Elettrotecnica e Complementi · spostamento tra due punto a potenziale differente per un volt.Un...

Università di Napoli Federico II – Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica (II anno – I semestre‐ M‐Z)‐ 9 CFU‐ prof. G. Lupò

Elettrotecnica e Complementi

Appendice A1 ‐LE UNITÀ DI MISURA DEL SISTEMA INTERNAZIONALE (2007)

§A1.1 Le unità di misura fondamentali

Quantità fisica Simbolo della quantità fisica

Nome dellʹunità SI

Simbolo dellʹunità SI

lunghezza l metro m massa m chilogrammo kg tempo t secondo s corrente elettrica I, i ampere A temperatura termodinamica

T kelvin K

quantità di sostanza n mole mol intensità luminosa IV candela cd ‐ Il metro è definito1 come la distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299 792 458 di secondo (1983). ‐ Il chilogrammo è la massa di un particolare cilindro di altezza e diametro pari a 0,039 m di una lega di platino‐iridio depositato presso lʹUfficio internazionale dei pesi e delle misure a Sèvres, in Francia. (1875) ‐ Il secondo è definito come la durata di 9 192 631 770 periodi della radiazione corrispondente alla transizione tra due livelli iperfini, da (F=4, MF=0) a (F=3, MF=0), dello stato fondamentale dellʹatomo di cesio‐133 (1967). ‐ L’ ampere è lʹintensità di corrente elettrica che, se mantenuta in due conduttori lineari paralleli, di lunghezza infinita e sezione trasversale trascurabile, posti a un metro di distanza lʹuno dallʹaltro nel vuoto, produce tra questi una forza pari a 2 • 10‐7 newton per metro di lunghezza. (1946) ‐ Il kelvin è definito come 1/273,16 della temperatura termodinamica del punto triplo dellʹacqua. (1862) ‐ La mole viene definita come la quantità di sostanza di un sistema che contiene un numero di entità elementari pari al numero di atomi presenti in 12 grammi di carbonio‐12 (numero di Avogadro: 6,022 • 1023) . (1971) ‐ La candela è pari allʹintensità luminosa, in una data direzione, di una sorgente emettente una radiazione monocromatica di frequenza pari a 540 • 1012 hertz e di intensità radiante in quella direzione di 1/683 di watt per steradiante (1982).

1 Si riportano le definizioni ufficiali. Ovviamente esistono campioni di riferimento “storici” (vedi museo di Sèvres) di interesse praticamente immutato dal punto di vista “ingegneristico”.

§A1.2 Le unità di misura derivate (di interesse elettrotecnico)

La maggior parte delle grandezze derivate provengono da una moltiplicazione o una divisione di grandezze di base. Alcune di esse hanno nomi particolari. In questo modo, non solo si vede immediatamente la relazione che intercorre tra due grandezze, ma, con un controllo dimensionale, lo studente ha una prima possibilità di verificare la possibile correttezza del proprio lavoro.

Quantità fisica Simbolo

Nome dellʹunità SI Simbolo dellʹunità SI

frequenza f, ν hertz Hz s−1

forza F newton N kg ∙ m ∙ s−2

pressione, sollecitazione p pascal Pa N ∙ m−2

energia, lavoro E joule J N ∙ m

potenza, flusso radiante P, W watt W J ∙ s−1

carica elettrica q coulomb C A ∙ s

tensione elettrica, potenziale v Volt V J ∙ C−1

resistenza elettrica R Ohm Ω V ∙ A−1

conduttanza elettrica G Siemens S A ∙ V−1

capacità elettrica C Farad F C ∙ V−1

induzione magnetica B Tesla T V ∙ s ∙ m−2

flusso magnetico Φ(B) weber Wb V ∙ s

induttanza L henry H V ∙ s ∙ A−1

temperatura T kelvin °C K

angolo piano φ, θ radiante rad 1

angolo solido Ω steradiante sr 1

flusso luminoso lumen lm cd ∙ sr

illuminamento lux lx cd ∙ sr ∙ m−2

rifrazione D diottria D m−1

attività di un radionuclide becquerel Bq s−1

dose assorbita gray Gy J ∙ kg−1

dose equivalente sievert Sv J ∙ kg−1

A.1.3 Prefissi

Le unità SI possono avere prefissi per rendere più comodamente utilizzabili grandi e piccole misurazioni. Si noti lʹimportanza di utilizzare correttamente i simboli maiuscoli e minuscoli per evitare ambiguità..

Prefisso Simbolo Nome Equivalente decimale 1024 yotta Y Quadrilione 1 000 000 000 000 000 000 000 000

1021 zetta Z Triliardo 1 000 000 000 000 000 000 000

1018 exa E Trilione 1 000 000 000 000 000 000

1015 peta P Biliardo 1 000 000 000 000 000

1012 tera T Bilione 1 000 000 000 000

109 giga G Miliardo 1 000 000 000

106 mega M Milione 1 000 000

103 kilo o chilo k Mille 1 000

102 etto h Cento 100

10 deca da Dieci 10

10−1 deci d Decimo 0,1

10−2 centi c Centesimo 0,01

10−3 milli m Millesimo 0,001

10−6 micro μ Milionesimo 0,000 001

10−9 nano n Miliardesimo 0,000 000 001

10−12 pico p Bilionesimo 0,000 000 000 001

10−15 femto f Biliardesimo 0,000 000 000 000 001

10−18 atto a Trilionesimo 0,000 000 000 000 000 001

10−21 zepto z Triliardesimo 0,000 000 000 000 000 000 001

10−24 yocto y Quadrilionesimo 0,000 000 000 000 000 000 000 001

§A1.4 Unità di misura tollerate nel SI

Le seguenti unità di misura non fanno parte del Sistema Internazionale, ma il loro uso viene tollerato, anche in ambienti ufficiali.

Nome Simbolo Equivalenza in termini di unità fondamentali SI

minuto min 1 min = 60 s

ora h 1 h = 60 min = 3 600 s

giorno d 1 d = 24 h = 86 400 s

grado ° 1° = (π/180) rad

minuto primo ′ 1′ = (1/60)° = (π/10 800) rad

secondo ″ 1″ = (1/60)′ = (π/648 000) rad

litro l, L 1 L = 1 dm3 = 10‐3 m3

tonnellata t 1 t = 103 kg

neper Np 1 Np = 1

bel B 1 B = (1/2) ln 10 (Np)

Il neper e il bel esprimono il logaritmo in base e o in base 10 di una grandezza presa rispetto ad un riferimento. Il logaritmo in base 10 dà l’ordine di grandezza in più o in meno rispetto al riferimento ed è quindi usato in Ingegneria molto più spesso di quanto si pensi, spesso involontariamente: se ad esempio pensiamo ad un oggetto un milione di volte più grande di un altro, diciamo che tra i due ci sono 6 ordini di grandezza, cioè 6 bel. La misura logaritmica serve anche a meglio leggere fenomeni a scala fortemente non lineare ed il decibel (dB) serve appunto in molte discipline quali acustica, elettronica, chimica a valutare la crescita (guadagno) o l’attenuazione di una grandezza.

§A1.5 Unità (non apparteneti al SI) accettate perché più precise.


elettronvolt eV 1 eV = 1,602 177 33(49) ∙ 10–19 J

unità di massa atomica u 1 u = 1,660 540 2(10) ∙ 10–27 kg

unità astronomica ua 1 ua = 1,495 978 70(30) ∙ 1011 m

Un elettronvolt (simbolo eV) è lʹenergia acquistata da un elettrone libero nel suo spostamento tra due punto a potenziale differente per un volt.Un elettronvolt è un quantitativo molto piccolo di energia: 1 eV = 1,602 176 46 × 10‐19 J.

L’Unità Astronomica (U.A., o semplicemente UA) è unʹunità di misura circa pari alla distanza media tra il pianeta Terra e il Sole

Lʹunità di massa atomica unificata (u) detta anche dalton (Da) è una unità di misura utilizzata solitamente per esprimere la massa di atomi (massa atomica) e molecole (massa molecolare). Essa è definita come la dodicesima parte della massa di un atomo di carbonio‐12 (12C).

A.1.6 Altre unità non SI accettate in ambiti commerciali, legali, e nella navigazione.

Queste unità dovrebbero essere definite in relazione al SI in ogni documento in cui vengono usate. Il loro uso è scoraggiato.


miglio nautico nm 1 miglio nautico =1 852 m

nodo kn 1 nodo = 1 miglio nautico allʹora = (1 852/3 600) m/s

ara a 1 a = 1 dam2 = 102 m2

ettaro ha 1 ha = 1 hm2 = 104 m2

bar bar 1 bar = 0,1 MPa = 100 kPa = 1 000 hPa = 105 Pa

angstrom Å 1 Å = 0,1 nm = 10‐10 m

barn b 1 b = 100 fm2 = 10‐28 m2

Appendice A2

RICHIAMI SUGLI OPERATORI VETTORIALI La divergenza di un campo vettoriale A in un punto P è una quantità scalare e può essere definita (cfr. il teorema della divergenza) con un processo al limite a partire dal flusso ΔΦ del vettore attraverso una superficie chiusa racchiudente P, rapportato al volume Δτ definito dalla superficie stessa e facendo implodere la superficie chiusa intorno al punto P. L’operatore di divergenza si indica con ( )⋅∇ o con div. Un campo a divergenza nulla è indivergente o solenoidale. Considerando il vettore r (raggio vettore in geometria sferica) si avrà

3

344limlim

3

2

00==

ΔΔΦ

=⋅∇→Δ→Δ

r

rrrπ

πτ ττ

Il rotore di un campo vettoriale A in un punto P è un vettore che può essere definito (cfr. il teorema di Stokes) considerando una superficie elementare orientata ΔS (es. un cerchio) contenente il punto P ; il modulo del rotore è pari al massimo valore – al variare della giacitura della superficie – della circuitazione ΔC lungo l’orlo della superficie stessa, rapportata alla suddetta superficie; la direzione ed il verso del rotore sono definiti dalla normale alla superficie nella posizione in cui la circuitazione è massima. L’operatore di rotore si indica con ( )×∇ o con rot o curl. Un campo a rotore nullo è irrotazionale. Considerando il vettore r (raggio vettore in geometria sferica) si avrà

0lim0

=ΔΔ

=∇→Δ S

CxrS

Un ulteriore operatore differenziale (spaziale) è il gradiente ( )∇ . Esso opera su un campo scalare f(P): il suo modulo è individuato dalla massima derivata direzionale condotta su ogni retta orientata passante per il punto P, la direzione ed il verso sono dettati dalla retta orientata per cui si ha la massima derivata. Le componenti (ad es. cartesiane) possono generare una forma differenziale esatta (la circuitazione del gradiente lungo una qualsiasi linea chiusa. Nel caso elettrostatico la funzione f(P) è il potenziale (elettrostatico) ed il suo gradiente è (a parte il segno) pari al campo (elettrostatico). Considerando il vettore r (raggio vettore in geometria sferica) si avrà

3

1rr

r

rrr

−=∇

=∇

Considerato due campi scalari f(P) e ψ(P) valgono le relazioni ( )

( )( ) ψψψ

ψψψψψψ

∇×−×∇=×∇∇⋅+⋅∇=⋅∇

∇+∇=∇

AAAAAAfff

Si riconosce che la divergenza del rotore è nulla e quindi anche il flusso del rotore attraverso una superficie chiusa è nullo. Il gradiente della divergenza è detto laplaciano (scalare) ( )2∇≡∇∇⋅ .

Si definisce anche il laplaciano di un campo vettoriale come

)(2 AAA ×∇×∇−⋅∇∇=∇ Un campo ovunque solenoidale è conservativo per il flusso e può essere descritto come il rotore di un altro campo vettoriale detto potenziale vettore (esempio il potenziale vettore magnetico) La circuitazione di un campo ovunque irrotazionale è sempre nulla; il campo si dice conservativo per il lavoro (es campo elettrostatico). Ne consegue che il rotore di un gradiente è sempre nullo. Tali proprietà possono essere opportunamente valutate anche in domini limitati.

Appendice A3

LE EQUAZIONI DI MAXWELL IN FORMA LOCALE Laddove le grandezze (scalari e vettoriali) presenti nelle (0.1)‐(0.4) siano continue e derivabili, il campo elettromagnetico può essere descritto in tutti i punti dello spazio attraverso gli operatori differenziali spaziali e temporali divergenza e rotore

tBE

∂∂

−=×∇ (A3.1)

0ερ

=⋅∇ E (A3.2)

0=⋅∇ B (A3.3)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+=×∇tEJB 00 εμ (A3.4)

Per integrare queste equazioni nello spazio occorre conoscere le “condizioni al contorno” (nello spazio, all’infinito o al finito) e le “condizioni iniziali” (nel tempo).

Le equazioni di Maxwell in forma locale ci evidenziano le sorgenti del campo elettromagnetico, in termini di divergenza (“fontane o pozzi”) o in termine di rotore (“vortici”). Le sorgenti possono dipendere direttamente dai campi (“sorgenti interne”, in rosso) o meno (“sorgenti esterne”, in blu; in realtà, anche le sorgenti “esterne” possono essere “prodotte” dai campi.

t∂∂

−=×∇BE (A3.1’)

(2”) 0ε

ρ=⋅∇ E (A3.2’)

(3”) 0=⋅∇ B (A3.3’)

(4”) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+=×∇tEJB 00 εμ (A3.4’)

Come si nota, le uniche sorgenti esterne previste nelle equazioni locali di Maxwell sono le densità volumetriche di carica e le densità di corrente. Altri tipi di sorgenti (cariche puntiformi, lineari o superficiali, ovvero correnti laminari ecc.) determinano singolarità nelle relazioni differenziali; se ne può tener conto nelle relazioni integrali, che danno luogo a condizioni di raccordo alla frontiera dei sottodomini all’interno dei quali i campi sono continui e derivabili (vedi oltre). Nel caso di moto stazionario di cariche in migrazione ( ad es. in un conduttore filiforme), non vi è variazione media della carica in moto in ogni volume; in ogni punto è costante la velocità v di migrazione (non considerando il moto di agitazione termica e il moto vario nell’intervallo tra due interazioni2. Si può quindi ritenere che sia nulla, in media, la risultante delle forze che agiscono sulla carica q in movimento, nel nostro caso la 2 per il rame tale tempo è dell’ordine di 10‐14 s

forza qE nel senso del moto ed una “forza d’attrito equivalente” –kv diretta in senso opposto alla prima. In un circuito semplice (ad esempio una regione di spazio di forma anulare), il campo velocità di migrazione delle cariche ha linee di flusso anulari e tutte orientate in senso orario o antiorario. Quindi la circuitazione del campo di velocità v e del campo di corrente J=ρv non può essere nulla, ossia il campo di corrente stazionaria non può essere conservativo. Poiché il moto di migrazione è non è vario e il campo equivalente dʹattrito è sempre opposto al senso del moto, il campo di forze sulle cariche ed il relativo campo elettrico complessivo (che, si ricorda, è la forza applicata alla particella riferita alla carica della particella) non possono essere conservativi3. Il sistema di equazioni differenziali di Maxwell si presta a soluzioni analitiche dirette solo in alcuni casi (ad es. propagazione di onde piane). Dal punto di vista generale occorrerà considerare che le equazioni di Maxwell sono differenziali nello spazio e nel tempo e quindi occorrerà conoscere (vedi oltre) le condizioni al contorno del dominio di indagine (o le condizioni all’infinito, nel caso di domini illimitati) e le condizioni iniziali.

3 Poiché il campo elettrico derivante da una distribuzione di cariche elettriche è conservativo, ne discende che un moto stazionario di cariche non può essere generato da una distribuzione (fissa) di cariche. Occorrerà quindi considerare una sorgente di campo elettrico non di tipo elettrostatico, chiamato campo elettromotore. Il campo elettromotore è quindi un campo di forza specifica, di natura meccanica, chimica, elettrica …. ma non elettrostatica (trattandosi di campo non conservativo), che agisce sulle cariche tenendole separate in un mezzo conduttore e consentendo per esse un moto stazionario (o anche non stazionario). In un circuito semplice interessato da corrente stazionaria, ci deve essere almeno una parte (tratto generatore) in cui il campo elettromotore è diverso da zero; lʹeventuale parte complementare, in cui il campo elettromotore è nullo, prende il nome di tratto utilizzatore. Nel tratto utilizzatore la forza specifica sulle cariche è quella derivante dalla distribuzione di cariche (causata a sua volta dal campo elettromotore) ed è quindi un campo a potenziale: nel tratto utilizzatore la tensione elettrica (integrale del campo elettrico) valutata tra due punti non dipende dalla curva di integrazione ma solo dagli estremi di integrazione (allʹinterno del tratto generatore, viceversa, la tensione dipende dalla curva scelta). Se quindi il campo elettromotore è diverso da zero solo in una parte del circuito semplice, di sezioni estreme A e B, la tensione VAB sarà indipendente dalla curva scelta solo a patto di non ʺentrareʺ nel tratto generatore. Le sezione A e B individuano quindi i confini tra un ʺbipolo generatoreʺ ‐ identificabile attraverso una caratteristica V‐I valutata allʹesterno del tratto generatore ‐ ed un ʺbipolo utilizzatoreʺ in cui non vi sono vincoli per la valutazione della tensione.

Appendice A4

CENNI SULL’APPROSSIMAZIONE QUASI STAZIONARIA

In generale, la tensione fra due punti A e B è definita in funzione della linea prescelta per l’integrazione del campo. La differenza tra due tensioni valutate tra A e B lungo due linee diverse γ’ e γ” è pari alla circuitazione del campo elettrico lungo la linea chiusa γ unione di γ’ e di (‐γ”), quindi all’opposto della variazione del flusso del campo magnetico concatenato con la linea γ, orientata congruentemente a γ’.

(A4.1) ∫∫∫ ⋅−=⋅=−γ

γγ

γγ

SABAB dSnB

dtddltEVV "'

Abbiamo definito il campo quasi‐stazionario nel caso che tale differenza sia trascurabile per le applicazioni che interessano , es. sia inferiore al 5% rispetto al valore della tensione4. Se ad esempio, spostando la linea di integrazione nello spazio di nostro interesse , si ha come casi estremi, VVVV ABAB 96100 "' == γγ possiamo dire che, per le tolleranze adottate, le due tensioni hanno differenza trascurabile e quindi si può considerare un solo valore della tensione (con l’approssimazione del 5%). Dalla (A1.1) ricaviamo anche le condizioni in cui la differenza tra le tensioni è trascurabile; facendo riferimento al regime sinusoidale; infatti, posto e considerato che

(A4.2)

( )

γγ

γγγ π

απ

SfBV

SfBtVtV

ftBtB

MAB

MABAB

BM

>>

≅−

+=

max

*

max

"' 2)()(

2sin)(

dove γ* è una qualsiasi linea tra A e B “compresa” tra γ’ e γ” e Sγ è una superficie “ragionevole” definita da γ* e γ’ (o γ”), la condizione di quasi stazionarietà si raggiunge sicuramente se è verificata almeno una di queste condizioni: a) la variazione del campo magnetico (la frequenza, ovvero la massima frequenza ipotizzabile in una scomposizione temporale) è sufficientemente bassa; b) il campo magnetico è sufficientemente modesto; c) la regione di interesse è sufficientemente ristretta. Analogamente , se consideriamo le sezioni terminali SA ed SB di un tratto di materiale conduttore immerso in un isolante, in condizioni di corrente quasi‐stazionaria avremo per ogni intervallo temporale una variazione “trascurabile” di carica nel volume di conduttore considerato, ossia una intensità di corrente di uguale valore (assoluto) attraverso le due sezioni terminali. Facendo ancora riferimento ad un caso di regime sinusoidale, si potrà dire dalla (A1.4)

4 Questa approssimazione viene denominata quasi‐stazionaria elettrica.

(A4.3)

( )

( )

( )

Σ>>

Σ≅Σ⋅⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−×∇=

=Σ⋅=−

+=

∫∫

∫∫

Σ

Σ

M

MEM

BA

EM

fEI

fEdnftEfB

dnJtItI

ftEtE

max

00

max

00

maxmax

22

2sin2

)(

2sin)(

πεμπαππεμ

απ

La condizione di quasi stazionarietà si raggiunge sicuramente se è verificata almeno una di queste condizioni5: d) la variazione del campo elettrico (la frequenza f, ovvero la massima frequenza ipotizzabile in una scomposizione temporale) è sufficientemente bassa; e) il campo elettrico è sufficientemente modesto; f) la regione di interesse, di superficie laterale Σ, è sufficientemente piccola, ovvero le due sezioni sono abbastanza ravvicinate. Le condizioni espresse dalle (A3.2) ed (A3.3) possono essere riscritte come:

Σ>>≅⋅=

>>≅⋅=

Σ∫

∫

Σ

M

M

B

AAB

fErBdltBI

SfBdEdltEVAB

*

0

*

0max

**

*

maxmax

*

2πμμγ

γ

γ

γ

da cui, introducendo la lunghezza d’onda associata al campo variabile6, la “dimensione” Δ della regione di interesse, si ricava

λπλ

πμ

ππμμ

λλλ

γ

γγ

"2

;2

'1,;

*2*

0

*

2*

0

*

0max

**

**

krrEcrB

rfErBdltBI

kE

cBcfdSE

SfBd

M

M

MMABAB

<<⇒>>⇒

⇒≅ΣΣ>>≅⋅=

<<Δ⇒Δ

>>⇒=Δ≅>>

ΣΣΣ

ΣΣ∫Σ

Si nota una condizione comune ai due casi: la regione di interesse deve essere piccola rispetto alla minima lunghezza d’onda associabile con i campi variabili. Ad esempio, alla frequenza f=50 Hz, la lunghezza d’onda è di (3 108/50) metri, ossia 6000 km: è ragionevole pensare che la condizione di quasi stazionarietà è rispettata se consideriamo l’intera rete di distribuzione dell’energia elettrica in Italia. Tuttavia le quantità k’ e k” sembrano giocare ruoli contrapposti.

5 In questo caso l’approssimazione viene denominata quasi‐stazionaria magnetica. 6 Si ricorda che il prodotto tra la frequenza e la lunghezza d’onda è pari alla velocità di propagazione (della luce corrispondente) nel mezzo.

Per un approccio più ingegneristico, inquadrabile nella Teoria Generale dei Modelli, al modello quasi‐stazionario elettrico (QSE), quasi stazionario magnetico (QSM), quasi stazionario di corrente (QSC) – laddove le due relazioni siano contemporaneamente verificate in modo “abbastanza” soddisfacente, vedasi

L. DE MENNA: Elettrotecnica ‐ ed. Pironti, Napoli 1998 dove si perviene in ultima analisi alla definizione “quasi‐stazionaria” del condensatore (QSE), dell’induttore (QSM), del resistore (QSC).

Appendice A5 MODELLI DI CONDUZIONE NEI SOLIDI E NEI LIQUIDI

La conduzione elettrica nella materia (ossia il moto medio di portatori di carica, rispetto ad un riferimento di laboratorio, esprimibile in termini di densità di corrente o di intensità di corrente) è descrivibile in termini di: a) tipi di portatori di carica: b) proprietà chimico‐fisiche del “materiale” (o dei materiali) sede del fenomeno di conduzione; c) caratteristiche spazio‐temporali della sollecitazione “macroscopica” sui portatori di carica (consideriamo in questa sede principalmente la sollecitazione di tipo “elettrica”7). Per quanto riguarda i portatori, è tradizionale il riferimento agli elettroni, agli ioni, alle “lacune”. Occorre tuttavia associare a tale riferimento qualche riflessione di base. Ad esempio, per l’elettrone potremmo assumere uno dei seguenti modelli: 1) l’elettrone è considerabile come una sfera carica8 obbedente alle leggi della meccanica classica (modello di Drude o modello a “palla di biliardo”); 2) l’elettrone è un oggetto quantico libero, senza interazione con il mezzo in cui si muove, salvo alla sua frontiera (modello di Sommerfeld o modello dell’elettrone libero in un pozzo di potenziale); 3) l’elettrone è un oggetto quantico sottoposto all’azione del mezzo in cui si muove, che però ha solo un ruolo passivo (modello energetico a bande); 4) l’elettrone è un oggetto quantico sottoposto all’azione del mezzo in cui si muove con cui interagisce (modello di Bardeen, Cooper e Schrieffer). E’ palese che non esiste una separazione netta tra i diversi modelli; di essi si dà un breve cenno nel seguito, rinviando per un’approfondita analisi dei suddetti modelli alla amplia bibliografia in merito. Considerando per semplicità lo spazio (occupato da un mezzo qualsiasi omogeneo) tra due elettrodi piani e paralleli A e B a distanza L, sottoposti alla tensione VAB. Tale spazio è interessato da un campo elettrico di intensità E= VAB /L. Un elettrone viene quindi sottoposto all’accelerazione nella direzione del campo

)1(Emea ⋅=

7 Non trascurabili, tra gli altri, i casi di moto medio di portatori soggetti principalmente a fenomeni di trasporto meccanico (le correnti di convezione, legate ad esempio alle cariche statiche accumulate in dispositivi rotanti oppure ai moti vorticosi di aggregati carichi durante i temporali ). 8 massa a riposo me=9,109 10-31 kg; carica e=-1,602 10-19C

L’interazione con il mezzo materiale viene schematizzata con il termine “urto” (elastico o anelastico). Se consideriamo il tempo medio τ tra due urti successivi (tempo di volo), potremo valutare la velocità media di migrazione (velocità di drift) degli elettroni con una espressione del tipo9

)2(22

1 EEmeavD μττ =⋅==

ove μ rappresenta la mobilità degli elettroni. Per ottenere la velocità effettiva dell’elettrone occorrerebbe considerare la velocità u legata all’agitazione termica, di valore estremamente più elevato rispetto alla velocità di drift10; il libero cammino medio λ tra due urti successivi dipenderà praticamente solo dalla velocità di agitazione termica

ττλ ⋅≅⋅+≅ uD uv (3) Considerando un fascio collimato (equivalente) di elettroni di densità Ne caratterizzato da una velocità di drift vD, potremo considerare il rapporto la carica elettrica (riferita al tempo Δt di osservazione) attraversante una sezione elementare ortogonale al fascio e l’area della sezione stessa; otteniamo in tal modo la densità di corrente elettrica e la cosiddetta “legge di Ohm alla grandezze specifiche”:

)4(22

22

EEum

eNE

meN

veNJe

e

e

eDe σ

λτ=

⋅===

dove σ è la conducibilità del mezzo in esame:

)5()( eNeeμσ = La conducibilità risulta quindi legata al prodotto di due fattori (mobilità e densità). Nel caso dei conduttori metallici prevale la densità, nel caso dei semiconduttori prevale la mobilità. Considerando la classica espressione dell’energia cinetica per l’elettrone

TkumW Bee 23

21 2 == (6)

(dove T è la temperatura assoluta e kB=1.28 10‐23 J/K la costante di Boltzmann), si ricava il valore della velocità u e della conducibilità

e

B

mTk

u3

= (7)

9 si considera la media tra la velocità finale (prima del nuovo “urto”) e la velocità iniziale subito dopo l’urto precedente (velocità che si suppone trascurabile rispetto a quella finale) 10in un conduttore di rame di un ordinario impianto elettrico industriale, la velocità di drift dell’elettrone è tipicamente di 5 10-3 m/s per un campo di 1 V/m, mentre la velocità di agitazione termina è dell’ordine dei chilometri al secondo.

mTkeN

B

e

32

2λσ = (8)11

In generale il moto degli elettroni in un mezzo può essere valutato considerando quest’ultimo come un fluido “viscoso”

)9(Eevdtdvm =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +ζ

Nel caso di “viscosità dominante” il termine dv/dt è trascurabile e ritroviamo la (2) con il parametro di viscosità ζ pari ad 1/τ. §A5.1 Conduttori metallici Il modello a palla di biliardo fu introdotto per i metalli da Drude (1902)12. Esso è un modello rozzo ma efficace per ritrovare alcune leggi fondamentali quali la legge di Ohm e la legge di Joule. In esso, si considerano due tipi di interazione: a) l’interazione elettrone‐materia descritta da una “sezione d’urto” equivalente all’interazione di palle di biliardo di diversa dimensione; b) l’interazione elettrone‐ campo elettrico13 che determina il libero cammino medio, il tempo di volo dell’elettrone e gli scambi energetici. Nel modello dell’elettrone libero in una buca di potenziale, introdotto da Sommerfeld nel 1928, l’elettrone si muove in una regione a potenziale costante delimitata da frontiere che non permettono all’elettrone di allontanarsi (barriere di potenziale, dello spessore di qualche Å). Non è prevista l’interazione tra elettroni. Notevolmente complessa è d’altra parte l’analisi su base quantistica delle interazioni tra elettroni liberi e nuclei di un reticolo cristallino (es nel rame e nell’alluminio). Constatata la dipendenza della resistività dalla temperatura (vedi oltre) e considerata la scarsa incidenza sulla temperatura dello stato energetico degli elettroni, si ritiene determinante lo stato energetico (vibrazionale) dei nuclei del reticolo, cioè la loro “temperatura”; la probabilità di interazione con gli elettroni (e quindi il “tempo di volo” di un elettrone tra due successive interazioni) cresce con l’ampiezza delle vibrazioni e quindi con la temperatura del reticolo. Tale tesi può non trovare più riscontre a temperature molto basse, laddove impurità e imperfezioni del reticolo potranno giocare un ruolo importante ai fini della conduzione elettronica. In realtà la dislocazione dei nuclei del reticolo determina una distribuzione periodica del potenziale (che non potrà quindi avere un’unica “buca”); possono essere considerate, nel

11 Se invece della velocità di migrazione media aritmetica avessimo considerato la velocità media statistica, il fattore ½ nella (8) sarebbe diventato 8/(3π). La (8) fornisce valori della resistività a temperatura ambiente ragionevolmente confrontabili con i dati sperimentali. 12 Si formulò l’ipotesi di un “gas perfetto” di elettroni (H.A. Lorentz,1909), con distribuzione di velocità di Maxwell-Boltzmann, che non trova che pochi riscontri nel modello classico: non si ritrova né nella ripartizione di energia né nella valutazione del tempo di volo. Occorre un approccio quantistico (Fermi,1926). 13 in realtà occorre considerare anche l’azione del campo magnetico B sulla “corrente” elettronica di densità J. Gli elettroni saranno deviati e si potrà rilevare un accumulo sulla frontiera; sui due lembi di una striscia interessata dal campo di corrente si viene a determinare un campo elettrico trasversale EH=RH(JxB) (effetto HALL, con RH costante di Hall, dipendente dal materiale)

rispetto del principio di esclusione di Pauli, “bande” di energia degli elettroni utili per la conduzione (bande di conduzione), in cui la densità degli stati ammissibile è diversa da zero, intervallate da bande “proibite” (bande di valenza), in cui la densità degli stati ammissibili è zero. La posizione della energia di Fermi determina la proprietà di conduzione. A temperatura diversa dallo zero assoluto, l’ampiezza 4kT determina la probabilità di avere elettroni disponibili per la conduzione, anche se l’energia di Fermi ricade in una banda proibita. Quando alcuni elettroni delle bande di valenze “migrano” nella banda di conduzione, possono lasciare l’atomo creando una “lacuna”, cioè l’equivalente di una carica positiva pare a quella dell’elettrone. La lacuna può essere colmata da un elettrone di un atomo vicino; si ha quindi uno spostamento di lacuna e cioè un’equivalente moto di carica positiva.

APPENDICE A6‐ RESISTIVITÀ Nel caso di un tratto A‐B di conduttore filiforme omogeneo a sezione costante S di lunghezza lAB e a temperatura costante ed uniforme, si valuta che la resistenza R del tratto, è proporzionale alla lunghezza lAB ed inversamente proporzionale alla sezione S. Il coefficiente di proporzionalità costituisce la resistività (si indica con la lettera greca η‐eta‐ oppure ρ‐rho‐ e si misura in ohm per metro [Ωm]); il suo inverso viene chiamato conducibilità (si indica con la lettera greca γ‐gamma‐ oppure σ‐sigma‐ e si misura in siemens/metro[S/m]) - La resistenza di un resistore può essere in generale vista come il prodotto di un termine “geometrico” e di un termine “fisico” ossia legato alle proprietà fisico‐chimiche del materiale ed alle sue condizioni di impiego - - - La resistività dei materiali può variare di numerosi ordini di grandezza, portando alla distinzione “convenzionale” (spesso impropria) tra materiali conduttori, semiconduttori ed isolanti

Le caratteristiche di conduzione di un materiale omogeneo ed isotropo sono in genere sintetizzate nella relazione costitutiva tra campo elettrico E e densità di corrente J:

E = η J Il coefficiente η prende il nome di resistività elettrica, il suo inverso σ prende il nome di conducibilità elettrica.14 Tali coefficienti possono essere costanti al variare delle grandezze di campo: in tale caso si parlerà di materiali conduttori lineari. Ovviamente possono esserci, oltre al caso di comportamento non lineare, anche il caso di caratteristiche isteretiche in cui la conduzione dipende anche dalla storia subita dallo stesso materiale. Le dimensioni di tali coefficienti sono

14 Spesso vengono usati i simboli ρ e σ rispettivamente per la resistività e la conducibilità. E’ opportuno ricordare (ed evitare confusioni) che tali simboli vengono anche utilizzati per una distribuzione volumetrica e superficiale di carica.

η

γη

= = = ⋅ ⇒ ⋅

= = = ⇒−

EJ

V mA m

m ohm metro

m S m siemens metro

//

( )

/ / ( / )

2

11

Ω

Ω

Per i materiali metallici, la resistività è valutata in base a parametri congrui con applicazioni ordinarie, come le linee di alimentazione. Va fissata ad esempio una temperatura di riferimento θo (in genere 293 K ossia 20°C), in quanto la resistività varia con la temperatura θ del conduttore, il cui valore a regime è dipendente a sua volta sia dalla temperatura ambiente che dalla intensità di corrente che interessa il conduttore (effetto Joule). Per i conduttori metallici la resistività aumenta linearmente con la temperatura in un ampio intervallo di valori della stessa (fig.1)

( ) ( ) ( )[ ]η θ η θ α θ θθ= + ⋅ −o oo1

η

θ

η(θ )ο

θ οθ 1

fig.1 Il coefficiente di temperatura α rappresenta quindi la variazione relativa di resistività per salto unitario di temperatura. Anche α dipende da θo. In tab.I vengono riportati i valori della resistività e del coefficiente di temperatura alla temperatura di 293 K per i materiali di più comune impiego. I valori sono riportati in modo da indicare anche la resistenza per unità di lunghezza di un conduttore rettilineo della sezione di 1 mm2: Il valore θ1 cui corrisponderebbe un valore nullo di resistività vale

θ θαθ

1 01

= −o

Per il rame θ1 assume il valore di circa 43K. A tale temperatura, in realtà, il rame presenta una resistività significativa: siamo oltre lʹintervallo di linearità. A temperature molto basse, inferiori in genere a 10 K, possono manifestarsi, per alcuni metalli in particolari condizioni di funzionamento, fenomeni di superconduttività, in cui la resistività scende al valore ʺnulloʺ, al disotto dei valori correntemente misurabili. Per alcuni materiali si manifesta anche un crollo dei valori resistività anche a temperature prossime alla liquefazione dellʹazoto (77K). Tale fenomeno (superconduttività ad alta temperatura) è attualmente oggetto di intensi studi, in vista di interessanti applicazioni nel settore elettrotecnico.

MATERIALI Resistività η‐θo=293 K

[Ω mm2 /m ]≡[μΩ m]

coefficiente temperatura

α(θo)[ K‐1]

Conducibilità σ ‐θo=293 K [MS/m]

Conduttori metallici

argento 0.016 3.8 10‐3 ≈ 62 rame puro 0.017241 3.9 10‐3 ≈ 58 rame industriale 0.0178 3.9 10‐3 oro 0.024 3.4 10‐3 piombo 0.022 3.9 10‐3 alluminio puro 0.028264 3.7 10‐3 ≈ 36 alluminio commerciale 0.03 3.7 10‐3 tungsteno 0.055 4.5 10‐3 Zinco 0.063 3.7 10‐3 ≈ 16 ferro 0.1 4.5 10‐3 ≈ 8 Leghe Ottone 0.07 1.5 10‐3 ≈ 12 Manganina 0.45 1.5 10‐5 Costantana 0.5 2 10‐5 Nichel‐Cromo 1.1 1 10‐4 ≈ 0.9 Ferro‐silicio per lamierini

0.3 4 10‐3

Conduttori non metallici Elettrografite 10 ‐0.5 10‐3 ≈ 0.1 Carbone (lampade adarco)

70 ‐0.5 10‐3 ≈ 0.02

Elettroliti Acqua di mare 3 105 Terreni umidi ≈106‐107 (≡1‐10Ωm) sabbiosi ≈108 (≡100Ωm) rocciosi >109 (≡1 kΩm) Semiconduttori germanio ≈107 (≡10Ωm) silicio ≈108 (≡100Ωm) Isolanti Acqua distillata ≈1010 (≡10 kΩm) Porcellana ≈1010 (≡10 kΩm) Vetro ≈1016 (≡10 GΩm)

§ A6.2 Resistività superficiale

La resistività superficiale viene definita per elementi di copertura di piccolo spessore (es. vernici) considerando il rapporto tra la resistività (ordinaria, di volume) e lo

spessore del provino; dalla relazione bl

blR sρ

δρ =

⋅= si ricava che la resistività

superficiale può essere letta come la resistenza di un resistore “a piastrella quadrata” di spessore δ. La resistività superficiale si misura quindi in [Ω] o meglio in [Ω]/� (ohm su quadratino). La misura di resistività superficiale può dare ad esempio direttamente la misura dello spessore del rivestimento (coating), conoscendo le caratteristiche di volume del rivestimento. Ad esempio un “velo” di alluminio di 0.1 mm di spessore determina una resistività superficiale di circa 2,5 μΩ, un velo di grafite dello stesso spessore presenta una resistività superficiale di 1 mΩ. La conducibilità superficiale è il suo inverso [S]. Per componenti in materiale omogeneo di notevole spessore, ma con “velo” superficiale naturale ovvero formatosi per idrolisi od altro processo dovuto al contatto con altro materiale, si può procedere alla misura di resistenza tra due elettrodi a coltello di larghezza 1 cm, posti sulla superficie alla distanza di un centimetro. Dal confronto tra il valore di resistenza così trovato ed il valore calcolabile con la resistività di volume del materiale, si può avere una stima del crollo di resistività (media di volume) del “velo” superficiale. Si riporta il confronto, per materiali tipicamente considerati isolanti, tra la resistività di volume e la resistività superficiale (detta anche resistenza specifica di isolamento superficiale) Materiale Resistività di volume

[Ωm] Resistività superficiale [Ω/�]

Vetro 1011‐1014 106‐1012 Porcellana 1012‐1013 109‐1012 Ebanite 1013‐1016 109‐1015 Mica 1011‐1013 109‐1012 Quarzo 1017 108‐1012

§A6.3 Prove meccaniche e tecnologiche Prova a trazione In tali prove vengono determinati i limiti di elasticità, snervamento e rottura, in particolare il modulo di elasticità, l’allungamento a rottura e lo strozzamento. Il provino ha la forma standard indicata in fig.1

Si equiparano le prove a sezione diversa con quelle del provino di diametro

00 13.1 Ad = Il provino si classifica corto se 00 5dl = oppure lungo se 00 10dl = In fig.2 si riporta il risultato di una tipica prova di trazione. Sull’ascissa è riportato

l’allungamento percentuale 1000

% llΔ

=ε , sulle ordinate la tensione media di trazione

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 2

0 mmkp

AFσ

Ao

Ao

Ao

do

Lo

Il tratto A costituisce la zona di elasticità, il punto P il limite di proporzionalità; in tale regione la deformazione è proporzionale allo sforzo

σσαεY1

==

Y rappresenta il modulo di elasticità e corrisponderebbe alla tensione necessaria (in regime elastico) ad avere un raddoppio della lunghezza (ε=1). Il punto S rappresenta il limite di snervamento,oltre il quale si verifica un marcato allungamento del provino, anche con (piccola) riduzione della tensione. La zona tra P ed S è ancora di elasticità, ma non di proporzionalità, per cui si definiscono anche dei punti caratteristici; ad esempio σ0.2 rappresenta la tensione per cui si ha un allungamento “extra” del 2%, in assenza di snervamento Il punto B definisce il limite di stabilità; non può essere applicata al provino una tensione maggiore di σB; un qualsiasi allungamento porta inevitabilmente al collasso, che si verifica ad un allungamento δ (lunghezza relativa di rottura), con una corrispondente valore residuo della tensione; alla rottura si indica la sezione attraverso il coefficiente di strozzamento. I valori massimi della tensione in zona elastica vanno da 100 kp/mm2 per l’acciaio indurito in olio, a 20 kp/mm2 per la ghisa, a 15 kp/mm2 per il rame tenero, a 12 kp/mm2 per

A

δ

P

E

1000

% llΔ

=ε

S B

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡= 2

0 mmkp

AFσ

l’alluminio laminato a caldo. Gli allungament a raootura vanno da circa il 10% per l’acciaio al 50% per il rame tenero. La validità dei valori riportati dpendono dalla ripetività delle prove, dal controllo della temperatura (all’aumentare della temperatura mediamente diminuisce la tensione a rottura ed aumenta l’allungamento a rottura) e dal tempo di esecuzione della prova. Le prove di durezza consistono nel valutare la deformazione ottenute premendo con una forza F il provino con un altro corpo (sfera d’acciaio, metodo Brinnel; punta di diamante a cono, metodo Rockwell; punta di diamante sfacciata con angolo diedro, metodo Vickers). La prova del colpo di taglio consiste nell’applicare una forza in corrispondenza della sezione ridotta opportunamente ricavata in un provino. Le prove metallografiche consistono nell’esame macroscopiche e microscopiche di materiali soggetti ad attacchi corrosivi. Alcune prove non distruttive consentono l’esame di proprietà e difetti di materiali senza comprometterne l’integrità: ‐ esperienze ed osservazioni con raggi X ed raggi γ; ‐ prove con ultrasuoni; ‐ prove elettriche e magnetiche ( correnti parassite indotte e scariche parziali).

§A6.4 Classificazione dei materiali per siderurgia Materiali ferrosi : ‐ ferro

‐ acciai legati (speciali proprietà, magneti permanenti, ferro dolce) ‐acciai non legati (per costruzioni, acciai compensati)

‐ ghise Materiali non ferrosi: ‐ materiali d’uso: ‐ materiali pesanti (rame, piombo, nichelio, zinco, stagno) ‐ materiali leggeri (Alluminio, magnesio, titanio) ‐ materiali nobili (mercurio, oro, argento, platino)

‐ arricchitori d’acciaio (manganese, wolframio, molibdeno, cobalto, cromo, vanadio);

‐materiali per leghe (cadmio, antimonio, arsenico, berillio) Caratteristiche dei non metalli: buona conducibilità termica ed elettrica; buona resistenza alla corrosione, buona lavorabiltà; prezzo elevato (per estrazione e trasporto).

Scelta dei materiali per linee di alimentazione

Requisiti elettrici: bassa resistività η, basso coefficiente di temperatura α, possibilità di isolamento del conduttore. Requisiti meccanici: elevata resistenza alla trazione, comportamento ʺelasticoʺ, resistenza alla torsione ed al piegamento, durezza (per i contatti), resilienza. Requisiti termici: conducibilità termica elevata, coefficiente di dilatazione termica bassa; alta temperatura di fusione, saldabilità Requisiti tecnologici: malleabilità, duttilità Requisiti chimici: assenza di reazioni con altri metalli, non corrodibilità I materiali più comunemente impiegati per linee aeree sono il rame e lʹalluminio (e sue leghe). Il rapporto di impiego rame/alluminio si va attualmente abbassando. La produzione dellʹalluminio si aggira intorno a 3 106 t/anno. LʹALLUMINIO Grado di purezza Alluminio puro 99.99% da fonderia 99.95 % elettrolitico 99.5% Resistività η ‐θo=293 K

[Ω mm2 /m ]≡[μΩ m]

Conducibilità γ ‐θo=293 K [MS/m]

Alluminio ricotto 0.0278 36.0 Alluminio puro 0.028264 35.4 Le prestazioni meccaniche sono piuttosto modeste, inferiori anche a quelle del rame. Le caratteristiche chimiche sono abbastanza buone: si forma uno strato superficiale di ossido autoprotettivo isolante. In presenza di metalli nobili e di umidità si decompone. Caratteristiche tecnologiche cristallo cubico a facce centrate densità 2700 kg/m3 punto di fusione 660 °C conducibilità termica 0.5 Cal/cm s K conducibilità elettrica 36 MS/m coeff di temperatura della resistività 0.0041

K ‐1

resistenza a trazione 2‐4 kg/mm2 max allungamento % 30‐35 % modulo di elasticità 7250 kg/mm2 L’alluminio ‐ non si presta ad essere formato per fusione a causa della facilità ad assorbire ossigeno; ‐ si presta ad essere lavorato in diversi modi sia a freddo che a caldo; si può ridurre a fili sottili o a fogli fino a 0.004 mm di spessore (armature per condensatori) La temperatura di riformazione è circa 500°C, quella di ricristallizazione circa 300°C.

‐ La saldatura è notevolmente difficile a causa della presenza dell’ossido superficiale che fonde a temperature elevate. LEGHE DI ALLUMINIO

Lʹalluminio viene anche formato con i seguenti elementi (si riduce sempre la conducibilità γ ai valori appresso indicati in percentuale rispetta alla conducibilità del rame campione) Aldrey Al+(Si,Mg) γ=87%; σ=30‐35 kg/ mm2 Anticorodal (anticorrosiva)

Al+Si(1%)+Mg(0.6%)+Mn(0.3%)

Svantaggi dellʹalluminio: 1) solidità meccanica più bassa 2) collegamenti più difficili 3) più alta propensione alla corrosione 4) a parità di resistenza, diametro maggiore In tab 2 è riportato il confronto tra le caratteristiche di conduttori di pari resistenza e diversa natura Tab.2 Rame Alluminio Aldrey Zinco Ferro Sezione 100 160 180 340 800 diametro 100 127 135 184 284 peso 100 50 55 265 700 IL RAME Il reticolo del rame è cubico a facce centrate. Dimensione del nucleo 0,01 pm, distanza tra i nuclei 300 pm Le prestazioni meccaniche sono piuttosto modeste rispetto a quelle dell’acciaio; il limite di snervamento si

attesta intorno ai valori di σ= 22÷24 kg/mm2; il carico di rottura non supera comunque i 38 kg/ mm2. Tali valori decrescono con la temperatura. Le caratteristiche chimiche sono abbastanza buone: si forma uno strato superficiale di ossido autoprotettivo o di carbonato Cu2(OH) 2C03 autoprotettivo. Caratteristiche tecnologiche del rame. Le caratteristiche meccaniche dipendono dal tipo di lavorazione subito dal materiale. cristallo cubico a facce centrate densità 8890 kg/m3 punto di fusione 1083 °C conducibilità termica 0.0934 Cal/cm s K conducibilità elettrica 58 MS/m coeff di temperatura della resistività 0.00428

K ‐1

resistenza a trazione 6 kg/mm2 max allungamento % 45 % modulo di elasticità 12750 kg/mm2 Il rame ‐ non si presta ad essere formato per fusione, in quanto ad alta viscosità;

‐ è altamente duttile e quindi si presta ad essere lavorato per stampaggio sia a freddo che a caldo; per lavorazioni a freddo si possono avere variazioni della sezione del 90%. ‐ la saldatura con piombo e stagno è ottima; non è saldabile con l’alluminio. Va ricordato l’impiego del rame, oltre che nelle condutture elettriche (in ragione dell’alto valore della conducibilità, della resistenza alle intemperie ed alla corrosione), nelle apparecchiature chimiche (per le caratteristiche di stabilità chimica e di formabilità) e nella galvanotecnica (in ragione della posizione nella scala di elettronegatività) . Il rame ad alta purezza può essere ottenuto in presenza di ossigeno (rame elettrolitico 99.9% ‐ rame raffinato 99.5%) o in assenza di ossigeno (elettrolitico 99.92%, raffinato 99.75%). La presenza di ossigeno permette maggiore lavorabilità a caldo; dalle impurezze si formano ossidi insolubili e non viene pregiudicata la conducibilità e la plasticità. La presenza di ossigeno, tuttavia, durante la lavorazione a caldo in presenza di idrogeno, può portare a formazione di vapor d’acqua ad elevata pressione con conseguente infragilimento del metallo. Le norme CEI riportano i valori della resistività del rame a seconda del grado di purezza Grado di purezza (grado% :IACS) (int.anneal. cupper sample)

Resistività η ‐ θo=293 K

[Ω mm2 /m ]≡[μΩ m]

Conducibilità γ ‐ θo=293 K [MS/m]

103.5 (valore limite teorico) 0.0166 60.0 100 (rame tecnico, ricotto, campione internazionale)

0.017241 58.0

98 0.01759 56.8 97 (rame crudo) 0.01787 56.0 “tipo 50” 0.0195 51.3 “tipo 60” 0.0210 47.6 Per le condutture ordinarie si adopera il rame crudo; il rame ricotto si impiega solo per accessori (es. giunzioni). LEGHE DI RAME

Il rame viene anche formato con i seguenti elementi (si riduce sempre la conducibilità γ ai valori appresso indicati in percentuale rispetto alla conducibilità del rame campione) Zinco (Zn) (ottoni) Stagno (Sn) (bronzo fosforoso) Zn + Sn Al/P/Mn/Be (bronzi speciali) Ni/Zn Sn/Mg/Zn/Cd/Te/Zr A seconda del contenuto dei suddetti elementi distinguiamo: ‐ rame bassolegato (elementi presenti in misura inferiore all’1%): a) rame all’argento: può lavorare a temperature elevate; impieghi: lamelle per collettori. b) rame al cadmio‐stagno: elevata resistenza all’usura ad arco; impieghi: lamelle per collettori.

‐ rame a titolo elevato (elementi presenti nella misura tra l’1% e il 5%): a) Cu+Si(3%)+Mn(0.7‐1.5%) : elevata resistenza meccanica, elevata resistenza alla corrosione, elevata resistività.

b) Cu+Be(1.6‐2.1%) : elevato carico di rottura (140 kg/ mm2); γ=24%;

c) Cu+Ni(1‐4.5%)+Si : elevato carico di rottura (65 kg/ mm2) ‐ leghe di rame (elementi presenti in misura superiore al 5%):

‐ Ottone [Cu+Zn(10‐35%)]: σ= 37÷67 kg/mm2 ; γ=44‐27%;

‐ Bronzi fosforosi [Cu+Sn(2‐10%)] σ= 39÷90 kg/mm2 ; γ=48‐11%; una certa quantità viene aggiunta per eliminare l’ossigeno presente. ‐ Cupronichel (Cu+Ni+Zn)+Mn(10‐25%)

- Cu+Mn(12%)+Ni(4%) per resistori di precisione. IL PIOMBO Grado di purezza Piombo puro 99.985% da fonderia 99.9 % da rifusione 99.85% Caratteristiche tecnologiche cristallo cubico a facce centrate densità 11330 kg/m3 punto di fusione 327 °C conducibilità termica 0.084 Cal/cm s K conducibilità elettrica 48 MS/m coeff di temperatura della resistività 0.0042

K ‐1

resistenza a trazione 1÷2 kg/mm2 max allungamento % 30 % modulo di elasticità 1750 kg/mm2 Impieghi: placche accumulatori mantello per cavi (per le proprietà di resistenza alla corrosione) IL MERCURIO Grado di purezza Mercurio puro (distillato sotto vuoto) amalgama Metallo nobile (resistente alla corrosione) Elevata tensione superficiale Proprietà catalitiche Caratteristiche tecnologiche

densità 13550 kg/m3 punto di fusione ‐38.9 °C punto di ebollizione 357 °C conducibilità termica 0.025 Cal/cm s K conducibilità elettrica 10 MS/m coeff di temperatura della resistività 0.009

K ‐1

Impieghi: contatti MATERIALI PER RESISTORI Per ottenere valori di resistività relativamente elevati con materiali metallici o comunque ad elevate prestazioni, si devono considerare significative impurità e/o deformazioni del reticolo cristallino. Possiamo distinguere due casi: a) mescola di più cristalli di atomi diversi; b) cristalli formati con atomi diversi (leghe).

Nel caso a), detta η1 la resistività del metallo base e η2 la resistività del metallo “intruso” di concentrazione cz, la resistività “equivalente” può essere scritta come:

( ) ( )η η η η η ηeq z z zc c c= − + = + −1 2 1 2 11 Come si nota, la resistività è proporzionale alla concentrazione di impurità. Nel caso b), si hanno notevoli variazioni dei valori di resistività. Nel caso di leghe a due componenti, i più alti valori di resistività si hanno per proporzioni quasi uguali delle due componenti. Tuttavia occorre tener conto dei legami intermetallici che modificano la struttura del reticolo. Per le leghe risulta verificata la seguente regola di MATTHIESEN: η α η αmetallo metallo lega lega= ossia risulta costante, al variare della concentrazione, il prodotto della resistività per il coefficiente di temperatura, per cui le leghe presentano resistività assai meno sensibile alla temperatura rispetto al metallo puro.

A6.5 Conduttori non metallici: il carbonio

Il Carbonio si trova in due forme. La forma cristallina include il diamante e la grafite, la forma amorfa include il carbon‐black e il coke.

La maggior parte del carbonio per applicazioni elettriche è ottenuto da una miscela di carbone in polvere o grafite e leganti (pece o resine) che vengono mescolati, estrusi e quindi cotti a 900°C rimuovendo l’aria e i residui volatili. Il prodotto può essere convertito in elettrografite in forni in assenza di ossigeno, a temperature superiori a 2200°C.

La resistività del carbonio ha un coefficiente di temperatura negativo (la grafite ha un comportamento più complesso).

Il Carbonio ha molte applicazioni nei contatti striscianti:

a) deve consentire una connessione strisciante valida (dal punto di vista elettrico e della durata);

b) deve consentire gli opportuni fenomeni di conduzione tra le superfici in contatto; c) per impedire formazione di scariche, il contatto deve presentare una significativa

resistenza.15 Il carbonio è anche usato nelle lampade ad arco. Gli elettrodi di carbonio contengono diversi sali metallici (calcio, cobalto,…) per variare il colore della luce dell’arco (dall’ultravioletto all’infrarosso).

15 Si ricorda che la resistenza di contatto varia notevolmente con la pressione fra le parti

§A6.6 SOLUZIONI ELETTROLITICHE Mentre nei metalli i fenomeni di conduzione non comportano modificazioni dello stato chimico, ciò avviene per le soluzioni elettrolitiche. Nel caso di presenza in un circuito di tratti costituiti soluzioni elettrolitiche siamo di fronte a meccanismi di conduzioni differenti: prevalentemente ionica nella soluzione, elettronica negli altri tratti. Le differenti mobilità delle specie influenzano il comportamento delle soluzioni in regime dinamico. I consistenti fenomeni di polarizzazione e le reazioni chimiche agli elettrodi influenzano anche il comportamento in regime stazionario. La conducibilità di un elettrolita è legata alla concentrazione ed alla mobilità degli ioni positivi e negativi:

−−++ += μμσ enen La conducibilità di un elettrolita va misurata a frequenza abbastanza elevata (1000 Hz) per poter trascurare l’influenza delle reazioni chimiche agli elettrodi (un resistore elettrolitico è generalmente rappresentabile con una resistenza in serie a due capacità di valore elevato, ad es 100 μF. All’interfaccia elettrodo‐soluzione si ha quindi un trasferimento di carica, ossia una trasformazione chimico‐fisica nel corso della quale le specie presenti nell’elettrolita accettano o cedono elettroni scambiati con il metallo. Per la conservazione della carica, sarà dunque da considerare il processo anodico ed il processo catodico. Ad esempio, in un processo di trasporto che veda impegnati ioni positivi sia di idrogeno che di rame, al catodo è più agevole la cattura degli ioni rame rispetto agli ioni idrogeno Gli elettroliti si distinguono in:

a) elettroliti forti (acidi forti e basi forti, sali in generale) (conducibilità dell’ordine di 10 S/m, sensibilmente proporzionale alla concentrazione di soluto). La deviazione dalla legge lineare è generalmente ascrivibile alle interazioni ioniche;

b) elettroliti deboli (acidi deboli e basi deboli), con conducibilità dell’ordine di 0,01 S/m, poco variabile con la concentrazione in quanto le molecole in soluzione sono dissociato solo in una frazione α del numero totale.

Spesso viene introdotta la conducibilità equivalente Λ, riferendo la conducibilità σ alla concentrazione c. Negli elettroliti forti, per concentrazioni non basse, Λ assume il valore limite Λo, corrispondenti alla mobilità limite delle specie ioniche, mentre per concentrazioni basse, il valore della conducibilità equivalente diminuisce per l’interazione (di attrazione) tra le specie di segno opposto. Per elettroliti deboli, le mobilità delle specie ioniche variano molto poco con la concentrazione, per il basso grado di dissociazione. Anzi la misura dell conducibilità permette di valutare anche il grado di dissociazione α=Λ/Λo (essendo Λo la conducibilità equivalente a diluizione infinita)

§A6.7 La conduzione elettrica nei semiconduttori I materiali semiconduttori (solfuro di piombo, silicio, selenio, germanio,…) hanno conducibilità notevolmente più bassa dei metalli. Trattasi in genere di materiali tetravalenti con legami di valenza stabili che diventano labili all’aumentare della temperatura, rendendo disponibili elettroni alla alla migrazione (conduzione tipo n). La lacuna lasciata dall’elettrone può quindi spostarsi ed è equivalente al moto di cariche positive (conduzione tipo p). La conducibilità intrinseca vale

nnpp enen μμσ += Aggiungendo ad un semiconduttore base (es. germanio) un elemento pentavalente (es. arsenico, fosforo, antimonio), si ha un eccesso di elettroni disponibili per la conduzione (portatori maggioritari), con un aumento di diversi ordini di grandezza della conducibilità (drogaggio e conduzione tipo n); le lacune (portatori minoritari ) hanno concentrazione molto più bassa. L’opposto accade in caso di drogaggio con atomi trivalenti (es. boro); in questo caso la conduzione di tipo p è prevalente (le lacune sono i portatori maggioritari). Le giunzioni di materiali con drogaggio p ed n presentano caratteristiche di conduzione fortemente asimmetriche e possono essere usate per la realizzazione di componenti raddrizzatori con eventuale possibilità di controllo.

§A6.8 Materiali per isolamenti Nelle strutture di isolamento (isolamenti solidi) si riscontrano i seguenti materiali: - isolanti “reali”, con caratteristiche di conduzione non desiderata, legata in genere ad

effetti termici, di campo o ad impurezze; - conduttori deboli o semiconduttori, volutamente adoperati per modificare o controllare

la distribuzione della sollecitazione elettrica (esempio negli isolatori passanti o sulle terminazioni di cavo).

Gli isolanti presentano bande di valenze piene, separate marcatamente (ΔW>>kT) da bande di conduzione.

I legami fondamentali sono i seguenti: - legame ionico, dovuto alla forte attrazione di ioni di segno opposto (es Na+ Cl‐ nel

cloruro di sodio; - legame covalente, quando gli atomi hanno gli orbitali interni completi e quattro o più

elettroni sull’orbitale esterno e possono condividere questi elettroni in coppia con altri atomi

La conduzione elettrica nei cristalli ionici può derivare dal movimento degli ioni nel reticolo (conduzione intrinseca, che diviene importante ad alta temperatura), o anche dalla presenza di impurità (conduzione estrinseca, che può essere significativa anche a bassa temperatura). In un cristallo ionico “perfetto” occorrerebbero campi dell’ordine di 1‐100 MV/cm per avere spostamenti degli ioni. Negli isolanti reali, movimenti ionici possono avvenire anche con campi elettrici di intensità notevolmente inferiore: la presenza di imperfezioni nel reticolo può agevolare il movimento degli ioni.

§A6.9 Conduzione intrinseca (negli isolanti cristallini e polimerici)

Si interpreta quindi la conduzione ionica intrinseca come dovuta a difetti di reticolazione. I più noti difetti sono quelli di Frenkel (fig.7.1a) e di Schottky (fig.7.1b): nel primo caso si crea una occupazione interstiziale ed una lacuna, nel secondo caso‐ molto più frequente‐ si ha una migrazione ionica verso la superficie (simmetrica). Anche in questi casi il movimento degli ioni è interpretabile come movimento di lacune (di senso opposto alla migrazione degli ioni). Per ricavare un’espressione per la conducibilità intrinseca, consideriamo che la probabilità che uno ione o una lacuna migri è legata ad una “energia di attivazione” Wa sia del tipo

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=

kTW

Ap aexp*

In presenza di un debole campo E la probabilità di uno scorrimento a (passo del reticolo) dello ione nella direzione del campo vale, in prima approssimazione

)/(** kTEeappt = la densità di corrente, la conducibilità e la mobilità possono essere ricavate di conseguenza

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅==

kTW

kTaeA

ne

kTW

kTaenA

EJ

kTW

kTaEenAeanpJ

a

a

at

exp

exp

exp

2

22

22*

σμ

σ

Se la migrazione di cariche è dovuta differenti meccanismi (anche diversi da quelli descritti), l’espressione della conducibilità tiene conto dei diversi contributi.

∑ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

kTW

C ii expσ

La conducibilità può avere diversi andamenti in funzione della temperatura. Ad esempio, all’aumentare della temperatura, gli ioni d’impurità possono migrare più facilmente negli interstizi e quindi aumenta in misura più marcata la conducibilita. Viceversa può accadere che le impurità vadano a bloccare ad alta temperatura le lacune e quindi la conducibità aumenta di meno al crescere della temperatura..

§A6.10 Conduzione estrinseca (negli isolanti cristallini e polimerici) Tale tipo di conduzione può aver luogo per la presenza di ioni di impurità o di molecole facilmente ionizzabili. Si può valutare che il contributo di conducibilità “estrinseca” appare come

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛≈

kTF

kTeandd exp

22

σ

dove nd è il numero di vacanze indotte dalla presenza di impurità. Alcuni tipi di cristalli presentano conducibilità molto maggiore di quella prevista, a causa della loro struttura complessa (es. strutture planari a diversa densità). Ad esempio nella β‐allumina 322 11 OAlONa ⋅ v’è un eccesso di NaO; gli ioni sodio occupano i piani meno densamente disposti, mentre gli ioni O in quelli più addensati. Questa disposizione porta ad una conducibilità molto maggiore della soluzione di NaCl. Altri cristalli che mostrano queste proprietà sono compositi tipo RbAg4I5 e LixTiS2, utilizzati negli accumulatori (gli ioni Litio presentano una notevole mobilità). In molti di questi casi si manifestano evidentemente marcate anisotropie (la conducibilità non può essere rappresentata da uno scalare). Per esaltare la conduzione estrinseca sono da ricordare: a) l’impiego di sistemi multifase (vengono inclusi polveri conduttivi, grani, fibre,..); b) l’uso di droganti come per i semiconduttori (ad esempio il poliacetilene drogato con ioni clorato e iodo).

Appendice A7

CENNI SUI GENERATORI DI TENSIONE STAZIONARIA16 I generatori di forza elettromotrice stazionaria si possono suddividere in:

a) generatori primari di f.e.m b) generatori secondari. c) sistemi con raddrizzatori (convertitori a.c./d.c. ) I generatori primari e secondari vengono detti rispettivamente pile ed accumulatori (o pile reversibili). Il principio di funzionamento si basa sulla creazione di un campo impresso in catene di conduttori di prima classe (elettrodi di materiali solidi diversi) e conduttori di seconda classe (elettroliti). I simboli corrispondenti sono riportati in fig.1 a), b). I sistemi di raddrizzamento prevedono lʹuso di elementi non lineari (diodi, diodi controllati o tiristori), per ottenere una tensione praticamente continua a partire da una tensione sinusoidale (fig.1,c). Essi sono largamente impiegati in ambito industriale ( Elettronica di potenza ) e in buona parte delle utilizzazioni domestiche per cui sia prevista la regolazione delle prestazioni. Non saranno trattati in questa nota.

+

E

a) b) c)

a.c. d.c.

fig.1

I generatori primari principali sono: ‐ la pila Leclanchè, comunemente impiegate in commercio, f.e.m. di circa 1,5 V, elettrodi di zinco e grafite, impiegante una gelatina di cloruro dʹammonio (NH4CL) come elettrolita e il biossido di manganese (MnO2) come depolarizzante; ‐ la pila Daniell (1836), elettrodi in rame e zinco, soluzioni di solfato di rame e solfatp di zinco separate da setto poroso, f.e.m. pari a circa 1,09 V ‐ la pila Weston (1893, pila campione 1.0186 V, elettrolita CdSO4). I generatori secondari più diffusi in commercio sono: ‐ accumulatori al piombo‐acido

16per maggiore approfondimento vedasi : [7] F. BAROZZI, F. GASPARINI, Fondamenti di Elettrotecnica - Elettromagneti-smo, ed. UTET, Torino, 1989, §III-4

‐ accumulatori al ferro‐nichel ‐ accumulatori al nichel‐cadmio Altri tipi di accumulatori a prestazioni molto più elevate sono stati sviluppati per usi spaziali, ma il loro costo resta proibitivo‐ In fig.1.2 è rappresentata la cella elementare con gli elettrodi, lʹelettrolita, i morsetti

+ -

PbO2

Pb

soluz. acquosa di acido solforico fig.1.2

La f.e.m. E (uguale alla tensione a vuoto teorica ai morsetti) varia con la temperatura e la densità dellʹelettrolita (per le celle al piombo‐acido di circa 100###V/K e di 100 mV per ogni 10% di variazione della densità relativa). Ai morsetti la tensione a vuoto sarà in genere pari a E‐Ep, dove la forza controelettromotrice Ep è originata in fase di scarica da rivestimenti isolanti (PbSO4) formati sugli elettrodi, dalla diminuzione di concentrazioni ioniche, dalla formazione di gas liberi (H2). La f.c.e.m. dipende anche dalla intensità di corrente erogata e può essere limitata (nei generatori primari) con particolari pre‐trattamenti superficiali degli elettrodi. Negli accumulatori i fenomeni di polarizzazione e depolarizzazione sono connessi in modo essenziale alle fasi di scarica e ricarica. Gli accumulatori sono oggetto di normativa del CEI 21‐3 fasc 1258 (1989)

Accumulatori al piombo‐acido Gli elementi dellʹaccumulatore sono: a) piastre, di spessore variabile da 1.25 mm a 20 mm circa, di piombo spugnoso (elettrodo negativo) o di ossido di piombo (elettrodo positivo); esse sono del tipo: ‐ formate (Plantè) : la piastra originaria è di piombo puro, che poi viene attaccata chimicamente per formare uno strato superficiale sottile di biossido di piombo ‐ impastate (Faure): su una griglia di sostegno (lega di piombo con il 4‐12% di antimonio) viene assestata una pasta di polvere di piombo con acido solforico diluito (piastra positiva); un altro tipo di pasta viene usata per la piastra negativa; per il funzionamento effettivo, le due piastre vengono immerse in una soluzione di acido solforico e sottoposte a passaggio di corrente: in tal modo si avrà la piastra allʹossido di piombo (+) e piombo spugnoso(‐). Ogni elemento (coppia di piastre) genera una f.e.m. di circa 2 V.

b) sbarre di connessione e morsetti (fig.3), realizzate in genere in lega di piombo ed antimonio

+-

fig.3

c) separatori, inseriti tra le piastre positive e negative adiacenti per evitare cortocircuiti d) elettrolita: soluzione acquosa di acido solforico, densità 1.2‐1.3 e) contenitori in vetro, in plastica, in ebanite Il modello di funzionamento elettro‐chimico di accumulatori al piombo non è definitivamente assestato; le diverse interpretazioni risalgono al secolo scorso e non si sono avute negli ultimi decenni significativi progressi in materia. Si può tuttavia ritenere che agli elettrodi avvengano globalmente le seguenti reazioni:

anodo

catodo

PbO H SO e PbSO H O

Pb SO PbSO e

scarica

caricascarica

carica

2 4 4 2

4 4

4 2 2

2

+ + +⎯ →⎯⎯← ⎯⎯⎯

+

+⎯ →⎯⎯← ⎯⎯⎯

+

+ −− −

−− −

Caratterizzazione elettrica di un accumulatore Fase di carica:

+

r

accumulatorecaricabatteria

V

I

fig.4

La tensione ai morsetti vale V= E + r I e varia tra 2.1 V (accumulatore scarico) e 2.8 V (accumulatore carico), come si ricava dalla caratteristica di carica a corrente costante (fig.5)

ore

0,000,501,001,502,002,503,00

1 2 3 4 5 6 7 8 9

fig.5 Carica di un accumulatore

Fase di scarica:

+

r

accumulatore

V

I

ER

fig.4

La tensione ai morsetti vale V= E ‐ r I e varia tra 1.7 V (accumulatore scarico) e 2.0 V (accumulatore carico), come si ricava dalla caratteristica di scarica a corrente costante (fig.5)

ore

1,501,601,701,801,902,00

1 2 3 4 5 6 7

fig.6 Scarica di un accumulatore

Occorre precisare che lʹaccumulatore può danneggiarsi irreparabilmente se la tensione scende al disotto di circa 1.7 V per elemento‐ Per correnti più elevate, la scarica avviene in tempi decisamente più brevi. Si definisce capacità di un accumulatore la quantità di carica elettrica (normalmente espressa in Ah) che un accumulatore è in grado di erogare prima di portarsi al livello minimo di tensione; la capacità nominale viene riferita ad una scarica ad un determinato valore di corrente di scarica costante (es. 1 A). La capacità diminuisce sensibilmente con il valore della corrente di scarica (fig.7)

A

0,002,004,006,008,00

10,0012,0014,00

1 2 3 4 5 6 7 8

fig.7 Capacità di un accumulatore in funzione della corrente di scarica

La tensione nominale di batteria dipende dal numero di elementi collegati in serie. Così per 3,6,12,24 elementi avremo le comuni batterie da 6,12,24,48 V. Date le vicende singole subite dai diversi componenti, che determinano valori di f.e.m. leggermente diverse tra i vari elementi, non è opportuno collegare in parallelo gli accumulatori. La resistenza interna di un accumulatore va definita con una certa cautela. Per una prima valutazione, si possono indicare valori di 0,1 Ω per accumulatori nuovi di piccole dimensioni e valori di 0,0001 Ω per accumulatori di grandi dimensioni. Il rendimento di un accumulatore viene definito: in quantità di elettricità:

ηes

c

s

t

c

tqq

i dt

i dt

s

c= = = −

∫

∫0

0

0 90 0 95, ,

in energia:

ηws

c

s s

t

c c

t

ww

v i dt

v i dt

s

c= = = −

∫

∫0

0

0 75 0 80, ,

Classificazione degli accumulatori: a) Stazionari : 900‐9000 Ah b) Trazione pesante : 100 ‐ 500 Ah c) trazione leggera : 50‐800 Ah d) sommergibili: fino a 12000 Ah Manutenzione degli accumulatori: a) la vita dellʹaccumulatore dipende dalla purezza dellʹelettrolita; occorre quindi evitare che venga a contatto con impurità: b) la densità dellʹelettrolita deve essere mantenuta tra 1.2 e 1.3 c) occorre evitare temperature troppo elevate (>45°C) o troppo basse (anche se possono essere adoperati additivi per abbassare la temperatura di solidificazione)

d) evitare, durante la carica, che lʹaccumulatore ʺbollaʺ a lungo (ossia liberi idrogeno, tra lʹaltro pericoloso)

e) evitare intense correnti di carica e scarica f) mantenere puliti morsetti e contenitore.

Appendice A8

Magnetismo

A8.1 ‐ Azione tra conduttori percorsi da corrente. Introduzione “sperimentale” di B

Consideriamo, nel vuoto, due conduttori rettilinei indefiniti (fig.1) o di grande lunghezza L, tra di loro paralleli ed a distanza d ed ambedue interessati da corrente elettrica della stessa intensità I; tra di essi si esercita una forza (detta ponderomotrice) che, per unità di lunghezza, vale in modulo

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅== −

mN

dI

Lf

27102F

(A.15.1‐1)

se I è valutata in due riferimenti antiparalleli o “discordi”, come in fig.1, la forza è di repulsione, se “concordi”, di attrazione.

La (A.15.1‐1) viene utilizzata per la definizione dell’unità di misura dell’intensità della corrente elettrica [A].

In generale, la forza ponderomotrice dF agente su elemento tds di un conduttore interessato da corrente di intensità I nello stesso riferimento t, può essere letta come

BtF ×= dsId (A.15.1‐2)

dove B è il campo (di induzione) magnetico, che quindi viene ricondotto all’azione (elementare) di una corrente “elementare” (anche su scala microscopica fisica), ortogonale sia al conduttore che alla forza; se consideriamo ancora la configurazione fig.1, vista su un piano ortogonale al foglio, lungo una circonferenza centrata sul primo conduttore, sulla quale si immagina disposto il secondo conduttore parallelo, B sarà sempre tangente e di pari modulo (fig.2). Poiché un conduttore rettilineo interessato da corrente non è soggetto, per simmetria, a forze a causa del campo proprio, si deduce, integrando la (A.15.2) su un tratto unitario del secondo conduttore e confrontando la forza risultante con la (A.15.1‐1),

[ ]TmA

NdI

≡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅= −7102B (A15.1‐3)

d

I I

F F

I

B(P)

B(Q)

P

Q

dove si è evidenziata l’unità tecnica tesla [T] a partire dalle unità fondamentali.

Fig. 1 Fig.2

Con riferimento alla circonferenza di fig 2, di raggio r=d, si otterrà che

Savart)Biotdi(legger

IBIIr

IrrBds −⋅=→⋅=⋅⋅==⋅ −−−∫ πππππ

2104104110222 77

27tB

Ids 0μ=⋅∫ tB

Si definisce quindi la costante ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡≡⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⋅= −

mH

mAWb

mATm

ATm //104

27

0 πμ ;

si può introdurre l’ intensità di campo magnetico H

JHtBtH =×∇⇒=⋅=⋅ ∫∫ Idsds0μ (17)

Per definire univocamente i campi occorre fissare la divergenza. La posizione 0=⋅∇ B consente di introdurre un potenziale vettore A tale che BA =×∇ .

Dalla (A15.1‐2) si può ricavare la forza specifica (per unità di volume)

BJF×=

τdd

Conoscendo la distribuzione delle correnti nello spazio, si può risolvere l’equazione di Poisson al potenziale vettore nello spazio vuoto (o omogeneo) ed ottenere 17 Nel caso non stazionario i campi magnetici dipenderanno anche dalle densità di corrente di spostamento.

Q’

I

Q

P(x,0)

dH’

dsQ

a

rPQ

α

dH

O

QPQ

Q

QPQ

QQPQ

QQPPQ

QPQ

QPQ

PQ

Q

dr

P

dr

drr

P

dr

Pdr

P

τπ

τπ

τπ

τπμ

τπ

μ

τ

ττ

ττ

∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫∫

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇×−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∇×−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×∇=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛×∇=×∇=⇒=

3

0

0

41)(

14111

41)(

411)(

4)(

PQrJH

JJJH

JAH

JA

Nel caso di circuito filiforme, interessato da corrente di intensità I, si ricava

QPQ

Q dsr

IP ∫⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×= 34

)( PQrtH

π

SPIRA CIRCOLARE

Da questa espressione si può calcolare ad esempio il campo sull’asse di una spira in aria.

Fig.3

( )322

2

20

20

3 22

4sin2

44)(

ax

aIdra

raId

raIds

rIP

PQPQ

ππ

QPQ

Q+

==⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡×= ∫∫∫ α

παα

ππPQr

tH

avendo considerato coppie di elementi circuitali diametralmente opposti, il campo risultante è diretto lungo l’asse della spira (fig.3)

Al centro della spira si ha aIH

2)0( = . Per una spira di raggio 1 cm, interessata da

intensità di corrente di 1 A, l’intensità di campo magnetico al centro della spira vale 50 A/m e l’induzione magnetica circa 60 μT.

SOLENOIDE CORTO E LUNGO

Con le stesse considerazioni può essere calcolato il campo sull’asse di un solenoide “corto” di raggio a (fig.4)

22 22 rsenaNIdx

rsenaNIdxdH αα

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

ll

Considerato che r=a/senα, che x=a/tgα, dx=‐(a/sen2α) dα, si ha

∫ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⇒⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−=

2

1222 2

3

2

ε

ε

αααααα

α dsenNIHdsenNIa

senasenNIaddH

lll

( )21 coscos22

)(2

1

εεααεπ

ε

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−= ∫

−

ll

NIdsenNIPH

Se il solenoide è lungo il campo diventa uniforme e si ha

nINIPH ==l

)(

dove n è il numero di spire per unità di lunghezza.

Indicando con S la sezione del solenoide, il flusso concatenato con una spira vale

( ) nIaNI μπμ ==Φ 21 4

lS

Il flusso concatenato con l’intero solenoide vale

( ) ( )InaINNN μπμ ll

222

1 4 ==Φ=Φ

ed il coefficiente di autoinduzione del solenoide lungo vale

SnSNI

L N μμ ll

22

1==

Φ=

Se ad esempio la lughezza del solenoide in aria con N=300 spire è 30 cm, il diametro 5 cm, si ha L=738 μH.

dx

l

a

P(x,0)

dα

ε1 ε2

r

α

0 x

δ

l

a

0 x

Dalla (A15.1‐2) è possibile ricavare la sollecitazione meccanica su un solenoide lungo. Considerando che il campo all’interno è uniforme e all’esterno è nullo, si può considerare che nella zona del conduttore vi sia un campo intermedio. Quindi

aNI

F

dsNI

d

dsId

spira πμ

μ

l

l

02

02

2

=

=

×=

F

BtF

La forza su ogn elemento della spira è diretta verso l’esterno; le spire per unità di lunghezza sono N/L; quindi la forza esercitata sugli avvolgimenti del solenoide, per unità di lunghezza vale

aNIF

πμ

2

20

2

lll =

con una pressione

20

22

02

20

2

2

20

2

21

22121 HIn

NIaaNI

SF

p μμμ

ππμ

===⋅

==lll l

l

pari cuiè all’energia magnetica per unità di volume (interno).

SOLENOIDE LUNGO NON FILIFORME

Sionsideri un solenoide di lunghezza l costituito da N spire massicce di spessore δ (oppure un gruppo equivalente di avvolgimenti stratificati in parallelo) (fig…)

Il campo magnetico è costante all’interno del solenoide eè linearmente decrescente dal bordo interno al bordo esterno dell’avvolgimento. Pertanto,

δδ

+≤≤−

=

≤≤=

araral

NIH

arl

NIH

"

0'

Il coefficiente di autoinduzione può essere calcolato valutando l’energia magnetica associata al sistema

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( )[ ]

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ][ ]{ }

( )[ ]δδπμ

δδδδδδδδδπμ

δδ

δδ

δδδ

δπμ

δδδ

δδπμ

πδδπμππμ

δδδ

ττ

++=

=+++++++++−+++=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++−+

+−−+

++=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+−

++=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

+=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+=+=

∫∫∫

∫∫+++

aal

N

aaaaaaaaaaal

N

aaaaaaaaal

N

drrdrrardraal

N

rdrral

Nl

aNrdrHIl

aNLLL

a

a

a

a

a

a

466

2382666

21

34

242

22"1"'

22

0

2222222

0

442

332

222

22

2

0

32

222

22

2

0

"

2222

0"

222

22

0

COEFFICIENTE DI MUTUA TRA SOLENOIDI SPESSI

Poiché risulta M12=M21, conviene valutare il flusso prodotto dal solenoide esterno (2), concatenato con il solenoide interno (1). Esso viene valutato considerando pesando i flussi conatenati con gusci elementari di spressore dr.

x

R1e

l

dr

R1

0

( ) ( ) ( )

( ) 33

)(1

112

12

121031

31

11

210

2

11

210222

112

1021

1122

211

1

1

1

1

1

eeeqeq

e

e

R

Re

R

Re

R

Re

RRRRRR

lNN

MRR

RRlNN

drrRRl

NNdrr

lIN

RRIN

drrRRII

Meee

++==→→⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−

=

=−

=−

=Φ−

=Φ

= ∫∫∫

πμπμ

πμπ

μ

Ai fini del calcolo del coefficiente di mutua induzione, il solenoide “spesso” si comporta quindi come un solenoide sottile di opportuno raggio. Ad esempio se il raggio minimo dell’avvolgimento interno è 4 cm e quello massimo è 10 cm, il “raggio equivalente” dell’avvolgimento interno è di 7,2 cm.

SPIRE DI HELMHOLTZ

Si considerino due spire piane parallele in asse, a distanza 2b, interessate da intensità di corrente I1= I2 (riferimenti congrui). Il campo magnetico risultante sull’asse z è dato dalla somma vettoriale dei campi prodotti dalle singole spire: Il modulo del campo vale:

( )( ) ( )( )322

22

322

21

22)(

abx

aI

abx

aIzH+−

+++

=

Al centro tra le due spire (z=0) il campo vale

( ) ( )( ) ( )322

2

1322

22

322

21

22)0(

ab

aIab

aI

ab

aIH+

=+−

++

=

Come si può notare nella fig…., per bassi valori del rapporto raggio/distanza delle spire, ossia spire piccole e distanti, il campo è fortemente disuniforme; avvicinandosi le spire, il campo sull’interasse tende a diventare sempre più uniforme.

Dalla fig… si può notare che per a/2b=1 (raggio delle spire pari alla loro distanza) il campo non varia più del 5% nello spazio tra i due centri spira.

si può verificare agevolmente che il campo, per z=0, ha derivata prima e seconda verso z pari a zero, quindi nell’intorno del punto z=0 lo sviluppo in serie (per la simmetria mancano i termini dispari) vale

( )( )( ) ....

424

562525344

2.....

!41)0()( 4

23

22

5322

24

04

4

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +−

+=++=

=

zbaaI

ab

aIzdz

HdHzHz

Ponendo a=b/2=1, si ottiene

( )44

23

255625

2534445

0)0()( zz

HHzH

≅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛≅

−

a distanza di10 cm l’errore su un campo uniforme è dello 0,25%

A

r0 r2

r1

B

AVVOLGIMENTO TOROIDALE

Consideriamo un avvolgimento di N spire “compatte e serrate” distribuite uniformemente su un supporto (anche ideale) a forma di anello (toro).

Applicando il teorema della circuitazione si verifica subito che il campo ha struttura circolare ed è nullo all’esterno dell’avvolgimento, mentre all’interno vale

rNIrH

rrr π2)(

21=

<<

se il toro è sottile, possiamo considerare il campo praticamente uniforme all’interno e pari al campo sull’asse

002)(

21 l

NIr

NIrHrrr

=≅<< π

Il flusso concatenato con le N spire vale

0

2

00

2

0 22 rSNL

rSIN

N πμ

πμ Δ

≅→Δ⋅

≅Φ

Volendo valutare il flusso concatenato con l’intero avvolgimento e l’induttanza vista dai morsetti A‐B (comunque molto vicini tra di loro ed al toro), occorre tener conto anche della spira “grande” costituita dall’elica toroidale

( )12

00

0

2

0 2ln

2''

rrr

rSNLLLABNtoro −

+Δ

=+=→Φ+Φ=Φ μπ

μ =

r0 r2

r1

BA

per evitare questa correzione, non sempre trascurabile, occorrerebbe “compensare” la spira “grande” con una “controspira” come in figura. In tal caso la configurazione di campo risulta molto più complessa.

Se in un avvolgimento toroidale si volesse tener conto della variazione del campo con il raggio, il coefficiente di autoinduzione potrebbe essere calcolato nel modo seguente:

1

22

0001 ln22

2

1rrbNdr

rbNI

INHdS

IN

INL

r

rS πμ

πμμ

===Φ

= ∫∫Δ

b

LINEA BIFILARE

Si consideri un tratto di lunghezza unitaria di una linea costituita da due conduttori paralleli a distanza d, a sezione circolare di raggio R, interessati da una intensità di corrente I e quindi da una densità di corrente

2RI

π=J

diretta come in fig.

Il potenziale vettore A può essere valutato come

QPQ

Q dr

P τπ

μ

τ∫∫∫=

JA

4)( 0

Poiché tutti gli elementi di corrente sono diretti secondo un solo asse (y), anche il potenziale vettore sarà diretto lungo l’asse y

dy’

J’

R

dy”

J”

R

d

r’

r”

P(x1) 0 x

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫∞+

∞−∫∞+

∞−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−−

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+=

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

∫∞+

∞−∫∞+

∞−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∫∞+

∞−∫∞+

∞−−=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∫∞+

∞−∫∞+

∞−−=

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∫∫∫+∫∫∫=+=

2

1

1

2

1

10

2

12

2

12

0

0

2

1

2

2

1

24

2

"

2

'4

""

''

4'"

''

40

"""'

'40

)(")(')(

dx

y

dx

yd

dx

y

dx

ydI

dxy

dy

dxy

dyI

rdy

rdyI

rdy

rdyI

dr

dr

PAPAPy

π

μ

π

μ

π

μ

π

μ

ττ

ττπ

μJJ'A

Ponendo 11 2

',

2xd

ydx

y

−=

+= ττ , si ha

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−⋅==

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

⋅

=

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++

⋅=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

++

++⋅=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++−⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++=

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛∫∞+

∞−∫∞+

∞− +−

+=

∞+

∞+

∞+

∞+∞+

1

10

02'

20

0

2'

20

0

2

2

0

0

2

0

20

22

0

2

2ln24111

111

'ln2

4

111

111

'ln2

4'1'

1ln2

4

'1'ln21ln24'1

'

14)(

xd

xdII

II

IddIP

y

πμ

τ

τττ

πμ

τ

τττ

πμ

ττ

ττ

πμ

ττττπ

μ

τ

τ

τ

τπ

μA

In definitiva

1

10

22ln

2)(

xdxdI

Py +

−=

π

μA

sull’asse centrale è x1=0, quindi il potenziale vettore si annulla.

Dalla circuitazione del potenziale vettore magnetico lungo una linea γ è possibile valutare il flusso concatenato con tale linea, ossia il flusso attraverso una qualsiasi superficie orlata da tale linea. Si consideri ad esempio (fig…) una linea rettangolare che si appoggia alle due linee

( ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −±= Rdx

21 ) per un tratto di lunghezza l. Si ottiene

RRdl

IRd

RR

RdlI

dsP −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=⋅=Φ ∫ ln22

2ln2

22ln2

)( 00

πμ

πμ

γγ tA

Se ne ricava il valore dell’induttanza “interna” della linea bifilare per unità di lunghezza

RRd

lIL −

=Φ

= ln' 0

πμγ

Nel caso di linea sottile (R<<d) si ha

rdL ln' 0

πμ

≅ [H/m]

ad es. per R=2mm, d=30 cm l’induttanza per kilometro di linea (induttanza di servizio) vale L’=2.0 mH/km.

d

x

γ

I

I

Per composizione si può calcolare la distibuzione del campo risultante, in particolare lungo x (fig…)

Il campo lungo x mantiene lo stesso senso nell’intervallo (‐d/2+R,d/2‐R) e vale

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

−=

22

42

2

1

2

12

)(xd

dI

xdxdIxH

ππ

Il campo ha un minimo al centro ed è massimo in prossimità della linea (dove è leggermente aumentato rispetto al caso del conduttore singolo)

dRRI

dRR

IRdR

dIRdHH

dIHH

<<

→−

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

==

πππ

π

2)1(

12)(22

2)0(

max

min

All’interno del conduttore occorre considerare la somma del contributo dello stesso (lineare con la distanza dal proprio asse) e dell’altro conduttore (iperbolico)

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+−=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−∈

Rxd

RxdI

xdR

xdIxH

RdRdx

2

42

2

122

)(2

2

2,

2 ππ

d

x

I

I

H

Hmin

che si annulla per 2

412 d

Rdx += ossia poco oltre l’asse del conduttore (assi magnetici della

linea bifilare). Volendo calcolare l’induttanza della linea bifilare, considerando anche la distribuzione di campo magnetico anche all’interno dei conduttori, occorrerebbe suddividere il conduttore in tanti “filetti” elementari di corrente dI e valutare il flusso del campo magnetico concatenato il singolo filetto elementare identificato con il loro asse; si considera quindi la media pesata (sulle correnti elementari) dei flussi così ottenuti

∫∑∑

Φ→Δ

ΔΦ=

Φ=

Ii

i

iii

dIII

I

IIL 2

11

Risulta in genere più agevole, conoscendo la distribuzione del campo magnetico (nel caso del vuoto o di mezzo lineare), valutare il coefficiente di autoinduzione L attraverso l’energia magnetica

∫∫ ==→==ττ

τμτμ dHII

WLdHLIW m

m2

2222 12

21

21

Nel nostro caso, in prima approssimazione, per linee bifilari non sottili,

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+=

=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

=+≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

∫∫

∫∫∫∫∫

41ln

4ln

ln22

2ln

2ln1

000

34

002

2200

22

00222

rdll

rdl

dR

lrdl

dlR

IIr

dl

dHIr

dldHdH

IL

R

o

R

o

conduttoreconduttoriaria

πμ

πμ

πμ

ρρπμ

πμ

ρπρπρμ

πμ

τμ

πμ

τμτμ

Se ne deduce una espressione (di largo impiego tecnico) per l’induttanza per unità di lunghezza di una linea bifilare (es. per un cavo costituito da due conduttori paralleli nella stessa guaina)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

41ln' 0

rdL

πμ

ALCUNE CONSIDERAZIONI ENERGETICHE Si consideria una spira interessata da corrente di intensità i1(t) erogata da un generatore di tensione indipendente e1(t), supposto puntiforme o comunque “localizzato. In generale nella spira nasce una forza elettromotrice indotta; considerata la “resistenza” equivalente della spira, si postrà scrivere

1111111

11

111

iRdsS

idsSS

dtdeds ∫∫∫ =

Δ=⋅

ΔΔ

=−=⋅γγγ

ηηϕ tJtE

Moltiplicando per i1(t) per un intervallo elementare di osservazione dt si potrà mettere in evidenza l’energia erogata dal generatore “concentrato” nell’intervallo di tempo elementare

112111 ϕdidtiRdte +=

Anche se si considerano altre spire similari si potranno considerare bilanci analoghi e pervenire ad una formulazione del tipo

*

2

dWdWdW

didtiRdte

Jg

kkk

kkk

kk

+=

+= ∑∑∑ ϕ

dove l’energia dei generatori è bilanciata dalla dissipazione per effetto Joule nei conduttori e dalla variazione di “energia magnetica”. Il campo B è solenoidale, ed anche la sua variazione temporale dB* è solenoidale, per cui si potrebbero individuare linee chiuse γ* di dB (la circuitazione di H lungo queste linee deve dar luogo alla corrente concatenata) e suddividere lo spazio in tubi di flusso di dB. Ad ognuno di questi tubi di flusso elementare di sezione ΔS* si potrebbe associare un valore

∫Δ

⋅=*

***S

dSdd nBϕ

e costruire l’integrale

**

ττ

ddBH ⋅∫Δ

esteso al volume definito dal tubo di flusso elementare dφ* di dB. Procedendo lungo γ* il flusso si mantiene costante e si avrà

( ) ∑∫∫∫ =⋅=⋅=⋅ΔΔ k

kkinddltHddldSddd *****

ϕϕτττ

BHBH

dove si sono messi in evidenza gli eventuali concatenamenti multipli nk. Per un processo finito che porta alla formazione di un campo B in tutto lo spazio, potremo valutare l’energia magnetica per unità di volume

BH dwB

m ⋅= ∫0

Nel caso di mezzi lineari (identificati da una permeabilità magnetica μ costante, l’energia magnetica spefifica è pari a

22

0 21

21

21 BHdw

B

m μμ ==⋅=⋅= ∫ BHBH

Nel caso di due spire, l’energia magnetica associata (in tutto lo spazio) vale

( ) 2211 21

21

21 ϕϕτ

τ

iidWm +=⋅= ∫ HB

Nel caso di mezzi lineari

( ) ( )

21222

211

12222112211

21

21

21

21

21

21

iMiiLiL

MiiLiMiiLiiiW im

++=

=+++=+= ϕϕ

Per il suo significato energetico, tale forma quadratica dev’essere non negativa; ciò implica che il coefficiente di accoppiamento

21LLMk =

dev’essere in valore assoluto non maggiore di 1. La condizione k2=1 (k=1 se M>0, k=‐1 se M<0) vien detta di accoppiamento magnetico perfetto: in queste condizioni l’energia magnetica è un quadrato perfetto

2

22

11

21222

211 222

121

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=++= iLkiLiMiiLiLWm

in tal caso, per infinite coppie di valori delle intensità di corrente non nulle

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 2

1

21 i

LLki

l’energia magnetica totale risulta nulla, ossia il campo magnetico è nullo in tutto lo spazio; tale condizione può essere praticamente realizzati con due solenoidi lunghi e sottili, separati da un sottile strato di isolante.

Per meglio valutare la condizione di accoppiamento magnetico nel caso ad esempio di trasformatori reali, costituiti ad esempio da due avvolgimenti, si introduce il flusso medio di auto e mutua induzione per spire

1

2

02

212

2

1

01

121

2

22

02

222

1

11

01

111

12

12

NiM

NNiM

N

NiL

NNiL

N

im

im

im

im

====

====

==

==

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

L

L

il coefficiente di dispersione magnetica

12

2

2

22

1

2

2

22

22

12222

21

1

1

11

2

1

1

11

11

21111

1

1

NLNM

NiL

NiM

NiL

NLNM

NiL

NiM

NiL

m

mmd

m

mmd

−=−

=−

=

−=−

=−

=

ϕϕϕσ

ϕϕϕσ

e le induttanza di dispersione

1

22222

2

11111

NNM

LLL

NNM

LLL

dd

dd

−==

−==

σ

σ

Si ricava anche che

( )( ) 2

21

2

21 11 kLL

Mdd ==−− σσ

La condizione di accoppiamento perfetto si realizza quando i due coefficienti di dispersione sono, oppure quando sono di segno opposto e di valore opportuno (ad esempio se il primo avvolgimento ha una spira, la seconda ha due spire di cui una copre la meà della spira del primo avvolfimento: i coefficienti di dispersione valgono 0,5 e ‐1).

A

r0 r2

r1

B

A9– COMPORTAMENTO DEI MATERIALI FERROMAGNETICI

Nel caso dei materiali ferromagnetici assumone rilevanza il comportamento collettivo degli atomi di materiali in regioni significative (detti domini di Weiss, delle dimensioni anche superiori al decimo di millimetro).

Si consideri propedeuticamente un anello di materiale ferromagnetico su cui è predisposto un avvolgimento di N spire (18). Il campo H vale

002)(

21 l

NIr

NIrHrrr

=≅<< π

18 Se il materiale presenta permeabilità molto elevate, la distribuzione di campo magnetico nel ferro non varia quasi per niente se le N spire sono concentrato in un tratto limitato della periferia dell’anello.

Alimentando l’avvolgimento con intensità di corrente I, ad una variazione di corrente in un certo intervallo di tempo corrisponderà una variazione del flusso di B e quindi una tensione valutabile ai morsetti A‐B. Integrando nel tempo per valori di I crescenti fino ad un valore Imax si può ricavare una relazione tra B ed H del tipo in fig…… Nella figura seguente è riportata la curva di magnetizzazione di una lega al ferro silicio a grani orientati Il campo di induzione può essere letto come

Jl

NIB o += μ

con J intensità di magnetizzazione crescente fino al valore Js di saturazione. La circuitazione del campo lungo l’asse del toro (nel ferro) risulta

lJNIdltB

o 0μμγ

+=⋅∫

Il termine lJ

0μ assume il significato di totale corrente molecolare concatenata con la linea

γ . Con tale linea saranno concatenate le correnti elementari determinate dalle particelle (di raggio medio r0) poste a distanza non superiore ad r0 dalla linea γ . Se la densità di particelle è n, il numero totale di particelle coinvolte è (nπ r02l); detta im l’intensità di corrente elementare, la totale corrente molecolare concatenata vale

MllmnilrnlJm ==⋅= 2

00

πμ

dove m è il momento elementare ed M il momento magnetico risultante per unità di volume (detto anche intensità di magnetizzazione).

H=NI/l

B

62

I valori di saturazione sono riportati nella seguente tabella Materiale Intensità di Magnetizzazione Ms

[A/m] μ 0Ms [T]

Ferro 1.7 106 2.1 Ferro‐cobalto 1.9 106 2.4 Acciaio temprato 1.4 106 1.7 Cobalto 1.4 106 1.7 Nickel 0.48 106 0.6 Magnetite 0.50 106 0.6 L’induzione magnetica può essere quindi riscritta come

( )MHB +=→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += oo M

lNIB μμ

Se vi è linearità tra M e B , si può scrivere

HHBBHB 01μμ

βμβμ r

oo =

−=→+=

con μ permeabilità magnetica relativa La permeabilità relativa più adoperata è quella differenziale, che si ottiene considerando il dB/dH nella curva di fig …. La permeabilità iniziale è intorno a 250, poi raggiunge un massimo (vedi tab. ….) per poi diminuire gradatamente tendendo ad 1. Materiale μr H [A/M] B [T] Ferro elettrolitico 100000 Permalloy (21.8% Fe‐78,2% Ni)

90000 4,8 0,54

Acciaio (1%C) 350 1600 0,7 Acciaio temprato 98 8000 1 Mu‐metal 30000

Elettrotecnica e Complementi · spostamento tra due punto a potenziale differente per un volt.Un...

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