1. Температурно стабилан отпорник састоји се од два једнака цилиндрична дела, начињена од различитих материјала (гвожђе и графит). У ком односу стоје отпорности ова два дела отпорника ако се претпостави да су увек на истој температури? Температурни коефицијенти отпорности за гвожђе и графит су 1K005.0 −=αFe и 1K004.0 −−=αC .

Слика 1

Ако се са FeR означи укупна отпорност гвозденог дела, а са CR отпорност графитног дела отпорника, онда су ова два температурно зависна отпорника везана на ред, па је укупна отпорност,

CFe RRR += где је

( ) ( )θΔα++θΔα+= CCFeFe RRR 11 00 .

Ако се групишу константни и температурно зависни чланови добија се релације,

( ) θΔα+α++==

0

0000 FeFeCCCFe RRRRR .

Из услова да је отпорник температурно стабилан, добија се једначина CCFeFe RR α−=α 00 ,

из које се добија да је

Fe

C

C

Fe

RR

αα

−=0

0 .

Када се и бројилац и именилац израза на левој страни знака једнакости помноже изразом

Sl 2/

добија се тражени однос отпорности

54

=αα

−=Fe

C

C

Fe

RR .

2. Жичани проводник дужине l и сталног попречног пресека направљен је од материјала чији је температурни коефицијент ( ) 13 C105 −−⋅=α . Ако отпорност датог проводника на температури C200

=θ , износи Ω= 120R , израчунати отпорност тог проводника ако се исти равномерно загреје по дужини, тако да се температура линеарно мења дуж проводника од вредности C401

=θ на једном крају, до вредности 12 2θ=θ на другом крају.

Поставићемо проводник дуж x осе правоуглог координатног система тако да се леви крај проводника налази у координатном почетку. У том случају је општи облик једначине праве кроз две тачке, са координатама ),(i),( 2211 yxyx , облика

( )112

121 xx

xxyyyy −

−−

+= . (1)

У нашем случају тачке су ),(i),0( 21 θθ l па се температура дуж проводника мења по линеарном закону

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +θ=

θ−θ+θ=

θ−θ+θ=θ

lxx

lx

l12

111

112

1 . (2)

Специфична отпорност проводника такође зависи од температуре и мења се по закону

( )( )00 1 θ−θα+ρ=ρ . (3) Сменом израза за температуру (2) у претходну једначину добија се

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +θα+ρ=ρ 010 11

lx .

Зато што је проводник нехомоген, посматра се елемент проводника дужине xd на коме је специфична отпорност константна, па је проводник на тој дужини хомоген и његова отпорност износи

Sx

lx

SxR d11dd 010 ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +θα+ρ=ρ= .

Укупна отпорност проводника једнака је збиру отпорности од свих елементарних проводника на целој дужини проводника, који су везани редно. Зато што дужине елементарних проводника теже нули, операција сабирања се своди на интеграљење по дужини,

∫ ρ=l

Sx

R0

d,

pа се укупна отпорност проводника добија решавањем интеграла

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ αθ+αθ−

ρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+αθ+αθ−

ρ=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +θα+ρ= ∫ 2

32

d11 100

2

100

0010

lllSl

llllSS

xlxR

l

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ αθ+αθ−

ρ=

23

100 lll

SR

Ω==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ αθ+αθ−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ αθ+αθ−

ρ= 2.12.1

231

231 010010

0 RRlS

R

II Начин

Полазећи од тога да је

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +θ=θ

lx11

задатак се може решити тако што се у уопштену формулу за израчунавање отпорности проводника дужине l , специфична отпорност изрази преко експоненцијалног облика, и срачуна интеграл

( ) =∫∫ρ

=ρ

∫ =ρ

∫ =ρ∫ ==αθθ−θα⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛θ−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+θα

θΔαl

lxl

lxlll

xS

xS

xSS

xRR

00

01

0

0

0

00deedede

dd 101

01

( ) ( ) ( )( )

( ) .223.1223.11ee

1e1

eee 01

01

001

0 101

101101 Ω==−αθ

=−αθ

ρ=αθ

ρ= αθ

θ−θααθθ−θααθθ−θα RR

Sll

S

l

lx

3. Одредити отпорност тракастог проводника константне специфичне отпорности ρ и облика приказаног на слици. Познато је: mm10=a , mm20=b , mm200=c , mm1=d ,

m108.2 8Ω⋅=ρ − .

Слика 2.

Код проводника са слике површина попречног пресека се мења са растојањем по линеарном закону. Због симетричности проблема, на слици 2а приказана је једна половина горње површине проводника. Ако се на растојању

x уочи дужина xd онда је, према ознакама на

слици 2, површина попречног пресека проводника dyxS 2)( = .

Величина y се одређује из једначине (1) стављајући да је 2

i2

,,0 2121byaycxx ==== ,

( )00

222

−−−

+= xc

abay ,

одакле је

xc

abay −+=2 .

Према уопштеној формули за израчунавање отпорности проводника дужине l ,

∫∫ ρ==ll S

lRR dd , (4)

укупна отпорност проводника са слике 2 биће

( ) ∫∫∫ −+

ρ=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+

ρ=ρ=ccc

xc

aba

xddx

caba

xxSxR

000

ddd

Да би се добијени интеграл свео на таблични случај подинтегралну функцију треба преуредити и написати у облику

∫⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−−

ρ=

c

xab

acc

abdx

dR

0

,

односно,

( ) ∫ +−

−ρ

=c

xab

acdx

abdcR

0

,

одакле је

( )0

lnc

abacx

abdcR

−+

−ρ

= ,

или када се замене границе интеграције добија се да је

( )ab

acab

acc

abdcR

−+

−+

−ρ

=0

ln ,

односно,

( ) Ωμ=−

ρ= 2.388ln

ab

abdcR .

4. Проводник квадратног попречног пресека aa × и дужине l ( al >> ) направљен је од хетерогеног материјала чија се специфична отпорност линеарно мења дуж проводника, од вредности 1ρ на једном крају до вредности 12 3ρ=ρ на другом крају проводника. Одредити зависност еквивалентне отпорности између тачака А и Б у функцији положаја клизача на проводнику, x . Познато је: m101 Ω=ρ , mm1=a , cm10=l , Ω=1001R .

Сагласно једначини (1) специфична отпорност проводника, постављеног дуж x осе, површине попречног пресека 2aS = , дуж проводника се мења по закону

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +ρ=

ρ−ρ+ρ=ρ

lxx

lx 21)( 1

121 .

Отпорност жичаног проводника се рачуна из релације (4)

∫ρ=l

SxxR

0

d)( ,

и укупна отпорност проводника дужине l износи

Ω=ρ

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ρ= ∫ M22d21 2

12

21

021

al

lll

ax

lx

aR

l .

Укупна отпорност од почетка проводника до растојања x је

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

ρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ρ=ρ= ∫∫ l

xxa

xlx

aSxxR

xx

x

2

21

021

0

d21d)( ,

а од растојања x до краја проводника, xRR − , износи

( )( )l

xlxlal

xlxla

xlx

aSxRR

l

x

l

xx

+−ρ=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −+−

ρ=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

ρ=ρ=− ∫∫

2d21d21

22

21

21 .

Еквивалентна отпорност мешовите везе отпорника са слике 4 је ( )

x

xxe RRR

RRRRR−+−

+=1

1 .

5. У колу на слици познато је: V51 =E , V102 =E , A1=J , V15CD =U , Ω=== 3321 RRR . Одредити напон ABU .

На основу познатог напона CDU може се одредити, из Омовог закона, струја кроз отпорник отпорности 3R ,

A53

CD3 ==

RUI .

Из првог Кирхофовог закона за чвор C одређује се струја 1I ,

A631 =+= IJI ,

па је

V382CD111AB =+++−= EUIREU

6. У колу, приказаном на слици, познато је: A34 =I , Ω= 241R , Ω=== 60542 RRR , Ω== 3063 RR .

а) Одредити електромоторну силу генератора E и снагу коју он предаје вези отпорника. б) Колика струја протиче кроз отпорник 6R , ако се електромоторна сила генератора E повећа 5 пута?

а) Ако се са 2eR означи мешовита веза отпорника отпорности 654 i, RRR ,

65

6542 RR

RRRRe ++= ,

кроз коју протиче задата струја 4I , онда се напон на крајевима ове везе 2U може срачунати,

V240242 == eRIU .

Еквивалентна отпорност паралелне везе отпорника отпорности 232 i, eRRR , је

Ω=++=

1611111

2321 ee RRRR па се из једначине

ERR

RUe

e

11

12 +=

лако може одредити непозната вредност електромоторне силе

V6001 21

1 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= U

RRE

e.

Струја кроз генератор се одређује из релације

A1511=

+=

eRREI ,

а снага која се развија на генератору износи

kW9== EIPE .

б) На основу познате вредности струје 4I може се одредити струја 6I која протиче кроз

отпорник отпорности 6R . На основу струјног разделника је,

A2465

56 =

+= I

RRRI .

Ако се електромоторна сила генератора повећа 5 пута, из релације

ERR

RUe

e

11

12 +=

очигледно је да ће се напон 2U повећати пет пута, што има за последицу повећање струје 4I а самим тим и струје 6I

за пет пута, па је

A105 66 ==′ II .

7. Одредити напоне ABU и ACU , као и снагу струјног генератора 1J , 1JP . Познато је: A101 =J ,

A202 =J , A503 =J , A804 =J , V35=E , Ω==== 54321 RRRR .

Овај задатак је најлакше решити директном применом Кирхофових закона. Према првом Кирхофовом закону могу се одредити вредности струја: кроз отпорник 3R ,

A90413 =+= JJI ,

кроз отпорник 4R ,

A110324 =+= IJI ,

и кроз отпорник 2R ,

A203212 −=−+= JJJI .

Сада се применом другог Кирхофовог закону могу одредити вредности тражених напона, водећи при том рачуна да одабране гране не садрже струјне генераторе, па је

V1050113344AB −=−−−= JRIRIRU и

V13522AC −=+−= IREU .

Да би срачунали снагу струјног генератора 1J треба прво одредити напон на његовим крајевима,

V915CABABCJ1 =−== UUUU а затим снагу по релацији

W91501J1J1 == JUP . 8. У колу на слици познато је: A11 =J , A22 =J , A33 =J и Ω=1002R . Израчунати напон на

отпорнику 2R .

Према првом Кирхофовом закону струје кроз отпорнике 1R и 2R имају вредности

A5321 =+= JJI и A4112 =−= JII . па је по Омовом закону

V400222 == IRU . 9. У колу на слици познато је: A11 =J , A22 =J , A33 =J , A44 =J , V41 =E , V22 =E ,

Ω=== 1321 RRR и Ω=== 2654 RRR . Израчунати напон ABU .

Директном применом првог и другог Кирхофовог закона могу се написати следеће једначине

425 JJI +=

354 JII +=

12431 JJIII +−=+

33111 IREIR =+ ,

чијим решавањем се добијају вредности струја у гранама кола, смерова као на слици,

AI 65 = , AI 94 = , A21 =I , A63 =I .

Тражени напон има вредност

VIRIRIREU AB 341144552 =+++= 10. У колу на слици познато је: V600=E , V3001 =U , V1002 =U и Ω=100R . Израчунати отпорности 1R и 2R .

Полазећи од познатог напона на отпорнику може се одредити струја 2I кроз отпорник R(слика 10б.),

AR

UI 12

2 ==

С друге стране, на основу познатог напона 1U може се одредити стуја генератора 1I из релације

11 RIEU −=

одакле је

ARUE

I 311 =

−= ,

па је

A2213 =−= III .

Из једначина

221111 UIRIRU ++=

и

32111 IRIRU += ,

лако се одређују вредности непознатих отпорности

Ω= 501R и Ω= 752R .

11. У колу приказаном на слици одредити вредност електромоторне силе E , ако је познат напон на отпорнику 5R , 5U . Одредити снагу генератора E . Нумерички подаци: V105 =U ,

Ω== 1031 RR , Ω= 202R и Ω== 554 RR .

Слично као у претходном задатку, из познатог напона на отпорнику прво се одреди струја кроз отпорник 5R , смера као на слици,

A25

53 ==

RUI .

Како кроз редну везу отпорника отпорности 543 i, RRR , тече иста струја, може се одредити напон на овој вези, који је једнак напону на отпорнику отпорности 2R ,

( ) V4035432 =++= IRRRU На основу кога се одређују струје

A22

22 ==

RUI

и

A432 =+= III .

Непозната вредност електромоторне силе одређује се из релације

V8021 =+= UIRE , па је

W320== EIPE 12. У колу на слици амперметри показују струје mA6.11A =I и mA4.22A =I . Одредити електромоторну силу генератора E и отпорност отпорника 5R . Унутрашње отпорности

амперметра занемарити. Нумерички подаци: Ω== k521 RR , Ω= k5.13R и Ω= k24R .

Пошто је струја кроз отпорник 3R позната може се одредити напон на његовим крајевима,

V4.2133 == AIRU , као и напон на паралелној вези отпорника отпорности 1R и 2R , кроз коју тече позната струја

2AI ,

V6221

2112 =

+= AI

RRRRU .

Непозната вредност електромоторне силе одређује се из једначине V4.8112 =+= UUE ,

а струја кроз грану са отпорницима 4R и 5R износи mA8.01245 =−= AA III .

Како је напон на овој грани једнак напону на отпорнику 3R то се из једначине ( ) 45543 IRRU +=

одређује вредност непознате отпорности 5R , kΩ15 =R .

13. У колу једносмерне струје приказаном на слици одредити електромоторну силу 1E , ако је познато: V62 =E , V43 =E , V14 =E , V85 =E , A1=J , Ω==== 24321 RRRR , Ω=15R и напон између тачака А и С, V2AC −=U . Проверити биланс снага.

Полазећи од познатог напона

222 EIRU AC −= ,

одређује се струја 2I , A22 =I ,

а затим из првог Кирхофовог закона и струје 1I и 3I , A3231 =+== JIII .

Решавањем система једначина

545544 EEIRIR +=+

543 III −= ,

одређују се вредности струја

A44 =I и A15 =I

као и вредност непознате електромоторне силе 1E ,

V154443331 =+−++= IREIREUE AC .

Да би се срачунала снага на струјном генератору треба одредити вредност напона на његовим крајевима из релације

V41 =+−= JRUU ACJ ,

па је снага генератора

W4== JUP JJ .

Снаге напонских генератора се одређују из релација

W45111 == IEPE , W12222 == IEPE , W12333 −=−= IEPE , W4444 == IEPE и

W8555 == IEPE .

Треба нагласити да се електромоторна сила 3E у колу понаша као потрошач снаге јер смер струје кроз генератор није сагласан са смером електромоторне силе. Снаге на појединим отпорницима у колу израчунавају се према Џуловом закону и износе:

W2211 == JRPR , W82

222 == IRPR , W182333 == IRPR , W322

444 == IRPR и W12555 == IRPR

Лако се може проверити да је у колу задовољен биланс снага, односно да је збир снага генератора ∑ = W61GP једнак збиру снага свих потрошача W61=∑ RP , односно

∑ ∑= .RG PP

14. У вези отпорника, приказаној шемом на слици, познато је: Ω== 421 RR , Ω= 23R ,

Ω=34R и Ω= 65R , као и струја A15 =I . Израчунати напон U на који је ова веза отпорника

прикључена и снагу на отпорнику 1R .

Напон на крајевима паралелне везе отпорника отпорности 4R и 5R износи

V65545 == IRU па је струја

A24

454 ==

RUI .

Струја и напон на отпорнику 3R одређују из релација

A3543 =+= III и V6333 == IRU ,

а напон и струја кроз отпорник 2R из релација

V124532 =+= UUU и A32

22 ==

RUI .

На крају се могу одредити струја и напон на отпорнику 1R и износе

A6321 =+= III и V24111 == IRU .

Тражени напон U на који је ова мешовита веза отпорника прикључена има вредност

V3621 =+= UUU , а снага Џулових губитака на отпорнику отпорности 1R износи

W1442111 == IRPR .

15. У колу, приказаном шемом на слици, одредити снаге напонских генератора. Нумерички подаци: Ω=== 10321 RRR , V401 =E , V202 =E , V103 =E , A6=J .

Директном применом Омовог закона за грану сложеног кола и првог Кирхофовог закона могу се одредити све струје у гранама кола. Смерови струја у појединим гранама кола приказани су на слици а њихове вредности су:

A41

11 ==

REI , A2

2

212 =

−=

REEI , A3

3

323 =

+=

REEI , A0211

=−+= JIIIE и

A7232=+−= JIIIE .

Снаге напонских генератора у колу су:

W011 1 == EE IEP , W140

22 2 == EE IEP , W30333== IEPE .

16. Решити коло на слици и проверити биланс снага. Познато је: A221 == JJ , V201 =E ,

V102 =E , Ω== 221 RR .

На основу познатог напона на паралелној вези грана, може се написати једначина

1121 IREE =− из које се одређује струја 1I ,

A51 =I ,

док је

A51122 −=−−= IJJI . Снаге на појединим отпорницима имају вредности

W502111 == IRPR , W82

222 == IRPR

па је

W58=∑ RP , док су снаге које се развијају на појединим генераторима вредности:

W100111 == IEPE , W50222 −== IEPE , W20111 == JUP JJ ( V10101 =−= UU J ),

W12222 −== JUP JJ ( V622102 −=+= JRUU J )

па је њихов збир

W58=∑ gP .

Овим је доказано да је биланс снага у колу задовољен,

W58==∑∑ gR PP .

17. У електричном колу приказаном шемом на слици идеални волтметри мере напоне

V1081 =U и V602 =U . Одредити струје свих грана, отпорност 4R и електромоторну силу 3E и проверити биланс снага. Познато је: Ω=81R , Ω=52R , Ω=103R , V401 =E , V302 =E ,

V1424 =E .

На основу познатог напона на крајевима гране сложеног кола може се одредити из једначине

4441 EIRU +=

непозната вредност отпорности 4R , одакле је Ω= 44R ;

из једначине

1112 EIRU += одређује се струја 1I , A5.21 =I ;

а из једначине

2222 EIRU +=

струја 2I , A62 =I ;

па је

A5.8214 −=−−= III .

А онда из једначине

32431 EUIRU −+−=

одређује вредност електромоторне силе V373 =E .

Снаге на појединим отпорницима износе:

W502111 == IRPR , W1802

222 == IRPR , W5.7222433 == IRPR

и W2892444 == IRPR ,

па је укупна снага која се на отпорницима претвара у топлотну енергију

W5.1241=∑ RP .

Снаге појединих напонских генератора су:

W100111 −=−= IEPE , W180222 −=−= IEPE , W5.314433 =−= IEPE и W1207444 =−= IEPE

па је укупна снага свих генератора у колу

W5.1241=∑ gP

и једнака је укупној снази свих отпорника у колу.

18. Одредити струје у свим гранама електричног кола са слике. Проверити биланс снага. Познато је: Ω== 221 RR , Ω=33R , V51 =E , V62 =E , A11 =J , A22 =J , A33 =J .

Полазећи од познатог напона на крајевима отпорника може се одредити струја

A32

22 ==

REI , а потом на основу првог Кирхофовог закона и остале струје у гранама кола,

смерова као на слици,

A3121 −=−−= JJIE , A51122 =−−= JIII EE и A1231 =−= JJIE . Снаге појединих генератора су:

V7111 =+= EJRUJ , W7111 == JUP JЈ

V412332 −=+−−= EEIRUJ , W8222 −== JUP JЈ

V3333 == IRUJ , W9333 == JUP JЈ

W15111 −== EE IEP и W30222 == EE IEP , па је укупна снага свих генератора у колу W23g =∑P .

Снаге на отпорницима су:

W22111 == JRPR , W182

222 == IRPR , W32333 == IRPR , а укупна снага на свим отпорницима

W23=∑ RP па је

∑∑ = gPPR .

19. У колу, приказаном шемом на слици, одредити снагу напонског генератора 2E , снагу струјног генератора J , као и снагу која се развија на отпорнику 5R . Нумерички подаци:

A2=J , V1021 == EE , V153 =E , V54 =E , Ω== 1051 RR , Ω=== 5432 RRR .

Коло на слици најлакше је решити применом метода потенцијала чворова. Према ознакама на слици потенцијали чворова 1 и 2 су познати,

V10210 == EU и V15320 == EU .

Треба одредити само непознату вредност напона 30U из једначине за трећи чвор,

4

430

54

11REJU

RR+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ,

одакле је

V1030 =U .

За израчунавање снаге струјног генератора потребно је одредити напон на њему, а он се може одредити из релације

V520302 =−+= UUJRU J

па је

W10== JUP JJ .

Снага на отпорнику 5R директно се одређује из релације

W105

230

5 ==R

UPR ,

а за израчунавање снаге напонског генератора 2E треба треба одредити струју кроз генератор. Полазећи од тога да је

A13

2010

3

123 −=

−==

RUU

RUI и A0

1

1011 =

−=

RUEI

добија се да је

A1132 −=−= III

па снага напонског генератора 2E има вредност

W10222 −== IEPE .

С обзиром да смерови струје и електромоторне силе нису усаглашени овај генератор се понаша као потрошач у колу.

20. У колу, приказаном на слици, познато је: Ω== 2032 RR , Ω=== 10541 RRR , A11 =J , A32 =J , V2021 == EE , V803 =E . Одредити: а) све струје у колу; б) напоне струјних

генератора; в) снаге генератора.

а) Имајући у виду да у овом колу постоје укупно три чвора, од чега су два независна и уз то је између два чвора везан идеалан напонски извор овај задатак је најлакше решити применом метода потенцијала чворова. За нулти чвор се бира чвор за који је везан негативан крај идеалног напонског генератор. Према ознакама на слици је

V20120 == EU

и треба написати једначину за први чвор чији је општи облик дат једначином

( )120121011 ∑=− JUGUG

и за коло са слике једначина је

3

3211

410

354

1111REJJE

RU

RRR++=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

у којој је непоната вредност напона првог чвора па је

V4010 =U .

На основу познатог напона на крајевима гране сложеног кола могу се одредити струје у појединим гранама кола из једначина:

A02

2022 =

−=

RUEI , A2

3

1033 =

−=

RUEI , A2

4

10204 −=

−=

RUUI

и A4

5

105 ==

RUI

па је по првом Кирхофовом закону

A12141 −=−+= IJIIE . б) Напони на струјним генераторима у колу су

V301120101 =+−= JRUUU J и V40102 ==UU J .

ц) Снаге на појединим генераторима имају вредности:

W30111 == JUP JJ , W120222 == JUP JJ , W20111 −== EE IEP , W0222 == IEPE иW160333 == IEPE .

21. У колу приказаном шемом на слици познате су вредности свих елемената:

Ω===== 1054321 RRRRR , A10=J , V2001 =E , V1602 =E , V15043 == EE . Одредити струје кроз све гране кола и проверити биланс снага.

И овај задатак је најлакше решити применом метода потенцијала чворова. Према ознакама чворова на слици могу се написати следеће једначине

V160220 −=−= EU , V150430 −=−= EU

1

120

110

15

111REJU

RU

RR+−=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ,

из којих се одређује врендност непознатог напона

V3010 −=U ,

па се на основу познатих напона на крајевима гране одређују струје у гранама из следећих релација:

5510 IRU =

струја A35 −=I , из

11112 EIRU += струја A71 −=I , из

33332 EIRU += струја A143 −=I , из

34 IIJ E += струја A244 =EI из па је

312 III E += струја A212 −=EI .

Снаге Џулових губитака на појединим отпорницима су:

W4902111 == IRPR , W19602

333 == IRPR , W1000244 == JRPR , W902

555 == IRPR па је укупна снага свих отпорника у колу

W3540=∑ RP .

Напон на струјном генератору има вредност

V2010304 −=−+= UUJRU J ,

а снаге на појединим генераторима:

W1400111 =−= IEPE , W3360222 −== EE IEP , W2100333 =−= IEPE , W3600444 == EE IEP ,

W200−== JUP JJ ,

па је укупна снага која се развија на свим генераторима у колу

W3540=∑ gP .

22. Одредити снагу на отпорнику 3R у електричном колу приказаном шемом на слици. Познато је: A5=J , V161 =E , V242 =E , Ω== 351 RR , Ω=== 6432 RRR .

Једначине које се могу написати применом метода потенцијала чворова су:

V16110 == EU

5

230

310

5420

543

111111REU

RU

RRU

RRR−=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

JUR

UURRR

−=−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ 20

31030

321

10111 .

Решавањем система једначина добија се:

V220 −=U и V830 −=U ,

па је напон на отпорнику 3R

V620303 −=−= UUUR ,

а тражена снага износи

W63

23

3 ==R

UP R

R .

23. У колу, приказаном на слици, познате су вредности свих елемената. Одредити све струје и проверити биланс снага. Нумерички подаци: V2031 == EE , A32 =J , Ω== 521 RR ,

Ω== 1043 RR .

У колу постоји само један независан чвор па је најлакше коло решити применом метода потенцијала чворова. Из једначине

3

32

21

110

3421

111RE

JRR

EURRRR

−−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+

одређује се напон

V1010 −=U .

Струје у гранама кола имају вредности

A14

102 −==

RUI , A1

3

3103 =

+=

REUI и A33221 =++= IJII .

Снаге које се развијају на појединим орпотницима су:

W452111== IRPR , W452

122== IRPR , W102

333 == IRPR , W102244== IRPR

па је

W110=∑ RP ,

а снаге на генераторима се одређују из релација:

V10102=−= UUJ

W60111== IEPE , W20333

== IEPE , W30222== JUP JЈ ,

и збир снага на генераторима једнак је

W110g =∑P , па је биланс снага задовољен јер је

∑∑ = gPPR .

24. Решити коло на слици и проверити биланс снага. Познато је: V31 =E , V22 =E , V13 =E ,

A2=J , Ω=== 1431 RRR , Ω= 22R .

По методу потенцијала чворова је:

V1310 == EU

1

110

420

41

111REJU

RU

RR+=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

па је

V320 =U .

Смерови струја у појединим гранама кола приказани су на слици а њихове вредности су:

A24

214 ==

RUI , A241 =−= JII , A5.1

2

2102 =

+=

REU

I и A5.0423 −=−= III .

Снаге на отпорницима су:

W02111== IRPR , W5.42

222== IRPR , W42

33 == JRPR , W42444== IRPR

па је

W5.12=∑ RP .

Напон на струјном генератору има вредност

V5203 =+= UJRUJ

па је

W10== JUP JЈ , W0111== IEPE , W3222

== IEPE , W5.0333−== IEPE и

W5.12g =∑P па је

∑∑ = gPPR .

25. У колу, приказаном на слици, одредити снаге свих генератора. Познато је:

,2021 Ω== RR Ω=== 10543 RRR , V1401 =E , V202 =E , V203 =E , A1=J .

И овај задатак се решава применом метода потенцијала чворова где је

V20320 == EU

1

120

410

431

1111REJU

RU

RRR+=−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

па је

V4010 =U .

Сада се могу из одговарајућих једначина одредити струје у свим гранама кола, смерова као на слици, где је:

A4

3

103 ==

RUI ,

A5111110 =⇒−= IIREU

A0222220 =⇒−= IIREU

A12133 −=−−= IIIIE и тражене снаге:

W700111 == IEPE , W0222 == IEPE , W20333 −== EE IEP , V30512 =+= JRUU J , па је W30== JUP JJ .

26. Решити коло на слици и проверити биланс снага. Познато је: Ω===== 176541 RRRRR ,

Ω== 532 RR , V351 =E , 0V22 =E , V3043 == EE , A25=J .

Према ознакама чворова на слици, једино је вредност напона 40U непозната, јер је

V30310 −=−= EU , V20220 == EU , V104230 −=−= EEU ,

па је по методу потенцијала чворова

1

130

720

640

167

11111REU

RU

RU

RRR=−−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

одакле је

V1540 =U .

Смерови струја у гранама кола приказани су на слици а њихове вредности су:

A201

4011 =

−=

RUEI , A5

6

426 −==

RUI , A25617 =−= III , A20

5

135 −==

RUI ,

A5574 =+= III E , A504

214 ==

RUI , A256442 =−−−= IJIII EE ,

A63

103 =

−=

RUI , A765433 =−+= IIII E .

Снаге генератора се одређују из релација:

V145202 =+= UJRU J W3625== JUP JJ , W700111 == IEPE , W500222 == EE IEP ,

W2280333 == EE IEP , W150444 == EE IEP

па је

W7255=∑ gP .

Снаге на отпорницима су:

W4002111 == IRPR , W31252

22 == JRPR , W1802333 == IRPR , W25002

444 == IRPR ,

W4002555 == IRPR , W252

666 == IRPR , W6252777 == IRPR

па је

W7255=∑ RP .

28. У колу на слици познато је: V81 =E , V52 =E , V43 =E , V24 =E , A11 =J , A22 =J ,

Ω== 231 RR , Ω== 552 RR , Ω=64R . Одредити све струје у колу и снаге свих генератора.

По методу потенцијала чворова једначине су:

V4310 −=−= EU

V2420 == EU

1

1130

3120

1

111REJU

RRU

R−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

одакле је

V230 −=U

Смерови струја у појединим гранама кола приказани су на слици а њихове вредности су:

A13

303 =

−=

RUI , A2.0

2

2102 =

+=

REUI , A2131 =+= JII , A8.112423 =−−+= JIIJIE ,

A14

214 ==

RUI , A11424 =−+= IIJIE .

Вредност напона на струјном генератору је

V2311 ==UU J и V412252 =+= UJRU J а снаге појединих генератора:

W2111 == JUP JJ , W8222 == JUP JJ , W16111 == IEPE , W1222 == IEPE ,

W2.7333 == EE IEP и W2444 == EE IEP .

29. У колу на слици, одредити струју кроз отпорник 2R и снагу струјног генератора J . Нумерички подаци: Ω=== 10541 RRR , Ω== 2032 RR , V601 =E , V102 =E и A4=J .

Овај задатак ћемо решити применом метода контурних струја. У колу постоје три независне контуре и свакој од њих се придружује по једна контурна струја. Пошто коло садржи струјни генератор, независне контуре се не могу бирати произвољно већ се мора водити рачуна о томе да струјни генератор буде у независној грани одговарајуће контуре. С обзиром да је једна контурна струја позната,

A4III == JI ,

поставља се систем од две једначине по методу контурних струја

( ) 1III4II3I431 EIRIRIRRR =++++

( ) 2III5II532I3 EIRIRRRIR =−+++ .

Када се замене бројне вредности добија се систем једначина

202040 III =+ II

505020 III =+ II чијим решавањем се добијају вредности контурних струја

А1iА0 III == II .

Како се отпорник отпорности 2R налази у независној грани струја кроз отпорник једнака је контурној струји III па је

А1II2 == II .

Да би се одредила снага струјног генератора треба прво одредити напон генератора

( ) ( ) V70II5I4 =−++= IJRJIRU J , па је

W280== JUP JЈ .

29. У колу на слици одредити снаге генератора 1J и 1E . Познато је: Ω=101R , Ω== 3042 RR ,

Ω= 53R , Ω= 255R , V21 =E , V12 =E , mA21 =J , mA62 =J .

Овај задатак биће решен на два начина и то применом метода контурних струја и применом метода потенцијала чворова.

а) У овом колу постоје четири независне контуре и свакој од њих се може придружити по једна контурна струја. Ако се независне контуре и смерови контурних струја одаберу као на слици, онда су контурне струје

mA21I == JI

mA62II == JI познате, док се за преостале две контуре пише систем једначина са две непознате по методу контурних струја

21IV4III4 EEIRIR +=−

( ) ( ) 0IV5432III4II32I2 =++++−++− IRRRRIRIRRIR .

Решавањем горњег система једначина израчунавају се непознате контурне струје

Am5.147III =I , Am5.47IV =I .

Смерови струја у појединим гранама кола приказани су на слици а њихове вредности су:

Am5.145IIII1 =−= III E ,

Am5.51IVIII2 −=−−= IIII .

Снаге генератора су

V475.0111221 =++= JREIRU J

mW95.0111 == JJ UJP и Wm291111 == EIP EE .

б) У колу на слици постоје четири независна чвора а самим тим и независна напона чворова. Ако се чворови означе као на слици, онда су напони чворова 1 и 2, у односу на референтни чвор 0, познати

V2110 == EU

V1220 −=−= EU ,

док се за преостала два чвора пише систем јадначина по методу потенцијала чворова

2403

205

3053

1111 JUR

UR

URR

−=−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

1303

102

4023

1111 JUR

UR

URR

=−−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

чија решења су

V455.040 =U и V1875.030 =U .

На основу познатих напона на крајевима гране, одређују се струје у појединим гранама кола. Смерови струја дати су на слици а њихове јачине су:

Am1004

20104 =

−=

RUUI , Am5.51

2

10402 −=

−=

RUUI и Am5.1452241 =−−= JIIIE .

Напон на струјном генератору и снаге генератора су одређени у задатку под а) и износе

V475.0111221 =++= RJERIUJ , mW95.0111 == JJ UJP , Wm291111 == EIP EE .

30. За коло приказано на слици одредити снаге на генераторима 1J , 2J и 2E . Познато је:

V11 =E , V22 =E , V33 =E , A21 =J , A32 =J , Ω=11R , Ω=22R , Ω= 13R .

Ако се независне контуре и смерови контурних струја одаберу као на слици, систем једначина по методу контурних струја је

A21I == JI ,

A32II == JI

21I2II3III321 )( EEIRIRIRRR +=−+++ , одакле се добија непозната контурна струја

A1III =I ,

па је

A1IIII2 −=−= III , W2222 −== IEPE

V122231 =+−−= EIREU J , W2111 == JUP JJ

A4IIIII3 =−= III

V13312 =+−= IREU J , W3222 == JUP JJ .

31. У колу приказаном на слици одредити снаге на свим генераторима. Познато је: Ω== 131 RR , Ω= 22R , V101 =E , V202 =E , V303 =E , A201 =J , A302 =J .

Једначине по методу контурних струја су:

A302I == JI ,

A201II == JI ,

( ) 12III321II2I3 EEIRRRIRIR −=+++− , а непозната контурна струја има вредност

A5III =I .

Смерови струја у појединим гранама приказани су на слици а њихове вредности су:

A5III1 −=−= II , A15IIIII2 −=−= III , A50III3 =+= III и A35323=+= IIIR .

Снаге појединих генератора одређују се из релација:

V2022231=+−−= EIREUJ , W400111

== JUP JJ , V532 33 =+−= RJ IREU ,

W150222== JUP JJ , W50111

−== IEPE , W300222−== IEPE

и W1500333== IEPE .

32. У колу на слици одредити све струје и израчунати снагу струјног генератора 2J и напонског генератора 1E . Познато је: V101 =E , V1802 =E , A11 =J , A62 =J , Ω= 201R ,

Ω= 402R , Ω= 83R .

Једначине по методу контурних струја су:

A11I == JI , A62II == JI

2II3III32 )( EIRIRR =−+

па је

A25.1III =I .

Вредности струја у гранама кола су:

A5III1 −=−= III , A75.4III2 == II , A25.1IIIII3 =−= III па је

V203312 =+= IREU J , W120222 == JUP JJ и

W50111 −== IEPE .

33. У колу, приказаном на слици, познато је: V6001 =E , A81 =J , A12 =J , A33 =J , Ω= 241R, Ω== 3032 RR , Ω= 604R . Одредити струје у свим гранама кола.

И овај задатак ћемо решити на два начина: а) применом метода контурних струја и б) применом метода потенцијала чворова.

а) Коло садржи четири независне контуре. Пошто у колу постоје три идеална струјна генератора, независне контуре се бирају тако да се струјни генератори налазе у независним гранама одговарајућих контура. Избор контурних струја и одабрани смерови контурних струја приказани су на слици. Контурне струје

A81I == JI , A12II == JI и A33III == JI су познате, а четврта се одређује из једначине

( ) 14III4I41IV ERIRIRRI =−−+ , и има вредност

A15IV =I . Јачине струја у гранама кола су:

A15IV1 == II , A2IIIII2 =−= III и A4IIIIIV4 =−−= IIII .

б) Коло на слици има два независна чвора па по методу потенцијала чворова треба написати систем од две једначина са две непознате:

1

13110

14

11REJJU

RR+−−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

32202

1 JJUR

+−=

чија су решења

V24010 =U и V6020 =U .

Ознаке и смерови појединих струја у гранама кола приказани су на слици а њихове вредности се одређују из релација:

A151

1011 =

−=

RUEI , A2

2

202 ==

RUI и A4

4

104 ==

RUI .

34. У колу, приказаном на слици одредити све струје у колу и проверити биланс снага. Нумерички подаци: Ω== 121 RR , Ω= 23R , A11 =J , A22 =J , 4V11 =E , 0V12 =E , 6V.13 =E

Једначине по методу контурних струја су:

A11I == JI A22II == JI

( ) 321II2I3III321 EEEIRIRIRRR ++=+−++ ,

а непозната контурна струја има вредност

A10III =I .

Вредности струја у појединим гранама кола су:

A10III1 == II , A12IIIII2 =+= III , A9IIII3 =−= III .

Напони струјних генератора се одређују из једначина

V23331−=+−= EIRUJ , V22222

=−= EIRUJ .

Снаге на појединим елементима кола су:

W1002111== IRPR , W1442

222== IRPR , W1622

333 == IRPR W406=⇒∑ RP ,

W140111== IEPE , W120222

== IEPE W144333== IEPE , W2111

−== JUP JЈ ,

W4222== JUP JЈ W406g =⇒∑P

па је

∑∑ = gPPR .

35. Одредити све струје у колу, приказаном на слици. Проверити биланс снага. Познато је:

Ω=== 10631 RRR , Ω== 542 RR , Ω= 205R , V1101 =E , V402 =E , V806 =E , A15 =J .

За независне контуре и смерове контурних струја приказане на слици једначине по методу контурних струја су:

A15I == JI

( ) ( ) 1III43I3II431 EIRRIRIRRR =++−++

( ) ( ) ( ) 62I23II43III6432 EEIRRIRRIRRRR +=+−+++++ Решавањем добијеног система једначина одређују се непознате контурне струје и њихове вредности су:

A3II =I и A3III =I . Смерови струја у појединим гранама приказани су на слици а њихове вредности су:

A3II1 == II , A2IIII2 =−= III ,

A5213 =+= III , A6IIIII4 =+= III и A3III6 == II .

Снаге на појединим елементима кола су:

W902111 == IRPR , W202

222 == IRPR , W2502333 == IRPR , W1802

444 == IRPR ,

W202555 == JRPR , W902

666 == IRPR , W330111 == IEPE , W80222 == IEPE , W240666 == IEPE , V022233555 =+−−= EIRIRJRU J , W0555 == JUP JJ .

W650=∑ RP W650=∑ GP ∑∑ =⇒ GR PP 36. У колу на слици одредити снаге на струјним генераторима. Познато је: V3231 == EE ,

V202 =E , A221 == JJ , Ω== 221 RR , Ω== 443 RR .

Једначине по методу контурних струја су:

A21I == JI

A21I == JI

( ) 3IV4III43I4 EIRIRRIR =−++

( ) ( ) 21IV421III4II1I41 EEIRRRIRIRIRR +=+++−++− , а вредности контурних струја

A9III =I и A12IV =I . Вредности струја у гранама кола су

A12IV2 == II и A121221 =−+= JJII , а снаге струјних генератора одређују се из релација:

V42221 =−= EIRU J , W8111 == JUP JJ ,

V81112 −=−= EIRU J , W16222 −== JUP JJ . 37. У колу приказаном на слици познато је: Ω==== 24321 RRRR , V1221 == EE ,

A621 == JJ . Одредити све струје у колу и проверити биланс снага.

Једначине по методу контурних струја су:

A61I == JI

A62II == JI

( ) 2II3III32 EIRIRR =++ одакле је

A0III =I .

Смерови струја у појединим гранама приказани су на слици а њихове вредности су:

A02 =I , A623 == JI и A612 −=−= JIE .

Напони струјних генератора су:

V3621111 =++= EEJRU J

V2420242 =+= UJRU J

а снаге које се развијају на појединим елементима кола имају вредности:

W216111 == JUP JJ , W72111 −== JEPE , W144222 == JUP JJ , W72222 −== EE IEP ,

W722111 == JRPR , W02

222 == IRPR , W722333 == IRPR и W722

244 == JRPR , па је

W216=∑ gP и W216=∑ RP ,

одакле је

∑∑ = Rg PP .

38.У колу приказаном шемом на слици одредити вредност променљивог отпорника pR , да би се на њему развила максимална снага и израчунати ту снагу. Познато је: Ω=10R , V10=E .

У односу на променљиви отпорник, остатак кола између тачака ba i , може се заменити еквивалентним Тевененовим генератором. Елементи Тевененовог генератора су унутрашња отпорност и напон празног хода. За одређивање унутрашње отпорности Тевененовог генератора све генераторе треба заменити својим унутрашњим отпорностима, то јест, места где се налази електромоторна сила генератора треба кратко спојити а места где се налази струја струјног генератора треба откачити, па одредити еквивалентну отпорност између тачака ba i . За конкретно коло са слике

Ω==++

= 102

2 RRRR

RRab .

За одређивање напона празног хода Тевененовог генератора неопходно је решити коло и одредити напон који постоји између тачака ba i када у тој грани не тече струја. За конкретно коло приказано на слици, струја у колу је вредности

A5.02

==R

EI

па је напона празног хода

( ) V150 =+= RIEUab . На овај начин је добијено просто коло са једним генератором и једним потрошачем као на слици. Да би се на порошачу развијала максимална снага мора да буде извршено прилагођење потрошача на генератор, односно задовољен услов

abр RR = .

Да би одредили максималну вредност снаге на потрошачу треба одредити струју потрошача из једначине кола

( ) ( ) pabpab IRRU +=0 ,

одакле је

( )A75.00 =

+=

abp

abp RR

UI ,

па је

W625.52 == ppp IRP .

39. У колу, приказаном на слици, одредити вредност променљивог отпорника R да би се на њему развила максимална снага и израчунати ту снагу. Бројни подаци: A1=J , V80=E ,

Ω= 201R , Ω== 3032 RR .

У односу на променљиви отпорник, двопол се може заменити еквивалентним Тевененовим генератором унутрашње отпорности

Ω=+

= 1221

21RR

RRRab .

На отпорнику R ће се развити максимална снага ако је задовољен услов

Ω== 12abRR .

Из једначине по методу потенцијала чворова

110

21

11REJU

RR+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

одређује се напон

V6010 =U који је једнак напону празног хода Тевененовог генератора

( ) V.60100 ==UUab Струја кроз отпорник R је

( )

A5.20 =+

=RR

UI

ab

ab ,

а његова снага

W752 == RIPR .

40. У колу на слици одредити непознату отпорност R , да би се на њој развила максимална снага. Одредити снагу на отпорнику R и снагу струјног генератора. Познато је: Ω= 21R ,

Ω= 42R , Ω= 13R , Ω= 324R , A1=J , V41 =E , V62 =E .

Унутрашња отпорност еквивалентног Тевененовог генератора износи

Ω=++

= 2421

21e R

RRRRR ,

па је на основу услова прилагођења, непозната отпорност

Ω== 2eRR .

Напон празног хода се одређује из једначине

2

2

1

110

21

11RE

REJU

RR−+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ,

из које се добија напон

V210 =U ,

па је

V2)( 100ab ==UU .

Према Омовом закону, струја кроз отпорник R има вредност

A5.0)(

e

0ab =+

=RR

UI ,

а снага

W5.02 == RIPR .

Када је позната струја кроз отпорник R , из електричног кола које је задато, лако се одређује напон на струјном генератору,

V37

34 =++= JRRIIRU J ,

као и снага генератора

W37

== JUP JJ .

41. У колу, приказаном на слици, познато је: V801 =E , V402 =E , V1103 =E , A1=J , Ω== 542 RR , Ω== 1053 RR . Одредити отпорност отпорника 1R , тако да се на њему развије

максимална снага и одредити ту снагу.

У односу на отпорник непознате отпорности 1R остатак кола се може заменити еквивалентним напонским генератором, унутрашње отпорности

( )Ω=

+++

+= 11354

3542 RRR

RRRRRab ,

па је према услову прилагођења

Ω== 111 abRR .

За израчунавање напона празног хода треба одредити струје, у колу са слике, применом метода контурних струја. Из система једначина

A1II == JI ( ) 35I354 EJRIRRR −=+++ одређује се непозната контурна струја

A524

I −=I .

Напон празног хода се израчунава из једначине

( ) V63223I310AB =++−−= EJREIREU а струја кроз отпорник,

( )A8636.2A

2263

1

0AB1 ==

+=

abRRU

I ,

па снага Џулових губитака који се јављају на отпорнику отпорности 1R износи

W2.902111 == IRPR .

42. У колу на слици одредити отпорност непознатог отпорника R , да би се на њему развила максимална снага и израчунати ту снагу. Познато је: Ω== 641 RR , Ω== 1232 RR , A11 =J ,

A22 =J , V241 =E , V122 =E , V603 =E .

Двопол са крајева непознатог отпорника R се може заменити еквивалентним Тевененовим генератором. Унутрашња отпорност генератора је

Ω== 122e RR , а напон празног хода

V24)( 22230ab =−−= JREEU .

Из услова прилагођења добија се да је

Ω== 12eRR па је струја кроз отпорник вредности

A1)(

e

0ab =+

=RR

UI ,

а снага на њему

W122 == RIPR .

43. У колу приказаном шемом на слици одредити вредност променљивог отпорника 2R , да би се на њему развила максимална снага. За тај случај израчунати снагу генератора 2E . Познато је: Ω== 2051 RR , Ω== 543 RR , V2051 == EE , V102 =E , V543 == EE , A11 =J и A22 =J .

У односу на грану са променљивим отпорником, двопол се може заменити еквивалентним генератором, чија је еквивалентна отпорност, према колу са слике једнака

( ) Ω=⊕⊕= 204351e RRRRR 1R

а непозната отпорност

Ω== 20e2 RR .

Да би израчунали напон празног хода Тевененовог генератора треба одредити струје у колу. Смерови струја у појединим гранама приказани су на слици а њихове вредности су:

A151

511 =

++

=RREEI , A3214 =+= JJI и A1423 −=−= IJI

Напон празног хода се сада одређује из релације

V10)( 4443331110ab −=−+++−= JREEIREIRU .

Еквивалентно коло приказано је на слици а струја у колу се одређује по Омовом закону и има вредност,

A0)(

2e

20ab =++

=RR

EUI ,

па је и снага електромоторне силе 2E

W022== IEPE .

44. У колу, приказаном на слици, познато је: Ω== 531 RR , Ω=== 10642 RRR , V751 =E ,

V602 =E , A1=J , као и струја кроз грану с отпорником 5R , A65 =I . Одредити отпорност отпорника 5R и снагу на њему.

С обзиром да је позната вредност струје кроз отпорник 5R задатак је најлакше решити тако што се остатак кола са крајева непознатог отпорника замени еквивалентним Тевененовим генератором, а потом из простог кола срачуна непозната отпорност.

Унутрашња отпорност кола са крајева отпорника 5R једнака је

( )( ) Ω=+++++=

320

4231

4231RRRRRRRRRab .

За одабране контуре и смерове контурних струја као на слици једначине су:

A1II == JI

( ) ( ) 21II43I4321 EEIRRIRRRR −=+−+++

па је контурна струја

A1I =I .

Напон празног хода има вредност

( ) ( ) V701I1I30 −=−+−= EIRJIRUab .

За еквивалентно коло на слици може се написати једначина

( ) ( ) 550 IRRU abab +−= ,

из које се одређује вредност непознате отпорности

( )Ω=−−= 5

5

05 ab

ab RI

UR ,

па снага која се развија на отпорнику износи

W1802555== IRPR .

45. Одредити отпорност отпорника 3R , тако да се на њему развије максимална снага и израчунати ту снагу. Одредити снагу струјног генератора. Нумерички подаци: Ω=7501R ,

Ω== k152 RR , Ω= 2504R , V2501 =E , kV42 =E , kV5.103 =E , A1=J .

Да би одредили отпорност потрошача при којој се на њему развија максимална снага треба одредити еквивалентну отпорност Тевененовог генератора. За коло са слике она износи

Ω=+

++= k5.152

5241 RR

RRRRRab ,

па је

Ω== k5.13 abRR . А да би одредили напон празног хода треба решити коло коло са слике. Контурна струја, смера као на слици, има вредност

A252

2I =

+=

RREI ,

па је струја

A2I5 == II ,

а напон Тевененовог генератора

( ) kV9551130 −=+−+−= RIJREEUab .

Струја кроз отпорник отпорности 3R има вредност

( )A3

3

03 −=

+=

RRU

Iab

ab ,

а снага која се на њему развија износи

kW5.132333 == IRPR .

Да би срачунали снагу струјног генератора треба одредити напон на његовим крајевима. Зато прво треба одредити струју 1I , која за смер као на слици има вредност

A231 −=+= IJI ,

па је напон генератора kV75.1111 −=−= EIRU J ,

а снага

kW75.1−== JUP JJ .

46. У колу приказаном шемом на слици одредити вредност променљивог отпорника R , да би се на њему развила максимална снага и израчунати ту снагу. Нумерички подаци:

V1201 =E , A4=J , Ω== 2031 RR , Ω=102R .

Еквивалентна отпорност Тевененовог генератора једнака је

Ω=+

= 1031

31

RRRRRab ,

па је непозната отпорност

Ω== 10abRR . За коло са слике напон празног хода Тевененовог генератора једнак је напону између чворова кола и може се одредити из једначине

1

110

31

11REJU

RR+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

одакле је

( ) V100100 ==UUab . Струја кроз променљиви отпорник има вредност

( )A50 =

+=

RRU

Iab

ab ,

а снага на њему

250W2 == RIP .

47. У колу приказаном на слици познато је: Ω=== 1321 RRR , Ω=34R и V4=E . Израчунати јачину струје струјног генератора gJ при којој је снага, коју прима тај генератор, највећа и одредити ту снагу.

И у овом задатку коло се решава применом Тевененове теореме. Еквивалентна отпорност Тевененовог генератора у односу на крајеве струјног генератора једнака је

Ω=+

++

= 25.142

42

31

31

RRRR

RRRRRab .

Напони на отпорницима отпорности 1R и 2R могу се срачунати преко напонског разделника из релација

V231

11 =

+= E

RRRU

и

V142

22 =

+= E

RRRU ,

па је напон празног хода

( ) V1210 −=+−= UUUab . Напон на крајевима струјног генератора износи

( ) 125.10 −=+= gabgabg JUJRU ,

па је снага генератора

ggggg JJJUP −== 225.1 .

У изразу за снагу генератора непозната је вредност струје генератора. Из услова

0dd

=g

g

JP

одређује се јачина струје струјног генератора gJ при којој је снага коју он прима од кола максимална. Из претходне једначине добија се релација

015.2 =−gJ , из које је

A4.0=gJ ,

па је

W2.0−=gP .

48. У колу једносмерне струје приказаном на слици одредити отпорност 4R , тако да је струја

A24 =I (смер је задат на слици). Познато је: Ω==== 57521 RRRR , Ω== 1063 RR , V703 =E , V206 =E , V257 =E и A10=J .

У односу на грану са отпорником 4R остатак кола може се заменити еквивалентним генератором чија је еквивалентна отпорност једнака

Ω=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

−−

41111111

765

1

321 RRRRRRRab

а напон празног хода одређује се применом метода потенцијала чворова из једначина

3

310

321

111REJU

RRR+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

7

7

6

620

765

111RE

REU

RRR+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ ,

чијим се решавањем прво одређују непознати напони чворова

V3410 =U и V1420 =U ,

а потом и напон празног хода

( ) V2020100 =−= UUUab .

Како је струја 4I позната, из релације

( )A2

4

04 =

+=

ab

ab

RRU

I

одређује се вредност тражене отпорности

Ω=64R .

49. У колу, приказаном на слици, познато је : Ω== 2031 RR , Ω=102R , A4=J , V1201 =E . Карактеристика нелинеарног отпорника може се апроксимирати дужима које у U-I координатном систему спајају тачке (0А,0В), (5А,50В), и (10А,200В). Одредити снагу која се развија на нелинеарном отпорнику.

Кола са нелинеарним отпорницима се решавају тако што се применом Тевененове теореме цело коло, у односу на нелинеарни отпорник или групу нелинеарних отпорника, замени еквивалентним Тевененовим генератором.

У задатом примеру еквивалентна отпорност генератора износи

Ω=+

= 1031

31e RR

RRR ,

а напон празног хода се добија решавањем једначине

1

110

31

11REJU

RR+=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

и износи

V100)( 100ab ==UU . Еквивалентно коло са нелинеарним отпорником је приказано на слици и задатак се решава грфички. Напон на нелинеарном отпорнику, U , је функција струје кроз отпорник, I , и мора задовољити задату волт−амперску карактеристику нелинеарног отпорника, то јест

)(IUU = .

С друге стране напон на нелинеарном отпорнику и струја кроз њега су истовремено напон и струја једног реалног напонског генератора електромоторне силе 0ab )(U и унутрашње отпорности eR , па једначина

IRUU e0ab )( −= ,

практично представља спољну карактеристику генератора.

На овај начин је добијен систем две једначине са две непознате, U и I . Како је прва једначина нелинеарна, систем се решава графички. Радна тачка се налази у пресеку волт−амперске карактеристике нелинеарног отпорника и спољне карактеристике генератора. Волт−амперска карактеристика нелинеарног отпорника је задата табелатно и њен график се добија спајањем задатих тачака, као на слици. Спољна карактеристика генератора, за израчунате вредности параметра Тевененовог генератора, представља једначину праве. Једначина спољне карактеристике генератора у овом задатку је дата једначином

IU 10100−= ,

и лако се црта кроз тачке у којима права сече координатне осе.

За A0=I је V100=U , а када је V0=U онда је A10=I . Са графика се у пресеку карактеристике нелинеарног елемента и спољашње карактеристике генератора налази радна тачка. Вредности напона и струје на нелинеарном отпорнику се очитавају са координатних оса. За наш пример је:

V50N =U и A5N =I .

На нелинеарном отпорнику се развија снага вредности

W250NNN == IUP .

50. Волт−амперска карактеристика нелинеарног отпорника у електричном колу, приказаном шемом на слици, може се апроксимирати дужима које спајају тачке: (0А, 0В), (1А, 5В), (3А, 10В). Одредити струју кроз нелинеарни отпорник и напон на њему, као и снаге на елементима Е и 2R . Познато је: A51 =J , A32 =J , V15=E , Ω== 221 RR , Ω=33R , Ω=54R .

Као у претходном задатку, коло са крајева нелинеарног отпорника треба заменити еквивалентним Тевененовим генератором. Када се сви генератори у колу замене својим унутрашњим отпорностима еквивалентна отпорност генератора се своди на редну везу два отпорника, па је

Ω=+= 532 RRRab ,

док се напон празног хода одређује из релације

( ) ( ) V10322210 =−++= ERJRJЈUab .

У пресеку волт−амперске карактеристике нелинеарног отпорника и спољашње карактеристике генератора,

( ) IIRUU abab 5100 −=−= ,

са графика на слици се очитавају напон и струја нелинеарног отпорника:

V5=NU и A1=NI .

Смерови струја у појединим гранама кола приказани су на слици, а њихове вредности се одређују применом првог Кирхофовог закона и износе:

A7212 =−+= NIJJI , A2123 =−= JII , A34

4 ==REI и A24 =−= NE III .

Тражене снаге на елементима и 2R и Е су:

W982222 == IRPR и W30−=−= EE EIP .

51. У колу приказаном на слици познато је: A11 =J , A22 =J , V2051 == EE , 0V12 =E ,

V543 == EE , Ω=102R , Ω== 543 RR , Ω= 205R . Карактеристика нелинеарног отпорника може се апроксимирати дужима које спајају тачке (0А, 0В), (1А, 5В), (1.5А, 15В), (2А, 20В), (4А, 30В). Одредити струју кроз нелинеарни елемент и снагу на њему.

Као у претходним примерима прво треба цело линеарно коло, у односу на нелинеарни отпорник, замени еквивалентним Тевененовим генератором. Еквивалентна отпорност генератора износи

( )Ω=

+++++

= 105432

4325

RRRRRRRRRAB .

Ако се независне контуре и смерови контурних струја одаберу као на слици, непозната контурна струја се одређује решавањем система једначина:

A11I == JI , A22II == JI

( ) ( ) 5432II4I43III5432 EEEEIRIRRIRRRR +++=++++++ и износи

A5.0III =I па је

A5.0III == II5 .

Напон празног хода одређује из релације

( ) V3015550 =++−= EEIRUab . У пресеку спољне карактеристике генератора,

( ) IIRUU abab 10300 −=−= ,

која пролази кроз тачке:

A0=I ; V30=U и V0=U ; A3=I , и струјно−напонске карактеристике нелинеарног 0 1 2 3 4

0

5

10

15

20

25

30

U (V)

I (A)

отпорника, са са графика се очитавају вредности:

V15=NU и A5.1=NI ,

па је

W5.22== NNN IUP .

52. У колу на слици познато је: V121 =E , V62 =E , V183 =E , A11 =J , A22 =J ,

Ω== 321 RR , Ω= 63R . Карактеристика нелинеарног отпорника се може апроксимирати дужима које у UI − координатном систему спајају тачке ( )0V A,0 , ( )6V A,2 и ( )18V A,3 . Одредити снаге свих напонских генератора у колу.

Применом Тевененове теореме коло се, у односу на нелинеарни отпорник, замени Тевененовим генератором, унутрашње отпорности

Ω== 63RRab и електромоторне силе

( ) V1831320 =+−= EJREU ab .

Спољашња карактеристика генератора

IU 618−= ,

сече координатне осе у тачкама V18=U

и A3=I .

Са графика се очитавају вредности напона и струје у радној тачки:

V6=NU и A2=NI .

Да би одредили снаге генератора треба прво одредити одговарајуће струје,

AJII EE 3123 =+= и AJJIE 3121 =+= ,

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.00

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

IN

U (V)

I (A)

UN

а затим и тражене снаге

WIEP EE 36111 == , WIEP NE 1222 == и

WIEP EE 54333 == .

53. У електричној мрежи, приказаној шемом на слици,кроз отпорник Ω= 200R протиче струја mA100=RI . Одредити снагу генератора, EP , ако нелинеарни отпорници 1N и 2N имају исту волтамперскукарактеристику, која се можеапроксимирати дужима које спајају тачке: (0В, 0А), (10В, 30мА), (20В, 100мА), (27В, 200мА), (30В, 300мА).

Како је

V20== RR RIU

V201

== RN UU

Директно са графика се очитава: за ⇒= V201NU mA100

1=NI

mA20012=+= NRN III

У пресеку спољашње карактеристике генератора и карактеристике нелинеарног отпорника са графика се одређују напон и струја нелинеарног отпорника:

Саграфика: за ⇒= mA2002NI V27

2=NU

V472=+= NR UUE

W4.92== NE EIP

54. У колу на слици познато је: V251 =E , V102 =E , Ω== 1531 RR , Ω== 642 RR , Ω= 55R , Ω= 36R . Одредити струју струјног генератора, тако да при напону V10AB =U буде струја

05 =I . Израчунати снагу струјног генератора.

По Омовом закону директно се може одредити струја кроз отпорник 4R на основу познатог напона ABU ,

A

35

4

AB4 ==

RUI

а потом и напон

V1546ABAC =+= IRUU па је

A32

1

AC11 =

−=

RUE

I .

Непозната струја и напон на струјном генератору се одређују из релација,

A114 =−= IIJ и

V303AC =+= JRUU J . Снага струјног генератора је

W30== JUP JJ .

55. У колу приказаном на слици познато је: RRR 231 == , RRp 12= , RRg = и V241 =E .

Одредити електромоторну силу 2E , ако је 3412 UU = .

Овај задатак је најлакше решити применом теореме суперпозиције. Нека прво делује генератор електромоторне силе 1E . У колу приказаном на слици постоји мост који је у равнотежи па је

0=′pI а

( )3

422

31

311

RRRRRRRRe =

+++

= .

Струја кроз генератор електромоторне силе 1E износи

34

1

1

11 RR

ERR

EIg

egE

+=

+=′ ,

3422

22 1

1131

1E

EEII

RRRI

RRRRI

′=′

+=′

++=′ .

И у случају када делује генератор електромоторне силе 2E у колу постоји мост који је у равнотежи па је

01 =′′EI

( )( )2

3231

132

RRRRRRRRRe =

++++

=

и

34

2

2

2

22 RR

E

RRRR

R

EIg

ep

epg

E+

=

++

=′′ , 9

22

2

2 EE

ep

ep

IIRR

RI′′

=′′+

=′′ и 9

4 21

EII′′

=′′ .

Коначне вредности струја у гранама кола, смерова означених на слици, имају вредности:

94

321

111EE IIIII′′

+′

=′′+′= ,9

43

21113

EE IIIII′′

−′

=′′−′= и .9

2Eppp

IIII

′′=′′+′=

Полазећи од једначина:

12 1 1 3 3U R I R I , 34 p pU R I и

21 1 1 12

9p ER I

R I I I I

,

21

122 2

9ERI

R I

, 21 3

EII

,

1 21 14 43 33 3g g

E ER R

R R

Након њиховог сређивања одређује се вредност електромоторне силе 2E ,

2 1 24VE E .

56. У колу приказаном на слици позната је електромоторна сила 1 105VE . Када је

2 105VE , онда струја кроз генератор 1E износи I=5А. Одредити струју кроз генератор

1E када је: а) 2 105VE , б) 2 210VE .

Задатак ћемо решити применом теореме суперпозиције. Струја кроз генератор 1E , I , једнака је алгебарском збиру струја насталих као последица деловања сваког од генератора појединачно:

2211 EgEgI . (1)

Када делује генератор V1052 E , задато коло је симетрично ( 21 EE ), па се може упростити на следећи начин. Струје грана које пресеца оса симетрије једнаке су нули (

0о I ), па се те гране према теореми компензације, могу заменити компензационим струјним генераторима чија је струја једнака нули, односно отвореним крајевима.

На овај начин добијамо два идентична одвојена кола, па је струја I једнака R

EI

31 . Из

овог израза израчунава се отпорност R и она је 7R .

а) Када je V1052 E , струја кроз генератор 1E је

2211a EgEgI . (2)

Задато коло је сада асиметрично ( 21 EE ), па је напон између тачака на оси антисиметрије једнак нули, 0AC U и 0CB U . Према теореми компензације између ових тачака се постављају напонски компензациони генератори чије су електромоторне силе једнаке нули тј. тачке А и C, као и C и B, се краткоспајају. Тиме се добијају два независна кола, па је довољно анализирати само једно од њих.

Из овако упрошћеног кола одређујемо струју 1e

1a 2RR

EI

, где је

32

21e

RR

R

RR

R

, па се

добија А9a I . Из релација (1) и (2) одређујемо вредности проводности 1g и 2g . Добија се да је

S15

11 g , a S

105

22 g .

б) Када делује генератор V2102 E , струја кроз генератор 1E се може написати у облику

2211b EgEgI ,

па се заменом претходно израчунатих бројних вредности добија А3b I .