-1-

MISKOLCI EGYETEM

GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR

TUDOMÁNYOS DIÁKKÖRI DOLGOZAT

Ellipszis keresztmetszetű, izotróp rúdba ágyazott,

hengeresen anizotróp, körkeresztmetszetű, kompozit

rudak Saint-Venant-féle csavarási feladata

Gönczi Dávid MSc. 1. évfolyam

Alkalmazott Mechanika Szakirány

Konzulens: Dr. Ecsedi István

egyetemi tanár Mechanika Tanszék

Miskolc, 2010

-2-

1. Összefoglaló

A dolgozat tárgyát az ellipszis keresztmetszetű, izotróp rúdba ágyazott hengeresen

anizotróp, körkeresztmetszetű, kompozit rudak Saint-Venant-féle csavarási

feladatának analitikus vizsgálata adja. Döntően annak az állításnak az igazolásával

foglalkozik, hogy ha az izotróp, ellipszis keresztmetszetű rúdba hengeresen anizotróp,

körkeresztmetszetű rudakat ágyazunk, akkor az izotróp tartomány vetemedési

függvénye nem változik, ha a két komponens rugalmassági állandói bizonyos

kapcsolatban vannak. Az előzőekben megfogalmazott állítás bizonyítását

többféleképpen is el lehet végezni, például Prandtl-féle feszültségfüggvényekkel vagy

a dolgozatban tárgyalt, öblösödési függvényre épített megoldással. A feladat

megoldása a Saint-Venant-féle általános csavarási elmélet ismertetésével kezdődik,

majd koordináta-transzformációkat követően az öblösödési függvény vizsgálata

következik. A közös peremgörbére vonatkozó egyenletek segítségével megállapítható

a kapcsolat a tartományok anyagjellemzői között (csúsztató rugalmassági moduluszok

között). A következő lépésben az ellipszis keresztmetszetű, izotróp rúdba ágyazott

hengeresen anizotróp, körkeresztmetszetű, kompozit rúd csavarási merevségének

levezetése következik az adott esetben. Az utolsó rész az inhomogén tartományokkal

kitöltött ellipszis keresztmetszet vizsgálatát tartalmazza, ami az előzőekben elemzett

eset kiterjesztése.

-3-

2. Homogén, izotróp anyagú rúd Saint-Venant-féle csavarási feladata

Ebben a fejezetben általánosságban foglalkoztam a homogén, izotróp rudak Saint-

Venant-féle csavarási elméletével, majd a feladatomban szereplő ellipszis

keresztmetszetet külön is megvizsgáltam.

2.1. Általános, homogén, izotróp, prizmatikus rúd csavarása

Vegyünk egy egyszeresen összefüggő keresztmetszetű L hosszúságú prizmatikus

rudat, melynek Mcs csavarónyomatékkal terhelt vázlatát az 1. ábra is szemlélteti.

1.ábra . Csavart egyszeresen összefüggő keresztmetszetű prizmatikus rúd.

Az xyz derékszögű koordinátarendszer O kezdőpontja a z=0 koordinátával kijelölt

keresztmetszeti síkban tetszőleges elhelyezkedésű. Benne értelmezve:

L

z

O

A P

ez

g

x

y ey

ex

Mcs

Mcs

s

n

Mcs

R

-4-

- a rúd keresztmetszete: A,

- a keresztmetszetet határoló görbe: g,

- a g görbe ívkoordinátája: s,

- R a P anyagi pont helyvektora, ami felírható a bázisvektorokkal:

x y yxR e e , (1)

- az n a normális egységvektor:

x yn n x yn e e , (2)

- és Mcs a rudat terhelő csavarónyomaték.

Ezek alapján az elmozdulásmező az alábbi képletekkel írható le a Saint-Venant

csavarási elméletben [1], [2]:

- az x irányú elmozdulás: u yz , (3)

- az y irányú elmozdulás: v xz , (4)

- a z irányú elmozdulás: ( , )w x y , (5)

ahol a fajlagos elcsavarodás szöge,

( , )x y pedig a csavart keresztmetszet vetemedési (öblösödési) függvénye.

Továbbá a nyúlásokra és a szögtorzulásokra az alábbi összefüggések állnak fenn:

0xu yzx x

(6)

ahol x az x irányú nyúlás, továbbá hasonló módon belátható, hogy

0y z x (7)

adódik a nyúlásokra csavarás során. A szögtorzulásoknál:

( ) ( ( , )) ( )xzu w yz x y yy x y x x

, (8)

( ) ( ( , )) ( )yzv w xz x y xz y z y y

, (9)

( ) ( ) 0xyv u xz yz z zx y x y

, (10)

Ezek után a Hooke-törvényt felhasználva a következőket kapjuk:

-5-

( )xz xzG G yx

, (11)

( )yz yzG G xy

, (12)

G: csúsztató rugalmassági modulus,

0x y z xy . (13)

Ezen elemekből előállítható a T feszültségtenzor. Majd a mechanikai egyensúlyi

egyenletet írjuk fel ( ,x y A és a térfogati terhelést elhanyagoljuk) [1], [2]:

0yzxz

x y

T 0 , (14)

( )( )0

G xG y yxx y

,

2 2

2 2 0x y

. (15)

ahol ∆ a Laplace operátor, ami a két Hamilton-féle differenciál operátor (x y

-

x,y síkban) skaláris szorzataként adódik. Majd a rúd palástjának terheletlenségét

kifejező egyenletek alapján azt kapjuk, hogy ha ( , )x y g

0xz x yz yn n T n p , (16)

amit kifejtve adódik:

x y x yn n yn xnx y

. (17)

Az ( , )x y öblösödési függvény tehát az előbbi peremérték feladatok egyik

megoldása. Ezek megoldásai egymástól csak egy additív állandóban térnek el.

Továbbá a csavarónyomaték és a kapcsolatát leírva:

( )cs yz xzA

M x y dA , (18)

csM S . (19)

Itt S jelöli a keresztmetszet csavarási merevségét. A (18) egyenletbe behelyettesítve

megkapható a keresztmetszeti csavarási merevségnek az öblösödési függvénnyel

kifejezett alakja:

-6-

2 2( )A

S G x y x y dAy x

. (20)

2.2. Ellipszis keresztmetszetű, izotróp, prizmatikus rúd csavarása

Majd tekintsük az ellipszis keresztmetszetű prizmatikus rudat (2.ábra). Az erre

levezethető ( , )x y öblösödési függvény és csúsztatófeszültségek alábbi képletei

[1], [2]:

2 2

2 2( , ) b ax y xya b

, (21)

2

2 2( ) 2xza yG y G

x a b

, (22)

2

2 2( ) 2yzb yG x G

y a b

. (23)

Ezekből kiszámítható a (20) egyenlet alapján S:

3 3

2 2

a bS Ga b

. (24)

O

y

x

a a

b

b

2. ábra. Az ellipszis keresztmetszetű prizmatikus rúd paraméterei.

-7-

3. A hengeres anizotróp, homogén, körkeresztmetszetű rúd komponens mechanikai analízise A következőkben a homogén, hengeresen anizotróp, kör keresztmetszetű

rúdkomponensek mechanikai leírásával foglalkoztam, melyet majd az előzőekben

tárgyalt izotróp, ellipszis keresztmetszetű prizmatikus rúdban helyezünk el.

3.1 A rúd geomatriája, elmozdulásmezője

Vegyük tehát az izotróp, ellipszis keresztmetszetű prizmatikus rúdba ágyazott

anizotróp körkeresztmetszetű rúd vázlatát, ahogy a 3. ábra mutatja.

3. ábra. Ellipszis keresztmetszetű, izotróp rúdba ágyazot,t hengeres anizotróp,

körkeresztmetszetű rúddal erősített kompozit rúd keresztmetszete.

A c sugarú anizotróp körkeresztmetszetű rúd helyzetének leírására a P0

középpontjának x0,y0 koordinátái szolgálnak. A kör egyenlete így felírható a

következő egyenlettel (és a körlap az ellipszisen belül kell hogy elhelyezkedjen):

O

P0(x0,y0) ex

er

eφ

φ

P(r,φ)

ruv

b

a

x

y

c

-8-

2 2 20 0( ) ( )x x y y c . (25)

Az x,y derékszögű koordináták és az r,φ hengeres koordináták között fennálló

kapcsolatokat az alábbi egyenletek fejezik ki (3. ábra):

0 cosx x r , (26)

0 siny y r . (27)

Az anizotróp rúd helyzetét leíró helyvektor:

0 0 0OP x y 0 x yR e e

. (28)

További helyvektorok:

x y x yR e e , (29)

0 rP P r e

. (30)

Az r,φ henger koordináta-rendszer egységvektorait er és eφ jelöli (3.ábra). Majd

tekintsük a Saint-Venant elmélet alapján az elmozdulásokat a kétféle koordi-nátával

felírva. Először a derékszögű koordinátarendszerből indulunk ki [1],[2]:

0( sin )u yz z y r , (31)

0( cos )v xz z x r , (32)

( , )kw r . (33)

Majd hengerkoordináta-rendszerre (rφz) váltunk és felírjuk a megfelelő

elmozdulásokat (3.ábra):

0 0( sin cos )ru z x y , (34)

0 0( sin cos )v z y x zr . (35)

3.2. Az alakváltozási tenzor elemei, feszültségtenzor

A lineáris rugalmasságtan hengerkoordináta-rendszerben érvényes egyenletei [1], [2],

[3] alapján azt kapjuk, hogy a nyúlások értéke zérus:

0r

rur

, (36)

1 0r vur r

, (37)

-9-

0z

wz

. (38)

A szögtorzulások közül zérus egyedül a r értéke

0 00 0

1

( sin cos )1 ( sin cos ) 0.

rr

v vur r r

z y x rz y x zr r

(39)

A másik két szögtorzulás:

0 0( , ) ( sin cos )kr

rzr z x yuw

r z r z

0 0( , )( sin cos ).k r x yr

(40)

0 0( , ) ( ( sin cos ) )1 1 kz

v r z y x zrwr z r z

0 0( , )1( sin cos )k r y x r

r

. (41)

A képletek egyszerűsítésére bevezetünk egy segédfüggvényt:

0 0( , ) ( sin cos ) ( , )kr r x y r . (42)

Ezáltal a fenti képletekre -(40) és (41)- a következő alakok adódnak:

( , )rz

rr

, 1 ( , )( )z

r rr

. (43)

Alapvetően kétféle anizotrópiáról beszélhetünk, a Cartesian-féle anizotrópiáról és a

nem Cartesian-féle anizotrópiáról. Ez utóbbi egyik esete a hengeres anizotrópia [3].

Jelen feladatban a hengeresen anizotróp, körkeresztmetszetű rúddal foglalkozunk. A

vonatkozó anyagtörvényeket felhasználva az előbbi nyúlásokból és szögtorzulásokból

levezethető, hogy

0r z r . (44)

A hengeresen anizotróp, rugalmas test csavarási feladatának megfogalmazásához

szükségünk van a Grz és Gφz csúsztató rugalmassági moduluszokra (z normálisú síkon

-10-

az adott r és φ irányokban). Ezeket felhasználva a csúsztató feszültségeket az alábbi

alakban írhatjuk fel [3]:

( , )rz rz

rGr

, (45)

1 ( , )( )z zrG r

r

. (46)

Ezen tagokból tevődik össze hengerkoordináta-rendszerben a feszültségtenzor ( T ).

Írjuk fel rá a mechanikai egyensúlyi egyenletet (feltéve hogy a térfogati terhelés

elhanyagolható):

T 0 1 0zrz rz

r r r

. (47)

Behelyettesítve a (47) egyenletbe a (46) és (45) kifejezéseket az alábbi

differenciálegyenletre jutunk: 2 2

2 2

( , ) ( , ) 1 1 1 ( , )( ( ) 0rz rz zr r rG G G

r r r r r

2

\rz

rG

2 22 2

2 2

( , ) ( , ) ( , ) 0r r rr r kr r

. (48)

itt bevezettük az alábbi jelölést:

2 z

rz

Gk

G . (49)

-11-

4. A feladat megoldása az öblösödési függvény használatával

Tehát olyan megoldásokat keresünk, melyek során az izotróp, ellipszis alakú

keresztmetszetekben tetszőlegesen elhelyezett anizotróp, körkeresztmetszetű

tartomány nem változtatja meg az izotróp tartomány vetemedési függvényét. Azaz az

izotróp tartományra vonatkozó képleteknek változatlanul kell maradniuk (a 2.2.

fejezetben tárgyalt képletek). Először kapcsolatot teremtünk az ágyazó és az ágyazott

mátrixok között, majd meghatározzuk a kompozit rúd csavarási merevségét.

4.1. Kapcsolat az izotróp és anizotróp tartományok anyagjellemzői között

A (26), (27) képleteket felhasználva felírjuk az öblösödési függvényt r és φ változók

függvényében. Így a (21) egyenlet alapján:

2 2 2

0 0 0 02 2( , ) ( cos sin sin 2 )2

b a rr x y y r x ra b

, (50)

majd ezt a (40) egyenletbe behelyettesítve a következő alakokat kapjuk:

2 2

0 0 0 02 2( ( cos sin sin 2 ) sin cos )rzb a y x r x ya b

. (51)

Ezekután a Hooke törvény felhasználásával az izotróp tartományban felírjuk a ( rz )

csúszatófeszültséget:

2 2 2 20 02 2 (( ) sin 2 2 sin 2 cos )rz rz

GG b a r b x a ya b

. (52)

Keresnénk a (48) parciális differenciálegyenletnek a megoldását, felhasználjuk hozzá

az (50) és (52) kifejezéseket. A megoldást az alábbi formában próbáljuk előállítani:

2 2

0 0 1 2 32 2

1( , ) ( ( ) cos ( )sin ( )sin 2 )2

b ar x y h r h r h ra b

. (53)

Ezt beírva a (48) differenciálegyenletünkbe azt kapjuk, hogy

-12-

2 22

0 0 1 2 32 22

2

2 2

0 0 1 2 32 2

2 22

0 0 1 2 32 22

2

22 22 1

2 2

1( ( ( )cos ( )sin ( )sin 2 ))2

1( ( ( ) cos ( )sin ( )sin 2 ))2

1( ( ( ) cos ( )sin ( )sin 2 ))2 0

( )( (

b a x y h r h r h ra br

rb a x y h r h r h ra br

rb a x y h r h r h ra bk

h rb a ra b

2232

2 2 2

31 2

21 2 3

( )( ) 1cos sin sin 2 )2

( )( ) ( ) 1( cos sin sin 2 )2

( ( ) cos ( )sin 2 ( )sin 2 )) 0.

h rh rr r r

h rh r h rrr r r

k h r h r h r

Az előző egyenlet alapján eljuthatunk a hi=hi(r) (i=1,2,3) függvényeket tartalmazó

közönséges differenciál egyenletekhez:

2

2 22 0i i

i id h dhr r k hdr dr

0 ,r c (54)

ahol k12=k2

2=k2; k32=4k2. (55)

Az Euler-típusú differenciálegyenlet r=0 helyen korlátos megoldása:

( ) iki ih r C r (i=1,2,3). (56)

Ezeket visszahelyettesítve az (53) kifejezésbe kapjuk

2 2

20 0 1 2 32 2

1( , ) ( cos sin sin 2 )2

k k kb ar x y C r C r C ra b

. (57)

A (42) és (57) egyenletek kombinálásával az alábbi eredmény nyerhető az anizotróp

tartomány öblösödési függvényére: 2 2

20 0 1 0 2 0 32 2

1( , ) ( cos sin sin 2 )2

k k kk

b ar x y C r y C r x C ra b

0 0cos siny r x r . (58)

A képletekben szereplő Ci (i=1,2,3) állandókat az elmozdulásmező és a

feszültségmező folytonosságának feltevéséből kiindulva számítjuk ki. Ugyanis a közös

határgörbén az izotróp és az anizotróp tartományok elmozdulás és feszültség-értékei

meg kell hogy egyezzenek. Tehát, ha r=c (határgörbén vagyunk) és 0 z L (a L

hosszú rúdon belüli z koordinátára):

( , , ) ( , , )u x y z u x y z , ( , , ) ( , , )v x y z v x y z . (59)

-13-

Ezen feltételek teljesülnek hiszen a határgörbe pontjainak elmozdulását ugyanazon

függvények írják le.

( , ) ( , )kr r , ( , ) ( , )rz rzr r 0 2 . (60)

A fenti egyenlet teljesüléséhez az alábbi 3 egyenletnek kell teljesülnie (az (50) és (58)

egyenletek összevetésével):

1. 2 2 2 2

1 0 0 02 2 2 2kb a b aC y c y c y c

a b a b

, (61)

2 1

1 2 2

2 ka cCb a

, (62)

2. 2 2 2 2

2 0 0 02 2 2 2kb a b aC x c x c y c

a b a b

, (63)

2 1

2 2 2

2 kb cCb a

, (64)

3. 2 23

kC c c , (65)

2(1 )3

kC c . (66)

Az anizotróp tartományban fellépő rz csúsztató feszültséget ezekkel:

2 22

0 0 1 0 2 0 3 0 02 21( ( cos sin sin 2 ) cos sin )2

k k k

rz rz

b a x y C r y C r x C r y r x ra bG

r

= 2 1 1 2 1 1 2 2 2(1 )0 02 2 ( 2 cos 2 sin ( ) sin 2 )k k k k krzG ka c r y kb c r x k b a c

a b

. (67)

Majd a folytonosság ( , ) ( , )rz rzr r , (0 2 , )r c feltétele miatt összevet-jük

egymással a (67) és (52) egyenleteket. Az előírt feltételek csak úgy teljesülnek, ha a

csúsztató rugalmassági modulusokra fennáll a (68) összefüggés.

rzG kG . (68)

Amiből k-t visszaírva az adódik, hogy

rz zG G G . (69)

-14-

4.2. A csavarási merevség meghatározása

Ezekután az (58) képletbe visszaírjuk a kiszámított Ci állandókat, s az így kapott

öblösödési függvény:

2 2 2 2 2 10 0 02 2

1( , ) ( ) ( ) 2 cosk kk r b a x y a b r a c r y

a b

2 2 2 1 2 2 2(1 ) 20

1( ) 2 sin ( ) sin 2 )2

k k k ka b r b c r x b a c r .(70)

Majd vesszük a csavarási merevség számításához a (18) képletet. A keresztmetszetet

felbontjuk az izotróp és anizotróp tartományokra vonatkozó részekre:

( ) ( ) ( )k k

cs yz xz yz xz yz xzA A A

M x y dA x y dA x y dA . (71)

Majd a (24) egyenlet alapján felírjuk a kifejezés első tagját a már tárgyalt ellipszis

keresztmetszetre: 3 3

2 2( )yz xzA

a bx y dA Ga b

. (72)

Majd vizsgáljuk a (22), (23) alapján a középső tagot:

2 2 2 22 2

2( ) ( )k k

yz xzA A

Gx y dA a y b x dAa b

=

4 4

2 2 2 20 02 2

2 ( ) ( )4 4

G c cc x b c x aa b

2 2 2 22

2 0 02 2( 2 )

2x b y acG c

a b

. (73)

A 3. tag kifejtéséhez szükséges csúsztatófeszültség:

xz yz rz zd z x y r φτ e e e e . (74)

Az ezek alkotta erőrendszert a P0 pontba redukáljuk. Így keletkezik egy eredő erő ( F )

és egy hozzá tartozó nyomaték(,cs zM ). Az eredő erő meghatározásához

A következő kifejezésből indulunk ki:

( ) ( )k k k

zA A A

dA dA dA z zτ R τ R τ R

-15-

( )k k k

xyxz

A A A

dA dA dAx y

z zR τ τ F , (75)

mivel a R 1 diádikus szorzat értékét és a (14) egyensúlyi egyenletet használtuk ki.

Továbbá a felülvonás mutatja, hogy a differenciál operátor melyik elemekre hat. Majd

a Gauss-féle integrál átalakítási tételt használjuk ki.

2

0

( ) ( )k k

rzA A

dA ds c cd

z z 0 rτ R τ n R R e

2 2 2 2

2 2 2

0 0 0 0

( cos ) ( sin )rz rz rz rzc d c d c d c d

0 r x yR e e e , (76)

ahol rn e . Továbbá a (67) képlet alapján rz φ szerinti integrálásakor az eredetileg

cosinusos tagok 0, a sinusos tagok az integrálás határai miatt kiejtik egymás, így

fennáll:

2

0

( , ) 0rz c d

, (77)

cos sin r x ye e e . (78)

Majd a (67) egyenletet tovább használva kiszámoljuk F eredő erő komponenseit:

2 2

02 2

0

2cosrz rzka yd G

a b

, (79)

2 2

02 2

0

2( , )sinrz rzkb xc d G

a b

. (80)

Majd a (75),…, (80) alapján az eredő erő kiszámítása:

2

2 20 02 2 ( )rz y

cF G a y b xa b

xe e . (81)

Míg a nyomatékot megkapom a (70) képlet használatával

2 2

2 2

0 0 0 0

1 ( , )( )k

c c

cs z z zA

rM r dA r drd G r r drdr

4

2z

cs

G cM . (82)

Ezáltal a hengeresen anizotróp körkeresztmetszet pontjaiban működő csúsztató

feszültségek nyomatéka a z tengelyre

-16-

0 0( )

k

yz xz cs y xA

x y dA M x F y F (83)

alakba írható fel, ahol

2 2

02 2x

a c yF Ga b

, 2 2

02 2y

b c xF Ga b

. (84)

Behelyettesítve ezeket a (83) egyenletbe azt kapjuk, hogy

4 2 2 2 2

0 02 2( ) ( 2 )

2k

zyz xz

A

G c a c y b c xx y dA Ga b

. (85)

Majd a csavarónyomaték előzőekben kiértékelt tagjait visszaírjuk az eredeti (71)

képletbe, az alábbi összefüggésre jutunk: 42 2 2 2 2 2 2 23 3 2

2 0 0 0 02 2 2 2 2 2( 2 ) ( 2 )

2 2z

cs

G cx b y a a c y b c xa b cM G G c Ga b a b a b

3 3 4

2 2

( 1)( )2cs

a b k cM Ga b

. (86)

Amiből a fenti egyenletből a (19) összefüggés segítségével megkaphatjuk a keresett

csavarási merevséget:

3 3 4

2 2

( 1)( )2

a b k cS Ga b

. (87)

A képletet megvizsgálva azt mondhatjuk, hogy a csavarási merevség nem függ az

anizotróp tartomány helyzetétől (P0(x0,y0)-tól), csak annak geometriájától (c

sugarától), k jellemzőjétől és az ágyazó izotróp anyag paramétereitől (a,b). Ugyanez az

eredmény a [4]. tanulmányban is megtalálható kör alakú keresztmetszetre (a=b).

-17-

5. Kiterjesztés több anizotróp tartomány esetére

Az előző fejezet eredményeit felhasználva tekintsük azt az esetet mikor n számú

hengeresen anizotróp, kör keresztmetszetű rudat helyezünk el az ellipszisünkben

(4.ábra).

y

b

x

b

a a

4. ábra. Az izotróp, ellipszis keresztmetszetbe ágyazott n darab anizotróp tartomány.

Az előzőekben tárgyalt feltételek teljesülnek az anizotróp elemekre. Ilyen például,

hogy a csúsztató rugalmassági modulusaik között fennáll, hogy

jrz j zG G G (j=1,2,…,n), (88)

j zj

jrz

Gk

G (j=1,2,…,n). (89)

Ekkor az előző fejezetben tárgyalt csavarási merevség képlete a következő:

3 3

42 2

1

1( )

2

nj

jj

ka bS G ca b

. (90)

Majd töltsük ki az ellipszis keresztmetszetet inhomogenitásokkal. Ha feltesszük, hogy

kj=k (j=1,2,…,n), vagyis valamennyi inhomogenitás azonos anyagból készül, akkor a

csavarási merevség képletében kihozható a k a szummajel elé. Majd az izotróp

c1 P1

c2 P2

cn Pn

cj Pj

-18-

tartomány anizotróp kör alakú rúdkomponensekkel történő kitöltése miatt feltesszük,

hogy n :

2 2 22 2

1

1( ( ) )2

n

j jj

ab kS G a b p qa b

. (91)

Itt bevezettük az alábbi jelöléseket:

jj

cp

a , j

j

cq

b (j=1,2,…,n). (92)

Az izotróp tartomány nagy számú anizotróp kör alakú rúd komponensekkel töltjük ki

úgy, hogy n és max cj0. Ekkor

2

, 0 1

limj

n

jn c jA ab c

. (93)

A (92) és (93) egyenletek kombinálásával nyerjük a (94) egyenletet.

2

1 1 1 1j j j j j j j

j j j jA c ap bq ab p q A p q

(94)

A fenti egyenletből következik, hogy

1

1j jj

p q

max 0, max 0j jp q . (95)

Tekintsük az alábbi egyenlőtenséget:

2

1 1

( ) max( ) max maxj j k k j j j jj j

p q p q p q p q

, 0 k n . (96)

Ennek felhasználásával a következő eredményre jutunk:

3 3

2 2, , 0lim

j jn p q

a bS Ga b

. (97)

-19-

6. Felhasznált irodalom

[1] Sokolnikoff, I. S. (1956). Mathematical Theory of Elasticity (2nd edition)

Malabar, FL: Krieger Publishing Company.

[2] Timoshenko, S. P. and Goodier, I. N. (1970). Theory of Elasticity. New York:

McGraw-Hill.

[3] Lekhnitskii, S. G. (1981). Theory of Elasticity of an Anisotropic Body.

Moscow, USSR. Mir Publishers.

[4] Y. Benveniste and T. Chen (2003). The Saint-Venant torsion of a circular bar

consisting of a composite cylinder assemblage with cylindrically orthotropic

constituents. International Journal of Solids and Structures (40), page 7093-

7107.

-20-

Tartalomjegyzék:

1. Összefoglaló .......................................................................................................................2 2. Homogén, izotróp anyagú rúd Saint-Venant-féle csavarási feladata ....................................3

2.1. Általános, homogén, izotróp, prizmatikus rúd csavarása...............................................3 2.2. Ellipszis keresztmetszetű, izotróp, prizmatikus rúd csavarása.......................................6

3. A hengeres anizotróp, homogén, körkeresztmetszetű rúd komponens mechanikai analízise 7 3.1 A rúd geomatriája, elmozdulásmezője...........................................................................7 3.2. Az alakváltozási tenzor elemei, feszültségtenzor..........................................................8

4. A feladat megoldása az öblösödési függvény használatával ..............................................11 4.1. Kapcsolat az izotróp és anizotróp tartományok anyagjellemzői között........................11 4.2. A csavarási merevség meghatározása.........................................................................14

5. Kiterjesztés több anizotróp tartomány esetére ...................................................................17 6. Felhasznált irodalom.........................................................................................................19