EletrostáticaCap. 1,2 e 3

Definições matemáticasEquações da eletrostáticaDistribuições de carga e descontinuidadesEquações de Laplace e PoissonCondições de contorno e unicidade de soluçãoMétodo de funções de GreenMétodo variacionalMétodo das imagensMétodo da separação de variáveis

Expansão em séries de FourierExpansão em harmônicos esféricosExpansão em funções de BesselExpansão em autofunções para funções de Green

Operador Notação Propriedades

Gradiente                    Determina as taxas e sentidos de variação

máxima num campo escalar f.

Rotacional                       

Determina a tendência de um campo vetorial circular ao redor de um ponto.

Divergência                    

Determina o fluxo de uma fonte descrita por um campo vetorial num ponto.

Laplaciano                            Composição das operações de divergência e gradiente.

Teorema de Stokes

Rotacional e Divergência

Teorema da Divergência

Fasor

Campo Elétrico

Força Elétrica

Equações da Eletrostática

Continuo e Discreto

Lei de Gauss

Potencial Escalar

Equações do Campo Eletrostático

Campos eletrostáticos não apresentam dependência do tempo.

Forma Integral

ExercícioÉ possível haver uma onda eletrostática? Se sim, como assim!

http://puhep1.princeton.edu/~mcdonald/examples/bernstein.pdf

Sugestão:

Descontinuidade em E e

Aproximação Dipolar

"na camada dipolar"

Equações de Poisson e Laplace

Obs.:

x x´

O

R a

Método da Função de Green

propagador

George Green 1793-1841

MQ

L = L(x)

Função de Green (carga puntiforme)

Teoremas de Green

10

20

Solução Formal

Condição de Dirichlet sobre S:

(valor médio do potencial sobre S)

Condição de Neumann para x´ sobre S:

Unicidade

o o

o

Dirichelet Neumann

Interpretação de F(x,x´)

Solução da Eq. de Laplace no interior do volume V;

Potencial de um sistema de cargas externo ao volume Vcuja particular distribuição de carga na superficie satisfaz = 0 ou nulo quando combinado com uma carga punti-forme em x´ (carga imagem).

Sob a condição de Dirichlet, pode ser o potencial induzidosobre um condutor devido a uma carga puntiforme em x´.

Importante: a determinação da G(x,x´) pode ser dificil ou impossível devido a sua dependência com a forma da superfície S.

Solução Formal usando oMétodo Variacional

Método variacional partindo de um funcional (caso Dirichlet)

onde é uma função bem definida dentro do volume V e sobre a superfície Se g é uma função fonte especificada e sem singularidades dentro de V.

Método variacional partindo de um funcional (caso Neumann)

(dentro de V)

(sobre S)

ExercícioRefazer o exemplo da distribuição de cargas arbitrária da Seção 1.12

Método das imagens

Transformação de um campo elétrico em um outro campo elétrico equivalente mais simples de calcular.

Cap. 2

Aplicação do Método das Imagens

. Carga elétrica puntiforme próxima a uma esfera metálica aterrada.

Quando a carga Q é positiva a densidade de carga superficial é negativa. A condição de contorno V = 0 é satisfeita pela cargaoriginal Q e sua imagem -Q` que é estrategicamente inserida no problema em substituição à esfera.

Impondo o potencial nulo nos pontos P1(r,) e P2 (r,) arbitrários:

Resolvendo

Em P3 (r,) :

Em um ponto P(r,) arbitrário :

Em r = a :

Cálculo da densidade superficial de carga elétrica em um ponto. Para fazer isso, primeiro fazemos o cálculo da intensidade do campo elétrico E produzido por um elemento de carga da isolado sobre a superfície de um condutor.

Podemos fazer isso usando a Lei de Gauss. O fluxo elétrico total emergindo de da deve ser da/o, metade dele entrando e outra metade saindo da elemento de área da.

Sendo n um vetorunitário normal à superfície.

Portanto, o elemento da carga da isoladamente produz a metade do campo elétrico total /o em um ponto externo, arbitrariamente próximo à superfície. Ou seja, este elementode carga gera um campo muito mais efetivo do que todas asdemais que devem produzir a outra metade.

Desta forma, a intensidade do campo elétrico atuando sobre da deve ser igual a / 2o, como mostrado na figura.

Podemos aproveitar e calcular a força sobre esse elemento decarga do condutor devido ao campo produzido pelas demais:

Logo, a “pressão” exercida pode ser escrita como:

Podemos agora calcular a densidade de carga que buscávamos assumindo que:

A carga total induzida sobre a superfície será dada por:

Ou seja, a carga total induzida na superfície do condutor é iguala carga imagem usada para substituir a esfera, validando a Leide Gauss.

R D

Exercício

22

24

D

RDD

Rq

D

qD

RQ

qF

o

(a) Mostre que a força F entre uma carga puntiforme q > 0 e uma esfera condutora de raio R com carga Q > 0 é dada por:

onde D é a distância entre q e o centro da esfera.

Essa força pode ser atrativa? Se sim, sob que condição.

Diagrama das linhas de campo e das equipotenciais no caso da carga próxima à esfera condutora.

?

ExercícioResolva o mesmo problema da carga puntiforme em frente a uma esferapelo método de função de Green, conforme seção 2.6.

Mostre que:

Mostre que:

Nesse caso:

Expansão em séries

Passagem para o contínuo

Potencial de "cantos e quinas"

Condições de contorno

Método da separação de variáveis(coordenadar retangulares)

Solução geral: =

Cavidade metálica retangular aterrada com a tampa polarizada

ExercícioObtenha a densidade superficial de carga na tampa superior da cavidade retangular discutida no slide anterior.

Equação de Laplace em coordenadas esféricas

UPQ

senr 22

Separação de Variáveis

Obtenção de UPQ

Polinômios de Legendre Associados

Polinômios de Legendre

Andre-Marie Legendre obteve a expansão abaixo em 1782.

Os polinômios de Legendre são também autofunções de um operador diferencial Hermitiano:

Os auto valores correspondem a n(n+1).

Ortogonalidade

Normalização

Polinômios de Legendre Associados

Harmônicos Esféricos

Condição de ortogonalização

Condição de completude ou fechamento

Representação visual(vermelho < 0 e verde > 0)

l

m = 0

Harmônico esféricos ortonormalizados em relação a uma esfera unitária

Obs.: atenção ao uso do fator de fase de Condon-Shorthley (-1)m se m > 0 e 1 no caso contrário.

Orbitais atômicos(módulo ao quadrado dos harmônicos esféricos combinados)

Y21 - Y2-1 Y22 + Y2-2 Y22 - Y2-2

Y10 Y11 + Y1-1 Y11 - Y1-1

Y20 Y21 + Y2-1

Expansão Multipolar

Expansão em harmônicos esféricos

Solução geral sob simetria azimutal

(m = 0)

Solução geral sem divergência na origem

Soluções geral no eixo de simetria (z = r)

Teorema da adição de harmônicos esféricos

Exercício

Use a relação de Completude ou Fechamento:

Verifique a expansão da função de Green em coord. esféricas:

Uma distribuição linear de cargas Cm se extende ao longo do eixo z entre z = a e z = a.

(a) Mostre que em qualquer ponto, tal que r > a, se verifica que:

(b) Obtenha o campo elétrico.

Exercício

...)(cos

5

1)(cos

3

1)(cos

2)4( 4

5

2

3

Pr

aP

r

aP

r

aV oo

ExercícioObtenha o potencial e o campo elétrico próximo a um plano condutor z = 0 com uma abertura circular de raio r = a onde as componentes de campo elétrico verticais assintóticas são Eo em z > 0 e E1 em z < 0.

Seguir passos indicados na Seção 3.13 e resolver o Problema 3.25.

Expansão multipolar fora (r< = r´ e r> = r)de uma fonte arbitrária de raio R

Momentos de multipolo

Tensor quadripolar elétrico

Momento dipolar elétrico

Obs.:

Expansão em coordenadas retangulares

Campo elétrico multipolar

ExercícioUma região com densidade de carga (x,y,z) encontra-se imersa numcampo eletrostático descrito por um potencial o)

(x,y,z).

(a) Admitindo uma pequena variação do potencial elétrico sobre a região que contém a densidade de carga, mostre que a força total atuando sobrea distribuição de carga pode ser decrita como:

(b) Mostre também que o torque total pode ser escrito como:

onde 1 é uma das componentes cartesianas.

Exercício(a) Verifique a expressão do campo elétrico dipolar.

(b) Mostre que para satisfazer tem-se:

ExercícioMostre que a solução geral da Eq. de Laplace para = QZR em coordenadas cilíndricas é (seção 3.7 do livro doJackson 3

a Ed.):

tal que:

sendo kmn = xmna extraída de :

Dielétricos Sob a ação de um campo elétrico aplicado o centro de carga da nuvem eletrônica da molécula desloca-se em relação aos centros de carga dos núcleos (valores típicos 10-8 o diâmetro de um átomo). Este fenômeno é a polarização eletrônica e/ou iônica.

Moléculas polares tendem a alinhar-se de forma espontânea e a ganhar polarização em presença de campos elétricos aplicados. Isto é denominado polarização orientacional. A agitação térmica tende a opor-se a este processo de alinhamento por torque :

Existem materiais com íons de sinais opostos capazes de se mover ou orientar sob a ação de um campo elétrico. O fenômeno de polarização intrínseca atômica ocorre em dielétricos ferroelétricos.

Polarização elétrica, P

Havendo N moléculas por unidade de volume com um momentode dipolo elétrico médio por molécula p.

Admitindo um momento de dipolo elétrico resultante pr no interiorde elemento de volume v.

Potencial elétrico de um dielétrico polarizado

Observação: se houver cargas elétricas livres presentes, então adiciona-se termos integrais similares para as cargas livres.

Equação de Poisson

Tal que

Comentário :

Um sólido cristalino possui via de regra propriedades dielétricasdiferentes em direções cristalinas distintas; devido a mobilidadee/ou orientação preferencial dos momentos dipolares elétricosem uma dada direção. Como resultado, a susceptibilidade elétrica pode depender do campo elétrico E e a direção da polarização elétrica P não ficar na mesma direção de E.

A susceptibilidade torna-se um tensor de 2a ordem. Importante dizer que apenas 6 das 9 componentes são independentes, havendo três direções principais relativas aos eixos cristalinos.

Ex.:

Cavidade num dielétrico entre placas polarizadas

0 r

Em

E

Campo elétrico emescala atômica

Campo elétrico local no centro da « cavidade » :

Campo das placas : sendo

Campo despolarizante: P = Pn

Campo interno no dielétrico:

Campo devido a P na cavidade:

Campo devido aos dipolos dentro da cavidade:

A rigor é nulo apenas em gases, líquidos ou cristais cúbicos

Exercício:

Lembrando que mostre que o campo elétrico de um

dipolo elétrico pode ser escrito a partir do potencial elétrico

como .

Exercício:

Usando a expressão acima, mostre que a componente x de um campo elétrico dipolar no interior de um dielétrico pode ser escrita como :

Admitindo o dielétrico isotrópico, as componentes x,y e z são equivalentes por causa da simetria da rede. Então os valores médios espaciais respeitam as relações:

Isto demonstra que E´= 0 numa cavidade de formato qualquer de um dielétrico ?

Condições de continuidade em uma interface

O potencial elétrico é continuo através da interface entre dois meios, pois em caso contrário o campo elétrico se tornaria infinitamente grande.

Exercício: Analise a interface entre um condutor e um dielétrico homogêneo, isotrópico e linear.

Considere o volume gaussiano e deduza as seguintes relações:

+QD

rs

bn

Carga puntiforme diante de um bloco dielétrico semi-infinito

Ojetivo: obter b e discutir o campo elétrico.

Componente normal à interface do campo elétrico devido a carga Q :

De acordo com a Lei de Gauss, a carga ligada induzida b

determina componentes normais de campo elétrico com intensidades b/2o opostas na interface ar-dielétrico, tal que no interior do dielétrico temos:

Resultando

Portanto,

Assumindo o lado direito contendo o dielétrico como sentidopositivo, temos as componentes normais do campo elétrico

Fora do dielétrico:

Dentro do dielétrico:

Temos que sendo a componente normal de D continua na interface, pois não há cargas livres.

Satisfeitas as condições de contorno a imposição de unicidade de solução permite dizer que podemos substituir o dielétrico poruma carga imagem Q’.

Ou seja, o campo elétrico a esquerda da interface ar-dielétrico pode ser descrito como devido a carga Q e a uma carga Q’,conforme mostra a Figura (a) no próximo slide.

Observa-se ainda que Eni permanece inalterado substituindo o dielétrico por uma carga efetiva Q’’, conforme mostra aFigura (b) no próximo slide.

O problema pode se dizer qualitativamente resolvido!

Intervenção de cargas imagens

D

equipotenciais

ar dielétrico

Densidade de energia eletrostática em termos de E e D

Cálculo do trabalho realizado pelo campo elétrico :

Energia dispendida :

Densidade de energia dispendida:

Ou ainda:

Configuração de cargas elétricas isoladas.

Energia potencial de um conjunto de cargas elétricas isoladasem termos das cargas e potenciais elétricos sobre as cargas

Energia potencial de um conjunto de cargas elétricas isoladas e distribuições (pseudo)contínuas de cargas

= --

pseudo-continuas discretas

Densidade de energia num campo eletrostático

Coeficientes de potencial (cij), de capacitância (i=j) e de indução (ij)

Exemplo:

Exercício: Obtenha a energia potencial eletrostática de uma distribuição de N cargas.

Resp.:

Exercício(a) Refazer a dedução do campo elétrico dipolar criado por uma esfera dielétrica imersa em um campo elétrico assintóticamente uniforme.

(b) Refazer a dedução do campo elétrico dipolar dentro de uma cavidade esférica em um meio dielétrico imersa em um campo elétrico assinto- ticamente uniforme.