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Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 1
Potencial Elétrico
• O Potencial Elétrico:
Energia Potencial Suponha que desejamos deslocar uma carga elétrica Q
de uma distância dL em um campo elétrico E. A força em Q devido a este campo elétrico é:
EQFE = onde o índice nos lembra que a força é devida ao
campo. A componente desta força na direção dL que desejamos vencer é:
LLEL aEQaFF ˆˆ ⋅=⋅=
Aqui, o vetor é um vetor unitário na direção de dL. A força que deve ser aplicada é igual e contrária à força originada pelo campo:
La
Lapl aEQF ˆ⋅−= O gasto de energia é o produto da força pela distância.
Assim, o trabalho realizado por um agente externo deslocando a carga Q na região de um campo elétrico E será dado por:
LdEQdLaEQdW L ⋅−=⋅−= ˆ
∫ ⋅−=final
inicial
LdEQW
Observe os exemplos ilustrativos (Sears&Zemansky). Figura 1 – Uma carga de teste q0 que se move do ponto a até o
ponto b sofre ação de uma força de módulo q0E. O trabalho realizado pela força é dado por Wab e não depende da trajetória da partícula.
Figura 2 –(a) Quando uma carga positiva se move na mesma direção e no mesmo sentido de um campo elétrico, o campo realiza trabalho positivo e a energia potencial diminui.
(b) Quando uma carga positiva se move no sentido contrário ao de um campo elétrico, o campo realiza um trabalho negativo e a energia potencial aumenta.
Figura 3 –(a) Quando uma carga negativa se move na mesma direção e no mesmo sentido de um campo elétrico, o campo realiza trabalho negativo e a energia potencial aumenta.
(b) Quando uma carga negativa se move no sentido contrário ao de um campo elétrico, o campo realiza um trabalho positivo e a energia potencial diminui.
Figura 4 - A carga q0 se move radialmente. A medida que se desloca de a até b sua distância varia de ra até rb.
Figura 5 – O trabalho realizado pelo campo elétrico sobre a carga q0 depende somente das distâncias ra e rb.
Definimos o potencial elétrico V como sendo a
energia potencial U por unidade de carga elétrica q :
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Potencial Elétrico
V Uq=
0
A
diferença de potencial entre dois pontos em um campo elétrico (ddp) é igual a diferença de energia potencial entre esses pontos por unidade de carga: Ou seja, o trabalho por unidade de carga realizado por um agente externo para deslocar uma carga de um ponto a outro em um campo elétrico.
QW
QW
QW
ififVVV ∆=−=−=∆
∫ ⋅−=∆final
inicial
LdEV
Coordenadas
dL dr= (Elemento diferencial de
deslocamento) Cartesianas ˆ ˆx ydr dxa dya dza= + + ˆz
Cilíndricas ˆ ˆ zdr d a d a dzaρ φ ˆρ ρ φ= + +
Esféricas ˆ ˆrdr dra rd a rsen d aθ φθ θ φ= + +
Se imaginarmos que trazemos uma carga que do infinito até um ponto P (O ponto f é o infinito e o ponto i corresponde a P) e definindo como zero o potencial no infinito, teremos:
V Wq
P= − ∞
Aqui, W P∞ é o trabalho feito pelo campo elétrico sobre a carga teste, quando a carga teste se movimenta do infinito até o ponto P. Vemos que o potencial V em um ponto numa região onde há campo elétrico de uma carga positiva é positivo. Para ver isso, imagine que uma carga teste positiva vem do infinito até um ponto próximo de uma carga positiva isolada. A força eletrostática atuando na carga elétrica possui sentido contrário em relação ao deslocamento da carga positiva. Então, o trabalho que devemos fazer sobre a carga teste é positivo, e o trabalho feito pelo campo elétrico na carga é negativo. Com o sinal menos na equação, teremos um resultado positivo. Similarmente o potencial em um ponto próximo de uma carga elétrica negativa é negativo. A unidade SI para o potencial elétrico é o volt (V), em homenagem a Alessandro Volta, cientista italiano que inventou a primeira pilha elétrica.
1 11V JC= (Joule / Coulomb)
Observamos que:
1 11
111
NC
NC
JN m
Vm
V CJ
= =( )( . )( ).
Uma energia muito utilizada nas escalas atômicas é o elétron-volt (eV), que definimos como o trabalho requerido para movimentar uma carga elétrica elementar e, podendo ser um próton ou elétron, através de uma diferença de potencial de 1 volt.
1 1 1 6 10 1 1 6 1019 19eV e V C J C J= = =− −.( ) ( , . )( / ) , . Potencial elétrico para distribuições de carga:
Sendo: r : vetor que localiza o ponto P que desejamos calcular o potencial.
r ′ : vetor que localiza um ponto da região correspondente à distribuição de carga.
Densidade linear de carga rL:
∫′ ′−
′′=
L
L
rrLdrrV
04)()(
περ
Densidade superficial de carga rs:
∫∫ ′−′′
=S
S
rrSdrrV
04)()(
περ
Densidade volumétrica de carga rv:
∫∫∫ ′−′′
=V
v
rrVdrrV
04)()(
περ
Superfícies Equipotenciais
Um conjunto de pontos no espaço todos a um mesmo potencial é chamado de superfície equipotencial. Uma família de superfícies equipotenciais, cada superfície correspondendo a um valor de potencial diferente, pode ser usada para representar o campo elétrico de uma determinada região. As superfícies equipotenciais para uma carga elétrica puntiforme são famílias de esferas concêntricas.
Figura 6 – Superfícies equipotenciais planas (a), esféricas
(b) e superfícies num dipolo elétrico (c).
Podemos calcular o potencial elétrico a partir do campo elétrico da seguinte maneira:
∫−=−f
iif LdEV .V
O potencial de uma carga puntiforme pode ser calculado mediante a equação dada:
V dr VkQr
kQr= − ⇒ =∫ 2
Para um sistema de cargas puntiformes q1,q2,...,qn, o potencial elétrico em um ponto P será a soma do potencial elétrico devido às diversas cargas em P; se r1, r2, ... , rn, for a distância da carga qi ao ponto P, então o potencial em P será dado por:
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Potencial Elétrico
V V V V VnkQr
kQr
kQrP P
n
nP= + + + ⇒ = + + +1 2
1
1 2
O potencial de uma distribuição contínua de carga é dado por:
2... ...
V dV dqr= =∫ ∫1
4 0πε
A integral nessa expressão é tomada sobre toda a distribuição de carga. Exemplo 9) Duas cargas q1 e q2 distantes de r estão fixas em suas posições. Encontre a energia potencial elétrica da configuração.
U q V qkq
rkq q
r= = =1 2 12 1 2
Figura 7 – A energia potencial associada à carga de teste q0 no ponto a depende das cargas q1, q2 e q3 bem como suas distâncias r1, r2 e r3. Pode-se mostrar que para um sistema de cargas puntiformes q1, q2, ...qN a energia potencial será dada por:
( )[ ]++++= 15141312121 VVVVQWE
( )[ ]+++++ 25242321221 VVVVQ
( )[ ]+++++ 35343231321 VVVVQ
( )[ ]+++++ 45434241421 VVVVQ
( )[ ]++++++ 54535251521 VVVVQ
A energia armazenada no campo eletrostático é calculada por:
dVEWV
E ∫∫∫= 20
2ε
• Condutor Isolado: Uma vez o equilíbrio de cargas é estabelecido, e um excesso de cargas é colocado em um condutor isolado, esta se distribuirá ao longo de sua superfície. Isto sempre ocorrerá quando o condutor tiver uma cavidade interna vazia.
Superfícies eqüipotenciais e Campo elétrico:
Figura 8 – Superfícies equipotenciais. O campo elétrico é normal às superfícies.
O vetor campo elétrico sempre é perpendicular às superfícies eqüipotenciais e apontam da maior para os menores valores de potencial elétrico. Figura 9 – Caminho descrito por uma carga. A figura anterior ilustra a trajetória descrita por uma carga elétrica positiva deslocando-se entre
a. Observe que ela caminha da região de ial para a de menor potencial elétrico.
linhas de forçmaior potenc Fie em (b) umovendo-se movendo-se n
gura 10 – Em (a) temos uma carga puntiforme positiva ma carga puntiforme negativa. Em ambos os casos, no sentido de E, o potencial elétrico V diminui e o sentido oposto de E o potencial elétrico V aumenta.
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Potencial Elétrico
Linhas elétricas de força: As linhas elétricas de força indicam a direção na
qual uma carga positive de teste se moveria na presença de um campo elétrico. O diagrama acima mostra as linhas de força para duas cargas positivas que se repelem. Uma carga teste positiva seria repelida de ambas as cargas O diagrama a direita mostra a linha de força de duas cargas que se atraem. Uma carga teste positiva seria atraída para a carga negativa.
Potencial Elétrico de um Dipolo Elétrico:
Quando temos duas cargas de mesma magnitude porém sinais opostos, há um dipolo elétrico, com as cargas +Q e –Q localizadas em (0,0,+d/2) e (0,0,-d/2), respectivamente. Figura 7 – Representação de dipolo elétrico.
Gradiente do potencial
Podemos obter o potencial de duas maneiras: uma diretamente a partir da intensidade do campo elétrico, fazendo a integral de linha, e outra através da distribuição de cargas em si, fazendo a integral apropriada, conforme a distribuição de cargas. Porém, nem sempre é conhecida a intensidade do campo elétrico ou a distribuição de carga. Informações sobre as superfícies equipotenciais são muito úteis.
Da relação conhecida: ∫ ⋅−= LdEV Podemos imaginar um elemento pequeno ∆L ao longo do qual E é essencialmente constante, dando a uma diferença de potencial:
LdEV ⋅−=∆
θcosLdEV ⋅−=∆
Considerando a situação limite, teremos:
θcosEdLdV
−=
O valor máximo dessa expressão pode ser dada por:
EdLdV
=max
Obtemos as características de E e V em qualquer ponto:
• A magnitude da intensidade do campo elétrico é dada pelo máximo valor da taxa de variação do potencial com a distância.
• O máximo valor é obtido quando a direção do comprimento incremental é oposta a E ou, em outras palavras, a direção de E é oposta à direção à qual o potencial está aumentando mais rapidamente.
Assim:
NadLdVE ˆ
max
−=
Onde é um vetor unitário normal à superfície equipotencial e apontando na direção dos maiores potenciais.
Na
Como maxdL
dVocorre quando ∆L na direção
de , NadNdV
dLdV
=max
e:
NadNdVE ˆ−=
Mas, podemos encontrar a derivada direcional de V:
Nzyx aazVa
yVa
xV
dNdV ˆˆˆˆ ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
=
NaVdNdV ˆ⋅∇=
Comparando, chega-se a: VE ∇−= Ou seja, podemos obter o campo elétrico fazendo menos o gradiente do potencial V. O gradiente é obtido: Em coordenadas cartesianas:
zyx azVa
yVa
xVV ˆˆˆ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
• Em coordenadas cilíndricas:
zazVaVaVV ˆˆ1ˆ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ φρ φρρ
• Em coordenadas esféricas:
∇ φθ φθθaV
rsenaV
ra
rVV r ˆ1ˆ1ˆ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=
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Potencial Elétrico
Considere agora o dipolo elétrico:
Er
dr ˆra dl E P
rdθ Eθ
θ
1R
r 2R
O Potencial em P devido às cargas +Q e –Q é dado por:
0 1 0 2
1 14 4
Q QVR Rπε πε
= −
2 1
0 2 14R RQVR Rπε
⎛ ⎞−= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Observe da figura que podemos aproximar:
2 1 cosR R d θ− ≅ 2
2 1R R r≅
20
cos4
QdVrθ
πε≅
20
cos4pV
rθ
πε≅
20
ˆ4
rp aVrπε
⋅≅
Como: ˆrr rar r
′−=
′−
Sendo os vetores: r : localiza o ponto P. r ′ : localiza o centro do dipolo.
dQp = : momento de dipolo. O potencial elétrico num ponto P localizado pelo vetor r é dado por (Observe da figura):
rrrrp
rrV
′−′−
⋅′−
= 204
1πε
Campo elétrico de um dipolo elétrico:
1 1ˆ ˆrV V VE V a a ar r rsen
ˆθ φθ θ φ∂ ∂ ∂
= −∇ = − − −∂ ∂ ∂
20
cos4
Qdr
V θπε
≅
2 20 0
cos 1 cos 1 cosˆ ˆ4 4 4r
Qd Qd Qd2
0
ˆE a ar r r r rsen r
aθ φθ θ
πε θ πε θ φ πε⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂ ∂
=− − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
θ
( )2 20 0
cos 1 1ˆ ˆ ˆcos 04 4r
Qd QdE a ar r r r
aθ φθ θ
πε πε θ∂ ∂⎛ ⎞=− − −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
( )2 20 0
cos 1 1ˆ ˆcos4 4r
Qd QdE a ar r r r θ
θ θπε πε θ
∂ ∂⎛ ⎞=− −⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
( )3 30 0
cos 2 ˆ ˆ4 4r
Qd QdE a senr r
aθθ θ
πε πε⎛ ⎞=− − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
[ ]30
ˆ ˆ2cos4 r
QdE a ser
n aθθ θπε
= +
Para visualizar as superfícies equipotenciais do dipolo, podemos fazer:
r
E rdE drθ θ=
Por outro lado, como:
3 30 0
2 cos ;4 4rQd QdsenE E
r rθθ θ
πε πε= =
30
30
42 cos
4r
QdsenE r drQdE d
r
θ
r
θπε θ
θπε
= =
2cossen dr
drθ θθ=
cos2dr dr sen
θ θθ
=
2dr cotg dr
θ θ=
2dr cotg dr
θ θ=∫ ∫
ln 2lnr sen Cθ= + 2ln lnr sen Cθ= + 2r Asen θ=
Esta equação determina a família de linhas de força para um dipolo elétrico.
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Potencial Elétrico
Representação da superfície 2r sen θ= e campo vetorial representando o campo elétrico:
Aplicação: trajetória do elétron em um tubo de raios catódicos.
Exemplo 1 – (a) Um elétron deve ser acelerado de 3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s. Para atingir esta velocidade, através de qual ddp ele deve passar?
(b) Através de qual ddp ele deve passar para que ele seja freado de 8,0.106 m/s até ficar momentaneamente em repouso?
(c) Encontre a relação entre y e x. Figura 10 – (a) Representação de um tubo de raios catódicos.
(b) Estudo da trajetória do elétron. (a) (b)
(c) y0 (a)
)(21)(
21 2222
ivif vvq
mVvvmVq −⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=∆⇒−=∆−
( ) ( )[ ] VsmxsmxCxkgxV 157/1000.3/1000.8
106.11011.9
21 2626
19
31
+=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆ −
−
(b) ( ) ( )[ ] Vsmxsm
CxkgxV 182/1000.8/0
106.11011.9
21 262
19
31
−=−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=∆ −
− (c)
Desprezando o peso:
2
21 t
mEqy
tvx x
=
=
Isolando o tempo:
2
20 21
x
x
vx
mqEy
tvx
=
=
2
20 21
2 x
x
vL
mqEdy
tvL
==
=
LmdqEv
mvqELd x
x
=⇒= 2
2
Tempo que o elétron permanece entre as placas: tvLx x==
xv
Lt =
Componente da velocidade vy com que o elétron sai da região entre as placas:
x
yy mvqELvt
mqEv =⇒=
m
qEdvL
mdqEm
qELv yy =⇒=
Módulo da velocidade:
22
222222
xxyx vm
LEqvvvv +=+=
Ao sair da região entre as placas, o elétron possui as componentes das velocidades constantes (MU), se desprezarmos a gravidade:
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Potencial Elétrico
Então, chamando de ∆t o tempo que levará para o elétron percorrer do ponto que sai da região entre as placas até atingir a tela:
⎩⎨⎧
∆=∆=−tvD
tvyy
x
y0
Dvv
yyx
y=− 0
DL
mdqEm
qEd
yy += 0
DLdyy += 0
Exemplo 2 – Encontre o potencial de um condutor
esférico oco de raio R nos pontos em seu interior e exterior.
Figura 11 – (a) Representação do campo e do
potencial em um condutor esférico oco.
( ) ∫∞
∞ ⋅−=−r
ldEVrV
Pela lei de Gauss, o campo é dado por:
0εqSdE
S
=⋅∫∫
( )⎪⎩
⎪⎨⎧
<
≥=
Rr
Rrraq
rEr
se 0
se ˆ
4 20πε
O elemento de deslocamento em coordenadas esféricas é dado por:
φθ φθθ adrsenardadrld r ˆˆˆ ++=
( ) ∫∞
∞ −=−r
drr
qVrV 204πε
Fazendo V¶ = 0
( )r
rqrV
∞
=−1
40
0πε
( )r
qr04πε
=V
Exemplo 3 – Encontre a diferença de potencial entre duas placas carregadas com densidades de carga superficiais +rs e -rs.
Observando a disposição da figura, o campo
elétrico na região entre as placas é dado por:
)ˆ(2
)ˆ(2 00
ys
ys aaE −+−=
ερ
ερ
ys a0ε
E ρ−=
∫ ⋅−=−b
aab ldEVV
d
zyx adzadyadxl ˆˆˆ ++=
∫=−b
a
sab dyV
0ερV
( )abV sab −=−
0εV ρ
Exemplo 4 – Encontre o potencial de uma distribuição linear de carga rL, sabendo que:
O potencial é dado por: ∫′ ′−
′′=
L
L
rrLdrrV
04)()(
περ
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Potencial Elétrico
z P(x,y,z) L/2 r r’ y x -L/2 Temos: zazr ˆ=′
zyx azayaxr ˆˆˆ ++=
( )222 zzyxrr ′−++=′−
( )∫′ ′−++
′′=
L
L
zzyx
zdrrV222
04
)()(πε
ρ
( )∫+
− ′−++
′=
2
2
22204
)(L
L zzyx
zdrV L
πε
ρ
( )∫+
− ′−++
′=
2
2
22204
)(L
L zzyx
zdrV L
περ
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ′−+++′−=
=′
−=′
2
2
222
0
ln4
)(L
L
z
z
L zzyxzzrVπερ
( ) ( )( ) ( ) ⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
+++++
−+++−=
22
222
22
222
0
ln4
)(LL
LLL
zyxz
zyxzrV
περ
Exemplo 5 – Encontre o potencial de uma
distribuição de carga rs sobre um disco de raio R: Agora o potencial será dado por:
∫∫ ′−′′
=S
S
rrSdrrV
04)()(
περ
Usando coordenadas cilíndricas:
z P(x, y, z) rs y r’ x
ρρ ar ˆ′=′
zazar ˆˆ += ρρ
( ) 22 zrr +′−=′− ρρ
( )∫∫+′−
′′′=
S
S
z
ddrV22
04)(
ρρπε
φρρρ
( )∫ ∫+′−
′′′=
π
ρρ
φρρπερ 2
0 022
04)(
RS
z
ddrV
( )⎢⎣⎡ ⎟
⎠⎞⎜
⎝⎛ ′−++′−−= 22
0
ln42)( ρρρρρπεπρ zrV S
( )R
z=′
=′⎥⎦⎤′−++ρ
ρρρ
0
22
( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
++
−++−−=
22
22
0
ln2
)(ρρ
ρρρ
ερ
z
RzRrV S
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−−++ 2222
02ρρ
ερ zRzS
Veja que para um ponto sobre o eixo z: r = 0 Então:
=)(rV [ ]zRzS −+ 22
02ε+ρ
Se tomarmos o gradiente do potencial e multiplicarmos por -1, teremos o campo elétrico:
zazVVE ˆ∂∂
−=∇−=
Logo:
[ ]z
S
az
zRzE ˆ2
22
0
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+∂
−=ερ
zS a
Rzz ˆ1
2 220
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+−=
ερE
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Potencial Elétrico
zS a
RzzE ˆ1
2 220
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+−=
ερ
Compare com a expressão do campo de um disco carregado uniformemente deduzida na pág. 24. É a mesma...!!!
Exemplo 6 – Encontre o potencial de uma
distribuição de carga rL sobre um anel de carga Q circular de raio a
∫′ ′−
′′=
L
L
rrLdrrV
04)()(
περ
ρaar ˆ=′ z P(x, y, z) rs y r’ x zazar ˆˆ += ρρ
( ) 22 zarr +−=′− ρ
φ′=′ adLd
( )∫′ +−
′′=
L
L
za
adrrV22
04
)()(ρπε
φρ
( ) ∫ ′+−
=π
φρπε
ρ 2
022
04)( d
za
arV L
( ) 2202
)(za
arV L
+−=
ρε
ρ
Ou:
( ) 2204
)(za
QrV+−
=ρπε
Sobre o eixo Oz: r =0.
2202
)(za
azV L
+=
ερ
2204
)(az
QzV+
=πε
Exemplo 7– Encontre a diferença de potencial entre dois pontos devido a um fio infinito com densidade de carga rL.
Campo devido a um fio infinito:
ρρπερ aE L ˆ
2 0
=
Potencial:
∫−=−f
iif LdEV .V
d
Adotando potencial zero no infinito e lembrando que em coordenadas cilíndricas:
zadzadadl ˆˆˆ ++= φρ φρρ
( ) ( ) ∫−=−ρ
ρ
ρρπε
ρρρ0 0
0 2dV LV
( ) ( )00
0 ln2 ρ
ρπερρρ LV −=−V
Exemplo 8– Encontre o potencial devido a um fio carregado com carga Q de comprimento 2L com densidade de carga uniforme rL.
Podemos calcular o potencial diretamente por:
∫′ ′−
′′=
L
L
rrLdrrV
04)()(
περ
zyx azayaxr ˆˆˆ ++= Colocando sobre o fio sobre o eixo z:
zazr ˆ′=′
( )∫′ ′−++
′=
L
L
zzyx
zdrV222
04)(
περ
( )∫+
− ′−++
′=
L
L
L
zzyx
zdrV222
04)(
περ
( ) ( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ′−−′−++=
=′
−=′
Lz
Lz
L zzzzyxrV 222
0
ln4
)(περ
( )( )⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−++
−−+++=
LzLzyxLzLzyxV L
222
222
0 )()(ln
4περ
Ou:
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
+−−++
−−+++=
)()()()(ln
42 222
222
0 LzLzyxLzLzyx
LQVπε
Exemplo 9– Encontre o potencial devido a
uma distribuição uniforme de carga rv cilíndrica de raio R infinita.
Relação entre a densidade de carga:
dVdQ
LRQ
v == 2πρ
Campo da distribuição de carga será dado pela lei de Gauss:
0εQSdE
s
=⋅∫∫
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Potencial Elétrico
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>=⋅∫∫
RL
RLR
SdEv
v
s ρεπρρ
ρεπρ
se
se
0
20
2
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>=
RL
RLR
LEv
v
ρεπρρ
ρεπρ
πρ se
se 2
0
20
2
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>=
R
RR
Ev
v
ρερρ
ρρε
ρ
se 2
se 2
0
0
2
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>=
Ra
RaR
Ev
v
ρερρ
ρρε
ρ
ρ
ρ
se ˆ2
se ˆ2
0
0
2
Sendo
zadzadadld ˆˆˆ ++= φρ φρρ Sejam r,r0 < R:
( ) ( ) ∫−=−ρ
ρ
ρρερρρ
0 00 2
dVV v
( ) ( ) ( )20
2
00 4
ρρερρρ −−=− vVV
( ) ( ) ( )220
00 4
ρρερρρ −=− vVV
Sejam r,r0 > R:
( ) ( ) ∫−=−ρ
ρ
ρρε
ρρρ0 0
2
0 2dRVV v
( ) ( ) ∫−=−ρ
ρ
ρρε
ρρρ0
12 0
2
0 dRVV v
( ) ( )00
2
0 ln2 ρ
ρε
ρρρ RVV v−=−
Exemplo 10 - Encontre o potencial devido a uma
distribuição uniforme de carga rv esférica de raio R. Relação entre a densidade de carga:
dVdQ
RQ
v == 334π
ρ
Campo da distribuição de carga será dado pela lei de Gauss:
0εQSdE
s
=⋅∫∫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>=⋅∫∫
Rr
RrR
SdEv
v
s ρεπρεπρ
se 34
se 34
0
30
3
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>=
Rrr
RrR
rEv
v
se 3
4
se 3
4
4
0
30
3
2
επρεπρ
π
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>=
Rrr
RrrR
Ev
v
se 3
se 3
0
20
3
ερερ
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<
>=
Rrar
RrraR
Erv
rv
se 3
ˆ
se 3
ˆ
0
20
3
ερε
ρ
Sendo
φθ φθθ adrsenardadrl r ˆˆˆ ++=d Sejam r,r0 < R:
( ) ( ) ∫−=−r
r
v rdrrVrV0 0
0 3ερ
( ) ( ) ( )220
00 6
rrrVrV v −=−ερ
Sejam r,r0 > R:
( ) ( ) ∫−=−r
r
v drrRrVrV
0
20
3
0 3ερ
( ) ( )rr
rr
v
rRrVrV
=
=
=−0
0
3
0 3ερ
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−
00
3
011
3 rrRrVrV v
ερ
Exemplo 11 – (pg. 93 – Hayt 4a Edição)
Dado ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + + ache
o trabalho para mover uma carga de 20µC ao longo de um percurso incremental de 10-4m de comprimento na direção:
ˆ ˆ0.6 0.48 0.64x ya a ˆza− + − (a) Localizado na origem; (b) Em P(2, -2, -5)
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Potencial Elétrico
Solução:
ˆLdW QE a dL= − ⋅
(a) ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + +
( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ(0, 0, 0) 3 0 2 0 2 0 Vx y z mE a a= + + a
( )ˆ ˆ ˆ(0, 0, 0) 0 0 0 Vx y z mE a a a= + +
( )0dW J=
(b) ( )2 ˆ ˆ ˆ3 2 2 Vx y z mE x a za ya= + +
( ) ( ) ( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ(2, -2, -5) 3 2 2 5 2 2 Vx y z mE a a= + − + − a
( )ˆ ˆ ˆ(2, -2, -5) 12 10 4 Vx y z mE a a a= − −
( ) ( ) 4ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ20 12 10 4 0.6 0.48 0.64 10x y z x y zdW a a a a a aµ −=− − − ⋅ − + −
( ) ( ) ( )( ) 420 12 0.6 10 0.48 4 0.64 10dW µ −=− − − − −
( ) 420 9.44 10dW µ −=− −
( )18.88dW nJ=
Exemplo 12 – (pg. 50, E4.1– Hayt) Dado
( ) ( )2 22
1 ˆ ˆ ˆ8 4 4 Vx y mz
E xyza x za x yaz
= + − determine
a quantidade diferencial de trabalho realizado ao deslocarmos uma partícula de 6nC de uma distância de 2µm, partindo de P(2, -2, 3) e caminhando na direção
: ˆLa
(a) 6 3 2ˆ ˆ7 7 7x ya a+ + ˆza
(b) 6 3 2ˆ ˆ7 7 7x ya a− − ˆza
(c) 3 6ˆ ˆ7 7x ya a+
Solução: ˆLdW QE a dL= − ⋅
(a) ( ) ( )( ) ( )2 22
1 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 8 2 2 3 4 2 3 4 2 23
Vx y mz
E a a= ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − a
( )( )1 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 96 48 329
Vx y z mE a a a= − + +
( )( )1 ˆ ˆ ˆ(2, -2, 3) 96 48 329
Vx y z mE a a= − + + a
ˆLdW QE a dL= − ⋅
( )1 6 3 2ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 27 7x y x y zdW n a a a a aˆ32
9 7a µ⎛ ⎞=− − + + + +⎜ ⎟⎝ ⎠⋅
1 6 3 26 96 48 32 29 7 7 7
dW n µ⎛ ⎞=− − + +⎜ ⎟⎝ ⎠
1 3686 29 7
dW n µ⎛ ⎞=− −⎜ ⎟⎝ ⎠
441654
dW nµ=
( )7369
dW fJ=
(b) 6 3 2ˆ ˆ7 7 7x ya a− − ˆza
ˆLdW QE a dL= − ⋅
( )1 6 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 32 29 7 7x y x y zdW n a a a a a a2
7µ⎛ ⎞=− − + + ⋅ − −⎜ ⎟
⎝ ⎠1 7846 29 7
dW n µ⎛ ⎞=− −⎜ ⎟⎝ ⎠
940854
dW nµ=
( )15689
dW fJ=
(c) 3 6ˆ ˆ7 7x ya a+
ˆLdW QE a dL= − ⋅
( )1 3ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 96 48 32 29 7x y x ydW n a a a a a6
7µ⎛ ⎞=− − + + ⋅ +⎜ ⎟
⎝ ⎠6 0 2dW n µ=− ⋅ ⋅
( )0dW fJ=
Exemplo 13 – (pg. 50, E4.2– Hayt) Calcule o trabalho realizado ao deslocarmos
uma carga de 4C, de B(1, 0, 0) até A(0, 2, 0) ao longo do caminho y = 2 – 2 x, z = 0, no campo E =
(a) ( )ˆ5 Vx ma
(b) ( )ˆ5 Vx mxa
(c) ( )ˆ ˆ5 5 Vx y mxa ya+
L
Solução: f
i
W Q E d= − ⋅∫
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Potencial Elétrico
(a) ( )ˆ5 Vx ma
( )(0,2,0)
(1,0,0)
ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 x x yW a dxa dya dza= − ⋅ + +∫(0,2,0)
(1,0,0)
4 5W dx= − ∫
z
( )( )0,2,0
1,0,04 5 20 (0 1)W x= − ⋅ = − ⋅ −
( )20W J=
(b) ( )ˆ5 Vx mxa
( )(0,2,0)
(1,0,0)
ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 x x yW xa dxa dya= − ⋅ + +∫(0,2,0)
(1,0,0)
4 5W xdx= − ∫
zdza
( )
( )0,2,02 2
1,0,0
0 14 5 20 ( )2 2xW = − ⋅ = − ⋅ −
2
2
( )10W J=
(c) ( )ˆ ˆ5 5 Vx y mxa ya+
zdza( ) ( )(0,2,0)
(1,0,0)
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ4 5 5x x x yW xa ya dxa dya= − + ⋅ + +∫
( )(0,2,0)
(1,0,0)
4 5 5W xdx ydy= − +∫
( )
( )
( )
( )0,2,0 0,2,02 2
1,0,0 1,0,0
4 52 2x yW⎡ ⎤⎢ ⎥= − ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2 2 20 1 2 0202 2 2 2
W⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − ⋅ − + −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
120 22
W ⎡ ⎤= − ⋅ − +⎢ ⎥⎣ ⎦
( )30W J= − Exemplo 14 – (Hayt – pg. 53 E4.3) Veremos mais tarde que um campo E variante no
tempo não é conservativo (Se ele não é conservativo, o trabalho deve ser uma função do caminho usado). Considere ( )ˆ V
y mE ya= em certo instante de tempo e calcule o trabalho para deslocar uma carga de 3C de (1, 3, 5) para (2, 0, 3) ao longo dos segmentos de retas unindo:
(a) (1, 3, 5) a ( 2, 3, 5) a (2, 0, 5) a (2, 0, 3) (b) (1, 3, 5) a ( 1, 3, 3) a (1, 0, 3) a (2, 0, 3)
Solução: (a) (1, 3, 5) a ( 2, 3, 5) a (2, 0, 5) a (2, 0, 3)
f
i
W Q E dL= − ⋅∫
1 2 3C C C
W Q E dL E dL E dL⎛ ⎞
= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫
( )ˆ ˆ ˆ ˆx x y zE dL ya dxa dya dza⋅ = ⋅ + +
E dL ydx⋅ = 2 2 2
1 2 2
3 0W Q dx ydx dx⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫
( )2
13 3 0 0W x= − + +
( )9W J= − (b) (1, 3, 5) a ( 1, 3, 3) a (1, 0, 3) a (2, 0, 3)
1 2 3C C C
W Q E dL E dL E dL⎛ ⎞
= − ⋅ + ⋅ + ⋅⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫
( )ˆ ˆ ˆ ˆx x y zE dL ya dxa dya dza⋅ = ⋅ + +
E dL ydx⋅ = 1 1 2
1 1 1
3 0W Q dx ydx dx⎛ ⎞
= − + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ ∫
( )3 0 0 0W = − + +
( )0W J= Exemplo 15 – (Hayt – pg. 53 E4.4) Um campo elétrico é expresso em
coordenadas cartesianas por:
( )2 ˆ ˆ ˆ6 6 4 Vx y z mE x a ya a= + + . Determine:
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Potencial Elétrico
(a) VMN se os pontos M e N são especificados por M(2, 6, -1) e N(-3, -3, 2);
(b) VM se V = 0 em Q(4, -2, -35); (c) VN se V = 2 em P(1, 2, -4). Solução:
( )2 ˆ ˆ ˆ6 6 4 Vx y z mE x a ya a= + +
.M
M NN
V V E d− = −∫ L
(a)
( ) ( )2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ6 6 4 .M
M N x y z x yN
V V x a ya a dxa dya dza− =− + + + +∫
( )( )
( )2,6, 12
3, 3,2
6 6 4M NV V x dx ydy dz−
− −
− = − + +∫
z
( )( )
( )2,6, 13 2
3, 3,22 3 4M NV V x y z
−
− −− = − + +
( ) ( ) ( )( )( )3 23 22 2 3 6 4 1 2 3 3 3 4 2M NV V− =− ⋅ + ⋅ + − − ⋅ − + ⋅ − + ⋅
( )( )16 108 4 54 27 8M NV V− =− + − − − + +
( )( )120 19M NV V− =− − −
139M NV V V− =− (b) VM se V = 0 em Q(4, -2, -35);
.M
M QQ
V V E d− = −∫ L
4y dz
( )( )
( )2,6, 12
4, 2, 35
0 6 6MV x dx yd−
− −
− = − + +∫
( )( )
( )2,6, 13 2
4, 2, 352 3 4MV x y z
−
− −= − + +
( ) ( ) ( )( )( )23 2 32 2 3 6 4 1 2 4 3 2 4 35MV =− ⋅ + ⋅ + − − ⋅ + ⋅ − + ⋅ −
( )( )120 0MV =− −
120MV V=− (c) VN se V = 2 em P(1, 2, -4)
.N
N PP
V V E dL− = −∫
( )( )
( )3, 3,22
1,2, 4
2 6 6NV x dx yd− −
−
− = − + +∫ 4y dz
( )( )
( )3, 3,23 2
1,2, 42 2 3 4NV x y z
− −
−= − + +
( ) ( ) ( )(( )3 2 3 22 2 3 3 3 4 2 2 1 3 2 4 4NV = − ⋅ − + ⋅ − + ⋅ − ⋅ + ⋅ + ⋅ −
()
)( )2 19 2NV = − − − −
19NV V=
Exemplo 16 – (Hayt – pg. 53 E4.5) Uma carga pontual de 15 nC está localizada na
origem do espaço livre. Calcule V1 se o ponto P1 está localizado em P1(-2,3,-1) e:
(a) V = 0 em (6,5,4); (b) V = 0 no infinito; (c) V = 5 em (2,0,4); Em coordenadas esféricas:
( )20
ˆ4
r Vm
aQErπε
=
ˆ ˆrdr dra rd a rsen d aθ φθ θ φ= + +
∫−=−f
iif LdEV .V
( )20
ˆ ˆ ˆ.4
fr
f i ri
aQV V dra rd a rsen d ar
ˆθ φθ θ φπε
− = − + +∫
Como: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0; 1r r r ra a a a a aθ φ⋅ = ⋅ = ⋅ =
204
f
f ii
Q drV Vrπε
− = − ∫
1
( 2,3, 1)
20 (6,5,4)
04P
Q drπε
− −
− = − ∫rV
( ) ( )2 221 2 3 1r = − + + −
1 14=r 2 2 2
0 6 5 4r = + +
0 77=r
1
14
20 774P
Q drrπε
= − ∫V
1
14
770
14
r
Pr
Qrπε
=
=
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦V
10
1 14 14 77P
Qπε
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦V
10
1 14 14 77P
Qπε
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦V
( )1 12
15 1 14 8,85 10 14 77P
nVπ −
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦
120,69PV V=
(b) V = 0 no infinito;
.f
fV V E dL∞∞
− = −∫
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Potencial Elétrico
1
1 20
04
r
PQ drV
rπε ∞
− = − ∫
1
14
0
14
r
Pr
QVrπε
=
→∞
⎡ ⎤= − −⎢ ⎥⎣ ⎦
10
1 04 14P
QVπε
⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦
( )1 12
15 14 8,85 10 14P
nVπ −
⎡ ⎤= ⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦
136,08PV V=
(c) V = 5 em (2,0,4);
2 20 2 0 2r = + 4+
0 20r =
10
1 154 14 20P
QVπε
⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⎣ ⎦
( )1 12
15 1 154 8,85 10 14 20P
nVπ −
⎡ ⎤− = −⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦
15 5,89PV = +
110,89PV V=
Exemplo 17 – (Hayt – pg. 58 E4.6) Se tomarmos zero de referência para potencial no
infinito, determine o potencial em (0,0,2) causado por estas configurações de carga no espaço livre:
(a) 12 nC/m na linha ρ = 2,5 m, z=0; (b) carga pontual de 18 nC em (1,2,-1); (c) 12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0. Solução:
∫−=−f
iif LdEVV .
(a) 12 nC/m na linha ρ = 2,5 m, z=0; Campo devido a um anel de raio a:
( ) ( )3
04L
L
r r rE d
r rρπε′
′ ′−L′=
′−∫
ˆr aaρ′ = ; ˆ ˆzr a zaρρ= +
L LdQ dL adρ ρ φ′ ′= = ′
( ) ˆ ˆzr r a a zaρρ′− = − +
( )2 2r r a zρ′− = − +
( )( )( )
2
3 22 200
ˆ ˆ4
zL a a zaE ad
a z
πρρρ φ
πε ρ
⎡ ⎤− +⎢ ⎥ ′= ⎢ ⎥− +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫
( )( )( ) ( )( )
2 2
3 2 3 22 22 20 0 0
ˆ ˆ4
L za a da zEa z a z
π πρρ φρ φ
πε ρ ρ
a d⎡ ⎤
′− ′⎢ ⎥= +⎢ ⎥− + − +⎢ ⎥⎣ ⎦
∫ ∫
( )( )( ) ( )( )
2 2
3 2 3 22 22 20 0 0
ˆˆ4
L zaa zaE a d da z a z
π π
ρ
ρρ φ φπε ρ ρ
⎡ ⎤−⎢ ⎥′ ′= +⎢ ⎥
− + − +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫
A primeira integral tem o valor zero, pois se
lembre que o versor aρ depende do ângulo φ: aφ φ φ aρ
ˆ ya φ ˆxa
( )2ˆ ˆcos cosx ya a πρ φ φ= + − a
a
ˆ ˆcos x ya a senρ φ φ= +
ˆ ˆ cosx ya sen aφ aφ φ= − +
( )2 2
0 0
ˆ ˆcos x ya d a sen a dπ π
ρ ˆφ φ φ φ′ ′ ′= +∫ ∫ ′
ˆ
2 2 2
0 0 0
ˆ ˆcos x ya d d a sen d aπ π π
ρ φ φ φ φ φ′ ′ ′ ′ ′= +∫ ∫ ∫
[ ] [ ]2
2 2
0 00
ˆ ˆ cosx ya d sen a aπ
φ π φ πρ φ φφ φ φ′ ′= =
′ ′= =′ ′ ′= + −∫ ˆ
ˆ
2
0
ˆ ˆ0 0x ya d a aπ
ρ φ′ = +∫
Assim:
( )( )[ ] 2
3 2 02 20
ˆ4
L za za
a z
φ π
φ
ρ φπε ρ
′=
′=E
⎡ ⎤⎢ ⎥′= ⎢ ⎥
− +⎢ ⎥⎣ ⎦
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Potencial Elétrico
( )( )3 22 20
ˆ2
4L za zaE
a z
ρ ππε ρ
⎡ ⎤⎢ ⎥= ⎢ ⎥
− +⎢ ⎥⎣ ⎦
( )( )3 22 20
ˆ2
Lz
a zE aa z
ρε ρ
=− +
Potencial em P(0,0,2)
.P
PV V E dL∞∞
− = −∫
( )( )2
3 22 20
ˆ .2
PL
P za zV V a dL
a z
ρε ρ
∞∞
− = −− +
∫
ˆ ˆ ˆzdL d a d a dzaρ φρ ρ φ= + +
( )( )(0,0,2)
3 22 20
02
LP
a zdzVa z
ρε ρ∞
− = −− +
∫
( )
0; 2
2 20
12
z
LP
aVa z
ρ
ρε ρ
= =
∞
⎡ ⎤⎢ ⎥= − −⎢ ⎥− +⎣ ⎦
( )
0; 2
2 20
12
z
LP
aVa z
ρ
ρε ρ
= =
∞
⎡ ⎤⎢ ⎥=⎢ ⎥− +⎣ ⎦
( )2 20
1 02 0 2
LP
aVa
ρε
⎡ ⎤⎢ ⎥= −⎢ ⎥− +⎣ ⎦
20
12 4
LP
aVa
ρε
=+
Veja que poderíamos ter calculado o potencial também por:
∫′ ′−
′′=
L
L
rrLdrrV
04)()(
περ
ˆr aaρ′ = ; ˆ ˆzr a zaρρ= +
L LdQ dL adρ ρ φ′ ′= = ′
( ) ˆ ˆzr r a a zaρρ′− = − +
( )2 2r r a zρ′− = − +
( )2 20
( )4
L
L
adV ra z
ρ φ
πε ρ′
′=
− +∫
( )
2
2 20 0
1( )4
LaV r da z
πρ φπε ρ
′=− +
∫
( )[ ] 2
02 20
1( )4
LaV ra z
φ π
φ
ρ φπε ρ
′=
′=′=
− +
( )2 20
1( ) 24
LaV ra z
ρ ππε ρ
=− +
( )2 20
1( )2
LaV ra z
ρε ρ
=− +
Observe que na página 57 do livro tem um π a mais no denominador. Tire por favor!!!
Como o raio do anel vale a = 2.5m:
( )12 2
12 2.5 12 8.85 10 2.5 4
PnV
−=
⋅ +
( )12 2
12 2.5 12 8.85 10 2.5 4
PnV
−=
⋅ +
31.6949 10 0.3123P = ⋅V
( )529,32PV V= (b) carga pontual de 18 nC em (1,2,-1);
0
14P
Qr rπε
=′−
V
ˆ ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a a= + +
ˆ ˆ ˆ1 2 1x y zr a a a′ = + −
ˆ ˆ ˆ1 2 3P x yr r a a a′− = − − + z
( ) ( )2 2 21 2Pr r′ 3− = − + − +
14Pr r′− =
0
18 14 14P
nπε
=V
( )43.29PV V= (c) 12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0
o Supondo uma densidade linear de carga de 12 nC/m em um fio de comprimento L
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Potencial Elétrico
0
( )( )4
L
L
r dxV rr r
ρπε′
′ ′=
′−∫
ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a= + + aˆz
ˆ ˆ2.5 0x yr x a a a′ ′= + +
ˆ ˆ2.5 2P x yr r x a a a′ ′− = − + ˆz
( )22 22.5 2Pr r x′ ′− = + − +
2 10.25Pr r x′ ′− = + 2.5
20 0
124 10.25
Pn dxV
xπε′
=′ +
∫
2 2
2 2lndx x x a C
x a= + + +
+∫
2
00
12 ln 10.254
x L
Px
nV x xπε
′=
′=
⎡ ⎤′ ′= + +⎢ ⎥⎣ ⎦
2 2
0
12 ln 10.25 ln 0 0 10.254P
nV L Lπε
⎡ ⎤= + + − + +⎢ ⎥⎣ ⎦2
0
12 10.25ln4 10.25P
n L LVπε
⎡ ⎤+ += ⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
o Supondo uma carga12 nC na linha y = 2,5 m, z = 0 e x =0 :
0
14P
QVr rπε
=′−
ˆ ˆ0 0 2P x y zr a a= + + aˆz
ˆ ˆ0 2.5 0x yr a a a′ = + +
ˆ ˆ0 2.5 2P x yr r a a a′− = − + ˆz
( ) ( )2 2 20 2.5Pr r′− = + − + 2
10.25Pr r′− =
0
12 14 10.25P
nVπε
=
( )33,73PV V=
Exemplo 18 – (Hayt – pg. 61 E4.7) Uma porção de um campo potencial bidimensional
é mostrada na figura abaixo. As linhas de grade estão separadas de 1mm. Determine os valores aproximados do campo E em coordenadas cartesianas em:
(a) a; (b) b; (c) c.
Solução:
E V= −∇ (a) a; (-4,-6) (mm)
ˆyVE V ax
∂= −∇ = −
∂
3
106 104 ˆ2 10 yE V a−
−= −∇ = −
⋅
( )ˆ1000 Vy mE V a= −∇ ≅ −
(b) b; (c) c. Exemplo 19 – (Hayt – pg. 61 E4.8) Dado o campo potencial em coordenadas
cilíndricas, (2
100 cos1
V Vz
ρ φ=+
) e o ponto P
em ρ = 3m, φ = 60°, z = 2m, determine os valores em P para:
(a) V; (b) E; (c) E; (d) dV/dN; (e) aN ; (f) ρv no espaço livre. Solução: (a) V;
( )2
100 cos1
V Vz
ρ φ=+
( )2
100 3cos 602 1
V V= °+
( )30,0V V= (b) E;
E V= −∇
zazVaVaVV ˆˆ1ˆ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ φρ φρρ
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 17
Potencial Elétrico
2 2
2
100 1 100ˆ ˆcos cos1 1
100 ˆcos1 z
V a a +z z
az z
ρ φρ φ ρ φρ ρ φ
ρ φ
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞∇ = +⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ + ∂ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠
22
2 2 2 2
2
2 2
1 100 1 100cos cos1 1
100 cos1
Vz z
z z
ρ ρ φ ρ φρ ρ ρ ρ φ
ρ φ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∇ = +⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ + ∂ +⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎝ ⎠∂ ⎡ ⎤+ ⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦
( ) ( )2 2
2
100cos 1 100ˆ ˆcos1 1
1 ˆ100 cos1 z
V az z
az z
ρ φaφ ρ ρρ ρ φ
ρ φ
∂ ∂∇ = + +
+ ∂ + ∂
∂ ⎛ ⎞⎜ ⎟∂ +⎝ ⎠
φ
( )22 2 2
100cos 100 2ˆ ˆ ˆ100 cos1 1 1
zzV a sen a
z z zρ φ aφ φ ρ φ∇ = − −
+ + +
( )22 2 2
100cos60 100 2 2ˆ ˆ ˆ60º 100 3cos602 1 2 1 2 1
P zV a sen aρ φ° ⋅
∇ = − − ⋅ °+ + +
a
ˆ ˆ10 10 3 24 ˆP zV a aρ φ∇ = − − a
( )ˆ ˆ10 10 3 24 zE a aρ φ= − − − a
( )ˆ ˆ ˆ10 10 3 24 Vz mE a a aρ φ= − + +
(c) E;
ˆ ˆ10 10 3 24 zE a aρ φ= − + + a
( ) ( )22 210 10 3 24E = − + +
( ) ( )22 210 10 3 24E = − + +
( )31.24 VmE =
(d) dV/dN;
( )31.24 Vm
dVEdN
= =
(e) aN ;
ˆNVaV
∇=∇
ˆ ˆ10 10 3 24ˆ
31.24z
N
a aa ρ φ− −
=a
ˆ ˆ ˆ0.320 0.554 0.768 ˆN za a aρ φ= − − a
(f) ρv no espaço livre.
v Dρ = ∇⋅
0v Eρ ε= ∇⋅
( )0v Vρ ε= ∇⋅ −∇
20v Vρ ε= − ∇
Em coordenadas cilíndricas, o Laplaciano de V é dado por:
2 22
2 2 2
1 1V VV Vz
ρρ ρ ρ ρ φ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂ ∂⎝ ⎠
( )2
100 cos1
V Vz
ρ φ=+
[ ] [ ]2
22 2 2 2
2
2 2
100 1 100cos cos1 1
100cos1
Vz z
z z
ρφ ρ ρ φρ ρ ρ ρ φ
ρ φ
⎛ ⎞∂ ∂ ∂∇ = +⎜ ⎟+ ∂ ∂ + ∂⎝ ⎠
∂ ⎡ ⎤+ ⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦
( ) [ ]
( )
22 2 2
22
100 1 100cos1 1
2100 cos1
V senz z
zz z
ρφ ρ φρ ρ ρ φ
ρ φ
∂ ∂∇ = + −
+ ∂ + ∂
⎡ ⎤∂ ⎢ ⎥−⎢ ⎥∂ +⎣ ⎦
( ) ( )( )
22 2
2 22 2
42
100 1 100 1cos cos1 1
1 1 2 1 2200 cos
1
Vz z
1z z z z
z
φ φρ ρ
ρ φ−
∇ = −+ +
⎡ ⎤⋅ + − ⋅ +⎢ ⎥−⎢ ⎥+⎣ ⎦
( ) ( )( )
2 22 2
42
1 4200 cos 1
1
z zV z
zρ φ
⎡ ⎤+ −⎢ ⎥∇ = − +⎢ ⎥+⎣ ⎦
( )2
232
1 3200 cos1
zVz
ρ φ −∇ = −
+
20v Vρ ε= − ∇
( )2
0 32
1 3200 cos1
vz
zρ ε ρ φ
⎧ ⎫−⎪ ⎪= − −⎨ ⎬+⎪ ⎪⎩ ⎭
`
( )2
0 32
1 3200 cos1
vz
zρ ε ρ φ −
=+
( )2
1232
1 3 28.85 10 200 3cos602 1
vρ− − ⋅
= ⋅ ⋅ °+
12 1 118.85 10 200 32 125vρ
− −⎛ ⎞= ⋅ ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠
( )3233.64 pcv m
ρ = −
Exemplo 20 – (Hayt – pg. 64 E4.10) Um dipolo elétrico localizado na origem do
espaço livre possui momento de dipolo ( )ˆ ˆ ˆ3 2x y zp a a a nC m= − + ⋅ .
(a) Determinar V em PA(2,3,4). (b) Determinar V em r = 2.5, θ = 30° e φ = 40°.
Solução: Esquema do dipolo e linhas de campo:
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 18
Potencial Elétrico
p Qd=
20
14
r rV pr rr rπε
′−= ⋅
′−′−
r :Localiza o ponto P. r′ :Localiza o centro do dipolo.
ˆ ˆ2 3 4x yr a a a= + + ˆz
ˆz
ˆz
ˆ ˆ0 0 0x yr a a a′ = + +
ˆ ˆ2 3 4x yr r a a a′− = + +
ˆ ˆ ˆ2 3 4x yr r a a a′− = + + z
2 2 22 3 4 29r r′− = + + =
20
14
r rV pr rr rπε
′−= ⋅
′−′−
( ) ( )2
0
ˆ ˆ ˆ2 3 4ˆ ˆ ˆ3 2
294 29x y z
x y z
a a anV a a aπε
+ += − + ⋅
( )0
3 2 2 3 1 44 29 29
nπε
V = ⋅ − ⋅ + ⋅
0
44 29 29
nVπε
=
( )0.2305V V=
(b) Determinar V em r = 2.5 θ = 30° e φ = 40°. ,
20
ˆ4
rp ar
Vπε⋅
=
r é a distância do centro do dipolo ao ponto P: ˆ ˆ ˆcos cosr x ya sen a sen sen a azθ φ θ φ θ= + +
ˆ ˆ ˆ30 cos 40 30 40 cos30r x ya sen a sen sen a az= ° ° + ° ° + °
ˆ ˆ ˆ ˆ0.383 0.3214 0.866r x y za a a a= + +
( ) ( )2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ3 2 0.383 0.3214 0.8664 2.5
x y z x y za a a a a aV
πε− + ⋅ + +
=n
( )2
0
3 0.383 2 0.3214 1 0.8664 2.5
nV
πε⋅ − ⋅ + ⋅
=
0
1.37224 6.2
nVπε
=5
1.975( )V V= Exemplo 21– (Hayt – pg. 64 E4.10) Um dipolo de momento ( )ˆ6 zp a nC m= ⋅
está localizado na origem do espaço livre. (a) Determine V em P(r = 4, θ = 20°, φ = 0°); (b) Determine E em P. Solução:
(a) 20
ˆ4
rp aVrπε
⋅=
ˆ ˆ ˆcos cosr x ya sen a sen sen a azθ φ θ φ θ= + +
ˆ ˆ ˆ20 cos 0 20 0 cos 20r x ya sen a sen sen a az= ° ° + ° ° + °
ˆ ˆ ˆ0.342 0 0.9397r x ya a a= + + ˆza
( ) ( )2
0
ˆ ˆ ˆ ˆ6 0.342 0 0.93974 4
z x ya a a aV
πε⋅ + +
= z n
( )0
6 0.93974 16
nπε
⋅=V
( )3.17V V=
(b) ( )30
ˆ ˆ2cos4 r
pE a sen ar θθ θ
πε= +
( )30
6 ˆ ˆ2cos 20 204 4 r
nE a sen aθπε= ° + °
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 19
a
Potencial Elétrico
( )ˆ ˆ0.84375 1.879 0.342rE a θ= +
( )ˆ ˆ1.585 0.288 Vr mE a aθ= +
Exemplo 21 – (Hayt – pg. 66 E4.11) Determine a energia armazenada no espaço livre para a região 2mm < r < 3 mm, 0 < θ < 90°, 0 < φ < 90° dado o campo potencial V =:
(a) 200V
r
(b) 2
300cos Vr
θ
Solução: 1
2Ev
W D= ⋅∫∫∫ Edv
φθ φθθaV
rsenaV
ra
rVV r ˆ1ˆ1ˆ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
E V= −∇
0 0D E Vε ε= = − ∇
( )0D E V Vε⋅ = − ∇ ⋅ −∇ 2
0D E Vε⋅ = ∇ 2
102E
v
W Vε= ∇∫∫∫ dv
20
2Ev
W V dvε= ∇∫∫∫
(a) 200V
r=
200 200200 1 1ˆ ˆ ˆr
r rV a a ar r r rsenθ φθ θ φ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞∂ ∂⎜ ⎟ ⎜ ⎟∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠
2
200 ˆ ˆ0 0rV a ar
aθ φ∇ = − + +
2
200 ˆrV ar
∇ = −
2
200Vr
∇ =
20
2
2002E
v
W dr
ε ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠∫∫∫ v
32 2
3
3 102 20
40 02 10
12002EW r sen
r
π π
ε d d drθ θ φ−
−
⋅
⋅
= ∫ ∫ ∫
32 2
3
3 104 20
0 02 10
4 102EW r dr sen
π π
ε d dθ θ φ−
−
⋅−
⋅
= ⋅ ∫ ∫ ∫
[ ] [ ]3
2 2
3
3 1040
0 02 10
14 10 cos2
r
Err
Wπ πθ φ
θ φ
ε θ φ−
−
= ⋅= =
= == ⋅
⎡ ⎤= ⋅ − −⎢ ⎥⎣ ⎦
( )40 2 23 3
1 12 10 cos cos0 03 10 2 10EW π πε − −
⎡ ⎤⎛ ⎞= ⋅ − − − − − − −⎡ ⎤⎡ ⎤⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⋅ ⋅⎝ ⎠⎣ ⎦
[ ]40 23 3
1 12 10 0 13 10 2 10EW πε − −
⎡ ⎤= ⋅ − + + ⎡ ⎤⎣ ⎦⎢ ⎥⋅ ⋅⎣ ⎦
4
0 23
10 1 12 110 3 2EW πε −
⎡ ⎤= ⋅ − + ⋅⎢ ⎥⎣ ⎦
702 10
12EW πε= ⋅
12 78.85 10 2 1012EW π−= ⋅ ⋅
( )54.13 10EW J−= ⋅
(b) 2
300cos Vr
θ
2 2
2
300cos 300cos300cos 1 1ˆ ˆr
r rV a ar r r rsen
aθ φ
θ θθ
θ θ φ
⎛ ⎞ ⎛∂ ∂⎜ ⎟ ⎜∂ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠ ⎝∇ = + +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
⎞⎟⎠
∂
( )2 3
cos300cos 300ˆ ˆrV ar r r
aθθθ
θ∂∂ ⎛ ⎞∇ = +⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠
3 3
600cos 300ˆ ˆrsenV a
r raθ
θ θ∇ = − −
2 22
3 3
600cos 300senVr r
θ θ⎛ ⎞ ⎛∇ = +⎜ ⎟ ⎜⎝ ⎠ ⎝
⎞⎟⎠
( )42 2 2
6
9 10 4cosV sr
enθ θ⋅∇ = +
( )4
2 206
9 10 4cos2E
v
W sr
ε θ θ⋅= +∫∫∫ en dv
( )3
2 2
3
3 104 2 2 20
60 02 10
19 10 4cos2EW sen r sen d d dr
r
π π
ε θ θ θ θ φ−
−
⋅
⋅
= ⋅ +∫ ∫ ∫
( )3
2 2
3
3 104 4 2 30
0 02 10
9 10 4cos2EW r dr sen sen d
π π
ε dθ θ θ θ−
−
⋅−
⋅
= ⋅ + φ∫ ∫ ∫
[ ]3
22
3
3 104 30
3 02 10 0
1 4 1 39 10 cos cos3 cos2 3 3 12 4
r
Er
Wr
ππ
θφ
φθ
ε θ θ θ φ−
−
= ⋅ ==
== ⋅ =
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⋅ − − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦4
029 3 3
10 1 1 4 1 392 3 10 3 2 3 12 4EW πε
−
− ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎛ ⎞= ⋅ − + − −⎜ ⎟⎢ ⎥⎢ ⎥⋅ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠⎣ ⎦
1303 1 1 4 1 3104 27 8 3 12 4Eπε−W ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
1303 19 24104 216 12Eπε− −⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
W
1303 19 10
2 216EW πε⋅=
⋅
13,668 10EW = ⋅ ( )36,68EW J=
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 20
Potencial Elétrico
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Leitura suplementar: Bioeletricidade • A eletricidade animal
Contribuição de Galvani e de Volta. A geração de eletricidade por certos peixes já era
conhecida quando LUIGI GALVANI descreveu sua célebre observação sobre a contração da pata de rã. Galvani ensinava anatomia em Bolonha (Itália) e PUELLES (1956) conta que, certo dia, quando trabalhava com rãs decapitadas e penduradas numa haste de cobre e observou que, quando a pata do animal tocava o ferro de um balcão próximo, os músculos se contraíam. Conta também uma outra versão. Nesta, Galvani, em 1760, colocou algumas rãs mortas sobre um prato metálico e um dos seus assistentes, usando a máquina eletrostática de Ramsden, aplicou um choque elétrico sobre uma delas, produzindo contração muscular. O fenômeno foi prontamente reconhecido por Galvani como algo especial e a partir daquele momento passou a dedicar-se ao estudo da eletricidade animal.
Galvani observou que, mesmo sem a aplicação de choque elétrico, era possível obter a contração dos músculos das patas posteriores da rã. Para isso, eles eram colocados em contato com o nervo lombar que, por sua vez, era estimulado por um par bimetálico (cobre e zinco). Dos seus experimentos, concluiu: "o músculo e o nervo constituem uma espécie de condensador de uma própria e peculiar eletricidade que existe em todos os animais vivos". Galvani acreditava que "nos músculos se reúne o fluido elétrico, que logo se difunde pelo corpo mediante a rede de nervos, os quais são condutores naturais do fluido elétrico e que se insinuam com suas extremidades dentro dos músculos". Suas principais observações estão no seu livro De viribus Electricitatis in motu muscularis (1871).
Na época de Galvani, ALEXANDRO VOLTA ensinava Física na Universidade de Pavia. Volta, estudando o fenômeno descrito por Galvani, concluiu que os metais podiam produzir eletricidade e, em 1800, construiu o
primeiro gerador químico de eletricidade empilhando alternadamente discos de cobre e zinco. Os metais foram separados por papel ou camurça embebidos em solução aquosa acidulada com vinagre. Concluiu dizendo que os músculos e os nervos são apenas condutores de eletricidade e que no par bimetálico usado por Galvani estava a fonte geradora de eletricidade.
• Potencial transmembrana.
A descoberta das correntes de injúria foi fundamental para que se soubesse que a membrana superficial das células vivas se encontra submetida a uma diferença de potencial, que é chamada de potencial transmembrana ou potencial de membrana. As células não-excitáveis, tais como as epiteliais do homem, apresentam um potencial de membrana constante, cujo valor está em torno de -20mV. Nos nervos e nos músculos, contudo, esses potenciais chegam a -90mV. Quando a célula está quiescente, o seu potencial de membrana apresenta valor constante e é chamado de potencial de repouso.
Não satisfeito, Galvani redarguiu relatando os resultados de novos experimentos nos quais conseguiu obter a contração dos músculos da pata de uma rã quando eles eram postos em contato com o nervo ciático de uma outra rã. Nesses experimentos não usou o par bimetálico para estimular. Com isso, mostrou que os elementos geradores de tensão e de corrente elétrica estavam situados no animal.
A contenda científica entre Galvani e Volta somente pôde ser resolvida com o desenvolvimento da ciência. Hoje se sabe que ambos estavam certos. De fato, as estruturas nervosas são capazes de iniciar e de propagar estímulos elétricos e estes participam decisivamente na promoção da resposta contrátil muscular. Por outro lado, lâminas bimetálicas podem produzir uma diferença de potencial elétrico suficiente para estimular o aparecimento do impulso elétrico nos nervos. Registro do fenômeno elétrico no coração.
Depois que Galvani chamou a atenção para a eletricidade animal, não tardou muito para que WALLER (1887, 1899) descobrisse que os batimentos cardíacos ocorriam concomitantemente com o aparecimento de correntes elétricas e que elas podiam ser detectadas na superfície do corpo. EINTHOVEN (1913), tendo inventado o galvanômetro de mola, registrou pela primeira vez essas correntes, obtendo os primeiros eletrocardiogramas e abrindo para a ciência uma importante vertente de investigação.
A detecção dos fenômenos elétricos nos nervos precedeu os trabalhos de EINTHOVEN.
Em 1850, HELMHOLTZ conseguiu medir a velocidade de propagação da onda de excitação no nervo gastrocnêmico da rã e, pouco depois, BERNSTEIN (1868) obteve o registro da evolução temporal do potencial de injúria do nervo lesado.
• POTENCIAL DE REPOUSO Em seres humanos e animais, cerca de 20% da
taxa metabólica basal é usada para manter o
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 21
Potencial Elétrico
funcionamento elétrico das células, usadas para controlar: • O fluxo de íons que se encontram em grandes
quantidades do lado externo e interno da célula e no meio extracelular.
• Os efeitos devido às diferentes concentrações de íons presentes no interior das células e no meio extracelular.
Entre o líquido no interior de uma célula e o fluido extracelular há uma diferença de potencial elétrico denominada potencial de membrana.
O potencial de uma membrana celular é a diferença de potencial entre as superfícies externa e interna da membrana celular quando elas estão eletricamente carregadas.
Lembrando que as membranas celulares são estruturas complexas constituída por uma bicamada de fosfolipídios onde estão imersas moléculas de proteínas, como esquematizado na Figura 2.7. Os fosfolipídios ocupam 70% do volume e mais de 90% da superfície da membrana. O empacotamento dessas moléculas impede a passagem de íons e água através da membrana; porém como há proteínas transmembranais que formam canais através da bicamada, como descrevemos anteriormente, é possível a troca dos íons do meio intra para o meio extracelular e vice-versa.
As propriedades elétricas da membrana celular são derivadas da ionização de suas superfícies externa e interna e principalmente de sua capacidade de deixar passar seletivamente apenas alguns tipos de íons. Nas células excitáveis, a membrana celular tem permeabilidade seletiva. As membranas biológicas geralmente são: • Permeáveis a pequenos íons inorgânicos e
monovalentes. • Pouco permeáveis a íons multivalentes. • Impermeáveis a íons inorgânicos complexos (fosfatos
orgânicos) e proteínas. Os meios extra e intra celular apresentam geralmente
característica salina. As moléculas suspensas nesses meios encontram-se ionizadas, movendo-se livremente. Por outro lado, tanto dentro como fora da célula, a concentração de ânions é muito próxima da concentração de cátions.
Quando não há influências externas sobre a célula, o potencial de uma membrana celular é denominado de Potencial de Repouso V0.
As membranas apresentam alta resistência elétrica decorrente da extensa superfície líquida, o que implica num potencial elétrico elevado (da ordem de 100 mV) entre o interior e o exterior da célula.
Esse potencial pode ser medido ligando-se, por meio de microeletrodos, os pólos de um medidor de voltagem ao interior de uma célula (ponto A), e ao líquido extracelular (ponto B), como mostra a Figura 1. Esses eletrodos são, em geral, capilares de vidro, com uma ponta com menos de 1 µm de diâmetro, contendo uma solução condutora de KCI. Essa solução está em contato com o medidor de voltagem por meio de um fio metálico. A Figura mostra o resultado de uma experiência típica para medir a diferença de potencial elétrico entre as partes externa e interna de uma célula.
Para isso colocam-se, inicialmente, os eletrodos A e B no líquido extracelular. A seguir o eletrodo A é colocado no interior da célula. O deslocamento do eletrodo A é indicado
na Figura 12 pela variação de x, coordenada na direção perpendicular à membrana de espessura d. Quando as pontas dos dois eletrodos estão no meio externo, a diferença de potencial medida W é nula, indicando que o potencial elétrico é o mesmo em qualquer ponto desse meio. O mesmo aconteceria se os dois eletrodos pudessem ser colocados no interior da célula, pois ambos os meios são condutores. O potencial elétrico do fluido extracelular, por convenção, é considerado nulo e V é o potencial no interior da membrana. Assim, a diferença de potencial ∆V entre os dois meios é:
∆V = V - 0 = V Quando a ponta do eletrodo A penetra na
célula, o potencial elétrico V diminui bruscamente para aproximadamente:
-70 mV(-70.10-3V) como indica a Figura 12. Na maioria das células, o potencial de membrana V permanece inalterado, desde que não haja influências externas. Quando a célula se encontra nessa condição, dá-se ao potencial de membrana V, a designação de potencial de repouso representado por V0. Numa célula nervosa ou muscular o potencial de repouso é sempre negativo, apresentando um valor constante e característico. Nas fibras nervosas e musculares dos animais de sangue quente, os potenciais de repouso se situam entre -55 mV e -100 mV. Nas fibras dos músculos lisos, os potenciais de repouso estão aproximadamente entre -30 mV e -55 mV.
Figura 1 – Medida do potencial de repouso de
uma célula. Medidor De Voltagem Meio externo
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 22
Potencial Elétrico
Exercícios: Hayt – Capítulo 4 – 6ª Edição
1. O valor de E em P(r =2, f =400 , z = 3) é dado por ( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ
Determine o trabalho incremental para deslocar uma carga de 20 mC de uma distância de 6 mm na direção de : (a) ρa . ˆ (b) φa . ˆ
(c) . za (d) E. (f) zyx aaaG ˆ4ˆ3ˆ2 +−=
Solução:
(a) Direção: . ρa
dLaEQdW Lˆ⋅−=
ρaaL ˆˆ =
( ) dLaaaaQdW Lz ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−= φρ
( ) dLaaaaQdW z ρφρ ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−=QdLdW 100−=
µµ 620100 ⋅⋅−=dW pJdW 12000−=
nJdW 12−= (b) Direção: : φa
dLaEQdW Lˆ⋅−=
( ) dLaaaaQdW z φφρ ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−=
QdLdW 200= µµ 620200 ⋅⋅=dW
nJdW 24= (c) Direção: : za
dLaEQdW Lˆ⋅−=
( ) dLaaaaQdW zz ˆˆ300ˆ200ˆ100 ⋅+−−= φρ
µµ 630020 ⋅⋅−=dW nJdW 36−=
(d) Direção: E :
dLaEQdW Lˆ⋅−=
EEaL =ˆ
dLEEEQdW ⋅−=
dLE
EQdW
2
⋅−=
dLEQdW ⋅−=
( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ
( ) 14100300200100 222 =+−+=E
µµ 61410020 ⋅⋅−=dW
JdW 810489988.4 −⋅−= nJdW ⋅−= 89988.44
(e) Direção: zyx aaaG ˆ4ˆ3ˆ2 +−= :
zyxL aaaGG ˆ
294ˆ
293ˆ
292
+−==a
dLaEQdW Lˆ⋅−=
( )mVaaa zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρE
zyxL aaa ˆ294ˆ
293ˆ
292
+−=a
φρ φφ asenax ˆˆcos −a =
φρ φφ aaseny ˆcosˆ +a =
yx asena ˆˆcosa φφρ +=
yx aasen ˆcosˆa φφφ +−=
643.0;766.0cos400 ==⇔= φφ senφ
a
yx aa ˆ643.0ˆ766.0 φρ +=
yx aa ˆ766.0ˆ643.0 +a −=φ Substituindo em:
( )mVaaaE zˆ300ˆ200ˆ100 +−= φρ
( )++= yx aaE ˆ643.0ˆ766.0100( ) zyx aaa ˆ300ˆ766.0ˆ642.0200 ++−−
( ) ++= xaE ˆ558.1286.76( ) zy aa ˆ300ˆ2.1533.64 +−
( )mVaaaE zyx ˆ300ˆ9.88ˆ158.205 +−=
zyxL aaaa ˆ294ˆ
293ˆ
292ˆ +−=
E
294300
2939.88
292158.205ˆ +
−−=⋅ La
834.222523.49194.76ˆ ++=⋅ LaE
5514.348ˆ =⋅ LaE
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 23
Potencial Elétrico
dLaEQdW Lˆ⋅−= µµ 65514.34820 ⋅⋅−=dW
nJdW 826,41−= 2. Seja:
( )mVaaaE zyx ˆ500ˆ300ˆ400 +−= nas vizinhanças do ponto P(6, 2, -3). Determine o trabalho incremental realizado no deslocamento e uma carga de 4 de uma distância de 1mm na direção especificada por: (a) zyx aaa ˆˆˆ ++
(b) zyx aaa ˆˆ3ˆ2 −+−
3. Se mVaE ρˆ120= , determine a quantidade de trabalho incremental realizado no deslocamento de uma carga de 50 mC de uma distância de 2mm a partir de: (a) P(1, 2, 3) em direção a Q(2, 1, 4); (b) Q(2, 1, 4) em direção a P(1, 2, 3); Solução: z 4 3 Q(2,1,4) aL P(1,2,3) 1 2 1 f 2 y x
(a) P(1, 2, 3) em direção a Q(2, 1, 4); dLaEQdW Lˆ⋅−=
mVaE ρˆ120= Em coordenadas cilíndricas:
521 2222 =+=+= pp yxρ
yx asenaa ˆˆcosˆ φφρ +=
yx aaa ˆ5
2ˆ5
1ˆ +=ρ
mVaaE yxP ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ˆ
51ˆ
51120
→
→=
PQ
PQaLˆ
zyx aaaPQPQ ˆˆˆ +−=−=→
31)1(1 222 =+−+=→
PQ
zyxL aaa ˆ3
1ˆ3
1ˆ3
1+−=a
15120
15240
15120ˆ −=−=⋅ LaE
dLaEQdW Lˆ⋅−=
36 10215
1201050 −− ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅−=dW
JdW µ098.3=
(b) Q(2, 1, 4) em direção a P(1, 2, 3);
→
→=
QP
QPLa
zyx aaaQPQP ˆˆˆ −+−=−=→
3)1()1()1( 222 =−+++−=→
QP
zyxL aaa ˆ3
1ˆ3
1ˆ3
1−+−=a
mVaE ρˆ120= Em coordenadas cilíndricas:
512 2222 =+=+= QQ yxρ
yx asenaa ˆˆcosˆ φφρ +=
yx aaa ˆ5
1ˆ5
2ˆ +=ρ
mVaa yxQ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+= ˆ
51ˆ
52120E
15120
15120
15240ˆ −=+−=⋅ LQ aE
dLaEQdW Lˆ⋅−=
36 10215
1201050 −− ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−⋅−=dW
JdW µ098.3= 4. Determine a quantidade de energia necessária para deslocar uma carga de 6C da o igem até P(3, 1, -1) no campo r
( mVaayaxE zyx ˆ4ˆ3ˆ2 2 +−= ) ao longo do caminho reto x = -3z, y = x+2z.
5. Calcule valor de ∫ ⋅P
A
dG L para G xa2= y ,
com A( l, -1 , 2) e P(2, 1, 2) usando o caminho: (a) segmentos retos de:
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Potencial Elétrico
-1 -0.5 0 0.5 1
00.5
11.5
2
0
1
2
3
40
0.51
1.5
-1-0.5
00.5
1
0
1
2
3
4
0
1
2
3
4
A( l, -1, 2) até B(1, 1, 2) até P( 2, 1, 2); (b) segmentos retos de A (l, -l, 2) até C (2, .-l, 2) até P
(2, 1, 2). Solução:
-1-0.5
00.5
0
1
2
3(a) segmentos retos de: A( l, -1, 2) até B(1, 1, 2) até P( 2, 1, 2);
A(1, -1, 2) B(1,1,2) P(2,1,2)
xayG ˆ2=
∫ ⋅P
A
LdG
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=
dxydxydxyLdGA
B
B
A
P
A
x
x
x
x
x
x
P
A∫∫∫∫ +==⋅ 222
⎩⎨⎧
=∴<<⇔→=∴=⇔→
12101
yxPBdxxBA
22120 2
1
2
1
=⋅=⋅+=⋅ ∫∫ xdxLdGP
A
(b) segmentos retos de: A (l, -l, 2) até C (2, .-l, 2) até P (2, 1, 2). A(1,-1,2) C(2,-1,2) P(2,1,-2)
xayG ˆ2=
∫ ⋅P
A
LdG
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=
dxydxydxyLdGA
C
C
A
P
A
x
x
x
x
x
x
P
A∫∫∫∫ +==⋅ 222
⎩⎨⎧
=∴=⇔→∴≤≤−=⇔→
0221 ;1
dxxPCxyCA
22)1(20 2
1
2
1
−=⋅−=−⋅+=⋅ ∫∫ xdxLdGP
A
6. Seja . zyx ayazaxG ˆ2ˆ2ˆ4 ++= . Dado um
ponto inicial P(2, 1, 1) e um ponto final Q(4, 3, .l),
determine ∫ ⋅P
A
LdG usando o caminho:
(a) linha reta: y =x – 1, z = 1. (b) parábola 6y = x2 +2, z = 1.
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Potencial Elétrico
7. Repita o problema 6 para yx azaxyG ˆ2ˆ3 2 += . Solução: yx azaxyG ˆ2ˆ3 2 += De: P(2, 1, 1) a Q(4, 3, .l)
( ) (∫ ∫ ++⋅+=⋅P
A Czyxyx adzadyadxazaxyLdG ˆˆˆˆ2ˆ3 2
dyzdxxyLdGc
P
A c∫∫ ∫ +=⋅ 23 2
)
(a) linha reta: y =x – 1, z = 1.
⎩⎨⎧
≤≤≤≤=⇔=−=31;42
1;1yx
dxdyzxyC
dyzdxxyLdGP
A∫∫∫ +=⋅3
1
4
2
2 23
dydxxxLdGP
A∫∫∫ ⋅+−=⋅3
1
4
2
2 12)1(3
∫∫∫ ++−=⋅3
1
4
2
23 2)363( dydxxxxLdGP
A
90)13(2232
43 4
2
234 =−++−=⋅∫=
=
P
A
x
x
xxxLdG
(b) parábola 6y = x2 +2, z = 1.
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤≤≤≤
=⇔=+
=
31;426
21;6
22
yx
dxxdyzxyC
dyzdxxyLdGP
A∫∫∫ +=⋅3
1
4
2
2 23
dydxxxLdGP
A∫∫∫ ⋅+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=⋅
3
1
4
2
22
126
23
∫∫∫ +++=⋅3
1
4
2
35 2)44(363 dydxxxxLdG
P
A
)13(2261
121
4
2
246 −+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ++=⋅
=
=∫
x
x
P
A
xxxLdG
82478 =+=⋅∫P
A
LdG
8. Uma carga pontual Q1 está localizada na origem no espaço livre. Determine o trabalho realizado no deslocamento de Q2 de:
(a) B(rB, θB, fB) até C(rA, θB, fB),com θ e f mantidos constantes;
(b) C(rA, θB, fB) até D(rA, θA, fB) com r e f mantidos constantes;
(c) D(rA, θA, fB) até A(rA, θ.A, fA) com r e θ mantidos constantes.
9. Uma densidade superficial de carga uniforme de
20 nC/m2 está presente na superfície da esfera r =0,6 em no espaço livre.
(a) Determine o potencial absoluto em P(r = l cm, θ = 250, f = 500);
(b) Determine VAB, dados os pontos A(r = 2 cm, θ = 300, f = 600) e B(r = 3 cm, θ = 450, f = 900).
Solução: (a) P(r = l cm, θ = 250, f = 500)
rR
rA
rQV ss
0
2
00 44
44 πεπρ
περ
πε===
20
232
104)106(420)10( −
−− ⋅
==πεπnrV
VrV 14.8)10( 2 == − (b) VAB, A(r = 2 cm, θ = 300, f = 600) B(r = 3 cm, θ = 450, f = 900).
BAAB VVV −=
0715.44
444 0
2
00
====A
s
A
s
AA r
Rr
Ar
QVπεπρ
περ
πεV
7143.24
444 0
2
00
====B
s
B
s
BB r
Rr
Ar
QVπεπρ
περ
πεV
7143.20715.4 −=ABV
VVAB 3572.1=
10. Dada uma densidade superficial de carga de rS de 8nC/m2 no plano .x = 2, uma densidade linear de carga de 30nC/m na linha x = l. y = 2 e uma carga pontual de lµC e,m P(-l, -1, 2), determine VAB para os pontos A(3, 4, 0) e B(4, 0, 1).
11. Seja uma densidade superficial de carga
uniforme de 5 nC/m2 presente no plano z = 0, uma densidade linear de carga de 8 nC/m localizada em .x = 0, z = 4 e uma carga pontual de 2mC presente em P'(2, 0, 0). Se V = 0 em M(0, 0, 5) determine V em N(l, 2, 3).
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 26
∫ ⋅−=−=A
BBAAB LdEVVV
Potencial Elétrico
ESolução: Solução: z z M(0,0,5) M(0,0,5) (V = 0) 5 (V = 0) 5 rL = 8nC/m 4 Q(0,y,4) r 3 3 θ θ N(1,2,3) 2 2 1 y 1 y 2 (2,0,0) Q = 2µC 2 (2,0,0) Q rS = 5nC/m2 r P(x,y,z) P(x,y,z) EL x x Diferença de Potencial entre A e B Diferença de Potencial entre A e B
∫ ⋅−=−=A
BBAAB LdEVVV
L = 8nC/m 4 Q(0,y,4)
N(1,2,3)
= 2µC S = 5nC/m2
EL
• Potencial devido à distribuição de carga linear de densidade linear de carga de rL = 8 nC/m:
Campo devido ao fio em N:
ρπερ ρa
E Lˆ
2 0
=
Observando a figura, temos: 222 )4()()0( −+−+−= zyyxρ
→→
→
−==
QP
QP
QP
QPa ρˆ
( )( )( ) zx azx
zazx
xa ˆ4
4ˆ4
ˆ2222 −+
−+
−+=ρ
ρπερ ρa
E LN
ˆ2 0
=
( )( )( )zxN azax
zx
nE ˆ4ˆ4
128
2220
−+⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+
=πε
( )( )( )zxP azax
zxn ˆ4ˆ
41
28
220
−+−+
=πε
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=
∫ ⋅−=−=N
MNMNNM LdEVVV
( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+
−+
−+=⋅ dz
zxzdx
zxxnLdEP 2222
0 44
428πε
( )∫ −+−=−=
N
MMNNM dx
zxxnVVV 22
0 428πε
( )∫ −+−N
M
dzzx
zn22
0 44
28πε
−
( )[ ] )3,2,1((
)5,0,0(22
0
4ln21
28
−+−=−= zxnVVV MNNM πε
( )[ ] )3,2,1(
)5,0,0(22
0
4ln21
28
−+ zxnπε
−
( )[ ] )3,2,1((
)5,0,0(22
0
4ln221
28
−+−=−= zxnVVV MNNM πε
( )[ ]( 22
0
431ln28
−+−=−=πε
nVV MNNMV
( )[ ])22 450ln −+−
( )2ln28
0πεnVVV MNNM −=−=
813.99−=−= MNNM VVV V
813.990 −=−= NNM VVV
813.99−=N
• Potencial devido à distribuição de carga de densidade superficial de carga uniforme de rS = 5 nC/m2
∫ ⋅−=−=N
MNMNNM LdEVVV
zS
S aEN
ˆ2 0ερ
=
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=
∫ ⋅−=−=N
M
SMNNM dzVVV
02ερ
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Potencial Elétrico
∫ ⋅−=−=3
5 02dzVVV S
MNNM ερ
71,5642 0
3
50
==−=−=ερ
ερ sS
MNNM zVVV V
• Potencial devido à carga pontual de Q = 2mC:
∫ ⋅−=−=N
MNMNNM LdEVVV
Q
∫−=−=N
MMNNM r
drQVVV 204πε
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=−=
N
M
r
rMNNM r
QVVV 14 0πε
29502 222 =++=Mr
( ) ( ) ( ) 14302012 222 =−+−+−=Nr
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−−−=−=
291
141
4 0πεQVVV MNNM
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
291
141
4 0πεQVVV MNNM
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−=−=
291
141
42
0πεµ
MNNM VVV
[ ]185695.026726.042
0
−=−=πεµ
MNNM VVV
VVVV MNNM 1639.1468=−=
QSL NNNN VVVV ++=ρρ
1639.146871.564813.99 ++−=NV
061.1933=NV ñ kVVN 933,1=
12. Três cargas pontuais de 0.4pC cada estão localizadas em (0, 0,- l), (0, 0, 0) e (0,.0,.l) no espaço livre.
(a) Encontre uma expressão para o potencial absoluto como uma função de z ao longo da linha. x = 0, y = 1.
(b) Esboce V(z). . 13. Três cargas pontuais idênticas de 4 pC cada estão
localizadas nos vértices de um triângulo eqüilátero de 0,5 mm de lado no espaço livre. Quanto trabalho deve ser realizado para deslocar uma carga para um ponto eqüidistante das outras duas e sobre a linha que as une?
Solução: y B 4pC rB 0.5mm x 4pC rA A 4pC
∫ ⋅−=−=A
BBAAB LdEVVV
∫−=−=A
BBAAB dr
rQVV
Q 20
1
41 πεV
A
B
r
rBAAB r
QVV ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−=−=
0
1
4πεV
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−=
BABAAB rr
QVV
Q
114 0
11 πε
V
rA = 2.5 mm; rB = 5.0 mm
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
⋅−
⋅=−= −− 44
0 1051
105.21
44
1 πεpVVV BAABQ
048000
1 πεpVVV BAABQ
=−=
Cálculo da energia entre as cargas Q1 e Q2:
20
2 48000
121QpVQ
QABQQ πε==W
ppVQQABQQ 4
48000
02 121 πε
==W
W
W
W
JVQQABQQ
152 10288000
121
−⋅==
JVQQABQQ
122 10288
121
−⋅==
Analogamente: pJVQ
QABQQ 288323 2 ==
Energia total:
JVQWWWQABQQQQT
122 102882
32321
−⋅⋅==+=
pJWWW QQQQT 5762321=+=
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Potencial Elétrico
14. Duas cargas pontuais de 6 nC estão localizadas em (1, 0, 0) e (-l, 0, 0) no espaço livre.
14. Duas cargas pontuais de 6 nC estão localizadas em (1, 0, 0) e (-l, 0, 0) no espaço livre.
(a) Determine V em P(0, 0, z). (a) Determine V em P(0, 0, z). (b) Determine Vmax. (b) Determine V(c) Calcule |dV/dz| no eixo z. (c) Calcule |dV/dz| no eixo z. (d/) Determine |dVIdz|max. (d/) Determine |dVIdz| 15. Duas linhas de cargas uniformes de 8 nC/m cada
estão localizadas em .x = l; z = 2 e x = -l., y = 2 no espaço livre. Se o potencial na origem é 100 V, determine V em P(4, 1,3).
15. Duas linhas de cargas uniformes de 8 nC/m cada estão localizadas em .x = l; z = 2 e x = -l., y = 2 no espaço livre. Se o potencial na origem é 100 V, determine V em P(4, 1,3).
Solução: Solução: z z 3 F2(-1,2,z) 3 F 2 -1 rL2 = 8nC/m 2 -1 r F1(1,y,2) rL1 = 8nC/m F 1 2 1 2 1 P(4,1,3) y 1 P(4,1,3) y 4 4 x x
Cálculo do campo devido ao Fio (1) : Cálculo do campo devido ao Fio (1) : Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto
qualquer sobre o Fio (1) é F1(1,y,2). Então: Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto
qualquer sobre o Fio (1) é F
max.
max.
2(-1,2,z)
L2 = 8nC/m
1(1,y,2) rL1 = 8nC/m
1(1,y,2). Então:
ρπερ ρa
E Lˆ
2 0
=
2221 )2()()1( −+−+−==→
zyyxPF ρ
→→
→
−==
PF
FP
PF
PFa1
1
1
1ˆ ρ
( ) ( ) ( ) ( )zx a
zx
zazx
xa ˆ21
2ˆ21
1ˆ2222 −+−
−+
−+−
−=ρ
( ) ( )( ) ( )( )zxF azax
zx
nE ˆ2ˆ121
128
2220
1−+−
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −+−
=πε
( ) ( )( ) ( )( )zxF azax
zxnE ˆ2ˆ1
211
28
220
1−+−
−+−=
πε
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=
∫ ⋅−=−=P
OFOPPO LdEVVV
1
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−
−+
−+−
−=⋅ dz
zxzdx
zxxnLdEF 2222
0 212
411
28
1 πε
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−+−−
+−+−
−−= ∫∫ dz
zxzdx
zxxnV
P
O
P
OPO 2222
0 212
211
28πε
( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]( )P
O
P
OPO zxzxnV 222122
21
0
21ln21ln2
8−+−+−+−
−=
πε
( ) ( )[ ]( ))3,1,4(
)0,0,0(22
0
21ln2
8−+−
−= zxn
PO πεV
( ) ( )[ ] [ ]( )2222
0
)20()10(ln2314ln2
8−+−−−+−
−=
πεnVPO
[ ] [ ]( )5ln10ln2
8
0
−−
=πε
nPOV
510ln
28
0πεn
PO−
=V
2ln2
8
0πεn
PO−
=V
2ln2
8
0πεnVOP
−=−V
2ln2
8
0πεnVOP
−+=V
813.99100 −=PV ( ) VV FP 187.0
1=
Cálculo do campo devido ao Fio (2) :
Seja um ponto P(x, y, z) qualquer. Um ponto qualquer sobre o Fio (2) é F2(-1,2,z). Então:
ρπερ ρaL
ˆ2 0
=E
2222 )()2()1( zzyxPF −+−++==→
ρ
→→
→
−==
PF
FP
PF
PF
2
2
2
2ρa
( ) ( ) ( ) ( )yx a
yx
yayx
xa ˆ21
2ˆ21
1ˆ2222 −++
−+
−++
+=ρ
( ) ( )( ) ( )( )yxF ayax
yx
n ˆ2ˆ121
128
2220
1−++
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −++
=πε
E
( ) ( )( ) ( )( )yxF ayax
yxn ˆ2ˆ1
211
28
220
2−++
−++=
πεE
zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=
∫ ⋅−=−=P
OFOPPO LdEVVV
1
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 29
Potencial Elétrico
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−++−
+−++
+=⋅ dy
yxydx
yxxnLdEF 2222
0 212
211
28
1 πε
( ) ( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−++−
+−++
+−= ∫∫ dy
yxydx
yxxnV
P
O
P
OPO 2222
0 212
211
28πε
( ) ( )[ ] ( ) ( )[( )P
O
P
OPO yxyxnV 222122
21
0
21ln21ln2
8−+++−++
−=
πε]
( ) ( )[ ]( ))3,1,4(
)0,0,0(22
0
21ln2
8−++
−= yxnVPO πε
( ) ( )[ ] [( ]22 )0()10(ln214ln2
8−++−++
−=
πεnV )22
0
21−PO
[ ] [ ]( )5ln26ln2
8
0
−−
=πε
nVPO
526ln
28
0πεnVPO =
526ln
28
0πεnVV OP
−=−
526ln
28
0πεnVV OP
−+=
4068.237100−=PV ( ) VV FP 4068.137
2−=
( ) ( ) 4068.137187.021
−=+= FPFPP VVV
( ) ( ) VVVV FPFPP 2198.13721
−=+=
16. Distribuições superficiais de carga uniformes de 6,
4 e 2 nC/m2 estão presentes em r = 2,4 e 6 cm, respectivamente, no espaço livre.
(a) Considere V = 0 no infinito e determine V(r). (b) Calcule Vem r = l, 3, 5 e 7 cm. (c) Esboce V versus r para l < r < 10 cm.
17. Densidades superficiais de carga uniformes de 6 e
2 nC/ m2 estão presentes em r = 2 e 6 cm, respectivamente, no espaço livre. Considere V = 0 em r = 4 cm e calcule V em r =
(a) 5 cm; (b) 7 cm.
Solução: Calculo do campo elétrico Devido às densidades
superficiais de carga uniformes de 6 e 2 nC/ m2 estão presentes em r = 2 e 6 cm, utilizando a Lei de Gauss e utilizando uma superfície Gaussiana cilíndrica de raio r.
r z 2 6 rS =2nC/m2 rS =6nC/m2
ρa dS Em coordenadas cilíndricas, o elemento de
área lateral da superfície cilíndrica é dado por:
ρφρ adzdSd ˆ= Aplicando a Lei de Gauss:
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>+
<<
<
=⋅∫∫06.0 se
06.020.0 se
02.0 se 0
0
21
0
1
ρε
ρε
ρ
QSdE
S
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>+
<<
<
=∫ ∫−
06.0 se
06.020.0 se
02.0 se 0
0
21
0
12
0
21
12
2
ρερρ
ρερ
ρ
φρπ
AA
AdzdE
ss
s
L
L
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Potencial Elétrico
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>+
<<
<
=
06.0 se 22
06.020.0 se 2
02.0 se 0
2
0
21
0
1
21
1
ρε
πρρπρρ
ρεπρρ
ρ
πρ
LL
LLE
ss
s
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>+
<<
<
=
06.0 se
06.020.0 se
02.0 se 0
0
21
0
1
21
1
ρρε
ρρρρ
ρρερρ
ρ
ss
sE
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>+
<<
<
=
06.0 se 06.0202.06
06.020.0 se 02.06
02.0 se 0
0
0
1
ρρε
ρρε
ρ
nn
nE
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
>
<<
<
=
06.0 se 118.27
06.020.0 se 559.1302.0 se 0
ρρ
ρρ
ρ
E
Sendo zadzadadLd ˆˆˆ ++= φρ φρρ , calcularemos:
(a) V (r = 5cm)
∫ ⋅−=−1
2
21
ρ
ρρρ LdEVV
∫−==−=05.0
04.021
559.13)04.0()05.0( ρρ
ρρ dVV
05.0
04.021 ln559.13)04.0()05.0( =
=−==−= ρ
ρρρρ VV
45ln559.13)04.0()05.0( 21 −==−= ρρ VV
VVV 025.3)04.0()05.0( 21 −==−= ρρ (b) 7 cm.
)4()6()6()7()4()7(
21
2121
=−=+=−===−=
ρρρρρρ
VVVVVV
r 4 6 7
∫∫ −+−==−=6
4
7
621
559.13118.27)4()7( ρρ
ρρ
ρρ ddVV
46
67
21 ln559.13ln118.27)4()7( −−==−= ρρ VVVVV 676.9)4()7( 21 −==−= ρρ
18. Uma densidade linear de carga não-uniforme, rL = 8/ (z2 + l) nC/m, está situada ao longo do eixo
z. Determine o potencial em P(r = l, 0, 0) no espaço
livre se V = O em r = ¶. 19. Uma superfície anelar, l cm < r < 3 cm, z = 0
possui uma densidade superficial de carga não-uniforme
rS = 5r nC/m2. Determine V em P(0, 0, 2cm) se V = 0 no infinito.
Solução: dE z r P(0,0,2) θ 3 r’ 1 za 0 f y φa r df dA ρa dQ’ x Em coordenadas cilíndricas: ρφρ dddA = O Campo será dado por:
rrrr
rrdQrEd
′−′−
′−= 2
04)(
πε
Da figura, vemos: ρρar ˆ=′
zazr ˆ=
ρρaazrr z ˆˆ −=′−
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Potencial Elétrico
22 ρ+=′− zrr
ρφρρρ ddndAdQ s 5==
ρφρ ddndQ 25=
( ) ρφπε
ρ ddrrrr
nrEd ′−′−
= 30
2
45)(
( )( ) ρφρ
ρπε
ρρ ddaaz
znrEd z ˆˆ
45)( 2322
0
2
−+
=
Note que antes de integrarmos, precisamos fazer a transformação para cartesianas, pois os vetores da base cilíndrica variam em cada ponto (exceto ). za
Como em coordenadas cilíndricas:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+=
zz
yx
yx
aaasenaa
senaaa
ˆˆcosˆˆˆ
ˆcosˆˆφφφφ
φ
ρ
Assim, substituindo:
( )[ ]( ) ρφφφρ
ρπε
ρ ddasenaazznrEd yxz ˆˆcosˆ
45)( 2322
0
2
+−+
=
As integrais nas componentes x e y darão zero. Mostre!!.
Assim:
( ) zaddz
znrEd ˆ4
5)( 23220
2
ρφρπε
ρ+
=
( ) zaddz
znrE ˆ4
5)(3
1
2
02322
0
2
ρφρπε
ρπ
∫ ∫ +=
( ) zaz
zdnrE ˆ410)(
3
12322
2
0∫
+=
ρρρ
πεπ
Fazendo: θρρθ ztgz
tg =⇒=
θρ 2seczd =
( ) θθρ 222222 sec1 ztgzz =+=+
( )( ) zadz
zzztgnrE ˆsec
sec410)(
3
12322
22
0
θθ
θθπεπ∫
⋅=
zadtgzznrE ˆ
secsec
410)(
3
13
22
3
4
0
θθθθ
πεπ∫=
zadtgznrE ˆsec4
10)(3
1
2
0
θθθ
πεπ∫=
zadsenznrE ˆcos4
10)(3
1
2
0
θθθ
πεπ∫=
zadznrE ˆcos
)cos1(410)(
3
1
2
0
θθθ
πεπ∫
−=
( ) zadznrE ˆcossec410)(
3
10
θθθπεπ∫ −=
( ) zasentgznrE ˆsecln410)( 2
10
θ
θθθθ
πεπ
−+=
Como:
( ) zasentgznrE ˆsecln410)( 2
10
θ
θθθθ
πεπ
−+=
Voltando:
θρρθ ztgz
tg =⇒=
zz 22
sec+
=ρ
θ
22 zsen
+=
ρ
ρθ
zazzz
zznrE ˆln
410)(
2
1
22
22
0
ρ
ρρ
ρρρπεπ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+
+=
⎢⎢⎣
⎡
+−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
+=
2
2
0 9
339ln410
zzzzznE
πεπ
zazzz
z ˆ1
111ln2
2
⎥⎥⎦
⎤
++
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+
+−
zzzz
zzzznE 11ln39ln
410 22
0
++
−⎜⎜
⎝
⎛+
+=
πεπ
zaz
z
z
z ˆ19
322 ⎟⎟⎠
⎞
++
+−
⎜⎜
⎝
⎛
++
++=
1139ln
410
2
2
0 zzzn
πεπE
zaz
z
z
z ˆ19
322 ⎟⎟⎠
⎞
++
+−
d
Calculando o potencial, teremos:
zadzadadL ˆˆˆ ++= φρ φρρ
( ) ∫∞
∞ ⋅−=−=2
2 LdEVcmzV
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Potencial Elétrico
dzzz
zzdzzz
zznV ∫∫∞∞
++
−⎜⎜
⎝
⎛+
+−=
2 22 2
0
11ln39ln410)2(πε
π
⎟⎟⎠
⎞
++
+− ∫∫
∞∞
2
22 19
3 dzz
zdzz
zz
2222
0
93log22
93410)2(
∞⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +++
+−=
zzzznV
πεπ
2222
0
11log22
1410
∞⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +++
++
zzzzn
πεπ
( )22
0
93410
∞++ znπεπ ( )22
0
1410
∞+− znπεπ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +++
+−=
2293log
22
2293
410)2(
222
0πεπnV
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +++
++
2211log
22
221
410 222
0πεπn
( )2
0
293410
++πεπn ( )2
0
21410
+−πεπn
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ ++
−=
2133log2
2133
410)2(
0πεπnV
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ +++
251log2
25
410
0πεπn ( )133
410
0πεπn
+
( )5410
0πεπn
−
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
++−−−
=51133log25133
25133
410)2(
0πεπnV
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
++
+−−
=51133log2
21335
410)2(
0πεπnV
5.809)2( =V Como calculamos tudo em cm para E e para V,
observe que devemos multiplicar por um fator 10-2 (para obter E em N/C) e10-2 para obter V em volt, ou seja, 10-4. Assim:
VV 08095.0)2( =
20. A Fig. 4.11 mostra três distribuições de cargas no
plano z = 0 no espaço livre, (a) Determine a carga total para cada distribuição, (b) Determine o potencial em P(0, 0, 6) causado por
cada uma destas três cargas individualmente. (c) Determine VP.
Fig. 4.11 Veja Problema 4.20
21. Seja V = 2xy2z3+3ln(x2 + 2y2+3z2) V no espaço livre. Calcule cada uma das seguintes grandezas em
P(3, 2, -1): (a) V; (b) |V |; (c) E; (d) |E|; (e) aN; (f) D.
Solução:
(a) V;
( )22232 32ln32),,( zyxzxyzyx +++=V
( )22232 )1(3223ln3)1(232)1,2,3( −⋅+⋅++−⋅⋅⋅=−V( )18ln324)1,2,3( +−=−V V32.15)1,2,3( −=V −
(b) |V |; VV 32.15)1,2,3( =−
(c) E;
VE ∇−=
zyx azVa
yVa
xVE ˆˆˆ
∂∂
−∂∂
−∂∂
−=
22232
3262
zyxxzy
xV
+++=
∂∂
2223
32124
zyxyxyz
yV
+++=
∂∂
22222
32186
zyxzzxy
zV
+++=
∂∂
22232
)1,2,3( )1(3)2(23)3(6)1(22
−+++−⋅=
∂∂
−xV
4.720148
20188
)1,2,3(
−=−
=+−=∂∂
−xV
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 33
Potencial Elétrico
2223
)1,2,3( )1(3)2(23)2(12)1)(2)(3(4 3(
−+++−=
∂∂
−yV
8.2220
456202424
)1,2,3(
−=−=+−=∂∂
−yV
22222
)1,2,3( )1(3)2(23)1(18)1()2)(3(6−++
−+−=
∂∂
−zV
1.7120
1422201872
)1,2,3(
==−=∂∂
−zV
zyx azVa
yVa
xVE ˆˆˆ
∂∂
−∂∂
−∂∂
−=
( ) ( ) ( ) zyx aaaE ˆ1.71ˆ8.22ˆ4.7 −−−−−=
zyx aaaE ˆ1.71ˆ8.22ˆ4.7 −+= (d) |E|;
CNE 03.751.718.224.7 222 =++=
(e) aN;
zyxN aaaEEa ˆ
03.751.71ˆ
03.758.22ˆ
03.754.7ˆ −+==
zyxN aaaEEa ˆ948.0ˆ304.0ˆ098.0ˆ −+==
(f) D.
( )zyx aaaED ˆ1.71ˆ8.22ˆ4.700 −+== εε
( )2ˆ235.629ˆ78.201ˆ49.65 mpCaaaD zyx −+=
22. Seja o potencial V = 80r0.6 V. Considerando as condições do espaço livre, determine:
(a) E; (b) a densidade volumétrica de carga em r = 0,5 m; (c) a carga total contida dentro da superfície p = 0,6. 23. Seja o potencial V = 80r0.6 V. Considerando as
condições do espaço livre, determine: (a) E; (b) a densidade volumétrica de carga em r = 0,5 m; (c) a carga total contida dentro da superfície fechada: r = 0,6; 0 < z < l. Solução: (a) E;
VE ∇−= Em coordenadas esféricas:
φθ φθθaV
rsenaV
ra
rVV r ˆ1ˆ1ˆ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Como há só dependência em r com o potencial:
0=∂∂
=∂∂
φθVV
6.080r=V
4.016.0 486.080
rr
rV
=⋅=∂∂ −
rar
V ˆ484.0−=∇−=E
(b) a densidade volumétrica de carga em r = 0,5 m;
• Em coordenadas esféricas:
Dv ⋅∇=ρ 4.0
00 48 −−== rED εε
( ) ( )φθ
θθθ
φθ ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=⋅∇D
rsensenD
rsenDr
rrD r
111 22
[ ]( )4.00
22 481 −−∂∂
=⋅∇ rrrr
D ε
( )6.120
148 rrr
D∂∂
−=⋅∇ ε
16.120 6.1148 −−=⋅∇ r
rD ε
26.008.76 −−=⋅∇ rD ε
4.108.76 −−=⋅∇ rD ε
4.10 5.08.76)5.0( −⋅−== ερ rv
pCrv 1794)5.0( −==ρ • Em coordenadas cilíndricas:
Dv ⋅∇=ρ
( ) ( )z
DDDD z
∂∂
+∂∂
+∂∂
=⋅∇ φρ φρρ
ρρ11
4.000 48 −−== ρεε ED
[ ]( )4.00481 −−
∂∂
=⋅∇ ρερρρ
D
( )6.00
148 ρρρ
ε∂∂
−=⋅∇ D
16.00 6.0148 −−=⋅∇ ρρ
εD
ρρε
4.0
08.28−
−=⋅∇ D
4.108.28 −−=⋅∇ ρεD
4.10 5.08.28)5.0( −⋅−== ερρv
373.672)5.0( mpCv −==ρρ (c) a carga total contida dentro da superfície
fechada:
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Potencial Elétrico
r = 0,6; 0 < z < l, pela Lei de Gauss:
dzdpSdDQS
i φρρπ
∫ ∫∫∫ −−=⋅=2
0
1
0
4.08,424
dzdpQi φρρπ
∫ ∫−=2
0
1
0
6.08,424
∫∫−=1
0
2
0
6.08.424 dzdpQi
π
φρ
( ) 126.08.4246.0 6.0 ⋅⋅−== πρ pQ
( ) 126.08.4246.0 6.0 ⋅⋅−== πρ pQ
( ) pCQ 51.19646.0 −==ρ
( ) CQ 964.16.0 −==ρ 24. Dado o campo potencial V = 80rcosθ e o ponto
P{r= 2,5, θ = 30°, f = 60°) no espaço livre, determine em P:
(a) V; (b) E; (c) D; (d) rv; (e) dVIdN; (f) aN.
25. Dentro do cilindro r = 2,0 < z < l, o potencial é
dado por V = 100 + 50r + 150r senf V. (a) Determine V, E, D e rv, em P(l, 60°, 0.5) no espaço
livre, (b) Quanta carga está contida no cilindro?
Solução:
(a) V(l, 60° 0.5) = 100+50.1+150.1sen60, 0 = 279.90V
E: VE ∇−= Em coordenadas cilíndricas:
zazVaVaVV ˆˆ1ˆ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ φρ φρρ
( )+
∂++∂
=∇ ρρφρρ asenV ˆ15050100
( )φφ
φρρρ
asen ˆ150501001∂++∂
+
( )za
zsen ˆ15050100
∂++∂
+φρρ
( ) ρφ asenV ˆ15050 +=∇φφρ
ρacos1501
+ za0+
( ) ( ) ρasenV ˆ60150505.0,60,1 00 +=∇ φa60cos150 0+
( ) ρaV ˆ90.1795.0,60,1 0 =∇ φa75+
φρ aaEVE ˆ75ˆ90.179 −−=⇒∇−= D
( 20 ˆ75.663ˆ12.1592 mpCaaED φρε −−== )
Ou
( )20 ˆ64.6ˆ59.1 mnCaaED φρε −−==
rv, em P(l, 60°, 0.5) no espaço livre:
Dv ⋅∇=ρ
( ) φρ φεφε aasenD ˆcos150ˆ15050 00 −+−=
( ) ( )z
DDDD zv ∂
∂+
∂∂
+∂∂
=⋅∇= φρ φρρ
ρρρ 11
( )++∂∂
−=⋅∇= )15050(10 φρ
ρρερ senDv
( )φφρ
ε cos15010 ∂
∂−
ρφε
ρφερ sensen
v15015050
00 ++
−=
ρερ 50
0−=v
30
0 442150)5.0,60,1( mpCv −=−= ερ
(b) Quanta carga está contida no cilindro?
∫∫ ⋅=S
i SdDQ
( ) φρ φεφε aasenD ˆcos150ˆ15050 00 −+−=
ρφρ adzdSd ˆ=
( ) dzdsenSdDS
i φρφεπ
∫ ∫∫∫ +−=⋅=2
0
1
00 15050Q
( ) dzdseni φφρεπ
∫ ∫ +−=2
0
1
00 15050Q
( ) ∫∫ +−=1
0
2
00 15050 dzdsenQi φφρε
π
( ) 1cos15050 200 ⋅−−= =
=πφ
φφφρεiQ
( )( )0cos1500502cos1502500 −⋅−−⋅−= ππρεiQ( )( )15001501000 −−−−= πρεiQ
πρε 1000 ⋅−=iQQ
Q
π10011085.8 12 ⋅⋅⋅−= −i
nCi 78.2−= 26. Um dipolo com Qd/4πe0 = 100 Vm2 está
localizado na origem no espaço livre e alinhado de tal forma que seu momento está na direção az.
(a) Esboce |V(r = l, θ, f = 0 ) versus θ em um gráfico polar,
(b) Esboce |E r = l, θ, f = 0) | versus θ em um gráfico polar.
27. Duas cargas pontuais, l nC em (0; 0; 0.l) e -l nC em (0; 0; -0,1), estão no espaço livre,
(a) Calcule V em P(0,3; 0; 0,4). (b) Calcule E em P.
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 35
Potencial Elétrico
(c) Agora trate as duas cargas como um dipolo na origem e determine V em P.
Solução:
rrrrp
rrV
′−′−
⋅′−
= 204
1πε
θ P r r : localiza o ponto P. r ′ : localiza o centro do dipolo.
(a) V em P(0,3; 0; 0,4). Vemos que: zx aar ˆ4.0ˆ3.0 +=
zyx aaar ˆ0ˆ0ˆ0 ++=′
zx aarr ˆ4.0ˆ3.0 +=′−
5.04.03.0 22 =+=′− rr Momento de dipolo: dQp =
zad ˆ2.0=
zanp ˆ2.0=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +⋅= zxz aaanV ˆ
5.04.0ˆ
5.03.0ˆ2.0
5.041
20πε
nV 08.0125.04
1
0πε=
VV 76.5= (b) Calculo de E em P.
( )θθθπε
asenar
QdE r ˆˆcos24 3
0
+=
54
5.04.0cos ===
rzθ
53
5.003.0 2222
=+
=+
==r
yxr
sen ρθ
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +
⋅= θπε
aanr ˆ
53ˆ
542
5.042.01
30
E
( )θπεaan
r ˆ3ˆ8625.04
2.0
0
+=E
22
0
38625.04
2.0+=
πεnE
73625.04
2.0
0πεnE =
73625.04
2.0
0πεnE =
mVE 25=
28. Um dipolo localizado na origem no espaço
livre possui um momento p = 2.10-9az;Cm. Em que pontos da linha y = z, x = O temos:
(a) |E| = l mV/m? (b) |E| = l mV/m?
29. Um dipolo de momento p = 3ax- 5ay + 10az
nC.m está localizado em Q(1,2,-4) no espaço livre. Determine V em P(2, 3, 4). Solução:
rrrrp
rrV
′−′−
⋅′−
= 204
1πε
(a) V em P(2, 3, 4). Vemos que: r zyx aaa ˆ4ˆ3ˆ2 ++=
zyx aaar ˆ4ˆ2ˆ1 −+=′
zyx aaarr ˆ8ˆˆ ++=′−
66811 222 =++=′− rr Momento de dipolo: zyx aaap ˆ10ˆ5ˆ3 +−= zyx aaap ˆ10ˆ5ˆ3 +−= (nC.m)
( ) ( )66
ˆ8ˆˆˆ10ˆ5ˆ3
664
12
0
zyxzyx
aaaaaanV
++⋅+−=
πε
( )8101513664
13
0
⋅+⋅−⋅=πε
nV
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 36
Potencial Elétrico
78664
13
0πε
nV =
VV 309.1=
30. Um dipolo de momento p = 2az. nC.m está localizado na origem no espaço livre. Calcule a magnitude de E e sua direção âE em componentes cartesianas em r = 100 m, f = 90° e θ =:
(a) 0°; (b) 30°; (c) 90°. 31. Um campo potencial no espaço livre é expresso por
V = 20/(xyz) V. (a) Determine a energia total armazenada dentro do
cubo l < x, y, z. < 2. (b) Que valor seria obtido supondo-se uma densidade
de energia uniforme igual ao valor no centro do cubo? Solução: (a) Cálculo da energia total armazenada dentro do
cubo l < x, y, z. < 2.
dVEWV
E ∫∫∫= 20
2ε
VE ∇−=
xyzV 20=
zyx azVa
yVa
xVE ˆˆˆ
∂∂
−∂∂
−∂∂
−=
zyx axyz
azxy
ayzx
E ˆ20ˆ20ˆ20222 ++=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= zyx a
za
ya
xxyzE ˆ1ˆ1ˆ120
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++= 222222
2 111400zyxzyx
E
422242224
2 400400400zyxzyxzyx
E ++=
dxdydzzyxzyxzyx
WE ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
2
1
2
1
2
1422242224
0 4004004002ε
dxdydzzyx
WE ∫ ∫ ∫ ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
1
2
1
2
1224
0 4002ε
dxdydzzyx
dxdydzzyx ∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
2
1
2
1
2
1422
02
1
2
1
2
1242
0 4002
4002
εε Fazendo
:
dcc
dbb
daa
dadbdccba ∫∫∫∫ ∫ ∫ =
2
12
2
14
2
12
2
1
2
1
2
1242
1111
2
13
2
1
2
1
2
1242
13111
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡−=∫ ∫ ∫ cba
dadbdccba
2
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −−−=∫ ∫ ∫ 33
22
1
2
1242 )1(3
1)2(3
111
211 dadbdc
cba
2
1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ +−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=∫ ∫ ∫ 3
1241
211 22
1
2
1
2
1242 dadbdc
cba
96712
1
2
1242 =∫ ∫ ∫ dadbdc
cba
2
1
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ++=
967
2967
2967
2400 000 εεε
EW
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
19221400 0ε
EW
W
pJE 1875.387=
32. Na região do espaço livre onde 2 < r < 3,
0,4π < θ < 0,6π 0,4 < f < π/2
Seja rarkE ˆ2= .
(a) Determine um valor positivo para k de forma que a energia total armazenada seja exatamente l J.
(b) Mostre que a superfície é uma superfície equipotencial.
(c) Determine VAB dados os pontos A(r = 2, θ = π/2, f = π/3) e B(r = 3, θ = π/2, f = π/4)
33. Uma esfera de cobre de raio 4 cm possui
uma carga total de 4µC uniformemente distribuída pela sua superfície no espaço livre.
(a) Use a lei de Gauss para determinar D externa à esfera.
(b) Calcule a energia total armazenada no campo eletrostático.
(c) Use C
Q2
2
WE = para calcular a
capacitância da esfera isolada. Solução:
(a) Lei de Gauss para determinar D externa à esfera.
iS
QSdD =⋅∫∫
22
4 rQDQDr i
i ππ =⇒=4
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 37
Potencial Elétrico
ri ar
QD ˆ4 2π
=
22 )104(45)4( −⋅
==π
µcmrD
2410486.2 mCD −⋅= (b) Calcule a energia total armazenada no campo
eletrostático.
dVEWV
E ∫∫∫= 20
2ε
ri ar
QE ˆ4 2
0πε=
( ) 420
22
4 rQE i
πε=
( )dV
rQW
V
iE ∫∫∫=
420
20
42 πεε
∫ ∫ ∫∞
=R
iE drddsenr
rQW
π π
θφθεπ 0
2
0
24
02
2 132
∫∫∫∞
=ππ
φθθεπ
2
002
02
2 132
ddsendrr
QWR
iE
πεπ
4132 0
2
2 ∞
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡−=
R
iE r
QW
RQW i
E0
2
8πε=
( )( ) JWE 8125.2
1048105
20
26
=⋅
⋅= −
−
πε
(c) Cálculo da capacitância da esfera isolada:
( )8125.22
10522
2622
⋅⋅
==⇒=−
EE W
QCC
QW
pFC 444.4625.51025 12
=⋅
=−
34. Dado o campo potencial no espaço livre: V = 80fV (coordenadas cilíndricas), determine: (a) a energia armazenada na região: 2 < r < 4 cm
0 < f < 0,2 π 0 < z < 1 m. (b) a diferença de potencial VAB para A(r = 3 cm, f = 0, z = 0) B(r = 3 cm, f = 0,2 π, z = 1m) (c) o valor máximo de densidade de energia na
região da esférica. 35. Quatro cargas pontuais de 0,8 nC estão
localizadas no vértice de um quadrado de 4 cm de lado. (a) Determine a energia potencial total
armazenada.
(b) Uma quinta carga de 0,8 nC é posicionada no centro do quadrado. Determine novamente a energia total armazenada.
Solução:
(a) Energia potencial total armazenada.
∑=
=
=Nm
mmmE VQ
121W
( )[ ]141312121 VVVQWE ++=
( )[ ]242321221 VVVQ +++
( )[ ]343231321 VVVQ +++
( )[ ]434241421 VVVQ +++
r14 (1) 4cm (4)
r12 r13 4 2 (2) (3)
( ) Jnr
QQ 72
0
2
21
120
212
1 1072.01044
8.04
−− ⋅=
⋅=
πεπε
( ) Jnr
QQ 72
0
2
21
130
312
1 10509.010244
8.04
−−
⋅=⋅
=πεπε
( )77 10509.01072.024 −− ⋅+⋅⋅=EWW
W
JE710796.7 −⋅=
JE µ7796.0=
(b) Com a quinta carga de 0,8 nC posicionada no centro do quadrado.
Energia total armazenada:
( )[ ]15141312121 VVVVQWE +++=
( )[ ]25242321221 VVVVQ ++++
( )[ ]35343231321 VVVVQ ++++
( )[ ]45434241421 VVVVQ ++++
( )[ ]54535251521 VVVVQ ++++
4 2
4 cm 2 2
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 38
Potencial Elétrico
( ) Jnr
QQ 72
0
2
21
150
512
1 10018.110224
8.04
−−
⋅=⋅
=πεπε
77 10018.1810796.7 −− ⋅⋅+⋅=EW
JWE71094.15 −⋅=
JWE µ⋅= 594.1
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 39
Potencial Elétrico
1a Prova (1°S 2005) Questão 1 – (3,0 Pontos)
Uma linha infinita de carga uniforme de densidade rL = +0,4 m.C/m está localizada no eixo z e é concêntrica a uma distribuição superficial de carga cilíndrica infinita de equação r = 4 m e densidade superficial rs = - 0,8 m.C/m2. Considere e = e0.
(a) Determine o vetor campo elétrico E para todo o espaço.
(b) Assumindo que o potencial elétrico seja 0V em r =
2m, encontre o potencial elétrico em r = 1 m e em r = 6m.
Questão 2 – (2,0 Pontos) Considere a densidade volumétrica de carga
20
0
re r
r
v
−
= ρρ existe em todo o espaço livre. Calcule a
carga total presente.
Questão 3 – (3 0 Pontos) A densidade de fluxo elétrico é dada por
,D rar ˆ2= C/m2 e é representada
vetorialmente na figura a seguir. Determine:
(a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m. (b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m. (c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m. (d) a carga que está contida na esfera de r = 4m?
Questão 4 – (2,0 Pontos) A figura mostra a trajetória de um elétron num
tubo de raios catódicos, no qual um elétron deve ser acelerado de 3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s.
(a) Para atingir esta velocidade, através de qual ddp ele deve passar?
(b) Nessas condições, se d = 2 cm calcule o campo elétrico entre as placas.
(c) Qual a densidade de carga superficial na placa?
y0
Gabarito
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 40
Potencial Elétrico
Questão 1 – (3,0 Pontos)
(a) rL = +0,4 m.C/m e r = 4 m e densidade superficial rs = - 0,8 m.C/m2.
Considere e = e0.
⎩⎨⎧
>+<
=⋅⇒=⋅ ∫∫∫∫ 4 se 24 se ρπρρ
ρρLRL
LSdDQSdD
sL
L
Si
S
⎩⎨⎧
>+<
=4 se 2
4 se 2
ρπρρρρ
ρπρ LRLL
LDsL
L
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+
<=
4 se L2
2
4 se L2
ρρππρρ
ρρπ
ρ
ρ LRL
L
DsL
L
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>+
<=
4 se ˆ2
2
4 se ˆ2
ρπρπρρ
ρπρρ
ρ
ρ
aR
aD
sL
L
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
<=
4 se mCˆ2
8,024,0
4 se ˆ2
4,0
2
2
ρµπρπ
ρµπρ
ρ
ρ
aR
mCaD
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
<=
4 se mCˆ2,32,0
4 se ˆ2,0
2
2
ρµπρ
π
ρµπρ
ρ
ρ
a
mCaD
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
<=
4 se mCˆ1363,3
4 se ˆ06366,0
2
2
ρµρ
ρµρ
ρ
ρ
a
mCaD
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>−
<=
4 se mˆ1363,3
4 se ˆ06366,0
0
0
ρρε
ρρερ
ρ
Va
mVa
E
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>⋅−
<=
4 se mVˆ
1054,3
4 se ˆ
22,7193
5 ρρ
ρρ
ρ
ρ
a
mVa
E
(b) Potencial:
∫ ⋅−=−=A
BBAAB LdEVVV
Em r = 1 m:
∫ ⋅−=−= ====
2
1121,2 LdEVVV ρρρρ
∫−=−= ====
2
1121,2
22,7193 ρρρρρρ dVVV
2ln22,7193ln22,71930 2
111,2 −=−=−= === ρρρρ VV
96,49851 −=− =ρV
V96,49851V ==ρ Em r = 6 m:
2446262,6 ======== −+−=−= ρρρρρρρρ VVVVVVV
( )
( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
>⋅−
<=
4 se mVˆ
1054,3
4 se ˆ
22,7193
5 ρρ
ρρ
ρ
ρ
a
mVa
E
∫∫ ⋅−+⋅−===
4
2
6
42,6 ldEldEV ρρ
∫∫ −⋅−−===
4
2
6
4
52,6 22,71931054,3
ρρ
ρρ
ρρddV
∫∫ −⋅===
4
2
6
4
52,6 22,71931054384,3
ρρ
ρρ
ρρddV
2ln22,719346ln1054384,3 5
2,6 −⋅=== ρρV
96,49854202,14369026 −=− == ρρ VV
V4598,1387046V ==ρ
Questão 2 – (2,0 Pontos)
20
0
re r
r
v
−
= ρρV
v∫∫∫= ρe Q dv
φθθρππ
ddrdsenrr
erQrr
22
0 0 020
20
∫ ∫ ∫∞
−
=
dredsend rr
∫∫∫∞ −
=00
2
00
0
ππ
θθφρQ
[ ]∞→
=
−==
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−−=
r
r
rr
er0
0000cos2 πθ
θθπρQ
Q
[ ]000 022 rr +−= πρ
( )Cr 004Q ρπ= Questão 3 – (3,0 Pontos) densidade de fluxo elétrico: rar ˆ2=D C/m2 e é
representada Determine:
(a) a densidade volumétrica de carga em r = 4m.
Dv ⋅∇=ρ
( ) ( )φθ
θθθ
φθ ∂
∂+
∂∂
+∂∂ D
rsensenD
rsenDr
r r111 2
2r
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 41
Potencial Elétrico
Dv ⋅∇=ρ ( )42
1 rrr ∂∂
= 32 41 r
r=
Dv ⋅∇=ρ r4= ; 316 mCv =ρ (b) a densidade de fluxo elétrico em r = 4 m.
raD ˆ42= C/m2 ñ raD ˆ16= C/m2
(c) o fluxo elétrico deixa a esfera de r = 4 m.
iS
QSdD =⋅= ∫∫ψ
rarD ˆ2=
4
0
2
0
22 4 rddrr πθφψπ π
== ∫ ∫
Cππψ 102444 4 == (d) a carga que está contida na esfera de r = 4m?
316 mCv =ρ
CAQ v ππρ 10241644 2 ===
Dv ⋅∇=ρ r4=
φθθππ
ddrdsenrrQ 22
0 0
4
0
4∫ ∫ ∫=
φθθππ
ddrdsenrQ 32
0 0
4
0
4∫ ∫ ∫=
ππ 102444 4 ==Q C
Questão 4 – (2,0 Pontos) 3,0.106 m/s até 8,0.106 m/s. (a) Para atingir esta velocidade, através de qual
ddp ele deve passar? VqW ∆−=
dLaEQdW Lˆ⋅−=
VqW ∆−= = )(21 22
ifc vvmE −=∆
)(21 22
if vvme
V −=∆
))103()108((1031,9106,12
1 26263119 ⋅−⋅⋅
⋅⋅=∆ −
−V
VV 578,156=∆ (b) Nessas condições, se d = 2 cm calcule o campo
elétrico entre as placas. mVdVE /828,702,0578,156 ===
mkVE 83,7= (c) Qual a densidade de carga superficial na placa? No interior:
9,78281085,8 120
0
⋅⋅==⇒= −EE εσεσ
228,69 mnC=σ
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV– 42
Potencial Elétrico
Trabalho: dvV
v∫∫∫= ρQ VqW ∆−=
dLaEQdW Lˆ⋅−= Dv ⋅∇=ρ Energia cinética
Teorema da Divergência (Teorema Gauss): )(
21 22
ifc vvmE −=∆ dVFSdF
VS∫∫∫∫∫ ⋅∇=⋅
Lei de Coulomb Lei de Gauss
122120
2112 ˆ
4a
RQQ
Fπε
= 12
12
12
1212ˆ
rrrr
RR
a−−
== iS
QSdD =⋅= ∫∫ψ ñ 0εi
S
QSdE =⋅∫∫
Teorema da Stokes ( ) ∫∫∫ ⋅=⋅×∇
CS
ldHSdH 2
2120 1085,8
mNC⋅
−⋅=ε
Campo elétrico ( )
304
)(rr
rrQrE′−
′−=
πε Potencial elétrico
∫ ⋅−=−=A
BBAAB LdEVVV
∫∫∫ ′−′−
′−
′′=
v
v
rrrr
rrvdr
rE 204
)()(
πε
ρ
Carga elétrica Sistemas Cartesianas Cilíndricas Esféricas
Relações
P(x, y, z)
P(r, f, z)
22 yx +=ρ
xyarctg=φ
z=z
P(r, f, q)
222 zyxr ++=
xyarctg=φ
zyx
arctg22 +
=θ
Vetor posição zyx azayaxr ˆˆˆ ++= zazar ˆˆ += ρρ rarr ˆ=
Incremento rdLd = zyx adzadyadxLd ˆˆˆ ++=
zadzadadrd ˆˆˆ ++= φρ φρρ
φθ φθθ adrsenardadrrd r ˆˆˆ ++=
Versores
}ˆ,ˆ,ˆ{ zyx aaa ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=+−=+=
zz
yx
yx
aaasenaa
senaaa
ˆˆcosˆˆˆ
ˆcosˆˆφφφφ
φ
ρ
zyxr aasensenasena ˆcosˆˆcosˆ θθφθφ ++=
zyx asenasenaa ˆˆcosˆcoscosˆ θφθφθθ −+=
yx aasena ˆcosˆˆ φφφ +−=
Elemento de Volume
dxdydzdv = dzdddv φρρ= θφθ ddrdsenrdv 2=
DivergenteD⋅∇ z
Dy
Dx
D zyx
∂∂
+∂
∂+
∂∂ ( ) ( )
zDDD z
∂∂
+∂∂
+∂∂
φρ φρρ
ρρ11 ( ) ( )
φθθ
θθφ
θ ∂∂
+∂∂
+∂∂ D
rsensenD
rsenDr
rr r111 2
2
Gradiente
V∇ zyx azVa
yVa
xVV ˆˆˆ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
zazVaVaVV ˆˆ1ˆ∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇ φρ φρρ
φθ φθθaV
rsenaV
ra
rVV r ˆ1ˆ1ˆ
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∇
Rotacional H×∇
xyy
xxx
yz ay
Hx
Ha
zH
zHa
zH
yH ˆˆˆ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
( )z
zz aHH
aH
zH
az
HH ˆ1ˆˆ1⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
φρρ
ρρφρρφ
φρ
ρφ
( ) ( ) ( )
φθ
θφθφ
θφθφθθ
θaH
rrH
ra
rrHH
senraHsenH
rsenrr
r ˆ1ˆ11ˆ1⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂
∂+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂
∂
Laplaciano V2∇ 2
2
2
2
2
2
zV
yV
xV
∂∂
+∂∂
+∂∂
2
2
2
2
211
zVVV
∂∂
+∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
∂∂
φρρρ
ρρ 2
2
2222
2
111φθθ
θθθ ∂
∂+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ V
senrVsen
senrrVr
rr
Eletromagnetismo I – Prof. Dr. Cláudio S. Sartori - CAPÍTULO IV - 1
1
Potencial elétrico
PROCEDIMENTO PARA A ELABORAÇÃO DAS MANOGRAFIAS
1. Elaborar o título. 2. Indicar o material necessário para a
montagem do experimento, se houver necessidade.
3. Diagramatizar o experimento, quando houver.
4. Indicar o conteúdo em papel A4, com folhas numeradas.
5. As monografias serão elaboradas individualmente .
6. As monografias individuais deverão ser entregues até a data solicitada de entrega. Não serão aceitas após a data pedida.
Considerar:
• Ordem e apresentação da monografia. • Conteúdo e apresentação dos dados
experimentais. • Conclusões e discussão dos resultados.
No mínimo, para cada monografia deve sempre conter:
1. Título , data de realização e
colaboradores; 2. Objetivos e importância do tema
pesquisado; 3. Roteiro dos procedimentos
experimentais, quando houver. 4. Esquema do aparato utilizado, quando
houver; 5. Descrição dos principais instrumentos e
equipamentos existentes; 6. Dados medidos; 7. Cálculos;
8. Gráficos; 9. Resultados e conclusões.