Eletromagnetismo I NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física...
Transcript of Eletromagnetismo I NUSSENZVEIG, H. M. Curso de Física...
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
1
1
Eletromagnetismo I
Ementa
1 - Carga e Mateacuteria
Quantizaccedilatildeo da carga eleacutetrica Conservaccedilatildeo da
carga eleacutetrica A lei de Coulomb Condutores e
isolantes
2 -Campo Eleacutetrico e Lei de Gauss 3 -Potencial Eleacutetrico Blindagem Efeito das
Pontas 4 - Capacitacircncia e Energia Eletrostaacutetica
Capacitacircncia Dieleacutetricos Energia Eletrostaacutetica
5 - Corrente e Resistecircncia Eleacutetrica Definiccedilatildeo de Corrente Condutividade e Resistividade Materiais Ohmicos
6 - Campo Magneacutetico de Correntes Estacionaacuterias e Lei de Ampere
Definiccedilatildeo de Campo Magneacutetico
Lei de Biot-Savart
Lei de Ampere
Energia Magneacutetica 7 - Induccedilatildeo Magneacutetica e Lei de Faraday-
Lenz Indutacircncia Motores Geradores 8 - Circuitos Eleacutetricos
Medida de Corrente e Diferenccedila de Potencial
Forccedila Eletromotriz
Leis de Kirchoff e dos Noacutes
Circuitos RC e RLC
Circuitos AC
Transformadores
Obietivos (ao teacutermino da disciplina o
aluno devera ser capaz de) Compreender os principais fenocircmenos
eletromagneacuteticos Conhecer as principais leis do
eletromagnetismo e resolver problemas envolvendo
circuitos eleacutetricos
Notas de aula baseada na
BIBLIOGRAFIA BAacuteSICA
RESN1CK R HALLIDAY D KLRANE K
Fiacutesica 3 5ed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e
Cientiacuteficos 2003
HALLIDAY D RESNICKR WALKER J
Fundamentos de Fiacutesica 6ed Rio de Janeiro
Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2002 v3
TIPLER P A Fiacutesica para Cientistas e
Engenheiros Eletricidade Magnetismo e Oacutetica
Rio de Janeiro Livros
Teacutecnicos e Cientiacuteficos 2000
YOUNG H D FREEDMAN R A Fiacutesica III
Pearson 2004
ALONSO M FINN E J Fiacutesica Um Curso
Universitaacuterio 2ed Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher
Ltda 2002 v2
NUSSENZVEIG H M Curso de Fiacutesica Baacutesica
Eletromagnetismo Satildeo Paulo Edgard Bluumlcher Ltda
2002
Bibliografia complementar
HAYT Jr W H Eletromagnetismo 4ordfed e
6ordfed Rio de Janeiro Livros Teacutecnicos e Cientiacuteficos
Editora 1994
KRAUS J D FLEISCH D A
Electromagnetics with Appiications New York
McGraw-Hill 1992
EDMINISTER J A Eletromagnetismo
Satildeo Paulo McGraw-Hill do Brasil 1980
SEELY S Introduction Electromagnetic
Fields Tokyo Kogakusha Company Ltd
Intemational Student Edition
1958
HELD M A MARION J B Classical
Eletromagnetic Radiation 3ed PhiladelfiaUSA
Harcout Brace ampCompany 1995
CRITEacuteRIOS DE AVALIACcedilAtildeO DA
APRENDIZAGEM
Provas escritas
Peso de provas p
Peso de trabalhos t
Peso de relatoacuterios r
Onde Mp eacute a meacutedia aritmeacutetica das notas
obtidas pelo aluno nas provas e Mr a meacutedia
aritmeacutetica das notas dos trabalhos Durante o
semestre aleacutem de duas provas individuais
obrigatoacuterias seraacute ofertada a todos os alunos uma
terceira prova cuja realizaccedilatildeo obrigatoacuteria para quem
natildeo totalizou os pontos
Nota bimestral
b P T rN pN tN rN
p = 07 r = 025 t = 005
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
2
2
Introduccedilatildeo
A carga eleacutetrica
O termo eletricidade vem da palavra grega
elektron que significa acircmbar resina que quando
atritada com latilde provoca atraccedilatildeo em palha fenocircmeno
conhecido desde a antiguidade Pode-se considerar
que os conhecimentos sobre a eletricidade tiveram
seu iniacutecio em 600 AC quando Thales de Mileto
verificou que um bastatildeo de acircmbar (uma resina
foacutessil) atritado atraiacutea pequenos fragmentos de palha
Aliaacutes a origem da palavra estaacute no grego elektron
que significava acircmbar amarelo
A evoluccedilatildeo das constataccedilotildees de Mileto
levou agrave conclusatildeo da existecircncia de cargas eleacutetricas
que podem ser de duas espeacutecies positiva e negativa
Entre cargas da mesma espeacutecie ocorre uma repulsatildeo
e entre espeacutecies diferentes uma atraccedilatildeo
No final do seacuteculo XIX e iniacutecio do seacuteculo
XX diversos experimentos realizados por fiacutesicos
que descreveremos mais adiante demonstraram que
a mateacuteria possui massa e ocupa lugar no espaccedilo
sendo constituiacuteda por partiacuteculas muito pequenas
chamadas de aacutetomos e estes por sua vez satildeo
constituiacutedos por proacutetons e necircutrons situados no
nuacutecleo e eleacutetrons que orbitam o nuacutecleo em camadas
definidas
A descoberta do eleacutetron
A existecircncia do eleacutetron foi postulada por G
Johnston e Stoney como uma unidade de carga no
campo da eletroquiacutemica O eleacutetron foi descoberto
por Thomson em 1897 no Laboratoacuterio Cavendish
da Universidade de Cambridge enquanto estudava o
comportamento dos raios catoacutedicos Influenciado
pelo trabalho de Maxwell e o descobrimento dos
raios X deduziu que no tubo de raios catoacutedicos
existiam partiacuteculas com carga negativa que
denominou de corpuacutesculos Ainda que Stoney haja
proposto a existecircncia do eleacutetron foi Thomson quem
descobriu seu caraacuteter de partiacutecula fundamental Para
confirmar a existecircncia do eleacutetron era necessaacuterio
medir suas propriedades em especial a sua carga
eleacutetrica Este objetivo foi alcanccedilado por Millikan
atraveacutes da ceacutelebre experiecircncia da gota de oacuteleo
realizada em 1909
George Paget Thomson filho de JJ
Thomson demonstrou a natureza ondulatoacuteria do
eleacutetron provando a dualidade onda-partiacutecula
postulada pela mecacircncica quacircntica Esta descoberta
lhe valeu o Precircmio Nobel de fiacutesica de 1937
O spin do eleacutetron foi observado pela
primeira vez pela experiecircncia de Stern-Gerlach Sua
carga eleacutetrica pode ser medida diretamente atraveacutes
de um eletrocircmetro e a corrente gerada pelo seu
movimento com um galvanocircmetro
Os raios catoacutedicos satildeo de eleacutetrons que
atravessam um tubo com gaacutes em baixa pressatildeo entre
dois poacutelos que produzem luminosidade de acordo
com a pressatildeo Para chegar a conclusatildeo de que os
gases quando submetidos a baixa pressatildeo podem
conduzir eletricidade Henrich Geissler (1859)
Johann Hittorf (1896) e Willian Crookes (1886)
utilizaram o chamado tubo de raios catoacutedicos Esse
aparelho eacute formado por uma ampola de vidro ligada
a uma bomba de vaacutecuo que tem por utilidade
diminuir a pressatildeo interna Nas duas pontas do tubo
haacute extremidades metaacutelicas (eletrodos) ligadas a uma
bateria
Quando a pressatildeo interna chega a um
deacutecimo da pressatildeo ambiente o gaacutes que existe entre
os eletrodos passa a emitir uma luminosidade
Quando a pressatildeo diminui ainda mais (100 mil
vezes menor que a pressatildeo ambiente) a
luminosidade desaparece restando uma mancha
luminosa atraacutes do poacutelo positivo
Cientistas atribuiacuteram essa mancha a raios
provenientes do poacutelo negativo (catodo) Entatildeo foram
denominados raios catoacutedicos Os raios catoacutedicos
nada mais satildeo do que feixes de eleacutetrons que
atravessam o tubo Satildeo comumente encontrados em
aparelhos de televisatildeo e monitores de
microcomputadores
Nas ruas podemos encontraacute-los em alguns
letreiros As cores desses raios dependem do gaacutes
usado Com algumas modificaccedilotildees nos tubos os
raios catoacutedicos datildeo origem a outros tipos de luzes
como por exemplo
Luminosos de neacuteon o gaacutes usado
eacute o neocircnio Eacute usado em letreiros publicitaacuterios
Luminosos de soacutedio o gaacutes usado
eacute o vapor de soacutedio Confere uma luminosidade
amarela caracteriacutestica Eacute usado em iluminaccedilotildees de
vias puacuteblicas e tuacuteneis
Lampadas fluorescentes de
mercuacuterio o gaacutes usado eacute vapor de mercuacuterio Emite
uma luz violeta e ultravileta (luz negra) Eacute revestida
com uma tinta fluorescente (a base de foacutesforo) que
absorve a luz emitida e reemite como luz branca
Satildeo usadas em residecircncias vias puacuteblicas
escritoacuterios etc
Joseph John Thomson Origem (Wikipeacutedia a
enciclopeacutedia livre)
Fiacutesico britacircnico nascido em Manchester em 1856 e
falecido em Cambridge em 1940 Formou-se em Cambridge em 1884 onde foi professor de Fiacutesica Experimental e diretor do
Laboratoacuterio Cavendish ateacute se jubilar em 1919 Mediu pela
primeira vez a carga especiacutefica do eleacutetron em 1897 e mostrou que o efeito termiocircnico eacute devido a eleacutetrons Pela accedilatildeo de campos
eleacutetricos e magneacuteticos sobre um feixe de iacuteons de neacuteon verificou
em 1913 a existecircncia de isoacutetopos em elementos natildeo radioactivos descobrindo o meacutetodo das paraacutebolas Foi-lhe atribuiacutedo o
Precircmio Nobel de Fiacutesica em 1906 por investigaccedilotildees teoacutericas e
experimentais sobre a passagem da eletricidade atraveacutes dos gases
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
3
3
Figura 1 ndash a) JJ Thomson el seu laboratoacuterio (a)
utilizando o tubo de raios catoacutedicos (b) onde constatou a deflexaatildeo de raios catoacutedicos apoacutes aplicar um campo eleacutetrico entre
as placas Q e E (c)
a)
b)
c)
A experiecircncia da gota de oacuteleo de
Millikan
A experiecircncia de Millikan foi a primeira e
direta medida experimental da carga de um eleacutetron
Foi realizada em 1909 pelo fiacutesico
americano Robert A Millikan que construiu um
dispositivo capaz de medir a carga eleacutetrica presente
em gotas de oacuteleo demonstrando a natureza discreta
da carga do eleacutetron e medindo-a pela primeira vez
A montagem de Millikan eacute mostrada na
figura 2 Duas placas metaacutelicas rigorosamente
paralelas e horizontais satildeo isoladas e afastadas entre
si por uma distacircncia de alguns miliacutemetros
EQ
f
Q lt 0
Tv
gm
Figura 2 ndashAparato construiacutedo por Millikan para
medida da carga eleacutetrica
Espalhando as gotiacuteculas de oacuteleo por um
atomizador sobre a placa superior algumas das
gotiacuteculas caem atraveacutes de um pequeno furo existente
nessa placa Um feixe de luz eacute dirigido
horizontalmente entre as placas e uma luneta eacute
instalada com seu eixo perpendicular ao feixe As
gotiacuteculas de oacuteleo observadas pela luneta quando
iluminadas pelo feixe de luz aparecem como
pequeninas estrelas brilhantes caindo lentamente
com velocidade terminal constante dada pelo seu
peso e pela forccedila viscosa da resistecircncia do ar que se
opotildees ao movimento Verifica-se que algumas das
gotiacuteculas de oacuteleo se encontram eletrizadas
presumivelmente devido a efeitos de atrito Pode-se
tambeacutem carregar as gotiacuteculas ionizando-se o ar no
interior da cacircmara por meio de raio X ou com ums
pequena quantidade de material radioativo Dessa
maneira alguns eleacutetrons ou iacuteons colidem com as
gotiacuteculas de oacuteleo e satildeo por elas capturadas As
gotiacuteculas tecircm normalmente carga negativa mas
ocasionalmente pode-se encontrar uma ou outra
gotiacutecula com carga positiva
O meacutetodo mais simples da medida da carga
numa gota consiste em supor que a gotiacutecula possui
uma carga negativa e que as placas sejam mantidas a
uma diferenccedila de potencial constante tal que o
campo eleacutetrico eacute dirigido para baixo Assim a forccedila
eleacutetrica sobre a gotiacutecula eacute para cima Ajustando-se o
campo eleacutetrico E pode-se fazer com que a forccedila
eleacutetrica se iguale ao peso de modo a manter a gota
em repouso (Figura 2 (b)) Assim
E
gmQgmEQPFe 0
1
Como a massa da gota eacute a sua densidade
multiplicada pelo volume 3
34 Rm 2
O Campo eleacutetrico eacute dado pela diferenccedila de
potencial U dividida pela distacircncia entre as placas l
l
UE 3 Substituindo 2 e 3 em 1
teremos
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
4
4
U
glRQ
3
34
4
Todas essas quantidades podem ser
medidas com exceccedilatildeo do raio da gota que eacute muito
pequeno para ser medido da ordem de 10-5
cm
Pode-se calculaacute-lo desligando-se o campo eleacutetrico e
medindo-se a velocidade terminal vT da gotaquando
esta cai por uma distacircncia d A velocidade terminal
ocorre quando o peso eacute igual agrave forccedila viscosa f sobre
a gota dada pela Lei de Stokes
vRf 6
Montando a segunda lei de Newton
teremos
gRRvmgvRPf T
3
3466
g
vR T
23 5
Substituindo 5 em 4 teremos
g
v
U
lQ T
218
33
Millikan e seus colaboradores mediram as
cargas de alguns milhares de gotas e concluiacuteram
que dentro dos limites de seus erros experimentais
cada gota possuiacutea uma carga igual a um muacuteltiplo
inteiro de certa carga baacutesica e isto eacute haviam
observadas gotas com cargas 2e 3e 4e A conclusatildeo
que se chega eacute que a carga eacute muacuteltipla da carga e O
melhor valor experimental jaacute medido para e eacute
Ce 19106021921
Experimento de Rutherford
As partiacuteculas alfa (nuacutecleos de aacutetomos de
heacutelio 24
) de uma fonte radioativa foram usadas para
golpear uma folha fina do ouro As partiacuteculas alfa
produzem um pequeno flash minuacutesculo mas visiacutevel
de luz quando golpeiam uma tela fluorescente
Espantosamente as partiacuteculas de alfa foram
encontradas em acircngulos grandes da deflexatildeo e
algumas foram encontradas para traacutes ao serem
dispersas
Figura 3 ndash Aparato experimental do Experimento de
Rutherford Esta experiecircncia mostrou que a mateacuteria
positiva nos aacutetomos estaacute concentrada em um volume
muitiacutessimo pequeno e deu o nascimento agrave ideacuteia do
aacutetomo nuclear Assim representou um dos maiores
avanccedilos na nossa compreensatildeo da natureza
Se a folha do ouro possuir espessura de 1
microcircmetro (1 m) usando o diacircmetro do aacutetomo do
ouro da tabela perioacutedica sugere que a folha eacute possui
aproximadamente 2800 aacutetomos
O tamanho do nuacutecleo do aacutetomo comparado
ao tamanho do aacutetomo em que reside eacute pequeno Por
exemplo o espaccedilo dentro de um aacutetomo pode ser
comparado ao espaccedilo no sistema solar em um
modelo em escala como mostrado na figura
anterior Escolhendo o nuacutecleo de ouro o raio
atocircmico eacute 18000 vezes o tamanho do nuacutecleo Esta
disparidade no tamanho foi descoberta
primeiramente com o espalhamento de partiacuteculas
alfa realizado por Rutherford em folhas finas do
ouro A extremidade desta comparaccedilatildeo do espaccedilo eacute
destacada pelo fato que um aacutetomo com nuacutemeros
iguais dos necircutrons e dos proacutetons o nuacutecleo
compreende aproximadamente 9997 da massa do
aacutetomo
Eacute interessante observar alguns aspectos
como a ordem de grandeza do tamanho do aacutetomo
que eacute em torno de Angstron
mA 100
101
Jaacute a ordem de grandeza do tamanho do
nuacutecleo eacute da ordem de fentocircmetro usualmente
chamado Fermi
mfm 1 5101
As massas nucleares satildeo medidas em
termos da unidade de massa atocircmica com o nuacutecleo
de carbono 12 definido como tendo uma massa de
exatamente 12 uma
kguma 2710660541 1
Para termos uma ideacuteia das dimensotildees do
sistema atocircmico comparada com o sistema Solar
mostramos alguns dados na tabela abaixo
Modelo de Escala Relativa de um aacutetomo
e o sistema solar
Nessa escala a proacutexima estrela estaria a
aproximadamente 10000 milhas distante
(Figura extraiacuteda de httphyperphysicsphy-
astrgsuedu) Figura 4 ndash Comparaccedilatildeo do modelo atocircmico e sistema
solar
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
5
5
H1
1008
Li3
694
Na11
230
K19
391
Rb37
855
Cs55
1329
Fr87
223
Be4
901
Ca20
401
Sr38
876
Mg12
243
Ra88
226
Ba56
1373
Sc21
449
Y39
889 lantaniacute-deos
actiniacute-dios
Ti22
479
Zr40
912
Hf72
1785
Unq104
V23
509
Nb41
929
Ta73
1809
Unp105
Cr24
520
Mo42
959
W74
1838
Unh106
Mn25
549
Tc43
989
Re75
1862
Uns107
Fe26
558
Ru44
1011
Os76
1902
Uno108
Co27
589
Rh45
1029
Ir77
1922
Une109
Ni28
587
Pd46
1064
Pt78
1951
Cu29
635
Ag47
1079
Au79
1970
Zn30
654
Cd48
1124
Hg80
2006
B5
108
Al13
270
Ga31
697
In49
1148
Tl81
2044
C6
120
Si14
281
Ge32
726
Sn50
1187
Pb82
2072
N7
140
P15
310
As33
749
Sb51
1218
Bi83
2090
O8
160
S16
321
Se34
789
Te52
1276
Po84
209
F9
190
Cl17
355
Br35
799
I53
1269
At85
210
He2
400
Ne10
202
Ar18
399
Kr36
838
Xe54
1313
Rn86
222
Seacuterie dos lantaniacutedeos
Seacuterie dos actiniacutedios
La57
1389Ce58
1401Pr59
1409Nd60
1442Pm61
145Sm62
1504Eu63
1520Gd64
1573Tb65
1589Dy66
1625Ho67
1649Er68
1673
Tm69
1689Yb70
1730Lu71
1750
Ac89
2270Th90
2320Pa91
2310U92
2380Np93
2370Pu94
2440Am95
243Cm96
2470Bk97
2470Cf98
2510Es99
2520Fm100
2570Md101
2580No102
2590Lr103
2600
1A
2A
3B 4B 5B 6B 7B 8B 8B 8B 1B 2B
Elementos de transiccedilatildeo externa
Elementos de transiccedilatildeo interna
3A 4A 5A 6A 7A
0
siacutembolo
nuacutemero atocircmico
massa atocircmica
Dados do Modelo Comparativo Aacutetomo de Ouro Densidade nuclear 21017
kgm3
Densidade (material) 1932
gcm3
Massa Atocircmica 196 uma (1
mole = 19697 g)
1 uma = 166 10-27kg Nuacutemero de Avogadro
6021023 aacutetomosmole
Raio atocircmico 1310 -10m Raio nuclear 7310-15 m
Sistema Solar
Raio do Sol 695000 km Raio da Terra 6376 km
Distacircncia Sol-Terra 15010 6
km
Distacircncia Sol-Plutatildeo
5900106km
Alguns experimentos realizados
(espalhamento) sugerem que o nuacutecleo tem a forma
aproximadamente esfeacuterica e possui essencialmente a
mesma densidade Manteacutem-se unido devido a
existecircncia da chamada forccedila nuclear forte existente
entre quaisquer pares de partiacuteculas nucleares
(proacutetons ou necircutrons) ou nuacutecleons O nuacutemero de
proacutetons eacute chamado de nuacutemero atocircmico (Z) e
determina o elemento quiacutemico
Figura 4 ndash Tabela perioacutedica dos elementos
O nuacutecleo de um dado elemento (mesmo
nuacutemero atocircmico Z) pode ter diferentes nuacutemeros de
necircutrons Satildeo tratados como isoacutetopos do elemento
Os aacutetomos satildeo constituiacutedos por partiacuteculas
subatocircmicas eleacutetrons proacutetons e necircutron O eleacutetron
possui a carga negativa (-e) unidade de carga
fundamental da eletricidade Os eleacutetrons giram em
torno do nuacutecleo ou centro do aacutetomo em trajetoacuterias
de camadas concecircntricas ou oacuterbitas como
mostramos na figura 5 O proacuteton possui a carga
positiva (+e) Os proacutetons satildeo encontrados no nuacutecleo
O nuacutemero de proacutetons dentro do nuacutecleo de qualquer
aacutetomo especiacutefico determina o elemento e o nuacutemero
atocircmico Z
Por exemplo o aacutetomo de siliacutecio tem 14
proacutetons no seu nuacutecleo e portanto o nuacutemero atocircmico
do siliacutecio eacute 14 O necircutron que eacute a carga neutra fun-
damental da eletricidade tambeacutem eacute encontrado no
nuacutecleo
Figura 5 ndash Representaccedilatildeo de um aacutetomo e suas
dimensotildees
As massas nucleares satildeo medidas nos
termos de unidades maciccedilas atocircmicas com o nuacutecleo
do carbono-12 definido como tendo uma
exatamente 12 Eacute tambeacutem praacutetica comum citar a
chamada energia de repouso E = m0c2) A
correspondecircncia da energia de repouso a uma eacute
MeVkgu 494931106605411 27
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 6
6
6
A Carga eleacutetrica
Como certos aacutetomos satildeo capazes de ceder eleacutetrons
e outros capazes de receber eleacutetrons eacute possiacutevel produzir
uma transferecircncia de eleacutetrons de um corpo para outro
Quando isto ocorre a distribuiccedilatildeo igual das cargas
positivas e negativas em cada corpo deixa de existir
Portanto um corpo conteraacute um excesso de eleacutetrons e a
sua carga teraacute uma polaridade eleacutetrica negativa ou
menos (-) O outro corpo conteraacute uma deficiecircncia de
eleacutetrons ou um excesso de proacutetons e a sua carga teraacute
uma polaridade positiva ou mais (+)
Quando um par de corpos conteacutem a mesma carga
isto eacute ambas positivas (+) ou ambas negativas (-) diz-
se que os corpos tecircm cargas iguais Quando um par de
corpos conteacutem cargas diferentes isto eacute um corpo eacute
positivo (+) enquanto o outro eacute negativo (-) diz-se que
eles apresentam cargas desiguais ou opostas
A lei das cargas eleacutetricas pode ser enunciada da
seguinte forma
Quantizaccedilatildeo das cargas eleacutetricas
A mateacuteria eacute constituiacuteda por aacutetomos que satildeo
eletricamente neutros Os aacutetomos de elementos
diferentes diferem entre si pelo nuacutemero de eleacutetrons e de
proacutetons que contecircm No seu estado natural um aacutetomo
de qualquer elemento conteacutem um nuacutemero igual de
eleacutetrons e de proacutetons Como a carga negativa (-) de cada
eleacutetron tem o mesmo valor absoluto que a carga positiva
(+) de cada proacuteton as duas cargas opostas se cancelam
Um aacutetomo nestas condiccedilotildees eacute eletricamente neutro ou
estaacute em equiliacutebrio
Cada aacutetomo tem um pequenino nuacutecleo de
massa notaacutevel constituiacutedo por proacutetons e necircutrons
Como vimos anteriormente a experiecircncia de Millikan
comprovou que toda carga existente na natureza eacute
muacuteltipla da carga eleacutetrica fundamental que
denominamos de e e vale
Ce 191061
Onde C eacute a unidade no sistema internacional de
carga eleacutetrica denominada de Coulomb
A carga do proacuteton q p e a carga do eleacutetron qe
satildeo dadas por
Ceqp
191061
Ceqe
191061
Assim qualquer corpo carregado na natureza
possui um nuacutemero inteiro da carga eleacutetrica fundamental
resultado conhecido como a quantizaccedilatildeo da carga
eleacutetrica
3210nenQ
Exemplo 2 - Descreva os dois aacutetomos mais simples
O aacutetomo mais simples eacute o aacutetomo de hidrogecircnio que
conteacutem l proacuteton no seu nuacutecleo em equiliacutebrio com l eleacutetron que gira em
tomo do nuacutecleo O aacutetomo seguinte mais simples eacute o aacutetomo de heacutelio que possui 2 proacutetons no seu nuacutecleo equilibrados por 2 eleacutetrons
orbitando em tomo do nuacutecleo
Niels Bohr postulou que no aacutetomo existem
niacuteveis de energias permitidos ou seja ocorrem as
chamadas camadas de energia e existe uma ldquocotardquo de
eleacutetrons permitida em cada camada Quando a camada
mais externa de um aacutetomo tem um deacuteficit na sua cota de
eleacutetrons ela pode ganhar ou perder eleacutetrons Se um
aacutetomo perder um ou mais eleacutetrons da sua camada mais
externa o nuacutemero de proacutetons supera o nuacutemero de
eleacutetrons e o aacutetomo passa a conter uma carga eleacutetrica
efetiva positiva Nestas condiccedilotildees o aacutetomo eacute chamado
de iacuteon positivo (caacutetion) Se um aacutetomo ganhar eleacutetrons a
sua carga eleacutetrica efetiva torna-se negativa O aacutetomo eacute
entatildeo chamado de iacuteon negativo (acircnion) O processo em
que os aacutetomos recebem ou cedem eleacutetrons eacute chamado de
ionizaccedilatildeo
Assim a energia total que o eleacutetron pode ter eacute
definida em valores discretos e portanto ele soacute pode
ocupar determinadas oacuterbitas ou niacuteveis de energia Os
niacuteveis possiacuteveis satildeo sete e estatildeo representados na figura
6
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons que cada niacutevel
pode ter eacute limitado segundo o princiacutepio de exclusatildeo de
Pauli e eacute dado por 2n2 onde n eacute o nuacutemero do niacutevel
Assim o niacutevel 1 poderaacute no maacuteximo 2 o niacutevel 2 no
maacuteximo 8 e assim sucessivamente
Figura 6 ndash Representaccedilatildeo dos niacuteveis de energia de um
aacutetomo
Eacute regra geral na natureza a estabilizaccedilatildeo na
menor energia possiacutevel Assim os niacuteveis satildeo
preenchidos na sequumlecircncia do menor para o maior e um
niacutevel soacute poderaacute conter eleacutetrons se o anterior estiver
completo A Figura 6 mostra isso
Os eleacutetrons em cada niacutevel ocupam subniacuteveis e
cada um pode conter um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons e
satildeo de forma similar preenchidos do menor para o
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 7
7
7
maiorOs subniacuteveis satildeo designados pelas letras s p d e f
e os valores maacuteximos satildeo respectivamente 2 6 10 e 14
Evidente que por exemplo o niacutevel 1 soacute pode
ter o subniacutevel s pois o nuacutemero maacuteximo do niacutevel eacute 2 Jaacute
o niacutevel 2 pode ter os subniacuteveis s e p e assim
sucessivamente
A figura 7 daacute o exemplo da distribuiccedilatildeo dos
eleacutetrons em um aacutetomo de cobre nuacutemero atocircmico 29
O niacutevel mais externo (4 neste exemplo) eacute
chamado de niacutevel de valecircncia e os eleacutetrons presentes
nele satildeo os eleacutetrons de valecircncia
O nuacutemero de eleacutetrons de valecircncia eacute um fator
importante do elemento Ele define a capacidade do
aacutetomo de ganhar ou perder eleacutetrons e de se combinar
com outros elementosMuitas das propriedades quiacutemicas
e eleacutetricas dependem da valecircnciaA convenccedilatildeo adotada
para a representaccedilatildeo graacutefica da distribuiccedilatildeo de eleacutetrons
no aacutetomo do elemento eacute a indicaccedilatildeo sequumlencial dos
niacuteveis e respectivos subniacuteveis com o nuacutemero de
eleacutetrons de cada subniacutevel colocado na forma de
expoente Para este caso do cobre
1s22s
22p
63s
23p
63d
104s
1
Figura7 ndashConfiguraccedilatildeo eletrocircnica para o aacutetomo de cobre
Exemplo 1 - Descreva o que ocorre com o aacutetomo
de cobre quando ele perde um eleacutetron da sua camada
mais externa
O aacutetomo de cobre toma-se um iacuteon positivo com
uma carga efetiva de +1
Quanto as partiacuteculas fundamentais teremos
para a Carga eleacutetrica
Natureza Valor
relativo
Massa
relativa
Proacuteton Positiva +1e 1
Necircutron Natildeo
existe 0 1
Eleacutetron Negativa -1e 11836
As Camadas eletrocircnicas
Os eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos em camadas ou niacuteveis de
energia
nuacutecleo
camada
K L M N O P Q
1 2 3 4 5 6 7
niacutevel
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons nas camadas ou
niacuteveis de energia
K L M N O P Q
2 8 18 32 32 18 2
Subniacuteveis de energia
As camadas ou niacuteveis de energia satildeo formados de
subcamadas ou subniacuteveis de energia designados pelas
letras s p d f
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons 2 6 10 14
Os subniacuteveis conhecidos em cada niacutevel de
energia
Subniacutevel 1s 2s
2p
3s
3p
3d
4s
4p
4d
4f
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
Niacutevel 1 2 3 4 5 6 7
K L M N O P Q
Subniacuteveis em ordem crescente de energia
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d
Preenchimento dos subniacuteveis
Os subniacuteveis satildeo preenchidos sucessivamente
na ordem crescente de energia com o nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons possiacutevel em cada subniacutevel (Regra de
aufbau)Os nuacutemeros quacircnticos indicam a energia do
eleacutetron no aacutetomo e a regiatildeo de maacutexima probabilidade de
se encontrar o eleacutetron
O nuacutemero quacircntico principal (n) indica o
niacutevel de energia Varia de n = 1 a n = 7
respectivamente no 1ordm 2ordm 3ordm niacutevel de energia
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 8
8
8
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons em cada niacutevel eacute
dado por 2n2 Entre os aacutetomos conhecidos no estado
fundamental o nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons num mesmo
niacutevel eacute 32
O nuacutemero quacircntico secundaacuterio ou azimutal
(l) indica a energia do eleacutetron no subniacutevel Nos aacutetomos
conhecidos no estado fundamental haacute quatro subniacuteveis
representados por s p d f em ordem crescente de
energia
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero
quacircntico
azimutal
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
Orbitais
Os subniacuteveis satildeo formados de orbitais Orbital
eacute a regiatildeo da eletrosfera onde haacute maior probabilidade de
estar localizado o eleacutetron do aacutetomo O nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons em cada orbital eacute 2A cada orbital foi
atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico magneacutetico (m) cujo valor
varia de -l a +l passando por zero
subniacutevel s um soacute orbital s (0)
subniacutevel p trecircs orbitais p (-1) (0) (+1)
subniacutevel d cinco orbitais d (-2) (-1) (0) (+1) (+2)
subniacutevel f sete orbitais f
(-3) (-2) (-1)
(0)
(+1) (+2) (+3)
O orbital s tem forma esfeacuterica Os orbitais p
tecircm forma de duplo ovoacuteide e satildeo perpendiculares entre
si (estatildeo dirigidos segundo trecircs eixos ortogonais x y e
z)
Spin
Spin eacute o movimento de rotaccedilatildeo do eleacutetron em
torno de seu eixo Pode ser paralelo ou antiparalelo A
cada um deles foi atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico + 12
e -12
Princiacutepio da exclusatildeo de Pauli
Em um mesmo aacutetomo natildeo existem dois
eleacutetrons com quatro nuacutemeros quacircnticos iguais
Como consequumlecircncia desse princiacutepio dois
eleacutetrons de um mesmo orbital tecircm spins opostos
Um orbital semicheio conteacutem um eleacutetron
desemparelhado um orbital cheio conteacutem dois eleacutetrons
emparelhados (de spins opostos)
Regra de Hund
Ao ser preenchido um subniacutevel cada orbital
desse subniacutevel recebe inicialmente apenas um eleacutetron
somente depois de o uacuteltimo orbital desse subniacutevel ter
recebido seu primeiro eleacutetron comeccedila o preenchimento
de cada orbital semicheio com o segundo eleacutetron
Eleacutetron de maior energia ou eleacutetron de
diferenciaccedilatildeo eacute o uacuteltimo eleacutetron distribuiacutedo no
preenchimento da eletrosfera de acordo com as regras
estudadas
Um aacutetomo estaacutevel (neutro) possui uma certa
quantidade de energia que eacute igual agrave soma das energias
dos seus eleacutetrons Os eleacutetrons por sua vez possuem
energias diferentes chamadas de niacuteveis de energia O
niacutevel de energia de um eleacutetron eacute proporcional a sua
distacircncia do nuacutecleo Portanto os niacuteveis de energia de
eleacutetrons em camadas mais afastadas do nuacutecleo satildeo
maiores do que os de eleacutetrons em camadas mais
proacuteximas do nuacutecleo Os eleacutetrons situados na camada
mais externa satildeo chamados de eleacutetrons de valecircncia
Quando se aplica a certos materiais energia externa
como calor luz ou energia eleacutetrica os eleacutetrons adquirem
energia Isto pode fazer com que o eleacutetron se desloque
para um niacutevel de energia mais alto Diz-se que um
aacutetomo em que isto aconteceu estaacute num estado excitado
Um aacutetomo num estado excitado eacute instaacutevel
Ao ser deslocado para a camada mais externa
do aacutetomo o eleacutetron sofre a miacutenima atraccedilatildeo possiacutevel
pelas cargas positivas dos proacutetons dentro do nuacutecleo do
aacutetomo Se for aplicada ao aacutetomo uma energia suficiente
alguns dos eleacutetrons de valecircncia ou da camada mais
externa abandonaratildeo o aacutetomo Estes eleacutetrons satildeo
chamados de eleacutetrons livres Eacute o movimento dos
eleacutetrons livres que produz a corrente eleacutetrica num
condutor metaacutelico
Cada camada de um aacutetomo pode conter somente um
certo nuacutemero de eleacutetrons Este nuacutemero eacute chamado de
cota da camada Os eleacutetrons em oacuterbita encontram-se em
camadas sucessivas denominadas pelas letras K L M
N O P e Q cada uma delas mais afastada do nuacutecleo
Cada camada conteacutem um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons
para a condiccedilatildeo de estabilidade (Fig 1-3) Depois da
camada K ter sido preenchida com 2 eleacutetrons a camada
L pode conter ateacute 8 eleacutetrons O nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons nas camadas restantes pode ser de 8 18 ou 32
conforme o elemento Entretanto para a camada mais
externa o nuacutemero maacuteximo eacute sempre 8
Exemplo 3 - Mostre a estrutura do aacutetomo de cobre identificando
suas camadas de energia
No aacutetomo de cobre haacute 29 proacutetons no nuacutecleo contrabalanceados
pecirclos 29 eleacutetrons orbitais Os 29 eleacutetrons preenchem a camada K com
2 eleacutetrons e a camada L com 8 eleacutetrons Os 19 eleacutetrons restantes preenchem a camada M com 18 eleacutetrons e consequumlentemente sobra l
eleacutetron que fica na camada N mais externa
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 9
9
9
Se a cota da camada mais externa de um aacutetomo for
preenchida diz-se que o elemento formado por tais
aacutetomos eacute inerte ou estaacutevel
Conservaccedilatildeo da Carga
Quando esfregamos dois corpos um deles fica
com excesso de eleacutetrons e carregado com carga
negativa e o outro com falta de eleacutetrons e carregado
com carga positiva A carga liacutequida dos dois corpos
permanece constante ou seja a carga se conserva
A Lei da conservaccedilatildeo da carga eacute uma Lei
fundamental na Natureza
Condutores e Isolantes
Em muitos materiais por exemplo cobre e
outros metais os eleacutetrons podem se deslocar livremente
Esses materiais satildeo chamados de condutores Outros
como a madeira o vidro e a borracha os eleacutetrons estatildeo
ligados aos aacutetomos mais proacuteximos e natildeo podem se
deslocar em liberdade Satildeo chamados de isolantes
Exemplo 4 ndash A massa de uma moeda de cobre eacute de 3 g (ZCu=29) Qual a carga total dos eleacutetrons na moeda
A carga total eacute o produto do nuacutemero total de eleacutetrons e a carga do eleacutetron Q = Ne (-e)
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto do nuacutemero aacutetomos
de cobre e Z Ne = Z Na Como a massa molecular do cobre eacute 635g teremos que o
nuacutemero de aacutetomos seraacute
aacutetomosNmol
g
molaacute tomos
a
2223
10842563
100263
eleacutetronsZNN ae
2322 102481084229
CeNQ e
51923 10321106110248)(
Processos de eletrizaccedilatildeo
Atrito
No processo de eletrizaccedilatildeo por atrito por dois
corpos um corpo tem afinidade em doar eleacutetrons e outro
tem afinidade em receber eleacutetrons Apoacutes atritar um
corpo com outro os dois ficaratildeo carregados com cargas
de sinais opostos
Um exemplo de eletrizaccedilatildeo por atrito eacute o
denominado Gerador de Van de Graaff Materiais que estatildeo mais proacuteximos do extremo mais
negativo tecircm uma disposiccedilatildeo por assumir uma carga eleacutetrica
negativa Os materiais mais proacuteximos ao extremo mais positivo tendem a assumir carga eleacutetrica positiva Idealmente os materiais da
correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais afastados dessa
lista enquanto o material do cilindro superior deve estar na regiatildeo dos
neutros
Uma Nota em Relaccedilatildeo possiacutevel agrave Polaridade
de um Van de Graaff Para uma dada combinaccedilatildeo rolete inferior- correia- rolete
superior a polaridade do domo do GVDG fica determinada Por exemplo se a correia eacute de borracha o rolete inferior eacute de plaacutestico e o
rolete superior eacute de alumiacutenio o domo ficaraacute negativo Usando o
mesmo desenho poreacutem colocando-se o rolete de plaacutestico como superior e o de alumiacutenio como inferior o domo ficaraacute positivo
mais
positivo
Arvidrofibra
sinteacuteticalatildechumboalumiacuteniopapel
neutro Algodatildeoaccedilomadeiraborracha cobreacetatopolieacutesterpoliuretano
polipropileno vinil (PVC) silicone
mais
negativo
teflon
Robert Jemison Van de Graaff
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de dezembro de 1901 em Tuscaloosa Alabama A chamava-se Minnie Cherokee
Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de Graaff Robert frequentou
o Tuscaloosa escolas puacuteblicas e a Universidade de Alabama onde ele recebeu um grau de BS em 1922 e um grau de MS em 1923 Ambos
os graus estavam em engenharia mecacircnica
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a Companhia Alabama durante um ano como um assistente de pesquisa
Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e laacute assistiu
conferecircncias de Marie Curie sobre radiaccedilatildeo Em 1925 ele entrou para Universidade de Oxford na Inglaterra como um Estudioso de Rhodes
Em Oxford ele recebeu um BS em fiacutesica em 1926 e um PhD em
fiacutesica em 1928 Enquanto em Oxford ele se deu conta da esperanccedila
de trabalhar em experimentos nucleares com Ernest Rutherford que
poderiam acelerar partiacuteculas a velocidades suficiente para desintegrar
nuacutecleos Desintegrando nuacutecleos atocircmicos seria possiacutevel aprender sobre a natureza de aacutetomos individuais Essas ideacuteias que Robert Van
de Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de
partiacuteculas Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados Unidos
para se juntar ao Laboratoacuterio de Pesquisas Fiacutesicas na Universidade de
Princeton como um assessor de Pesquisa Nacional No outono daquele ano ele construiu o primeiro modelo de funcionamento do acelerador
electrostatico que produzia 80000 volts Foram feitas melhorias ao
modelo baacutesico e em novembro 1931 no jantar inaugural do Instituto americano de Fiacutesica foi exibido um modelo de demonstraccedilatildeo que
produziu mais de 1000000 volts Quando Karl T Compton se tornou o presidente de
Instituto de Massachusetts de Tecnologia Van de Graaff foi
convidado a vir ao MIT como um soacutecio de pesquisa Van de Graaff construiu a primeira maacutequina grande em um hangar de aeronave em
Sul Dartmouth Massachusetts A maacutequina usava duas esferas de
alumiacutenio polidas cada 15 peacutes em diacircmetro montado em 25 peacute colunas isolantes altas que tinham 6 peacutes em diacircmetro As colunas estavam
montadas em suportes de estrada de ferro que impulsionaram as
esferas para 43 peacutes sobre niacutevel de solo A maacutequina seu funcionamento em 28 de novembro de 1933 e pocircde produzir 7000000 de volts Esta
realizaccedilatildeo foi informada no New York Times durante 29 de novembro
de 1933 em uma histoacuteria intitulada Parafuso de Lances de Homem de 7000000 Volts Em 1937 a maacutequina foi movida a um local anexo
pressurizado no MIT
John D Cockcroft e Ernest Walton do Laboratoacuterio de Cavendish na Inglaterra tinham construiacutedo um acelerador de partiacutecula proacutespero em
1932 Esta maacutequina consistia de circuitos de voltagem-multiplicadores
usados para produzir as voltagens altas exigidas para aceleraccedilatildeo de partiacuteculas
Era vultoso e complicado e limitou em sua capacidade de
voltagem Em contraste com a maacutequina de Cockcroft-Walton a maacutequina de Van de Graaff era simples e compacta e era mais faacutecil
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 10
10
10
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e entatildeo aceleraccedilotildees mais altas
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenccedilatildeo dele Ele preparou a aplicaccedilatildeo de patente por Karl T Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT Van
de Graaff tambeacutem trabalhou com John G Trunfo professor de
engenharia eleacutetrica no MIT e com William W Buechner professor de fiacutesicas a MIT Um aparelho meacutedico de Graaff produzia raios X por
tratar tumores cancerosos com radiaccedilatildeo penetrante pela primeira vez
usado clinicamente 1937 na Escola Meacutedica de Harvard Em 1936 Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se Eles tiveram dois
filhos John e William
Durante 2ordf Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic Junto com William
W Buechner ele dirigiu a adaptaccedilatildeo do gerador de eletricidade para
exame de radiografias de precisatildeo da Marinha norte-americana Depois da guerra em 1945 o Van de Graaff recebeu como precircmio da
Fundaccedilatildeo Rockefeller uma concessatildeo para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT Em 19 de dezembro de 1946 Van de Graaff e Trunfo formaram a Corporaccedilatildeo Alta Voltagem (HVEC)
em Burlington Massachusetts HVEC foi formado para a produccedilatildeo
comercial de aceleradores de partiacutecula Denis M Robinson professor de engenharia eleacutetrica da Inglaterra se tornou o presidente da
corporaccedilatildeo nova John G Trunfo se tornou o diretor teacutecnico e Van de
Graaff se tornou o fiacutesico principal e soacutecio HVEC se tornou o provedor principal de geradores eletrosttaacuteticos
Eletrizaccedilatildeo por contato
Se um corpo metaacutelico C com carga Q1i
eletrizado for colocado em contato com outro corpo D
tambeacutem metaacutelico com carga Q2i o Princiacutepio da
conservaccedilatildeo da carga garante que a soma das cargas
finais e iniciais seraacute a mesma
Figura 8 ndashEletrizaccedilatildeo por contato
C Q1i Antes Q2i D
Contato C D
C Q1f Q2f D
ffii QQQQ 2121
Princiacutepio da conservaccedilatildeo da carga
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado
(Q2i = 0) haveraacute transferecircncia de apenas parte da carga
de C para D A transferecircncia de carga eacute parcial porque
ela seraacute interrompida quando os potenciais dos dois
corpos se igualarem
Suponha que o corpo D possuiacutesse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela Nestas
condiccedilotildees a carga de C induziraacute cargas eleacutetricas nas
superfiacutecies interna e externa de D Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo moacutedulo da
carga no corpo C (que provocou a induccedilatildeo) Entatildeo se
este corpo for colocado em contato com a parede interna
de D a carga induzida nesta parede seraacute neutralizada
pela carga de C O corpo D ficaraacute eletrizado com uma
carga de mesmo sinal e de mesmo moacutedulo que a carga
inicial do corpo C Tudo se passa como de a carga de C
fosse integralmente transferida para D
Quando haacute contato interno a transferecircncia de carga do
corpo que estaacute dentro da cavidade para o corpo externo
eacute integral mesmo que este jaacute possua uma carga inicial
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra
vez ligado internamente ao corpo D sua carga se
transferiraacute totalmente para D Esta operaccedilatildeo pode ser
repetida vaacuterias vezes e assim eacute possiacutevel acumular em
D uma quantidade de carga cada vez maior A
quantidade de carga em D naturalmente eacute limitada pela
rigidez dieleacutetrica do ar que o envolve Se a rigidez
dieleacutetrica do ar for ultrapassada parte da carga
acumulada em D tende a escoar e portanto a carga
maacutexima que pode existir em D eacute aquela que cria um
campo igual agrave rigidez dieleacutetrica do ar
Princiacutepio de Funcionamento do Gerador de
Van De Graaff
O fato da carga eleacutetrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro quando haacute
contato interno constitui o princiacutepio baacutesico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff
Este aparelho eacute constituiacutedo por uma correia que
passa por duas polias uma delas acionada por um motor
eleacutetrico que faz a correia se movimentar A segunda
polia encontra-se no interior de uma esfera metaacutelica oca
que estaacute apoiada em duas colunas isolantes
Enquanto a correia se movimenta ela recebe carga
eleacutetrica por meio de uma ponta eleacutetrica por meio de uma
ponta ligada a uma fonte de alta tensatildeo (cerca de 10000
V) Esta carga eacute transportada pela correia para o interior
da esfera metaacutelica Uma ponta ligada a esta esfera
recolhe a carga transportada pela correia Em virtude do
contato interno esta carga se transfere integralmente
para a superfiacutecie externa da esfera do gerador
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 11
11
11
Como as cargas satildeo transportadas
continuamente pela correia elas vatildeo se acumulando na
esfera ateacute que a rigidez dieleacutetrica do ar seja atingida
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
cientiacuteficos o diacircmetro da esfera eacute de alguns metros e a
altura do aparelho atinge agraves vezes 15 m Nestas
condiccedilotildees eacute possiacutevel obter voltagens de ateacute 10 milhotildees
de volts
Figura 9 ndashGerador de Van de Graaff
Eletrizaccedilatildeo Por Induccedilatildeo
A figura ilustra duas situaccedilotildees um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b) onde haacute uma nova
redistribuiccedilatildeo de carga no corpo neutro em ambos os
casos
Figura 11 ndashAproximaccedilatildeo do indutor n (a)
(b)
A presenccedila do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuiccedilatildeo das cargas
positivas e negativas do corpo neutro onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
proacuteximas do corpo carregado (indutor) Esse processo eacute
conhecido como induccedilatildeo eletrostaacutetica Caso o indutor
estiver carregado positivamente haveraacute uma
aproximaccedilatildeo das cargas negativas do induzido em
relaccedilatildeo ao indutor
Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de induccedilatildeo e contato eacute o
eletroscoacutepio de folhas de ouro Consiste de duas fitas
laminadas de ouro coladas na extremidade de uma
haste tendo na outra extremidade uma esfera colocada
num invoacutelucro isolante Aproximando um bastatildeo
carregado da esfera a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastatildeo se acumula nas folhas
repelindo-se mutuamente Se encostarmos o bastatildeo na
haste neutra esta se carregaraacute com a mesma carga
assim as lacircminas permaneceratildeo abertas
Figura 12 ndash Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
2
2
Introduccedilatildeo
A carga eleacutetrica
O termo eletricidade vem da palavra grega
elektron que significa acircmbar resina que quando
atritada com latilde provoca atraccedilatildeo em palha fenocircmeno
conhecido desde a antiguidade Pode-se considerar
que os conhecimentos sobre a eletricidade tiveram
seu iniacutecio em 600 AC quando Thales de Mileto
verificou que um bastatildeo de acircmbar (uma resina
foacutessil) atritado atraiacutea pequenos fragmentos de palha
Aliaacutes a origem da palavra estaacute no grego elektron
que significava acircmbar amarelo
A evoluccedilatildeo das constataccedilotildees de Mileto
levou agrave conclusatildeo da existecircncia de cargas eleacutetricas
que podem ser de duas espeacutecies positiva e negativa
Entre cargas da mesma espeacutecie ocorre uma repulsatildeo
e entre espeacutecies diferentes uma atraccedilatildeo
No final do seacuteculo XIX e iniacutecio do seacuteculo
XX diversos experimentos realizados por fiacutesicos
que descreveremos mais adiante demonstraram que
a mateacuteria possui massa e ocupa lugar no espaccedilo
sendo constituiacuteda por partiacuteculas muito pequenas
chamadas de aacutetomos e estes por sua vez satildeo
constituiacutedos por proacutetons e necircutrons situados no
nuacutecleo e eleacutetrons que orbitam o nuacutecleo em camadas
definidas
A descoberta do eleacutetron
A existecircncia do eleacutetron foi postulada por G
Johnston e Stoney como uma unidade de carga no
campo da eletroquiacutemica O eleacutetron foi descoberto
por Thomson em 1897 no Laboratoacuterio Cavendish
da Universidade de Cambridge enquanto estudava o
comportamento dos raios catoacutedicos Influenciado
pelo trabalho de Maxwell e o descobrimento dos
raios X deduziu que no tubo de raios catoacutedicos
existiam partiacuteculas com carga negativa que
denominou de corpuacutesculos Ainda que Stoney haja
proposto a existecircncia do eleacutetron foi Thomson quem
descobriu seu caraacuteter de partiacutecula fundamental Para
confirmar a existecircncia do eleacutetron era necessaacuterio
medir suas propriedades em especial a sua carga
eleacutetrica Este objetivo foi alcanccedilado por Millikan
atraveacutes da ceacutelebre experiecircncia da gota de oacuteleo
realizada em 1909
George Paget Thomson filho de JJ
Thomson demonstrou a natureza ondulatoacuteria do
eleacutetron provando a dualidade onda-partiacutecula
postulada pela mecacircncica quacircntica Esta descoberta
lhe valeu o Precircmio Nobel de fiacutesica de 1937
O spin do eleacutetron foi observado pela
primeira vez pela experiecircncia de Stern-Gerlach Sua
carga eleacutetrica pode ser medida diretamente atraveacutes
de um eletrocircmetro e a corrente gerada pelo seu
movimento com um galvanocircmetro
Os raios catoacutedicos satildeo de eleacutetrons que
atravessam um tubo com gaacutes em baixa pressatildeo entre
dois poacutelos que produzem luminosidade de acordo
com a pressatildeo Para chegar a conclusatildeo de que os
gases quando submetidos a baixa pressatildeo podem
conduzir eletricidade Henrich Geissler (1859)
Johann Hittorf (1896) e Willian Crookes (1886)
utilizaram o chamado tubo de raios catoacutedicos Esse
aparelho eacute formado por uma ampola de vidro ligada
a uma bomba de vaacutecuo que tem por utilidade
diminuir a pressatildeo interna Nas duas pontas do tubo
haacute extremidades metaacutelicas (eletrodos) ligadas a uma
bateria
Quando a pressatildeo interna chega a um
deacutecimo da pressatildeo ambiente o gaacutes que existe entre
os eletrodos passa a emitir uma luminosidade
Quando a pressatildeo diminui ainda mais (100 mil
vezes menor que a pressatildeo ambiente) a
luminosidade desaparece restando uma mancha
luminosa atraacutes do poacutelo positivo
Cientistas atribuiacuteram essa mancha a raios
provenientes do poacutelo negativo (catodo) Entatildeo foram
denominados raios catoacutedicos Os raios catoacutedicos
nada mais satildeo do que feixes de eleacutetrons que
atravessam o tubo Satildeo comumente encontrados em
aparelhos de televisatildeo e monitores de
microcomputadores
Nas ruas podemos encontraacute-los em alguns
letreiros As cores desses raios dependem do gaacutes
usado Com algumas modificaccedilotildees nos tubos os
raios catoacutedicos datildeo origem a outros tipos de luzes
como por exemplo
Luminosos de neacuteon o gaacutes usado
eacute o neocircnio Eacute usado em letreiros publicitaacuterios
Luminosos de soacutedio o gaacutes usado
eacute o vapor de soacutedio Confere uma luminosidade
amarela caracteriacutestica Eacute usado em iluminaccedilotildees de
vias puacuteblicas e tuacuteneis
Lampadas fluorescentes de
mercuacuterio o gaacutes usado eacute vapor de mercuacuterio Emite
uma luz violeta e ultravileta (luz negra) Eacute revestida
com uma tinta fluorescente (a base de foacutesforo) que
absorve a luz emitida e reemite como luz branca
Satildeo usadas em residecircncias vias puacuteblicas
escritoacuterios etc
Joseph John Thomson Origem (Wikipeacutedia a
enciclopeacutedia livre)
Fiacutesico britacircnico nascido em Manchester em 1856 e
falecido em Cambridge em 1940 Formou-se em Cambridge em 1884 onde foi professor de Fiacutesica Experimental e diretor do
Laboratoacuterio Cavendish ateacute se jubilar em 1919 Mediu pela
primeira vez a carga especiacutefica do eleacutetron em 1897 e mostrou que o efeito termiocircnico eacute devido a eleacutetrons Pela accedilatildeo de campos
eleacutetricos e magneacuteticos sobre um feixe de iacuteons de neacuteon verificou
em 1913 a existecircncia de isoacutetopos em elementos natildeo radioactivos descobrindo o meacutetodo das paraacutebolas Foi-lhe atribuiacutedo o
Precircmio Nobel de Fiacutesica em 1906 por investigaccedilotildees teoacutericas e
experimentais sobre a passagem da eletricidade atraveacutes dos gases
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
3
3
Figura 1 ndash a) JJ Thomson el seu laboratoacuterio (a)
utilizando o tubo de raios catoacutedicos (b) onde constatou a deflexaatildeo de raios catoacutedicos apoacutes aplicar um campo eleacutetrico entre
as placas Q e E (c)
a)
b)
c)
A experiecircncia da gota de oacuteleo de
Millikan
A experiecircncia de Millikan foi a primeira e
direta medida experimental da carga de um eleacutetron
Foi realizada em 1909 pelo fiacutesico
americano Robert A Millikan que construiu um
dispositivo capaz de medir a carga eleacutetrica presente
em gotas de oacuteleo demonstrando a natureza discreta
da carga do eleacutetron e medindo-a pela primeira vez
A montagem de Millikan eacute mostrada na
figura 2 Duas placas metaacutelicas rigorosamente
paralelas e horizontais satildeo isoladas e afastadas entre
si por uma distacircncia de alguns miliacutemetros
EQ
f
Q lt 0
Tv
gm
Figura 2 ndashAparato construiacutedo por Millikan para
medida da carga eleacutetrica
Espalhando as gotiacuteculas de oacuteleo por um
atomizador sobre a placa superior algumas das
gotiacuteculas caem atraveacutes de um pequeno furo existente
nessa placa Um feixe de luz eacute dirigido
horizontalmente entre as placas e uma luneta eacute
instalada com seu eixo perpendicular ao feixe As
gotiacuteculas de oacuteleo observadas pela luneta quando
iluminadas pelo feixe de luz aparecem como
pequeninas estrelas brilhantes caindo lentamente
com velocidade terminal constante dada pelo seu
peso e pela forccedila viscosa da resistecircncia do ar que se
opotildees ao movimento Verifica-se que algumas das
gotiacuteculas de oacuteleo se encontram eletrizadas
presumivelmente devido a efeitos de atrito Pode-se
tambeacutem carregar as gotiacuteculas ionizando-se o ar no
interior da cacircmara por meio de raio X ou com ums
pequena quantidade de material radioativo Dessa
maneira alguns eleacutetrons ou iacuteons colidem com as
gotiacuteculas de oacuteleo e satildeo por elas capturadas As
gotiacuteculas tecircm normalmente carga negativa mas
ocasionalmente pode-se encontrar uma ou outra
gotiacutecula com carga positiva
O meacutetodo mais simples da medida da carga
numa gota consiste em supor que a gotiacutecula possui
uma carga negativa e que as placas sejam mantidas a
uma diferenccedila de potencial constante tal que o
campo eleacutetrico eacute dirigido para baixo Assim a forccedila
eleacutetrica sobre a gotiacutecula eacute para cima Ajustando-se o
campo eleacutetrico E pode-se fazer com que a forccedila
eleacutetrica se iguale ao peso de modo a manter a gota
em repouso (Figura 2 (b)) Assim
E
gmQgmEQPFe 0
1
Como a massa da gota eacute a sua densidade
multiplicada pelo volume 3
34 Rm 2
O Campo eleacutetrico eacute dado pela diferenccedila de
potencial U dividida pela distacircncia entre as placas l
l
UE 3 Substituindo 2 e 3 em 1
teremos
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
4
4
U
glRQ
3
34
4
Todas essas quantidades podem ser
medidas com exceccedilatildeo do raio da gota que eacute muito
pequeno para ser medido da ordem de 10-5
cm
Pode-se calculaacute-lo desligando-se o campo eleacutetrico e
medindo-se a velocidade terminal vT da gotaquando
esta cai por uma distacircncia d A velocidade terminal
ocorre quando o peso eacute igual agrave forccedila viscosa f sobre
a gota dada pela Lei de Stokes
vRf 6
Montando a segunda lei de Newton
teremos
gRRvmgvRPf T
3
3466
g
vR T
23 5
Substituindo 5 em 4 teremos
g
v
U
lQ T
218
33
Millikan e seus colaboradores mediram as
cargas de alguns milhares de gotas e concluiacuteram
que dentro dos limites de seus erros experimentais
cada gota possuiacutea uma carga igual a um muacuteltiplo
inteiro de certa carga baacutesica e isto eacute haviam
observadas gotas com cargas 2e 3e 4e A conclusatildeo
que se chega eacute que a carga eacute muacuteltipla da carga e O
melhor valor experimental jaacute medido para e eacute
Ce 19106021921
Experimento de Rutherford
As partiacuteculas alfa (nuacutecleos de aacutetomos de
heacutelio 24
) de uma fonte radioativa foram usadas para
golpear uma folha fina do ouro As partiacuteculas alfa
produzem um pequeno flash minuacutesculo mas visiacutevel
de luz quando golpeiam uma tela fluorescente
Espantosamente as partiacuteculas de alfa foram
encontradas em acircngulos grandes da deflexatildeo e
algumas foram encontradas para traacutes ao serem
dispersas
Figura 3 ndash Aparato experimental do Experimento de
Rutherford Esta experiecircncia mostrou que a mateacuteria
positiva nos aacutetomos estaacute concentrada em um volume
muitiacutessimo pequeno e deu o nascimento agrave ideacuteia do
aacutetomo nuclear Assim representou um dos maiores
avanccedilos na nossa compreensatildeo da natureza
Se a folha do ouro possuir espessura de 1
microcircmetro (1 m) usando o diacircmetro do aacutetomo do
ouro da tabela perioacutedica sugere que a folha eacute possui
aproximadamente 2800 aacutetomos
O tamanho do nuacutecleo do aacutetomo comparado
ao tamanho do aacutetomo em que reside eacute pequeno Por
exemplo o espaccedilo dentro de um aacutetomo pode ser
comparado ao espaccedilo no sistema solar em um
modelo em escala como mostrado na figura
anterior Escolhendo o nuacutecleo de ouro o raio
atocircmico eacute 18000 vezes o tamanho do nuacutecleo Esta
disparidade no tamanho foi descoberta
primeiramente com o espalhamento de partiacuteculas
alfa realizado por Rutherford em folhas finas do
ouro A extremidade desta comparaccedilatildeo do espaccedilo eacute
destacada pelo fato que um aacutetomo com nuacutemeros
iguais dos necircutrons e dos proacutetons o nuacutecleo
compreende aproximadamente 9997 da massa do
aacutetomo
Eacute interessante observar alguns aspectos
como a ordem de grandeza do tamanho do aacutetomo
que eacute em torno de Angstron
mA 100
101
Jaacute a ordem de grandeza do tamanho do
nuacutecleo eacute da ordem de fentocircmetro usualmente
chamado Fermi
mfm 1 5101
As massas nucleares satildeo medidas em
termos da unidade de massa atocircmica com o nuacutecleo
de carbono 12 definido como tendo uma massa de
exatamente 12 uma
kguma 2710660541 1
Para termos uma ideacuteia das dimensotildees do
sistema atocircmico comparada com o sistema Solar
mostramos alguns dados na tabela abaixo
Modelo de Escala Relativa de um aacutetomo
e o sistema solar
Nessa escala a proacutexima estrela estaria a
aproximadamente 10000 milhas distante
(Figura extraiacuteda de httphyperphysicsphy-
astrgsuedu) Figura 4 ndash Comparaccedilatildeo do modelo atocircmico e sistema
solar
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
5
5
H1
1008
Li3
694
Na11
230
K19
391
Rb37
855
Cs55
1329
Fr87
223
Be4
901
Ca20
401
Sr38
876
Mg12
243
Ra88
226
Ba56
1373
Sc21
449
Y39
889 lantaniacute-deos
actiniacute-dios
Ti22
479
Zr40
912
Hf72
1785
Unq104
V23
509
Nb41
929
Ta73
1809
Unp105
Cr24
520
Mo42
959
W74
1838
Unh106
Mn25
549
Tc43
989
Re75
1862
Uns107
Fe26
558
Ru44
1011
Os76
1902
Uno108
Co27
589
Rh45
1029
Ir77
1922
Une109
Ni28
587
Pd46
1064
Pt78
1951
Cu29
635
Ag47
1079
Au79
1970
Zn30
654
Cd48
1124
Hg80
2006
B5
108
Al13
270
Ga31
697
In49
1148
Tl81
2044
C6
120
Si14
281
Ge32
726
Sn50
1187
Pb82
2072
N7
140
P15
310
As33
749
Sb51
1218
Bi83
2090
O8
160
S16
321
Se34
789
Te52
1276
Po84
209
F9
190
Cl17
355
Br35
799
I53
1269
At85
210
He2
400
Ne10
202
Ar18
399
Kr36
838
Xe54
1313
Rn86
222
Seacuterie dos lantaniacutedeos
Seacuterie dos actiniacutedios
La57
1389Ce58
1401Pr59
1409Nd60
1442Pm61
145Sm62
1504Eu63
1520Gd64
1573Tb65
1589Dy66
1625Ho67
1649Er68
1673
Tm69
1689Yb70
1730Lu71
1750
Ac89
2270Th90
2320Pa91
2310U92
2380Np93
2370Pu94
2440Am95
243Cm96
2470Bk97
2470Cf98
2510Es99
2520Fm100
2570Md101
2580No102
2590Lr103
2600
1A
2A
3B 4B 5B 6B 7B 8B 8B 8B 1B 2B
Elementos de transiccedilatildeo externa
Elementos de transiccedilatildeo interna
3A 4A 5A 6A 7A
0
siacutembolo
nuacutemero atocircmico
massa atocircmica
Dados do Modelo Comparativo Aacutetomo de Ouro Densidade nuclear 21017
kgm3
Densidade (material) 1932
gcm3
Massa Atocircmica 196 uma (1
mole = 19697 g)
1 uma = 166 10-27kg Nuacutemero de Avogadro
6021023 aacutetomosmole
Raio atocircmico 1310 -10m Raio nuclear 7310-15 m
Sistema Solar
Raio do Sol 695000 km Raio da Terra 6376 km
Distacircncia Sol-Terra 15010 6
km
Distacircncia Sol-Plutatildeo
5900106km
Alguns experimentos realizados
(espalhamento) sugerem que o nuacutecleo tem a forma
aproximadamente esfeacuterica e possui essencialmente a
mesma densidade Manteacutem-se unido devido a
existecircncia da chamada forccedila nuclear forte existente
entre quaisquer pares de partiacuteculas nucleares
(proacutetons ou necircutrons) ou nuacutecleons O nuacutemero de
proacutetons eacute chamado de nuacutemero atocircmico (Z) e
determina o elemento quiacutemico
Figura 4 ndash Tabela perioacutedica dos elementos
O nuacutecleo de um dado elemento (mesmo
nuacutemero atocircmico Z) pode ter diferentes nuacutemeros de
necircutrons Satildeo tratados como isoacutetopos do elemento
Os aacutetomos satildeo constituiacutedos por partiacuteculas
subatocircmicas eleacutetrons proacutetons e necircutron O eleacutetron
possui a carga negativa (-e) unidade de carga
fundamental da eletricidade Os eleacutetrons giram em
torno do nuacutecleo ou centro do aacutetomo em trajetoacuterias
de camadas concecircntricas ou oacuterbitas como
mostramos na figura 5 O proacuteton possui a carga
positiva (+e) Os proacutetons satildeo encontrados no nuacutecleo
O nuacutemero de proacutetons dentro do nuacutecleo de qualquer
aacutetomo especiacutefico determina o elemento e o nuacutemero
atocircmico Z
Por exemplo o aacutetomo de siliacutecio tem 14
proacutetons no seu nuacutecleo e portanto o nuacutemero atocircmico
do siliacutecio eacute 14 O necircutron que eacute a carga neutra fun-
damental da eletricidade tambeacutem eacute encontrado no
nuacutecleo
Figura 5 ndash Representaccedilatildeo de um aacutetomo e suas
dimensotildees
As massas nucleares satildeo medidas nos
termos de unidades maciccedilas atocircmicas com o nuacutecleo
do carbono-12 definido como tendo uma
exatamente 12 Eacute tambeacutem praacutetica comum citar a
chamada energia de repouso E = m0c2) A
correspondecircncia da energia de repouso a uma eacute
MeVkgu 494931106605411 27
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 6
6
6
A Carga eleacutetrica
Como certos aacutetomos satildeo capazes de ceder eleacutetrons
e outros capazes de receber eleacutetrons eacute possiacutevel produzir
uma transferecircncia de eleacutetrons de um corpo para outro
Quando isto ocorre a distribuiccedilatildeo igual das cargas
positivas e negativas em cada corpo deixa de existir
Portanto um corpo conteraacute um excesso de eleacutetrons e a
sua carga teraacute uma polaridade eleacutetrica negativa ou
menos (-) O outro corpo conteraacute uma deficiecircncia de
eleacutetrons ou um excesso de proacutetons e a sua carga teraacute
uma polaridade positiva ou mais (+)
Quando um par de corpos conteacutem a mesma carga
isto eacute ambas positivas (+) ou ambas negativas (-) diz-
se que os corpos tecircm cargas iguais Quando um par de
corpos conteacutem cargas diferentes isto eacute um corpo eacute
positivo (+) enquanto o outro eacute negativo (-) diz-se que
eles apresentam cargas desiguais ou opostas
A lei das cargas eleacutetricas pode ser enunciada da
seguinte forma
Quantizaccedilatildeo das cargas eleacutetricas
A mateacuteria eacute constituiacuteda por aacutetomos que satildeo
eletricamente neutros Os aacutetomos de elementos
diferentes diferem entre si pelo nuacutemero de eleacutetrons e de
proacutetons que contecircm No seu estado natural um aacutetomo
de qualquer elemento conteacutem um nuacutemero igual de
eleacutetrons e de proacutetons Como a carga negativa (-) de cada
eleacutetron tem o mesmo valor absoluto que a carga positiva
(+) de cada proacuteton as duas cargas opostas se cancelam
Um aacutetomo nestas condiccedilotildees eacute eletricamente neutro ou
estaacute em equiliacutebrio
Cada aacutetomo tem um pequenino nuacutecleo de
massa notaacutevel constituiacutedo por proacutetons e necircutrons
Como vimos anteriormente a experiecircncia de Millikan
comprovou que toda carga existente na natureza eacute
muacuteltipla da carga eleacutetrica fundamental que
denominamos de e e vale
Ce 191061
Onde C eacute a unidade no sistema internacional de
carga eleacutetrica denominada de Coulomb
A carga do proacuteton q p e a carga do eleacutetron qe
satildeo dadas por
Ceqp
191061
Ceqe
191061
Assim qualquer corpo carregado na natureza
possui um nuacutemero inteiro da carga eleacutetrica fundamental
resultado conhecido como a quantizaccedilatildeo da carga
eleacutetrica
3210nenQ
Exemplo 2 - Descreva os dois aacutetomos mais simples
O aacutetomo mais simples eacute o aacutetomo de hidrogecircnio que
conteacutem l proacuteton no seu nuacutecleo em equiliacutebrio com l eleacutetron que gira em
tomo do nuacutecleo O aacutetomo seguinte mais simples eacute o aacutetomo de heacutelio que possui 2 proacutetons no seu nuacutecleo equilibrados por 2 eleacutetrons
orbitando em tomo do nuacutecleo
Niels Bohr postulou que no aacutetomo existem
niacuteveis de energias permitidos ou seja ocorrem as
chamadas camadas de energia e existe uma ldquocotardquo de
eleacutetrons permitida em cada camada Quando a camada
mais externa de um aacutetomo tem um deacuteficit na sua cota de
eleacutetrons ela pode ganhar ou perder eleacutetrons Se um
aacutetomo perder um ou mais eleacutetrons da sua camada mais
externa o nuacutemero de proacutetons supera o nuacutemero de
eleacutetrons e o aacutetomo passa a conter uma carga eleacutetrica
efetiva positiva Nestas condiccedilotildees o aacutetomo eacute chamado
de iacuteon positivo (caacutetion) Se um aacutetomo ganhar eleacutetrons a
sua carga eleacutetrica efetiva torna-se negativa O aacutetomo eacute
entatildeo chamado de iacuteon negativo (acircnion) O processo em
que os aacutetomos recebem ou cedem eleacutetrons eacute chamado de
ionizaccedilatildeo
Assim a energia total que o eleacutetron pode ter eacute
definida em valores discretos e portanto ele soacute pode
ocupar determinadas oacuterbitas ou niacuteveis de energia Os
niacuteveis possiacuteveis satildeo sete e estatildeo representados na figura
6
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons que cada niacutevel
pode ter eacute limitado segundo o princiacutepio de exclusatildeo de
Pauli e eacute dado por 2n2 onde n eacute o nuacutemero do niacutevel
Assim o niacutevel 1 poderaacute no maacuteximo 2 o niacutevel 2 no
maacuteximo 8 e assim sucessivamente
Figura 6 ndash Representaccedilatildeo dos niacuteveis de energia de um
aacutetomo
Eacute regra geral na natureza a estabilizaccedilatildeo na
menor energia possiacutevel Assim os niacuteveis satildeo
preenchidos na sequumlecircncia do menor para o maior e um
niacutevel soacute poderaacute conter eleacutetrons se o anterior estiver
completo A Figura 6 mostra isso
Os eleacutetrons em cada niacutevel ocupam subniacuteveis e
cada um pode conter um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons e
satildeo de forma similar preenchidos do menor para o
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 7
7
7
maiorOs subniacuteveis satildeo designados pelas letras s p d e f
e os valores maacuteximos satildeo respectivamente 2 6 10 e 14
Evidente que por exemplo o niacutevel 1 soacute pode
ter o subniacutevel s pois o nuacutemero maacuteximo do niacutevel eacute 2 Jaacute
o niacutevel 2 pode ter os subniacuteveis s e p e assim
sucessivamente
A figura 7 daacute o exemplo da distribuiccedilatildeo dos
eleacutetrons em um aacutetomo de cobre nuacutemero atocircmico 29
O niacutevel mais externo (4 neste exemplo) eacute
chamado de niacutevel de valecircncia e os eleacutetrons presentes
nele satildeo os eleacutetrons de valecircncia
O nuacutemero de eleacutetrons de valecircncia eacute um fator
importante do elemento Ele define a capacidade do
aacutetomo de ganhar ou perder eleacutetrons e de se combinar
com outros elementosMuitas das propriedades quiacutemicas
e eleacutetricas dependem da valecircnciaA convenccedilatildeo adotada
para a representaccedilatildeo graacutefica da distribuiccedilatildeo de eleacutetrons
no aacutetomo do elemento eacute a indicaccedilatildeo sequumlencial dos
niacuteveis e respectivos subniacuteveis com o nuacutemero de
eleacutetrons de cada subniacutevel colocado na forma de
expoente Para este caso do cobre
1s22s
22p
63s
23p
63d
104s
1
Figura7 ndashConfiguraccedilatildeo eletrocircnica para o aacutetomo de cobre
Exemplo 1 - Descreva o que ocorre com o aacutetomo
de cobre quando ele perde um eleacutetron da sua camada
mais externa
O aacutetomo de cobre toma-se um iacuteon positivo com
uma carga efetiva de +1
Quanto as partiacuteculas fundamentais teremos
para a Carga eleacutetrica
Natureza Valor
relativo
Massa
relativa
Proacuteton Positiva +1e 1
Necircutron Natildeo
existe 0 1
Eleacutetron Negativa -1e 11836
As Camadas eletrocircnicas
Os eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos em camadas ou niacuteveis de
energia
nuacutecleo
camada
K L M N O P Q
1 2 3 4 5 6 7
niacutevel
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons nas camadas ou
niacuteveis de energia
K L M N O P Q
2 8 18 32 32 18 2
Subniacuteveis de energia
As camadas ou niacuteveis de energia satildeo formados de
subcamadas ou subniacuteveis de energia designados pelas
letras s p d f
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons 2 6 10 14
Os subniacuteveis conhecidos em cada niacutevel de
energia
Subniacutevel 1s 2s
2p
3s
3p
3d
4s
4p
4d
4f
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
Niacutevel 1 2 3 4 5 6 7
K L M N O P Q
Subniacuteveis em ordem crescente de energia
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d
Preenchimento dos subniacuteveis
Os subniacuteveis satildeo preenchidos sucessivamente
na ordem crescente de energia com o nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons possiacutevel em cada subniacutevel (Regra de
aufbau)Os nuacutemeros quacircnticos indicam a energia do
eleacutetron no aacutetomo e a regiatildeo de maacutexima probabilidade de
se encontrar o eleacutetron
O nuacutemero quacircntico principal (n) indica o
niacutevel de energia Varia de n = 1 a n = 7
respectivamente no 1ordm 2ordm 3ordm niacutevel de energia
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 8
8
8
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons em cada niacutevel eacute
dado por 2n2 Entre os aacutetomos conhecidos no estado
fundamental o nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons num mesmo
niacutevel eacute 32
O nuacutemero quacircntico secundaacuterio ou azimutal
(l) indica a energia do eleacutetron no subniacutevel Nos aacutetomos
conhecidos no estado fundamental haacute quatro subniacuteveis
representados por s p d f em ordem crescente de
energia
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero
quacircntico
azimutal
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
Orbitais
Os subniacuteveis satildeo formados de orbitais Orbital
eacute a regiatildeo da eletrosfera onde haacute maior probabilidade de
estar localizado o eleacutetron do aacutetomo O nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons em cada orbital eacute 2A cada orbital foi
atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico magneacutetico (m) cujo valor
varia de -l a +l passando por zero
subniacutevel s um soacute orbital s (0)
subniacutevel p trecircs orbitais p (-1) (0) (+1)
subniacutevel d cinco orbitais d (-2) (-1) (0) (+1) (+2)
subniacutevel f sete orbitais f
(-3) (-2) (-1)
(0)
(+1) (+2) (+3)
O orbital s tem forma esfeacuterica Os orbitais p
tecircm forma de duplo ovoacuteide e satildeo perpendiculares entre
si (estatildeo dirigidos segundo trecircs eixos ortogonais x y e
z)
Spin
Spin eacute o movimento de rotaccedilatildeo do eleacutetron em
torno de seu eixo Pode ser paralelo ou antiparalelo A
cada um deles foi atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico + 12
e -12
Princiacutepio da exclusatildeo de Pauli
Em um mesmo aacutetomo natildeo existem dois
eleacutetrons com quatro nuacutemeros quacircnticos iguais
Como consequumlecircncia desse princiacutepio dois
eleacutetrons de um mesmo orbital tecircm spins opostos
Um orbital semicheio conteacutem um eleacutetron
desemparelhado um orbital cheio conteacutem dois eleacutetrons
emparelhados (de spins opostos)
Regra de Hund
Ao ser preenchido um subniacutevel cada orbital
desse subniacutevel recebe inicialmente apenas um eleacutetron
somente depois de o uacuteltimo orbital desse subniacutevel ter
recebido seu primeiro eleacutetron comeccedila o preenchimento
de cada orbital semicheio com o segundo eleacutetron
Eleacutetron de maior energia ou eleacutetron de
diferenciaccedilatildeo eacute o uacuteltimo eleacutetron distribuiacutedo no
preenchimento da eletrosfera de acordo com as regras
estudadas
Um aacutetomo estaacutevel (neutro) possui uma certa
quantidade de energia que eacute igual agrave soma das energias
dos seus eleacutetrons Os eleacutetrons por sua vez possuem
energias diferentes chamadas de niacuteveis de energia O
niacutevel de energia de um eleacutetron eacute proporcional a sua
distacircncia do nuacutecleo Portanto os niacuteveis de energia de
eleacutetrons em camadas mais afastadas do nuacutecleo satildeo
maiores do que os de eleacutetrons em camadas mais
proacuteximas do nuacutecleo Os eleacutetrons situados na camada
mais externa satildeo chamados de eleacutetrons de valecircncia
Quando se aplica a certos materiais energia externa
como calor luz ou energia eleacutetrica os eleacutetrons adquirem
energia Isto pode fazer com que o eleacutetron se desloque
para um niacutevel de energia mais alto Diz-se que um
aacutetomo em que isto aconteceu estaacute num estado excitado
Um aacutetomo num estado excitado eacute instaacutevel
Ao ser deslocado para a camada mais externa
do aacutetomo o eleacutetron sofre a miacutenima atraccedilatildeo possiacutevel
pelas cargas positivas dos proacutetons dentro do nuacutecleo do
aacutetomo Se for aplicada ao aacutetomo uma energia suficiente
alguns dos eleacutetrons de valecircncia ou da camada mais
externa abandonaratildeo o aacutetomo Estes eleacutetrons satildeo
chamados de eleacutetrons livres Eacute o movimento dos
eleacutetrons livres que produz a corrente eleacutetrica num
condutor metaacutelico
Cada camada de um aacutetomo pode conter somente um
certo nuacutemero de eleacutetrons Este nuacutemero eacute chamado de
cota da camada Os eleacutetrons em oacuterbita encontram-se em
camadas sucessivas denominadas pelas letras K L M
N O P e Q cada uma delas mais afastada do nuacutecleo
Cada camada conteacutem um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons
para a condiccedilatildeo de estabilidade (Fig 1-3) Depois da
camada K ter sido preenchida com 2 eleacutetrons a camada
L pode conter ateacute 8 eleacutetrons O nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons nas camadas restantes pode ser de 8 18 ou 32
conforme o elemento Entretanto para a camada mais
externa o nuacutemero maacuteximo eacute sempre 8
Exemplo 3 - Mostre a estrutura do aacutetomo de cobre identificando
suas camadas de energia
No aacutetomo de cobre haacute 29 proacutetons no nuacutecleo contrabalanceados
pecirclos 29 eleacutetrons orbitais Os 29 eleacutetrons preenchem a camada K com
2 eleacutetrons e a camada L com 8 eleacutetrons Os 19 eleacutetrons restantes preenchem a camada M com 18 eleacutetrons e consequumlentemente sobra l
eleacutetron que fica na camada N mais externa
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 9
9
9
Se a cota da camada mais externa de um aacutetomo for
preenchida diz-se que o elemento formado por tais
aacutetomos eacute inerte ou estaacutevel
Conservaccedilatildeo da Carga
Quando esfregamos dois corpos um deles fica
com excesso de eleacutetrons e carregado com carga
negativa e o outro com falta de eleacutetrons e carregado
com carga positiva A carga liacutequida dos dois corpos
permanece constante ou seja a carga se conserva
A Lei da conservaccedilatildeo da carga eacute uma Lei
fundamental na Natureza
Condutores e Isolantes
Em muitos materiais por exemplo cobre e
outros metais os eleacutetrons podem se deslocar livremente
Esses materiais satildeo chamados de condutores Outros
como a madeira o vidro e a borracha os eleacutetrons estatildeo
ligados aos aacutetomos mais proacuteximos e natildeo podem se
deslocar em liberdade Satildeo chamados de isolantes
Exemplo 4 ndash A massa de uma moeda de cobre eacute de 3 g (ZCu=29) Qual a carga total dos eleacutetrons na moeda
A carga total eacute o produto do nuacutemero total de eleacutetrons e a carga do eleacutetron Q = Ne (-e)
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto do nuacutemero aacutetomos
de cobre e Z Ne = Z Na Como a massa molecular do cobre eacute 635g teremos que o
nuacutemero de aacutetomos seraacute
aacutetomosNmol
g
molaacute tomos
a
2223
10842563
100263
eleacutetronsZNN ae
2322 102481084229
CeNQ e
51923 10321106110248)(
Processos de eletrizaccedilatildeo
Atrito
No processo de eletrizaccedilatildeo por atrito por dois
corpos um corpo tem afinidade em doar eleacutetrons e outro
tem afinidade em receber eleacutetrons Apoacutes atritar um
corpo com outro os dois ficaratildeo carregados com cargas
de sinais opostos
Um exemplo de eletrizaccedilatildeo por atrito eacute o
denominado Gerador de Van de Graaff Materiais que estatildeo mais proacuteximos do extremo mais
negativo tecircm uma disposiccedilatildeo por assumir uma carga eleacutetrica
negativa Os materiais mais proacuteximos ao extremo mais positivo tendem a assumir carga eleacutetrica positiva Idealmente os materiais da
correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais afastados dessa
lista enquanto o material do cilindro superior deve estar na regiatildeo dos
neutros
Uma Nota em Relaccedilatildeo possiacutevel agrave Polaridade
de um Van de Graaff Para uma dada combinaccedilatildeo rolete inferior- correia- rolete
superior a polaridade do domo do GVDG fica determinada Por exemplo se a correia eacute de borracha o rolete inferior eacute de plaacutestico e o
rolete superior eacute de alumiacutenio o domo ficaraacute negativo Usando o
mesmo desenho poreacutem colocando-se o rolete de plaacutestico como superior e o de alumiacutenio como inferior o domo ficaraacute positivo
mais
positivo
Arvidrofibra
sinteacuteticalatildechumboalumiacuteniopapel
neutro Algodatildeoaccedilomadeiraborracha cobreacetatopolieacutesterpoliuretano
polipropileno vinil (PVC) silicone
mais
negativo
teflon
Robert Jemison Van de Graaff
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de dezembro de 1901 em Tuscaloosa Alabama A chamava-se Minnie Cherokee
Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de Graaff Robert frequentou
o Tuscaloosa escolas puacuteblicas e a Universidade de Alabama onde ele recebeu um grau de BS em 1922 e um grau de MS em 1923 Ambos
os graus estavam em engenharia mecacircnica
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a Companhia Alabama durante um ano como um assistente de pesquisa
Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e laacute assistiu
conferecircncias de Marie Curie sobre radiaccedilatildeo Em 1925 ele entrou para Universidade de Oxford na Inglaterra como um Estudioso de Rhodes
Em Oxford ele recebeu um BS em fiacutesica em 1926 e um PhD em
fiacutesica em 1928 Enquanto em Oxford ele se deu conta da esperanccedila
de trabalhar em experimentos nucleares com Ernest Rutherford que
poderiam acelerar partiacuteculas a velocidades suficiente para desintegrar
nuacutecleos Desintegrando nuacutecleos atocircmicos seria possiacutevel aprender sobre a natureza de aacutetomos individuais Essas ideacuteias que Robert Van
de Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de
partiacuteculas Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados Unidos
para se juntar ao Laboratoacuterio de Pesquisas Fiacutesicas na Universidade de
Princeton como um assessor de Pesquisa Nacional No outono daquele ano ele construiu o primeiro modelo de funcionamento do acelerador
electrostatico que produzia 80000 volts Foram feitas melhorias ao
modelo baacutesico e em novembro 1931 no jantar inaugural do Instituto americano de Fiacutesica foi exibido um modelo de demonstraccedilatildeo que
produziu mais de 1000000 volts Quando Karl T Compton se tornou o presidente de
Instituto de Massachusetts de Tecnologia Van de Graaff foi
convidado a vir ao MIT como um soacutecio de pesquisa Van de Graaff construiu a primeira maacutequina grande em um hangar de aeronave em
Sul Dartmouth Massachusetts A maacutequina usava duas esferas de
alumiacutenio polidas cada 15 peacutes em diacircmetro montado em 25 peacute colunas isolantes altas que tinham 6 peacutes em diacircmetro As colunas estavam
montadas em suportes de estrada de ferro que impulsionaram as
esferas para 43 peacutes sobre niacutevel de solo A maacutequina seu funcionamento em 28 de novembro de 1933 e pocircde produzir 7000000 de volts Esta
realizaccedilatildeo foi informada no New York Times durante 29 de novembro
de 1933 em uma histoacuteria intitulada Parafuso de Lances de Homem de 7000000 Volts Em 1937 a maacutequina foi movida a um local anexo
pressurizado no MIT
John D Cockcroft e Ernest Walton do Laboratoacuterio de Cavendish na Inglaterra tinham construiacutedo um acelerador de partiacutecula proacutespero em
1932 Esta maacutequina consistia de circuitos de voltagem-multiplicadores
usados para produzir as voltagens altas exigidas para aceleraccedilatildeo de partiacuteculas
Era vultoso e complicado e limitou em sua capacidade de
voltagem Em contraste com a maacutequina de Cockcroft-Walton a maacutequina de Van de Graaff era simples e compacta e era mais faacutecil
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 10
10
10
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e entatildeo aceleraccedilotildees mais altas
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenccedilatildeo dele Ele preparou a aplicaccedilatildeo de patente por Karl T Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT Van
de Graaff tambeacutem trabalhou com John G Trunfo professor de
engenharia eleacutetrica no MIT e com William W Buechner professor de fiacutesicas a MIT Um aparelho meacutedico de Graaff produzia raios X por
tratar tumores cancerosos com radiaccedilatildeo penetrante pela primeira vez
usado clinicamente 1937 na Escola Meacutedica de Harvard Em 1936 Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se Eles tiveram dois
filhos John e William
Durante 2ordf Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic Junto com William
W Buechner ele dirigiu a adaptaccedilatildeo do gerador de eletricidade para
exame de radiografias de precisatildeo da Marinha norte-americana Depois da guerra em 1945 o Van de Graaff recebeu como precircmio da
Fundaccedilatildeo Rockefeller uma concessatildeo para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT Em 19 de dezembro de 1946 Van de Graaff e Trunfo formaram a Corporaccedilatildeo Alta Voltagem (HVEC)
em Burlington Massachusetts HVEC foi formado para a produccedilatildeo
comercial de aceleradores de partiacutecula Denis M Robinson professor de engenharia eleacutetrica da Inglaterra se tornou o presidente da
corporaccedilatildeo nova John G Trunfo se tornou o diretor teacutecnico e Van de
Graaff se tornou o fiacutesico principal e soacutecio HVEC se tornou o provedor principal de geradores eletrosttaacuteticos
Eletrizaccedilatildeo por contato
Se um corpo metaacutelico C com carga Q1i
eletrizado for colocado em contato com outro corpo D
tambeacutem metaacutelico com carga Q2i o Princiacutepio da
conservaccedilatildeo da carga garante que a soma das cargas
finais e iniciais seraacute a mesma
Figura 8 ndashEletrizaccedilatildeo por contato
C Q1i Antes Q2i D
Contato C D
C Q1f Q2f D
ffii QQQQ 2121
Princiacutepio da conservaccedilatildeo da carga
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado
(Q2i = 0) haveraacute transferecircncia de apenas parte da carga
de C para D A transferecircncia de carga eacute parcial porque
ela seraacute interrompida quando os potenciais dos dois
corpos se igualarem
Suponha que o corpo D possuiacutesse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela Nestas
condiccedilotildees a carga de C induziraacute cargas eleacutetricas nas
superfiacutecies interna e externa de D Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo moacutedulo da
carga no corpo C (que provocou a induccedilatildeo) Entatildeo se
este corpo for colocado em contato com a parede interna
de D a carga induzida nesta parede seraacute neutralizada
pela carga de C O corpo D ficaraacute eletrizado com uma
carga de mesmo sinal e de mesmo moacutedulo que a carga
inicial do corpo C Tudo se passa como de a carga de C
fosse integralmente transferida para D
Quando haacute contato interno a transferecircncia de carga do
corpo que estaacute dentro da cavidade para o corpo externo
eacute integral mesmo que este jaacute possua uma carga inicial
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra
vez ligado internamente ao corpo D sua carga se
transferiraacute totalmente para D Esta operaccedilatildeo pode ser
repetida vaacuterias vezes e assim eacute possiacutevel acumular em
D uma quantidade de carga cada vez maior A
quantidade de carga em D naturalmente eacute limitada pela
rigidez dieleacutetrica do ar que o envolve Se a rigidez
dieleacutetrica do ar for ultrapassada parte da carga
acumulada em D tende a escoar e portanto a carga
maacutexima que pode existir em D eacute aquela que cria um
campo igual agrave rigidez dieleacutetrica do ar
Princiacutepio de Funcionamento do Gerador de
Van De Graaff
O fato da carga eleacutetrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro quando haacute
contato interno constitui o princiacutepio baacutesico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff
Este aparelho eacute constituiacutedo por uma correia que
passa por duas polias uma delas acionada por um motor
eleacutetrico que faz a correia se movimentar A segunda
polia encontra-se no interior de uma esfera metaacutelica oca
que estaacute apoiada em duas colunas isolantes
Enquanto a correia se movimenta ela recebe carga
eleacutetrica por meio de uma ponta eleacutetrica por meio de uma
ponta ligada a uma fonte de alta tensatildeo (cerca de 10000
V) Esta carga eacute transportada pela correia para o interior
da esfera metaacutelica Uma ponta ligada a esta esfera
recolhe a carga transportada pela correia Em virtude do
contato interno esta carga se transfere integralmente
para a superfiacutecie externa da esfera do gerador
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 11
11
11
Como as cargas satildeo transportadas
continuamente pela correia elas vatildeo se acumulando na
esfera ateacute que a rigidez dieleacutetrica do ar seja atingida
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
cientiacuteficos o diacircmetro da esfera eacute de alguns metros e a
altura do aparelho atinge agraves vezes 15 m Nestas
condiccedilotildees eacute possiacutevel obter voltagens de ateacute 10 milhotildees
de volts
Figura 9 ndashGerador de Van de Graaff
Eletrizaccedilatildeo Por Induccedilatildeo
A figura ilustra duas situaccedilotildees um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b) onde haacute uma nova
redistribuiccedilatildeo de carga no corpo neutro em ambos os
casos
Figura 11 ndashAproximaccedilatildeo do indutor n (a)
(b)
A presenccedila do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuiccedilatildeo das cargas
positivas e negativas do corpo neutro onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
proacuteximas do corpo carregado (indutor) Esse processo eacute
conhecido como induccedilatildeo eletrostaacutetica Caso o indutor
estiver carregado positivamente haveraacute uma
aproximaccedilatildeo das cargas negativas do induzido em
relaccedilatildeo ao indutor
Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de induccedilatildeo e contato eacute o
eletroscoacutepio de folhas de ouro Consiste de duas fitas
laminadas de ouro coladas na extremidade de uma
haste tendo na outra extremidade uma esfera colocada
num invoacutelucro isolante Aproximando um bastatildeo
carregado da esfera a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastatildeo se acumula nas folhas
repelindo-se mutuamente Se encostarmos o bastatildeo na
haste neutra esta se carregaraacute com a mesma carga
assim as lacircminas permaneceratildeo abertas
Figura 12 ndash Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
3
3
Figura 1 ndash a) JJ Thomson el seu laboratoacuterio (a)
utilizando o tubo de raios catoacutedicos (b) onde constatou a deflexaatildeo de raios catoacutedicos apoacutes aplicar um campo eleacutetrico entre
as placas Q e E (c)
a)
b)
c)
A experiecircncia da gota de oacuteleo de
Millikan
A experiecircncia de Millikan foi a primeira e
direta medida experimental da carga de um eleacutetron
Foi realizada em 1909 pelo fiacutesico
americano Robert A Millikan que construiu um
dispositivo capaz de medir a carga eleacutetrica presente
em gotas de oacuteleo demonstrando a natureza discreta
da carga do eleacutetron e medindo-a pela primeira vez
A montagem de Millikan eacute mostrada na
figura 2 Duas placas metaacutelicas rigorosamente
paralelas e horizontais satildeo isoladas e afastadas entre
si por uma distacircncia de alguns miliacutemetros
EQ
f
Q lt 0
Tv
gm
Figura 2 ndashAparato construiacutedo por Millikan para
medida da carga eleacutetrica
Espalhando as gotiacuteculas de oacuteleo por um
atomizador sobre a placa superior algumas das
gotiacuteculas caem atraveacutes de um pequeno furo existente
nessa placa Um feixe de luz eacute dirigido
horizontalmente entre as placas e uma luneta eacute
instalada com seu eixo perpendicular ao feixe As
gotiacuteculas de oacuteleo observadas pela luneta quando
iluminadas pelo feixe de luz aparecem como
pequeninas estrelas brilhantes caindo lentamente
com velocidade terminal constante dada pelo seu
peso e pela forccedila viscosa da resistecircncia do ar que se
opotildees ao movimento Verifica-se que algumas das
gotiacuteculas de oacuteleo se encontram eletrizadas
presumivelmente devido a efeitos de atrito Pode-se
tambeacutem carregar as gotiacuteculas ionizando-se o ar no
interior da cacircmara por meio de raio X ou com ums
pequena quantidade de material radioativo Dessa
maneira alguns eleacutetrons ou iacuteons colidem com as
gotiacuteculas de oacuteleo e satildeo por elas capturadas As
gotiacuteculas tecircm normalmente carga negativa mas
ocasionalmente pode-se encontrar uma ou outra
gotiacutecula com carga positiva
O meacutetodo mais simples da medida da carga
numa gota consiste em supor que a gotiacutecula possui
uma carga negativa e que as placas sejam mantidas a
uma diferenccedila de potencial constante tal que o
campo eleacutetrico eacute dirigido para baixo Assim a forccedila
eleacutetrica sobre a gotiacutecula eacute para cima Ajustando-se o
campo eleacutetrico E pode-se fazer com que a forccedila
eleacutetrica se iguale ao peso de modo a manter a gota
em repouso (Figura 2 (b)) Assim
E
gmQgmEQPFe 0
1
Como a massa da gota eacute a sua densidade
multiplicada pelo volume 3
34 Rm 2
O Campo eleacutetrico eacute dado pela diferenccedila de
potencial U dividida pela distacircncia entre as placas l
l
UE 3 Substituindo 2 e 3 em 1
teremos
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
4
4
U
glRQ
3
34
4
Todas essas quantidades podem ser
medidas com exceccedilatildeo do raio da gota que eacute muito
pequeno para ser medido da ordem de 10-5
cm
Pode-se calculaacute-lo desligando-se o campo eleacutetrico e
medindo-se a velocidade terminal vT da gotaquando
esta cai por uma distacircncia d A velocidade terminal
ocorre quando o peso eacute igual agrave forccedila viscosa f sobre
a gota dada pela Lei de Stokes
vRf 6
Montando a segunda lei de Newton
teremos
gRRvmgvRPf T
3
3466
g
vR T
23 5
Substituindo 5 em 4 teremos
g
v
U
lQ T
218
33
Millikan e seus colaboradores mediram as
cargas de alguns milhares de gotas e concluiacuteram
que dentro dos limites de seus erros experimentais
cada gota possuiacutea uma carga igual a um muacuteltiplo
inteiro de certa carga baacutesica e isto eacute haviam
observadas gotas com cargas 2e 3e 4e A conclusatildeo
que se chega eacute que a carga eacute muacuteltipla da carga e O
melhor valor experimental jaacute medido para e eacute
Ce 19106021921
Experimento de Rutherford
As partiacuteculas alfa (nuacutecleos de aacutetomos de
heacutelio 24
) de uma fonte radioativa foram usadas para
golpear uma folha fina do ouro As partiacuteculas alfa
produzem um pequeno flash minuacutesculo mas visiacutevel
de luz quando golpeiam uma tela fluorescente
Espantosamente as partiacuteculas de alfa foram
encontradas em acircngulos grandes da deflexatildeo e
algumas foram encontradas para traacutes ao serem
dispersas
Figura 3 ndash Aparato experimental do Experimento de
Rutherford Esta experiecircncia mostrou que a mateacuteria
positiva nos aacutetomos estaacute concentrada em um volume
muitiacutessimo pequeno e deu o nascimento agrave ideacuteia do
aacutetomo nuclear Assim representou um dos maiores
avanccedilos na nossa compreensatildeo da natureza
Se a folha do ouro possuir espessura de 1
microcircmetro (1 m) usando o diacircmetro do aacutetomo do
ouro da tabela perioacutedica sugere que a folha eacute possui
aproximadamente 2800 aacutetomos
O tamanho do nuacutecleo do aacutetomo comparado
ao tamanho do aacutetomo em que reside eacute pequeno Por
exemplo o espaccedilo dentro de um aacutetomo pode ser
comparado ao espaccedilo no sistema solar em um
modelo em escala como mostrado na figura
anterior Escolhendo o nuacutecleo de ouro o raio
atocircmico eacute 18000 vezes o tamanho do nuacutecleo Esta
disparidade no tamanho foi descoberta
primeiramente com o espalhamento de partiacuteculas
alfa realizado por Rutherford em folhas finas do
ouro A extremidade desta comparaccedilatildeo do espaccedilo eacute
destacada pelo fato que um aacutetomo com nuacutemeros
iguais dos necircutrons e dos proacutetons o nuacutecleo
compreende aproximadamente 9997 da massa do
aacutetomo
Eacute interessante observar alguns aspectos
como a ordem de grandeza do tamanho do aacutetomo
que eacute em torno de Angstron
mA 100
101
Jaacute a ordem de grandeza do tamanho do
nuacutecleo eacute da ordem de fentocircmetro usualmente
chamado Fermi
mfm 1 5101
As massas nucleares satildeo medidas em
termos da unidade de massa atocircmica com o nuacutecleo
de carbono 12 definido como tendo uma massa de
exatamente 12 uma
kguma 2710660541 1
Para termos uma ideacuteia das dimensotildees do
sistema atocircmico comparada com o sistema Solar
mostramos alguns dados na tabela abaixo
Modelo de Escala Relativa de um aacutetomo
e o sistema solar
Nessa escala a proacutexima estrela estaria a
aproximadamente 10000 milhas distante
(Figura extraiacuteda de httphyperphysicsphy-
astrgsuedu) Figura 4 ndash Comparaccedilatildeo do modelo atocircmico e sistema
solar
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
5
5
H1
1008
Li3
694
Na11
230
K19
391
Rb37
855
Cs55
1329
Fr87
223
Be4
901
Ca20
401
Sr38
876
Mg12
243
Ra88
226
Ba56
1373
Sc21
449
Y39
889 lantaniacute-deos
actiniacute-dios
Ti22
479
Zr40
912
Hf72
1785
Unq104
V23
509
Nb41
929
Ta73
1809
Unp105
Cr24
520
Mo42
959
W74
1838
Unh106
Mn25
549
Tc43
989
Re75
1862
Uns107
Fe26
558
Ru44
1011
Os76
1902
Uno108
Co27
589
Rh45
1029
Ir77
1922
Une109
Ni28
587
Pd46
1064
Pt78
1951
Cu29
635
Ag47
1079
Au79
1970
Zn30
654
Cd48
1124
Hg80
2006
B5
108
Al13
270
Ga31
697
In49
1148
Tl81
2044
C6
120
Si14
281
Ge32
726
Sn50
1187
Pb82
2072
N7
140
P15
310
As33
749
Sb51
1218
Bi83
2090
O8
160
S16
321
Se34
789
Te52
1276
Po84
209
F9
190
Cl17
355
Br35
799
I53
1269
At85
210
He2
400
Ne10
202
Ar18
399
Kr36
838
Xe54
1313
Rn86
222
Seacuterie dos lantaniacutedeos
Seacuterie dos actiniacutedios
La57
1389Ce58
1401Pr59
1409Nd60
1442Pm61
145Sm62
1504Eu63
1520Gd64
1573Tb65
1589Dy66
1625Ho67
1649Er68
1673
Tm69
1689Yb70
1730Lu71
1750
Ac89
2270Th90
2320Pa91
2310U92
2380Np93
2370Pu94
2440Am95
243Cm96
2470Bk97
2470Cf98
2510Es99
2520Fm100
2570Md101
2580No102
2590Lr103
2600
1A
2A
3B 4B 5B 6B 7B 8B 8B 8B 1B 2B
Elementos de transiccedilatildeo externa
Elementos de transiccedilatildeo interna
3A 4A 5A 6A 7A
0
siacutembolo
nuacutemero atocircmico
massa atocircmica
Dados do Modelo Comparativo Aacutetomo de Ouro Densidade nuclear 21017
kgm3
Densidade (material) 1932
gcm3
Massa Atocircmica 196 uma (1
mole = 19697 g)
1 uma = 166 10-27kg Nuacutemero de Avogadro
6021023 aacutetomosmole
Raio atocircmico 1310 -10m Raio nuclear 7310-15 m
Sistema Solar
Raio do Sol 695000 km Raio da Terra 6376 km
Distacircncia Sol-Terra 15010 6
km
Distacircncia Sol-Plutatildeo
5900106km
Alguns experimentos realizados
(espalhamento) sugerem que o nuacutecleo tem a forma
aproximadamente esfeacuterica e possui essencialmente a
mesma densidade Manteacutem-se unido devido a
existecircncia da chamada forccedila nuclear forte existente
entre quaisquer pares de partiacuteculas nucleares
(proacutetons ou necircutrons) ou nuacutecleons O nuacutemero de
proacutetons eacute chamado de nuacutemero atocircmico (Z) e
determina o elemento quiacutemico
Figura 4 ndash Tabela perioacutedica dos elementos
O nuacutecleo de um dado elemento (mesmo
nuacutemero atocircmico Z) pode ter diferentes nuacutemeros de
necircutrons Satildeo tratados como isoacutetopos do elemento
Os aacutetomos satildeo constituiacutedos por partiacuteculas
subatocircmicas eleacutetrons proacutetons e necircutron O eleacutetron
possui a carga negativa (-e) unidade de carga
fundamental da eletricidade Os eleacutetrons giram em
torno do nuacutecleo ou centro do aacutetomo em trajetoacuterias
de camadas concecircntricas ou oacuterbitas como
mostramos na figura 5 O proacuteton possui a carga
positiva (+e) Os proacutetons satildeo encontrados no nuacutecleo
O nuacutemero de proacutetons dentro do nuacutecleo de qualquer
aacutetomo especiacutefico determina o elemento e o nuacutemero
atocircmico Z
Por exemplo o aacutetomo de siliacutecio tem 14
proacutetons no seu nuacutecleo e portanto o nuacutemero atocircmico
do siliacutecio eacute 14 O necircutron que eacute a carga neutra fun-
damental da eletricidade tambeacutem eacute encontrado no
nuacutecleo
Figura 5 ndash Representaccedilatildeo de um aacutetomo e suas
dimensotildees
As massas nucleares satildeo medidas nos
termos de unidades maciccedilas atocircmicas com o nuacutecleo
do carbono-12 definido como tendo uma
exatamente 12 Eacute tambeacutem praacutetica comum citar a
chamada energia de repouso E = m0c2) A
correspondecircncia da energia de repouso a uma eacute
MeVkgu 494931106605411 27
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 6
6
6
A Carga eleacutetrica
Como certos aacutetomos satildeo capazes de ceder eleacutetrons
e outros capazes de receber eleacutetrons eacute possiacutevel produzir
uma transferecircncia de eleacutetrons de um corpo para outro
Quando isto ocorre a distribuiccedilatildeo igual das cargas
positivas e negativas em cada corpo deixa de existir
Portanto um corpo conteraacute um excesso de eleacutetrons e a
sua carga teraacute uma polaridade eleacutetrica negativa ou
menos (-) O outro corpo conteraacute uma deficiecircncia de
eleacutetrons ou um excesso de proacutetons e a sua carga teraacute
uma polaridade positiva ou mais (+)
Quando um par de corpos conteacutem a mesma carga
isto eacute ambas positivas (+) ou ambas negativas (-) diz-
se que os corpos tecircm cargas iguais Quando um par de
corpos conteacutem cargas diferentes isto eacute um corpo eacute
positivo (+) enquanto o outro eacute negativo (-) diz-se que
eles apresentam cargas desiguais ou opostas
A lei das cargas eleacutetricas pode ser enunciada da
seguinte forma
Quantizaccedilatildeo das cargas eleacutetricas
A mateacuteria eacute constituiacuteda por aacutetomos que satildeo
eletricamente neutros Os aacutetomos de elementos
diferentes diferem entre si pelo nuacutemero de eleacutetrons e de
proacutetons que contecircm No seu estado natural um aacutetomo
de qualquer elemento conteacutem um nuacutemero igual de
eleacutetrons e de proacutetons Como a carga negativa (-) de cada
eleacutetron tem o mesmo valor absoluto que a carga positiva
(+) de cada proacuteton as duas cargas opostas se cancelam
Um aacutetomo nestas condiccedilotildees eacute eletricamente neutro ou
estaacute em equiliacutebrio
Cada aacutetomo tem um pequenino nuacutecleo de
massa notaacutevel constituiacutedo por proacutetons e necircutrons
Como vimos anteriormente a experiecircncia de Millikan
comprovou que toda carga existente na natureza eacute
muacuteltipla da carga eleacutetrica fundamental que
denominamos de e e vale
Ce 191061
Onde C eacute a unidade no sistema internacional de
carga eleacutetrica denominada de Coulomb
A carga do proacuteton q p e a carga do eleacutetron qe
satildeo dadas por
Ceqp
191061
Ceqe
191061
Assim qualquer corpo carregado na natureza
possui um nuacutemero inteiro da carga eleacutetrica fundamental
resultado conhecido como a quantizaccedilatildeo da carga
eleacutetrica
3210nenQ
Exemplo 2 - Descreva os dois aacutetomos mais simples
O aacutetomo mais simples eacute o aacutetomo de hidrogecircnio que
conteacutem l proacuteton no seu nuacutecleo em equiliacutebrio com l eleacutetron que gira em
tomo do nuacutecleo O aacutetomo seguinte mais simples eacute o aacutetomo de heacutelio que possui 2 proacutetons no seu nuacutecleo equilibrados por 2 eleacutetrons
orbitando em tomo do nuacutecleo
Niels Bohr postulou que no aacutetomo existem
niacuteveis de energias permitidos ou seja ocorrem as
chamadas camadas de energia e existe uma ldquocotardquo de
eleacutetrons permitida em cada camada Quando a camada
mais externa de um aacutetomo tem um deacuteficit na sua cota de
eleacutetrons ela pode ganhar ou perder eleacutetrons Se um
aacutetomo perder um ou mais eleacutetrons da sua camada mais
externa o nuacutemero de proacutetons supera o nuacutemero de
eleacutetrons e o aacutetomo passa a conter uma carga eleacutetrica
efetiva positiva Nestas condiccedilotildees o aacutetomo eacute chamado
de iacuteon positivo (caacutetion) Se um aacutetomo ganhar eleacutetrons a
sua carga eleacutetrica efetiva torna-se negativa O aacutetomo eacute
entatildeo chamado de iacuteon negativo (acircnion) O processo em
que os aacutetomos recebem ou cedem eleacutetrons eacute chamado de
ionizaccedilatildeo
Assim a energia total que o eleacutetron pode ter eacute
definida em valores discretos e portanto ele soacute pode
ocupar determinadas oacuterbitas ou niacuteveis de energia Os
niacuteveis possiacuteveis satildeo sete e estatildeo representados na figura
6
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons que cada niacutevel
pode ter eacute limitado segundo o princiacutepio de exclusatildeo de
Pauli e eacute dado por 2n2 onde n eacute o nuacutemero do niacutevel
Assim o niacutevel 1 poderaacute no maacuteximo 2 o niacutevel 2 no
maacuteximo 8 e assim sucessivamente
Figura 6 ndash Representaccedilatildeo dos niacuteveis de energia de um
aacutetomo
Eacute regra geral na natureza a estabilizaccedilatildeo na
menor energia possiacutevel Assim os niacuteveis satildeo
preenchidos na sequumlecircncia do menor para o maior e um
niacutevel soacute poderaacute conter eleacutetrons se o anterior estiver
completo A Figura 6 mostra isso
Os eleacutetrons em cada niacutevel ocupam subniacuteveis e
cada um pode conter um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons e
satildeo de forma similar preenchidos do menor para o
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 7
7
7
maiorOs subniacuteveis satildeo designados pelas letras s p d e f
e os valores maacuteximos satildeo respectivamente 2 6 10 e 14
Evidente que por exemplo o niacutevel 1 soacute pode
ter o subniacutevel s pois o nuacutemero maacuteximo do niacutevel eacute 2 Jaacute
o niacutevel 2 pode ter os subniacuteveis s e p e assim
sucessivamente
A figura 7 daacute o exemplo da distribuiccedilatildeo dos
eleacutetrons em um aacutetomo de cobre nuacutemero atocircmico 29
O niacutevel mais externo (4 neste exemplo) eacute
chamado de niacutevel de valecircncia e os eleacutetrons presentes
nele satildeo os eleacutetrons de valecircncia
O nuacutemero de eleacutetrons de valecircncia eacute um fator
importante do elemento Ele define a capacidade do
aacutetomo de ganhar ou perder eleacutetrons e de se combinar
com outros elementosMuitas das propriedades quiacutemicas
e eleacutetricas dependem da valecircnciaA convenccedilatildeo adotada
para a representaccedilatildeo graacutefica da distribuiccedilatildeo de eleacutetrons
no aacutetomo do elemento eacute a indicaccedilatildeo sequumlencial dos
niacuteveis e respectivos subniacuteveis com o nuacutemero de
eleacutetrons de cada subniacutevel colocado na forma de
expoente Para este caso do cobre
1s22s
22p
63s
23p
63d
104s
1
Figura7 ndashConfiguraccedilatildeo eletrocircnica para o aacutetomo de cobre
Exemplo 1 - Descreva o que ocorre com o aacutetomo
de cobre quando ele perde um eleacutetron da sua camada
mais externa
O aacutetomo de cobre toma-se um iacuteon positivo com
uma carga efetiva de +1
Quanto as partiacuteculas fundamentais teremos
para a Carga eleacutetrica
Natureza Valor
relativo
Massa
relativa
Proacuteton Positiva +1e 1
Necircutron Natildeo
existe 0 1
Eleacutetron Negativa -1e 11836
As Camadas eletrocircnicas
Os eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos em camadas ou niacuteveis de
energia
nuacutecleo
camada
K L M N O P Q
1 2 3 4 5 6 7
niacutevel
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons nas camadas ou
niacuteveis de energia
K L M N O P Q
2 8 18 32 32 18 2
Subniacuteveis de energia
As camadas ou niacuteveis de energia satildeo formados de
subcamadas ou subniacuteveis de energia designados pelas
letras s p d f
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons 2 6 10 14
Os subniacuteveis conhecidos em cada niacutevel de
energia
Subniacutevel 1s 2s
2p
3s
3p
3d
4s
4p
4d
4f
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
Niacutevel 1 2 3 4 5 6 7
K L M N O P Q
Subniacuteveis em ordem crescente de energia
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d
Preenchimento dos subniacuteveis
Os subniacuteveis satildeo preenchidos sucessivamente
na ordem crescente de energia com o nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons possiacutevel em cada subniacutevel (Regra de
aufbau)Os nuacutemeros quacircnticos indicam a energia do
eleacutetron no aacutetomo e a regiatildeo de maacutexima probabilidade de
se encontrar o eleacutetron
O nuacutemero quacircntico principal (n) indica o
niacutevel de energia Varia de n = 1 a n = 7
respectivamente no 1ordm 2ordm 3ordm niacutevel de energia
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 8
8
8
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons em cada niacutevel eacute
dado por 2n2 Entre os aacutetomos conhecidos no estado
fundamental o nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons num mesmo
niacutevel eacute 32
O nuacutemero quacircntico secundaacuterio ou azimutal
(l) indica a energia do eleacutetron no subniacutevel Nos aacutetomos
conhecidos no estado fundamental haacute quatro subniacuteveis
representados por s p d f em ordem crescente de
energia
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero
quacircntico
azimutal
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
Orbitais
Os subniacuteveis satildeo formados de orbitais Orbital
eacute a regiatildeo da eletrosfera onde haacute maior probabilidade de
estar localizado o eleacutetron do aacutetomo O nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons em cada orbital eacute 2A cada orbital foi
atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico magneacutetico (m) cujo valor
varia de -l a +l passando por zero
subniacutevel s um soacute orbital s (0)
subniacutevel p trecircs orbitais p (-1) (0) (+1)
subniacutevel d cinco orbitais d (-2) (-1) (0) (+1) (+2)
subniacutevel f sete orbitais f
(-3) (-2) (-1)
(0)
(+1) (+2) (+3)
O orbital s tem forma esfeacuterica Os orbitais p
tecircm forma de duplo ovoacuteide e satildeo perpendiculares entre
si (estatildeo dirigidos segundo trecircs eixos ortogonais x y e
z)
Spin
Spin eacute o movimento de rotaccedilatildeo do eleacutetron em
torno de seu eixo Pode ser paralelo ou antiparalelo A
cada um deles foi atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico + 12
e -12
Princiacutepio da exclusatildeo de Pauli
Em um mesmo aacutetomo natildeo existem dois
eleacutetrons com quatro nuacutemeros quacircnticos iguais
Como consequumlecircncia desse princiacutepio dois
eleacutetrons de um mesmo orbital tecircm spins opostos
Um orbital semicheio conteacutem um eleacutetron
desemparelhado um orbital cheio conteacutem dois eleacutetrons
emparelhados (de spins opostos)
Regra de Hund
Ao ser preenchido um subniacutevel cada orbital
desse subniacutevel recebe inicialmente apenas um eleacutetron
somente depois de o uacuteltimo orbital desse subniacutevel ter
recebido seu primeiro eleacutetron comeccedila o preenchimento
de cada orbital semicheio com o segundo eleacutetron
Eleacutetron de maior energia ou eleacutetron de
diferenciaccedilatildeo eacute o uacuteltimo eleacutetron distribuiacutedo no
preenchimento da eletrosfera de acordo com as regras
estudadas
Um aacutetomo estaacutevel (neutro) possui uma certa
quantidade de energia que eacute igual agrave soma das energias
dos seus eleacutetrons Os eleacutetrons por sua vez possuem
energias diferentes chamadas de niacuteveis de energia O
niacutevel de energia de um eleacutetron eacute proporcional a sua
distacircncia do nuacutecleo Portanto os niacuteveis de energia de
eleacutetrons em camadas mais afastadas do nuacutecleo satildeo
maiores do que os de eleacutetrons em camadas mais
proacuteximas do nuacutecleo Os eleacutetrons situados na camada
mais externa satildeo chamados de eleacutetrons de valecircncia
Quando se aplica a certos materiais energia externa
como calor luz ou energia eleacutetrica os eleacutetrons adquirem
energia Isto pode fazer com que o eleacutetron se desloque
para um niacutevel de energia mais alto Diz-se que um
aacutetomo em que isto aconteceu estaacute num estado excitado
Um aacutetomo num estado excitado eacute instaacutevel
Ao ser deslocado para a camada mais externa
do aacutetomo o eleacutetron sofre a miacutenima atraccedilatildeo possiacutevel
pelas cargas positivas dos proacutetons dentro do nuacutecleo do
aacutetomo Se for aplicada ao aacutetomo uma energia suficiente
alguns dos eleacutetrons de valecircncia ou da camada mais
externa abandonaratildeo o aacutetomo Estes eleacutetrons satildeo
chamados de eleacutetrons livres Eacute o movimento dos
eleacutetrons livres que produz a corrente eleacutetrica num
condutor metaacutelico
Cada camada de um aacutetomo pode conter somente um
certo nuacutemero de eleacutetrons Este nuacutemero eacute chamado de
cota da camada Os eleacutetrons em oacuterbita encontram-se em
camadas sucessivas denominadas pelas letras K L M
N O P e Q cada uma delas mais afastada do nuacutecleo
Cada camada conteacutem um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons
para a condiccedilatildeo de estabilidade (Fig 1-3) Depois da
camada K ter sido preenchida com 2 eleacutetrons a camada
L pode conter ateacute 8 eleacutetrons O nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons nas camadas restantes pode ser de 8 18 ou 32
conforme o elemento Entretanto para a camada mais
externa o nuacutemero maacuteximo eacute sempre 8
Exemplo 3 - Mostre a estrutura do aacutetomo de cobre identificando
suas camadas de energia
No aacutetomo de cobre haacute 29 proacutetons no nuacutecleo contrabalanceados
pecirclos 29 eleacutetrons orbitais Os 29 eleacutetrons preenchem a camada K com
2 eleacutetrons e a camada L com 8 eleacutetrons Os 19 eleacutetrons restantes preenchem a camada M com 18 eleacutetrons e consequumlentemente sobra l
eleacutetron que fica na camada N mais externa
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 9
9
9
Se a cota da camada mais externa de um aacutetomo for
preenchida diz-se que o elemento formado por tais
aacutetomos eacute inerte ou estaacutevel
Conservaccedilatildeo da Carga
Quando esfregamos dois corpos um deles fica
com excesso de eleacutetrons e carregado com carga
negativa e o outro com falta de eleacutetrons e carregado
com carga positiva A carga liacutequida dos dois corpos
permanece constante ou seja a carga se conserva
A Lei da conservaccedilatildeo da carga eacute uma Lei
fundamental na Natureza
Condutores e Isolantes
Em muitos materiais por exemplo cobre e
outros metais os eleacutetrons podem se deslocar livremente
Esses materiais satildeo chamados de condutores Outros
como a madeira o vidro e a borracha os eleacutetrons estatildeo
ligados aos aacutetomos mais proacuteximos e natildeo podem se
deslocar em liberdade Satildeo chamados de isolantes
Exemplo 4 ndash A massa de uma moeda de cobre eacute de 3 g (ZCu=29) Qual a carga total dos eleacutetrons na moeda
A carga total eacute o produto do nuacutemero total de eleacutetrons e a carga do eleacutetron Q = Ne (-e)
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto do nuacutemero aacutetomos
de cobre e Z Ne = Z Na Como a massa molecular do cobre eacute 635g teremos que o
nuacutemero de aacutetomos seraacute
aacutetomosNmol
g
molaacute tomos
a
2223
10842563
100263
eleacutetronsZNN ae
2322 102481084229
CeNQ e
51923 10321106110248)(
Processos de eletrizaccedilatildeo
Atrito
No processo de eletrizaccedilatildeo por atrito por dois
corpos um corpo tem afinidade em doar eleacutetrons e outro
tem afinidade em receber eleacutetrons Apoacutes atritar um
corpo com outro os dois ficaratildeo carregados com cargas
de sinais opostos
Um exemplo de eletrizaccedilatildeo por atrito eacute o
denominado Gerador de Van de Graaff Materiais que estatildeo mais proacuteximos do extremo mais
negativo tecircm uma disposiccedilatildeo por assumir uma carga eleacutetrica
negativa Os materiais mais proacuteximos ao extremo mais positivo tendem a assumir carga eleacutetrica positiva Idealmente os materiais da
correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais afastados dessa
lista enquanto o material do cilindro superior deve estar na regiatildeo dos
neutros
Uma Nota em Relaccedilatildeo possiacutevel agrave Polaridade
de um Van de Graaff Para uma dada combinaccedilatildeo rolete inferior- correia- rolete
superior a polaridade do domo do GVDG fica determinada Por exemplo se a correia eacute de borracha o rolete inferior eacute de plaacutestico e o
rolete superior eacute de alumiacutenio o domo ficaraacute negativo Usando o
mesmo desenho poreacutem colocando-se o rolete de plaacutestico como superior e o de alumiacutenio como inferior o domo ficaraacute positivo
mais
positivo
Arvidrofibra
sinteacuteticalatildechumboalumiacuteniopapel
neutro Algodatildeoaccedilomadeiraborracha cobreacetatopolieacutesterpoliuretano
polipropileno vinil (PVC) silicone
mais
negativo
teflon
Robert Jemison Van de Graaff
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de dezembro de 1901 em Tuscaloosa Alabama A chamava-se Minnie Cherokee
Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de Graaff Robert frequentou
o Tuscaloosa escolas puacuteblicas e a Universidade de Alabama onde ele recebeu um grau de BS em 1922 e um grau de MS em 1923 Ambos
os graus estavam em engenharia mecacircnica
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a Companhia Alabama durante um ano como um assistente de pesquisa
Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e laacute assistiu
conferecircncias de Marie Curie sobre radiaccedilatildeo Em 1925 ele entrou para Universidade de Oxford na Inglaterra como um Estudioso de Rhodes
Em Oxford ele recebeu um BS em fiacutesica em 1926 e um PhD em
fiacutesica em 1928 Enquanto em Oxford ele se deu conta da esperanccedila
de trabalhar em experimentos nucleares com Ernest Rutherford que
poderiam acelerar partiacuteculas a velocidades suficiente para desintegrar
nuacutecleos Desintegrando nuacutecleos atocircmicos seria possiacutevel aprender sobre a natureza de aacutetomos individuais Essas ideacuteias que Robert Van
de Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de
partiacuteculas Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados Unidos
para se juntar ao Laboratoacuterio de Pesquisas Fiacutesicas na Universidade de
Princeton como um assessor de Pesquisa Nacional No outono daquele ano ele construiu o primeiro modelo de funcionamento do acelerador
electrostatico que produzia 80000 volts Foram feitas melhorias ao
modelo baacutesico e em novembro 1931 no jantar inaugural do Instituto americano de Fiacutesica foi exibido um modelo de demonstraccedilatildeo que
produziu mais de 1000000 volts Quando Karl T Compton se tornou o presidente de
Instituto de Massachusetts de Tecnologia Van de Graaff foi
convidado a vir ao MIT como um soacutecio de pesquisa Van de Graaff construiu a primeira maacutequina grande em um hangar de aeronave em
Sul Dartmouth Massachusetts A maacutequina usava duas esferas de
alumiacutenio polidas cada 15 peacutes em diacircmetro montado em 25 peacute colunas isolantes altas que tinham 6 peacutes em diacircmetro As colunas estavam
montadas em suportes de estrada de ferro que impulsionaram as
esferas para 43 peacutes sobre niacutevel de solo A maacutequina seu funcionamento em 28 de novembro de 1933 e pocircde produzir 7000000 de volts Esta
realizaccedilatildeo foi informada no New York Times durante 29 de novembro
de 1933 em uma histoacuteria intitulada Parafuso de Lances de Homem de 7000000 Volts Em 1937 a maacutequina foi movida a um local anexo
pressurizado no MIT
John D Cockcroft e Ernest Walton do Laboratoacuterio de Cavendish na Inglaterra tinham construiacutedo um acelerador de partiacutecula proacutespero em
1932 Esta maacutequina consistia de circuitos de voltagem-multiplicadores
usados para produzir as voltagens altas exigidas para aceleraccedilatildeo de partiacuteculas
Era vultoso e complicado e limitou em sua capacidade de
voltagem Em contraste com a maacutequina de Cockcroft-Walton a maacutequina de Van de Graaff era simples e compacta e era mais faacutecil
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 10
10
10
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e entatildeo aceleraccedilotildees mais altas
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenccedilatildeo dele Ele preparou a aplicaccedilatildeo de patente por Karl T Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT Van
de Graaff tambeacutem trabalhou com John G Trunfo professor de
engenharia eleacutetrica no MIT e com William W Buechner professor de fiacutesicas a MIT Um aparelho meacutedico de Graaff produzia raios X por
tratar tumores cancerosos com radiaccedilatildeo penetrante pela primeira vez
usado clinicamente 1937 na Escola Meacutedica de Harvard Em 1936 Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se Eles tiveram dois
filhos John e William
Durante 2ordf Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic Junto com William
W Buechner ele dirigiu a adaptaccedilatildeo do gerador de eletricidade para
exame de radiografias de precisatildeo da Marinha norte-americana Depois da guerra em 1945 o Van de Graaff recebeu como precircmio da
Fundaccedilatildeo Rockefeller uma concessatildeo para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT Em 19 de dezembro de 1946 Van de Graaff e Trunfo formaram a Corporaccedilatildeo Alta Voltagem (HVEC)
em Burlington Massachusetts HVEC foi formado para a produccedilatildeo
comercial de aceleradores de partiacutecula Denis M Robinson professor de engenharia eleacutetrica da Inglaterra se tornou o presidente da
corporaccedilatildeo nova John G Trunfo se tornou o diretor teacutecnico e Van de
Graaff se tornou o fiacutesico principal e soacutecio HVEC se tornou o provedor principal de geradores eletrosttaacuteticos
Eletrizaccedilatildeo por contato
Se um corpo metaacutelico C com carga Q1i
eletrizado for colocado em contato com outro corpo D
tambeacutem metaacutelico com carga Q2i o Princiacutepio da
conservaccedilatildeo da carga garante que a soma das cargas
finais e iniciais seraacute a mesma
Figura 8 ndashEletrizaccedilatildeo por contato
C Q1i Antes Q2i D
Contato C D
C Q1f Q2f D
ffii QQQQ 2121
Princiacutepio da conservaccedilatildeo da carga
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado
(Q2i = 0) haveraacute transferecircncia de apenas parte da carga
de C para D A transferecircncia de carga eacute parcial porque
ela seraacute interrompida quando os potenciais dos dois
corpos se igualarem
Suponha que o corpo D possuiacutesse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela Nestas
condiccedilotildees a carga de C induziraacute cargas eleacutetricas nas
superfiacutecies interna e externa de D Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo moacutedulo da
carga no corpo C (que provocou a induccedilatildeo) Entatildeo se
este corpo for colocado em contato com a parede interna
de D a carga induzida nesta parede seraacute neutralizada
pela carga de C O corpo D ficaraacute eletrizado com uma
carga de mesmo sinal e de mesmo moacutedulo que a carga
inicial do corpo C Tudo se passa como de a carga de C
fosse integralmente transferida para D
Quando haacute contato interno a transferecircncia de carga do
corpo que estaacute dentro da cavidade para o corpo externo
eacute integral mesmo que este jaacute possua uma carga inicial
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra
vez ligado internamente ao corpo D sua carga se
transferiraacute totalmente para D Esta operaccedilatildeo pode ser
repetida vaacuterias vezes e assim eacute possiacutevel acumular em
D uma quantidade de carga cada vez maior A
quantidade de carga em D naturalmente eacute limitada pela
rigidez dieleacutetrica do ar que o envolve Se a rigidez
dieleacutetrica do ar for ultrapassada parte da carga
acumulada em D tende a escoar e portanto a carga
maacutexima que pode existir em D eacute aquela que cria um
campo igual agrave rigidez dieleacutetrica do ar
Princiacutepio de Funcionamento do Gerador de
Van De Graaff
O fato da carga eleacutetrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro quando haacute
contato interno constitui o princiacutepio baacutesico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff
Este aparelho eacute constituiacutedo por uma correia que
passa por duas polias uma delas acionada por um motor
eleacutetrico que faz a correia se movimentar A segunda
polia encontra-se no interior de uma esfera metaacutelica oca
que estaacute apoiada em duas colunas isolantes
Enquanto a correia se movimenta ela recebe carga
eleacutetrica por meio de uma ponta eleacutetrica por meio de uma
ponta ligada a uma fonte de alta tensatildeo (cerca de 10000
V) Esta carga eacute transportada pela correia para o interior
da esfera metaacutelica Uma ponta ligada a esta esfera
recolhe a carga transportada pela correia Em virtude do
contato interno esta carga se transfere integralmente
para a superfiacutecie externa da esfera do gerador
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 11
11
11
Como as cargas satildeo transportadas
continuamente pela correia elas vatildeo se acumulando na
esfera ateacute que a rigidez dieleacutetrica do ar seja atingida
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
cientiacuteficos o diacircmetro da esfera eacute de alguns metros e a
altura do aparelho atinge agraves vezes 15 m Nestas
condiccedilotildees eacute possiacutevel obter voltagens de ateacute 10 milhotildees
de volts
Figura 9 ndashGerador de Van de Graaff
Eletrizaccedilatildeo Por Induccedilatildeo
A figura ilustra duas situaccedilotildees um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b) onde haacute uma nova
redistribuiccedilatildeo de carga no corpo neutro em ambos os
casos
Figura 11 ndashAproximaccedilatildeo do indutor n (a)
(b)
A presenccedila do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuiccedilatildeo das cargas
positivas e negativas do corpo neutro onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
proacuteximas do corpo carregado (indutor) Esse processo eacute
conhecido como induccedilatildeo eletrostaacutetica Caso o indutor
estiver carregado positivamente haveraacute uma
aproximaccedilatildeo das cargas negativas do induzido em
relaccedilatildeo ao indutor
Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de induccedilatildeo e contato eacute o
eletroscoacutepio de folhas de ouro Consiste de duas fitas
laminadas de ouro coladas na extremidade de uma
haste tendo na outra extremidade uma esfera colocada
num invoacutelucro isolante Aproximando um bastatildeo
carregado da esfera a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastatildeo se acumula nas folhas
repelindo-se mutuamente Se encostarmos o bastatildeo na
haste neutra esta se carregaraacute com a mesma carga
assim as lacircminas permaneceratildeo abertas
Figura 12 ndash Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
4
4
U
glRQ
3
34
4
Todas essas quantidades podem ser
medidas com exceccedilatildeo do raio da gota que eacute muito
pequeno para ser medido da ordem de 10-5
cm
Pode-se calculaacute-lo desligando-se o campo eleacutetrico e
medindo-se a velocidade terminal vT da gotaquando
esta cai por uma distacircncia d A velocidade terminal
ocorre quando o peso eacute igual agrave forccedila viscosa f sobre
a gota dada pela Lei de Stokes
vRf 6
Montando a segunda lei de Newton
teremos
gRRvmgvRPf T
3
3466
g
vR T
23 5
Substituindo 5 em 4 teremos
g
v
U
lQ T
218
33
Millikan e seus colaboradores mediram as
cargas de alguns milhares de gotas e concluiacuteram
que dentro dos limites de seus erros experimentais
cada gota possuiacutea uma carga igual a um muacuteltiplo
inteiro de certa carga baacutesica e isto eacute haviam
observadas gotas com cargas 2e 3e 4e A conclusatildeo
que se chega eacute que a carga eacute muacuteltipla da carga e O
melhor valor experimental jaacute medido para e eacute
Ce 19106021921
Experimento de Rutherford
As partiacuteculas alfa (nuacutecleos de aacutetomos de
heacutelio 24
) de uma fonte radioativa foram usadas para
golpear uma folha fina do ouro As partiacuteculas alfa
produzem um pequeno flash minuacutesculo mas visiacutevel
de luz quando golpeiam uma tela fluorescente
Espantosamente as partiacuteculas de alfa foram
encontradas em acircngulos grandes da deflexatildeo e
algumas foram encontradas para traacutes ao serem
dispersas
Figura 3 ndash Aparato experimental do Experimento de
Rutherford Esta experiecircncia mostrou que a mateacuteria
positiva nos aacutetomos estaacute concentrada em um volume
muitiacutessimo pequeno e deu o nascimento agrave ideacuteia do
aacutetomo nuclear Assim representou um dos maiores
avanccedilos na nossa compreensatildeo da natureza
Se a folha do ouro possuir espessura de 1
microcircmetro (1 m) usando o diacircmetro do aacutetomo do
ouro da tabela perioacutedica sugere que a folha eacute possui
aproximadamente 2800 aacutetomos
O tamanho do nuacutecleo do aacutetomo comparado
ao tamanho do aacutetomo em que reside eacute pequeno Por
exemplo o espaccedilo dentro de um aacutetomo pode ser
comparado ao espaccedilo no sistema solar em um
modelo em escala como mostrado na figura
anterior Escolhendo o nuacutecleo de ouro o raio
atocircmico eacute 18000 vezes o tamanho do nuacutecleo Esta
disparidade no tamanho foi descoberta
primeiramente com o espalhamento de partiacuteculas
alfa realizado por Rutherford em folhas finas do
ouro A extremidade desta comparaccedilatildeo do espaccedilo eacute
destacada pelo fato que um aacutetomo com nuacutemeros
iguais dos necircutrons e dos proacutetons o nuacutecleo
compreende aproximadamente 9997 da massa do
aacutetomo
Eacute interessante observar alguns aspectos
como a ordem de grandeza do tamanho do aacutetomo
que eacute em torno de Angstron
mA 100
101
Jaacute a ordem de grandeza do tamanho do
nuacutecleo eacute da ordem de fentocircmetro usualmente
chamado Fermi
mfm 1 5101
As massas nucleares satildeo medidas em
termos da unidade de massa atocircmica com o nuacutecleo
de carbono 12 definido como tendo uma massa de
exatamente 12 uma
kguma 2710660541 1
Para termos uma ideacuteia das dimensotildees do
sistema atocircmico comparada com o sistema Solar
mostramos alguns dados na tabela abaixo
Modelo de Escala Relativa de um aacutetomo
e o sistema solar
Nessa escala a proacutexima estrela estaria a
aproximadamente 10000 milhas distante
(Figura extraiacuteda de httphyperphysicsphy-
astrgsuedu) Figura 4 ndash Comparaccedilatildeo do modelo atocircmico e sistema
solar
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
5
5
H1
1008
Li3
694
Na11
230
K19
391
Rb37
855
Cs55
1329
Fr87
223
Be4
901
Ca20
401
Sr38
876
Mg12
243
Ra88
226
Ba56
1373
Sc21
449
Y39
889 lantaniacute-deos
actiniacute-dios
Ti22
479
Zr40
912
Hf72
1785
Unq104
V23
509
Nb41
929
Ta73
1809
Unp105
Cr24
520
Mo42
959
W74
1838
Unh106
Mn25
549
Tc43
989
Re75
1862
Uns107
Fe26
558
Ru44
1011
Os76
1902
Uno108
Co27
589
Rh45
1029
Ir77
1922
Une109
Ni28
587
Pd46
1064
Pt78
1951
Cu29
635
Ag47
1079
Au79
1970
Zn30
654
Cd48
1124
Hg80
2006
B5
108
Al13
270
Ga31
697
In49
1148
Tl81
2044
C6
120
Si14
281
Ge32
726
Sn50
1187
Pb82
2072
N7
140
P15
310
As33
749
Sb51
1218
Bi83
2090
O8
160
S16
321
Se34
789
Te52
1276
Po84
209
F9
190
Cl17
355
Br35
799
I53
1269
At85
210
He2
400
Ne10
202
Ar18
399
Kr36
838
Xe54
1313
Rn86
222
Seacuterie dos lantaniacutedeos
Seacuterie dos actiniacutedios
La57
1389Ce58
1401Pr59
1409Nd60
1442Pm61
145Sm62
1504Eu63
1520Gd64
1573Tb65
1589Dy66
1625Ho67
1649Er68
1673
Tm69
1689Yb70
1730Lu71
1750
Ac89
2270Th90
2320Pa91
2310U92
2380Np93
2370Pu94
2440Am95
243Cm96
2470Bk97
2470Cf98
2510Es99
2520Fm100
2570Md101
2580No102
2590Lr103
2600
1A
2A
3B 4B 5B 6B 7B 8B 8B 8B 1B 2B
Elementos de transiccedilatildeo externa
Elementos de transiccedilatildeo interna
3A 4A 5A 6A 7A
0
siacutembolo
nuacutemero atocircmico
massa atocircmica
Dados do Modelo Comparativo Aacutetomo de Ouro Densidade nuclear 21017
kgm3
Densidade (material) 1932
gcm3
Massa Atocircmica 196 uma (1
mole = 19697 g)
1 uma = 166 10-27kg Nuacutemero de Avogadro
6021023 aacutetomosmole
Raio atocircmico 1310 -10m Raio nuclear 7310-15 m
Sistema Solar
Raio do Sol 695000 km Raio da Terra 6376 km
Distacircncia Sol-Terra 15010 6
km
Distacircncia Sol-Plutatildeo
5900106km
Alguns experimentos realizados
(espalhamento) sugerem que o nuacutecleo tem a forma
aproximadamente esfeacuterica e possui essencialmente a
mesma densidade Manteacutem-se unido devido a
existecircncia da chamada forccedila nuclear forte existente
entre quaisquer pares de partiacuteculas nucleares
(proacutetons ou necircutrons) ou nuacutecleons O nuacutemero de
proacutetons eacute chamado de nuacutemero atocircmico (Z) e
determina o elemento quiacutemico
Figura 4 ndash Tabela perioacutedica dos elementos
O nuacutecleo de um dado elemento (mesmo
nuacutemero atocircmico Z) pode ter diferentes nuacutemeros de
necircutrons Satildeo tratados como isoacutetopos do elemento
Os aacutetomos satildeo constituiacutedos por partiacuteculas
subatocircmicas eleacutetrons proacutetons e necircutron O eleacutetron
possui a carga negativa (-e) unidade de carga
fundamental da eletricidade Os eleacutetrons giram em
torno do nuacutecleo ou centro do aacutetomo em trajetoacuterias
de camadas concecircntricas ou oacuterbitas como
mostramos na figura 5 O proacuteton possui a carga
positiva (+e) Os proacutetons satildeo encontrados no nuacutecleo
O nuacutemero de proacutetons dentro do nuacutecleo de qualquer
aacutetomo especiacutefico determina o elemento e o nuacutemero
atocircmico Z
Por exemplo o aacutetomo de siliacutecio tem 14
proacutetons no seu nuacutecleo e portanto o nuacutemero atocircmico
do siliacutecio eacute 14 O necircutron que eacute a carga neutra fun-
damental da eletricidade tambeacutem eacute encontrado no
nuacutecleo
Figura 5 ndash Representaccedilatildeo de um aacutetomo e suas
dimensotildees
As massas nucleares satildeo medidas nos
termos de unidades maciccedilas atocircmicas com o nuacutecleo
do carbono-12 definido como tendo uma
exatamente 12 Eacute tambeacutem praacutetica comum citar a
chamada energia de repouso E = m0c2) A
correspondecircncia da energia de repouso a uma eacute
MeVkgu 494931106605411 27
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 6
6
6
A Carga eleacutetrica
Como certos aacutetomos satildeo capazes de ceder eleacutetrons
e outros capazes de receber eleacutetrons eacute possiacutevel produzir
uma transferecircncia de eleacutetrons de um corpo para outro
Quando isto ocorre a distribuiccedilatildeo igual das cargas
positivas e negativas em cada corpo deixa de existir
Portanto um corpo conteraacute um excesso de eleacutetrons e a
sua carga teraacute uma polaridade eleacutetrica negativa ou
menos (-) O outro corpo conteraacute uma deficiecircncia de
eleacutetrons ou um excesso de proacutetons e a sua carga teraacute
uma polaridade positiva ou mais (+)
Quando um par de corpos conteacutem a mesma carga
isto eacute ambas positivas (+) ou ambas negativas (-) diz-
se que os corpos tecircm cargas iguais Quando um par de
corpos conteacutem cargas diferentes isto eacute um corpo eacute
positivo (+) enquanto o outro eacute negativo (-) diz-se que
eles apresentam cargas desiguais ou opostas
A lei das cargas eleacutetricas pode ser enunciada da
seguinte forma
Quantizaccedilatildeo das cargas eleacutetricas
A mateacuteria eacute constituiacuteda por aacutetomos que satildeo
eletricamente neutros Os aacutetomos de elementos
diferentes diferem entre si pelo nuacutemero de eleacutetrons e de
proacutetons que contecircm No seu estado natural um aacutetomo
de qualquer elemento conteacutem um nuacutemero igual de
eleacutetrons e de proacutetons Como a carga negativa (-) de cada
eleacutetron tem o mesmo valor absoluto que a carga positiva
(+) de cada proacuteton as duas cargas opostas se cancelam
Um aacutetomo nestas condiccedilotildees eacute eletricamente neutro ou
estaacute em equiliacutebrio
Cada aacutetomo tem um pequenino nuacutecleo de
massa notaacutevel constituiacutedo por proacutetons e necircutrons
Como vimos anteriormente a experiecircncia de Millikan
comprovou que toda carga existente na natureza eacute
muacuteltipla da carga eleacutetrica fundamental que
denominamos de e e vale
Ce 191061
Onde C eacute a unidade no sistema internacional de
carga eleacutetrica denominada de Coulomb
A carga do proacuteton q p e a carga do eleacutetron qe
satildeo dadas por
Ceqp
191061
Ceqe
191061
Assim qualquer corpo carregado na natureza
possui um nuacutemero inteiro da carga eleacutetrica fundamental
resultado conhecido como a quantizaccedilatildeo da carga
eleacutetrica
3210nenQ
Exemplo 2 - Descreva os dois aacutetomos mais simples
O aacutetomo mais simples eacute o aacutetomo de hidrogecircnio que
conteacutem l proacuteton no seu nuacutecleo em equiliacutebrio com l eleacutetron que gira em
tomo do nuacutecleo O aacutetomo seguinte mais simples eacute o aacutetomo de heacutelio que possui 2 proacutetons no seu nuacutecleo equilibrados por 2 eleacutetrons
orbitando em tomo do nuacutecleo
Niels Bohr postulou que no aacutetomo existem
niacuteveis de energias permitidos ou seja ocorrem as
chamadas camadas de energia e existe uma ldquocotardquo de
eleacutetrons permitida em cada camada Quando a camada
mais externa de um aacutetomo tem um deacuteficit na sua cota de
eleacutetrons ela pode ganhar ou perder eleacutetrons Se um
aacutetomo perder um ou mais eleacutetrons da sua camada mais
externa o nuacutemero de proacutetons supera o nuacutemero de
eleacutetrons e o aacutetomo passa a conter uma carga eleacutetrica
efetiva positiva Nestas condiccedilotildees o aacutetomo eacute chamado
de iacuteon positivo (caacutetion) Se um aacutetomo ganhar eleacutetrons a
sua carga eleacutetrica efetiva torna-se negativa O aacutetomo eacute
entatildeo chamado de iacuteon negativo (acircnion) O processo em
que os aacutetomos recebem ou cedem eleacutetrons eacute chamado de
ionizaccedilatildeo
Assim a energia total que o eleacutetron pode ter eacute
definida em valores discretos e portanto ele soacute pode
ocupar determinadas oacuterbitas ou niacuteveis de energia Os
niacuteveis possiacuteveis satildeo sete e estatildeo representados na figura
6
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons que cada niacutevel
pode ter eacute limitado segundo o princiacutepio de exclusatildeo de
Pauli e eacute dado por 2n2 onde n eacute o nuacutemero do niacutevel
Assim o niacutevel 1 poderaacute no maacuteximo 2 o niacutevel 2 no
maacuteximo 8 e assim sucessivamente
Figura 6 ndash Representaccedilatildeo dos niacuteveis de energia de um
aacutetomo
Eacute regra geral na natureza a estabilizaccedilatildeo na
menor energia possiacutevel Assim os niacuteveis satildeo
preenchidos na sequumlecircncia do menor para o maior e um
niacutevel soacute poderaacute conter eleacutetrons se o anterior estiver
completo A Figura 6 mostra isso
Os eleacutetrons em cada niacutevel ocupam subniacuteveis e
cada um pode conter um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons e
satildeo de forma similar preenchidos do menor para o
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 7
7
7
maiorOs subniacuteveis satildeo designados pelas letras s p d e f
e os valores maacuteximos satildeo respectivamente 2 6 10 e 14
Evidente que por exemplo o niacutevel 1 soacute pode
ter o subniacutevel s pois o nuacutemero maacuteximo do niacutevel eacute 2 Jaacute
o niacutevel 2 pode ter os subniacuteveis s e p e assim
sucessivamente
A figura 7 daacute o exemplo da distribuiccedilatildeo dos
eleacutetrons em um aacutetomo de cobre nuacutemero atocircmico 29
O niacutevel mais externo (4 neste exemplo) eacute
chamado de niacutevel de valecircncia e os eleacutetrons presentes
nele satildeo os eleacutetrons de valecircncia
O nuacutemero de eleacutetrons de valecircncia eacute um fator
importante do elemento Ele define a capacidade do
aacutetomo de ganhar ou perder eleacutetrons e de se combinar
com outros elementosMuitas das propriedades quiacutemicas
e eleacutetricas dependem da valecircnciaA convenccedilatildeo adotada
para a representaccedilatildeo graacutefica da distribuiccedilatildeo de eleacutetrons
no aacutetomo do elemento eacute a indicaccedilatildeo sequumlencial dos
niacuteveis e respectivos subniacuteveis com o nuacutemero de
eleacutetrons de cada subniacutevel colocado na forma de
expoente Para este caso do cobre
1s22s
22p
63s
23p
63d
104s
1
Figura7 ndashConfiguraccedilatildeo eletrocircnica para o aacutetomo de cobre
Exemplo 1 - Descreva o que ocorre com o aacutetomo
de cobre quando ele perde um eleacutetron da sua camada
mais externa
O aacutetomo de cobre toma-se um iacuteon positivo com
uma carga efetiva de +1
Quanto as partiacuteculas fundamentais teremos
para a Carga eleacutetrica
Natureza Valor
relativo
Massa
relativa
Proacuteton Positiva +1e 1
Necircutron Natildeo
existe 0 1
Eleacutetron Negativa -1e 11836
As Camadas eletrocircnicas
Os eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos em camadas ou niacuteveis de
energia
nuacutecleo
camada
K L M N O P Q
1 2 3 4 5 6 7
niacutevel
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons nas camadas ou
niacuteveis de energia
K L M N O P Q
2 8 18 32 32 18 2
Subniacuteveis de energia
As camadas ou niacuteveis de energia satildeo formados de
subcamadas ou subniacuteveis de energia designados pelas
letras s p d f
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons 2 6 10 14
Os subniacuteveis conhecidos em cada niacutevel de
energia
Subniacutevel 1s 2s
2p
3s
3p
3d
4s
4p
4d
4f
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
Niacutevel 1 2 3 4 5 6 7
K L M N O P Q
Subniacuteveis em ordem crescente de energia
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d
Preenchimento dos subniacuteveis
Os subniacuteveis satildeo preenchidos sucessivamente
na ordem crescente de energia com o nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons possiacutevel em cada subniacutevel (Regra de
aufbau)Os nuacutemeros quacircnticos indicam a energia do
eleacutetron no aacutetomo e a regiatildeo de maacutexima probabilidade de
se encontrar o eleacutetron
O nuacutemero quacircntico principal (n) indica o
niacutevel de energia Varia de n = 1 a n = 7
respectivamente no 1ordm 2ordm 3ordm niacutevel de energia
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 8
8
8
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons em cada niacutevel eacute
dado por 2n2 Entre os aacutetomos conhecidos no estado
fundamental o nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons num mesmo
niacutevel eacute 32
O nuacutemero quacircntico secundaacuterio ou azimutal
(l) indica a energia do eleacutetron no subniacutevel Nos aacutetomos
conhecidos no estado fundamental haacute quatro subniacuteveis
representados por s p d f em ordem crescente de
energia
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero
quacircntico
azimutal
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
Orbitais
Os subniacuteveis satildeo formados de orbitais Orbital
eacute a regiatildeo da eletrosfera onde haacute maior probabilidade de
estar localizado o eleacutetron do aacutetomo O nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons em cada orbital eacute 2A cada orbital foi
atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico magneacutetico (m) cujo valor
varia de -l a +l passando por zero
subniacutevel s um soacute orbital s (0)
subniacutevel p trecircs orbitais p (-1) (0) (+1)
subniacutevel d cinco orbitais d (-2) (-1) (0) (+1) (+2)
subniacutevel f sete orbitais f
(-3) (-2) (-1)
(0)
(+1) (+2) (+3)
O orbital s tem forma esfeacuterica Os orbitais p
tecircm forma de duplo ovoacuteide e satildeo perpendiculares entre
si (estatildeo dirigidos segundo trecircs eixos ortogonais x y e
z)
Spin
Spin eacute o movimento de rotaccedilatildeo do eleacutetron em
torno de seu eixo Pode ser paralelo ou antiparalelo A
cada um deles foi atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico + 12
e -12
Princiacutepio da exclusatildeo de Pauli
Em um mesmo aacutetomo natildeo existem dois
eleacutetrons com quatro nuacutemeros quacircnticos iguais
Como consequumlecircncia desse princiacutepio dois
eleacutetrons de um mesmo orbital tecircm spins opostos
Um orbital semicheio conteacutem um eleacutetron
desemparelhado um orbital cheio conteacutem dois eleacutetrons
emparelhados (de spins opostos)
Regra de Hund
Ao ser preenchido um subniacutevel cada orbital
desse subniacutevel recebe inicialmente apenas um eleacutetron
somente depois de o uacuteltimo orbital desse subniacutevel ter
recebido seu primeiro eleacutetron comeccedila o preenchimento
de cada orbital semicheio com o segundo eleacutetron
Eleacutetron de maior energia ou eleacutetron de
diferenciaccedilatildeo eacute o uacuteltimo eleacutetron distribuiacutedo no
preenchimento da eletrosfera de acordo com as regras
estudadas
Um aacutetomo estaacutevel (neutro) possui uma certa
quantidade de energia que eacute igual agrave soma das energias
dos seus eleacutetrons Os eleacutetrons por sua vez possuem
energias diferentes chamadas de niacuteveis de energia O
niacutevel de energia de um eleacutetron eacute proporcional a sua
distacircncia do nuacutecleo Portanto os niacuteveis de energia de
eleacutetrons em camadas mais afastadas do nuacutecleo satildeo
maiores do que os de eleacutetrons em camadas mais
proacuteximas do nuacutecleo Os eleacutetrons situados na camada
mais externa satildeo chamados de eleacutetrons de valecircncia
Quando se aplica a certos materiais energia externa
como calor luz ou energia eleacutetrica os eleacutetrons adquirem
energia Isto pode fazer com que o eleacutetron se desloque
para um niacutevel de energia mais alto Diz-se que um
aacutetomo em que isto aconteceu estaacute num estado excitado
Um aacutetomo num estado excitado eacute instaacutevel
Ao ser deslocado para a camada mais externa
do aacutetomo o eleacutetron sofre a miacutenima atraccedilatildeo possiacutevel
pelas cargas positivas dos proacutetons dentro do nuacutecleo do
aacutetomo Se for aplicada ao aacutetomo uma energia suficiente
alguns dos eleacutetrons de valecircncia ou da camada mais
externa abandonaratildeo o aacutetomo Estes eleacutetrons satildeo
chamados de eleacutetrons livres Eacute o movimento dos
eleacutetrons livres que produz a corrente eleacutetrica num
condutor metaacutelico
Cada camada de um aacutetomo pode conter somente um
certo nuacutemero de eleacutetrons Este nuacutemero eacute chamado de
cota da camada Os eleacutetrons em oacuterbita encontram-se em
camadas sucessivas denominadas pelas letras K L M
N O P e Q cada uma delas mais afastada do nuacutecleo
Cada camada conteacutem um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons
para a condiccedilatildeo de estabilidade (Fig 1-3) Depois da
camada K ter sido preenchida com 2 eleacutetrons a camada
L pode conter ateacute 8 eleacutetrons O nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons nas camadas restantes pode ser de 8 18 ou 32
conforme o elemento Entretanto para a camada mais
externa o nuacutemero maacuteximo eacute sempre 8
Exemplo 3 - Mostre a estrutura do aacutetomo de cobre identificando
suas camadas de energia
No aacutetomo de cobre haacute 29 proacutetons no nuacutecleo contrabalanceados
pecirclos 29 eleacutetrons orbitais Os 29 eleacutetrons preenchem a camada K com
2 eleacutetrons e a camada L com 8 eleacutetrons Os 19 eleacutetrons restantes preenchem a camada M com 18 eleacutetrons e consequumlentemente sobra l
eleacutetron que fica na camada N mais externa
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 9
9
9
Se a cota da camada mais externa de um aacutetomo for
preenchida diz-se que o elemento formado por tais
aacutetomos eacute inerte ou estaacutevel
Conservaccedilatildeo da Carga
Quando esfregamos dois corpos um deles fica
com excesso de eleacutetrons e carregado com carga
negativa e o outro com falta de eleacutetrons e carregado
com carga positiva A carga liacutequida dos dois corpos
permanece constante ou seja a carga se conserva
A Lei da conservaccedilatildeo da carga eacute uma Lei
fundamental na Natureza
Condutores e Isolantes
Em muitos materiais por exemplo cobre e
outros metais os eleacutetrons podem se deslocar livremente
Esses materiais satildeo chamados de condutores Outros
como a madeira o vidro e a borracha os eleacutetrons estatildeo
ligados aos aacutetomos mais proacuteximos e natildeo podem se
deslocar em liberdade Satildeo chamados de isolantes
Exemplo 4 ndash A massa de uma moeda de cobre eacute de 3 g (ZCu=29) Qual a carga total dos eleacutetrons na moeda
A carga total eacute o produto do nuacutemero total de eleacutetrons e a carga do eleacutetron Q = Ne (-e)
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto do nuacutemero aacutetomos
de cobre e Z Ne = Z Na Como a massa molecular do cobre eacute 635g teremos que o
nuacutemero de aacutetomos seraacute
aacutetomosNmol
g
molaacute tomos
a
2223
10842563
100263
eleacutetronsZNN ae
2322 102481084229
CeNQ e
51923 10321106110248)(
Processos de eletrizaccedilatildeo
Atrito
No processo de eletrizaccedilatildeo por atrito por dois
corpos um corpo tem afinidade em doar eleacutetrons e outro
tem afinidade em receber eleacutetrons Apoacutes atritar um
corpo com outro os dois ficaratildeo carregados com cargas
de sinais opostos
Um exemplo de eletrizaccedilatildeo por atrito eacute o
denominado Gerador de Van de Graaff Materiais que estatildeo mais proacuteximos do extremo mais
negativo tecircm uma disposiccedilatildeo por assumir uma carga eleacutetrica
negativa Os materiais mais proacuteximos ao extremo mais positivo tendem a assumir carga eleacutetrica positiva Idealmente os materiais da
correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais afastados dessa
lista enquanto o material do cilindro superior deve estar na regiatildeo dos
neutros
Uma Nota em Relaccedilatildeo possiacutevel agrave Polaridade
de um Van de Graaff Para uma dada combinaccedilatildeo rolete inferior- correia- rolete
superior a polaridade do domo do GVDG fica determinada Por exemplo se a correia eacute de borracha o rolete inferior eacute de plaacutestico e o
rolete superior eacute de alumiacutenio o domo ficaraacute negativo Usando o
mesmo desenho poreacutem colocando-se o rolete de plaacutestico como superior e o de alumiacutenio como inferior o domo ficaraacute positivo
mais
positivo
Arvidrofibra
sinteacuteticalatildechumboalumiacuteniopapel
neutro Algodatildeoaccedilomadeiraborracha cobreacetatopolieacutesterpoliuretano
polipropileno vinil (PVC) silicone
mais
negativo
teflon
Robert Jemison Van de Graaff
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de dezembro de 1901 em Tuscaloosa Alabama A chamava-se Minnie Cherokee
Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de Graaff Robert frequentou
o Tuscaloosa escolas puacuteblicas e a Universidade de Alabama onde ele recebeu um grau de BS em 1922 e um grau de MS em 1923 Ambos
os graus estavam em engenharia mecacircnica
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a Companhia Alabama durante um ano como um assistente de pesquisa
Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e laacute assistiu
conferecircncias de Marie Curie sobre radiaccedilatildeo Em 1925 ele entrou para Universidade de Oxford na Inglaterra como um Estudioso de Rhodes
Em Oxford ele recebeu um BS em fiacutesica em 1926 e um PhD em
fiacutesica em 1928 Enquanto em Oxford ele se deu conta da esperanccedila
de trabalhar em experimentos nucleares com Ernest Rutherford que
poderiam acelerar partiacuteculas a velocidades suficiente para desintegrar
nuacutecleos Desintegrando nuacutecleos atocircmicos seria possiacutevel aprender sobre a natureza de aacutetomos individuais Essas ideacuteias que Robert Van
de Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de
partiacuteculas Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados Unidos
para se juntar ao Laboratoacuterio de Pesquisas Fiacutesicas na Universidade de
Princeton como um assessor de Pesquisa Nacional No outono daquele ano ele construiu o primeiro modelo de funcionamento do acelerador
electrostatico que produzia 80000 volts Foram feitas melhorias ao
modelo baacutesico e em novembro 1931 no jantar inaugural do Instituto americano de Fiacutesica foi exibido um modelo de demonstraccedilatildeo que
produziu mais de 1000000 volts Quando Karl T Compton se tornou o presidente de
Instituto de Massachusetts de Tecnologia Van de Graaff foi
convidado a vir ao MIT como um soacutecio de pesquisa Van de Graaff construiu a primeira maacutequina grande em um hangar de aeronave em
Sul Dartmouth Massachusetts A maacutequina usava duas esferas de
alumiacutenio polidas cada 15 peacutes em diacircmetro montado em 25 peacute colunas isolantes altas que tinham 6 peacutes em diacircmetro As colunas estavam
montadas em suportes de estrada de ferro que impulsionaram as
esferas para 43 peacutes sobre niacutevel de solo A maacutequina seu funcionamento em 28 de novembro de 1933 e pocircde produzir 7000000 de volts Esta
realizaccedilatildeo foi informada no New York Times durante 29 de novembro
de 1933 em uma histoacuteria intitulada Parafuso de Lances de Homem de 7000000 Volts Em 1937 a maacutequina foi movida a um local anexo
pressurizado no MIT
John D Cockcroft e Ernest Walton do Laboratoacuterio de Cavendish na Inglaterra tinham construiacutedo um acelerador de partiacutecula proacutespero em
1932 Esta maacutequina consistia de circuitos de voltagem-multiplicadores
usados para produzir as voltagens altas exigidas para aceleraccedilatildeo de partiacuteculas
Era vultoso e complicado e limitou em sua capacidade de
voltagem Em contraste com a maacutequina de Cockcroft-Walton a maacutequina de Van de Graaff era simples e compacta e era mais faacutecil
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 10
10
10
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e entatildeo aceleraccedilotildees mais altas
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenccedilatildeo dele Ele preparou a aplicaccedilatildeo de patente por Karl T Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT Van
de Graaff tambeacutem trabalhou com John G Trunfo professor de
engenharia eleacutetrica no MIT e com William W Buechner professor de fiacutesicas a MIT Um aparelho meacutedico de Graaff produzia raios X por
tratar tumores cancerosos com radiaccedilatildeo penetrante pela primeira vez
usado clinicamente 1937 na Escola Meacutedica de Harvard Em 1936 Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se Eles tiveram dois
filhos John e William
Durante 2ordf Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic Junto com William
W Buechner ele dirigiu a adaptaccedilatildeo do gerador de eletricidade para
exame de radiografias de precisatildeo da Marinha norte-americana Depois da guerra em 1945 o Van de Graaff recebeu como precircmio da
Fundaccedilatildeo Rockefeller uma concessatildeo para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT Em 19 de dezembro de 1946 Van de Graaff e Trunfo formaram a Corporaccedilatildeo Alta Voltagem (HVEC)
em Burlington Massachusetts HVEC foi formado para a produccedilatildeo
comercial de aceleradores de partiacutecula Denis M Robinson professor de engenharia eleacutetrica da Inglaterra se tornou o presidente da
corporaccedilatildeo nova John G Trunfo se tornou o diretor teacutecnico e Van de
Graaff se tornou o fiacutesico principal e soacutecio HVEC se tornou o provedor principal de geradores eletrosttaacuteticos
Eletrizaccedilatildeo por contato
Se um corpo metaacutelico C com carga Q1i
eletrizado for colocado em contato com outro corpo D
tambeacutem metaacutelico com carga Q2i o Princiacutepio da
conservaccedilatildeo da carga garante que a soma das cargas
finais e iniciais seraacute a mesma
Figura 8 ndashEletrizaccedilatildeo por contato
C Q1i Antes Q2i D
Contato C D
C Q1f Q2f D
ffii QQQQ 2121
Princiacutepio da conservaccedilatildeo da carga
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado
(Q2i = 0) haveraacute transferecircncia de apenas parte da carga
de C para D A transferecircncia de carga eacute parcial porque
ela seraacute interrompida quando os potenciais dos dois
corpos se igualarem
Suponha que o corpo D possuiacutesse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela Nestas
condiccedilotildees a carga de C induziraacute cargas eleacutetricas nas
superfiacutecies interna e externa de D Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo moacutedulo da
carga no corpo C (que provocou a induccedilatildeo) Entatildeo se
este corpo for colocado em contato com a parede interna
de D a carga induzida nesta parede seraacute neutralizada
pela carga de C O corpo D ficaraacute eletrizado com uma
carga de mesmo sinal e de mesmo moacutedulo que a carga
inicial do corpo C Tudo se passa como de a carga de C
fosse integralmente transferida para D
Quando haacute contato interno a transferecircncia de carga do
corpo que estaacute dentro da cavidade para o corpo externo
eacute integral mesmo que este jaacute possua uma carga inicial
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra
vez ligado internamente ao corpo D sua carga se
transferiraacute totalmente para D Esta operaccedilatildeo pode ser
repetida vaacuterias vezes e assim eacute possiacutevel acumular em
D uma quantidade de carga cada vez maior A
quantidade de carga em D naturalmente eacute limitada pela
rigidez dieleacutetrica do ar que o envolve Se a rigidez
dieleacutetrica do ar for ultrapassada parte da carga
acumulada em D tende a escoar e portanto a carga
maacutexima que pode existir em D eacute aquela que cria um
campo igual agrave rigidez dieleacutetrica do ar
Princiacutepio de Funcionamento do Gerador de
Van De Graaff
O fato da carga eleacutetrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro quando haacute
contato interno constitui o princiacutepio baacutesico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff
Este aparelho eacute constituiacutedo por uma correia que
passa por duas polias uma delas acionada por um motor
eleacutetrico que faz a correia se movimentar A segunda
polia encontra-se no interior de uma esfera metaacutelica oca
que estaacute apoiada em duas colunas isolantes
Enquanto a correia se movimenta ela recebe carga
eleacutetrica por meio de uma ponta eleacutetrica por meio de uma
ponta ligada a uma fonte de alta tensatildeo (cerca de 10000
V) Esta carga eacute transportada pela correia para o interior
da esfera metaacutelica Uma ponta ligada a esta esfera
recolhe a carga transportada pela correia Em virtude do
contato interno esta carga se transfere integralmente
para a superfiacutecie externa da esfera do gerador
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 11
11
11
Como as cargas satildeo transportadas
continuamente pela correia elas vatildeo se acumulando na
esfera ateacute que a rigidez dieleacutetrica do ar seja atingida
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
cientiacuteficos o diacircmetro da esfera eacute de alguns metros e a
altura do aparelho atinge agraves vezes 15 m Nestas
condiccedilotildees eacute possiacutevel obter voltagens de ateacute 10 milhotildees
de volts
Figura 9 ndashGerador de Van de Graaff
Eletrizaccedilatildeo Por Induccedilatildeo
A figura ilustra duas situaccedilotildees um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b) onde haacute uma nova
redistribuiccedilatildeo de carga no corpo neutro em ambos os
casos
Figura 11 ndashAproximaccedilatildeo do indutor n (a)
(b)
A presenccedila do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuiccedilatildeo das cargas
positivas e negativas do corpo neutro onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
proacuteximas do corpo carregado (indutor) Esse processo eacute
conhecido como induccedilatildeo eletrostaacutetica Caso o indutor
estiver carregado positivamente haveraacute uma
aproximaccedilatildeo das cargas negativas do induzido em
relaccedilatildeo ao indutor
Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de induccedilatildeo e contato eacute o
eletroscoacutepio de folhas de ouro Consiste de duas fitas
laminadas de ouro coladas na extremidade de uma
haste tendo na outra extremidade uma esfera colocada
num invoacutelucro isolante Aproximando um bastatildeo
carregado da esfera a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastatildeo se acumula nas folhas
repelindo-se mutuamente Se encostarmos o bastatildeo na
haste neutra esta se carregaraacute com a mesma carga
assim as lacircminas permaneceratildeo abertas
Figura 12 ndash Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Prof Dr Claacuteudio S Sartori ndash Eletromagnetismo Capiacutetulo I - Carga eleacutetrica e Mateacuteria Lei de Coulomb
5
5
H1
1008
Li3
694
Na11
230
K19
391
Rb37
855
Cs55
1329
Fr87
223
Be4
901
Ca20
401
Sr38
876
Mg12
243
Ra88
226
Ba56
1373
Sc21
449
Y39
889 lantaniacute-deos
actiniacute-dios
Ti22
479
Zr40
912
Hf72
1785
Unq104
V23
509
Nb41
929
Ta73
1809
Unp105
Cr24
520
Mo42
959
W74
1838
Unh106
Mn25
549
Tc43
989
Re75
1862
Uns107
Fe26
558
Ru44
1011
Os76
1902
Uno108
Co27
589
Rh45
1029
Ir77
1922
Une109
Ni28
587
Pd46
1064
Pt78
1951
Cu29
635
Ag47
1079
Au79
1970
Zn30
654
Cd48
1124
Hg80
2006
B5
108
Al13
270
Ga31
697
In49
1148
Tl81
2044
C6
120
Si14
281
Ge32
726
Sn50
1187
Pb82
2072
N7
140
P15
310
As33
749
Sb51
1218
Bi83
2090
O8
160
S16
321
Se34
789
Te52
1276
Po84
209
F9
190
Cl17
355
Br35
799
I53
1269
At85
210
He2
400
Ne10
202
Ar18
399
Kr36
838
Xe54
1313
Rn86
222
Seacuterie dos lantaniacutedeos
Seacuterie dos actiniacutedios
La57
1389Ce58
1401Pr59
1409Nd60
1442Pm61
145Sm62
1504Eu63
1520Gd64
1573Tb65
1589Dy66
1625Ho67
1649Er68
1673
Tm69
1689Yb70
1730Lu71
1750
Ac89
2270Th90
2320Pa91
2310U92
2380Np93
2370Pu94
2440Am95
243Cm96
2470Bk97
2470Cf98
2510Es99
2520Fm100
2570Md101
2580No102
2590Lr103
2600
1A
2A
3B 4B 5B 6B 7B 8B 8B 8B 1B 2B
Elementos de transiccedilatildeo externa
Elementos de transiccedilatildeo interna
3A 4A 5A 6A 7A
0
siacutembolo
nuacutemero atocircmico
massa atocircmica
Dados do Modelo Comparativo Aacutetomo de Ouro Densidade nuclear 21017
kgm3
Densidade (material) 1932
gcm3
Massa Atocircmica 196 uma (1
mole = 19697 g)
1 uma = 166 10-27kg Nuacutemero de Avogadro
6021023 aacutetomosmole
Raio atocircmico 1310 -10m Raio nuclear 7310-15 m
Sistema Solar
Raio do Sol 695000 km Raio da Terra 6376 km
Distacircncia Sol-Terra 15010 6
km
Distacircncia Sol-Plutatildeo
5900106km
Alguns experimentos realizados
(espalhamento) sugerem que o nuacutecleo tem a forma
aproximadamente esfeacuterica e possui essencialmente a
mesma densidade Manteacutem-se unido devido a
existecircncia da chamada forccedila nuclear forte existente
entre quaisquer pares de partiacuteculas nucleares
(proacutetons ou necircutrons) ou nuacutecleons O nuacutemero de
proacutetons eacute chamado de nuacutemero atocircmico (Z) e
determina o elemento quiacutemico
Figura 4 ndash Tabela perioacutedica dos elementos
O nuacutecleo de um dado elemento (mesmo
nuacutemero atocircmico Z) pode ter diferentes nuacutemeros de
necircutrons Satildeo tratados como isoacutetopos do elemento
Os aacutetomos satildeo constituiacutedos por partiacuteculas
subatocircmicas eleacutetrons proacutetons e necircutron O eleacutetron
possui a carga negativa (-e) unidade de carga
fundamental da eletricidade Os eleacutetrons giram em
torno do nuacutecleo ou centro do aacutetomo em trajetoacuterias
de camadas concecircntricas ou oacuterbitas como
mostramos na figura 5 O proacuteton possui a carga
positiva (+e) Os proacutetons satildeo encontrados no nuacutecleo
O nuacutemero de proacutetons dentro do nuacutecleo de qualquer
aacutetomo especiacutefico determina o elemento e o nuacutemero
atocircmico Z
Por exemplo o aacutetomo de siliacutecio tem 14
proacutetons no seu nuacutecleo e portanto o nuacutemero atocircmico
do siliacutecio eacute 14 O necircutron que eacute a carga neutra fun-
damental da eletricidade tambeacutem eacute encontrado no
nuacutecleo
Figura 5 ndash Representaccedilatildeo de um aacutetomo e suas
dimensotildees
As massas nucleares satildeo medidas nos
termos de unidades maciccedilas atocircmicas com o nuacutecleo
do carbono-12 definido como tendo uma
exatamente 12 Eacute tambeacutem praacutetica comum citar a
chamada energia de repouso E = m0c2) A
correspondecircncia da energia de repouso a uma eacute
MeVkgu 494931106605411 27
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 6
6
6
A Carga eleacutetrica
Como certos aacutetomos satildeo capazes de ceder eleacutetrons
e outros capazes de receber eleacutetrons eacute possiacutevel produzir
uma transferecircncia de eleacutetrons de um corpo para outro
Quando isto ocorre a distribuiccedilatildeo igual das cargas
positivas e negativas em cada corpo deixa de existir
Portanto um corpo conteraacute um excesso de eleacutetrons e a
sua carga teraacute uma polaridade eleacutetrica negativa ou
menos (-) O outro corpo conteraacute uma deficiecircncia de
eleacutetrons ou um excesso de proacutetons e a sua carga teraacute
uma polaridade positiva ou mais (+)
Quando um par de corpos conteacutem a mesma carga
isto eacute ambas positivas (+) ou ambas negativas (-) diz-
se que os corpos tecircm cargas iguais Quando um par de
corpos conteacutem cargas diferentes isto eacute um corpo eacute
positivo (+) enquanto o outro eacute negativo (-) diz-se que
eles apresentam cargas desiguais ou opostas
A lei das cargas eleacutetricas pode ser enunciada da
seguinte forma
Quantizaccedilatildeo das cargas eleacutetricas
A mateacuteria eacute constituiacuteda por aacutetomos que satildeo
eletricamente neutros Os aacutetomos de elementos
diferentes diferem entre si pelo nuacutemero de eleacutetrons e de
proacutetons que contecircm No seu estado natural um aacutetomo
de qualquer elemento conteacutem um nuacutemero igual de
eleacutetrons e de proacutetons Como a carga negativa (-) de cada
eleacutetron tem o mesmo valor absoluto que a carga positiva
(+) de cada proacuteton as duas cargas opostas se cancelam
Um aacutetomo nestas condiccedilotildees eacute eletricamente neutro ou
estaacute em equiliacutebrio
Cada aacutetomo tem um pequenino nuacutecleo de
massa notaacutevel constituiacutedo por proacutetons e necircutrons
Como vimos anteriormente a experiecircncia de Millikan
comprovou que toda carga existente na natureza eacute
muacuteltipla da carga eleacutetrica fundamental que
denominamos de e e vale
Ce 191061
Onde C eacute a unidade no sistema internacional de
carga eleacutetrica denominada de Coulomb
A carga do proacuteton q p e a carga do eleacutetron qe
satildeo dadas por
Ceqp
191061
Ceqe
191061
Assim qualquer corpo carregado na natureza
possui um nuacutemero inteiro da carga eleacutetrica fundamental
resultado conhecido como a quantizaccedilatildeo da carga
eleacutetrica
3210nenQ
Exemplo 2 - Descreva os dois aacutetomos mais simples
O aacutetomo mais simples eacute o aacutetomo de hidrogecircnio que
conteacutem l proacuteton no seu nuacutecleo em equiliacutebrio com l eleacutetron que gira em
tomo do nuacutecleo O aacutetomo seguinte mais simples eacute o aacutetomo de heacutelio que possui 2 proacutetons no seu nuacutecleo equilibrados por 2 eleacutetrons
orbitando em tomo do nuacutecleo
Niels Bohr postulou que no aacutetomo existem
niacuteveis de energias permitidos ou seja ocorrem as
chamadas camadas de energia e existe uma ldquocotardquo de
eleacutetrons permitida em cada camada Quando a camada
mais externa de um aacutetomo tem um deacuteficit na sua cota de
eleacutetrons ela pode ganhar ou perder eleacutetrons Se um
aacutetomo perder um ou mais eleacutetrons da sua camada mais
externa o nuacutemero de proacutetons supera o nuacutemero de
eleacutetrons e o aacutetomo passa a conter uma carga eleacutetrica
efetiva positiva Nestas condiccedilotildees o aacutetomo eacute chamado
de iacuteon positivo (caacutetion) Se um aacutetomo ganhar eleacutetrons a
sua carga eleacutetrica efetiva torna-se negativa O aacutetomo eacute
entatildeo chamado de iacuteon negativo (acircnion) O processo em
que os aacutetomos recebem ou cedem eleacutetrons eacute chamado de
ionizaccedilatildeo
Assim a energia total que o eleacutetron pode ter eacute
definida em valores discretos e portanto ele soacute pode
ocupar determinadas oacuterbitas ou niacuteveis de energia Os
niacuteveis possiacuteveis satildeo sete e estatildeo representados na figura
6
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons que cada niacutevel
pode ter eacute limitado segundo o princiacutepio de exclusatildeo de
Pauli e eacute dado por 2n2 onde n eacute o nuacutemero do niacutevel
Assim o niacutevel 1 poderaacute no maacuteximo 2 o niacutevel 2 no
maacuteximo 8 e assim sucessivamente
Figura 6 ndash Representaccedilatildeo dos niacuteveis de energia de um
aacutetomo
Eacute regra geral na natureza a estabilizaccedilatildeo na
menor energia possiacutevel Assim os niacuteveis satildeo
preenchidos na sequumlecircncia do menor para o maior e um
niacutevel soacute poderaacute conter eleacutetrons se o anterior estiver
completo A Figura 6 mostra isso
Os eleacutetrons em cada niacutevel ocupam subniacuteveis e
cada um pode conter um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons e
satildeo de forma similar preenchidos do menor para o
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 7
7
7
maiorOs subniacuteveis satildeo designados pelas letras s p d e f
e os valores maacuteximos satildeo respectivamente 2 6 10 e 14
Evidente que por exemplo o niacutevel 1 soacute pode
ter o subniacutevel s pois o nuacutemero maacuteximo do niacutevel eacute 2 Jaacute
o niacutevel 2 pode ter os subniacuteveis s e p e assim
sucessivamente
A figura 7 daacute o exemplo da distribuiccedilatildeo dos
eleacutetrons em um aacutetomo de cobre nuacutemero atocircmico 29
O niacutevel mais externo (4 neste exemplo) eacute
chamado de niacutevel de valecircncia e os eleacutetrons presentes
nele satildeo os eleacutetrons de valecircncia
O nuacutemero de eleacutetrons de valecircncia eacute um fator
importante do elemento Ele define a capacidade do
aacutetomo de ganhar ou perder eleacutetrons e de se combinar
com outros elementosMuitas das propriedades quiacutemicas
e eleacutetricas dependem da valecircnciaA convenccedilatildeo adotada
para a representaccedilatildeo graacutefica da distribuiccedilatildeo de eleacutetrons
no aacutetomo do elemento eacute a indicaccedilatildeo sequumlencial dos
niacuteveis e respectivos subniacuteveis com o nuacutemero de
eleacutetrons de cada subniacutevel colocado na forma de
expoente Para este caso do cobre
1s22s
22p
63s
23p
63d
104s
1
Figura7 ndashConfiguraccedilatildeo eletrocircnica para o aacutetomo de cobre
Exemplo 1 - Descreva o que ocorre com o aacutetomo
de cobre quando ele perde um eleacutetron da sua camada
mais externa
O aacutetomo de cobre toma-se um iacuteon positivo com
uma carga efetiva de +1
Quanto as partiacuteculas fundamentais teremos
para a Carga eleacutetrica
Natureza Valor
relativo
Massa
relativa
Proacuteton Positiva +1e 1
Necircutron Natildeo
existe 0 1
Eleacutetron Negativa -1e 11836
As Camadas eletrocircnicas
Os eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos em camadas ou niacuteveis de
energia
nuacutecleo
camada
K L M N O P Q
1 2 3 4 5 6 7
niacutevel
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons nas camadas ou
niacuteveis de energia
K L M N O P Q
2 8 18 32 32 18 2
Subniacuteveis de energia
As camadas ou niacuteveis de energia satildeo formados de
subcamadas ou subniacuteveis de energia designados pelas
letras s p d f
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons 2 6 10 14
Os subniacuteveis conhecidos em cada niacutevel de
energia
Subniacutevel 1s 2s
2p
3s
3p
3d
4s
4p
4d
4f
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
Niacutevel 1 2 3 4 5 6 7
K L M N O P Q
Subniacuteveis em ordem crescente de energia
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d
Preenchimento dos subniacuteveis
Os subniacuteveis satildeo preenchidos sucessivamente
na ordem crescente de energia com o nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons possiacutevel em cada subniacutevel (Regra de
aufbau)Os nuacutemeros quacircnticos indicam a energia do
eleacutetron no aacutetomo e a regiatildeo de maacutexima probabilidade de
se encontrar o eleacutetron
O nuacutemero quacircntico principal (n) indica o
niacutevel de energia Varia de n = 1 a n = 7
respectivamente no 1ordm 2ordm 3ordm niacutevel de energia
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 8
8
8
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons em cada niacutevel eacute
dado por 2n2 Entre os aacutetomos conhecidos no estado
fundamental o nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons num mesmo
niacutevel eacute 32
O nuacutemero quacircntico secundaacuterio ou azimutal
(l) indica a energia do eleacutetron no subniacutevel Nos aacutetomos
conhecidos no estado fundamental haacute quatro subniacuteveis
representados por s p d f em ordem crescente de
energia
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero
quacircntico
azimutal
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
Orbitais
Os subniacuteveis satildeo formados de orbitais Orbital
eacute a regiatildeo da eletrosfera onde haacute maior probabilidade de
estar localizado o eleacutetron do aacutetomo O nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons em cada orbital eacute 2A cada orbital foi
atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico magneacutetico (m) cujo valor
varia de -l a +l passando por zero
subniacutevel s um soacute orbital s (0)
subniacutevel p trecircs orbitais p (-1) (0) (+1)
subniacutevel d cinco orbitais d (-2) (-1) (0) (+1) (+2)
subniacutevel f sete orbitais f
(-3) (-2) (-1)
(0)
(+1) (+2) (+3)
O orbital s tem forma esfeacuterica Os orbitais p
tecircm forma de duplo ovoacuteide e satildeo perpendiculares entre
si (estatildeo dirigidos segundo trecircs eixos ortogonais x y e
z)
Spin
Spin eacute o movimento de rotaccedilatildeo do eleacutetron em
torno de seu eixo Pode ser paralelo ou antiparalelo A
cada um deles foi atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico + 12
e -12
Princiacutepio da exclusatildeo de Pauli
Em um mesmo aacutetomo natildeo existem dois
eleacutetrons com quatro nuacutemeros quacircnticos iguais
Como consequumlecircncia desse princiacutepio dois
eleacutetrons de um mesmo orbital tecircm spins opostos
Um orbital semicheio conteacutem um eleacutetron
desemparelhado um orbital cheio conteacutem dois eleacutetrons
emparelhados (de spins opostos)
Regra de Hund
Ao ser preenchido um subniacutevel cada orbital
desse subniacutevel recebe inicialmente apenas um eleacutetron
somente depois de o uacuteltimo orbital desse subniacutevel ter
recebido seu primeiro eleacutetron comeccedila o preenchimento
de cada orbital semicheio com o segundo eleacutetron
Eleacutetron de maior energia ou eleacutetron de
diferenciaccedilatildeo eacute o uacuteltimo eleacutetron distribuiacutedo no
preenchimento da eletrosfera de acordo com as regras
estudadas
Um aacutetomo estaacutevel (neutro) possui uma certa
quantidade de energia que eacute igual agrave soma das energias
dos seus eleacutetrons Os eleacutetrons por sua vez possuem
energias diferentes chamadas de niacuteveis de energia O
niacutevel de energia de um eleacutetron eacute proporcional a sua
distacircncia do nuacutecleo Portanto os niacuteveis de energia de
eleacutetrons em camadas mais afastadas do nuacutecleo satildeo
maiores do que os de eleacutetrons em camadas mais
proacuteximas do nuacutecleo Os eleacutetrons situados na camada
mais externa satildeo chamados de eleacutetrons de valecircncia
Quando se aplica a certos materiais energia externa
como calor luz ou energia eleacutetrica os eleacutetrons adquirem
energia Isto pode fazer com que o eleacutetron se desloque
para um niacutevel de energia mais alto Diz-se que um
aacutetomo em que isto aconteceu estaacute num estado excitado
Um aacutetomo num estado excitado eacute instaacutevel
Ao ser deslocado para a camada mais externa
do aacutetomo o eleacutetron sofre a miacutenima atraccedilatildeo possiacutevel
pelas cargas positivas dos proacutetons dentro do nuacutecleo do
aacutetomo Se for aplicada ao aacutetomo uma energia suficiente
alguns dos eleacutetrons de valecircncia ou da camada mais
externa abandonaratildeo o aacutetomo Estes eleacutetrons satildeo
chamados de eleacutetrons livres Eacute o movimento dos
eleacutetrons livres que produz a corrente eleacutetrica num
condutor metaacutelico
Cada camada de um aacutetomo pode conter somente um
certo nuacutemero de eleacutetrons Este nuacutemero eacute chamado de
cota da camada Os eleacutetrons em oacuterbita encontram-se em
camadas sucessivas denominadas pelas letras K L M
N O P e Q cada uma delas mais afastada do nuacutecleo
Cada camada conteacutem um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons
para a condiccedilatildeo de estabilidade (Fig 1-3) Depois da
camada K ter sido preenchida com 2 eleacutetrons a camada
L pode conter ateacute 8 eleacutetrons O nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons nas camadas restantes pode ser de 8 18 ou 32
conforme o elemento Entretanto para a camada mais
externa o nuacutemero maacuteximo eacute sempre 8
Exemplo 3 - Mostre a estrutura do aacutetomo de cobre identificando
suas camadas de energia
No aacutetomo de cobre haacute 29 proacutetons no nuacutecleo contrabalanceados
pecirclos 29 eleacutetrons orbitais Os 29 eleacutetrons preenchem a camada K com
2 eleacutetrons e a camada L com 8 eleacutetrons Os 19 eleacutetrons restantes preenchem a camada M com 18 eleacutetrons e consequumlentemente sobra l
eleacutetron que fica na camada N mais externa
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 9
9
9
Se a cota da camada mais externa de um aacutetomo for
preenchida diz-se que o elemento formado por tais
aacutetomos eacute inerte ou estaacutevel
Conservaccedilatildeo da Carga
Quando esfregamos dois corpos um deles fica
com excesso de eleacutetrons e carregado com carga
negativa e o outro com falta de eleacutetrons e carregado
com carga positiva A carga liacutequida dos dois corpos
permanece constante ou seja a carga se conserva
A Lei da conservaccedilatildeo da carga eacute uma Lei
fundamental na Natureza
Condutores e Isolantes
Em muitos materiais por exemplo cobre e
outros metais os eleacutetrons podem se deslocar livremente
Esses materiais satildeo chamados de condutores Outros
como a madeira o vidro e a borracha os eleacutetrons estatildeo
ligados aos aacutetomos mais proacuteximos e natildeo podem se
deslocar em liberdade Satildeo chamados de isolantes
Exemplo 4 ndash A massa de uma moeda de cobre eacute de 3 g (ZCu=29) Qual a carga total dos eleacutetrons na moeda
A carga total eacute o produto do nuacutemero total de eleacutetrons e a carga do eleacutetron Q = Ne (-e)
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto do nuacutemero aacutetomos
de cobre e Z Ne = Z Na Como a massa molecular do cobre eacute 635g teremos que o
nuacutemero de aacutetomos seraacute
aacutetomosNmol
g
molaacute tomos
a
2223
10842563
100263
eleacutetronsZNN ae
2322 102481084229
CeNQ e
51923 10321106110248)(
Processos de eletrizaccedilatildeo
Atrito
No processo de eletrizaccedilatildeo por atrito por dois
corpos um corpo tem afinidade em doar eleacutetrons e outro
tem afinidade em receber eleacutetrons Apoacutes atritar um
corpo com outro os dois ficaratildeo carregados com cargas
de sinais opostos
Um exemplo de eletrizaccedilatildeo por atrito eacute o
denominado Gerador de Van de Graaff Materiais que estatildeo mais proacuteximos do extremo mais
negativo tecircm uma disposiccedilatildeo por assumir uma carga eleacutetrica
negativa Os materiais mais proacuteximos ao extremo mais positivo tendem a assumir carga eleacutetrica positiva Idealmente os materiais da
correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais afastados dessa
lista enquanto o material do cilindro superior deve estar na regiatildeo dos
neutros
Uma Nota em Relaccedilatildeo possiacutevel agrave Polaridade
de um Van de Graaff Para uma dada combinaccedilatildeo rolete inferior- correia- rolete
superior a polaridade do domo do GVDG fica determinada Por exemplo se a correia eacute de borracha o rolete inferior eacute de plaacutestico e o
rolete superior eacute de alumiacutenio o domo ficaraacute negativo Usando o
mesmo desenho poreacutem colocando-se o rolete de plaacutestico como superior e o de alumiacutenio como inferior o domo ficaraacute positivo
mais
positivo
Arvidrofibra
sinteacuteticalatildechumboalumiacuteniopapel
neutro Algodatildeoaccedilomadeiraborracha cobreacetatopolieacutesterpoliuretano
polipropileno vinil (PVC) silicone
mais
negativo
teflon
Robert Jemison Van de Graaff
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de dezembro de 1901 em Tuscaloosa Alabama A chamava-se Minnie Cherokee
Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de Graaff Robert frequentou
o Tuscaloosa escolas puacuteblicas e a Universidade de Alabama onde ele recebeu um grau de BS em 1922 e um grau de MS em 1923 Ambos
os graus estavam em engenharia mecacircnica
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a Companhia Alabama durante um ano como um assistente de pesquisa
Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e laacute assistiu
conferecircncias de Marie Curie sobre radiaccedilatildeo Em 1925 ele entrou para Universidade de Oxford na Inglaterra como um Estudioso de Rhodes
Em Oxford ele recebeu um BS em fiacutesica em 1926 e um PhD em
fiacutesica em 1928 Enquanto em Oxford ele se deu conta da esperanccedila
de trabalhar em experimentos nucleares com Ernest Rutherford que
poderiam acelerar partiacuteculas a velocidades suficiente para desintegrar
nuacutecleos Desintegrando nuacutecleos atocircmicos seria possiacutevel aprender sobre a natureza de aacutetomos individuais Essas ideacuteias que Robert Van
de Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de
partiacuteculas Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados Unidos
para se juntar ao Laboratoacuterio de Pesquisas Fiacutesicas na Universidade de
Princeton como um assessor de Pesquisa Nacional No outono daquele ano ele construiu o primeiro modelo de funcionamento do acelerador
electrostatico que produzia 80000 volts Foram feitas melhorias ao
modelo baacutesico e em novembro 1931 no jantar inaugural do Instituto americano de Fiacutesica foi exibido um modelo de demonstraccedilatildeo que
produziu mais de 1000000 volts Quando Karl T Compton se tornou o presidente de
Instituto de Massachusetts de Tecnologia Van de Graaff foi
convidado a vir ao MIT como um soacutecio de pesquisa Van de Graaff construiu a primeira maacutequina grande em um hangar de aeronave em
Sul Dartmouth Massachusetts A maacutequina usava duas esferas de
alumiacutenio polidas cada 15 peacutes em diacircmetro montado em 25 peacute colunas isolantes altas que tinham 6 peacutes em diacircmetro As colunas estavam
montadas em suportes de estrada de ferro que impulsionaram as
esferas para 43 peacutes sobre niacutevel de solo A maacutequina seu funcionamento em 28 de novembro de 1933 e pocircde produzir 7000000 de volts Esta
realizaccedilatildeo foi informada no New York Times durante 29 de novembro
de 1933 em uma histoacuteria intitulada Parafuso de Lances de Homem de 7000000 Volts Em 1937 a maacutequina foi movida a um local anexo
pressurizado no MIT
John D Cockcroft e Ernest Walton do Laboratoacuterio de Cavendish na Inglaterra tinham construiacutedo um acelerador de partiacutecula proacutespero em
1932 Esta maacutequina consistia de circuitos de voltagem-multiplicadores
usados para produzir as voltagens altas exigidas para aceleraccedilatildeo de partiacuteculas
Era vultoso e complicado e limitou em sua capacidade de
voltagem Em contraste com a maacutequina de Cockcroft-Walton a maacutequina de Van de Graaff era simples e compacta e era mais faacutecil
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 10
10
10
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e entatildeo aceleraccedilotildees mais altas
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenccedilatildeo dele Ele preparou a aplicaccedilatildeo de patente por Karl T Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT Van
de Graaff tambeacutem trabalhou com John G Trunfo professor de
engenharia eleacutetrica no MIT e com William W Buechner professor de fiacutesicas a MIT Um aparelho meacutedico de Graaff produzia raios X por
tratar tumores cancerosos com radiaccedilatildeo penetrante pela primeira vez
usado clinicamente 1937 na Escola Meacutedica de Harvard Em 1936 Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se Eles tiveram dois
filhos John e William
Durante 2ordf Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic Junto com William
W Buechner ele dirigiu a adaptaccedilatildeo do gerador de eletricidade para
exame de radiografias de precisatildeo da Marinha norte-americana Depois da guerra em 1945 o Van de Graaff recebeu como precircmio da
Fundaccedilatildeo Rockefeller uma concessatildeo para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT Em 19 de dezembro de 1946 Van de Graaff e Trunfo formaram a Corporaccedilatildeo Alta Voltagem (HVEC)
em Burlington Massachusetts HVEC foi formado para a produccedilatildeo
comercial de aceleradores de partiacutecula Denis M Robinson professor de engenharia eleacutetrica da Inglaterra se tornou o presidente da
corporaccedilatildeo nova John G Trunfo se tornou o diretor teacutecnico e Van de
Graaff se tornou o fiacutesico principal e soacutecio HVEC se tornou o provedor principal de geradores eletrosttaacuteticos
Eletrizaccedilatildeo por contato
Se um corpo metaacutelico C com carga Q1i
eletrizado for colocado em contato com outro corpo D
tambeacutem metaacutelico com carga Q2i o Princiacutepio da
conservaccedilatildeo da carga garante que a soma das cargas
finais e iniciais seraacute a mesma
Figura 8 ndashEletrizaccedilatildeo por contato
C Q1i Antes Q2i D
Contato C D
C Q1f Q2f D
ffii QQQQ 2121
Princiacutepio da conservaccedilatildeo da carga
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado
(Q2i = 0) haveraacute transferecircncia de apenas parte da carga
de C para D A transferecircncia de carga eacute parcial porque
ela seraacute interrompida quando os potenciais dos dois
corpos se igualarem
Suponha que o corpo D possuiacutesse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela Nestas
condiccedilotildees a carga de C induziraacute cargas eleacutetricas nas
superfiacutecies interna e externa de D Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo moacutedulo da
carga no corpo C (que provocou a induccedilatildeo) Entatildeo se
este corpo for colocado em contato com a parede interna
de D a carga induzida nesta parede seraacute neutralizada
pela carga de C O corpo D ficaraacute eletrizado com uma
carga de mesmo sinal e de mesmo moacutedulo que a carga
inicial do corpo C Tudo se passa como de a carga de C
fosse integralmente transferida para D
Quando haacute contato interno a transferecircncia de carga do
corpo que estaacute dentro da cavidade para o corpo externo
eacute integral mesmo que este jaacute possua uma carga inicial
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra
vez ligado internamente ao corpo D sua carga se
transferiraacute totalmente para D Esta operaccedilatildeo pode ser
repetida vaacuterias vezes e assim eacute possiacutevel acumular em
D uma quantidade de carga cada vez maior A
quantidade de carga em D naturalmente eacute limitada pela
rigidez dieleacutetrica do ar que o envolve Se a rigidez
dieleacutetrica do ar for ultrapassada parte da carga
acumulada em D tende a escoar e portanto a carga
maacutexima que pode existir em D eacute aquela que cria um
campo igual agrave rigidez dieleacutetrica do ar
Princiacutepio de Funcionamento do Gerador de
Van De Graaff
O fato da carga eleacutetrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro quando haacute
contato interno constitui o princiacutepio baacutesico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff
Este aparelho eacute constituiacutedo por uma correia que
passa por duas polias uma delas acionada por um motor
eleacutetrico que faz a correia se movimentar A segunda
polia encontra-se no interior de uma esfera metaacutelica oca
que estaacute apoiada em duas colunas isolantes
Enquanto a correia se movimenta ela recebe carga
eleacutetrica por meio de uma ponta eleacutetrica por meio de uma
ponta ligada a uma fonte de alta tensatildeo (cerca de 10000
V) Esta carga eacute transportada pela correia para o interior
da esfera metaacutelica Uma ponta ligada a esta esfera
recolhe a carga transportada pela correia Em virtude do
contato interno esta carga se transfere integralmente
para a superfiacutecie externa da esfera do gerador
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 11
11
11
Como as cargas satildeo transportadas
continuamente pela correia elas vatildeo se acumulando na
esfera ateacute que a rigidez dieleacutetrica do ar seja atingida
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
cientiacuteficos o diacircmetro da esfera eacute de alguns metros e a
altura do aparelho atinge agraves vezes 15 m Nestas
condiccedilotildees eacute possiacutevel obter voltagens de ateacute 10 milhotildees
de volts
Figura 9 ndashGerador de Van de Graaff
Eletrizaccedilatildeo Por Induccedilatildeo
A figura ilustra duas situaccedilotildees um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b) onde haacute uma nova
redistribuiccedilatildeo de carga no corpo neutro em ambos os
casos
Figura 11 ndashAproximaccedilatildeo do indutor n (a)
(b)
A presenccedila do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuiccedilatildeo das cargas
positivas e negativas do corpo neutro onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
proacuteximas do corpo carregado (indutor) Esse processo eacute
conhecido como induccedilatildeo eletrostaacutetica Caso o indutor
estiver carregado positivamente haveraacute uma
aproximaccedilatildeo das cargas negativas do induzido em
relaccedilatildeo ao indutor
Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de induccedilatildeo e contato eacute o
eletroscoacutepio de folhas de ouro Consiste de duas fitas
laminadas de ouro coladas na extremidade de uma
haste tendo na outra extremidade uma esfera colocada
num invoacutelucro isolante Aproximando um bastatildeo
carregado da esfera a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastatildeo se acumula nas folhas
repelindo-se mutuamente Se encostarmos o bastatildeo na
haste neutra esta se carregaraacute com a mesma carga
assim as lacircminas permaneceratildeo abertas
Figura 12 ndash Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 6
6
6
A Carga eleacutetrica
Como certos aacutetomos satildeo capazes de ceder eleacutetrons
e outros capazes de receber eleacutetrons eacute possiacutevel produzir
uma transferecircncia de eleacutetrons de um corpo para outro
Quando isto ocorre a distribuiccedilatildeo igual das cargas
positivas e negativas em cada corpo deixa de existir
Portanto um corpo conteraacute um excesso de eleacutetrons e a
sua carga teraacute uma polaridade eleacutetrica negativa ou
menos (-) O outro corpo conteraacute uma deficiecircncia de
eleacutetrons ou um excesso de proacutetons e a sua carga teraacute
uma polaridade positiva ou mais (+)
Quando um par de corpos conteacutem a mesma carga
isto eacute ambas positivas (+) ou ambas negativas (-) diz-
se que os corpos tecircm cargas iguais Quando um par de
corpos conteacutem cargas diferentes isto eacute um corpo eacute
positivo (+) enquanto o outro eacute negativo (-) diz-se que
eles apresentam cargas desiguais ou opostas
A lei das cargas eleacutetricas pode ser enunciada da
seguinte forma
Quantizaccedilatildeo das cargas eleacutetricas
A mateacuteria eacute constituiacuteda por aacutetomos que satildeo
eletricamente neutros Os aacutetomos de elementos
diferentes diferem entre si pelo nuacutemero de eleacutetrons e de
proacutetons que contecircm No seu estado natural um aacutetomo
de qualquer elemento conteacutem um nuacutemero igual de
eleacutetrons e de proacutetons Como a carga negativa (-) de cada
eleacutetron tem o mesmo valor absoluto que a carga positiva
(+) de cada proacuteton as duas cargas opostas se cancelam
Um aacutetomo nestas condiccedilotildees eacute eletricamente neutro ou
estaacute em equiliacutebrio
Cada aacutetomo tem um pequenino nuacutecleo de
massa notaacutevel constituiacutedo por proacutetons e necircutrons
Como vimos anteriormente a experiecircncia de Millikan
comprovou que toda carga existente na natureza eacute
muacuteltipla da carga eleacutetrica fundamental que
denominamos de e e vale
Ce 191061
Onde C eacute a unidade no sistema internacional de
carga eleacutetrica denominada de Coulomb
A carga do proacuteton q p e a carga do eleacutetron qe
satildeo dadas por
Ceqp
191061
Ceqe
191061
Assim qualquer corpo carregado na natureza
possui um nuacutemero inteiro da carga eleacutetrica fundamental
resultado conhecido como a quantizaccedilatildeo da carga
eleacutetrica
3210nenQ
Exemplo 2 - Descreva os dois aacutetomos mais simples
O aacutetomo mais simples eacute o aacutetomo de hidrogecircnio que
conteacutem l proacuteton no seu nuacutecleo em equiliacutebrio com l eleacutetron que gira em
tomo do nuacutecleo O aacutetomo seguinte mais simples eacute o aacutetomo de heacutelio que possui 2 proacutetons no seu nuacutecleo equilibrados por 2 eleacutetrons
orbitando em tomo do nuacutecleo
Niels Bohr postulou que no aacutetomo existem
niacuteveis de energias permitidos ou seja ocorrem as
chamadas camadas de energia e existe uma ldquocotardquo de
eleacutetrons permitida em cada camada Quando a camada
mais externa de um aacutetomo tem um deacuteficit na sua cota de
eleacutetrons ela pode ganhar ou perder eleacutetrons Se um
aacutetomo perder um ou mais eleacutetrons da sua camada mais
externa o nuacutemero de proacutetons supera o nuacutemero de
eleacutetrons e o aacutetomo passa a conter uma carga eleacutetrica
efetiva positiva Nestas condiccedilotildees o aacutetomo eacute chamado
de iacuteon positivo (caacutetion) Se um aacutetomo ganhar eleacutetrons a
sua carga eleacutetrica efetiva torna-se negativa O aacutetomo eacute
entatildeo chamado de iacuteon negativo (acircnion) O processo em
que os aacutetomos recebem ou cedem eleacutetrons eacute chamado de
ionizaccedilatildeo
Assim a energia total que o eleacutetron pode ter eacute
definida em valores discretos e portanto ele soacute pode
ocupar determinadas oacuterbitas ou niacuteveis de energia Os
niacuteveis possiacuteveis satildeo sete e estatildeo representados na figura
6
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons que cada niacutevel
pode ter eacute limitado segundo o princiacutepio de exclusatildeo de
Pauli e eacute dado por 2n2 onde n eacute o nuacutemero do niacutevel
Assim o niacutevel 1 poderaacute no maacuteximo 2 o niacutevel 2 no
maacuteximo 8 e assim sucessivamente
Figura 6 ndash Representaccedilatildeo dos niacuteveis de energia de um
aacutetomo
Eacute regra geral na natureza a estabilizaccedilatildeo na
menor energia possiacutevel Assim os niacuteveis satildeo
preenchidos na sequumlecircncia do menor para o maior e um
niacutevel soacute poderaacute conter eleacutetrons se o anterior estiver
completo A Figura 6 mostra isso
Os eleacutetrons em cada niacutevel ocupam subniacuteveis e
cada um pode conter um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons e
satildeo de forma similar preenchidos do menor para o
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 7
7
7
maiorOs subniacuteveis satildeo designados pelas letras s p d e f
e os valores maacuteximos satildeo respectivamente 2 6 10 e 14
Evidente que por exemplo o niacutevel 1 soacute pode
ter o subniacutevel s pois o nuacutemero maacuteximo do niacutevel eacute 2 Jaacute
o niacutevel 2 pode ter os subniacuteveis s e p e assim
sucessivamente
A figura 7 daacute o exemplo da distribuiccedilatildeo dos
eleacutetrons em um aacutetomo de cobre nuacutemero atocircmico 29
O niacutevel mais externo (4 neste exemplo) eacute
chamado de niacutevel de valecircncia e os eleacutetrons presentes
nele satildeo os eleacutetrons de valecircncia
O nuacutemero de eleacutetrons de valecircncia eacute um fator
importante do elemento Ele define a capacidade do
aacutetomo de ganhar ou perder eleacutetrons e de se combinar
com outros elementosMuitas das propriedades quiacutemicas
e eleacutetricas dependem da valecircnciaA convenccedilatildeo adotada
para a representaccedilatildeo graacutefica da distribuiccedilatildeo de eleacutetrons
no aacutetomo do elemento eacute a indicaccedilatildeo sequumlencial dos
niacuteveis e respectivos subniacuteveis com o nuacutemero de
eleacutetrons de cada subniacutevel colocado na forma de
expoente Para este caso do cobre
1s22s
22p
63s
23p
63d
104s
1
Figura7 ndashConfiguraccedilatildeo eletrocircnica para o aacutetomo de cobre
Exemplo 1 - Descreva o que ocorre com o aacutetomo
de cobre quando ele perde um eleacutetron da sua camada
mais externa
O aacutetomo de cobre toma-se um iacuteon positivo com
uma carga efetiva de +1
Quanto as partiacuteculas fundamentais teremos
para a Carga eleacutetrica
Natureza Valor
relativo
Massa
relativa
Proacuteton Positiva +1e 1
Necircutron Natildeo
existe 0 1
Eleacutetron Negativa -1e 11836
As Camadas eletrocircnicas
Os eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos em camadas ou niacuteveis de
energia
nuacutecleo
camada
K L M N O P Q
1 2 3 4 5 6 7
niacutevel
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons nas camadas ou
niacuteveis de energia
K L M N O P Q
2 8 18 32 32 18 2
Subniacuteveis de energia
As camadas ou niacuteveis de energia satildeo formados de
subcamadas ou subniacuteveis de energia designados pelas
letras s p d f
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons 2 6 10 14
Os subniacuteveis conhecidos em cada niacutevel de
energia
Subniacutevel 1s 2s
2p
3s
3p
3d
4s
4p
4d
4f
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
Niacutevel 1 2 3 4 5 6 7
K L M N O P Q
Subniacuteveis em ordem crescente de energia
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d
Preenchimento dos subniacuteveis
Os subniacuteveis satildeo preenchidos sucessivamente
na ordem crescente de energia com o nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons possiacutevel em cada subniacutevel (Regra de
aufbau)Os nuacutemeros quacircnticos indicam a energia do
eleacutetron no aacutetomo e a regiatildeo de maacutexima probabilidade de
se encontrar o eleacutetron
O nuacutemero quacircntico principal (n) indica o
niacutevel de energia Varia de n = 1 a n = 7
respectivamente no 1ordm 2ordm 3ordm niacutevel de energia
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 8
8
8
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons em cada niacutevel eacute
dado por 2n2 Entre os aacutetomos conhecidos no estado
fundamental o nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons num mesmo
niacutevel eacute 32
O nuacutemero quacircntico secundaacuterio ou azimutal
(l) indica a energia do eleacutetron no subniacutevel Nos aacutetomos
conhecidos no estado fundamental haacute quatro subniacuteveis
representados por s p d f em ordem crescente de
energia
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero
quacircntico
azimutal
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
Orbitais
Os subniacuteveis satildeo formados de orbitais Orbital
eacute a regiatildeo da eletrosfera onde haacute maior probabilidade de
estar localizado o eleacutetron do aacutetomo O nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons em cada orbital eacute 2A cada orbital foi
atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico magneacutetico (m) cujo valor
varia de -l a +l passando por zero
subniacutevel s um soacute orbital s (0)
subniacutevel p trecircs orbitais p (-1) (0) (+1)
subniacutevel d cinco orbitais d (-2) (-1) (0) (+1) (+2)
subniacutevel f sete orbitais f
(-3) (-2) (-1)
(0)
(+1) (+2) (+3)
O orbital s tem forma esfeacuterica Os orbitais p
tecircm forma de duplo ovoacuteide e satildeo perpendiculares entre
si (estatildeo dirigidos segundo trecircs eixos ortogonais x y e
z)
Spin
Spin eacute o movimento de rotaccedilatildeo do eleacutetron em
torno de seu eixo Pode ser paralelo ou antiparalelo A
cada um deles foi atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico + 12
e -12
Princiacutepio da exclusatildeo de Pauli
Em um mesmo aacutetomo natildeo existem dois
eleacutetrons com quatro nuacutemeros quacircnticos iguais
Como consequumlecircncia desse princiacutepio dois
eleacutetrons de um mesmo orbital tecircm spins opostos
Um orbital semicheio conteacutem um eleacutetron
desemparelhado um orbital cheio conteacutem dois eleacutetrons
emparelhados (de spins opostos)
Regra de Hund
Ao ser preenchido um subniacutevel cada orbital
desse subniacutevel recebe inicialmente apenas um eleacutetron
somente depois de o uacuteltimo orbital desse subniacutevel ter
recebido seu primeiro eleacutetron comeccedila o preenchimento
de cada orbital semicheio com o segundo eleacutetron
Eleacutetron de maior energia ou eleacutetron de
diferenciaccedilatildeo eacute o uacuteltimo eleacutetron distribuiacutedo no
preenchimento da eletrosfera de acordo com as regras
estudadas
Um aacutetomo estaacutevel (neutro) possui uma certa
quantidade de energia que eacute igual agrave soma das energias
dos seus eleacutetrons Os eleacutetrons por sua vez possuem
energias diferentes chamadas de niacuteveis de energia O
niacutevel de energia de um eleacutetron eacute proporcional a sua
distacircncia do nuacutecleo Portanto os niacuteveis de energia de
eleacutetrons em camadas mais afastadas do nuacutecleo satildeo
maiores do que os de eleacutetrons em camadas mais
proacuteximas do nuacutecleo Os eleacutetrons situados na camada
mais externa satildeo chamados de eleacutetrons de valecircncia
Quando se aplica a certos materiais energia externa
como calor luz ou energia eleacutetrica os eleacutetrons adquirem
energia Isto pode fazer com que o eleacutetron se desloque
para um niacutevel de energia mais alto Diz-se que um
aacutetomo em que isto aconteceu estaacute num estado excitado
Um aacutetomo num estado excitado eacute instaacutevel
Ao ser deslocado para a camada mais externa
do aacutetomo o eleacutetron sofre a miacutenima atraccedilatildeo possiacutevel
pelas cargas positivas dos proacutetons dentro do nuacutecleo do
aacutetomo Se for aplicada ao aacutetomo uma energia suficiente
alguns dos eleacutetrons de valecircncia ou da camada mais
externa abandonaratildeo o aacutetomo Estes eleacutetrons satildeo
chamados de eleacutetrons livres Eacute o movimento dos
eleacutetrons livres que produz a corrente eleacutetrica num
condutor metaacutelico
Cada camada de um aacutetomo pode conter somente um
certo nuacutemero de eleacutetrons Este nuacutemero eacute chamado de
cota da camada Os eleacutetrons em oacuterbita encontram-se em
camadas sucessivas denominadas pelas letras K L M
N O P e Q cada uma delas mais afastada do nuacutecleo
Cada camada conteacutem um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons
para a condiccedilatildeo de estabilidade (Fig 1-3) Depois da
camada K ter sido preenchida com 2 eleacutetrons a camada
L pode conter ateacute 8 eleacutetrons O nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons nas camadas restantes pode ser de 8 18 ou 32
conforme o elemento Entretanto para a camada mais
externa o nuacutemero maacuteximo eacute sempre 8
Exemplo 3 - Mostre a estrutura do aacutetomo de cobre identificando
suas camadas de energia
No aacutetomo de cobre haacute 29 proacutetons no nuacutecleo contrabalanceados
pecirclos 29 eleacutetrons orbitais Os 29 eleacutetrons preenchem a camada K com
2 eleacutetrons e a camada L com 8 eleacutetrons Os 19 eleacutetrons restantes preenchem a camada M com 18 eleacutetrons e consequumlentemente sobra l
eleacutetron que fica na camada N mais externa
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 9
9
9
Se a cota da camada mais externa de um aacutetomo for
preenchida diz-se que o elemento formado por tais
aacutetomos eacute inerte ou estaacutevel
Conservaccedilatildeo da Carga
Quando esfregamos dois corpos um deles fica
com excesso de eleacutetrons e carregado com carga
negativa e o outro com falta de eleacutetrons e carregado
com carga positiva A carga liacutequida dos dois corpos
permanece constante ou seja a carga se conserva
A Lei da conservaccedilatildeo da carga eacute uma Lei
fundamental na Natureza
Condutores e Isolantes
Em muitos materiais por exemplo cobre e
outros metais os eleacutetrons podem se deslocar livremente
Esses materiais satildeo chamados de condutores Outros
como a madeira o vidro e a borracha os eleacutetrons estatildeo
ligados aos aacutetomos mais proacuteximos e natildeo podem se
deslocar em liberdade Satildeo chamados de isolantes
Exemplo 4 ndash A massa de uma moeda de cobre eacute de 3 g (ZCu=29) Qual a carga total dos eleacutetrons na moeda
A carga total eacute o produto do nuacutemero total de eleacutetrons e a carga do eleacutetron Q = Ne (-e)
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto do nuacutemero aacutetomos
de cobre e Z Ne = Z Na Como a massa molecular do cobre eacute 635g teremos que o
nuacutemero de aacutetomos seraacute
aacutetomosNmol
g
molaacute tomos
a
2223
10842563
100263
eleacutetronsZNN ae
2322 102481084229
CeNQ e
51923 10321106110248)(
Processos de eletrizaccedilatildeo
Atrito
No processo de eletrizaccedilatildeo por atrito por dois
corpos um corpo tem afinidade em doar eleacutetrons e outro
tem afinidade em receber eleacutetrons Apoacutes atritar um
corpo com outro os dois ficaratildeo carregados com cargas
de sinais opostos
Um exemplo de eletrizaccedilatildeo por atrito eacute o
denominado Gerador de Van de Graaff Materiais que estatildeo mais proacuteximos do extremo mais
negativo tecircm uma disposiccedilatildeo por assumir uma carga eleacutetrica
negativa Os materiais mais proacuteximos ao extremo mais positivo tendem a assumir carga eleacutetrica positiva Idealmente os materiais da
correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais afastados dessa
lista enquanto o material do cilindro superior deve estar na regiatildeo dos
neutros
Uma Nota em Relaccedilatildeo possiacutevel agrave Polaridade
de um Van de Graaff Para uma dada combinaccedilatildeo rolete inferior- correia- rolete
superior a polaridade do domo do GVDG fica determinada Por exemplo se a correia eacute de borracha o rolete inferior eacute de plaacutestico e o
rolete superior eacute de alumiacutenio o domo ficaraacute negativo Usando o
mesmo desenho poreacutem colocando-se o rolete de plaacutestico como superior e o de alumiacutenio como inferior o domo ficaraacute positivo
mais
positivo
Arvidrofibra
sinteacuteticalatildechumboalumiacuteniopapel
neutro Algodatildeoaccedilomadeiraborracha cobreacetatopolieacutesterpoliuretano
polipropileno vinil (PVC) silicone
mais
negativo
teflon
Robert Jemison Van de Graaff
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de dezembro de 1901 em Tuscaloosa Alabama A chamava-se Minnie Cherokee
Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de Graaff Robert frequentou
o Tuscaloosa escolas puacuteblicas e a Universidade de Alabama onde ele recebeu um grau de BS em 1922 e um grau de MS em 1923 Ambos
os graus estavam em engenharia mecacircnica
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a Companhia Alabama durante um ano como um assistente de pesquisa
Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e laacute assistiu
conferecircncias de Marie Curie sobre radiaccedilatildeo Em 1925 ele entrou para Universidade de Oxford na Inglaterra como um Estudioso de Rhodes
Em Oxford ele recebeu um BS em fiacutesica em 1926 e um PhD em
fiacutesica em 1928 Enquanto em Oxford ele se deu conta da esperanccedila
de trabalhar em experimentos nucleares com Ernest Rutherford que
poderiam acelerar partiacuteculas a velocidades suficiente para desintegrar
nuacutecleos Desintegrando nuacutecleos atocircmicos seria possiacutevel aprender sobre a natureza de aacutetomos individuais Essas ideacuteias que Robert Van
de Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de
partiacuteculas Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados Unidos
para se juntar ao Laboratoacuterio de Pesquisas Fiacutesicas na Universidade de
Princeton como um assessor de Pesquisa Nacional No outono daquele ano ele construiu o primeiro modelo de funcionamento do acelerador
electrostatico que produzia 80000 volts Foram feitas melhorias ao
modelo baacutesico e em novembro 1931 no jantar inaugural do Instituto americano de Fiacutesica foi exibido um modelo de demonstraccedilatildeo que
produziu mais de 1000000 volts Quando Karl T Compton se tornou o presidente de
Instituto de Massachusetts de Tecnologia Van de Graaff foi
convidado a vir ao MIT como um soacutecio de pesquisa Van de Graaff construiu a primeira maacutequina grande em um hangar de aeronave em
Sul Dartmouth Massachusetts A maacutequina usava duas esferas de
alumiacutenio polidas cada 15 peacutes em diacircmetro montado em 25 peacute colunas isolantes altas que tinham 6 peacutes em diacircmetro As colunas estavam
montadas em suportes de estrada de ferro que impulsionaram as
esferas para 43 peacutes sobre niacutevel de solo A maacutequina seu funcionamento em 28 de novembro de 1933 e pocircde produzir 7000000 de volts Esta
realizaccedilatildeo foi informada no New York Times durante 29 de novembro
de 1933 em uma histoacuteria intitulada Parafuso de Lances de Homem de 7000000 Volts Em 1937 a maacutequina foi movida a um local anexo
pressurizado no MIT
John D Cockcroft e Ernest Walton do Laboratoacuterio de Cavendish na Inglaterra tinham construiacutedo um acelerador de partiacutecula proacutespero em
1932 Esta maacutequina consistia de circuitos de voltagem-multiplicadores
usados para produzir as voltagens altas exigidas para aceleraccedilatildeo de partiacuteculas
Era vultoso e complicado e limitou em sua capacidade de
voltagem Em contraste com a maacutequina de Cockcroft-Walton a maacutequina de Van de Graaff era simples e compacta e era mais faacutecil
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 10
10
10
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e entatildeo aceleraccedilotildees mais altas
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenccedilatildeo dele Ele preparou a aplicaccedilatildeo de patente por Karl T Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT Van
de Graaff tambeacutem trabalhou com John G Trunfo professor de
engenharia eleacutetrica no MIT e com William W Buechner professor de fiacutesicas a MIT Um aparelho meacutedico de Graaff produzia raios X por
tratar tumores cancerosos com radiaccedilatildeo penetrante pela primeira vez
usado clinicamente 1937 na Escola Meacutedica de Harvard Em 1936 Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se Eles tiveram dois
filhos John e William
Durante 2ordf Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic Junto com William
W Buechner ele dirigiu a adaptaccedilatildeo do gerador de eletricidade para
exame de radiografias de precisatildeo da Marinha norte-americana Depois da guerra em 1945 o Van de Graaff recebeu como precircmio da
Fundaccedilatildeo Rockefeller uma concessatildeo para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT Em 19 de dezembro de 1946 Van de Graaff e Trunfo formaram a Corporaccedilatildeo Alta Voltagem (HVEC)
em Burlington Massachusetts HVEC foi formado para a produccedilatildeo
comercial de aceleradores de partiacutecula Denis M Robinson professor de engenharia eleacutetrica da Inglaterra se tornou o presidente da
corporaccedilatildeo nova John G Trunfo se tornou o diretor teacutecnico e Van de
Graaff se tornou o fiacutesico principal e soacutecio HVEC se tornou o provedor principal de geradores eletrosttaacuteticos
Eletrizaccedilatildeo por contato
Se um corpo metaacutelico C com carga Q1i
eletrizado for colocado em contato com outro corpo D
tambeacutem metaacutelico com carga Q2i o Princiacutepio da
conservaccedilatildeo da carga garante que a soma das cargas
finais e iniciais seraacute a mesma
Figura 8 ndashEletrizaccedilatildeo por contato
C Q1i Antes Q2i D
Contato C D
C Q1f Q2f D
ffii QQQQ 2121
Princiacutepio da conservaccedilatildeo da carga
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado
(Q2i = 0) haveraacute transferecircncia de apenas parte da carga
de C para D A transferecircncia de carga eacute parcial porque
ela seraacute interrompida quando os potenciais dos dois
corpos se igualarem
Suponha que o corpo D possuiacutesse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela Nestas
condiccedilotildees a carga de C induziraacute cargas eleacutetricas nas
superfiacutecies interna e externa de D Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo moacutedulo da
carga no corpo C (que provocou a induccedilatildeo) Entatildeo se
este corpo for colocado em contato com a parede interna
de D a carga induzida nesta parede seraacute neutralizada
pela carga de C O corpo D ficaraacute eletrizado com uma
carga de mesmo sinal e de mesmo moacutedulo que a carga
inicial do corpo C Tudo se passa como de a carga de C
fosse integralmente transferida para D
Quando haacute contato interno a transferecircncia de carga do
corpo que estaacute dentro da cavidade para o corpo externo
eacute integral mesmo que este jaacute possua uma carga inicial
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra
vez ligado internamente ao corpo D sua carga se
transferiraacute totalmente para D Esta operaccedilatildeo pode ser
repetida vaacuterias vezes e assim eacute possiacutevel acumular em
D uma quantidade de carga cada vez maior A
quantidade de carga em D naturalmente eacute limitada pela
rigidez dieleacutetrica do ar que o envolve Se a rigidez
dieleacutetrica do ar for ultrapassada parte da carga
acumulada em D tende a escoar e portanto a carga
maacutexima que pode existir em D eacute aquela que cria um
campo igual agrave rigidez dieleacutetrica do ar
Princiacutepio de Funcionamento do Gerador de
Van De Graaff
O fato da carga eleacutetrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro quando haacute
contato interno constitui o princiacutepio baacutesico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff
Este aparelho eacute constituiacutedo por uma correia que
passa por duas polias uma delas acionada por um motor
eleacutetrico que faz a correia se movimentar A segunda
polia encontra-se no interior de uma esfera metaacutelica oca
que estaacute apoiada em duas colunas isolantes
Enquanto a correia se movimenta ela recebe carga
eleacutetrica por meio de uma ponta eleacutetrica por meio de uma
ponta ligada a uma fonte de alta tensatildeo (cerca de 10000
V) Esta carga eacute transportada pela correia para o interior
da esfera metaacutelica Uma ponta ligada a esta esfera
recolhe a carga transportada pela correia Em virtude do
contato interno esta carga se transfere integralmente
para a superfiacutecie externa da esfera do gerador
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 11
11
11
Como as cargas satildeo transportadas
continuamente pela correia elas vatildeo se acumulando na
esfera ateacute que a rigidez dieleacutetrica do ar seja atingida
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
cientiacuteficos o diacircmetro da esfera eacute de alguns metros e a
altura do aparelho atinge agraves vezes 15 m Nestas
condiccedilotildees eacute possiacutevel obter voltagens de ateacute 10 milhotildees
de volts
Figura 9 ndashGerador de Van de Graaff
Eletrizaccedilatildeo Por Induccedilatildeo
A figura ilustra duas situaccedilotildees um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b) onde haacute uma nova
redistribuiccedilatildeo de carga no corpo neutro em ambos os
casos
Figura 11 ndashAproximaccedilatildeo do indutor n (a)
(b)
A presenccedila do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuiccedilatildeo das cargas
positivas e negativas do corpo neutro onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
proacuteximas do corpo carregado (indutor) Esse processo eacute
conhecido como induccedilatildeo eletrostaacutetica Caso o indutor
estiver carregado positivamente haveraacute uma
aproximaccedilatildeo das cargas negativas do induzido em
relaccedilatildeo ao indutor
Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de induccedilatildeo e contato eacute o
eletroscoacutepio de folhas de ouro Consiste de duas fitas
laminadas de ouro coladas na extremidade de uma
haste tendo na outra extremidade uma esfera colocada
num invoacutelucro isolante Aproximando um bastatildeo
carregado da esfera a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastatildeo se acumula nas folhas
repelindo-se mutuamente Se encostarmos o bastatildeo na
haste neutra esta se carregaraacute com a mesma carga
assim as lacircminas permaneceratildeo abertas
Figura 12 ndash Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 7
7
7
maiorOs subniacuteveis satildeo designados pelas letras s p d e f
e os valores maacuteximos satildeo respectivamente 2 6 10 e 14
Evidente que por exemplo o niacutevel 1 soacute pode
ter o subniacutevel s pois o nuacutemero maacuteximo do niacutevel eacute 2 Jaacute
o niacutevel 2 pode ter os subniacuteveis s e p e assim
sucessivamente
A figura 7 daacute o exemplo da distribuiccedilatildeo dos
eleacutetrons em um aacutetomo de cobre nuacutemero atocircmico 29
O niacutevel mais externo (4 neste exemplo) eacute
chamado de niacutevel de valecircncia e os eleacutetrons presentes
nele satildeo os eleacutetrons de valecircncia
O nuacutemero de eleacutetrons de valecircncia eacute um fator
importante do elemento Ele define a capacidade do
aacutetomo de ganhar ou perder eleacutetrons e de se combinar
com outros elementosMuitas das propriedades quiacutemicas
e eleacutetricas dependem da valecircnciaA convenccedilatildeo adotada
para a representaccedilatildeo graacutefica da distribuiccedilatildeo de eleacutetrons
no aacutetomo do elemento eacute a indicaccedilatildeo sequumlencial dos
niacuteveis e respectivos subniacuteveis com o nuacutemero de
eleacutetrons de cada subniacutevel colocado na forma de
expoente Para este caso do cobre
1s22s
22p
63s
23p
63d
104s
1
Figura7 ndashConfiguraccedilatildeo eletrocircnica para o aacutetomo de cobre
Exemplo 1 - Descreva o que ocorre com o aacutetomo
de cobre quando ele perde um eleacutetron da sua camada
mais externa
O aacutetomo de cobre toma-se um iacuteon positivo com
uma carga efetiva de +1
Quanto as partiacuteculas fundamentais teremos
para a Carga eleacutetrica
Natureza Valor
relativo
Massa
relativa
Proacuteton Positiva +1e 1
Necircutron Natildeo
existe 0 1
Eleacutetron Negativa -1e 11836
As Camadas eletrocircnicas
Os eleacutetrons estatildeo distribuiacutedos em camadas ou niacuteveis de
energia
nuacutecleo
camada
K L M N O P Q
1 2 3 4 5 6 7
niacutevel
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons nas camadas ou
niacuteveis de energia
K L M N O P Q
2 8 18 32 32 18 2
Subniacuteveis de energia
As camadas ou niacuteveis de energia satildeo formados de
subcamadas ou subniacuteveis de energia designados pelas
letras s p d f
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons 2 6 10 14
Os subniacuteveis conhecidos em cada niacutevel de
energia
Subniacutevel 1s 2s
2p
3s
3p
3d
4s
4p
4d
4f
5s
5p
5d
5f
6s
6p
6d
7s
Niacutevel 1 2 3 4 5 6 7
K L M N O P Q
Subniacuteveis em ordem crescente de energia
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s 4d 5p 6s 4f 5d 6p 7s 5f 6d
Preenchimento dos subniacuteveis
Os subniacuteveis satildeo preenchidos sucessivamente
na ordem crescente de energia com o nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons possiacutevel em cada subniacutevel (Regra de
aufbau)Os nuacutemeros quacircnticos indicam a energia do
eleacutetron no aacutetomo e a regiatildeo de maacutexima probabilidade de
se encontrar o eleacutetron
O nuacutemero quacircntico principal (n) indica o
niacutevel de energia Varia de n = 1 a n = 7
respectivamente no 1ordm 2ordm 3ordm niacutevel de energia
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 8
8
8
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons em cada niacutevel eacute
dado por 2n2 Entre os aacutetomos conhecidos no estado
fundamental o nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons num mesmo
niacutevel eacute 32
O nuacutemero quacircntico secundaacuterio ou azimutal
(l) indica a energia do eleacutetron no subniacutevel Nos aacutetomos
conhecidos no estado fundamental haacute quatro subniacuteveis
representados por s p d f em ordem crescente de
energia
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero
quacircntico
azimutal
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
Orbitais
Os subniacuteveis satildeo formados de orbitais Orbital
eacute a regiatildeo da eletrosfera onde haacute maior probabilidade de
estar localizado o eleacutetron do aacutetomo O nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons em cada orbital eacute 2A cada orbital foi
atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico magneacutetico (m) cujo valor
varia de -l a +l passando por zero
subniacutevel s um soacute orbital s (0)
subniacutevel p trecircs orbitais p (-1) (0) (+1)
subniacutevel d cinco orbitais d (-2) (-1) (0) (+1) (+2)
subniacutevel f sete orbitais f
(-3) (-2) (-1)
(0)
(+1) (+2) (+3)
O orbital s tem forma esfeacuterica Os orbitais p
tecircm forma de duplo ovoacuteide e satildeo perpendiculares entre
si (estatildeo dirigidos segundo trecircs eixos ortogonais x y e
z)
Spin
Spin eacute o movimento de rotaccedilatildeo do eleacutetron em
torno de seu eixo Pode ser paralelo ou antiparalelo A
cada um deles foi atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico + 12
e -12
Princiacutepio da exclusatildeo de Pauli
Em um mesmo aacutetomo natildeo existem dois
eleacutetrons com quatro nuacutemeros quacircnticos iguais
Como consequumlecircncia desse princiacutepio dois
eleacutetrons de um mesmo orbital tecircm spins opostos
Um orbital semicheio conteacutem um eleacutetron
desemparelhado um orbital cheio conteacutem dois eleacutetrons
emparelhados (de spins opostos)
Regra de Hund
Ao ser preenchido um subniacutevel cada orbital
desse subniacutevel recebe inicialmente apenas um eleacutetron
somente depois de o uacuteltimo orbital desse subniacutevel ter
recebido seu primeiro eleacutetron comeccedila o preenchimento
de cada orbital semicheio com o segundo eleacutetron
Eleacutetron de maior energia ou eleacutetron de
diferenciaccedilatildeo eacute o uacuteltimo eleacutetron distribuiacutedo no
preenchimento da eletrosfera de acordo com as regras
estudadas
Um aacutetomo estaacutevel (neutro) possui uma certa
quantidade de energia que eacute igual agrave soma das energias
dos seus eleacutetrons Os eleacutetrons por sua vez possuem
energias diferentes chamadas de niacuteveis de energia O
niacutevel de energia de um eleacutetron eacute proporcional a sua
distacircncia do nuacutecleo Portanto os niacuteveis de energia de
eleacutetrons em camadas mais afastadas do nuacutecleo satildeo
maiores do que os de eleacutetrons em camadas mais
proacuteximas do nuacutecleo Os eleacutetrons situados na camada
mais externa satildeo chamados de eleacutetrons de valecircncia
Quando se aplica a certos materiais energia externa
como calor luz ou energia eleacutetrica os eleacutetrons adquirem
energia Isto pode fazer com que o eleacutetron se desloque
para um niacutevel de energia mais alto Diz-se que um
aacutetomo em que isto aconteceu estaacute num estado excitado
Um aacutetomo num estado excitado eacute instaacutevel
Ao ser deslocado para a camada mais externa
do aacutetomo o eleacutetron sofre a miacutenima atraccedilatildeo possiacutevel
pelas cargas positivas dos proacutetons dentro do nuacutecleo do
aacutetomo Se for aplicada ao aacutetomo uma energia suficiente
alguns dos eleacutetrons de valecircncia ou da camada mais
externa abandonaratildeo o aacutetomo Estes eleacutetrons satildeo
chamados de eleacutetrons livres Eacute o movimento dos
eleacutetrons livres que produz a corrente eleacutetrica num
condutor metaacutelico
Cada camada de um aacutetomo pode conter somente um
certo nuacutemero de eleacutetrons Este nuacutemero eacute chamado de
cota da camada Os eleacutetrons em oacuterbita encontram-se em
camadas sucessivas denominadas pelas letras K L M
N O P e Q cada uma delas mais afastada do nuacutecleo
Cada camada conteacutem um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons
para a condiccedilatildeo de estabilidade (Fig 1-3) Depois da
camada K ter sido preenchida com 2 eleacutetrons a camada
L pode conter ateacute 8 eleacutetrons O nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons nas camadas restantes pode ser de 8 18 ou 32
conforme o elemento Entretanto para a camada mais
externa o nuacutemero maacuteximo eacute sempre 8
Exemplo 3 - Mostre a estrutura do aacutetomo de cobre identificando
suas camadas de energia
No aacutetomo de cobre haacute 29 proacutetons no nuacutecleo contrabalanceados
pecirclos 29 eleacutetrons orbitais Os 29 eleacutetrons preenchem a camada K com
2 eleacutetrons e a camada L com 8 eleacutetrons Os 19 eleacutetrons restantes preenchem a camada M com 18 eleacutetrons e consequumlentemente sobra l
eleacutetron que fica na camada N mais externa
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 9
9
9
Se a cota da camada mais externa de um aacutetomo for
preenchida diz-se que o elemento formado por tais
aacutetomos eacute inerte ou estaacutevel
Conservaccedilatildeo da Carga
Quando esfregamos dois corpos um deles fica
com excesso de eleacutetrons e carregado com carga
negativa e o outro com falta de eleacutetrons e carregado
com carga positiva A carga liacutequida dos dois corpos
permanece constante ou seja a carga se conserva
A Lei da conservaccedilatildeo da carga eacute uma Lei
fundamental na Natureza
Condutores e Isolantes
Em muitos materiais por exemplo cobre e
outros metais os eleacutetrons podem se deslocar livremente
Esses materiais satildeo chamados de condutores Outros
como a madeira o vidro e a borracha os eleacutetrons estatildeo
ligados aos aacutetomos mais proacuteximos e natildeo podem se
deslocar em liberdade Satildeo chamados de isolantes
Exemplo 4 ndash A massa de uma moeda de cobre eacute de 3 g (ZCu=29) Qual a carga total dos eleacutetrons na moeda
A carga total eacute o produto do nuacutemero total de eleacutetrons e a carga do eleacutetron Q = Ne (-e)
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto do nuacutemero aacutetomos
de cobre e Z Ne = Z Na Como a massa molecular do cobre eacute 635g teremos que o
nuacutemero de aacutetomos seraacute
aacutetomosNmol
g
molaacute tomos
a
2223
10842563
100263
eleacutetronsZNN ae
2322 102481084229
CeNQ e
51923 10321106110248)(
Processos de eletrizaccedilatildeo
Atrito
No processo de eletrizaccedilatildeo por atrito por dois
corpos um corpo tem afinidade em doar eleacutetrons e outro
tem afinidade em receber eleacutetrons Apoacutes atritar um
corpo com outro os dois ficaratildeo carregados com cargas
de sinais opostos
Um exemplo de eletrizaccedilatildeo por atrito eacute o
denominado Gerador de Van de Graaff Materiais que estatildeo mais proacuteximos do extremo mais
negativo tecircm uma disposiccedilatildeo por assumir uma carga eleacutetrica
negativa Os materiais mais proacuteximos ao extremo mais positivo tendem a assumir carga eleacutetrica positiva Idealmente os materiais da
correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais afastados dessa
lista enquanto o material do cilindro superior deve estar na regiatildeo dos
neutros
Uma Nota em Relaccedilatildeo possiacutevel agrave Polaridade
de um Van de Graaff Para uma dada combinaccedilatildeo rolete inferior- correia- rolete
superior a polaridade do domo do GVDG fica determinada Por exemplo se a correia eacute de borracha o rolete inferior eacute de plaacutestico e o
rolete superior eacute de alumiacutenio o domo ficaraacute negativo Usando o
mesmo desenho poreacutem colocando-se o rolete de plaacutestico como superior e o de alumiacutenio como inferior o domo ficaraacute positivo
mais
positivo
Arvidrofibra
sinteacuteticalatildechumboalumiacuteniopapel
neutro Algodatildeoaccedilomadeiraborracha cobreacetatopolieacutesterpoliuretano
polipropileno vinil (PVC) silicone
mais
negativo
teflon
Robert Jemison Van de Graaff
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de dezembro de 1901 em Tuscaloosa Alabama A chamava-se Minnie Cherokee
Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de Graaff Robert frequentou
o Tuscaloosa escolas puacuteblicas e a Universidade de Alabama onde ele recebeu um grau de BS em 1922 e um grau de MS em 1923 Ambos
os graus estavam em engenharia mecacircnica
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a Companhia Alabama durante um ano como um assistente de pesquisa
Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e laacute assistiu
conferecircncias de Marie Curie sobre radiaccedilatildeo Em 1925 ele entrou para Universidade de Oxford na Inglaterra como um Estudioso de Rhodes
Em Oxford ele recebeu um BS em fiacutesica em 1926 e um PhD em
fiacutesica em 1928 Enquanto em Oxford ele se deu conta da esperanccedila
de trabalhar em experimentos nucleares com Ernest Rutherford que
poderiam acelerar partiacuteculas a velocidades suficiente para desintegrar
nuacutecleos Desintegrando nuacutecleos atocircmicos seria possiacutevel aprender sobre a natureza de aacutetomos individuais Essas ideacuteias que Robert Van
de Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de
partiacuteculas Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados Unidos
para se juntar ao Laboratoacuterio de Pesquisas Fiacutesicas na Universidade de
Princeton como um assessor de Pesquisa Nacional No outono daquele ano ele construiu o primeiro modelo de funcionamento do acelerador
electrostatico que produzia 80000 volts Foram feitas melhorias ao
modelo baacutesico e em novembro 1931 no jantar inaugural do Instituto americano de Fiacutesica foi exibido um modelo de demonstraccedilatildeo que
produziu mais de 1000000 volts Quando Karl T Compton se tornou o presidente de
Instituto de Massachusetts de Tecnologia Van de Graaff foi
convidado a vir ao MIT como um soacutecio de pesquisa Van de Graaff construiu a primeira maacutequina grande em um hangar de aeronave em
Sul Dartmouth Massachusetts A maacutequina usava duas esferas de
alumiacutenio polidas cada 15 peacutes em diacircmetro montado em 25 peacute colunas isolantes altas que tinham 6 peacutes em diacircmetro As colunas estavam
montadas em suportes de estrada de ferro que impulsionaram as
esferas para 43 peacutes sobre niacutevel de solo A maacutequina seu funcionamento em 28 de novembro de 1933 e pocircde produzir 7000000 de volts Esta
realizaccedilatildeo foi informada no New York Times durante 29 de novembro
de 1933 em uma histoacuteria intitulada Parafuso de Lances de Homem de 7000000 Volts Em 1937 a maacutequina foi movida a um local anexo
pressurizado no MIT
John D Cockcroft e Ernest Walton do Laboratoacuterio de Cavendish na Inglaterra tinham construiacutedo um acelerador de partiacutecula proacutespero em
1932 Esta maacutequina consistia de circuitos de voltagem-multiplicadores
usados para produzir as voltagens altas exigidas para aceleraccedilatildeo de partiacuteculas
Era vultoso e complicado e limitou em sua capacidade de
voltagem Em contraste com a maacutequina de Cockcroft-Walton a maacutequina de Van de Graaff era simples e compacta e era mais faacutecil
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 10
10
10
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e entatildeo aceleraccedilotildees mais altas
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenccedilatildeo dele Ele preparou a aplicaccedilatildeo de patente por Karl T Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT Van
de Graaff tambeacutem trabalhou com John G Trunfo professor de
engenharia eleacutetrica no MIT e com William W Buechner professor de fiacutesicas a MIT Um aparelho meacutedico de Graaff produzia raios X por
tratar tumores cancerosos com radiaccedilatildeo penetrante pela primeira vez
usado clinicamente 1937 na Escola Meacutedica de Harvard Em 1936 Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se Eles tiveram dois
filhos John e William
Durante 2ordf Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic Junto com William
W Buechner ele dirigiu a adaptaccedilatildeo do gerador de eletricidade para
exame de radiografias de precisatildeo da Marinha norte-americana Depois da guerra em 1945 o Van de Graaff recebeu como precircmio da
Fundaccedilatildeo Rockefeller uma concessatildeo para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT Em 19 de dezembro de 1946 Van de Graaff e Trunfo formaram a Corporaccedilatildeo Alta Voltagem (HVEC)
em Burlington Massachusetts HVEC foi formado para a produccedilatildeo
comercial de aceleradores de partiacutecula Denis M Robinson professor de engenharia eleacutetrica da Inglaterra se tornou o presidente da
corporaccedilatildeo nova John G Trunfo se tornou o diretor teacutecnico e Van de
Graaff se tornou o fiacutesico principal e soacutecio HVEC se tornou o provedor principal de geradores eletrosttaacuteticos
Eletrizaccedilatildeo por contato
Se um corpo metaacutelico C com carga Q1i
eletrizado for colocado em contato com outro corpo D
tambeacutem metaacutelico com carga Q2i o Princiacutepio da
conservaccedilatildeo da carga garante que a soma das cargas
finais e iniciais seraacute a mesma
Figura 8 ndashEletrizaccedilatildeo por contato
C Q1i Antes Q2i D
Contato C D
C Q1f Q2f D
ffii QQQQ 2121
Princiacutepio da conservaccedilatildeo da carga
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado
(Q2i = 0) haveraacute transferecircncia de apenas parte da carga
de C para D A transferecircncia de carga eacute parcial porque
ela seraacute interrompida quando os potenciais dos dois
corpos se igualarem
Suponha que o corpo D possuiacutesse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela Nestas
condiccedilotildees a carga de C induziraacute cargas eleacutetricas nas
superfiacutecies interna e externa de D Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo moacutedulo da
carga no corpo C (que provocou a induccedilatildeo) Entatildeo se
este corpo for colocado em contato com a parede interna
de D a carga induzida nesta parede seraacute neutralizada
pela carga de C O corpo D ficaraacute eletrizado com uma
carga de mesmo sinal e de mesmo moacutedulo que a carga
inicial do corpo C Tudo se passa como de a carga de C
fosse integralmente transferida para D
Quando haacute contato interno a transferecircncia de carga do
corpo que estaacute dentro da cavidade para o corpo externo
eacute integral mesmo que este jaacute possua uma carga inicial
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra
vez ligado internamente ao corpo D sua carga se
transferiraacute totalmente para D Esta operaccedilatildeo pode ser
repetida vaacuterias vezes e assim eacute possiacutevel acumular em
D uma quantidade de carga cada vez maior A
quantidade de carga em D naturalmente eacute limitada pela
rigidez dieleacutetrica do ar que o envolve Se a rigidez
dieleacutetrica do ar for ultrapassada parte da carga
acumulada em D tende a escoar e portanto a carga
maacutexima que pode existir em D eacute aquela que cria um
campo igual agrave rigidez dieleacutetrica do ar
Princiacutepio de Funcionamento do Gerador de
Van De Graaff
O fato da carga eleacutetrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro quando haacute
contato interno constitui o princiacutepio baacutesico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff
Este aparelho eacute constituiacutedo por uma correia que
passa por duas polias uma delas acionada por um motor
eleacutetrico que faz a correia se movimentar A segunda
polia encontra-se no interior de uma esfera metaacutelica oca
que estaacute apoiada em duas colunas isolantes
Enquanto a correia se movimenta ela recebe carga
eleacutetrica por meio de uma ponta eleacutetrica por meio de uma
ponta ligada a uma fonte de alta tensatildeo (cerca de 10000
V) Esta carga eacute transportada pela correia para o interior
da esfera metaacutelica Uma ponta ligada a esta esfera
recolhe a carga transportada pela correia Em virtude do
contato interno esta carga se transfere integralmente
para a superfiacutecie externa da esfera do gerador
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 11
11
11
Como as cargas satildeo transportadas
continuamente pela correia elas vatildeo se acumulando na
esfera ateacute que a rigidez dieleacutetrica do ar seja atingida
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
cientiacuteficos o diacircmetro da esfera eacute de alguns metros e a
altura do aparelho atinge agraves vezes 15 m Nestas
condiccedilotildees eacute possiacutevel obter voltagens de ateacute 10 milhotildees
de volts
Figura 9 ndashGerador de Van de Graaff
Eletrizaccedilatildeo Por Induccedilatildeo
A figura ilustra duas situaccedilotildees um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b) onde haacute uma nova
redistribuiccedilatildeo de carga no corpo neutro em ambos os
casos
Figura 11 ndashAproximaccedilatildeo do indutor n (a)
(b)
A presenccedila do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuiccedilatildeo das cargas
positivas e negativas do corpo neutro onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
proacuteximas do corpo carregado (indutor) Esse processo eacute
conhecido como induccedilatildeo eletrostaacutetica Caso o indutor
estiver carregado positivamente haveraacute uma
aproximaccedilatildeo das cargas negativas do induzido em
relaccedilatildeo ao indutor
Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de induccedilatildeo e contato eacute o
eletroscoacutepio de folhas de ouro Consiste de duas fitas
laminadas de ouro coladas na extremidade de uma
haste tendo na outra extremidade uma esfera colocada
num invoacutelucro isolante Aproximando um bastatildeo
carregado da esfera a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastatildeo se acumula nas folhas
repelindo-se mutuamente Se encostarmos o bastatildeo na
haste neutra esta se carregaraacute com a mesma carga
assim as lacircminas permaneceratildeo abertas
Figura 12 ndash Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 8
8
8
O nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons em cada niacutevel eacute
dado por 2n2 Entre os aacutetomos conhecidos no estado
fundamental o nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons num mesmo
niacutevel eacute 32
O nuacutemero quacircntico secundaacuterio ou azimutal
(l) indica a energia do eleacutetron no subniacutevel Nos aacutetomos
conhecidos no estado fundamental haacute quatro subniacuteveis
representados por s p d f em ordem crescente de
energia
Subniacutevel s p d f
Nuacutemero
quacircntico
azimutal
l = 0 l = 1 l = 2 l = 3
Orbitais
Os subniacuteveis satildeo formados de orbitais Orbital
eacute a regiatildeo da eletrosfera onde haacute maior probabilidade de
estar localizado o eleacutetron do aacutetomo O nuacutemero maacuteximo
de eleacutetrons em cada orbital eacute 2A cada orbital foi
atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico magneacutetico (m) cujo valor
varia de -l a +l passando por zero
subniacutevel s um soacute orbital s (0)
subniacutevel p trecircs orbitais p (-1) (0) (+1)
subniacutevel d cinco orbitais d (-2) (-1) (0) (+1) (+2)
subniacutevel f sete orbitais f
(-3) (-2) (-1)
(0)
(+1) (+2) (+3)
O orbital s tem forma esfeacuterica Os orbitais p
tecircm forma de duplo ovoacuteide e satildeo perpendiculares entre
si (estatildeo dirigidos segundo trecircs eixos ortogonais x y e
z)
Spin
Spin eacute o movimento de rotaccedilatildeo do eleacutetron em
torno de seu eixo Pode ser paralelo ou antiparalelo A
cada um deles foi atribuiacutedo um nuacutemero quacircntico + 12
e -12
Princiacutepio da exclusatildeo de Pauli
Em um mesmo aacutetomo natildeo existem dois
eleacutetrons com quatro nuacutemeros quacircnticos iguais
Como consequumlecircncia desse princiacutepio dois
eleacutetrons de um mesmo orbital tecircm spins opostos
Um orbital semicheio conteacutem um eleacutetron
desemparelhado um orbital cheio conteacutem dois eleacutetrons
emparelhados (de spins opostos)
Regra de Hund
Ao ser preenchido um subniacutevel cada orbital
desse subniacutevel recebe inicialmente apenas um eleacutetron
somente depois de o uacuteltimo orbital desse subniacutevel ter
recebido seu primeiro eleacutetron comeccedila o preenchimento
de cada orbital semicheio com o segundo eleacutetron
Eleacutetron de maior energia ou eleacutetron de
diferenciaccedilatildeo eacute o uacuteltimo eleacutetron distribuiacutedo no
preenchimento da eletrosfera de acordo com as regras
estudadas
Um aacutetomo estaacutevel (neutro) possui uma certa
quantidade de energia que eacute igual agrave soma das energias
dos seus eleacutetrons Os eleacutetrons por sua vez possuem
energias diferentes chamadas de niacuteveis de energia O
niacutevel de energia de um eleacutetron eacute proporcional a sua
distacircncia do nuacutecleo Portanto os niacuteveis de energia de
eleacutetrons em camadas mais afastadas do nuacutecleo satildeo
maiores do que os de eleacutetrons em camadas mais
proacuteximas do nuacutecleo Os eleacutetrons situados na camada
mais externa satildeo chamados de eleacutetrons de valecircncia
Quando se aplica a certos materiais energia externa
como calor luz ou energia eleacutetrica os eleacutetrons adquirem
energia Isto pode fazer com que o eleacutetron se desloque
para um niacutevel de energia mais alto Diz-se que um
aacutetomo em que isto aconteceu estaacute num estado excitado
Um aacutetomo num estado excitado eacute instaacutevel
Ao ser deslocado para a camada mais externa
do aacutetomo o eleacutetron sofre a miacutenima atraccedilatildeo possiacutevel
pelas cargas positivas dos proacutetons dentro do nuacutecleo do
aacutetomo Se for aplicada ao aacutetomo uma energia suficiente
alguns dos eleacutetrons de valecircncia ou da camada mais
externa abandonaratildeo o aacutetomo Estes eleacutetrons satildeo
chamados de eleacutetrons livres Eacute o movimento dos
eleacutetrons livres que produz a corrente eleacutetrica num
condutor metaacutelico
Cada camada de um aacutetomo pode conter somente um
certo nuacutemero de eleacutetrons Este nuacutemero eacute chamado de
cota da camada Os eleacutetrons em oacuterbita encontram-se em
camadas sucessivas denominadas pelas letras K L M
N O P e Q cada uma delas mais afastada do nuacutecleo
Cada camada conteacutem um nuacutemero maacuteximo de eleacutetrons
para a condiccedilatildeo de estabilidade (Fig 1-3) Depois da
camada K ter sido preenchida com 2 eleacutetrons a camada
L pode conter ateacute 8 eleacutetrons O nuacutemero maacuteximo de
eleacutetrons nas camadas restantes pode ser de 8 18 ou 32
conforme o elemento Entretanto para a camada mais
externa o nuacutemero maacuteximo eacute sempre 8
Exemplo 3 - Mostre a estrutura do aacutetomo de cobre identificando
suas camadas de energia
No aacutetomo de cobre haacute 29 proacutetons no nuacutecleo contrabalanceados
pecirclos 29 eleacutetrons orbitais Os 29 eleacutetrons preenchem a camada K com
2 eleacutetrons e a camada L com 8 eleacutetrons Os 19 eleacutetrons restantes preenchem a camada M com 18 eleacutetrons e consequumlentemente sobra l
eleacutetron que fica na camada N mais externa
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 9
9
9
Se a cota da camada mais externa de um aacutetomo for
preenchida diz-se que o elemento formado por tais
aacutetomos eacute inerte ou estaacutevel
Conservaccedilatildeo da Carga
Quando esfregamos dois corpos um deles fica
com excesso de eleacutetrons e carregado com carga
negativa e o outro com falta de eleacutetrons e carregado
com carga positiva A carga liacutequida dos dois corpos
permanece constante ou seja a carga se conserva
A Lei da conservaccedilatildeo da carga eacute uma Lei
fundamental na Natureza
Condutores e Isolantes
Em muitos materiais por exemplo cobre e
outros metais os eleacutetrons podem se deslocar livremente
Esses materiais satildeo chamados de condutores Outros
como a madeira o vidro e a borracha os eleacutetrons estatildeo
ligados aos aacutetomos mais proacuteximos e natildeo podem se
deslocar em liberdade Satildeo chamados de isolantes
Exemplo 4 ndash A massa de uma moeda de cobre eacute de 3 g (ZCu=29) Qual a carga total dos eleacutetrons na moeda
A carga total eacute o produto do nuacutemero total de eleacutetrons e a carga do eleacutetron Q = Ne (-e)
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto do nuacutemero aacutetomos
de cobre e Z Ne = Z Na Como a massa molecular do cobre eacute 635g teremos que o
nuacutemero de aacutetomos seraacute
aacutetomosNmol
g
molaacute tomos
a
2223
10842563
100263
eleacutetronsZNN ae
2322 102481084229
CeNQ e
51923 10321106110248)(
Processos de eletrizaccedilatildeo
Atrito
No processo de eletrizaccedilatildeo por atrito por dois
corpos um corpo tem afinidade em doar eleacutetrons e outro
tem afinidade em receber eleacutetrons Apoacutes atritar um
corpo com outro os dois ficaratildeo carregados com cargas
de sinais opostos
Um exemplo de eletrizaccedilatildeo por atrito eacute o
denominado Gerador de Van de Graaff Materiais que estatildeo mais proacuteximos do extremo mais
negativo tecircm uma disposiccedilatildeo por assumir uma carga eleacutetrica
negativa Os materiais mais proacuteximos ao extremo mais positivo tendem a assumir carga eleacutetrica positiva Idealmente os materiais da
correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais afastados dessa
lista enquanto o material do cilindro superior deve estar na regiatildeo dos
neutros
Uma Nota em Relaccedilatildeo possiacutevel agrave Polaridade
de um Van de Graaff Para uma dada combinaccedilatildeo rolete inferior- correia- rolete
superior a polaridade do domo do GVDG fica determinada Por exemplo se a correia eacute de borracha o rolete inferior eacute de plaacutestico e o
rolete superior eacute de alumiacutenio o domo ficaraacute negativo Usando o
mesmo desenho poreacutem colocando-se o rolete de plaacutestico como superior e o de alumiacutenio como inferior o domo ficaraacute positivo
mais
positivo
Arvidrofibra
sinteacuteticalatildechumboalumiacuteniopapel
neutro Algodatildeoaccedilomadeiraborracha cobreacetatopolieacutesterpoliuretano
polipropileno vinil (PVC) silicone
mais
negativo
teflon
Robert Jemison Van de Graaff
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de dezembro de 1901 em Tuscaloosa Alabama A chamava-se Minnie Cherokee
Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de Graaff Robert frequentou
o Tuscaloosa escolas puacuteblicas e a Universidade de Alabama onde ele recebeu um grau de BS em 1922 e um grau de MS em 1923 Ambos
os graus estavam em engenharia mecacircnica
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a Companhia Alabama durante um ano como um assistente de pesquisa
Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e laacute assistiu
conferecircncias de Marie Curie sobre radiaccedilatildeo Em 1925 ele entrou para Universidade de Oxford na Inglaterra como um Estudioso de Rhodes
Em Oxford ele recebeu um BS em fiacutesica em 1926 e um PhD em
fiacutesica em 1928 Enquanto em Oxford ele se deu conta da esperanccedila
de trabalhar em experimentos nucleares com Ernest Rutherford que
poderiam acelerar partiacuteculas a velocidades suficiente para desintegrar
nuacutecleos Desintegrando nuacutecleos atocircmicos seria possiacutevel aprender sobre a natureza de aacutetomos individuais Essas ideacuteias que Robert Van
de Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de
partiacuteculas Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados Unidos
para se juntar ao Laboratoacuterio de Pesquisas Fiacutesicas na Universidade de
Princeton como um assessor de Pesquisa Nacional No outono daquele ano ele construiu o primeiro modelo de funcionamento do acelerador
electrostatico que produzia 80000 volts Foram feitas melhorias ao
modelo baacutesico e em novembro 1931 no jantar inaugural do Instituto americano de Fiacutesica foi exibido um modelo de demonstraccedilatildeo que
produziu mais de 1000000 volts Quando Karl T Compton se tornou o presidente de
Instituto de Massachusetts de Tecnologia Van de Graaff foi
convidado a vir ao MIT como um soacutecio de pesquisa Van de Graaff construiu a primeira maacutequina grande em um hangar de aeronave em
Sul Dartmouth Massachusetts A maacutequina usava duas esferas de
alumiacutenio polidas cada 15 peacutes em diacircmetro montado em 25 peacute colunas isolantes altas que tinham 6 peacutes em diacircmetro As colunas estavam
montadas em suportes de estrada de ferro que impulsionaram as
esferas para 43 peacutes sobre niacutevel de solo A maacutequina seu funcionamento em 28 de novembro de 1933 e pocircde produzir 7000000 de volts Esta
realizaccedilatildeo foi informada no New York Times durante 29 de novembro
de 1933 em uma histoacuteria intitulada Parafuso de Lances de Homem de 7000000 Volts Em 1937 a maacutequina foi movida a um local anexo
pressurizado no MIT
John D Cockcroft e Ernest Walton do Laboratoacuterio de Cavendish na Inglaterra tinham construiacutedo um acelerador de partiacutecula proacutespero em
1932 Esta maacutequina consistia de circuitos de voltagem-multiplicadores
usados para produzir as voltagens altas exigidas para aceleraccedilatildeo de partiacuteculas
Era vultoso e complicado e limitou em sua capacidade de
voltagem Em contraste com a maacutequina de Cockcroft-Walton a maacutequina de Van de Graaff era simples e compacta e era mais faacutecil
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 10
10
10
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e entatildeo aceleraccedilotildees mais altas
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenccedilatildeo dele Ele preparou a aplicaccedilatildeo de patente por Karl T Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT Van
de Graaff tambeacutem trabalhou com John G Trunfo professor de
engenharia eleacutetrica no MIT e com William W Buechner professor de fiacutesicas a MIT Um aparelho meacutedico de Graaff produzia raios X por
tratar tumores cancerosos com radiaccedilatildeo penetrante pela primeira vez
usado clinicamente 1937 na Escola Meacutedica de Harvard Em 1936 Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se Eles tiveram dois
filhos John e William
Durante 2ordf Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic Junto com William
W Buechner ele dirigiu a adaptaccedilatildeo do gerador de eletricidade para
exame de radiografias de precisatildeo da Marinha norte-americana Depois da guerra em 1945 o Van de Graaff recebeu como precircmio da
Fundaccedilatildeo Rockefeller uma concessatildeo para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT Em 19 de dezembro de 1946 Van de Graaff e Trunfo formaram a Corporaccedilatildeo Alta Voltagem (HVEC)
em Burlington Massachusetts HVEC foi formado para a produccedilatildeo
comercial de aceleradores de partiacutecula Denis M Robinson professor de engenharia eleacutetrica da Inglaterra se tornou o presidente da
corporaccedilatildeo nova John G Trunfo se tornou o diretor teacutecnico e Van de
Graaff se tornou o fiacutesico principal e soacutecio HVEC se tornou o provedor principal de geradores eletrosttaacuteticos
Eletrizaccedilatildeo por contato
Se um corpo metaacutelico C com carga Q1i
eletrizado for colocado em contato com outro corpo D
tambeacutem metaacutelico com carga Q2i o Princiacutepio da
conservaccedilatildeo da carga garante que a soma das cargas
finais e iniciais seraacute a mesma
Figura 8 ndashEletrizaccedilatildeo por contato
C Q1i Antes Q2i D
Contato C D
C Q1f Q2f D
ffii QQQQ 2121
Princiacutepio da conservaccedilatildeo da carga
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado
(Q2i = 0) haveraacute transferecircncia de apenas parte da carga
de C para D A transferecircncia de carga eacute parcial porque
ela seraacute interrompida quando os potenciais dos dois
corpos se igualarem
Suponha que o corpo D possuiacutesse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela Nestas
condiccedilotildees a carga de C induziraacute cargas eleacutetricas nas
superfiacutecies interna e externa de D Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo moacutedulo da
carga no corpo C (que provocou a induccedilatildeo) Entatildeo se
este corpo for colocado em contato com a parede interna
de D a carga induzida nesta parede seraacute neutralizada
pela carga de C O corpo D ficaraacute eletrizado com uma
carga de mesmo sinal e de mesmo moacutedulo que a carga
inicial do corpo C Tudo se passa como de a carga de C
fosse integralmente transferida para D
Quando haacute contato interno a transferecircncia de carga do
corpo que estaacute dentro da cavidade para o corpo externo
eacute integral mesmo que este jaacute possua uma carga inicial
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra
vez ligado internamente ao corpo D sua carga se
transferiraacute totalmente para D Esta operaccedilatildeo pode ser
repetida vaacuterias vezes e assim eacute possiacutevel acumular em
D uma quantidade de carga cada vez maior A
quantidade de carga em D naturalmente eacute limitada pela
rigidez dieleacutetrica do ar que o envolve Se a rigidez
dieleacutetrica do ar for ultrapassada parte da carga
acumulada em D tende a escoar e portanto a carga
maacutexima que pode existir em D eacute aquela que cria um
campo igual agrave rigidez dieleacutetrica do ar
Princiacutepio de Funcionamento do Gerador de
Van De Graaff
O fato da carga eleacutetrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro quando haacute
contato interno constitui o princiacutepio baacutesico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff
Este aparelho eacute constituiacutedo por uma correia que
passa por duas polias uma delas acionada por um motor
eleacutetrico que faz a correia se movimentar A segunda
polia encontra-se no interior de uma esfera metaacutelica oca
que estaacute apoiada em duas colunas isolantes
Enquanto a correia se movimenta ela recebe carga
eleacutetrica por meio de uma ponta eleacutetrica por meio de uma
ponta ligada a uma fonte de alta tensatildeo (cerca de 10000
V) Esta carga eacute transportada pela correia para o interior
da esfera metaacutelica Uma ponta ligada a esta esfera
recolhe a carga transportada pela correia Em virtude do
contato interno esta carga se transfere integralmente
para a superfiacutecie externa da esfera do gerador
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 11
11
11
Como as cargas satildeo transportadas
continuamente pela correia elas vatildeo se acumulando na
esfera ateacute que a rigidez dieleacutetrica do ar seja atingida
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
cientiacuteficos o diacircmetro da esfera eacute de alguns metros e a
altura do aparelho atinge agraves vezes 15 m Nestas
condiccedilotildees eacute possiacutevel obter voltagens de ateacute 10 milhotildees
de volts
Figura 9 ndashGerador de Van de Graaff
Eletrizaccedilatildeo Por Induccedilatildeo
A figura ilustra duas situaccedilotildees um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b) onde haacute uma nova
redistribuiccedilatildeo de carga no corpo neutro em ambos os
casos
Figura 11 ndashAproximaccedilatildeo do indutor n (a)
(b)
A presenccedila do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuiccedilatildeo das cargas
positivas e negativas do corpo neutro onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
proacuteximas do corpo carregado (indutor) Esse processo eacute
conhecido como induccedilatildeo eletrostaacutetica Caso o indutor
estiver carregado positivamente haveraacute uma
aproximaccedilatildeo das cargas negativas do induzido em
relaccedilatildeo ao indutor
Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de induccedilatildeo e contato eacute o
eletroscoacutepio de folhas de ouro Consiste de duas fitas
laminadas de ouro coladas na extremidade de uma
haste tendo na outra extremidade uma esfera colocada
num invoacutelucro isolante Aproximando um bastatildeo
carregado da esfera a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastatildeo se acumula nas folhas
repelindo-se mutuamente Se encostarmos o bastatildeo na
haste neutra esta se carregaraacute com a mesma carga
assim as lacircminas permaneceratildeo abertas
Figura 12 ndash Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 9
9
9
Se a cota da camada mais externa de um aacutetomo for
preenchida diz-se que o elemento formado por tais
aacutetomos eacute inerte ou estaacutevel
Conservaccedilatildeo da Carga
Quando esfregamos dois corpos um deles fica
com excesso de eleacutetrons e carregado com carga
negativa e o outro com falta de eleacutetrons e carregado
com carga positiva A carga liacutequida dos dois corpos
permanece constante ou seja a carga se conserva
A Lei da conservaccedilatildeo da carga eacute uma Lei
fundamental na Natureza
Condutores e Isolantes
Em muitos materiais por exemplo cobre e
outros metais os eleacutetrons podem se deslocar livremente
Esses materiais satildeo chamados de condutores Outros
como a madeira o vidro e a borracha os eleacutetrons estatildeo
ligados aos aacutetomos mais proacuteximos e natildeo podem se
deslocar em liberdade Satildeo chamados de isolantes
Exemplo 4 ndash A massa de uma moeda de cobre eacute de 3 g (ZCu=29) Qual a carga total dos eleacutetrons na moeda
A carga total eacute o produto do nuacutemero total de eleacutetrons e a carga do eleacutetron Q = Ne (-e)
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto do nuacutemero aacutetomos
de cobre e Z Ne = Z Na Como a massa molecular do cobre eacute 635g teremos que o
nuacutemero de aacutetomos seraacute
aacutetomosNmol
g
molaacute tomos
a
2223
10842563
100263
eleacutetronsZNN ae
2322 102481084229
CeNQ e
51923 10321106110248)(
Processos de eletrizaccedilatildeo
Atrito
No processo de eletrizaccedilatildeo por atrito por dois
corpos um corpo tem afinidade em doar eleacutetrons e outro
tem afinidade em receber eleacutetrons Apoacutes atritar um
corpo com outro os dois ficaratildeo carregados com cargas
de sinais opostos
Um exemplo de eletrizaccedilatildeo por atrito eacute o
denominado Gerador de Van de Graaff Materiais que estatildeo mais proacuteximos do extremo mais
negativo tecircm uma disposiccedilatildeo por assumir uma carga eleacutetrica
negativa Os materiais mais proacuteximos ao extremo mais positivo tendem a assumir carga eleacutetrica positiva Idealmente os materiais da
correia e do cilindro inferior devem estar entre o mais afastados dessa
lista enquanto o material do cilindro superior deve estar na regiatildeo dos
neutros
Uma Nota em Relaccedilatildeo possiacutevel agrave Polaridade
de um Van de Graaff Para uma dada combinaccedilatildeo rolete inferior- correia- rolete
superior a polaridade do domo do GVDG fica determinada Por exemplo se a correia eacute de borracha o rolete inferior eacute de plaacutestico e o
rolete superior eacute de alumiacutenio o domo ficaraacute negativo Usando o
mesmo desenho poreacutem colocando-se o rolete de plaacutestico como superior e o de alumiacutenio como inferior o domo ficaraacute positivo
mais
positivo
Arvidrofibra
sinteacuteticalatildechumboalumiacuteniopapel
neutro Algodatildeoaccedilomadeiraborracha cobreacetatopolieacutesterpoliuretano
polipropileno vinil (PVC) silicone
mais
negativo
teflon
Robert Jemison Van de Graaff
Robert Jemison Van de que Graaff nasceu 20 de dezembro de 1901 em Tuscaloosa Alabama A chamava-se Minnie Cherokee
Hargrove e o pai Adrian Sebastian Van de Graaff Robert frequentou
o Tuscaloosa escolas puacuteblicas e a Universidade de Alabama onde ele recebeu um grau de BS em 1922 e um grau de MS em 1923 Ambos
os graus estavam em engenharia mecacircnica
Depois de se formar de faculdade ele trabalhou para a Companhia Alabama durante um ano como um assistente de pesquisa
Ele estudou em Sorbonne em Paris de 1924 a 1925 e laacute assistiu
conferecircncias de Marie Curie sobre radiaccedilatildeo Em 1925 ele entrou para Universidade de Oxford na Inglaterra como um Estudioso de Rhodes
Em Oxford ele recebeu um BS em fiacutesica em 1926 e um PhD em
fiacutesica em 1928 Enquanto em Oxford ele se deu conta da esperanccedila
de trabalhar em experimentos nucleares com Ernest Rutherford que
poderiam acelerar partiacuteculas a velocidades suficiente para desintegrar
nuacutecleos Desintegrando nuacutecleos atocircmicos seria possiacutevel aprender sobre a natureza de aacutetomos individuais Essas ideacuteias que Robert Van
de Graaff visualizou a necessidade de construir um acelerador de
partiacuteculas Em 1929 Van de que Graaff voltou para os Estados Unidos
para se juntar ao Laboratoacuterio de Pesquisas Fiacutesicas na Universidade de
Princeton como um assessor de Pesquisa Nacional No outono daquele ano ele construiu o primeiro modelo de funcionamento do acelerador
electrostatico que produzia 80000 volts Foram feitas melhorias ao
modelo baacutesico e em novembro 1931 no jantar inaugural do Instituto americano de Fiacutesica foi exibido um modelo de demonstraccedilatildeo que
produziu mais de 1000000 volts Quando Karl T Compton se tornou o presidente de
Instituto de Massachusetts de Tecnologia Van de Graaff foi
convidado a vir ao MIT como um soacutecio de pesquisa Van de Graaff construiu a primeira maacutequina grande em um hangar de aeronave em
Sul Dartmouth Massachusetts A maacutequina usava duas esferas de
alumiacutenio polidas cada 15 peacutes em diacircmetro montado em 25 peacute colunas isolantes altas que tinham 6 peacutes em diacircmetro As colunas estavam
montadas em suportes de estrada de ferro que impulsionaram as
esferas para 43 peacutes sobre niacutevel de solo A maacutequina seu funcionamento em 28 de novembro de 1933 e pocircde produzir 7000000 de volts Esta
realizaccedilatildeo foi informada no New York Times durante 29 de novembro
de 1933 em uma histoacuteria intitulada Parafuso de Lances de Homem de 7000000 Volts Em 1937 a maacutequina foi movida a um local anexo
pressurizado no MIT
John D Cockcroft e Ernest Walton do Laboratoacuterio de Cavendish na Inglaterra tinham construiacutedo um acelerador de partiacutecula proacutespero em
1932 Esta maacutequina consistia de circuitos de voltagem-multiplicadores
usados para produzir as voltagens altas exigidas para aceleraccedilatildeo de partiacuteculas
Era vultoso e complicado e limitou em sua capacidade de
voltagem Em contraste com a maacutequina de Cockcroft-Walton a maacutequina de Van de Graaff era simples e compacta e era mais faacutecil
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 10
10
10
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e entatildeo aceleraccedilotildees mais altas
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenccedilatildeo dele Ele preparou a aplicaccedilatildeo de patente por Karl T Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT Van
de Graaff tambeacutem trabalhou com John G Trunfo professor de
engenharia eleacutetrica no MIT e com William W Buechner professor de fiacutesicas a MIT Um aparelho meacutedico de Graaff produzia raios X por
tratar tumores cancerosos com radiaccedilatildeo penetrante pela primeira vez
usado clinicamente 1937 na Escola Meacutedica de Harvard Em 1936 Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se Eles tiveram dois
filhos John e William
Durante 2ordf Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic Junto com William
W Buechner ele dirigiu a adaptaccedilatildeo do gerador de eletricidade para
exame de radiografias de precisatildeo da Marinha norte-americana Depois da guerra em 1945 o Van de Graaff recebeu como precircmio da
Fundaccedilatildeo Rockefeller uma concessatildeo para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT Em 19 de dezembro de 1946 Van de Graaff e Trunfo formaram a Corporaccedilatildeo Alta Voltagem (HVEC)
em Burlington Massachusetts HVEC foi formado para a produccedilatildeo
comercial de aceleradores de partiacutecula Denis M Robinson professor de engenharia eleacutetrica da Inglaterra se tornou o presidente da
corporaccedilatildeo nova John G Trunfo se tornou o diretor teacutecnico e Van de
Graaff se tornou o fiacutesico principal e soacutecio HVEC se tornou o provedor principal de geradores eletrosttaacuteticos
Eletrizaccedilatildeo por contato
Se um corpo metaacutelico C com carga Q1i
eletrizado for colocado em contato com outro corpo D
tambeacutem metaacutelico com carga Q2i o Princiacutepio da
conservaccedilatildeo da carga garante que a soma das cargas
finais e iniciais seraacute a mesma
Figura 8 ndashEletrizaccedilatildeo por contato
C Q1i Antes Q2i D
Contato C D
C Q1f Q2f D
ffii QQQQ 2121
Princiacutepio da conservaccedilatildeo da carga
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado
(Q2i = 0) haveraacute transferecircncia de apenas parte da carga
de C para D A transferecircncia de carga eacute parcial porque
ela seraacute interrompida quando os potenciais dos dois
corpos se igualarem
Suponha que o corpo D possuiacutesse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela Nestas
condiccedilotildees a carga de C induziraacute cargas eleacutetricas nas
superfiacutecies interna e externa de D Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo moacutedulo da
carga no corpo C (que provocou a induccedilatildeo) Entatildeo se
este corpo for colocado em contato com a parede interna
de D a carga induzida nesta parede seraacute neutralizada
pela carga de C O corpo D ficaraacute eletrizado com uma
carga de mesmo sinal e de mesmo moacutedulo que a carga
inicial do corpo C Tudo se passa como de a carga de C
fosse integralmente transferida para D
Quando haacute contato interno a transferecircncia de carga do
corpo que estaacute dentro da cavidade para o corpo externo
eacute integral mesmo que este jaacute possua uma carga inicial
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra
vez ligado internamente ao corpo D sua carga se
transferiraacute totalmente para D Esta operaccedilatildeo pode ser
repetida vaacuterias vezes e assim eacute possiacutevel acumular em
D uma quantidade de carga cada vez maior A
quantidade de carga em D naturalmente eacute limitada pela
rigidez dieleacutetrica do ar que o envolve Se a rigidez
dieleacutetrica do ar for ultrapassada parte da carga
acumulada em D tende a escoar e portanto a carga
maacutexima que pode existir em D eacute aquela que cria um
campo igual agrave rigidez dieleacutetrica do ar
Princiacutepio de Funcionamento do Gerador de
Van De Graaff
O fato da carga eleacutetrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro quando haacute
contato interno constitui o princiacutepio baacutesico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff
Este aparelho eacute constituiacutedo por uma correia que
passa por duas polias uma delas acionada por um motor
eleacutetrico que faz a correia se movimentar A segunda
polia encontra-se no interior de uma esfera metaacutelica oca
que estaacute apoiada em duas colunas isolantes
Enquanto a correia se movimenta ela recebe carga
eleacutetrica por meio de uma ponta eleacutetrica por meio de uma
ponta ligada a uma fonte de alta tensatildeo (cerca de 10000
V) Esta carga eacute transportada pela correia para o interior
da esfera metaacutelica Uma ponta ligada a esta esfera
recolhe a carga transportada pela correia Em virtude do
contato interno esta carga se transfere integralmente
para a superfiacutecie externa da esfera do gerador
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 11
11
11
Como as cargas satildeo transportadas
continuamente pela correia elas vatildeo se acumulando na
esfera ateacute que a rigidez dieleacutetrica do ar seja atingida
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
cientiacuteficos o diacircmetro da esfera eacute de alguns metros e a
altura do aparelho atinge agraves vezes 15 m Nestas
condiccedilotildees eacute possiacutevel obter voltagens de ateacute 10 milhotildees
de volts
Figura 9 ndashGerador de Van de Graaff
Eletrizaccedilatildeo Por Induccedilatildeo
A figura ilustra duas situaccedilotildees um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b) onde haacute uma nova
redistribuiccedilatildeo de carga no corpo neutro em ambos os
casos
Figura 11 ndashAproximaccedilatildeo do indutor n (a)
(b)
A presenccedila do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuiccedilatildeo das cargas
positivas e negativas do corpo neutro onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
proacuteximas do corpo carregado (indutor) Esse processo eacute
conhecido como induccedilatildeo eletrostaacutetica Caso o indutor
estiver carregado positivamente haveraacute uma
aproximaccedilatildeo das cargas negativas do induzido em
relaccedilatildeo ao indutor
Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de induccedilatildeo e contato eacute o
eletroscoacutepio de folhas de ouro Consiste de duas fitas
laminadas de ouro coladas na extremidade de uma
haste tendo na outra extremidade uma esfera colocada
num invoacutelucro isolante Aproximando um bastatildeo
carregado da esfera a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastatildeo se acumula nas folhas
repelindo-se mutuamente Se encostarmos o bastatildeo na
haste neutra esta se carregaraacute com a mesma carga
assim as lacircminas permaneceratildeo abertas
Figura 12 ndash Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 10
10
10
regular e capaz de produzir voltagens mais altas e entatildeo aceleraccedilotildees mais altas
Em 1935 Van de Graaff recebeu uma patente para a
invenccedilatildeo dele Ele preparou a aplicaccedilatildeo de patente por Karl T Compton e Vannevar Bush que eram o vice-presidente de MIT Van
de Graaff tambeacutem trabalhou com John G Trunfo professor de
engenharia eleacutetrica no MIT e com William W Buechner professor de fiacutesicas a MIT Um aparelho meacutedico de Graaff produzia raios X por
tratar tumores cancerosos com radiaccedilatildeo penetrante pela primeira vez
usado clinicamente 1937 na Escola Meacutedica de Harvard Em 1936 Van de Graaff e Catherine Boyden casaram-se Eles tiveram dois
filhos John e William
Durante 2ordf Guerra Mundial Van de Graaff era o diretor do Projeto de Alta Voltagem Alta de Radiographic Junto com William
W Buechner ele dirigiu a adaptaccedilatildeo do gerador de eletricidade para
exame de radiografias de precisatildeo da Marinha norte-americana Depois da guerra em 1945 o Van de Graaff recebeu como precircmio da
Fundaccedilatildeo Rockefeller uma concessatildeo para o desenvolvimento de um
acelerador melhorado para o MIT Em 19 de dezembro de 1946 Van de Graaff e Trunfo formaram a Corporaccedilatildeo Alta Voltagem (HVEC)
em Burlington Massachusetts HVEC foi formado para a produccedilatildeo
comercial de aceleradores de partiacutecula Denis M Robinson professor de engenharia eleacutetrica da Inglaterra se tornou o presidente da
corporaccedilatildeo nova John G Trunfo se tornou o diretor teacutecnico e Van de
Graaff se tornou o fiacutesico principal e soacutecio HVEC se tornou o provedor principal de geradores eletrosttaacuteticos
Eletrizaccedilatildeo por contato
Se um corpo metaacutelico C com carga Q1i
eletrizado for colocado em contato com outro corpo D
tambeacutem metaacutelico com carga Q2i o Princiacutepio da
conservaccedilatildeo da carga garante que a soma das cargas
finais e iniciais seraacute a mesma
Figura 8 ndashEletrizaccedilatildeo por contato
C Q1i Antes Q2i D
Contato C D
C Q1f Q2f D
ffii QQQQ 2121
Princiacutepio da conservaccedilatildeo da carga
Se o corpo C estiver inicialmente descarregado
(Q2i = 0) haveraacute transferecircncia de apenas parte da carga
de C para D A transferecircncia de carga eacute parcial porque
ela seraacute interrompida quando os potenciais dos dois
corpos se igualarem
Suponha que o corpo D possuiacutesse uma
cavidade e que C fosse introduzido nela Nestas
condiccedilotildees a carga de C induziraacute cargas eleacutetricas nas
superfiacutecies interna e externa de D Verifica-se que a
carga induzida nas paredes tem o mesmo moacutedulo da
carga no corpo C (que provocou a induccedilatildeo) Entatildeo se
este corpo for colocado em contato com a parede interna
de D a carga induzida nesta parede seraacute neutralizada
pela carga de C O corpo D ficaraacute eletrizado com uma
carga de mesmo sinal e de mesmo moacutedulo que a carga
inicial do corpo C Tudo se passa como de a carga de C
fosse integralmente transferida para D
Quando haacute contato interno a transferecircncia de carga do
corpo que estaacute dentro da cavidade para o corpo externo
eacute integral mesmo que este jaacute possua uma carga inicial
Assim se o corpo C for novamente eletrizado e outra
vez ligado internamente ao corpo D sua carga se
transferiraacute totalmente para D Esta operaccedilatildeo pode ser
repetida vaacuterias vezes e assim eacute possiacutevel acumular em
D uma quantidade de carga cada vez maior A
quantidade de carga em D naturalmente eacute limitada pela
rigidez dieleacutetrica do ar que o envolve Se a rigidez
dieleacutetrica do ar for ultrapassada parte da carga
acumulada em D tende a escoar e portanto a carga
maacutexima que pode existir em D eacute aquela que cria um
campo igual agrave rigidez dieleacutetrica do ar
Princiacutepio de Funcionamento do Gerador de
Van De Graaff
O fato da carga eleacutetrica se transferir
integralmente de um corpo para o outro quando haacute
contato interno constitui o princiacutepio baacutesico de
funcionamento do gerador de Van de Graaff
Este aparelho eacute constituiacutedo por uma correia que
passa por duas polias uma delas acionada por um motor
eleacutetrico que faz a correia se movimentar A segunda
polia encontra-se no interior de uma esfera metaacutelica oca
que estaacute apoiada em duas colunas isolantes
Enquanto a correia se movimenta ela recebe carga
eleacutetrica por meio de uma ponta eleacutetrica por meio de uma
ponta ligada a uma fonte de alta tensatildeo (cerca de 10000
V) Esta carga eacute transportada pela correia para o interior
da esfera metaacutelica Uma ponta ligada a esta esfera
recolhe a carga transportada pela correia Em virtude do
contato interno esta carga se transfere integralmente
para a superfiacutecie externa da esfera do gerador
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 11
11
11
Como as cargas satildeo transportadas
continuamente pela correia elas vatildeo se acumulando na
esfera ateacute que a rigidez dieleacutetrica do ar seja atingida
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
cientiacuteficos o diacircmetro da esfera eacute de alguns metros e a
altura do aparelho atinge agraves vezes 15 m Nestas
condiccedilotildees eacute possiacutevel obter voltagens de ateacute 10 milhotildees
de volts
Figura 9 ndashGerador de Van de Graaff
Eletrizaccedilatildeo Por Induccedilatildeo
A figura ilustra duas situaccedilotildees um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b) onde haacute uma nova
redistribuiccedilatildeo de carga no corpo neutro em ambos os
casos
Figura 11 ndashAproximaccedilatildeo do indutor n (a)
(b)
A presenccedila do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuiccedilatildeo das cargas
positivas e negativas do corpo neutro onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
proacuteximas do corpo carregado (indutor) Esse processo eacute
conhecido como induccedilatildeo eletrostaacutetica Caso o indutor
estiver carregado positivamente haveraacute uma
aproximaccedilatildeo das cargas negativas do induzido em
relaccedilatildeo ao indutor
Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de induccedilatildeo e contato eacute o
eletroscoacutepio de folhas de ouro Consiste de duas fitas
laminadas de ouro coladas na extremidade de uma
haste tendo na outra extremidade uma esfera colocada
num invoacutelucro isolante Aproximando um bastatildeo
carregado da esfera a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastatildeo se acumula nas folhas
repelindo-se mutuamente Se encostarmos o bastatildeo na
haste neutra esta se carregaraacute com a mesma carga
assim as lacircminas permaneceratildeo abertas
Figura 12 ndash Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 11
11
11
Como as cargas satildeo transportadas
continuamente pela correia elas vatildeo se acumulando na
esfera ateacute que a rigidez dieleacutetrica do ar seja atingida
Nos geradores de Van de Graaff usados em trabalhos
cientiacuteficos o diacircmetro da esfera eacute de alguns metros e a
altura do aparelho atinge agraves vezes 15 m Nestas
condiccedilotildees eacute possiacutevel obter voltagens de ateacute 10 milhotildees
de volts
Figura 9 ndashGerador de Van de Graaff
Eletrizaccedilatildeo Por Induccedilatildeo
A figura ilustra duas situaccedilotildees um corpo
carregado positivamente aproximando de um corpo
neutro (a) e um corpo carregado negativamente
aproximando de um corpo neutro (b) onde haacute uma nova
redistribuiccedilatildeo de carga no corpo neutro em ambos os
casos
Figura 11 ndashAproximaccedilatildeo do indutor n (a)
(b)
A presenccedila do corpo carregado negativamente
faz com que haja uma redistribuiccedilatildeo das cargas
positivas e negativas do corpo neutro onde as cargas
positivas do corpo neutro (induzido) ficam mais
proacuteximas do corpo carregado (indutor) Esse processo eacute
conhecido como induccedilatildeo eletrostaacutetica Caso o indutor
estiver carregado positivamente haveraacute uma
aproximaccedilatildeo das cargas negativas do induzido em
relaccedilatildeo ao indutor
Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Um dispositivo interessante que permite
identificar as propriedades de induccedilatildeo e contato eacute o
eletroscoacutepio de folhas de ouro Consiste de duas fitas
laminadas de ouro coladas na extremidade de uma
haste tendo na outra extremidade uma esfera colocada
num invoacutelucro isolante Aproximando um bastatildeo
carregado da esfera a carga oposta se acumula na esfera
e a mesma carga do bastatildeo se acumula nas folhas
repelindo-se mutuamente Se encostarmos o bastatildeo na
haste neutra esta se carregaraacute com a mesma carga
assim as lacircminas permaneceratildeo abertas
Figura 12 ndash Eletroscoacutepio de folhas de ouro
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 12
12
12
A Lei de Coulomb
Charles Augustin de
Coulomb
(1736 - 1806)
Charles Augustin de Coulomb nasceu a 14 de junho de
1736 em Angoulecircme Seu pai - Henri Coulomb - ocupava entatildeo o
cargo de inspetor dos domiacutenios do rei Alguns anos mais tarde
abandonou essa funccedilatildeo e retirou-se para sua cidade natal - Montpellier Sua mulher ficou em Paris e com ela o pequeno
Charles que ali frequumlentou o Coleacutegio das Quatro Naccedilotildees e o Coleacutegio
Real Em 1758 tambeacutem Charles Augustin deixou Paris para ir
juntar-se ao pai Deste conseguiu autorizaccedilatildeo para alistar-se na Arma de Engenharia
Sua carreira militar encerrou-se com a nomeaccedilatildeo para subtenente da
Eacutecole cle Meacutetiers em 1760 no ano seguinte terminou o curso de engenharia
Viajou algum tempo depois para a Martinica como
diretor dos trabalhos de fortificaccedilatildeo daquela ilha Sua permanecircncia nas Antilhas foi poreacutem bastante curta natildeo conseguiu adaptar-se ao clima
tropical e retornou agrave Franccedila gravemente doente
Jaacute recuperado Coulomb assumiu a direccedilatildeo das obras de fortificaccedilatildeo que estavam sendo realizadas em Rochefort na ilha de Aix e em
Cherbourg ocupando-se tambeacutem de pesquisas cientiacuteficas Desses
estudos nasceram em 1773 as bases da teoria da resistecircncia dos materiais e seis anos mais tarde alguns trabalhos sobre o atrito Neste
uacuteltimo campo Coulomb foi particularmente influenciado por
Guillaume Amontons que em 1699 enunciara a lei da proporcionalidade do atrito agrave pressatildeo dos corpos em contato Baseou-
se tambeacutem nos trabalhos de Camus e Desaguliers que haviam
mostrado que o atrito estaacutetico eacute superior ao atrito dinacircmico
A balanccedila de torccedilatildeo de Coulomb ocupa um
lugar preponderante na histoacuteria da Fiacutesica Trata-se de
um instrumento que permite a verificaccedilatildeo experimental
da lei quantitativa das interaccedilotildees entre cargas eleacutetricas
De um modo geral a balanccedila eacute constituiacuteda por uma
caixa de vidro ciliacutendrica ou quadrada fechada por uma
tampa tambeacutem de vidro da qual se eleva um tubo que
termina num disco metaacutelico de onde estaacute suspenso um
fio de torccedilatildeo que sustenta uma agulha horizontal de
goma laca Esta agulha tem numa das extremidades um
pequeno disco vertical de latatildeo e na outra uma esfera
de medula de sabugueiro A altura da agulha eacute regulada
por meio de um botatildeo que faz rodar um eixo horizontal
onde se enrola o fio que a suspende Este eixo estaacute
montado sobre um disco giratoacuterio no qual se encontra
gravada uma escala dividida em graus Esta escala
avanccedila em relaccedilatildeo a uma marca de referecircncia fixa na
coluna de vidro de modo a possibilitar a mediccedilatildeo de
deslocamentos angulares
Figura 13 ndash Balanccedila de torccedilatildeo utilizada por Coulomb
A forccedila eletrostaacutetica entre duas cargas
puntiformes Q1 e Q2 separadas de uma distacircncia r12 eacute
dada pela Lei de Coulomb
2
12
2112
r
QQkF
Figura 14 ndash Forccedilas eleacutetricas sobre cargas puntiformes
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 13
13
13
A forccedila pode ser de natureza atrativa caso as
cargas possuam sinais contraacuterios ou repulsiva caso
possuam sinais idecircnticos como ilustra a figura acima
Charles Coulomb (1736-1806) utilizou o
invento denominado balanccedila de torccedilatildeo que
descrevemos anteriormente onde havia esferas carregas
de raios muito menores que a distacircncia entre elas
considerando-as como cargas puntiformes Seus
resultados e pesquisas deram origem a Lei de Coulomb
A forccedila que uma carga eleacutetrica puntiforme
exerce sobre outra carga puntiforme estaacute dirigida na
reta que passa pelas duas cargas A forccedila varia
inversamente com o quadrado da distacircncia entre as
cargas e eacute proporcional ao produto das cargas A forccedila
eacute repulsiva se as cargas tiverem o mesmo sinal e
atrativa se tiverem cargas opostas
Pode-se escrever tambeacutem como
122
12
2112 r
r
QQkF
Onde 12r eacute o vetor unitaacuterio que aponta de Q1
para Q2
12
1212ˆ
r
rr
Pode-se usar a notaccedilatildeo
1 2F
Q2
1212 rrR
12a 2r
Q1 1r
O (origem)
12
12
12
1212
ˆrr
rr
R
Ra
A forma vetorial para a Lei de Coulomb fica
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
A constante k eacute determinada
experimentalmente e denominada de Constante de
Coulomb que tem o valor no SI
2
2910998C
mNk
A constante eletrostaacutetica k tambeacutem se relaciona
com uma outra constante denominada constante de
permissividade 0 pela relaccedilatildeo
04
1k
Essa constante eacute dada por
2
212
0 10858mN
C
ou
m
F9
0 1036
1
Se tivermos vaacuterias cargas puntiformes q1 q2
qi e quisermos calcular a forccedila eleacutetrica resultante
sobre uma carga qj por exemplo deve-se somar
vetorialmente as forccedilas exercidas por cada carga qi na
carga qj
ijjjjRj FFFFF
321
Exemplos resolvidos
Hayt e Sears amp Zemansky
Exemplo 1 ndash ( 21 - pg 18)
Seja Q1=310-4
C localizada em M(123) e Q2
= -10-4
C localizada em N(205) Forccedila exercida por Q1
em Q2
Soluccedilatildeo
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaar ˆ5ˆ0ˆ22
zyx aaar ˆ3ˆ2ˆ11
zyx aaarr 2ˆ2ˆ12
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 14
14
14
3221 222
12 rr
zyx aaarr
rr
R
Ra ˆ
3
2ˆ
3
2ˆ
3
1ˆ
12
12
12
1212
122
120
2112
ˆ4
aR
QQF
zyx aaaF ˆˆˆ3103614
)10(1033
2
3
2
3
1
29
44
12
Exemplo 2 (22 - pg 19)
Uma carga QA=-20C estaacute localizada em A(-
647) e QB = 50C estaacute localizada em B(58-2) Se as
distacircncias satildeo dadas em metros determine
a) ABR
b) ABR
c) Forccedila exercida por QA em QB
Soluccedilatildeo
a) ABAB rrR
zyxA aaar ˆ7ˆ4ˆ6
zyxB aaar ˆ2ˆ8ˆ5
zyxABAB aaarrR ˆ9ˆ4ˆ11
b)
mRAB 7614218)9(411 222
c) AB
AB
BAAB a
R
QQF ˆ
4 2
0
ABAB aF ˆ
2181036
14
10501020
9
66
ABAB aF ˆ10584 3
zyx
AB
ABAB aaa
R
Ra ˆ
218
9ˆ
218
4ˆ
218
11ˆ
zyxAB aaaF ˆ218
9ˆ
218
4ˆ
218
1110584 3
Exemplo 3 ndash Vocecirc possui um anel de ouro
puro (24 quilates) com uma massa igual a 177 g A
massa atocircmica do ouro eacute igual a 197 gmol e seu
nuacutemero atocircmico eacute 79
a) Quantos proacutetons existem no anel e qual eacute a
carga total positiva correspondente
b) Sabendo que o anel natildeo tem nenhuma carga
liacutequida quantos eleacutetrons ele possui
Soluccedilatildeo
Massa do ouro = 177 g e a massa atocircmica do ouro eacute
igual a 197 gmol
Portanto o nuacutemero de aacutetomos eacute dado por
NA x mol = (602 x 1023
) x
10415197
717 22xmolg
g
a) np = 79 x 541 x 1022
= 427 x 1024
q=np x 160 x 10-19
C = 683 x 105 C
b) ne = np = 427 x 1024
Exemplo 4 -
Exemplo 5 -
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 15
15
15
Exemplo 6 ndash Encontre a forccedila resultante na
carga indicada
Exemplo 7 ndash Duas esferas satildeo suspensas por
fios de seda como mostra a figura Cada esfera possui a
mesma carga q e massa m O raio entre as duas esferas eacute
muito pequeno comparado com a distacircncia entre elas de
forma que satildeo consideradas puntiformes
Mostre que se o acircngulo eacute pequeno a
distacircncia d no equiliacutebrio entre elas eacute dada por
1 3
2
02d q L mg
Examinando as forccedilas
Fx = T sen - Fe = 0 e Fy = T cos
- mg = 0 Concluiacutemos que
cos
sen2
2
d
kgF
mge
Poreacutem 2
2
2
31
0
223
mg
Lqd
mg
Lkgd
L
d
Exemplo 8 ndash Uma carga positiva Q eacute
distribuiacuteda uniformemente sobre o eixo Ox de x = 0 ateacute
x = a Uma carga puntiforme positiva q estaacute sobre a
parte positiva do eixo Ox no ponto x = a+r a uma
distacircncia r agrave direita da extremidade de Q
Obtenha a forccedila (moacutedulo direccedilatildeo e sentido)
que a distribuiccedilatildeo de cargas Q exerce sobre a carga Q
(a) Sobre o eixo a 2
0
1
4 ( )x
dqdE
a r
200
1
4 ( )
a
x
QdxE
a a r x
11
4
1
0 rara
Q e Ey = 0
(b) Para a + r = x obtemos
0
1 1 1
4
QE
a x a x
0
1 1 1 ˆ4
QqF qE i
a x a x
(c) Para x gtgt a
1(1 ) 1kqQ
F a xax
2
( 1)kqQ kqQ
F a a xax x
2
0
1
4
qQF
r
(Note que para x gtgt a r = x ndash a x) Neste caso o
campo da
distribuiccedilatildeo de cargas para pontos muito distantes eacute
semelhante ao campo produzido por uma carga
puntiforme
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 16
16
16
Exemplos resolvidos do livro Tipler
Exemplo 22-1 A massa de uma moeda de
cobre (ZCu = 29) eacute de 3g Qual a carga total de todos os
eleacutetrons da moeda
Soluccedilatildeo A carga total dos eleacutetrons presentes eacute
o produto do nuacutemero de eleacutetrons e a carga de um
eleacutetron
( )eQ N e
O nuacutemero de eleacutetrons eacute igual ao produto de ZCu
e o nuacutemero de aacutetomos no cobre Na
e Cu aN Z N
Caacutelculo do nuacutemero de aacutetomos no cobre em 3 g
de cobre
233602 10
636
Cu aacutetomosa A a molg
Cu mol
m gN N N
M22284 10aN aacutetomos
Caacutelculo do nuacutemero de eleacutetrons 2229 284 10e Cu a eN Z N N
23824 10eN eleacutetrons
Carga total
23 19( ) 824 10 16 10eQ N e Q
5132 10Q C
Exemplo 22-2 Num aacutetomo de hidrogecircnio a
separaccedilatildeo meacutedia entre o eleacutetron e o proacuteton eacute cerca de
5310-11
m Calcular o moacutedulo da forccedila eletrostaacutetica de
atraccedilatildeo entre o proacuteton e o eleacutetron
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana eacute dada por
19 19
9
22 11
16 10 16 109 10
53 10
p eq qF k F
r
882 10F N
Exemplo 22-3 Calcular a razatildeo entre a forccedila
eleacutetrica e a forccedila gravitacional entre um proacuteton e um
eleacutetron num aacutetomo de hidrogecircnio
Soluccedilatildeo A forccedila gravitacional eacute dada por
2
p e
g
m mF G
r
Onde G eacute a constante da gravitaccedilatildeo universal
A forccedila eleacutetrica eacute
2
p e
e
q qF k
r
2
2
p e
e
p eg
q qk
F rm mF
Gr
p ee
g p e
q qF k
F G m m
9 2 2 19 19
11 2 2 31 27
9 10 16 10 16 10
667 10 911 10 168 10
e
g
F N m C C C
F N m kg kg kg
39227 10e
g
F
F
Exemplo 22-4 Trecircs cargas puntiformes estatildeo
sobre o eixo dos x A carga q1 = 25 nC estaacute na origem
q2 = -10 nC estaacute em x = 2m e q0 = 20 nC estaacute em x =
35m Calcular a forccedila resultante em q0 provocada por q1
e q2
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por 9 9
1 0 9
10 10 22
10
25 10 20 10ˆ ˆ9 10
35
q qF k i F i
r
7
10ˆ367 10 ( )F i N
9 9
2 0 9
20 20 22
20
10 10 20 10ˆ ˆ9 10
15
q qF k i F i
r
7
20ˆ799 10 ( )F i N
0
7 7
10 20ˆ ˆ367 10 799 10rF F F i i
0 0
7 ˆ ˆ432 10 ( ) 0432 ( )r rF i N F i N
Exemplo 22-5 A carga q1 = +25 nC estaacute na
origem q2 = -15 nC no eixo dos x em x = 2m e q0 = +20
nC no ponto x = 2m y = 2m Calcular a forccedila resultante
em q0 provocada por q1 e q2
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 17
17
17
(a)
α
Soluccedilatildeo A forccedila coulombiana devido agraves
cargas q1 e q2 sobre a carga q0 satildeo dadas
respectivamente por
10 10 10ˆ ˆcosF F i F sen j
1 0
10 2
10
q qF k
r
2 2 2 2
10 102 2 8r r
021 45
2tg arctg
7
10ˆ ˆ397 10F i j
2 0 7
20 202
10
ˆ ˆ674 10q q
F k j F jr
0 10 20rF F F
0
7 7ˆ ˆ397 10 277 10rF i j
0 0
2 2 7484 10r x y rF F F F N
0349y
x
Ftg
F
EXERCIacuteCIOS
1 Quatro cargas positivas de 10 nC estatildeo
localizadas no plano z = O nos veacutertices de um quadrado
de 8 cm de lado Uma quinta carga positiva de 10 nC
estaacute localizada em um ponto distante 8 cm de cada uma
das outras cargas Calcule o moacutedulo da forccedila total nesta
quinta carga para =0
2 Uma carga Q1 = 01C estaacute localizada na origem
do espaccedilo livre enquanto Q2 = 02C estaacute em A(08-
06 0) Determine o lugar dos pontos no plano z = O em
que a componente x da forccedila em uma terceira carga
positiva eacute zero
3 Quatro cargas pontuais de 50 nC cada estatildeo
localizadas em A l 0 0) B(-100) C(0 l 0) e D(0 -
10) no espaccedilo livre Determine a forccedila total sobre a
carga em A
4 Seja Q1 = 8C localizada em P1(25 8)
enquanto Q2 = -5Clocalizada em P2(6 15 8)
Considere = 0
(a) Determine F2 a forccedila sobre Q2
(b) Encontre as coordenadas de P se a carga Q3
experimenta uma forccedila total F3=0 O em P3
Carga Eleacutetrica
bull 1 Se a convenccedilatildeo de sinal das cargas eleacutetricas fosse
alterada de modo que a carga do eleacutetron tosse positiva e
a do proacuteton negativa a expressatildeo da lei de Coulomb
seria alterada
bull 2 Discuta as semelhanccedilas e diferenccedilas de propriedades
da carga eleacutetrica e da massa gravitacional
bull 3 Um bastatildeo de plaacutestico esfregado com tecido de
algodatildeo adquire uma carga de -8 C Quantos eleacutetrons
foram transferidos do tecido para o bastatildeo
bull 4 Uma carga eleacutetrica igual agrave carga de um nuacutemero
de Avogadro de proacutetons (isto eacute N = 602 X IO23
proacutetons)
eacute denominada um faraday Calcular o nuacutemero de
Coulombs em um faraday
bull 5 Quantos coulombs de carga positiva haacute em l kg
de carbono Sabe-se que 12 g de carbono tecircm um
nuacutemero de Avogadro de aacutetomos e que cada aacutetomo de
carbono tem seis proacutetons e seis eleacutetrons
Condutores Isolantes e Carga por Induccedilatildeo
6 0s isolantes podem ser carregados por
induccedilatildeo
7 Uma chapa metaacutelica 6 estaacute aterrada atraveacutes
de uma chave S que inicialmente estaacute fechada Quando
a carga + Q estaacute nas vizinhanccedilas de euml a chave S eacute
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm
Eletricidade I ndash Prof Dr Claacuteudio S Sartori CAPIacuteTULO I 18
18
18
aberta A carga +Q eacute entatildeo afastada Qual eacute o estado da
carga da chapa metaacutelica B
(n) Tem a carga positiva (+e) Natildeo tem carga (0) Tem a
carga negativa (-e) Pode ter qualquer estado
mencionado dependendo da carga que tinha antes de a
carga +Q se aproximar
8 Explique passo a passo como um bastatildeo isolante
com carga positiva pode ser usado para deixar uma
esfera metaacutelica (a) com carga negativa e (b) com carga
positiva (c) O bastatildeo pode ou natildeo ser usado para
atribuir a uma esfera uma carga positiva e a outra uma
carga negativa sem que seja recarregado
9 Duas esferas condutoras sem carga com as
superfiacutecies em contato estatildeo sobre uma grande mesa de
madeira montadas em suportes isolantes Um bastatildeo
com carga positiva se aproxima de uma delas de um
ponto diametralmente oposto ao de contato com a outra
(a) Descreva a distribuiccedilatildeo das cargas induzidas nas
esferas condutoras e mostre o diagrama dessa distri-
buiccedilatildeo
(b) As duas esferas satildeo separadas e o bastatildeo carregado eacute
afastado Mostre a distribuiccedilatildeo de cargas em cada
esfera
Lei de Coulomb
bull 10 Trecircs cargas +q +Q e -Q estatildeo situadas nos
veacutertices de um triacircngulo equumlilaacutetero conforme o
esquema da Fig 22-29 A forccedila resultante sobre a carga
+q das duas outras cargas eacute
(a) vertical para cima +q
(b) vertical para baixo
(c) nula
(d) horizontal para a esquerda +Q -Q
(e) horizontal para a direita
bull 11 Uma carga q1 = 40 C estaacute na origem e outra q2 =
60 C no eixo dos x em x = 30 m
a) Calcular a forccedila sobre a carga q2
b) Calcular a forccedila sobre q1
c) Em que as respostas de (a) e de (b) se
modificariam se q2 fosse de -6 C
bull 12 Trecircs cargas puntiformes estatildeo sobre o eixo dos x
q1 = -60 C em x = -30 m q2= 40 C na origem e q3
= -60 C em x = 30 m Calcular a resultante das forccedilas
sobre q1
bull 13 Duas cargas iguais de 30 C estatildeo sobre o eixo
dos x uma delas na origem e outra em x = 6 m Uma
terceira carga q3 = - 2 C estaacute no eixo dos x em x = 8
m Calcular a resultante das forccedilas sobre q3
bull 14 Trecircs cargas cada qual de 3 nC estatildeo cada qual
nos veacutertices de um quadrado de lado igual a 5 cm Duas
delas em veacutertices opostos satildeo positivas e a terceira e
negativa Calcular a resultante das forccedilas que estas
cargas exercem sobre uma quarta de q = +3 nC
colocada no veacutertice desocupado
bull 15 Uma carga de 5 C estaacute sobre o eixo dos x em x
= 3 cm e uma segunda carga de 5 C tambeacutem sobre o
eixo dos x em x = -3 cm Calcular a resultante das
forccedilas destas cargas sobre uma terceira de 2 C no
eixo dos x em x = 8 cm