ÉLŐJÁTÉK/1: ÉN+A DERIVE: Nélküle? Vele? (heé, hé, bra, emo, der,1xű)
description
Transcript of ÉLŐJÁTÉK/1: ÉN+A DERIVE: Nélküle? Vele? (heé, hé, bra, emo, der,1xű)
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
1
ÉLŐJÁTÉK/1: ÉN+A DERIVE: Nélküle? Vele? (heé, hé, bra, emo, der,1xű)
1.) BME, angol képzés (siker)2.) BGF, TASSO1: lineáris algebrai feladatok megoldása („első BT-m”)3.) BGF, TASSO2: GázMat tanulást segítő program fejlesztés: „Elég 1 perc a kudarchoz”, lásd az alantast:
HéMaxAlak.dfw beolvasása után#28 Határérték(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1])#29 Extrémum(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1], [])#30 Konvexitás(x^4/(1+x^3), [-inf,inf], [-1], [])
3)Érintő PINT HINT ÖDE HÉ EX KV2) So_Sajat.mth
LinearAlgebra.Mth LinaSom.dfw LinaGaussJordan1.dfw LinaTransz1.dfw LinaTransz2.dfw
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
2
ÉLŐJÁTÉK/2: ÉN + az EXCELTRANSZ: a „győztes” transzformációs eszköz, l. www.zweigmedia.com
14. sor SorMűveletek 10R1→ Sorműveletek elvégzése → 14. sort szorozza 10-el.
14. sor SorMűveletek R2, 15. sor SorMűveletek R1→ Sorműveletek elvégzése → 14.sor és 15.sor felcserélődik.
15. sor SorMűveletek R2-3R1 → Sorműveletek elvégzése → 15. sorhoz a 14. sor (-3)szorosa adódik. Mj. Hasonló sorműveletek szimultán is végezhetőek.
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
33
Logisztikusan a „káoszig”, valamint Barreto „kitűnőségéről”
Diaszámok alakulása: 40 ↓ 26 ↑ 26+2 ↑ 26+2+7=33. A teljes helye: www.tasso.hu
KKK?aDERIVEa TIÉD!
DERIVE program+Kézikönyv+egyebek Letöltési helye:
www.bgf.hu / KKK / Bejelentkezés: kkfk \ felhasználó jelszó
SZERVEZETI EGYSÉGEK / OKTATÁSI SZERVEZETI EGYSÉGEK / MÓDSZERTANI INTÉZETI TANSZÉKI OSZTÁLY /DOKUMENTUMTÁR / DERIVE stb.
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
44
#55: InputMode := Word {menüről}
{ODE1Simple.mth beolvasása menüről }
> ODE1(x’ = k•x•(a - x), t = t0, y = x0) {parancssorból egyszerűsítéssel}
1) Folytonos idejű logisztikus egyenlet(ek) és megoldás(uk)
(1.1) , d.e. folytonos idejű logisztikus egyenlet, k.é.p.
problémájának megoldása logisztikus függvény, ahol Kézzel?
xakxdt
dx
F1) , megoldása DERIVE 6.1-el: xakxdt
dx
00 )( xtx
0 t0)(t*ka
LN(x0)
a
a)LN(x0
a
LN(x)
a
a)LN(x :56#
{Megoldás menüről x-re nézve:}
{utóbbit -vel osztva:}x0)(a•t0•k•aet•k•ae•x0
t•k•ae•x0•a x:#57
tkae
, megoldása , ahol 0t-ta00
0xkexax
ax
00t-ta00 kexax
.0>,0 ka
00 )( xtx
xakxdt
dx 00 )( xtx
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
55
F2) A , , , megoldása MapleV.5-tel: xakxdt
dx 00 )( xtx 0k 0a
Mo: > de:=diff(x(t),t)=k*x(t)*(a-x(t));
)()()(: txatxktxt
de
> dsolve(de,x(t)); dsolve({de,x(t0)=x0},x(t));
> simplify(%,exp); # a simplify(%,exp) exponenciális típusú egyszerűsítést végez
ae
atx
kat _C11)(
, ahol _C1=c tetsz.
00
1
)( 0
xexa
atx ttka
k.é.p. megoldása, ,
00t-ta00 kexax 0t-ta
00
0xkexax
ax
,xakxdt
dx 00 )( xtx
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
66
F4) k=0.5, a=4 -re , x(0) = 1, 2.5, 6, 0, 4 grafikus megoldása xakxdt
dx
> restart: a:=4: k:=0.5: with(DEtools): Eq:=diff(x(t),t)=k*x(t)*(a-x(t)); # egy.
> Points:={[0,1],[0,2.5],[0,6],[0,0],[0,4]}: # k.f.> DEplot(Eq,x(t),t=0..2.5,Points,x=-1..6, arrows=slim,linecolour=blue); #mo., ábra
))(4)((5.)(: txtxtxt
Eq
Az x(t)=a e.h. aszimptotikusan stabilis az x(t)=0 e.h. helyzet instabilis.- stab.- , úgy a.st.
t atx )(atxttatx )(akkor , ha)( 00
atx )(
DEplot összevetésedsolve és display-el.
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
77
F4) Igazoljuk „elemi módon”, hogy a kezdeti érték
probléma rögzített tetszőleges értékére egyértelműen
megoldható megfelelő intervallumon és a megoldás:
ahol
Végezzünk teljes függvényvizsgálatot az -n a következő esetekben: (x(t) a logisztikus függvény), (e.h.), (e.h.)
,xakxdt
dx 00 )( xtx
,0k ,0a ,0t 0x
,x
0t-ta00
0kexax
ax
,
0ha,
0ha,
0ha
0
0
0
axtt
axt
xatt
I
krit
krit
I
.ln1
00
0
ax
x
akttkrit
00 xa )(tx
,00 ax ,0 0 ax 00 x ax 0
F5) logisztikus függvény ábrája: 0t-ta00
0xkexax
atx
00450 00 , x, t, a,k
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
88
Mivel és , így -ben -nek maximuma van.
Állítás. Ha tetszőleges, akkor
egyetlen Inflexiós pontja: ahol és Ugyanakkor
-nek a helyen abszolút maximuma van és ez
000
0)( ttkaexax
xatx
,0k ,0a ,0 0 ax 0t
,, infinf xtka
xxa
tt
0
0
0inf
ln
.2inf
ax
tx inft
Igazoljuk előző állításainkat a Maple program felhasználásával.> restart: x:=a*x0/(x0+(a-x0)*exp(-k*a*(t-t0))): xd:=diff(x,t): #> xdd:=diff(x,t,t): xddd:=diff(x,t,t,t): solve(xdd=0,t): tinf:=expand(%); #
ka
x
xa
tka
xa
x
tt
0
0
00
0
0inf
lnln
> xinf:=subs(t=tinf,x):xinf:=simplify(xinf,ln); #2/:inf ax
,tx tx
inftx
0 tx
34)8/1( ka> simplify(subs(t=tinf,xddd)); # inftx
> subst(t=tinf,xd); #2)4/1( ka
inftxMivel és , így
valóban inflexiós pont.
0inf tx 0inf tx
inft 0)( inf tx 0)8/1()( 34inf katx tx
.max4
1 2 txtka
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
99
2) Diffúziós modell, mint speciális folytonos idejű logisztikus egyenlet
A tipikus diffúziós modell
(2.1)
ahol
─ N(t) a t időpontig egy innovációt ténylegesen elfogadók száma
─ m a potenciális elfogadók maximális száma
─ g(t) a diffúziós együttható
─ dN(t)/dt a a diffúzió terjedési sebessége
,0)0( ,)()()(
NtNmtgdt
tdN
Szokásos feltétel:
Könnyen igazolható, hogy a (2.1) diffúziós modell az
(2.2)alakba írható át, ahol F(t)=N(t)/m, a>0, b>0, m>0 és (2.2) az (1.1) szerint vizsgálható, továbbá eredményei visszaszállnak (2.1)-re:
),()( tNbatg ,0a .0b
0)0( ,)(1)()( FtFtFbatF
./ mbb
N’(t) (penetrációs ráta) maximuma N’(tinf)=(a+b)2m/ (4ab),
0<N(t)<m; N(t) sz.m.nő; t<tinf-re konvex, t>tinf-re konkáv;
)/()/ln(inf ababt
.)(lim mtNt
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
1010
Egyváltozós fázisgörbe )(1)()( tFtFbatF
mtFtN )()(
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
1111
3.) A folytonos idejű logisztikus egyenlet alkalmazása népesség becslésére egy populációs modellben
UK népessége 1781-től 1931-ig (millió fő )
Malthus modell: dp/dt=a*p, p(0)=13
Logisztikus növekedési modell:
tetp 1092.013)(
,)(2 bpapbpapdt
dp ,)( 00 ptp
,13)0(01781 pt ,135.24)50(501831 pt 934.34)100(01881 pt
,)(0
00
0ttaebpabp
aptp
(4.1)
1980004360453,0,60203830194,0,13,0 00 bapt (4.2)
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
1212
> eq1:=24.135=13*a/(13*b+(a-13*b)*exp(-50*a)):> eq2:=34.934=13*a/(13*b+(a-13*b)*exp(-100*a)):
> fsolve({eq1,eq2},{a,b},{a=0.02..0.03,b=0.0004..0.0005}); {a = .02038301946, b = .0004360453198}
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
1313
Ezek szerint az UK népessége 1781-től 1931-ben (millió főben )
t946-.0203830130e.014714430091570.00566858
300.26497925)( tp
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
1414
4/I. Diszkrét dinamikus rendszerekről. Stabilitás, pókháló diagram, stb.
1. def. elsőrendű diszkrét autonóm dinamikus rendszer
2. def. Ha akkor egyensúlyi helyzet.
3.-5. def. Az egyensúlyi helyzet lehet stabilis, taszító, aszimptotikusan stabilis, ha ..
,2,1,0t ,1 tt yfy
,)( yfy y
yy0 yyf n0 yy00 .0 yyf
yy0
yy
t t
lim
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
1515
4/II. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal bayyfy ttt 1
vonzó e.h.taszító e.h.
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
1616
4/III. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal bayyfy ttt 1
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
1717
megoldása:
4/IV. elsőrendű lin. egyenlet vizsgálata pókháló diagrammal bayyfy ttt 1
Néhány egyszerű elsőrendű differencia-egyenlet analitikus megoldása:
Az és -re az egyetlen egyensúlyi pont.
tt ayy 1 ,0yay tt ,2,1,0t 0y1a
,1 bayy tt 0a
,11 0
a
bya
a
by t
t
a
by
1
00 yyt ,2,1,0t
az egyetlen egyensúlyi pont.
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
1818
4/V. A logisztikus egyenlet diszkrét változata ábrázolása táblázatkezelővel
mo. ábrája, ha
,21 ttt byayy 1,00 y ,2a .1b
.1/)1(,02 21112
1 bayyyyybyayybyayy ttttttttt
ábrája ellenében1ty t
y(t)
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
1,20
0 2 4 6 8 10 12
t=0,1,2,...
y0 ↔ $C$7 :0.01, 0.2, 0.3
a ↔ $C$5
b ↔ $C$6
értékeit változtatva alogisztikus görbe di-namikusan változik.
↔
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
1919
4/VI. Lineáris rekurzív egyenlet megoldásának ábrázolása Maple-lel megoldása -ra a cobweb eljárással:
1,625,05.4 01 yyy tt 20,,2,1,0 t
> f:=y->4.5-0.625*y; Egyensúlyi helyzet:
> cobweb(f,1,20,0,5);
92.769230760 y
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
2020
4/VII. Diszkrét logisztikus egyenlet megoldásának ábrázolása Maple-lel megoldása -ra a definíció alapján:1,625,05.4 01 yyy tt 20,,2,1,0 t
> restart: > t:='t': y:='y': Digits:=4: # Változók törlése, pontosság 4 jegyre állítása> y:=proc(t) option remember; 4.5-0.625*y(t-1) end: # y(t) definiálása> y(0):=1: # y0 megadása> data:=[seq([t,y(t)],t=0..20)]:# (t,y(t)) pontpárok előáll.> plot(data,colour=black,thickness=2); # ábrázolás
> data;
[[0, 1], [ 1, 3.875], [ 2, 2.078], [ 3, 3.201], [ 4, 2.499], [ 5, 2.938], [ 6, 2.664], [ 7, 2.835], [ 8, 2.728], [ 9, 2.795], [10, 2.753], [11, 2.779], [12, 2.763], [13, 2.773], [14, 2.767], [15, 2.771], [16, 2.768], [17, 2.770], [18, 2.769], [19, 2.769], [20, 2.769]]
92.769230760 yEgyensúlyi helyzet:
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
2121
4/VIII Elaydi a diszkrét dinamikai rendszer egyensúlyi helyzetei stabilitásáról
Stabilitási tétel: Jelölje az (6.1)dinamikai rendszer egy egyensúlyi pontját, ahol az f folytonosan differenciálható
-ban. Ekkor
ÁI. Ha akkor aszimptotikusan stabilis (vonzó) fixpont. (6.2)
ÁII. Ha akkor instabilis és taszító fixpont. (6.3)
ÁIII.-IV. -re további 5 i=1,2,3 -tól függő elégséges feltételt ad.
y tt yfy 1
y
,1 yf y
,1 yf y
1 yf yf i)(
Feladat. Vizsgáljuk Elaydi-val az alábbi diszkrét logisztikus rendszer stabilitását!
(6.4)
Az megoldásai az egyensúlyi helyzetek.
ttt yyy 21
yyy 2 ,01 y 12 y
202222 11 yyf 121 yf 01 y Instabilis, taszító fixpont;
102 yf 12 y a. stabilis, vonzó fixpont.
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
2222
4/IX Káosz és bifurkáció az alábbi logisztikus egyenlet kapcsán
, ahol és {1. példa} (4.1)
Azt a paraméterértéket, amelyben egy nemlineáris rendszer viselkedése radikáli-san megváltozik, bifurkációs értéknek hívják. A viselkedés aperiodikus, kaotikus.
Megjegyzés1. A lineáris rendszer nem kaotikus.
Megjegyzés2 ahol m=0,1,2,… tetszőleges.a)
tttt yyyfy 1,1 40 .10 ty
10 ty ,10 my
Legyen Ekkor a (4.1)-beli ábrája -ra: ;1.00 y .2,3 ty 100,,1,0 t
A) Ábra. A megoldás pályája nagyongyorsan beáll egy 2 periódusúpályára.
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
2323
1,00 y 85,3
Ha akkor kezdetben van ugyan némi kaotikus viselkedés, de utána a rendszer egy 3 periódusú pályára áll. (Átmeneti káosz.)
,85,3
4/IX Káosz és bifurkáció az alábbi logisztikus egyenlet kapcsán
, ahol és {2. példa} (4.1) tttt yyyfy 1,1
Hommes példája tranziens káoszra:
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
2424
4
Egyáltalán nem mutat periodikus jelleget, más szóval aperiodikus vagy kaotikus
egyensúlyi helyzetei ttt yyy 11 ,01 y .1
2
y
4/IX Káosz és bifurkáció az alábbi logisztikus egyenlet kapcsán
, ahol és {3. példa} (4.1) tttt yyyfy 1,1 ;1.00 y
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
2525
4/XI logisztikus egyenlet összefoglaló táblázata: ttt yyy 11
Leírás értéke Megjegyzések
Stabilitás váltás 1 Első bifurkációs pont
Az egyensúlyi pont instabillá válik (2-ciklus lép be)
3 Második bifurkációs pont
pl.
2-ciklus instabillá lesz (4-ciklus lép fel) 3.44949
4-ciklus instabillá lesz (8-ciklus lép fel) 3.54409
A 2-ciklusok felső határa (káosz indul) 3.57
Az első páratlan-ciklus megjelenése 3.6786
3-periódusú ciklus megjelenése 3.8284
Kaotikus tartomány vége 4
2.3
84.3
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
2626
4/XII Példák logisztikus egyenlet pókháló diagramjaira ttt xxx 11
2.3513045.00 x 48912.00 x
839.3
59.34.00 x
42.00 x
2-ciklus stabil 3-ciklus
korlátosbefedés
„teljes”befedés
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
2727
4/XIII További példák log. egyenlet kaotikus viselkedésére ttt xxx 11
A -nél valamivel nagyobb értékre a rendszer kaotikus viselkedést mutat: nincsenek szabályos ciklusok és egymáshoz közel induló megoldások is divergálnak egymástól mintegy tíz periódus után.
57,3 65,3
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
2828
4/XIV További példák log. egyenlet kaotikus viselkedésére
Baumol és Benhabib (1989-es) példája:
ttt xxx 11
A rendszer kaotikus, de nem teljesen random, hirtelen változások jellemzik, és bár majdnem vízszintes lesz, utána újra oszcillálni kezd.
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
29
+/1 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o./57m.f. / 123lap)
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
30
+/2 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. / 57mf / 123lap)
Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xlsBevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázá / Szubvenciók / Kérdés&Válasz
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
31
+/3 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. / 57mf / 123lap)
Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xlsBevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázá / Szubvenciók / Kérdés&Válasz
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
32
+/4 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600o. /57mf / 123 lap)
Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xlsBevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázás / Szubvenciók / Kérdés&Válasz
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
33
+/5 Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Excel (600.o. / 57mf/ 123lap)
Költségvetés korlátokkal (BudgetConstraint Hun 07).xlsBevezetés / Tulajdonságok / Módosítások / Kvótázás / Szubvenciók / Kérdés&Válasz
Zibolen Endre: Logisztikusan a "káoszig", valamint Barreto "kitűnőségéről", Alkalmazott Tudományok I. Fóruma, BGF, 2014. márc. 13-14.
34
Irodalomjegyzék:1) Ronald Shone: An Introduction to Economic Dynamics, 2001, Cambridge
University Press. (237 oldal fejezetenként 5 gyakorló feladattal és a web-en fejezetenként 10 feladat a diákoknak, további tíz az oktatóknak, összesen mintegy 250 feladat és a megoldásuk is meg van adva Microsoft Excelben is.)
2) Л. С. Понтрягин: Обыкновенные дифференциалъные уравнения, 1965, Издателъство Наука, Москва
3) Ronald Shone: Economic Dynamics Phase Diagrams and Their Economic Application, second edition, 2002, (724 oldal, a Maple 6 és Mathematica 4 alkalmazások forrásszinten elérhetők a web-en.)
4) Humberto Barreto: Intermediate Microeconomics with Microsoft Excel, 2009, Cambridge University Press. (594 oldal, az Excel fájlok elérhetőek a Web-en.)
5) Kurt Jechlitschka, Dieter Kirschke and Gerald Schwarz: Microeconomics using Excel: Integrating Economic Theory, Policy Analysis and Spreadsheet Modelling, 2007, Routledge (240 oldal)
Gracias Humberto (nacido en Cuba); thanks Ronald Shone;спасибо С.А.Ломов;danke Kurt Jechlitschka;köszönet Kary Atida magát tartó
Köszönöm megtisztelő figyelmüket!