Elektromanyetik

-'-~'---O~'-..,

'S C H A U M ' souTZines'

.

2. baskidaneviri

Basariiin mkemmelbir yardimcidir

Btntemelkonulari ierir

Etkinproblem zme tekniginigretir

~351 zmlproblemierir

~Kendikendinealismaiin idealdir

NOBEL YAYiN DAGiTiM

- Blm1

- Blm2

- Blm3

- Blm 4

-of Blm 5

Blm 6

Blm 7

~ Blm 8

Blm 9

Blm 10

iiNDEKILER

VEKT REL ANALIz 11.1Giris, 1.2VektrNotasyonu,1.3VektrIslemleri,1.4KoordinatSistemleri,1.5Diferansiyel Hacim, Yzey ve Uzunluk Elemanlari

COULOMB KUVVETLERI VE ELEKTRIK ALAN SIDDETL 132.1CoulombYasasi,2.2ElektrikAlanSiddeti,2.3YkDagilimlari,2.4StandartYkDagilimlari

ELEKTRIK AKISI VE GA USS Y ASASI 323.1 Bir BlgedekiNet Yk, 3.2 Elektrik Akisi ve Aki Yogunlugu,3.3 GaussYasasi,3.4 Aki Yogunlugu ile Elektrik Alan Siddeti Arasindaki Iliski, 3.5 zel GaussYzeyleri

DIVERJANS VE DiVERJANS TEOREML 474.1 Diveijans,4.2 KartezyenKoordinatlardaDiverjans,4.3 D'nin Diverjansi,4.4DeltaOperatr,4.5DiverjansTeoremi

ELEKTROST ATIK ALAN: Is, ENERJI VE POTANSIYEL 595.1Bir NoktasalYknHareketEttirilmesiyleYapilanIs, 5.2ElektrostatikAlaninKorunumzelligi,5.3IkiNoktaArasindakiElektrikPotansiyeli,5.4NoktasalYknPotansiyeli,5.5Bir YkDagilimininPotansiyeli,5.6Gradyant,5.7E veV ArasindakiIliski,5.8StatikElektrikAlanlarindaEnerji

AKIM, AKIM YOGUNLUGU VE ILETKENLER 766.1 Giris, 6.2 HareketHalindekiYkler, 6.3 Tasinim(Konveksiyon)AkimiYogunluguJ, 6.4IletimAkimiYogunlugu(J), 6.5Iletkenlik(cr),6.6Akim(1),6.7Diren(R), 6.8Akim TabakasiYogunlugu(K), Akimin Srekliligi,6.10Iletken-DielektrikSinirKosullari

LO

KAP AsITE VE DIELEKTRIK MALZEMELER 957.1 Kutuplanma(P) ve Bagii Geirgenlik (tr), 7.2 Kapasite, 7.3 ok KatmaniiDielektrikli Kondansatrler,7.4 KondansatrlerdeBiriken Eneiji, 7.5 Sabit GerilimDurumundaD ve E, 7.6 SabitYk DurumundaD ve E, 7.7 Iki DielektriginAyirmaYzeyindeSinir Kosullari

LAPLACE DENKLEMI 114

8.1Giris, 8.2 PoissonDenklemive LaplaceDenklemi,8.3LaplaceDenklemininAikBiimleri, 8.4 Teklik Teoremi,8.5 OrtalamaDegerve MaksimumDegerTeoremleri,8.6 Tek DegiskenliKartezyenzm,8.7 Kartezyenarpimzm,8.8 Silindirikarpimzm,8.9Kreselarpimzm

AMPERE YASASi VE MANYETIK ALAN 1359.1 Giris, 9.2 Biot-SavartYasasi, 9.3 Ampere Yasasi, 9.4 Rotasyonel,9.5 J ve HArasindakiIliski, 9.6ManyetikAki YogunluguB, 9.7VektrManyetikPotansiyelA,9.8Stokesteoremi

MANYETiK ALANLARDA KUVVETLER VE TORKLAR 15410.1ParaciklarzerindeManyetikKuvvet,10.2BirlesikElektrikve ManyetikAlanlar,i0.3Bir Akim ElemanizerindekiManyetikKuvvet,i0.4Is veG,i 0.5Tork,10.6DzlemselBir SargininManyetikMomenti

Blm 11

Blm 12

Blm 13

Blm 14

Bll1l15

Blm 16

Blm 17

EkA

DIzIN

ENDKT ANS VE MANYETIK DEVRELER 16911.1Endktans,i 1.2 StandartIletkenDagilimlari,11.3FaradayYasasive zEndktans,i 1.4I Endktans,i 1.5OrtakEndktans,i 1.6ManyetikDevreler,LUB-H egrisi, 11.8 ManyetikDevrelerIin AmpereYasasi, 11.9HavaAralikliekirdekler,11.10okluSargilar,11.11ParalelManyetikDevreler

DEPLASMAN AKIMI VE ENDKLENEN EMK 19212.1DeplasmanAkimi,12.2JeAkimininJo AkiminaOrani,12.3FaradayYasasiveLenz Yasasi, 12.4ZamanaBagli OlmayanAlanlardaHareketliIletkenler,12.5ZamanaBagliAhinlardaHareketliIletkenler

MAXWELL DENKLEMLERI VE SINIR KOSULLARL 20513.1Giris,13.2ManyetikAlanlarIinSinirIliskileri,13.3SinirdakiAkimTaba~asi,13.4SinirKosullarininzeti,13.5MaxwellDenklemleri

ELEKTROMANYETIK DALGALAR 21614.1Giris,14.2DalgaDenklemleri,14.3KartezyenKoordinatSistemindezmler,14.4KismenIletkenOrtamlarIin zmler,14.5MkemmelDielektriklerIinzmler,14.6Iyi IletkenlerIinzmler;DeriKalinligi,14.7GelenDalganinDikOlmasiDurumundaArayzeyKosullari,14.8Egik GelenDalgave SnellYasalari,14.9DikeyKutuplanma,14.10ParalelKutuplanma,14.11DuranDalgalar,14.12GvePoyntingVektr

IL ETIM HATLARI 23715.1Giris, 15.2DagilmisParametreler,15.3ArtirnhModel:GerilimlerveAkimlar,15.4 SinzoidalSrekli Durum Uyartimi,15.1 SmithAbagi, 15.6 EmpedansUyumlama,15.7Tek SaplamaliUyumlama,15.8ift SaplamaliUyumlama,15.9Empedanslm,15.10KayipsizHatlardaGeiciOlaylar

DALGA KILA VUZLARI 27416.1Giris, 16.2Enine(Transverse)ve EksenelAlanlar,16.3TE veTM Modlari;DalgaEmpedansi,16.4EksenelAlanlarinBelirlenmesi,16.5ModKesimFrekanslari,16.6BaskinMod,16.7KayipsizBir DalgaKilavuzundaGIletimi,16.8KayipliBirDalgaKilavuzundaGKaybi

ANTEN LER .. ..... 29317.1Giris, 17.2Akim Kaynagive E ve H Alanlari,17.3Elektrik(Hertz)DipolAnteni,17.4AntenParametreleri,17.5KkDaireselHalkaAnten,17.6SonluUzunlukluDipol, 17.7MonopolAnten,17.8z ve OrtakEmpedanslar,17.9AliciAnten,17.10DogrusalDiziler,17.11Yansiticilar

"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" 315

316

Blm 1

VektrelAnaliz

1.1 GIRIs

Vektrler,matematikve fizik derslerinde,genelliklekartezyenkoordinatsistemindeincele-nir. Matematikkitaplarindasilindirik koordinatlarinda bulunabilmesinekarsin,kreselkoordinatsistemiylepekkarsilasilmaz.Elektromanyetikteher koordinatsisteminindekullanilmasigerek-lidir.Vektrlerve koordinatsistemleriiin kullanilannotasyonlarkitaptankitabadegistiginden,bukitaptakullanilannotasyonlarintanitilmasindayararvardir.

1.2 VEKTR NOTASYONU

Hemynhemdegenligibulunanbyklklerolanvektrleriyalnizcagenligibulunanb-yklklerolan skalarlardanayirdedebilmekiin, vektrlerkalin sembollerlegsterilmektedir.Mutlakdegeri(genligi,uzunlugu)i olanbirimvektrkkvekalina harfiilegsterilecektir.BirA vektrileayniyndekibirimvektr,A vektrnnkendigenligineblnmesiyleeldeedilir.

A AaA=- veya-lA i A

Herhangibir vektr,kartezyenkoordinatsistemIninx,y vez dogrultularindakian ayveazbi-rimvektrleriyardimiyla,bilesenlerintoplamibiimindegsterilebilir:

A =Axax+A"a" +Azaz

Bir vektrnmutlakdegeri,bilesenleritrndensyletanimlanir.

IAI =A =~Az + Az + Azx y z

1.3 VEKTR ISLEMLERI

1. Vektrlerbirbiriyletoplanabilir,veyabirbirindenikarilabilir.

A :!:B =(Axax+A"ay+Azaz):!:(B"ax+ B"a" +Bzaz)=(Ax :!:Bx)ax+(Ay:!:By)a\,+(Az:!:Bz)az

2. Birlesme,dagilmave degismezelliklerivektrislemlerineuygulanabilir.

A +(B +c) =(A +B) +Ck(A +B) =kA +kB (ki+kz)A=kiA +kzA

A+B=B+A

3. Iki vektrnnoktasalarpimisubiimdetanimlanir:

A .B =AB casBCA noktaB" olarakokunur)BuradaB,A ile B arasindakikkaidir.rnek i 'de

A .B =AxBx+AyBi' +AzBzoldugugsterilmektedir.Buradanda,LAI= ~ eldeedilir.

r2 VEKTREL ANALIZ 1.Blm

rnek1.Noktasalarpim,dagilmaveskalararpmayasalarinauyar:

A.(B+C)=A.B+A.C A.kB =k(A. B)

Bunagre,

A. B =(A..,a..,+Ayay+Azaz).(B..,a..+Byay +Bzaz)=A..,B..(a...ax)+AyBy(ay .ay)+AzBAaz .az)

+ A..,By(a..,.ay) + . . . +AzBAaz . ay)eldeedilir. Bununlabirlikte,e =o olduguzamannoktasalarpimdakicos e bireesitoldugundanax.ax=ay.ay=az. az= 1yazilabilir.te yandan,e =90' iin cos e sifira esittirve dolayisiylabirim vektrlerinbirbi-riyle noktasalarpimlarinmsonucusifirdir.Dolayisiyla:

A . B =AxBx+ AyBy + AzBz

4. Iki vektrn vektrel arpimi su biimde tanimlanir:

A X B =CA vektrelarpimB" biimindeokunur.)Burada(),A ileB arasindakiailardankkolani,anise,ayninoktadanbaslatilmalaridurumundaA veB vektrlerininolusturdugudzlemedikolanbirimvektrdr.Dzle-medik dogrultudaiki ynbulundugundan,dahaayrintilibilgiyegerekvardir.Seilenyn,A, B'yedogrudndrlrken,birsagvidaninilerlemeyndr(Sekil1-1).Buyngerekliligindendolayidegismekuralivektrelarpimadogrudandegil,asagidakigibiuygulanabilir.

AxB= -BXA

~

Sekil 1-1

Vektrelarpim,bilesenlertrndenyazilabilir:

A X B = (Ax3x+Ayay+Azaz)x(Bxax+ B"a"+ Bzaz)

=(AyBz- AzB)ax+(AzBx- AxBz)ay+(AxBy- A)Bx)azBuesitlik,birdeterminantyardimiyladaifadeedilebilir:

iriii..

ax ay az

A X B = IAx Ay Az

B, By B.

1.Blm VEKTREL ANALIz

RNEK 2.A =2ax+4ay- 3azveB =ax- ayoldugunagre,A.B veA X B islemleriniyapiniz.

A' B =(2)(1)+(4)(-1)+(-3)(0)=- 2

ax ay az

AXB=121

4 -31=-3ax-3a" -6az-1 O

1.4 KOORDINAT SISTEMLERI

Silindirikveyakreselsimetri.Yesahipbir problem,kartezyenkoordinatsistemindedeta-nimlanabilirvezlebilir.Ancak,zmsimetriyiyansitamazveoguZiiIDimdagereksizldekarmasikolur.Dolayisiyla,bukitapta,kartezyenkoordinatsisteminyanindasilindirikvekreselkoordinatsistemleridekullanilacaktir.Hersistemde,benzerliklerivefarkliliklarigstermeka-maciylabirlikteincelenecektir.

Sekil l-2'debirP noktasikartezyen,silindirikvekreselkoordinatsistemlerinde,sirasiyla,(x,y,z),(r,

"""'"

4 VEKTREL ANALIZ

z z

r =sabit

z =sabit

x

y

x

(a) Kartezyen (b) Silindirik

1.Blm

ze=sabii

yy

x

(c) Kresel

Sekil1-3

Bir vektrndegisikkoordinatsistemlerinde,bilesenleritrndengsterimiasagidakigibidir:

A =Axax+Ayay+Azaz

A =Arar +AfltP +Azaz

A =A,.ar+Aeae+AfltP

(kartezyen)

(silindirik)

(kresel)

Bu esitliklerdekiAn An Aqibilesenleri,genelliklesabitolmayip,szkonususistemdekikoordinatla-rin islevidirler.

z z

az az

x

y

aot>a"

y

/"x


Sekil 1-4

z

-y

(c) Kresel

1.5DIFERANSIYEL HACIM, YZEY VE UZUNLUK ELEMANLARi

Elektromanyetikproblemlerinzm,ogunluklabir egriboyunca,bir yzeyzerinde,ve-ya bir hacimierisindeintegrasyonugerektirdiginden,kullanilacakdiferansiyelelemanlarinaikatanimlanmasigereklidir.

P noktasininkoordinatlarinin(x +dx,y +dy,z +dz) veya(r +dr, CjJ+dcjJ,z +dz)veya(r +dr, e +de, CjJ+dcjJ)biimindegenisletilmesiylebir dvdiferansiyelhacmieldeedilir.Sonsuzkkbyklkleryardimiylaolusturulanbu hacimlerinyaklasikolarak,dikdrtgenselbir kutuoldugusylenebilir.Her bir sistemdedv'ninaldigidegerSekill-5'de gsterilmektedir.

...

1.Blm VEKTREL ANALIz5

i i i

y

r dep

\j '. \\ +1-,-." -j--7",..1../

"-y

x x x

du = d..'(dy dz du =rdrdI/J di du =r2 sin e dr de dI/J


Sekil1-5

(c) Kresel

DiferansiyelhacmisinirlayanyzeyelemanlarininalanlaridaSekil1-5'denhesaplanabilir.rneginkreselkoordinatlarda,ar'yedikolandiferansiyelyzeyelemaninindegerisyleyazilabi-lir:

dS =(rde)(rsin edtp)=rzsin ededtp

Diferansiyeluzunlukelemaniolandt,P'denbaslayanksegendir:

de2=dx2+ dy2+ dz2

de2=dr2 + r2 dcp2+ dz2

de2=dr2+ r2dEP+ r2sin2fJ dcp2

-,(kartezyen)

(silindirik)

(kresel)

zml Problemler

1.1 M(xi, yi, zi) noktasindanN(xz,Yi, zz)noktasinauzananvektrn(xz- xi)ax+(Yz- Yi)ay+(zz- zi)azbiimindeifadeedildiginigsteriniz

M(xl,Yi,zl)

N(X2'Y2, i2)

Y

x

Sekil1-6

Sekil1-6'dakiA veB vektrlerinitanimlamakiinM veN'ninkoordinatlarikullanilir.

A=xiax+Yiay+ZiazB =xzax+yzay+zzaz

BuradandaB - A =(xz- xi)ax+6'z- Yi)ay+(zi- Zi)azeldeedilir.

l6 VEKTREL ANALIZ i. Blm

1.2 Kartezyenkoordinatlarda(2, - 4, 1)noktasindan(O,-2, O)noktasinauzananA vektrnveA dogrusundakibirimvektrbulunuz.

A ==(O- 2)a..+[-2 - (-4)]ay+(O-l)az ==-2a..+2ay- az

IAi2==(- 2)2+(2? +(-1)2 ==9

A 2 2 1

aA ==iAi ==- 3"a..+ 3"ay- 3"az

1.3 Silindirik koordinatlarda(5, 31r/2,O)ve(5,n12,10)arasindakiuzakligibulunuz.

nceA veB iletanimlanankartezyenkonumvektrlerinibulalim:(Sekil1-7)

A==-Say B ==Say+ lOaz

z(S,n/2.10)

y

Sekil1-7

Buradan B - A =lOa)'+ lOaz elde edilir ve noktalar arasindaki uzaklik iB -AI = 1O.{i olarakbulunur.

1.4

Noktalarinsilindirikkoordinatlari,kartezyenkoordinatlardaoldugugibi, iki noktaarasindabirvektrolusturmakiinkullanilamaz. - - -_. . r~~-- -~. ~A =4ax- 2ay- azveB =ax+4ay-4azvektrl~rininbirbirlerinedikoldugunugsteriniz.

Noktasalarpimcos B'yi ierdigindensifirdanfarkli iki vektrnnoktasalarpimininsifir olmasi,B=90oldugunugsterir

1.5

A. B=(4)(1)+(-2)(4) +(-1)(-4) =OA =2ax+4ayveB =6a)'- 4azoldugunagre,(a)vektrelarpim,(b)noktasalarpimyo-luyla,bu iki vektrarasindakikkaiyibulunuz.

(a)a.. ay az

A X B ==i 2 4 O i==-16a..+Bay+ 12azO 6 -4

iAi ==V(2Y +(4)2+(oY ==4.47

iBi ==V(0)2+ (6Y + (-4)2 ==7.21

LAX Bi ==V( -16)2+(8)2+(12)2==21.54

Buradanda lA x BI =lAIIBI sineoldugundan,sine=( 2l;4 )==0.668veB=41.9bulunur.4.477.21

......

I. Blm VEKTOREL ANALIZ 7

(b)

/'

1.6

A. B=(2)(0)+(4)(6)+(0)(-4)=24A.B 24

cos 8= -= ( X ) --0.745veya9=41.9J IAIIBI 4.477.21F =(y- 1)ax+2xayoldugunagre,(2, 2, 1)noktasindakivektr,ve B =5ax- ai,+ 2azol-makzere,bu vektrnB zerineizdsmnbulunuz.

F(2,2,1)=(2-1)ix +(2)(2)ay

=ax +4ay

Sekil 1-8'degsterildigigibi, bir vektrnbaskabir vektrzerindekiizdsm,ikincivektrdogrultusundakibirimvektrle,birincivektrnnoktasalarpimindanedeedilir.

A'ninB zerineizdsm=A. aB=i~i

~ ii8 i--_L I!aB' y---1

A'ninB'yeizdsm-

Sekili-sBunagre(2,2,1)noktasindakiizdsmsylebulunur:

F' . B' . d F.B (IXs)+(4X-i)+(OX2) 1nin ye iz usumu = -iB-i = .J3o - .J3o

A =ax+a,\'>B =ax+2az'veC =2ay+azolarakverilmektedir.(A x B) x C veA x B x C)islemlerininsonularinikarsilastiriniz.

1.7

ax ar azAxB= 1

OO 1=2ax-2ay -az2

ax ay-2

2

az

-I 1=-2ay+4az1

(AxB)x C =i2O

LS

Benzerislemlerle,A x (B x C) =2ax- 2a)'+3azeldeedilir. Dolayisiyla,lvektretarpimsirasin-dahangiisleminnceyapilacaginiparantezkullanarakbelirtmekzorunludur.

Problem1.TdekiA, B veC vektrlerinikullanarakA .B x C veA x B .C islemleriniyapi-niz.

ProblemI.Tden:B x C =-4a..- ay+2az'Dolayisiyla;A. B x C=(1)(-4) +(1)(-1) +(0)(2)=- 5

YineProblemLTden:A xB =2ax- 2a)'- az.Dolayisiyla;A x B. C =(2)(0)+(-2)(2) +(-1)(1) =- 5

Grldggibi, lskalararpimislemindeparantezkullanmayagerekyoktur.Genelolarak,lskalararpimiinasagidakiesitlikyazilabilir:

Ax Ay Az

A.BxC= Bx By Bz

Cx Cy Cz

8 VEKTREL ANALIZ 1.Blm

Vektrlerinaynidaireselsiradaolmasidurumunda,sonuaynidir.Bu daireselsiralamanindisindakilskalararpiminsonucutersisaretliolur.

t1.9 Silindirikkoordinatlarda,zeksenizerindez=h noktasindan(r, L/J,O)noktasinadogruy-

J nelenbirimvektreldeediniz.(Sekil1-9.)

z

h

y

x

Sekil 1-9

R vektr,iki vektrnfarkidir.

R =rar-haz

R rar -haz

aR=LRf .Jr2+h2

i/>aisi,bu esitlikteaik olarakyeralmamaklabirlikte,hemR hemdeaR,arnedeniyle,I/>'yebagimli-dirlar.

1.10 z=-5 dzlemindekiherhangibir noktadanorijineynelmisbirimvektrnifadesinieldee-diniz. (Sekil] -] O)

z

X'7

/ (x,y,-5

y

Sekil1-10

Problemkartezyenkoordinatlardaifadeedildiginden,Problem1.1'dekiikinoktaformlkullanilabilir.

R =- xax-yay+5a,-xax - ya" +5az

aR= '

~X2+ y2+25

1.11 Sekil ]-1] 'deki a yariaplikreselkabuktakia ~ e~f3seridininalaninikreselkoordinatsistemiyardimiylabulunuz.

i. Blm VEKTREL ANALIZ 9

z

Sekil 1-11

Dolayisiyla: A=fJ1tfgaz sIn8d8dit>

= 2iraz (casa - cas ~)

1.12

a =Ovef3=1tiin A =41ta2eldeedilir.Bu, tmkreninyzeyalanidir.

Diferansiyelhacimdenyararlanarak,a yariaplibir kreninhacimifadesinieldeediniz.

Sekil 1-5(c)'den:dv=r2sinedrdedlfJ.Dolayisiyla,

i21 Yi>ZL)noktasina ynelmis birim vektrn ifade-sini elde ediniz.

(xi -x)x +(Yi+5)\ +(zi -z),Yanit:a= .'~(Xl-x)2 +(Yi+5)2+(zi-z?

1.24 z=- 2dzlemizerindekiherhangibirnoktadan(O,O,h)noktasinaynelmisbirimvektrnifadesinieldeediniz.

-xa (Yanit: a = x- yay+ h+2) ,

~X2+y2+(h+2)2..

1.25 A =5axveB =4ax+Byayolarakverildiginegre,A ile B arasindakiainin45 olmasinisaglayacakBydegerinibulunuz.EgerB,Bzazteriminideieriyorsa,ByileBi arasindahangiiliskibulunmalidir?

Yanit:By=:t4, ~B~+B; =4

A .B x C arpimininmutlakdegerinin,kenarlariA, B veC olandikdrtgenlerprizmasininhacmineesitoldugugsteriniz.(Ipucu:nce,tabaninalanininiB x ci oldugunugsteriniz.)

1.26

1.27 A =2a,- az, B =3ax+ayveC =- 2ax+6ay- 4aiolarakverildiginegre,C'ninhemA hemdeBvektrlerinedikoldugunugsteriniz.

A =ax- ay,B =2a,veC =- ax+3ayolarakverildiginegreA-BxC lskalararpimininsonucunubulunuz.Vektrlerinsiralarinidegistirerekayniisleminsonularinibulunuz. Yanit:-4, :t4

1.28

1.29 ProblemL28'deki vektrlerikullanarak(AxB)xC isleminiyapiniz. Yanzt:-8az

1.30 (2, -5, -2)'den (14,-5, 3)'eynelmisbirimvektrbulunuz.12 5

Yanit:a =-ax +-az13 131.31 Kreselkoordinatsistemindeverilen(lO, 3n/4,n/6) noktasindan(5,n/4,n) noktasinaynelenvektr

bulunuz. Yanzt:-9.66a,-3.54a,+ 10.6Ia,

Silindirik koordinatsistemindeverilen(2,n/6,O)noktasiyla(l, n, 2) noktasiarasindakiuzakligibulu-nuz. Yanit:3.53

1.32

1.33 Kreselkoordinatlardaverilen(l, n/4,O)noktasiyla(l, 3n/4,n) noktasiarasindakiuzakligibulunuz.

Yanit:2.0

1.34 a yariaplikreselkabugunzerindekiOs i/Js a blgesininalar.mi,kre,e!koordinatlardaintegralalarakbulunuz.a =2n iin sonucueldeediniz. Vanit:2aa2,A =4mz2a yariaplih yksekligindekisagdaireselsilindirinyanalyzeyininalanini,silindirikkoordinatlaryardimiylabulunuz. Yanit:27Wh

1.35

12 VEKTREL ANALIZ 1.Blm

1.36 Problem1.35'dekitamdaireselsilindirinhacmini,silindirikkoordinatlardaintegralalarakbulunuz.

Yamt:Tra?h

1.37 Sekil1-14'de i ve2 ilenumaralandirilanyzeylerinalanini,kreselkoordinatlardayazacaginizdife-ransiyelyzeyalanlariyardimiyla,integralalarakbulunuz. Yamt:w4,w6

z

xy

dSi

Sekil 1-14

1.38 Kreselkoordinatlarikullanarak,iyariapi2.00mvedisyariapi2.02molanyarikreselkabugunhacminibulunuz. Yanrt:0.162irm3

1.39 Kreselkoordinatlardaifadeedilendiferansiyelhacminintegralinialarak,I::;r::;2m,O::;e::;w2veO

::;L/>::;w2 iletanimlananhacmieldeediniz. Yamt:71tm36

Blm 2

CoulombKuwetlerive Elektrik Alan Siddeti

2.1 COULOMB YASASi

Iki yk arasinda,yknbyklgyledogruorantili,ve yklerarasindakiuzakliginkaresiile tersorantilibir kuvvetvardir.Bu, yklparaciklarlayapilandeneylerdeneldeedilenCoulombyasasidir.Coulombyasasi,vektryapisindada ifadeedilebilir.

F= QiQz a4J((:dz

Bu kitaptakullanilmaktaolan SI biril1lsisteminde,kuvvetinbirimi newton(N), uzakliginbirimImetre(m) ve ykn(tretilmIs)birimi dekulondur(coulomb,C). OrtamingeirgenliginigsterenE, C2/N.m2ya da Flm (metrebasinaFarad)biriminesahiptirve serbestuzayda,veyabosluktakidegeri,

10-9(:= Eo=8.854X 10"'12F/m = - F/m36JT

biimindetanimlanir.Bosluktanfarkli ortamlariin ri'=E OEr esitligi kullanilabilir. Burada E" ba-gii geirgenlikveyadielektriksabitiadini alir. Aksi belirtilmedigisrece,btnproblemlerdeor-taminserbestuzayoldugukabuledilecekveEoiinyaklasikdegerkullanilacaktir.

Benzerisaretlinoktasalyklerarasindaitici bir kuvvet,tersisaretliyklerarasindaIseekicibir kuvvetvardir.Bu bilgiyi degsterebilmesiiin Coulombyasasisubiimdeyazilabilir.

F - QiQz . - QiQz Ri - Z azi - } 214JTEoRz1 4JTCR21 \

Bu esitlikteF i, Q2yknedeniyleQi ykzerineetkiyenkuvvet,a2lQ2'denQi'e ynelenbirimvektr, ve R21=R21a21de, Q2'denQi'e dogruolanyerdegistirme(deplasman)vektrngster-mektedir.

rnek 1. 20!LCdegerindekiQi ykne,-300!lCdegerindekiQ2 yk nedeniyleetkiyenkuvvetibulunuz,Qi, (O, 1,2) m noktasinda, Q2(2, O,O)mnoktasinda bulunmaktadir.

IC ok bykbir yk oldugundan,yk degerlerigenelliklemikrokulon(!lC), nanokulon(nC), ve-yapikokulon(PC) olarakverilirler.Sekil2-1'denR2]vea21degerlerinibulalim:

R21 =- 2a,+8,+28= 1("= =3

z

Fi

y

Q2..--(2, O, O)

x

Sekil 2-1

13

14 COULOMB KUVVETLERI VE ELEKTRIK ALAN SIDDETI 2. Blm

1a21='3(- 2ax+ ay+ 2az)

Buradan, - (20x 10-6)(- 300x 10-6)(- 2a..+ay+2az)F1- 4.ii-(1O-9/36.ii-)(3)2 3=6cax - i - 2az)N

eldeedilir.Kuvvetingenligi6N olup,ynQi'i Q2'yeekecekbiimdedir(zityklerbirbirinieker).

Bu kuvvet iliskisi, yklerin herbiri iin ayni oldugundan,herhangibir Qi ykneQ2,Q3, , Qii degerli(n - 1) yktendolayi etkiyenkuvvet,toplarnsailikkuraliyardimiyla,tek tekkuvvetlerinvektrtoplamialinarakbulunabilir.

QQ QQ Q n QF 1= 1 2 a21 + 1 3 a31 +. . . =-L i ---4-a

47rE R2 47rE R2 47rEOk=2R2 kIO 21 O 31 kI

Ykn belli bir blgedesreklibir dagiiimasahipolmasi-durumundadatoplamsallikkurali isler:Bu durumda,vektrtoplami,vektrintegralledegistirilir(Blm2.3'ebakiniz).

Tek bir Q yknnevresindekivektralani,kreselsimetriyesahiptir.Bu, bir Q yknnkreselkoordinatsistemininorijinineyerlestirilmesive Q Ile, kkbir denemeykolanQi(QiQ) arasindakikonumvektrR'nin, ra/ye esitoldugunungzlenmesiylekanitlanabilir.Budurumda,

F1= Q,Q47rE r2ar()

olur vebudar =sabitkreselyzeyindeIF11'ninsabit,F,'nin radyaldogrultuluoldugunugsterir.

2.2 ELEKTRIK ALAN SIDDETIYukardaszedilenQi denemeyknn,Qnoktasalyknnalanininemlildebozma-

yacakkadarkkoldugunuvarsayin.BudurumdaQyknnolusturduguelektrikalansiddeti,E,Qi zerindekibir birimyk basinadsenkuvVetolaraktanimlanir:E =F/Qi.

Q kreselkoordinatsistemininmerkezindeoldugundan[Sekil2-2(a)],herhangibirP nokta-sindakielektrikalanininsiddeti,Blm2.1'densubiimdebulunabilir:

QE=-a4Ji"Eor2 r

LEP(r,O,

2. Blm COULOMB KUVVETLERI VE ELEKTRIK ALAN SIDDETI 15

Herhangibir kartezyenkoordinatsisteminde[Sekil2-2 (b)]

QE= aR

41CEo R2

yazilabilir.E'nin birimi kulonbasinanewton(N/C) yadametrebasinavolt (V/m) olarakverilir.

RNEK 2.KartezyenkoordinatsistemininorijinindekiQ=0.5 jlC noktasalyknn(O,3,4)mnoktasin-daolusturduguE degerinibulunuz.

R= 3ay+4a. R =5 aR=O.6ay+O.Ba.0.5x 10-6

E =4.ir(io-9/36.ir)(5)2(O.6ay+O.Ba.)

BudurumdaE'ningenligiIEI=180V/molup,ynaR=0.6a)'+0.8azbiimindedir.

2.3 YK DAGiLiMLARi

HacimselYk

Yklerinbellibir hacmedagilmisolmasidurumundaherbir yk,disnoktalardakielektrikalaninakatkidabulunur.Bu durumda,toplamelektrikalaninibulmakiin bir toplamaya daintegrasyonislemiyapmakgerekir.En kkelektrikykbireIektronya daprotonolmaklabir-likte,ykdagilimininsrekli(vetrevialinabilir)oldugunukabuletmekteveasagidakigibibirykyogunlugutanimIamaktayararvardir:

dQ 3P =- (C/m)dv

Esitliktekidegiskenlerinuygunbiimdekullanilmasidurumunda(Q iinC, v iinm3)p, C/m3bi-rimliolacakttr.Kitaptadabubirimkullanilacaktir.

Sekil2-3'degsterilenv hacmininierisindekiherbir dQ diferansiyelyk,bir P gzlemnoktasinda,dE diferansiyelelektrikalaniyaratir.

dE= dQ4:rEoR2aR

Sekil 2-3

Blgedekitmykn,hacminiindekiyk olduguvarsayilirsa,P noktasindakitoplamelektrikala-ni, btnhacimiin integralalinarakbulunur:

E =i paR dvv4n Eo R2

16COULOMB KUVVETLERI VE ELEKTRIK ALAN SIDDETI 2. Blm

Tabaka Yk

Ykler, bir yzeyya databakazerinededagilmisolabilir. Bu durumdatabakazerindekiherbirdQ diferansiyelyk,P noktasindadE diferansiyelelektrikalaniyaratir(Sekil 2-4).

dQdE = aR

4TCEoR2

Egeryzeyselyk yogunluguPs(C/m2)iseve blgedebaskabir yk yoksa,P noktasindakitoplamelektrikalanisubiimdeolur:

E =r psaR dSJs 4:rr:EoR2

P /dE.

sSekil2-4

izgiselYk

YklerinkivrimlibirizgizerindedagilmisolmasidurumundaizgininzerindekiherbirdiferansiyeldQyk,P noktasindabirdE diferansiyelelektrikalaniyaratir(Sekil2-5).

dQdE= ? aR

41tEo R-

EgerizgiselykyogunluguPe(C/m) iseve blgedebaskabir ykyoksa,P noktasindakitoplamelektrikalanisylebulunur:

E= ( PeaRdtJL 4:rr:EoR2

::;~

~L

Sekil 2-5

Yukardaverilenheryk dagilimindave budagilimlariin geerliolanE integrallerinde,aRbirimvektrnn,dQ yknnkoordinatlarinabagliolarakdegiskenoldugunubelirtmekgerek-lidir.Dolayisiyla,aRintegrallerdenikartilamaz.

'--

2.Blm"

COULOMB KUVVETLERI VE ELEKTRIK ALAN SIDDETI 17

2.4 STANDART YK DAGiLiMLARi

Blm2.3'deincelenenzeldurumdakiintegrasyonyagereksizyadakolaycaalinabilentrdendir.Bu standartdagilimlarda(vebublmdeincelenecekdigerdagilimlarda)yknbir ilet-kenzerindeolmadiginibelirtmekgereklidir.rnegin,birproblemdeyknbirdiskbiimindeol-dugubelirtilirse,bu,ykndiskbiimlibir iletkeninzerindeolduguanlaminagelmez.(Blm6'dayzeyindeykbulunaniletkenlerdeincelenecektir).Buyklerinbirbiimdeuzaydaasilibu-lundugunu,belirlibirdagilimasahipoldugunugzmzdecanlandirmayaalismaliyiz.

NoktasalYk

Dahancebelirtildigigibi,tekbirQyknnalani,kreselkoordinatlarda

E = Q 2 ar (kresel koordinatlar)41tEOr

biimindedir[Sekil 2-2(a)].Bu, ayniyer ekimiyasasigibiterskareselbir yasayauyan,kreselo-laraksimetrikbir alandir.

Sonsuzizgisel Yk

Yklerin,sabitbir Pt (Cim) yogunluguylasonsuzuzundzbir izgi zerinedagildiginids-

nelim.Budogrununzekseniolarakseilmesidurumunda,alanasagidakigibitanimlanir(Sekil2-6):

E =2Pt ar (silindirikkoordinatlar)J1:Eor

Alan, silindirik bir simetriyesahipolup, izgiselyktenolan uzakliklatersorantilidir.E'nin eldeedilisiProblem2.9'dagrlebilir..

r+=j;

i~

!E

~'-"""""" y

x

-00

Sekil2-6

RNEK 3 z eksenizerindeuzanansonsuzuzunluktakibir izgininzerindekiykyogunluguhernok-tadaPe=20nC/mdegerindedir.(6,8,3)mnoktasindakiE degerinibulunuz.......

Silindirikkoordinatlardar=.J62+82=Lom'dir.Alanz'denbagimsizdir.

E = 20X10-921t(1o-9/361tXIO)ar =36a,.V/m

18 COULOMB KUVVETLERI VE ELEKTRIK ALAN SIDDETI 2. Blm

SonsuzDzlemselYk

Ykler, sosuzbir dzlemzerindePS(C/m2)yogunluguyladzgnolarakdagilmissa,alansubiimdetanimlanir(Sekil 2-7):

E Pi'= ---'-- an2EQ

Bu alan sabitgenlikli olup, dzlemyk evresindeaynasimetriyesahiptir.Bu ifade,Problem2.12'deeldeedilmektedir.

tEi

/' an00 i

~E

Sekil2-7

RNEK 4.Yk,z=LO cmdzlemizerindePs=(l/3n)nC/m2yogunluguyladzgnolarakda-gilmistir.E'yi bulunuz.

IEI =~= (1I31t)1o-9-6V/m.lEQ 2(1o-9/361t) .,

Tabakaninstyani iin(z >10),E =6az!V/m,vez < LOcmiin E =-6az V/m olmaktadir.

h,2.1zmlProblemler

Q] =50 f.1Cve Q2 =LOf.1Cnoktasalykleri, sirasiyla,(-I, 1,-3)m (3, I, O)mnoktalarinayerlestirilmistir(Sekil 2-8).Qi' eetkiyenkuvvetibulunuz.

R21 ==-4ax- 3a.-4a - 3a

a21= x .5

QiQ2F1=4 R2 a21:n:Eo21

=(50x 10-6)(10-5)(-4ax- 3a.)4:n:(1O-9/36:n:)(5)2 5. =(0.18)(-Q.8ax- 0.6a.)N

", ), (

z

x

Qi (-1,1, -3)

Sekil 2-8

2.Blm COULOMB KUVVETLERI VE ELEKTRIK ALAN SIDDETI 19

Kuvvet,0.18N degerindeolup- 0.8 ax- O.6azbirimvektrilebelirtilenyndedir.Kuvvet,bilesen-leri trndensubiimdeyazilabilir:

T)"2

F1=O.144ax-O.1O8azN

20.uCdegerlidrtesitykn,Sekil2-9'dakigibix vey eksenlerizerinde:t4mnoktalarinakonulmasidurumunda,(O,O,3)mnoktasindaki100.uCdegerliykeetkiyenkuvvetibulunuz.

y

Sekil2-9

y ~4'dekiyktenkaynaklanankuvvetigznnealalim:

Bu kuvvetiny bileseni,y =-4'dekiyktarafindanyokedilir.Benzerolarak,digeriki yknolustur-dugukuvvetlerindex bilesenleribirbirinigtrr.Dolayisiyla:

F =4(~~)(Laz )=l.73azN-~t 2.3 SekiI2.10'daki (1, -1, -3)m noktasinakonulmusQi=300 pCnoktasal ykne,(3,-3,-2)m

noktasindakiQ2yknedeniyle

F1 =8ax- 8ay+4azN

kuvvetietkimektedir.Q2degerinibulunuz.

z

x

Sekil 2-10

R21=- 2ax+2ay- az

~ =-8 =~ oldugundan,kuvvetR21ynndedir(Problem1.21'ebakiniz)vedegeriasagidakigibidir.-2 2 -1

20 COULOMB KUVVETLERi VE ELEKTRIK ALAN SIDDETI 2. Blm

QiQ2Fi=4

-RiaR:n:Eo

(300x 1O-6)Q2(- 2ax+2ay- az)8ax- 8ay+4az=4:n:(1O-9/36:n:)(3l 3

2.4

BuradanQ2=- 40 !..ICbulunur.r ~5 m,Z=Om daireseldiski zerinedzgnolarakdagilmis500njlC degerindekiykten

dolayi,(O,O,5)m noktasindaki50jlC noktasalykneetkiyenkuvvetibulunuz(Sekil2-11).z

(O,O,5) (j

y

x

Sekil- 2-11

nceyk yogunlugunubulalim:

.= Q =5001tXio-6 -0.2xio-4C/m2p, A 1t(5)2

Silindirikkoordinatlarda

R =- ra,.+5azyazilabilir.Bunagre,herbirdiferansiyelykasagidakigibibirdiferansiyelkuvvetenedenolur:

di


2.6 (Xi> Yi, zi) noktasindakiQ ykndendolayi P'de olusanelektrikalanininifadesiniyaziniz.Yknorijinekonulmasidurumuiintekrarlayiniz.

\ Sekil2-12'denR =(x - xi)ax+(y - Yi)ay+(z- Zi)azyazilabilirz

P(x,y,Z)

y

x

Sekil- 1-2Buradan

QE =4-

R2 aR1I:0

- Q (x- xi)ax+(y- Yi)ay+(z- zi)a.- 411:0[(x - xiY + (y - Yi)2 +(z- zl)2]312

,\

eldeedilir.

Ykn orijindeolmasidurumunda

Q xax+ya"+za.E-- -'-1_7rEo (X2+y2+Z2}'2

I. . 1)

yazilabiir. Ancak,buesitik alaninsimetrisinigsterememektedir.Kreselkoordinatlarda,Q yk-nnorijindeolmasidurumundaeldeedilen

E= Q41tEorzar

2.7esitligindesimetriaikagrlmektedir.

Kartezyenkoordinatlarda(- 4, 3, 2) m noktasinayerlestirilen64.4nC degerindekinoktasalyknorijindeolusturduguE degerinibulunuz.

Kreselkoordinatlarda,birQnotasalykndendolayiorijindekielektrikalansiddeti

E= Q a41tEorz r

2.8

biimindeifadeedilir. Buproblemdeuzaklik..fi9molup,yktenorijinedogruolanvektrR =43,- 3ay-2a/dir. BunagreE, subiimdehesaplanir:

644xlO-9

[

4a.-3a ,.-2a,

](

{

4ax -3a ,_-2a,

]Ei =' .. - . = 20.0 - - V/m

41t~0-9/361t129)..fi9 ..fi9

(O,4, O)m konumundakiQi =0,35/LCve(3,O,O)mkonumundakiQz=- 0.55/LCykn-dendolayi(O,O,5)m'deolusanE alaninihesaplayiniz(Sekil 2-13).

Ri =- 4ay+5aiRz=- 3ax+5a,

0.35xio-6

[

-4a\, +5az

]Ei =41t(1o-9/361t141) J4i=-48.03.1'+60.0az V/m

22 COULOMB KUVVETLERI VE ELEKTRIK ALAN SIDDETI 2.Blm

yx

Sekil- 2-13

E,- -0.55 x W" _(':-38. +58,)- - 4.ir(lO"f36.ir)(.'\4).v34=74.9a,- 124.'lazV/m

E=E,+E2=74.'Ja. -4KOa,-64.9a,V/m,

2.9 Sonsuzuzunlu~\.tadzbir izgi zerindekiykdagilimidzgnolup,ykyogunluguPeola-rakverilmektedir.Herhangibir P noktasmdakiE ifadesinieldeediniz.

Silindirikk00rdinatlarikullanalimveyk,~eksenininzerindeolsun(Sekil2-14).P noktasindakidiferansiyelalansiddetisyletanimlanir:

dQ (rar- zaz)dE=4.iroR2 Yr2 +Z2

toa

t-OO

Sekil-14

zzerindekiherdQ iin- z'debaskabirdQykoldugundan,zbilesenleribirbirinigtrr.Bunagre:

E= [ pi:rdz a-~ 4.iro(r2+ Z2)3/2rpi:r [

Z

]~ Pi:=4.iro r2Yr2 +Z2 -~ar =2.irorar2.10 X=2mvey =- 4mnoktalariylatanimlanandogruzerindeyogunluguPe=20nC/molan

dzgnbir yk dagilimivardir.(-2, -1,4) m noktasindakielektrikalaninihesaplayiniz.

Kartezyenkoordinatlariinbaziuyarlamalaryaparak,Problem2.9'daeldeedilenesitlikbusorui-indekullanilabilir.BuradakidogruB/yeparaleloldugundan,alaninzbileseniyoktur.Sekil2-l5'den


R =-4ar+3ay

E- 20x 10-9(-4ax+3ay)=-57.6ar+43.2ayV/m- 2JrEo(5) 5yazilabilir.

z

y

Sekil 2-15

2.ly' Sekil2-l6'da,x =Odzleminde,y=::t4m'de,Pi=4 nC/myogunlugundaiki dzgnizgi-_/ selykdagilimigrlmektedir.(4,O,10)mnoktasindaE'yi bulunuz

Sekil2-16

Heriki izgiselykaz'yeparalelolup,alanlariradyaldirvexydzlemineparaleldir.Heriki izgi-selykiinde,alaninP noktasindakigenligi

E= P{ 182n E r =r,...V/m

() "\J2

olur.Toplamsallikilkesiyardimiyla,izgiselyklerinolusturdugutoplamalanbulunabilir:

E ={~cos 45}x =18ax VIm2.12 Sonsuzbir dzlemdepsyogunluguyladzgnolarakdagilmisyknolusturduguelektrika-

laninifadesinieldeediniz.

Yk,siJindirikkoordinatsisteminde,z=Odzlemineyerlestirelim(Sekil2-17).

y

f;:)Pt

/ x' /E01" P,,",

/ptr (O,-4, z)


p.r dr dcj> (- ra,+zaz)dE= 2 2 .~4Ji'Eo(r+z) vr2~

z

dE \/P(O.O.')

y

Sekil 2-17

zekseninegrevarolansimetridendolayiradyalbilesenlerbirbiriniiptaleder.

_1

21 3 m iin:

E=A2Eoan

=30ayV/my


2.14 Dzgnyk dagilimli iki levhazerindekiykyogul)luguPsolup, levhalarx =:t l' e konul-mustur.(Sekil 2-19).Btnblgelerdekielektrikalanlarihesaplayiniz.

E2~~

Ei

x

E2

1 2

Sekil 2-19

Sekil 2-19'da,yk levhalarininyalnizcabirerparasigrlmektedir.Her iki tabaninda yarattigialanlarx dogrultusundaolup,uzakliktanbagimsizdir.

{

-(p./Eo)axEi +E2 = O

(P./ Eo)a..

x


[~

olup,P noktasindakialansubiimdehesaplanir:Ee=8ay- 6a. V/m

Toplamelektrikalani,buikialantoplanarakbulunur:E =Ee +Es=/:lay- 12a.V/m.

2.17 Asagidakidzgndagilimin(2,O,2)m'deolusturduguE'yi bulunuz:x =O m'dekiP.d=(1I31t)nC/m2yogunluklutabakayk,x =4 m'dekiP.,2= (-1I31t)nC/m2yogunluklutabakayk,vex=6m,y=OmiletanimlanandogruzerindekiPe=-2 nC/myo-gunlukluizgiselyk.

Bu yk dagilimidaazile paraleloldugundan,alaninz bilesenIyoktur.(2, O,2) noktasi,herhan-gi bir (2, O,z) noktasiile aynialandegerinesahipolacaktir.Sekil 2.21'de P, Iki tabakayknarasin-da, isaretfarkliligindandolayialanlarintoplandigibir noktadir.

E PsI + Ps2 + Pe=-a -a -a2Eo" 2Eo" 211:Eo'r

=6a,+6a,+9a,

d.;

~

tl

=21a,V/m

Pi\ P,2

~i-- -'-I~

J:i1i].iiiiii.i

OIP(2,O,z)

,E,;----Jfpe' X.

x=O x=4

ii1ilill'

Sekil 2-21

2.18 Sekil 2-22'de,zekseni zerindez =:t 5 m araliginda,Pe=20nC/m yogunlugundadzgndagilimli bir yk grlmektedir.Kartezyenkoordinatlarda(2, O,O)m noktasindakiE'yi bu-lunuz.Yanitinizi, ayricasilindirikkoordinatlardadaifadeediniz.

i'

20X 10-9dz(2a,- Z8z) (V / m)dE =411:(1O-9/36.n')(4+ Z2) V4 + Z2

~~~'JJJ'J

rs

;::

ii dQ=Pt dz

(2,O,O~x--Z ~ y

-5

J,

:

Sekil 2-22

z =O dzleminegreolansimetridendolayi,sonuherhangibir z bileseniiermez.

fS 2dz

E= 180- ( 7 )3/2 ax =167ax V/m

s 4+z-

Sonu,silindirikkoordinatlardaE =167arV/m biimindeifadeedilir.

~


2.19 Sekil2-23'de,z ekseniboyuncaz =5mile00araligindavez =- 5mile - 00araliginda,20nC/myogunlukludzgnbirykdagilimigrlmektedir.(2,O,O)mnoktasindakiE'yibulunuz.

20x LO-"dz(2ax- zaz)dE=4Jt(10-"/36Jt)(4+z2) Y4+z2 (V/m)

too

dQ =Pt dz

yx

-s

Pt

,-00

Sekil 2-23

Bu durumdadazbilesenigrlmez

[L~ 2dz i-s 2dz ]E = 180 s (4 + Z2)312+ -~ (4 + Z2)312ax

=13a,V/m

Silindirikkoordinatlarda,E =13arV/m olur.Problem 2.18 ve 2.19'un yk dagilimlari bir araya getirildiginde, d"zgnbir izgisel yk dagilimi

eldeedilir. - . - - .Pt

E=-2 a,=180a,V/mJtE"r

2.20 Dzgnyk dagiliminasahipr ~a,z =Odiskininsilindirikkoordinatlardaki(O,L/J,h) nokta-sindaolusturduguelektrikalansiddetinibulunuz.

z

dE\. (O, ,h)

y

x

Sekil 2-24

Sabityk yogunlugunundegeriPi"ise,

dE - p,r drdlfJ[

- ra,.+haz

]-4JrE() (rz+hz) .Jrz+h2

r28 COULOMB KUVVETLERI VE ELEKTRIK ALAN SIDDETI 2.Blm

eldeedilir.Radyalbilesenlerbirbirinigtrr.Dolayisiyla,Psh

12"

LU rdrdel>

E = - 2 2 3/2 az4.1rEo (i ,,(r +h )-

Psh(' -1 1

)= 2E" ya2 +h2 +h azeldeedilir.Grldggibi,a ~ 00iin, E'nin degeri(p/2E o)B/ye yaklasir.Bu, dzgndagilimlita-bakayknolusturdugualandegeridir.

2.21 r S Q,Z=Odaireseldiski zerindekiPs=posin2 - Poh( -1 !)E-- 2 2312 az - .~+ a.4.1rE{)" () (r +h )- 4E'{)va2+h2 h

2.22 r S 4 m, Z = O daireseldiski zerindekiPs=(10-4Ir)(C/m2)yogunlukluykn r =O,Z =3mnoktasindaolusturduguE degerinibulunuz.

d =(io-4Ir)r. drdcp ('-rar +3az) ( IE , ~V m)4.7rEo(r"+9) Vr2+9

Problem2.20ve2.21'deki gibi, simetridendolayi,radyalbilesensifir olur.

L

2"

14 drdel>

E=(2.7Xio") 2 3/2a.=1.51xio"a,V/m veya 1.51a,MV/mn o (r +9)

2.23 Z=- 3 in dzleminde, -::;2S x S 2 m, - 2 s y s 2 m biiminde tanimlanan karesel bir tabakazerindeki Ps = 2 (X2+L + 9)3/2nC/m2 yogunluklu ykn orijinde olusturdugu E degerinibulunuz.

SekiI2-25'densubagintilaryazilabilir:

R =-xax- yay+3a, (m)

dQ =Psdxdy =2(x2+y2+9)'/2x 10-9dxdy (c)

z

dE

(-2,-2.-3) '\." y(-2, 2, -3)

x

(2, -2, -3)

Sekil 2-25

Buradanda dE - 2(x2+y2+9)3/2x io-" dxdy(-xax- yay+3a,) (V im)- 41t"Eo(X2+y2+9) Yx2+y2+9


eldeedilir.Simetridendolayi,E'nin yalnizcaz bilesenibulunur.

E =f."

L

o

.

c

.

.

.

?_::

l30 COULOMB KUVVETLERI VE ELEKTRIK ALAN SIDDETI 2. Blm

2.29 500JlC degerindeonzdesyk,2 myariaplibirdaireninevresine,esitaraliklarlayerlestirilmistir.Dairenindzleminden2muzakta,ekseninzerineyerlestiren- 20JlC'lukykeetkiyenkuvvetibulu-nuz. Yanit:(79.5)(-an)N

Orijindeki5001tJlC'luk noktasalyktendolayi(O,O,5)m'deki50JlCluk ykeetkiyenkuvvetibulu-nuz.Yaniti,aynitoplamykndaireselbir diskzerinedagilmisolduguProblem2.4ve2.5'inso-nulariilekarsilastiriniz. Yanit:28.3azN

2.30

2.31 z =O dzleminde,x =:t 2 m vey =:t 2 marasinayerlestirilenvezerindedzgndagilmistoplam500JlC ykbulunankaretabakanin,(O,O,5) m'deki30JlC degerlinoktasalykzerindeolusturdu-gukuvvetibulunuz. Yanit:4.66azN

Q(C)degerliiki zdesnoktasalyknarasindakiuzaklikdem)olarakverildiginegre,iki ykbirbi-rinebaglayandogrununzerindekiE elektrikalaninindegerinibulunuz.

2.32

Yanit:Yklerin x =Ovex =d'debulunmasidurumunda,O


2.45 Pe =( J2 X 10-8/6) C/m yogunlukludzgnizgiselyk x eksenizerindeve dzgndagilimlibirtabakayk y = Sm'ye yerlestirilmistir.y = 3 m, Z = 3m izgisi zerindeelektrikalanininyalnizcazbilesenivardir.Tabakadakiykyogunlugunubulunuz. Yanit:125pC/m2

Pe = 3.30 nC/m yogunluklu dzgn dagilimli izgisel yk x = 3m, y = 4m'ye yerlestirilmistir. Q nok-tasalyk orijinden2m uzaktadir.Orijindeki elektrikalani sifir oldugunagre,Q degerinive konu-munubulunuz. Yanit:5.28nC, konum(-1.2, -1.6, O)m

2.46

2.47 Yariapi 2 m olan daireselbir yk halkasiz = O dzlemindeolup, merkeziorijindedir.DzgnykdagilimininyogunluguPe = Lo nC/moldugunagre,orijineyerlestirildiginde(O,O,5)m'deayniE'yiolusturanQ noktasalyknbulunuz. Yanit:100.5nC

z =Odzlemindekir $;2 m daireseldiskininyk yogunluguPs= lO-sIr (C/m2)olaraktanimlandigina1.13xi 03

Yanit: ~a: (V/m)hv4+h-

2.48

gre (O, q>,h) noktasindakielektrikalaninihesaplayiniz.

2.49 Problem2.48'deh'nin 2m'denok bykolmasiiin eldeedileceksonula,disktekitoplamykn0-rijinetoplanmisolmasidurumundah noktasindaolusacakalandegerinikarsilastiriniz.

Yk yogunluguPs = 2x (X2+L +4)3/2(C/m2)olansonsuztabakayk,z=OdzlemindeO$;x$;2 mveO$;Y $;2 m araligindabulunmaktadir.(O,O,2)m'dekiE yi bulunuz.

2.50

9

(

16

) (

16

)Yanit:(18xl0) - ja, - 4a, +8a, V / m=18 -ja, - 4a, +8a, GV/m

2.51 x eksenizerindex =- 5 milex =5 marasindadzgnolarakdagilmisbulunaniOnCdegerindekiykn(8,O,O)m'deolusturduguelektrikalaninibulunuz.Aynitoplamyknx=-I milex =1 m a-raligindadagilmisolmasidurumuiinalaninyenidegerinihesaplayiniz.

Yanit:2.31a,V/m,1.43a,V/m

r$;I m,z=Odaireseldiskininyk yogunluguPs=2(r2 + 25)3/2e-lAr (C/m2) olarak verildigine gre (O,0,5)m'dekiE'yi bulunuz. Yanit:5.66a,GV/m

2.52

2.53 Dzgnyk dagilimli kreselbir kabugunierisindekiher noktadaelektrikalanininsifir oldugunugsteriniz.

2.54 Yariapia alankreselbir hacimiindekidzgnyk dagilimininyogunlugup oldugunagre,Problem2.34ve2.35'insonularinikullanilarak,r kreninmerkezindenolanuzakligigstermekze-re,

t

~a,.3EO

E = a3p2 a,.

3Eo r

r$;a

rza

oldugunugsteriniz.

..

Blm 3

Elektrik Akisi ve Gauss Yasasi

3.1 BIR BLGEDEKI NET YK

Belli birhacimierisindekitoplamyk,Blm2.3'detanimlananykyogunlugukullanila-rak,integrasyonislemiylehesaplanabilir.

dQ=pdv (c)esitliginden

Q =fpdv(C)!

eldeedilir.Genelolarak,p,vhacmininhernoktasindasabitdegildir.

RNEK 1.Kreselkoordinatlardai ::;r~2miletanimlananhacimdekiykyogunlugu2

p =5co: (C/m3)rolarakverildiginegre,netykbulunuz.

Netyk,integralalinarakbulunabilir:

1

2"I"i2[ 5cos2cp)Q= 4 r2 sine drdedcp=5rcCo o 1 r3.2 ELETRIK AKlSI VE AKl YOGUNLUGU

\f ile gsterilenve skalarbir alanolanelektrikakisi, ve D ile gsterilenve bir vektralaniolan elektrikaki yogunlugu,belirli problemlerinzmndekolaylik saglayanbyklklerdir.E-lektrik alanindanfarkli olarak, bu byklklerdogrudanllemezler;varliklari ondokuzuncuyzyildayapilanelektrostatikdeneylerindenanlasilmistir.

RNEK 2. Sekil3.1'degrldggibi,bellibirnoktayayerlestirilen+Qyknnzerinekresel,esmer-kezli,iletkenbirkabukkapatilmistir.Baslangitakabugunyzeyindekinetyksifirdir.Ancak,biranahtarinkapatilmasiylatopraklabiranlikbirbaglantisaglanmasizerine,kabukzerindeaynigenlikli,tersisaretli-Q ykolusmaktadir.Bu-Q yknn,topraktankabugadogruolangeicinegatifykakisindankaynaklan-digisylenebilir.Peki,buakisinnedeninedir?Ilk deneyler,+Qykndeniletkeninyzeyinedogruolanaki-nin-Q yknyzeyekaydirdigmigsterdi.Bunedenle,buakiyayerdegistirme(deplasman)akisiadiveri-lir veD sembolilegsterilir.

Elektrik akisinin\f pozitif yktenikip negatifyktesonbuldugukabuledilir.Negatify-kn olmamasidurumundaakinin ucusonsuzdadir.Ayrica, bir kulonlukbir elektrikyknnbirkulonlukbir elektrikakisiolusturdugukabuledilir.Bunagre,

'P =Q (c)

yazilabilir.Sekil 3-2 (ardaki aki izgileri+Q'danikarve-Q'da sonlanir.Burada,iki ykn esitgenlikliolduguvarsayilmaktadir.Sekil 3-2 (br deortamdanegatifyknolmamasidurumugste-rilmektedir.Bu durumda,aki izgisi,katiai ierisindeesitaraliklarladagilmisolup,sonsuzadog-ruuzanmaktadir.

3. Blm ELEKTRIK AKiSi VE GAUSS YASASi 33

.iii .-\

'i

/'/

//

/

"'-" ""'-

" -=-

Sekil3-1

?=) -Q

+Q~

\/1'\i \

(b)(a)

Sekil3-2

EgerP noktasininyakinindakiakiizgileria birimvektrynndeyse(Sekil3-3)veegera'yadik olandSdiferansiyelalanindand'Y miktarindaakigeiyorsa,P noktasindakielektrikakiyogunlugusubiimdetanimlanir:

dlfi

D=-a (C/m2)dS

.

~.,~~.~- " dS=====--======-~~~

Sekil3-3

Sekil3-4'dep (C/mJ)yogunluklubir hacimselyk dagilimi,bir S yzeyiyleevrelenmisolarakgsterilmektedir.Her bir kulonlukQ ykiin bir kulonlukbir qi akisitammlandlgina..gre,kapaliSyzeyinik_esennej:~i miktMi,ierilennetyk miktarinaesittir.Ancak,D yogunlugunungenligiveyn-

34 ELEKTRIK AKISI VE GAUSSYASASi 3.Blm

S ierisinde,noktadannoktayadegisebilir;genelolarak,D, S'ye dik dogrultudaolmayacaktir.EgerdSyzeyelemanizerinde,D ile dikeyarasindaeaisivarsa,dS'yi kesendiferansiyelakinindege-ri

d'P =D dScose=D.dSan=D .dS

olur. BuradadS, genligi dS ve yn anolan vektrelyzeyelemaninigstermektedir.anbirimvektrnnynherzamanS'nin disinadogruoldugundan,d'P, S'nin iindendisina,dSzerindenikanaki miktarinigstermektedir.

D

Sekil3-4

3.3 GAUSS YASASi

Gaussyasasinagre,kapali bir yzeydenikan toplamaki, yzeyin ierisindekinetykmiktarinaesittir.Yasa, integralyardimiylasyleifadeedilebilir:

fD'dS =Qjf

integrasyonyzeyininakillica seilmesidurumunda,Gaussyasasindanok nemlibilgilereldeedilebilir.

3.4AKl YOGUNLUGU ILE ELEKTRIK ALAN SIDDETI ARASINDAKI ILIsKI

Sekil3-5'dekigibi,orijinenoktasalbir Q yknnyerlestirildiginidsnelim.Basitlikai-sindan,Q pozitifolsun.Egerbuyk,yariapir olankreselbir yzeyleevrelenirse,simetridendolayi,Q ykndenkaynaklananD,yzeyzerindekihernoktadaaynigenlikteolup,heryerdey-zeyediktir.Bu durumdaGaussyasasisubiimdeifadeedilir:

r rQ =~D .dS=D rdS=D(4:rr2)

-..i

D

y

y

Sekil3-5

3.Blm ELEKTRIK AKISI VE GAUSSYASASI. 35

BuesitliktenD =Q/4n,-2bulunur.Dolayisiyla,Q OD=-a =-~

41tr2 n 41tr2 r

yazilabilir.FakatBlm2.2'de,Q'dankaynaklananelektrikalansiddetiQE=-a

4.rrEor2 r

olaraktanimlandigindanD =E oEolduguortayaikar.Genelolarak,geirgenligiE olanizotropikbir ortamdakiherhangibir elektrikalaniiin

D=EE

yazilabilir.Dolayisiyla,D ve E yalnizcaortamabagli bir sabitlebirbirindenayrilmaktaolup, ta-mamenayniyapidadirlar.Yk dagilimindandolayiolusanE elektrikalanigeirgenligin(E) bir is-leviyken,elektrikaki yogunluguD, E 'danbagimsizdir.ok katli dielektriklerleilgili problemlerinzmnde,nceD'yi bulupsonraherdielektrikiin E degerinihesaplamakislemlerikolaylastira-caktir.

3.5 ZEL GAUSS YZEYLERI

Gaussyasasininuygulandigikapaliyzey,ok sayidayzey elemanindanolusabilir.Bu y-zeyelemanlariD'ye dik veyategetolacakbiimdeseilirse,ve egerIDI,D'nin dik olduguyzeylerzerindesabitse,integralalmaislemiokkolaylasir.Bunagre,zelGaussyzeylerinitanimlayankosullarsunlardir:

I. Yzey kapalidir.

2.Yzeyin hernoktasinda,D xzeyediktirya dategettir.,3- D, dik aiyaptigiyzeyzerindeblgeselolaraksabitdegerlidir.

RNEK 3. Pt (C/m)yogunlukludzgnizgiselykdagilimininolusturduguD'yi, zelbirGaussyzeyikullanarakbulunuz.

izgiselyk, silindirik koordinatlarinzekseniolsun(Sekil 3-6).SilindirIk simetridendolayi

00

~"-00

Sekil 3-6

36 ELEKTRIK AKISI VE GAUSSYASASi 3. Blm

D'nin yalnizcar bilesenivardirve bubilesenyalnizcar'ye bagimlidir.Dolayisiyla,bu problemeuygunzelGaussyzeyi,ekseniz eksen;olan kapali bir tamdaireselsilindirdir(Sekil 3-7). Bu yzeyzerindeGaussyasasininuygulamasiyla

Q =iD .dS + L D .dS +iD .dS00

D

D

Sekil3-7

eldeedilir.i ve3 numaraliyzeylerzerindeD vedSbirbirinedikolduklarindanintegralsonucusifirolur.2numaraliyzeydeD vedSparalelolup(Ptnegatifsetersparalel),r sabitolugundanD desabittir.Dolayisiy-la:

Q =D i2dS =D(21trL)

BuradaL, silindirinuzunlugudur.evrelenenyk iseQ =piL olur.Dolayisiyla:

D=~ veD=~a21tr 21tr r

Yukaridaki islemlerin,Problem2.9ile karsilastirildigindanekadarbasitoldugunadikkatediniz.

zelGaussyzeylerinintekciddisinirlamasi,buyzeylerinyalnizcaokglsimetritasi-yanykdagilimlariiinkullanilabilmesidir.Ancak,digertrdenykdagilimlarindada,buyntem,yklereokyakinveokuzaknoktalardakialandegerlerininbykbiryaklasikliklabulunmasinisaglar(Problem3.36'dagrlecegigibi).

3.1zmlProblemler

p=30 x2y(;.iCimJ) olarak verildigine gre, O :o:;x :o:;i m, O :o:;Y :o:;1 in ve O :o:;z :o:; 1mile ta-nimlananhacimdekiykbulunuz.Sinirlarin,-I :o:;y:O:;Om olarakdegistirilmesidurumundasonuneolur?

dQ =P dvoldugundan:

Q=S~lS>OX2ydxdydZ =-5/lCy zerindekisinirlardegisirse:

Q = ri ri rl3Ox2ydxdydZ=-5/lCJoLi Jo

\Blm,-o .,,~

J

13.2 Qi =30nC, Q2 =150nC ve Q3=-70 nCnoktasalykleriSyzeyitarafindanevrelenmek-tedir.S yzeyinikesennetakiyi bulunuz.

Elektrikakisinin,pozitifyktenikipnegatifyktesonbuldugukabuledildiginegre,buradakipozitifyklerdenikanakininbii blmnegatifyktesonbulur.

ELEKTRIK AKl SI VE GAUSSYASASL 37

3.3

'JIoei=Qoet=30+150- 70=110nC

Sekil 3-8'degrlenkapaliS yzeyi,),=(sinl p)12r(C/ml) yogunluklu,4 m yariaplidz-lemdiskbiimli bir dagilimiiermektedir.Yzeyi kesennetakiyi hesaplayiniz.

1

2:>"

14 'sin2ep)'P=Q = (- r drdrp=lir Co o . 2r ,

i

Sekil3-8..,.-

3.4 p,=12sin


evrelenendzlemselykmiktari:

Q =(4m2)(40pC/m2) =160pC

3.6

evrelenenizgiselykmiktari:

Q=(2m)(-6pC/m2)=-12pCDolayisiyla:Qnei=qi = 160- 12= 148pC

NoktasalQ yk,birkreselkoordinatsistemininorijinineyerlestirilmistir.a ~e ~~(Sekil3-10)iletanimlanankreselkabukparasinikesenakiyibulunuz.a =Ove~n sonuneolur?

z

~y

Sekil 3-10

qi =Q toplamakisi,41t,-2alanlitmbir kreselkabugukeser.Seridinalanisubiimdebulunur:

1

21t

L~ 2

A = r sin9d9do .a=21tr2(cosa -cos ~)

Bunagre,serittengeenakmmdegeri:

A Qqinei=~Q =-(cosa-cos~)41tr 2

a =O,f3=11:/ 2(yarikre)iinVFnet=Q/ 2 olur./

(3.7 \ pr=50 j.1C/myogunlukludzgnizgiselykx eksenizerineyerlestirilmistir.z=- 3mdzle-"- mininy=:t2milesinirlananblmnde,birmetredengeenakimiktarini('P/L)bulunuz.

Aki, izgiselykevresindedzgndagilimlidir.Dolayisiyla,seridikesenaki miktari,Sekil3-II 'degrlena aisiile21tkarsilastirilarakbulunur:

a=2arctan(~)=1.176rad

'i' =s1 1.176)=9.36il C/m

L ~l 21t

fJ.

i1

3. Blm ELEKTRIK AKISI VE GAUSSYASASi 39

z

Sekil 311

3.8 Q =30nC noktasalyk,kartezyenkoordinatlardaorijineyerlestirilmistir.(1, 3, -4) m'dekielektrikaki yogunlugunubulunuz.

SekiI3-12'denQ

D =4nR2aR

=30x 10-9(ax+3a)'- 4az)4n(26) . v'26=(9.18x 1O-11)(ax+3a~- 48z) C/m2v'26

eldeedilebilir.Buradanda,D =91.8pC/m2yazilabilir.z

x

y

0,3,-4)

\D

3.9Sekil3-12

p"=20pC/myogunlukluiki esitdzgnizgiselykx vey eksenlerizerindedir.(3,3,3)m'dekiD'yi bulunuz

Gzlemnoktasindanheriki izgiselykeuzaklikda3J2m'dir.ncex eksenizerindekiizgiselykgznnealalim:

- Pi - 20flC/m

[

ay+az

JD1- -ari-

21trl 21t(3J2m) :.[i

Simdidey eksenindekiizgiselykgznnealalim:

D - Pi . - 2.

fl C/m

(

ax +az

J0- -a )-- 21tr2 ,- 21tOJ2 m) J2


Toplamakiyogunlugu,vektreltoplamaylabulunur:

20

[

ax+ay+2az

)

(

)[

ax+ar+2az

)

2D = /,. /,. =2.25 (-,. il C/m

2n(3"2) ,,2 ,,6

3.10 D =lOxax(C/m2)olarakverildiginegre,x =3m'dex ekseninedikolani m2'likalanikesenakiyi bulunuz. .

D szkonusualanzerindesabitveonadikoldugundan:

'P =DA =(30 bm2)( i m2) =30 C

3.11 D =2.xax+ 2(l-y)ay + 4zaz(C/m2) olarak verildigine gre, r = LOm, z=2 m, ifJ=53.2'dekisilindirikkabugunyzeyindekiimmx i mmboyutlublgedengeenakiyibulunuz.

Sekil3-13'dekiP noktasinda:x =10cos53.2=6

Y=10sin53.2=8

z

dS

xSeki13-13

Bunagre,P'de,

D =12a,- 14a)'+8azC/m2

olur.LOmyariaplibirsilindirinzerinde,Imm2'likbirblmn,dzlemseloldugusylenebilir.Budzlemiin

dS=io-6(0.6ax+0.8a)')m2

yazilabilir.Dolayisiyla,d'P=D.dS=(12ax- 14a)'+8az),lo-,.{j(0.6ax+0.8a)')=- 4.0IlC eldeedilir.Isa-retineksiolmasi,akinin,diferansiyelyzeyidSynndedisaridogrudegil,zekseninedogrukestiginigsterir.

3.12 Pt =3pC/myogunlukludzgnbirizgiselykz eksenizerindedir.Aynieksenetrafindaki2myariaplisilindirinykyogunlugudap"=(-1.5/4n)pC/m2olarakverilmektedir.Herikiykdagilimidaz ekseniboyunca,sonsuzuzunluktadir.Gaussyasasinikullanarak,herbl-gedekiD'yi bulunuz.

Sekil3-14'dekiA Gaussyzeyinivernek3'dekiyntemikullanalim:

D- Pt a- 2nr r

O

3. Blm ELEKTRIK AKISI VE GAUSS '; ASASi 41

z

t

B

~

PS

Sekil 3.14

B Gaussyzeyininkullanilmasidurumundaise

Qi =fD .dS(Pe + 4:n:ps)L= D (2:n:rL)

veburadanD = Pe + 4:n:p,.

2:n:r arr>2

eldeedilir.Sayisaldegeriyerinekoyarsak:

{

DA77 ar (f..iC/m2)

D = O.~39ar (f-iC/m2)

O

42 ELEKTRIK AKl SI VE GAUSSYASASi 3. Blm

Dolayisiyla,r

3. Blm ELEKTRIK AKISI VE GAUSSYASASi 43

3.16 Kreselkoordinatlardar ~a ile tanimlananhacimp yogunlukludzgnbir dagilimier-mektedir.GaussyasasiyardimiylaD'yi bulunuz,vesonulari,Problem2.54'deE iinbulu-nansonulardakarsilastiriniz.r> a iinayniD degeriniolusturmakamaciylaorijineyerles-tirileceknoktasalykndegerinibulunuz.

Sekil3-ITdegrlengaussyzeyiL seilirse:

Qi =fD .dS4- :rcr3p =D(4:rcr2)3

D-pr- 3 ar

r$,a

z

~

y

xr=a

Sekil 317

Yk dagiliminindisindakinoktalariin ~1W3p=D(4nr2) yazilabildiginden:3pa3D =-a . r >a2 r'3r

Orijine, Q =~7fa3pdegerindebir noktasalyk yerlestirilirse,r> a iin ayni D alanieldeedilir.3Bu noktasalyk, hacimdekitoplamykeesittir.

3.17 Paralellevhalibir kondansatrnst levhasininaltyzeyinde+p,(C/m2)yogunluklubir y-zeyselyk bulunmaktadir.Alt levhaninstyzeyindekiyk yogunluguda -p, (C/m2)'dir.Saaklanmayiihmalederek,Gaussyasasiyardimiyla,levhalararasindakiblgedeki,D veE'yi bulunuz.

st levhadakiartiyktenikantmaki,alt levhadakiesitdegerlieksiyktesonlanir.Saaklan-mayiihmaletmek,btnakininlevhalarinyzeyinedikoldugunuvarsaymakdemektir.Sekil3-l8'degrlenzelGaussyzeyiiin,

Q;( =rD.dS+rD'dS+fD.dSLo'oi ],'" yan=0+r D.dS+O

Jatl

veya P.,A=DfdS=DAyazilabilir.BuradaA alandegeridir.Sonuolarak,

2 P \ ( )D =po,an(C/m) veE = -'-an V/mEO

eldeedilir. D veE, arti levhadaneksi levhayadogrudur.

44 ELEKTRIK AKiSi VE GAUSSYASASi 3.Blm

+p.

Seki13-18

Ek Problemler

3.18 Merkeziorijinde,kenarlarieksenlereparalelvekenaruzunluklari2molankpiindekiykyogunlu-

guP =50X2cos(%Y) (pC/mJ)oldugunagre,kptekitoplamykbulunuz.

Yanit:84.9JlC

3.19 1~r ~3 m,O~tP~1t/3,O~z ~2 mbiimindetanimlananhacminykyogunluguP =2 z sin2tP(CIm))oldugunagrehacimdekitoplamykbulunuz. Yanit:4.91C

3.20 Kreselkoordinatlarda

P= PO -r/~(r i rof e ocos2ci>

ile tanimlananykyogunluguiin,r = ro,r =5ro,ver =00ile evrelenenkreselhacimlerinykmiktarinibulunuz.

Yanit:3.97 por~'6.24por~,6.28porg

3.21Bir S kapaliyzeyi,ykyogunluguPf=-POsin~ (CIm)olanO~f ~n mizgiselykdagiliminii-ermektedir.Syzeyinikesennetakiyibulunuz.

Yanit:-2po (c)

3.22 r ~2mkreselblgesindekiyknyogunlugu

-200 ~p=-(/lC/m' )

r2

oldugunagre,r =1 m, r =4 mve r =500myzeylerinikesennetakiyi bulunuz.Yanit:- 800nJlC, - 1600nJlC, - 1600nJlC

3.23 Bir Q noktasalykkreselkoordinatlarinorijinindebulunmaktadir.Q'- Q degerindekibirtoplamykde,r =a'dakikreselkabukzerindedzgndagilmistir.ka iin r =kyzeyinikesenakiyibulunuz

Yanit:Q, Q'

3.24 xeksenizerindep,=3JlC/myogunluklubirizgiselykdagilimibulunmaktadir.Merkeziorijindebulunanver =3molanbirkreselyzeyikesenakiyibulunuz

Yanit: 18JlC

3.25 NoktasalQ ykorijindebulunmaktadir.Merkeziorijindebulunan,a ~ tP~f3iletanimlanankre

parasinikesennetakininifadesinieldeediniz. Yanit:~- a Q2n

l

3.Blm ELEKTRIK AKISl VE GAUSSYASASi 45

3.26 Q noktasalykkreselkoordinatsistemininmerkezindedir.3 myariapliesmerkezlikreselkabukzerindeki41tmz'likalandangeen'pakisinibulunuz. Yanit:Q/9(c)

3.27 4 myariaplibir kreselkabugunyzeyindeki40.2mz'likbiralandan,ieridogru,10pC degerindeakigemektedir.Orijindekinoktasalykndegerinibulunuz. Yanit:- 50pC

3.28 Dzgnbir izgiselykdagilimi(Pt)x eksenizerindeuzanmaktadir.izgiselyknakisininnekadarlikbir blmy =6 dzleminin- 1::;z ::;i ile sinirlananseridinikeser? Yanit:% 5.26

3.29 Q =3 nC noktasalyk,kartezyenkoordinatsistemininorijinineyerlestirilmistir.-4 ::;x ::;4 mve- 4::;y::;4milesinirlananz=2dzlemparasinikesen'pakisinibulunuz. Yanit:0.5nC

3.30 Pt=5pC/mdzgnizgiselykx eksenizerindedir.(3,2,1)m'deD'yi bulunuz.

(

2a +az

iYanit:(0.356). Js pC/mz3.31 Kreselkoordinatsistemininorijinindeki+Qnoktasalyk,r =a iletanimlananesmerkezlikresel

kabukzerindeki-Q degerlidzgnykdagilimiylaevrelenmistir.r akreselyzeylerinikesen'pakisinibulunuz.BtnblgeleriinD'yieldeediniz.

{

+Q ratp--az3r

olarakverildiginegre,r ::;a, O::;i/>::;1t/2ile tanimlananz = Odzlemparasinikesenakiyi bulunuz.31t/2::;i/>::;21tiin zmtekrarlayiniz.Akinin, azynndepozitifoldugunuvarsayiniz.

a aYanit:--,-

3 3

3.36 Silindirikkoordinatlardar ::;a,z=Oiletanimlanandisk,p,,(r.1/yogunlukludzgnolmayanykda-giliminasahiptir.Uygungaussyzeylerikullanarak,z eksenizerinde(a) diskeokyakinblgede

(O

46 ELEKTRIK AKl SI VE GAUSSYASASi 3.Blm

3.38 Kreselkoordinatlardabir yk dagilimip =5r (C/mJ) yk yogunlugunasahiptir.Gaussyasasiyardi-miylaD'yi bulunuz.

3.39Yanit:(5?/4)ar(C/m2)

Kartezyenkoordinatlarda2::;x ::;4 miletanimlananhacimiinde,2 C/mJyogunlukludzgnbirykdagilimivardir.GaussyasasiyardimiylabtnnoktalardaD'yi bulunuz.

Yanit:-2axC/m2,2(x- 3)ax(C/m2),2axC/m2

Silindirikbir kondansatrnesmerkezliiletkenleriarasindakiblgedeD veE'nin ifadelerini,Gaussyasasiyardimiylabulunuz.I silindirinyariapia olarakverilmektedir.Saaklanmayiihmalediniz.

Yanit:Pm(a/r),Pm(a/Eor),

Oldukakalinbir iletkeninyzeyselykyogunluguP.,olaraktanimlanmaktadir.Iletkeninierisinde'p=Ooldugunuvarsayarak,kkbirzelgaussyzeyiyardimiyla,iletkeninhemendisindakiblge-deD =:tp,oldugunugsteriniz.

3.40

3.41

Blm 4

Diverjansve DiverjansTeoremiDIVERJANS4.1

Bir vektrelalanin,uzaydanoktadannoktayanasildegistigininbaslicaiki gstergesivardir:bunlarinilki, bu blmdeincelecekolandiverjanstir.Diverjansskalarbir byklkolup,bir fonk-siyonuntreviile benzerlikgsterir.Ikinci byklkolan rotasyonel(curI) ise bir vektrdrve9.Blmde,manyetikalanlarkonusundaincelenecektir.

Bir vektralaninindiverjansininsifirdanfarkli olmasi,bublgedebir kaynakveyabir yutak(sink)bulundugunugsterir.Diverjansarti iseblgedebir kaynak,eksi isedeyutakvar demektir.Duraganelektrikalanlarinda,pozitifdiverjans,kaynaklarve pozitifelektrikykQ arasindabir i-liski vardir.Tanimagre,elektrikakisi'P'pozitifyktenkaynaklanir.Dolayisiylaartiyklerierenbir blge'P"nin kaynaginida ierir.Bu blgede,elektrikaki yogunluguD'nin diverjansiartiolur.Benzerbir iliski de,eksidiverjans,yutaklarveeksielektrikykarasindavardir.

Bir A vektralanininbir P noktasindakidiverjansisyletanimlanir:

divA= limfA.dS~V--->O LlV

Burada,integrasyon,bzserekP noktasinadnsensonsuzkk L1vhacmininyzeyizerindeyapilir.

4.2 KARTEZYEN KOORDINATLARDA DIVERJANS

Herhangibir vektralaninindiverjansi,herhangibir koordinatsistemindeifadeedilebilir.Diverjansinkartezyenkoordinatlardakiifadesinieldeetmekamaciyla,Sekil4-1'degrldggibi,x,y, vez eksenlerineparalelLli-,~ ve&; kenarlibirkpseelim.Kbnenkkx,y, z koordi-natlarinasahipolanP ksenoktasindakiA vektralanisubiimdetanimlanir:

A =Axax +Ayay +Azazz

r)g[Jzp 1

A AX Ayy

x

Sekil4-1

Kp iin fA. dS ifadesinielde etmekiin alti yz de gz nnealinmalidir.dS'nin yn

btnyzlerdedisaridogrudur.Yzler eksenleredik olduklarindanA'nin yalnizcabir bileseniikiparalelyzdengeer.

48 DIVERJANS VE DIVERJANS TEOREMI 4, Blm

Sekil4.2'de,kp,1numaraliyztamgrlecekbiimdedndrlmstr.A'nin, 1numa-raliyznsolundakivesagindakiyzlerzefihdekix bilesenleridesekildegrlmektedir.Btnyzlerkkoldugundan

fA' dS- -Ax(x) ~y~ZSolyz

i A.dS-AAx+~)~y~zSagyz

[ aAx ]- AAx)+ax ~ ~y~z

Ax(x) Ax(x + ~x)1

dS dS~X

Sekil4-2

yazilabilirvedolayisiyla,bu iki yz iin toplamsudegerialir:cM-2:. LUdYLlzdx

Ayni islemlerdigeryzeyleredeuygulanipsonulartoplanirsa

f[

dA dA. dA

rA .dS::: ~+-i-+-L dyLlzdx dy dzeldeedilir,Esitligin~ ~y~ =~Vile bliinp ~V~ O sinir durumuna bakilirsa

dA dA, dAdivA =~+-i-+-L (kartezyen)

dx ay dz

ifadesieldeedilir,Ayniyaklasimlasilindirik(Problem4,1)vekreselkoordinatsistemlerindekii-fadelerdebulunabilir.

d" A ld ( ) 1aA, dA, (.1

'

d, ' k)iv =-- TAr +--+~ si in inr dr r dtp dz

div A = J...~~2A )+~~(A9 sine)+~ dAqi(kresel)r2 dr r rsine de rsine di!>

RNEK 1.Bir vektralaniA =5x2(sin'; )ax olaraktanimlandiginagrex =i iin div Adegerini bulu-nuz,

divA =~(5x2 sin 1tX

)=5x2

(cos1tX

)1t+IOxsin 1tX=~1tX2cos1tX+10xsin 1tX

dx 2 22 22 2 2

div Ai =10,x=lRNEK2.Bir A vektralanininsilindirikkoordinatlardakiifadesiA=rsin tpar+? cos tpalP+ 2re-5z3zbiimin-dedir,( t, 1t/2,O)noktasindadivA degerinibulunuz,

1 a ' 1 'a adivA =-- (r2sinf/J)+-- (r2cosf/J)+- (2re-SZ)=2sin f/J- r sin f/J- lOre-5.

r ar r af/J az

di I ' 11: 1. 11: io(1)

o 7vA (1/2.,,12.0)=2sm2'- 2'sm2'- 2' e = - 2'

ve

J

4.Blm DIVERJANS VE DIVERJANS TEOREMI 49

RNEK 3. Bir A vektralanininkreselkoordinatlardakiifadesi A =(5/,2)sin8a,+, cot8a//+, sin8castPa.biimindedir.diyA degerinibulunuz.

mYA =~aa(5sin 8)+~ 8aa8(' sin8cot8)+~.!.-(, sin8castP)=-1- sintP, r , sm , sm8atP

4.3 D'NIN DIVERJANSi

Gaussyasasi(Blm3.3)asagidakibiimdedeifadeedilebilir:

,.(D .dSj Qi-=-

L\v L\v

Sinir durumundabu ifadesubiimi alir:

fO' dSI. d

. O I, Qiim iv = im --'- =p~v-+O L\v ~v-+O L\v

Buradaeldeedilennemlisonu,duraganalanlardakiMaxwell esitliklerindenbiridir:

divD =P ve divE =..e.E

Bu esitlikler,incelent:nblgeninhernoktasindaE degerininsabitolmasidurumundageerlidir.Esabit degilse div E E =P dur.Dolayisiyla,herhangibir ykszizotropikblgedehemE hemdeDalanlarinindiverjansisifir olur.

RNEK 4. Kreselkoordinatlardatanimlananbir blgeder ~a iin dzgndagilimliyknyo-gunlugup olarak,r> a iinsesifir olarakverilmektedir.Problem2.54'de,r ~a iin Er = (pr13Eo)ve r> a iinEr = (pa3/3Eor2)olmakzere,E =E,.areldeedilmistir.Bunagre,r ~a iin

, i a(2 P')

1

( 2 P ) PdivE=-- , - =- 3, - =-,2ar 3Eo ,2 3E" E"ver >a iin

, ia(,pa-' )divE =- - r :; =O,2ar 3E"r

eldeedilir.

4.4 DELTA OPERATR

Vektranalizindekullanilankisaltmalardanbiri Vsimgesiile gsterilenvekartezyenkoordi-natlardaasagidakigibi tanimlanandeltavektroperatrdr.

a() a() a()V=-ax+-a,+-a.

ax ay Y az -Tek basinabir V operatr,belli bazikismitrevIerinalinacaginivebirimvektrlerlearpilacaginigsterir.Ancak,V ile bir A vektrarasinanoktakonulmussa,buA'nin diverjansianlaminagelir.

(

d d d

J( ) dA dA" dA .V.A = -8 +-8 +-8 ,A 8 +A 8 +A 8 =~+ ,-+-i. =div A

dX x dy Y dZ c x x Y Y Z Z dX dY dZ

Bundansonra,birvektralaninindiverjansiV.A ilegsterilecektir.

'"

50 DIVERJANS VE DIVERJANS TEOREMI 4.Blm

Uyari! Delta operatryalnizcakartezyenkoordinatlardatanimlanmistir.Diger koordinatlardaV.A bir diverjansifadesiolarakyazilmissa,bu,szkonususistemdetanimlananbir deltaoperatrnnvarolduguanlaminagelmez.rnegin,silindirikkoordinatlarda,diverjansi-fadesisubiimdedir:

1 a 1aAaAzV.A=--(rA )+--+-r ar r r aL/> az

(Bkz.Blm4.2).Bu,silindirikkoordinatlarda

1a 1a() a()V =--(r )ar +--a +-az

rar r a az

oldugunugstermez.Tersine,bu ifadeVV (gradyant,Blm5) veVxA (rotasyonel,Blm9) islemlerindekullanilirsa,yanlissonuahnir.

4.5 DIVERJANS TEOREMI

Gaussyasasinagre,D . dS'ninkapaliyzeyintegrali,evrelenenykeesittir.Eger,hacminher yanindayk yogunluguislevip biliniyorsa,evrelenenyk,p islevininhacimzerindeintegralininahnmasiylabulunabilir:

fD. dS=fpdv=QjFakat,p =V.D oldugundan,ayniyasa

fD . dS =f (V . D ~vbiimindedeifadeedilebilir.Bu,Gauss'undiverjansteoremiolarakdabilinendiverjansteoremidirvedzlemleriingeeriiGreenteoremininboyutlubenzesidir.Buteorem,D, Q veparasindakibilineniliskilerdenyolaikarakeldeedilmisolmaklabirlikt~~yeterikadardzenliherhangibirvektralaninauygulanabilir.

diverjans teoremi fA' dS=i(v.D)dvBuradakivhacminin,Syzeyiyleevrelenenhacimolduguaiktir.

RNEK 5.Kreselkoordinatlardar::;;a iletanimlananblgede,elektrikalansiddetiE =~ar bi-3Eimindeifadeedilmektedir.BuvektralaniiinyazilacakdiverjaI!steoremiifadesininherikiyani-ni dainceleyiniz.r =b ::;a kreselyzeyiniSolarakseiniz.

fE. dS i (V. E) dv

i i (~: ar) . (b2sinOdOdepar)

12"

i"pb3= -sin OdOdepo o 3E=4JT:pb3

3E

V. E=~~(r2pr)=f!.r2ar 3E 1

2"i" L b P- r2sin e dr de d

4. Blm DIVERJANS VE DIVERJANS TEOREMI 51

tegralinegeisgerektirenproblemlerdir.Ancak,buteorem,birvektralaninindiverjansiolaraki-fadeedilebilenbirislevinhacimintegralini,birkapaliyzeyintegralinednstrmekiindekulla-nilabilir.

zmlProblemler4.1 Silindirikkoordinatlardadiverja!1sifadesinieldeediniz.

Sekil4-3'de,kenarlariAr, tJ.cpve t3..zolan bir deltahacmigrlmektedir.A vektralani,r, i/>vezkoordinatlarininenkkdegerlerinesahipolanP ksenoktasindasubiimdetanimlanir:

A =A,a, +A.pa.p+Azaz

z

y

Sekil4-3

Diverjansintanimifadesi:fA'dS

divA= lim~"v-o L.>V(J)

fA. dS integralinihesaplamakiin,hacminalti yzdeevrelenmelidir.A 'ninradyalbilesenleriSekil

4-4' degsterilmektedir.

00 dSdS ~Ar(r + Ar)

A,{r)

Sekil4-4Soldakiyzeyzerinde

fA' dS = -Arr ..z

vesagdakiyzeyzerinde:

fA' dS=Ar(r+M)(r +M) /'itJ.z

= (Ar + a~rM )(r +M) /'i/'iz

(aAr

)=Arr /'i/'iz+ Ar+ra; M /'i/'iz


yazilabilir.islemlerde( .M )2terimigzardiedilmistir.Bu iki yzeyinnetkatkisi,~V=r M ~4J& ol-dugundansubiimdeifadeedilir.

'aAr aia(Ar +r-;::;-)M!1ij)!1z=-::;-(rAr)~r!1ij)!1z=--::;-(rAr)!1vo or , or r or

Benzerolarak,atl>'yedik olanyzeyleriin

AtI>~r& ve LA+d:;~)M&eldeedilir.Buiki yzeyinnetkatkisiise

(2)

! dA.p~Vr d

(3)

olur.az'yedik yzeyleriin ise

Azr~r ~4J ve(AZ +d~z~z}~~

olup,netkatkinindegeri

dA, ~VdZ

(4)

olarakbulunur.fA. dS'yi hesaplamakiin(2),(3)ve(4)birlestirilirse,(I)'den

div A =! d(rAr)+! dA.p+dAir dr r ddZ

eldeedilir.

4.2 Dzgndogrusalykdagilimininalaniiin V.E =Ooldugunugsteriniz.

Silindirikkoordinatlardaizgiselykiin

E= Pe ar21tE O r

V'E~!~(~ Pe)-0

r dr L 21tEOr

yazilabilir.Dolayisiyla,r =Odisindakihernoktaiin buaagiliminE islevinindiverjansisifirdir. r =Oiin iseifadetanimsizdir.

oldugundan,

4.3 Noktasalbir yknyarattigiD alaninindiverjansininsifir ol

4. Bll1) DIVERJANS VE DIVERJANS TEOREMI 53

4.5 A =x2ax-+yzay+xy azoldugunagre,V.A ifadesinibulunuz.

V.A= ~(x2)+~(yz)+~(xY)='2X+Zax ay az

4.6 A =(X2+lrl/2 axoldugunagre,(2,2, O)noktasindakiV.A degerinibulunuz.) ( 2 2)

-3/2(

,

) 2V.A =-'2 x +y 2x ve V. A 1(2,2,0)=-8.84xlO-

A =r sin epar+2r cosepalP+2z2az,oldugunagre,V.A ifadesinibulunuz.

ia 2' . ia . 8 0/v" A =-.mm, (r smtp)+-- (2rcastp)+- (2z")

r ar r 8 az

4.7

=2 sin t/>- 2 sin t/>+4z=4z4.8 A =LOsin2,epar+ r'a~+ [(z2lr)COS2eplaz,oldugunagre,(2, ep,5) noktasindakiV.A ifadesi-

nin degerinibulunuz.

V.A= 10sin2$+2zcos2$'r ve V'AI(2.~.5)=5"

4.9 A =(5/r2)ar+(lO/sin 9) a8- r2epsin 8alPoldugunagre,V.A ifadesinieldeediniz.ia 1 aia 2'v'. A =-:;- (5)+--;--- (10)+--;--- (-r tpsme)=-rr ar rsmeae rsmearp

4.10 A =5 sin 8a8+5 sin epalPoldugunagre,V.A'yi, (0.5,rr/4,rr/4)iin bulunuz.1 a ? 1 a. case casrpv'.A=- - (5sin-e)+- - (5smtp)=10- +5-rsineae rsineat/> r rsine

V.A 1(0,5,1[/4,1[/4)=24.14

4,11 Kartezyenkoordinatlarda,-1 :5;z :5; 1iinD =POZazve digerblgelerdeD =(poZllzl)azta-nimlariverildiginegre,ykyogunlugunubulunuz.

ve

V'O=pl

- i ~z~i iin

p= ~~oz~Poaz

z1iin:

ap=-(+Po)=oaz

Yk dagilimiSekil4-5'degsterilmekt\~dir.z

tD

-li ii tD

Sekil4-5

54 OIVERlANS VE OIVERlANS TEOREMI 4.Blm

4.12 Silindirikkoordinatsisteminde,O i miinD =(-4 x 1o-4/r2)ar(C/m2)oldugunagre,heriki blgedekiykyogunluklarinibulunuz.

O 1miin:

p= ~~(-4XIO-4)=0r- dr

4.15 Kreselkoordinatlardar ~2 iinD =(5r2/4)arver>2 iinD =(20/r2)aroldugunagre,yUkyogunlugunubulunuz.

r:S;2 iin:

i d C 4 )p= ?-\?r 14 =5rr- drr> 2 iin:

1 dp= --(20)=0

r2 dr

4.16 D = (10 x3/3)ax(C/m2)olarakverildiginegre,merkeziorijine yerlestirilmis,2 m uzunlu-gundakikenarlarieksenlereparalelolanbir kbnhacmiiin diverjansteoremininifadesininheriki yaniniinceleyiniz.

,(D .dS=r . (V. D)dv)' JhacimD yalnizcax bileseninesahipoldugundanx=1mvex=- 1m'dekiyzeylerdisindakibtny-

zeylerdeD.dS sifirdir (Sekil 4.6).

f Il

Il 10(1) Il

Ii 10(-1)D.dS= . -ax.dydzax+ ~ax'dydz(-a.)-1 - 1 3 -1 -i=40+40=80C

3 3 3

4. Blm DIVERJANS VE DIVERJANS TEOREMI 55

z

y

Sekil4-6

Simdidediverjansteoremininifadesininsagyaninabakalim.V .D =i oX2oldugundan:

r . (V.D)dv=II Ii Ii (iox2)dxdydz= II Ii[lO~

]2 dydz=80C

Jhacim -I -I -I -I -I 3 3-I

4.17 Silindirik koordinatlardaA =30e-rar- 2zazolaraktanimlandiginagre,r =2,z =Ovez =5ile sinirlananhacimiin diverjansteoremiifadesininheriki yaninidainceleyiniz(Sekil4-7).

fA' dS=.f (V. .A)du

Ar

./

Sekil 4-7

z=Oiin Az=Oolup,yzeyinbublmndeA-dS sifirdir.

lA'dS= f~ (" 30e-2a,,2d/Jdza,+ fh f2 -2(5)~ rdrd/Ja,j oJ" J" o=60e-2(2n)(5)- lD(2n)(2)=129.4

Diverjansteoremininsagyani:

ve

1a a 30e-'V. A =-- (30re-')+- (-2z)=- - 30e-'- 2rar az r

.f i~

i2"

i2

(30e-

)(V.A)du= o o o ---;:-30e-'-2 rdrdipdz=129.4

4.18 Silindirik koordinatlardaD =(lOr3/4)ar(C/m2)olaraktanimlandiginagrer =i m, r =2 m,z=Ovez=iOmilesinirlananhacimiindiverjansteoremiifadesininikiyaninidainceleyi-niz(Sekil4-8).

tD.dS =f(V.D)dv


z

y

Sekil 4-8

D'nIn z bileseniolmadigindan,D.dS,sttevealttasifirdir.ItekisilindirikyzeydedS,-ar ynndedir.

,(1

10

12"'10

j D .dS=o o 4" (1)3ar.(1) dlj) dz( -ar)

110r2'"10

+ o Jo 4" (2)3ar.(2)dlj)dzar=-200Jt' + 16200Jt'=750Jt' C

4 4

Diverjansteoremiifadesininsagyani:

1 a(

10r4) 2V.D=-- - =1Orrar 4

I rio [2'"r2(V .D)du=Jo Jo Ji (1Or2)rdrdlj)dz=750Jt'C4.19 KreselkoordinatlardaD =(5r2/4)a,.olaraktanimlandiginagre,r =4 in vee =1tI4ilesi-

imlananhacimiin,diverjansteoremiifadesininheriki yaninida inceleyiniz(Sekil 4-9).

fD .dS=i(V .D) duz

Sekil4-9

D'nin yalnizcaradyalbilesenlerioldugundan,D. dS yalnizcar =4 myzeyizerindesifirdanfarklidir.

21t 1t/45(4)2 2~D'dS=fo fo ~,. .(4)sin8d8da,.=589.1C

4.Blm DIVERJANS VE DIVERJANS TEOREMI 57

Diverjansteoremiifadesininsagyani:

V' D =J.-.~[

5r4

)r2 dr 4 =5r

ve J 121r

llr/4

V(V.D)dv= (5r)r2sin8drd8dlp=589.lCo o o

Ek Problemler

4.20 Kreselkoordinatlariindiverjansifadesinieldeediniz.Kenarlari/1r,r /18ver sin8M) olandeltahacmikullaniniz.

4.21 Dzgnyk tabakasininalaniiin V .E =Ooldugunugsteriniz.

4.22 Yklerizeksenizerinde:tdl2'debulunanelektrikdipolnalani

E= Qd 3(2cosear+sineae)41tEOr

oldugunagre,bualanindiverjansininsifir oldugunugsteriniz.

4.23 A =e5xax+2 casya)'+2 sinza,olarakverildiginegre,V.A'nin orijindekidegeribulunuz. Yanit:7.0

4.24 A =(3x+/)ax +(x-/)a)' olarakverildiginegre,VA'nin ifadesinibulunuz. Yanit:3 -2y4.25 A =2xyax+ia)'+yz2a,olarakverildiginegre,V.A'nin(2,-I, 3rdekidegerinibulunuz. Yanit:- 8.0

4.26 A =4xyax- xy2a)'+5sinzatolarakverildiginegre,V.A'nin(2,2,Ordakidegerinibulunuz.Yanit:5.0

4.27 A =2r COS24Jar+3r2sinza+4z sin24Jazolarakverildiginegre,V.A'yl bulunuz.4.28 A =(1OIr2)ar+5e-2zazolarakverildiginegre,V.A'nin(2,iP,irdekidegerinibulunuz.

Yanit:4.0

Yanit:-2.60

4.29 A =5casrar+(3ze-2rlr)a,olarakverildiginegre,V.A'nin(1t,iP.zrdekidegerinibulunuz.Yanit:-1.59

4.30 A =lOar+5sinBaoolarakverildiginegre,V.A'yl bulunuz. Yanit:(2 +cas8) (iolr)

4.31 A =rar-? cotBaoolarakverildiginegre,V.A'yl bulunuz. Yanit:3- r

4.32 A =[(LOsin28)/r]ar(N/m) olarakverildiginegre,V.A 'nin(2m,7t!4rad,7t!2rad)'dakidegerinibulunuz.Yanit:1.25N/m2

Yantl:4rsin 8+ C~)cote

4.34 E = (100Ir)a+40azolmasidurumundaE'nin diverjansininsifir oldugunugsteriniz.

4.33 A =?sin Bar+134Jao+2raolarakverildiginegre,V.A'yl bulunuz.

4.35 Silindirikkoordinatlarda.a$;r $;bblgesinde

(r2-a21

D=po 2r tr

58 OIVERJANS VE OIVERJANS TEOREMI 4.Blm

r >bblgesinde

(b2 -a2

}D=POL 2r rver 1iinD =[5/(63,2)]aroldugunag-re,heriki blgeiinykyogunlugunubulunuz. YanitA- r2,O

4.42 Kreselkoordinatlardar::;;2 m blgesindekielektrikalaniE =(5r x lO-s/Eo)ar(V/m) olaraktanim-Iandiginagrer =2inkabugununierdiginetykbulunuz. Yanit:5.03x 10-3C

KreselkoordinatlardaD =(5r2/4)lIrolarakverildiginegre,r =1ver =2 arasindasinirlananhacimiinyazilandiverjansifadesininherikiyaninidahesaplayiniz. Yanit:751t

4.43

4.44 SilindirikkoordinatlardaD = (10?/4) arolarakverildiginegre,r =2,z=Ovez=10ilesinirlananhacimiinyazilandiverjansteoremiifadesininherikiyaninidahesaplayiniz. Yanit:800n

4.45 D =iOsin (Jar+2 cos(Jaeolarakverildiginegre,r =2 kabuguylasinirlananhacimiinyazilandiverjansteoremiifadesininherikiyaninidahesaplayiniz. Yanit:401t2

~Blni 5

Elektrostatik Alan: is, Enerji ve Potansiyel

5.1 BIR NOKTASAL YKN HAREKET ETTIRILMESIYLE YAPILAN Is

Bir E elektrikalanindakibir Q ykne,bir F kuvvetietkir.Ykdengedetutabilmekiin,yke,tersyndebirFakuvvetiuygulanmalidir(Sekil5-1).

F= QE Fa=-QE

.

Fa-8_F'Q .-E

Sekil5-1

Is, bir yol boyuncauygulanan_kuvvetolarak~niml~nir.Dolayisiyla,bir ykeuygulananFakuvve~ykndf =Idllmiktarikadarhareketetmesinenedenoluyorsa,yapilandiferansiyelis,dW,subiimdetanimlanir:

dW =Fa' di=-QE . di

Grldggibi, Q artidegerliysevedi, E ile ayniyndeise,dW=- QE dt

60 ELEKTROSTATIK ALAN: iS,ENERJI VE POTANSIYEL 5.Blm

5.2 ELEKTROSTATIK ALANiN KORUNUM ZELLIGI

StatikbirelektrikalanindakibirnoktasaCykbirB noktasindanbirA noktasinatasimaklayapilanis,izlenenyoldanbagimsizdir.Dolayisiyla,Sekil5- 2yardimiyla

LE. di=-

L E. di veya 1. E .di =OCD ~ j~yazilabilir.Burada,ikinci integralpozitiftanimlananCDvenegatiftanimlanan~ yollarindanolusankapali.evrimzerindealinmaktadir.Terstengidilerek,F vektralaninin,her iki kapaliyol zerin-de ~F. di=O kosulunusaglamasidurumunda,F'nin herhangibir izgiselintegralinindegerinin,yalnizcaizlenenyolununoktalarinabaglioldugusylenebilir.Bylebiralankorunumluolarakadlandirilir,ve korunumluolmaninbir lt,F'nin rotasyonelininsifir olmasidir(bkz.Blm9.4).

SekilS-2

RNEK 2.rneki 'dekiE alaninda,ayniyk(4,2,O)'dan(O,O,O)noktasina,dzbiryolzerindetasimakiinyapilanisibulunuz.

I(O,O.O) [(X' ]W=(20x 10-6) (4.Z.0) 2'+2Y)Bx+2xB.. . (dxBx+dyB,v)I(O,O,O). )=(20x 10-6) G+2y dx+2xdy(4.2,0)

izlenen yoly =X 12 ile tanimlandigindan,dy=+dx yazilabilir.Dolayisiyla:

W=(20x 10-6)rf xdx=-400~Jrnek i 'de 80 +320=400}.lJdegerindebir is,disaridogrugidensagadnkbiryol zerinde,alana

karsi yapilmisti.Simdi, ayni miktardabir is, ieri dogrugidendz bir yol zerinde,alantarafindanyapil-maktadir.Gidis-dnstoplamisi sifirdir (korunumlualan).

5.3 IKI NOKT A ARASIND Md ELEKTRIK POTANSIYELIBir A noktasininbir B noktasinagrepotansiyeli,birimdegerliQupozitifyknB'den

A'yatasimakiinyapilanisolaraktanimlanir:

W rAVAB=- =-JR Edi(IlCveyaV)

Qu . i

Baslangi,ya da referansnoktasinin,integralinalt siniri olmasinadikkatedilmelidir.Ayrica,integralinnndekieksiisaretunutulmamalidir.Bu isaret,ykdengedetutmakiinuygulanmasigerekenFII=- QEkuvvetindenkaynaklanmaktadir.

E, korunumlubiralanoldugundan,

VAB=VAc- VBc

\5.Blm ELEKTROSTATIK ALAN: Is, ENERJI VE POTANSIYEL 61

yazilabilir.Bununiin,VAs,A veB noktalariarasindakipotansiyelfarkiolarakdsnlebilir.VABpozitifise,birimykB'denA'yatasimakiinbir isyapmalidir,veA, B'yegredahayksekpo-tansiyeldedemektir. ..

5.4 NOKTASAL YKN POT ANSIYELI

Bir Q noktasalykndenkaynaklananelektrikalaninintamamenradyaldogrultudaolmasin-dandolayi

VAS=- fAE. di=- irAErdr= - -.LL r' d;=-.LL (~-~)S rB 4.irEo JrB r 4.irEo rA rByazilabilir.Pozitifbir Q ykiin, rA'ninrB'denkkolmasidurumunda,A noktasiB noktasindandahayksekpotansiyeldedir.

B referansnoktasin{nsonsuzakaydirildiginidsnrsek

VAOC= -.LL (~- .!.)4.irEo rA ocveya

QV=4.irEor

yazilabilir.Bu kitapta,bu esitliksiklikla kullanilmaktadir.Ancak,referansnoktasininsonsuzdaol-dugunuunutmamakvebuesitligi,kendilerisonsuzauzananyk dagilimlariiin kullanmamakgerek-lidir. .

5.5 BIR YK DAGiLiMiNiN POTANSIYELI

Bir ykn,bilinenbir p (C/m2)ykyogunluguyla,sonlubirhacimdedagilmisolmasiduru-munda,herhangibirdisnoktaninpotansiyelibelirlenebilir.Bununiin,Sekil5-3'degrldggi-bi,diferansiyelbirykn,hacimiindeherhangibirnoktadaoldugudsnlr.Bunagre,P nok-tasinda

dV=~41tEOR

yazilabilir.HacimzerindeintegralalinarakP'dekitoplampotansiyelbulunabilir:

~

LpdvV= -

hm:im41tE O R

Bu esitlikte,dQ yerinep dv yazilmistir.EsitliktekiR, kreselkoordinatsistemindekir ile karisti-rilmamalidir.Ayrica,R bir vektrolmayip,dQ ile sabitP noktasiarasindakiuzakliktir.R noktadannoktayadegistigindendolayida,integralindisinaikartilamaz.

dVp

Sekil5-3

Yknbiryzeyyada.izgizerindedagilmisolmasidurumunda,ancakyzeyveyaizgizerindeintegralalinarak,vepyerin~VvveyaPfyazarakyukarida~iVesitligikulJanilabilir.Birdisnoktadakipotansiyeliinyazilantmbuesitliklerin,sonsuzdakisifir referansvarsayiminadayalioldugunuunutmamakgereklidir.

62 ELEKTROSTATIK ALAN: Is, ENERJI VE POTANSIYEL 5, Blm

~RNEK 3.Toplamdegeri40/3nColanbiryk,yariapi2 molandaireselbirdiskzerindedzgnolarakdagilmistir.Buyktendolayi,diskineksenizerinde,diskten2muzaktaolannoktadaolusanpotansiyelibu-lunuz,Bu potansiyeli,btnykndiskinmerkezindeolmasidurumundaolusacakpotansiyellekarsilastiri-niz,

Sekil 5-4'den,

Q - 10-'"'C/m2p,=A- 3n R =\/4'+ r2 (m)) ,

30 ib L~'rdr'dcf>V=-' ---==49.7Vve :n [) () \/4":' reyazilabilir. Btn ykn merkezde olmasi durumunda, noktasal yk iin elde edilen potansiyel esitligi geer-lidir. i,

o Q -'\f' x 10,,9V=-= '9 '-60V

4nE()z 4:;r;(10'./36:;r;)2

Sekil 5-4

5.6 GRADYANT

Burada,vektrdanalizinbir baskaislemitanitilmaktadir.Sekil5-5(a)'da,ierisindeskalarbir V islevinintanimlioldugubirblgedekiM veN komsunoktalarigrlmektedir.Buiki noktaa-rasindakiuzakligibulalim:

dr = dxa, +dya" +dzaz

zM(x,).z)

N(x +dx,y +dy,z +dz);; ~~ V(xp)=c,

V (x. '" 7)-7'- - c

~ iyJ

x x

la) Cb)

Sekil 5-5

5.Blm ELEKTROSTATIK ALAN: IS, ENERJI VE POTANSIYEL 63

M ileN arasindaV'nin degisimisubiimdedir:

av av avdV=-dx +-dy +-dz

ax ay az

Blm4.4'detanimlanandeltaoperatrnnV'yeuygulamasiylaav av av

vv=-a, +-a" +-azax - ay. az

eldeedilir.BuradandV=vv.dr

sonucubulunur.

VV vektralani (gradV olarakda yazilir), skalarV isleviningradyantiolarakadlandirilir.Sabitbir Idrl iin, V'nin herhangibir dr ynndekidegisiminin,VV'nin o yndekiizdsmyleo-rantilioldugugrlmektedir.Bununiin,VV, V islevininmaksimumartisiynndedir.

Simdi, V'nin bir potansiyeligsterdiginive M ve N noktalarininayni V(x, y, z) =cespotansiyelyzeyizerindeoldugunudsnelim.[Sekil5- 5 (b)].Bunagre,dV=Oolur,vebuVV'nindr'yedikoldugunugsterir.Ancak,dr espotansiyelyzeyetegettir;uygunbirN noktasiseilmesidurumundada,M'den geenherhangibir tegetigsterir.Dolayisiyla,VV yzeyeMnoktasindadikolandogrultudaolmakzorundadir.VV, V'ninarttigiyndeoldugundan,Cz>c,ol-makzere,V(x,y,z)=ci'denV(x,y,z)=cz'yedogruuzanir.Sonuolarak,birpotansiyelisleviningradyanti,hernoktadaespotansiyelyzeyleredikolanbirvektralanidir.

Silindirikvekreselkoordinatlardakigradyantifadeleri,kartezyenkoordinatlardakiesitlik-lerdentretilebilir.Herbirterim,V'nin,buterimdekibirimvektrdogrultusundakiuzakligagrealinankismitreviierir. - ------

,-;-- av av av\ ~ VV=-a +-a +-a

ax x ay Y az zav av av

vv =~ ar+---;- aci>+- azvr r v azav av av

V'V=-a +-a + a\ ar r r ae il r sineaepci>--- -

VV herkoordinatsistemindetanimliolmaklabirlikteV operatryalnizcakartezyenkoordi-natlardatanimlidir.

-------,

(kartezyen)

(silindirik)i

(kresel)~-

5.7 E VE V ARASINDAKI ILIsKI

A'ninB'yegrepotansiyeliiinyazilanintegralifadesinden,V'nintrevieldeedilebilir:~ dV=- E .di

teyandan,dV =VV. dr yazilabilir.

dI =dr,herhangibirkkyerdegistirmeolmakzere

* E =- VVeldeedilir.

PotansiyelisleviV bilindiginde,V'ningradyantihesaplanarakelektrikalansiddetikolaycabulunabilir.Gradyantin,espotansiyelyzeyleredik dogrultuda,V'ninpozitifdegisimiynndekibirvektroldugugsterilmisti.BuradakieksiisaretE'nin ynnnyksekpotansiyeldzeyinden,dskpotansiyeldzeyinedogruoldugunugsterir.

64 ELEKTROSTATIK ALAN: Is, ENERJI VE POTANSIYEL 5.Blm

RNEK 4.Kreselkoordinatlardabir Q noktasalyknnevresindekir >Oblgesinde,sonsuzagreta-nimlananpotansiyelV =Q f 41tEo r biiminde ifade edilmektedir. Dolayisiyla, '

a[

Q } QE=-VV=-- - aar 41tEOr r 41tEO r2 resitligiCoulombyasasinauygunlukgstermektedir.(V,temeldeE'itinintegralialinarakbulunur;dolayisiyla,Vnin trevininE'yi vermesinormaldir.)

5.8 STATIK ELEKTRIK ALANLARINDA ENERJIBaslangitazerindeykbulunmayanvehernoktasindakiE degerisifirolanbirblgede,n

=3 noktasalyktenolusanbir dagilimi,ykleritekertekeryerlestirerekolusturmayaalistirdigi-mizidsnelim.

Sekil5-6'dagrldggibi,ilk yk(Qi) 1konumunayerlestirmekiingerekliis sifirdir.Qi yerlestirildiktensonraQ2'yidebublgeyeyerlestirmekiingerekliolanis iseQ2ile,Qi yk-nnyarattigipotansiyelinarpiminaesittir.Btnykleriyerlestirmekiingerekentoplamis subiimdebulunur:

WE=Wi +W2+W3=O+(Q2V2,i) +(Q3V3,i +Q3V3,2)

V2,i. 1 konumundakiQi ykndendolayi 2 noktasindaolusan potansiyeligsterir.(Bunotasyonpekyayginolmadigindan,kitaptakullanilmayacaktir.)WEisi, yk dagilimininelektrika-lanindandolayibirikenenerjidir.(Bu saptamaiin Problem5.17'yebakiniz.)

Eger sz konusu yk, blgeyeters siradayerlestirilirse,toplamisin degerisu biimdebulunur:

WE=W3+ W2+ Wi=O + (Q2V2.3)+ (Qi Vi, 3+ Qi Vi. 2)

Yukaridakiiki esitliktoplanirsa,eldeedilensonu,biriktirilenenerjininiki katinaesittir.

2WE=Qi(Vi. 2+Vi.3)+Q2(V2,i + V2,3)+Q3(V3,i + V3,2)QI(VI,2+ Vi.3)terimi,blgedekidigeryklerolanQ2ve Q3'nalanlarinakarsiyapilanistir.Dolayi-siyla,1konumundakipotansiyelVI,2+ V1,3=Violur.Buradan,n tanenoktasalykierenbirblgei-in

2WE= Qi Vi + Q2V2+ Q3V3

i n

WE= 2'LQniVnini=1

eldeedilir.p(C/m3)yogunlugunasahipbir dagilimiin,toplamaislemiintegrasyonadnsr:

WE=~fpVdvBirikenenerjiiinkullanilandigeresitliklerdesubiimdedir{Problem5.12'yebakiniz):

Li

Li

LI

D2WE=- D.Edv WE=- EE2dv WE=- -dv2 2 2 E

ve

-

Q3

Sekil5-6

5.Blm ELEKTROSTATIK ALAN: Is, ENERJI VE POTANSIYEL 65

Birelektrikdevresinde,birkondansatrnalanindabirikenenerji

WE=tQY =tCy2

esitligiyletanimlanir.Bu esitlikteC, faradbirimlikapasiteyi,V kondansatrniki iletkeniarasin-'dakigerilimfarkiniveQ, iIetkenlerinbirindekitoplamykngenliginigstermektedir.

RNEK 5.C =E Ald kapasitesinesahipparalellevhalibirkondansatrnlevhalarininarasinasabitbir Ygerilimiuygulanmaktadir(Sekil5-7).Elektrikalanindabirikenenerjiyibulunuz. h

lA ---,.-/ ? ,5( , ~~V""-- ~} 'i,;,

,i

f ::2- {.d-t::.?

WE=~fEE2dv=~(~ffdv= EAV2

2d

1=- CV2'2

Ayni sonu,bir IletkeninUzerindekiyUkU,Gaussyasasiyardimiyla,yUzeydekiD'den hesaplayarakdabulu-nabilir.(Blm 3.3).

EVD=-a,.d

Q=IDIA= EVAd

W =!QV=! (AV2

)=!CV22 2 d 2

5.1

zml Problemler

Bir elektrikalaniE =aay - 4yay(V/m) bagintisiile tanimlanmaktadir.+2C degerindekibirnoktasalyk;(a) nce(2,O,O)m'den(O,O,O)'a,oradanda(0,2, O)'a(b) (2,O,O)'dan(0,2,O)'aiki noktayibirlestirendogruzerindentasimakiinyapilanisi bulunuz.

(a)x eksenizerinde,y =dy=dz=Ooldugundan:dW =-2(2xax). (dxax)=- 4xdx

ELEKTROSTATIK ALAN: IS,ENERJI VE POTANSIYEL 5.Blm

y

(0.2.O)

(a)

x(a) (2.O.O)

Sekil5-8

(O,O.O)

y eksenizerindex =dx=dz=Ooldugundan:dW=-2(- 4yay). (dyay)=8ydyW=- 4f~dx + 8 r2ydy =24 J. 2 JoBuradan:

(b) Dzizgininparametrikesitligisubiimdedir:

x=2 - 2t y =2t z=O

Burada,O~t~1'dir.Dolayisiyla:

dW=-2[2(2- 2t)a..- 4(2t)ay].[(-2 dt)a..+(2dt)ay]

=16(1+t)dt

t ~W=16Jo(1+t)dt=24j

Q =5pC degerindekibirnoktasalyk,kreselkoordinatlarda-r/4 10

E =5e ar+ -a (V/m)rsineesitligiiletanimlananelektrikalaniierisinde,orijinden(2m,1t/4,1t/2)noktasinatasimaki-in yapilanisi bulunuz. .

KreselkoordinatlardadI ifadesiniyazalim:

dI = drar + rde ao+r sin e dl/>at/J

Sekil5-9'dagrlenyoluseelim.i parasindade=dl/>=OoldugundandW=- QE . dI=(- 5 x 10-

5. Blm ELEKTROSTATIK ALAN: IS,ENERJI VE POTANSIYEL 67

ve III parasindadr =dr/> =OoldugundandW=- QE . di=O

yazilabilir.Dolayisiyla:

L

2

1

,,/2

W =(-25 X 10-6) e-rMdr +(-50 +10-6) dep=-117.9 fJJo (J

Bunagre,117.9}lJdegerindekiisi alanyapmaktadir.

5.3 Silindirik koordinatlardaE = (k/r)arolaraktanimlaI1diginagre,bir Q noktasalyknher-hangibir r radyaluzakligindan,bu uzakliginiki kati uzakliktakiherhangibir noktayatasi-makiinyapilarisin, r'denbagimsizoldugunugsteriniz.

Alaninyalnizcaradyalbilesenioldugundan:

-kQdW=-QE -dl= -QErdr=-drr

Integrasyonsinirlariiin ri ve2ri kullanilirsa,

12ridr

W= -kQ -= -kQ In2ri r

eldeedilir.Grldggibi ifader'denbagimsizdir.

5.4 z eksenizerindekiPt'=(10-9/2)C/myogunlukluizgiselykiin,A, (2m,n/2,O)veB, (4m,n, Sm)olmakzere,VAB'yibulunuz.

E = P lar olmakzerepotansiyeliin VAB=- rE. di yazilabilir.21tE o r B

izgisel ykn alani tamamenradyaldogrultudaoldugundan,di ile noktasalarpimmsonucuEr drolur.

fA 10-9 2VAR =- 2(2 ) dr =-9[ln r]4=6.24VR nEor5.5 ProblemSA'dekialanierisinde,rB=4 in verc = 10mise,VBc'yibulunuz.Sonra,VAc'yi

bulunuzveVAB+VBctoplamiilekarsilastiriniz.

Voc=-9[ln r ]~~=-9(1n4-In 10)=8.25VVAc=-9[ln r]~~.=-9(ln 2-In 10)=14.49VVAR +Voc =6.24V +8.25V =14.49V =VAc

5.6 KreselkoordinatlardaE =(-16/r2)ar (V/m) iletanimlananalaniin, (2m,n, n/2) noktasinin(4m,O,1t)noktasinagrepotansiyelinibulunuz.

Espotansiyelyzeyleresmerkezlikreselkabuklardir.r =2m'yiA ver =4 m'yiB noktasiolarakseersek:

L

2

(-16

)VAR =- 4 7 dr =-4 V5.7 Pi =400pC/myogunlukluizgiselykx eksenizerindedirvesifirpotansiyelyzeyi,kar-

tezyenkoordinatlarda(O,5, l2)mile tanimlanannoktadangemektedir.(2,3,- 4) m'dekipotansiyelibulunuz.

68 ELEKTROSTATIK ALAN: IS,ENERJI VE POTANSIYEL 5.Blm

z

izgiselyk

y

Sekil5-10

izgiselyk,x eksenizerindeoldugundan,iki noktanIndax koordinatlariihmaledilebilir.

TA="9+ 16=5m rB="25 +144=13mBunagre:

[A p~ p~ rAVAB= - -dr= --ln-=6.88V's 2nEor 2nEo rBOrijine Q = 500pC noktasalyknnyerlestirilmesive sifir referansinsonsuzdaseilmesidurumu iin rA=5 m noktasinin rB=15m noktasinagrepotansiyelinibulunuz.

5.8

Noktasalykiinpotansiyelifadesisubiimdedir:

Q (1 1

)V =- ---AB 4nEo TA rBPotansiyelfarkini bulmakiin, sifir referansinikullanmayagerekyoktur.

500x io-12(

1 1)VAB =4n(10-9/36n)5-15 ==0.60V

Sonsuzdaseilensifir referansi,Vsve Vis'i "bulmakiin kullanilabilir:

Ys==-1L(I)4nEo 5 =O.90V Yis=-1L (

1)4nEo 15 =O.30V

Buradanda VAR= Vs- Vis=0.60V bulunabilir.

5.9 40 nCdegerindekiyk,2 myariaplidaireselbir halkazerinedzgnolarakdagilmistir.Halkanindzleminden5m uzakta,eksenizeriridekibirn-oktadakipotan~iyelibulunuz.So-nucu,btnyknorijindenoktasalbirykolarakbulunmasidurumundakisonulakarsi-lastiriniz.

Yknizgizerindeoldugudsnlrse,

f P(deV= 47tEORyazilabilir. Burada, yk yogunlugup! =40xt)9 =10-8Cim ile tanimlanmaktaolup,Sekil5-27t2 7t

11'denR=.fi.9 m,dt= (2m)depoldugugrlebilir.Bunagre:

V=L

2JO(lo-s/n)(2)dq, 66.9V4n(10-9/36n)v29.

s.Blm ELEKTROSTATIK ALAN: Is, ENERJI VE POTANSIYEL 69

z

Sekil5-11

Yknorijindetoplanmasidurumundaisesonusyleolur:

v=40>

70 ELEKTROSTATIKALAN: IS, ENERJI VE POTANSIYEL 5.Blm

iL p~dzyi =2 o 41t'Eo(ZZ +ri)ia=2p~ [In (z + VZZ + rDJ~

41t'Eo

=~[In (L+ VLZ+ri) -Inri]2JrEo

Benzerbiimde2noktasininpotansiyelidebulunabilir:

yz=2P~ [In(L+ vLz+ r~)-In rz]JrEo

L ri veL r2kosullarisaglaniyorsa:

yi =~ (Ln2L -In ri)21t'Eo

Yz=~ (In2L - Inrz)2JrEo

olacagindan v.- v. ,,- Pt I rziz- 1- yz-- n-

2JrEo ri

eldeedilir.Buda,Problem5.7'desonsuzykiinbulunanifadeyleuyusmaktadir.

5.12 Birvhacmindep yogunluguyladagilmisbulunanyk,enerjisi

WE= ! jpvdv2 volanbirelektrikalaniyaratir.Birikenenerjiiinasagidakiifadenindegeerlioldugunugsteriniz.

1f 2WE='2 E E dv

Sekil5-13'de,yktasiyanv hacmi,R yariaplibykbir kreniniindegsterilmektedir.v hac-minindisindap yokolacagindan:

WE=! f Pdv=!f pVdv=!r (V.D)Vdv2 v 2 huresel 2 Jkureselhacim hacim

Sekil 5-13

5. Blm ELEKTROSTATIK ALAN: Is, ENERJI VE POTANSIYEL 71

V. VA=A . VV +V(V . A) vektrelzdesligiintegraleuygulanabilir:

WE= ~r (V.VD)dv-~ r (D.VV)dv2 Jkresel 2 Jkresel

hacim hacim

BuifadeherhangibirR yariapiiingeerlidir;ama,R ~ 00durumunuincelemektir.Diverjansteoreminden,sagdakiilk integralsubiimdeyazilabilir:

1~

- VD.dS2 kresel

yzey

Ykevreleyenkreninokbymesidurumunda,hacimdekiyknoktasalykgibidsnlebilir.Dolayisiyla,yzeyde,D k/R2'ye,veVk2/R'yeesitolur.O haldeintegralindegeri1/R3ileorantiliola-rakazaliyordemektir.Yzeyalaniyalnizca1/R2ilearttigindan,susonucaulasilir:

Jim 1. VD.dS=OR--,>=Jkresel

yzey

ikinci integralinsinir durumdakidegeride

WE =~f(D.vv)dv=~f(D.E)dvolarakbulunur.D=E E oldugundanbirikenenerjimiktarisubiimlerdeifadeedilebilir:

1 2 i D2WE =- fEE dv veya WE =- f-dv2 2 E

5.13 Bir potansiyelfonksiyonubosluktaV =2.x+4y(V) ile ifadeedildiginegre,orijindemer-kezli1m3'lkbirhacIindebirikenenerjiyibulunuz.Diger1m3'lkhacimlerideinceleyiniz.

[

dV dV dV

J

.

E=-VV= - -u,+-u\,+-uz =-2ux-4u\, (V/m)dx dy' dz .

Alanin genligi(E =.J2o V/m)veyn,boslugunhernoktasindasabitoldugundantoplambirikene-nerjidegerisonsuzdur.(Alan,sonsuzgenisparalelplakalikondansatrnalanigibi dsnlebilir.Bylebirkondansatryklemekiinsonsuzbykbirzamangereklidir.)

Ancak,btnalanlariin,enerjiyogunlugundanszedilebilir.1f 2WE ="2 EE dv

esitligi, her bir kk dv hacminin ierisinde, w=~E E2 olmak zere w dv degerinde bir enerji oldu-2

gunugsterir.Bu sorudakialaniin enerjiyogunlugusabittir:

1 10-8W=-EO (20)=-J/m3

2 36Jr

Grldggibi herbir i m3'lkhacimiinde(1o-8/361t)Jenerjivardir.

5.14 CjJ=O ve

,.

72 ELEKTROSTATIK ALAN: Is, ENERJI VE POTANSIYEL 5.Blm

L

i

L

1

5.Blm ELEKTROSTATIK ALAN: is, ENERJI VE POTANSIYEL 73

{O

E=-VV=(Voa/r2)ar

1I r2xi

n[ (Voa)

2

WB =2 oE2dv,=0+ 2Jo O a 7 ,i sin8drd8dcp=21foV~

ra

Kabuktakitoplamyk Gaussyasasiyardimiylabulunabilir.

((;u~ia'

Elektromanyetik

Documents

Transcript of Elektromanyetik