ELEKTROMAGNETIKA I

GIDEON JONATAN

Dasar matematika vektor

(x,y,z) z

x

y

(R,φ ,z) z

φ R

(R,θ ,φ)

φ

θ r

z

x

y

z

x

y

z

Kartesian silindrical polar K→ syl polar → kartesian polar → syl X=R cosφ x=r sin θ cos φ R= r sin θ Y=R sin φ y=r sin θ sin φ φ = φ z= z z=r cos θ z = rcos θ Syl → K kartesian → polar syl → polar R=√(x²+y²) r=√(x²+y²+z²) r=√(R²+z²) φ = arc tan y/x θ=arc tan √(x²+y²)/z θ=arctan(R/z) z=z φ = arc tan (y/z) φ=φ Menyatakan luas permukaan : Menyatakan luas permukaan :

Pada Kartesian contoh dA = dx dy

Pada sylindis contoh dA = r.dφ. dz

Pada polar contoh dA = rdθ. r sinθ dφ

Contoh soal

• Rubahlah kartesian (3,4,12) dinyatakan dalam a. koordinat silindris dan b. Bola

Jawab :

• R= √(3² + 4² ) = 5 φ =arc tan 4/3=53⁰

• (5,53⁰,12)

------------------------------------

• R=√(3² + 4² + 12²) = 13 φ =53⁰

• θ=arc cos ¹²/₁₃ =25⁰ → ( 13,25⁰,53⁰)

• Rubahlah menjadi koordinat kartesian dan silindris B ( 10, 30⁰, 37⁰)

• Rubahlah menjadi koordinat kartesian dan bola C ( 5, 37⁰, 12)

• hitunglah luas bidang pada z= 4 dibatasi oleh y=3 sampai 5 dan x=2 sampai 3,

• Jawab:

• luas bidang ∫∫ = ∫∫dxdy

• Dalam kartesian : ∫ y 3/5dx =∫2dx =∫2dx = 2x ₂/³ = 2.

• ------------------------------------------

• Hitunglah luas benda yang dibatasi oleh silinder

• Dalam sindris :

• Menyatakan volum potongan

• Pada kartesian contoh dV = dx dy dz

• Pada sylindris contoh dV= r. dφ dz. dr

• Pada polar contoh dV = r. dr.rdθ. rsinθ dφ

vektor • Vector

• A = ai + bj + ck → panjang A= √(a²+b²+c²) vector satuan A= (ai + bj + ck) /√(a²+b²+c²)

• Penjumlahan vector / pengurangan vector :

• A= ai + bj + ck → AB= (p-a)i+(q-b)j+(r-c)k

• B= pi + qj + rk → A+B =(p+a)i+(q+b)j+(r+c)k

•

• Perkalian scalar dan vector perkalian vector

• Scalar A•B = A. B cos α α =∠(A, B)

• Vector AXB = A B sin α arah skrup A ke B

• Nyatakan bahwa i• i=j• j=k• k= 1

• sebaliknya I•j=0 dst

• Nyatakan bhw ixi = 0 dan Ixj = k , j x k = I dank x i=j

Contoh soal

• A=(2i+3j+1k) B= (i – 2j + 2k)

• Nyatakan vector satuan pada arah A , B dan AB

• Jawab : AB = (-I – 5j +k)

• A= √14=3.7 B=3 dan AB = √27=5.2

• Maka vector satuan aA= (2i+3j+1k)/3.7=

• aB= a

AB=

•

• A=(2i+3j+1k) B= (i – 2j + 2k)

• Berapakah sudut antara A dan B diatas ?

• Jawab : A•B = 2- 6+2 = -2 atau

• A•B = A. B cos α = 3,7 x 3 cos α = -2

• Maka cos α =-0.18 sin α = 0.98 α= 111

• A=(2i+3j+1k) B= (i – 2j + 2k)

• Hitunglah C = A x B = A . B sin (∠A,B) arahnya ⊥ AB Maka A= 3.7 B= 3 α= 111

• Jawab: AxB = 3.7 x 3 sin α = 11.04

• Atau :

� � �

2 3 1

1 −2 2

= 8i + 3j – 7 k

-------------------------------------------------------------------------------------

• Diketahui

• A= 7.5i+3j+4.5k, B= pi + 3 j +qk,C=4.5i+rj+1.5k

• Semua vector saling tegak lurus. Hitunglah p, q dan r.

• Jawab :

• A•B = 0 B• C=0 dan C• A = 0 maka p,q,r =

-----------------------------------------------------------------------------------

• A(1,0,0) B ( 1,2,2) dan C(-1,-1,3) hitunglah luas segitiga ABC.

• Jawab : L. ∆∆∆∆ ABC = ½ AB. AC cos αααα

• Maka vector AB = …. I + … j+ …. K |AB|=

• Vector AC= …. I + … j+ …. K |AC|=

• AB. AC = maka cos αααα AB X AC = …… maka sin αααα =

• Luas ABC =

Nyatakan

dalam

bentuk

gambar

vektor :

1) A=5 i

2) B= 2x I

3) C = 2x j

4) D= 1/r ar

5) F= kar

1) Dimana mana besar vektor 5 searah sb x

2) Vektor searah sumbu x dan besarnya

tergantung tempatnya. Mis di ( 2,3,1)

maka besar vektor adalah 4

3) Vektor searah sumbu y dan besarnya

tergantung tempatnya. Mis di ( 2,3,1)

maka besar vektor adalah 4

4) Vektor arah radial dengan besar 1/jarak

dari pusat ke titik contoh titik (2,π/3,

½ π) maka vector D = besar ½, arah

φ = π/3 dan arah θ = ½π

5) Adalah vektor arah r dengan besar =

k dimana mana sama.

• A= -y i + x j • Berapakah besar vector A? jwb √√√√(x²+y²) kemanakah arah vector A jika

di titik P (3,4) • Jwb : vector A = -4i + 3 j vector OP= 3i +4j • A••••OP = 0 berarti A ⊥⊥⊥⊥ OP. • Jika kita cari titik titik dengan iso A ( artinya besar A yang sama) maka

bentuk tempat kedudukannya adalah lingkaran. Jelaskan hal ini. • Jawab : • jika diambil A =5 →→→→ • 25 = y² + x² ( ini adalah lingkaran ) • dan vector A akan merupakan garis singgung pada lingkaran tersebut.

Apakah vector A akan berputar kekiri atau kekanan, terhadap lingkaran?

• Gambarkan juga untuk besar A = 3, A= 4 apakah yang kamu lihat?

dℓ dθ • Jika P = 2 i - 3 j A(0,1) B( 0,5) C(5,-

2) D(0,-2)

• hitunglah ∮P•dℓ jika dℓ adalah

jalan mengitari ABCDA Jawab .

∮P•dℓ= P•AB+ P•BC+P•CD+ P•DA

• AB= 0 i+4 j BC= 5 I -7j CD = -5i +0j

DA= 0i +3j

• P.AB = -12 P.BC= 10+21=31

P.CD= -10 P.DA=0+9

• Σ = -12 + 31 -10 -9 = 0

A B

C D

P

• Jika ada sebuah path berbentuk lingkaran

• ℓ = x² + y² = 16 atau ℓ =xi + yj dan A = -4i+3j

• Q= ∮A. dℓ

• jawab:

o∫o (-dxi + dyj)(-4i + 3j) = ∫4dx + ∫3dy = 0

• A= yi – xj ℓ adalah parabola y=x² x=-1 ke x=2 balik ke x=-1

• hitunglah ∮ A. dℓ

• Jawab: ℓ = xi + yj maka dℓ = dx i+dyj

• maka dari -1 to + 2

• ∫A dℓ = ∫(yi-xj)(dxi+dyj) =

• ∫ ydx –xdy= ∫x²dx – 2x² dx = ₋₁∫²-x²dx

• -⅓ x³ +C ₋₁|²= -⅓( 8-+1) = -3

• Dari 2 ke -1 lewat garis y = x+2

• ∫ ydx –xdy = ∫(x+2)dx – xdx =

• ½ (x+2)² - ½(x²) + C ₂ = ½ (2x+4) ₂|⁻¹= -6

• Maka integral keliling menjadi -3-6= -9

dℓ dy

dx

• Hitunglah

• Gaya F=( 2x –y+z)I + (x+y-z²)j+ (3x-2y+4z) k

• Melalui suatu lingkaran dengan jari jari 3 pada idan x – y .

• Jawab. Bidang x – y berarti z=0 maka

• F=( 2x –y)I + (x+y)j+ (3x-2y) k

• ℓ = x i + y j + (3x-2y)k→ dℓ= dx I + dyj

• maka ∫F dℓ = ∫ xdi + ydy

• ∫ (2x-y) dx + (x+y)ydy dengan hubungan y thd x = x² +y² = 3²

Integral bidang

• B=(x+2)i + ( 1-3y)j + 2zk

• Hitung total garis gaya (B.dA)

yang menembus bidang kubus dengan titik A ada di (0,0,0) dan sisinya 1

• Jawab:

• Ambil permukaan di bidang y-z � dA= -dydz i

• Maka B.dA = -((x=0)+2)dydz =- 2dydz

• Dst yang lain.

A=10 aᵣ + 3ρaφ -2zρaz

Carilah jumlah garis gaya melalui silinder dengan jari jari dua dan tinggi

4 dan sumbunya adalah z. dengan alasnya pada z = 1

Jawab : kita gunakan sumbu silinder.

Bidang atas dan bawah dA = dρ ρdφ az

Maka

∫A.dA = (10 aᵣ + 3ρaφ -2zρaz)( dρ ρdφ az) = ₀∫²π ₀∫² -2zρdρ ρdφ

Bidang silinder dA = 2ρdφ dz ar

∫A.dA = ₁∫⁵ ₀∫2π 20ρ dφ dz

Buktikan bahwa ∮ cosθ aᵣ .dA =0

jika A adalah bola dengan pusat di pusat

koordinat.

Jawab permukaan bola dA = r² sinθ dθ dφ aᵣ

ambil yang berjari jari a → dA== a² sinθ dθ dφ aᵣ

Maka ₀∫∫ ² π cosθ a² sinθ dθ dφ = 0

Garis gaya listrik statis.

• D= jumlah garis gaya /m² di satu titik pada

arah tegak lurus bidang

• Tiap garis gaya berasal dari 1 muatan

• Maka D = rapat garis gaya ρA

• E = kuat medan di titik tersebut dengan

hubungan D= εεεε₀E

• D = dφ/dA atau φ =∮DdA = Q = ∫ρνdν

• Atau ∮ε₀E•dA = ∫ρνdν

Sebuah bola kabut muatan dengan muat per m²= ρν

tentukan medan E yang timbul pada jarak r dari pusat

bola.

Jawab:

dA = r² sinθ dθ dφ aᵣ → dQ= ρν r² sinθ dr dθ dφ

maka q= ρν 0∫∫²π₀∫r r² dr sinθdθ dφ = ρν 0

∫∫²π ⅓r³

sinθdθ dφ

q= ⅓r³ρν 0∫₀∫π sinθdθ dφ=2/₃r³ρν

₀∫2πdφ= ρν⁴/₃π r³

Luas permukaan bola = 4πr² maka D = q/A = ρν⁴/₃π

r³/4πr²= ⅓ρνr

10/9/2012 18

• Jika ∇ =�

���+

�

���+

�

��� dan

• B= 3 i + 2 xy j+8x²y²k

• Berapakah ∇•B di titik P (1,2,3)

• Jawab:

• ∇•B = ��

��+

��

��+

��

�� = mengapa ?

•��

��= �������� ��������������

•��

��= ��

��

��=

��

��=

• Maka ∇•∇•∇•∇•B =

•

• Di titik P =

• F= (x+y) I + (-x+y)j -2z k

• Hitunglah ∇•∇•∇•∇• F =

• Jawab: ∇•F = ��

��+

��

��+

��

�� =

•�(���)

��+

�(����)

��+

�(���)

��

• Hitunglah ∇∇∇∇ x F = � � �

�

��

�

��

�

���+ � −�+ � �

• = (0)i + (0)j + (-1-1)k = -2k

Kerjakan lagi

E= 6xy I + (3x²-3y²)j + 0k,

G= 2y i + (2x+ 3z) j + 3y k

Dan H= (x² - z²)i + 2j + 2xz k

H= (x² - z²)i + 2j + 2xz k

Hitunglah ∇•∇•∇•∇•(∇∇∇∇xH)=

Hasilnya vector atau scalar ?

Integral bidang