Elektrostatyka (pdf)
Transcript of Elektrostatyka (pdf)
ElektrodynamikaCzęść 1
Elektrostatyka
Ryszard TanaśZakład Optyki Nieliniowej, UAM
http://zon8.physd.amu.edu.pl/\~tanas
Spis treści
1 Literatura 3
2 Elektrostatyka 42.1 Pole elektryczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego . . . . . . 112.3 Potencjał elektryczny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.4 Praca i energia w elektrostatyce . . . . . . . . . . . . . 402.5 Przewodniki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
1 Literatura
Wykład oparty jest na podręczniku:D. J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa, 2001
W prezentacjach używam notacji zgodnej (prawie) z polską wersją tegopodręcznika.
Należy pamiętać, że tłusta czcionka oznacza wektor,np. E oznacza ~E w pisowni ręcznej.
Prezentacje mogą być wykorzystywane wyłącznie w celachdydaktycznych.
2 Elektrostatyka
2.1 Pole elektryczne
2.1.1 Zasada superpozycji
q1
q2
qi
Q
ładunki źródła ładunek próbny
F = F1 +F2 +F3 + . . .
x y
zQ
q
R
rr′
R = r − r′
Jaką siłą q działa na Q?
2.1.2 Prawo Coulomba
F = 14πε0
R2 R̂
ε0 = 8, 85 · 10−12[
C2
Nm2
]przenikalność elektryczna próżni
R̂ = RR = r − r′|r − r′|
wersor wskazujący kierunek izwrot wektora R
2.1.3 Pole elektryczne
Całkowita siła działająca na Q pochodząca od ładunków q1, q2, . . . , qn
odległych od Q o R1,R2, . . . ,Rn
F = F1 +F2 + . . . = 14πε0
(q1Q
R21R̂1 + q2Q
R22R̂2 + . . .
)
= Q1
4πε0
(q1R2
1R̂1 + q2
R22R̂2 + q3
R23R̂3 + . . .
)
F = QE
E — natężenie pola elektrycznego
x y
zP
qi
q1
q2
q3
Ri
rr′
E(r) ≡ 14πε0
n∑i=1
qiR2i
R̂i
2.1.4 Ciągłe rozkłady ładunku
E(r) = 14πε0
∫ 1R2 R̂ dq
dq =
λ dl′ ładunek liniowy
σ da′ ładunek powierzchniowy
ρ dτ ′ ładunek objętościowy
E(r) = 14πε0
∫P
λ(r′)R2 R̂ dl′ pole od ładunku liniowego:
E(r) = 14πε0
∫S
σ(r′)R2 R̂ da′ pole od ładunku powierzchniowego
E(r) = 14πε0
∫V
ρ(r′)R2 R̂ dτ ′ pole od ładunku objętościowego
2.2 Dywergencja i rotacja pola elektrostatycznego
2.2.1 Linie pola, strumień i prawo Gaussa
Weźmy pojedynczy ładunek q umieszczony w początku układuwspółrzędnych, wtedy
E(r) = 14πε0
q
r2 r̂
Pole jest silne w pobliżu ładunku i w miarę oddalania się od ładunkumaleje jak 1/r2.
Dla ładunku dodatniego pole skierowane jest od ładunku.
+E
−+
++
da
E
Strumień pola E przez powierzchnię S
ΦE ≡∫SE · da
jest miarą „liczby linii pola” przechodzących przez S.
Dla ładunku punktowego q umieszczonego w początku układuwspółrzędnych, strumień pola E przez sferę o promieniu r wynosi
∮E · da =
∫ 14πε0
(q
r2 r̂
)·(r2 sin θ dθ dφ r̂
)= 1ε0q
Wynik nie zależy od promienia sfery.Wynik jest taki sam dla dowolnej powierzchni zamkniętej.
Prawo Gaussa
Strumień pola przez dowolną powierzchnię obejmującą ładunek qwynosi q/ε0
∮E · da =
n∑i=1
(∮Ei · da
)=n∑i=1
( 1ε0qi
)
∮E · da = 1
ε0Qwew
Strumień pola przez dowolnąpowierzchnię zamkniętą jest równyQwew/ε0
∮SE · da =
∫V
(∇ ·E) dτtwierdzenie o dywergencji(twierdzenie Gaussa)
Qwew =∫Vρ dτ∫
V(∇ ·E) dτ =
∫V
(ρ
ε0
)dτ
∇ ·E = 1ε0ρ Prawo Gaussa w postaci różniczkowej
2.2.2 Dywergencja E
E(r) = 14πε0
∫cała przestrzeń
R̂R2 ρ(r
′) dτ ′
∇ ·E = 14πε0
∫∇ ·
(R̂R2
)ρ(r′) dτ ′
∇ ·(R̂R2
)= 4πδ3(R) delta Diraca
∇ ·E = 14πε0
∫4πδ3(r − r′)ρ(r′)dτ ′ = 1
ε0ρ(r)∫
V∇ ·E dτ =
∮SE · da = 1
ε0
∫Vρ dτ = 1
ε0Qwew
2.2.3 Zastosowania prawa GaussaPrzykład:Znaleźć pole na zewnątrz jednorodnie naładowanej kuli o promieniu R icałkowitym ładunku q
Rr
∮SE · da = 1
ε0Qwew, Qwew = q
∮SE · da =
∮S|E|da = |E|
∮S
da = |E|4πr2
|E|4πr2 = 1ε0q
E = 14πε0
q
r2 r̂
Pole na zewnątrz sfery jest takie jak od ładunku punktowegoumieszczonego w środku kuli.
Prawo Gaussa jest przydatne do obliczania pola w przypadku kiedyukład wykazuje wysoką symetrię.
• Symetria sferyczna
• Symetria osiowa
• Symetria względem płaszczyzny
Przykład:Dana jest nieskończona płaszczyzna naładowana ze stałą gęstościąpowierzchniową σ. Znaleźć natężenie pola elektrycznego wytwarzanegoprzez tę płaszczyznę.
E
E
A
∮E · da = 1
ε0Qwew
od górnej i dolnej powierzchni pudełka mamy∫E · da = 2A|E|
boki pudełka nic nie wnoszą, więc
2A|E| = 1ε0σA
stąd
E = σ
2ε0n̂
n̂ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchni
2.2.4 Rotacja E
E = 14πε0
q
r2 r̂dla ładunku punktowego umieszczonego wpoczątku układu współrzędnych
xy
z
a
b
q
rb
ra
obliczmy całkę krzywoliniowąb∫a
E · dl
dl = dr r̂ + r dθ θ̂ + r sin θ dφ φ̂ we współrzędnych sferycznych
E · dl = 14πε0
q
r2 drb∫a
E · dl = 14πε0
b∫a
q
r2 dr = − 14πε0
q
r
∣∣∣∣rbra
= 14πε0
(q
ra− q
rb
)
∮E · dl = 0
całka po krzywej zamkniętejjest równa zeru (ra = rb)∫
S(∇×A) · da =
∮A · dl twierdzenie Stokesa
∇×E = 0 z twierdzenia Stokesa
Dla wielu ładunków
E = E1 +E2 + . . .
∇×E = ∇× (E1 +E2 + . . .)= (∇×E1) + (∇×E2) + . . . = 0
Słuszne dla dowolnego statycznego układu ładunków
2.3 Potencjał elektryczny
2.3.1 Wstępne uwagi o potencjale
a
b
(ii)
(i)
∇×E = 0 ⇒ ∮E · dl = 0;
całka od punktu a do punktu b niezależy od drogi całkowania.
V (r) = −r∫OE · dl definiujemy funkcję V (r);
O jest punktem odniesienia.
Funkcję tę nazywamy potencjałem elektrycznym.
Różnica potencjałów
V (b)− V (a) = −b∫OE · dl+
a∫OE · dl
= −b∫OE · dl−
O∫a
E · dl = −b∫a
E · dl
V (b)− V (a) =b∫a
(∇V ) · dl twierdzenie dla gradientów
b∫a
(∇V ) · dl = −b∫a
E · dl ⇒ E = −∇V
Przykład:Znaleźć potencjał wewnątrz i na zewnątrz cienkiej kulistej powłoki opromieniu R, naładowanej ze stałą gęstością powierzchniową. Za punktodniesienia przyjąć punkt w nieskończoności.
R rP
Z prawa Gaussa, pole na zewnątrz kuli (r > R) wynosi
E = 14πε0
q
r2 r̂
Wewnątrz kuli (r < R) pole E = 0
Dla (r > R)
V (r) = −r∫OE · dl = − 1
4πε0
r∫∞
q
r′2dr′ = 1
4πε0q
r′
∣∣∣∣r∞ = 14πε0
q
r
Dla (r < R)
V (r) = − 14πε0
R∫∞
q
r′2dr′ −
r∫R
(0)dr′ = 14πε0
q
r′
∣∣∣∣R∞ + 0 = 14πε0
q
R
2.3.2 Równanie Poissona i równanie Laplace’a
E = −∇V∇ ·E = ρ
ε0, ∇×E = 0
∇ ·E = ∇ · (−∇V ) = −∆V
∆V = − ρε0
równanie Poissona
∆V = 0 równanie Laplace’a
∇×E = ∇× (−∇V ) = 0 tożsamość wektorowa
2.3.3 Potencjał zlokalizowanego rozkładu ładunku
V (r) = 14πε0
q
r
potencjał ładunku znajdującego sięw początku układu współrzędnych
V (r) = 14πε0
q
R ogólnie, ładunek w punkcie r′
V (r) = 14πε0
n∑i=1
qiRi dla wielu ładunków
V (r) = 14πε0
∫ 1R dq dla rozkładu ciągłego
V (r) = 14πε0
∫ρ(r′)R dτ ′
2.3.4 Warunki brzegowe w elektrostatyce
Rozważmy cienkie pudełko Gaussa:
E⊥nad
E⊥pod
Aσ ε
∮SE · da = 1
ε0σA prawo Gaussa
Z prawa Gaussa, dla ε→ 0, mamy
(E⊥nad − E⊥pod)A = 1ε0σA
E⊥nad − E⊥pod = 1ε0σ
Składowa normalna wektora natężenia pola elektrycznegoE ma na powierzchni granicznej nieciągłość o wartości σ/ε0
Rozważmy ramkę:
E‖nad
E‖pod
l
σ ε
∮E · dl = 0, albo ∇×E = 0 pole statyczne
(E‖nad − E‖pod)l = 0 przy ε→ 0
E‖nad = E
‖pod
Składowa styczna pola E jest zawsze ciągła.
Obydwa warunki można zapisać jednym wzorem
Enad −Epod = σ
ε0n̂
n̂ jest wektorem jednostkowym prostopadłym do powierzchniskierowanym od „dołu” do „góry”.
Jak zachowuje się potencjał?
a
bσ
Vnad − Vpod = −b∫a
E · dl = 0, dla |b− a| → 0
Potencjał jest ciągły na powierzchni.
Ponieważ E = −∇V , to gradient potencjału jest nieciągły.
∇Vnad −∇Vpod = − σε0n̂
∂Vnad∂n
− ∂Vpod∂n
= − σε0
∂V
∂n= ∇V · n̂ pochodna normalna
2.4 Praca i energia w elektrostatyce
2.4.1 Praca wykonana przy przesunięciu ładunku
q1
q2
qi
Q
a
b
W =b∫a
F · dl = −Qb∫a
E · dl = Q[V (b)− V (a)
]
Wynik nie zależy od drogi.
V (b)− V (a) = W
Q
Różnica potencjałów między punktami a i b jest równapracy przypadającej na jednostkę ładunku, koniecznej doprzesunięcia ładunku od a do b.
W = Q[V (r)− V (∞)
]= QV (r)
2.4.2 Energia układu ładunków punktowych
Przenosimy kolejne ładunki q1, q2,. . . z nieskończoności do punktów r1,r2, . . .
r1
r3
r2R12
R13 R23
q1 q2
q3
Praca wykonana przy przenoszeniu kolejnych ładunków
W1 = 0
W2 = 14πε0
q2
(q1R12
)W3 = 1
4πε0q3
(q1R13
+ q2R23
)W4 = 1
4πε0q4
(q1R14
+ q2R24
+ q3R34
)
Całkowita praca
W = W1 +W2 +W3 +W4
= 14πε0
(q1q2R12
+ q1q3R13
+ q2q3R23
+ q1q4R14
+ q2q4R24
+ q3q4R34
)
W = 14πε0
n∑i=1
n∑j=1j>i
qiqjRij , n ładunków
W = 14πε0
12
n∑i=1
n∑j=1j 6=i
qiqjRij
sumujemy podwójnie idzielimy przez dwa
W = 12
n∑i=1
qi
(n∑j=1j 6=i
14πε0
qjRij
)potencjał
W = 12
n∑i=1
qiV (ri)
2.4.3 Energia ciągłego rozkładu ładunków
W = 12
∫ρV dτ
ρ = ε0∇ ·E, z prawa Gaussa
W = ε02
∫(∇ ·E)V dτ
W = ε02
[−∫E · (∇V ) dτ +
∮VE · da
] całkujemyprzez części
= ε02
(∫VE2 dτ +
∮SVE · da
)
W = ε02
∫cała przestrzeń
E2 dτ
Energia pola
Przykład:Znaleźć energię jednorodnie naładowanej powierzchniowo powłokikulistej o promieniu R i całkowitym ładunku q.
W = 12
∫σV da, V = 1
4πε0q
R
W = 12
14πε0
q
R
∫σ da = 1
4πε012q2
R
2.5 Przewodniki
2.5.1 Podstawowe własności
• Wewnątrz przewodnika E = 0
• Wewnątrz przewodnika ρ = 0
• Nieskompensowany ładunek może występować jedynie napowierzchni przewodnika
• Potencjał w przewodniku jest stały
• W pobliżu powierzchni przewodnika pole E jest prostopadłe dopowierzchni
2.5.2 Ładunki indukowane
−−−−−−−
−−−−−
++++++
+++++
przewodnik+q
−−−−−− − − −−−−−
−−−
+
+
+
++ + + +
++
+
+
+
+
+++++
+
+
+
+
przewodnik
+qE 6= 0E= 0
powierzchniaGaussa
2.5.3 Ładunki powierzchniowe i siła działająca na przewodnik
12σ/ǫ0
12σ/ǫ0
Einne
σ
n̂
Enad −Epod = σ
ε0n̂
E = σ
ε0n̂, tuż przy powierzchni przewodnika (Epod = 0)
σ = −ε0∂V∂n
f = σE siła na jednostkę powierzchni
E =?, jakie pole? Enad,Epod, . . .
f = σEśrednie = 12(Enad +Epod)
E = Eelement +Einne
Enad = Einne + σ
2ε0n̂
Epod = Einne − σ
2ε0n̂
Einne = 12(Enad +Epod) = Eśrednie
Poprzednia argumentacja (E = Eśrednie) obowiązuje takżedla ładunków powierzchniowych w przewodniku
E = 0, wewnątrz przewodnika
E = σ
ε0n̂, na zewnątrz przewodnika
Eśrednie = 12
(σ
ε0n̂+ 0
)= σ
2ε0n̂
f = σσ
2ε0n̂ = 1
2ε0σ2n̂, siła na jednostkę powierzchni
P = ε02
(σ
ε0
)2= ε0
2 E2 ciśnienie elektrostatyczne
Przewodnik jest wciągany w pole elektryczne.