Gausova)

raspodela

Verovatnoća da slučajna promenljiva Z bude manja od x),;z(F)xZ(P 10

)a(F)b(F)bZa(P Verovatnoća da Z bude izmedju a i b

)t(F)t(F)tZ(P za - a = b = t

Kao posledica simetričnosti

)tZ(P)tZ(P

kako je ukupna verovatnoća pojave Z jednaka 1, tada

)t(F)t(F1 1)t(F2)tZ(P

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

Greška sa verovatnoćom pojave od 50%

)t(F75.0

)t(F25.1

1)t(F25.0)tZ(P

6745.0E50

Greška sa verovatnoćom pojave od 95%

)t(F975.0

)t(F295.1

1)t(F295.0)tZ(P

96.1E95

Tabela D1: Kvantili (procentne tačke) funkcije standardizovane promenljive

normalne raspodele (izraz 11), deo tabele D1 – jednostrana funkcija 1.96

97.5%

dze),;z(Fx z

2

2

2

110

PRIMER 1: Srednja vrednost duzine merene

n puta iznosi d=15.00 m i ocenjena je sa

standardnim odstupanjem s=3.00 cm. Kolika

je verovatnoća da će se pojedini rezultat

merenja naći u intervalu između 14.98 m i

15.02 m.

z1=(14.98-15.00)/0.03= - 0.667

z2 =(15.02-15.00)/0.03=+0.667

P(-0.667 < Z < 0.667)=0.495 ili 49.5%

- 0.667 0.667

49.5 %

Primer 2: Sračunati

a) P(X<=3.23) ako je N(0,1)

P(X<=3.23)=F(3.23)=0.99938

b) P(2<= X<=9)=F(9)-F(2)=

= 1-0.9772=0.0228

STATISTIČKE RASPODELE – 2 (hi-kvadrat) raspodela

X1,X2,…,Xn, - n nezavisnih slučajnih promenljivih – svaka pripada normalnoj raspodeli sa

srednjom vrednošću 0 i varijansom 1

Zbir njihovih kvadrata definiše slučajnu promenljivu koja se ponaša po zakonu 2 raspodele

(Pirsonov raspodela - Karl Pearson, 1900.) sa f stepeni slobode.

2

n

2

2

2

1

2

n X...XX

Koristi se:

- pri testiranju saglasnosti dve varijanse,

- definisanju intervala ocene varijanse,

- ocene adekvatnosti funkcionalnog i stohastičkog

modela pri izravnanju,

- itd.

2

2

2

,f

~sf

T

Neka je x1, x2, …, xn sa srednjom vrednoscu i

varijansom 2 uzorak dimenzija n. Po definiciji, statistika

Kvantil 2 rasporeda uzima se iz tablica za zadati

nivo poverenja α i broj stepeni slobode f.

(41)

(42)

2

x

2

2n

n

2

n exc)x(f)(f

Funkcija gustine

STATISTIČKE RASPODELE – 2 (hi-kvadrat) rasporeda

Za f=10 i =0.05 Za f=10 i =0.95

90%

Kvantili

STATISTIČKE RASPODELE – Studentova (t) raspodela

X1,X2,…,Xn, - n nezavisnih slučajnih promenljivih – svaka pripada normalnoj raspodeli sa

srednjom vrednošću 0 i varijansom 1.

ns

xt

n

1k

kxn

1x

n

1k

2

k

2xx

1n

1spripada Studentovoj raspodeli - t raspodeli

(William Sealy Gosset,1908).

Koristi se pri:

- testiranju saglasnosti srednjih vrednosti,

- definisanju intervala poverenja ocene srednje

vrednosti,

- oceni prisustva grubih grešaka u

posmatranom uzorku, itd.

ili

f

Zt

2

Z – standardizovana promenljiva

f – broj stepeni slobode

2 slučajna promenljiva (43)

(44)

(45)

STATISTIČKE RASPODELE – Studentova (t) raspodela

За f=20 и =0.05

2.086

1- = 0.95%

Jednostrani interval

2.086

Jednostrani interval

За f=20 и =0.1 1.725

STATISTIČKE RASPODELE – Fišerova raspodela

(F raspodela)

X1,X2,…,Xm i Y1,Y2,…,Yn dva skupa nezavisnih slučajnih promenljivih normalnoj

raspodeli, svaki sa srednjom vrednošću 0 i varijansom 1.

m

1i

2

i

2

m

2

2

2

1

2

1 XX...XX

n

1i

2

i

2

n

2

2

2

1

2

2 YY...YY

Ako su 12 i 2

2 dve nezavisne slučajne promenljive koje pripadaju 2 raspodeli sa f1 i f2stepeni slobode, tada se, po definiciji, statistika

2

2

2

1

2

1

f

fF

ponaša po zakonu Fišerove raspodele.

Koristi se pri:

- testiranju medjusobne saglasnosti dve varijanse

- definisanju intervala poverenja količnika dve varijanse,

- testiranju raspodela, itd.

(46)

(47)

STATISTIČKE RASPODELE – Fišerova raspodela

(F raspodela)

За =0.05 и f1=10 и f2=7 F0.05,10,7 = 3.14

5%95%