Elektriske kretser Tore Gaupseth 01_DC.odt 2006-12-28

InnholdElektriske kretser............................................................ .................2

Strøm.........................................................................................................2Spenning....................................................................................................3Ohms lov....................................................................................................3Resistans....................................................................................................4Effekt og energi...........................................................................................6Elektriske kretser.........................................................................................6Seriekopling av motstander...........................................................................8Parallellkopling av motstander......................................................................10Spenningsdeling.........................................................................................11Strømdeling...............................................................................................11Stjerne- og trekantkopling...........................................................................12

Elektriske kilder............................................ .................................15Egenstyrte kilder........................................................................................15Fremmedstyrte kilder..................................................................................17

Simulering med Spice....................................... ..............................19Kretsteorier................................................................. ..................22

Ohms lov og Kirchoffs lover.........................................................................22Maskelikningsmetoden................................................................................24Superposisjonsprinsippet.............................................................................28Resiprositet og toport..................................................................................30Maksimal effektoverføring............................................................................31

Thevenins ekvivalent................................. .....................................34Eksempel på bruk av kretsteorier.....................................................37

DCkrets med lastmotstand...........................................................................37Kirchoffs strøm- og spenningslov..................................................................37Laststrøm som funksjon av lastresistans........................................................38Maskelikninger...........................................................................................39Superposisjonsberegning.............................................................................39Thevenins ekvivalent..................................................................................40Maksimum effektoverføring..........................................................................42Transistortrinn med Theveninekvivalent.........................................................44Transiente kretser med Theveninekvivalent....................................................46

2 01_DC

Elektriske kretser

StrømI ledninger av kopper, aluminium eller andre gunstige materialer vil strømtransporten foregå ved at negative ladninger – elektroner – drives igjennom materialet. Strømstyrken er et mål for intensiteten i denne transporten, dvs. gitt av mengde ladning, Q som transporteres gjennom et tverrsnitt i løpet av tiden, t:

I=Qt Likestrøm, ladningstransporten foregår med jevn intensitet,

i=dqdt≈Q t Øyeblikkstrøm, ladningstransporten varierer i intensitet.

Legg merke til at med en viss mengde elektroner i farta vil verdien for Q bli negativ, fordi elektroner har negativ elektrisk ladning (-1.6022E-19 C). I andre materialer kan det være positive ioner eller ladningsbærere som gir strømtransport. Måleenheten for strøm: 1 ampere = 1 A = 1 Q/s.

EksempelFiguren viser utsnitt av en elektrisk leder der elektroner beveger seg mot høyre (vist som Θ>) og passerer et tverrsnitt A-a der de på en eller annen måte blir tellet opp.

A --------------------|----------------- ----> Θ> Θ> Θ> Θ>Θ> Θ> Θ>| Θ> Θ> Θ> Θ> Θ> I Θ> Θ> Θ> Θ> Θ> Θ> |Θ> Θ> Θ> Θ> Θ> Θ> ----> --------------------|----------------- I a

Hvis 34·1018 elektroner passerer i løpet av 5 sekunder blir den elektriske strømstyrken målt med

retning mot høyre lik I=Qt=34⋅1018⋅−1.6022⋅10−19

5=−1.09 Ampere

Sett i litt større skala vil vi i faget Elektrisitetslære tegne dette som en ledning med en pilspiss som gir retningen av strømmen som måles eller beregnes,

I = -1.09 [A] >

Positiv strømretning er valgt i den retningen positive ladningsbærere beveger seg. I vanlige ledninger har vi altså en transport av ladninger (elektroner) som er negative i motsatt retning av vedtatt strømretning. I andre materialer kan transporten også foregå med positive ladningsbærere eller ioner.

Hvis vi rent teknisk skal kople inn et amperemeter for å måle strømmen med retning mot høyre må ledningen brytes ved målepunktet og strømmen ledes igjennom amperemeteret,

RødSort -1.09 A I Aa Aa' I > >

01_DC 3

På amperemeteret finner du en rød og sort klemme som bestemmer polariteten på målt strøm. Et amperemeter viser styrken og retningen på strømmen som ledes inn i den røde klemma og som kommer ut i den sorte klemma.

I matematikken sier vi at tallet -1.09 er mindre enn tallet 1.09 fordi det første ligger til venstre for det andre på tallinja. I elektrisk sammenheng sier vi at en strøm på -1.09 A er like kraftig som en strøm på 1.09 A, men de går i hver sin retning.

Strøm i en ledning måles ved å bryte ledningsforbindelsen og sette inn et amperemeter. Aller helst bør amperemeteret ikke påvirke kretsen, slik at det ideelle amperemeter er en intelligent kortslutning som kan varsle om både styrken og retningen på strømmen gjennom seg.

SpenningElektrisk spenning v er knyttet til den energien w som må til for å flytte positive og negative ladninger q bort fra hverandre. Spenningen er energien per enhetsladning som må til,

v=dwdq

≈WQ

Dette uttrykket kan omformes til v=dwdt

⋅dtdq

=dwdt⋅1

i og kan tolkes som at 1 volt er spenningen over

en leder som utvikler effekten 1 watt når det går en strøm på 1 ampere gjennom den. Måleenheten for spenning: 1 volt = 1 V = 1 J/Q = 1 W/A.

Ohms lovGir sammenhengen mellom strøm I og spenning V for en motstand med resistans R. En ideell motstand gir lineært forhold, V = R∙I , der retningene (polaritetene) for V og I er slik:

Altså,R = 3 ohm og I = 2 A gir V = 3∙2 = 6 V

R = 3 ohm og V = -12 V gir I=−123

=−4 A

V = -8 V og I = - 4 A gir R=−8−4

=2 Ω

I elektriske kretser bli koplingspunktene mellom kilder, motstander og andre kretselementer kalt noder. Med nodebetegnelser A og B på hver side av motstanden ovenfor setter vi opp Ohms lov slik:

VAB = R ∙ I

Dette kan leses som at når en strøm med verdi I går gjennom en motstand med resistans R vil det gi en spenning VAB over motstanden regnet fortegnsmessig fra den noden der strømmen går inn (A) - til den noden der strømmen går ut (B) - med verdi VAB=R∙I.Bruken av indekser i spenningsberegninger forteller hvordan spenningen er tenkt målt. Et voltmeter som skal måle VAB må koples med rød klemme til node A og sort klemme til node B. Bytter vi om på klemmene er det spenningen VBA som måles. Vi har altså denne sammenhengen,

VAB = -VBA og VBA = -VAB

Vi sier at strøm og spenning er polarisert, det vil si at retningene for strøm og spenning er gitt i forhold

4 01_DC

til hverandre.

Altså, i figuren ovenfor,

R = 3 ohm og I = 2 A gir VAB = 3∙2 = 6 V

R = 3 ohm og VBA = 12 V gir I=−123

=−4 A

VBA = 8 V og I = - 4 Agir gir R=−8−4

=2 Ω

Ohms lov sier at strømmen gjennom en motstand er proporsjonal med spenningen over motstanden. Matematisk sett gir det en rettlinjet I/V-kurve gjennom origo:

Her har vi en enkel krets med en motstand koplet til en spenningskilde. Spenningen Vab varieres i området fra -10V til +10 V og strømmen I(R1) gjennom motstanden registreres.

Vi kan lese av at når Vab=8V er I(R1)≈170mA.

Når I(R1)=-140mA er Vab≈-6.7V.

Altså kan resistansen i R1 beregnes som

R1≈ 80.170

=47 ohm

eller

R1≈ −6.7−0.140

=48 ohm

ResistansResistansen i en elektrisk leder er et mål på hvor stor motstand strømmen møter. Strømtransporten foregår i mikroskopisk skala ved at elektroner aksellereres av et elektrisk felt - men bremses av kollisjoner med atomene i materialet og oppnår dermed en relativ lav gjennomsnittshastighet.

01_DC 5

I figuren ovenfor er det skissert hvordan elektroner skubbes gjennom en bit av en leder. Vi setter ladningen pr. elektron til q [C], antall elektroner pr. volumenhet til n [m-3], gjennomsnittshastigheten til u [m/s] og tverrsnittsarealet til A [m]. I løpet av tiden Δt tenker vi oss at ladningene tilbakelegger avstanden L. Strømmen mot høyre i ledningsbiten kan da beregnes:

I e=Q t

=q⋅n⋅L⋅A t

=q⋅n⋅u⋅ t⋅A

t=q⋅n⋅u⋅A

Legg merke til at strømmen I ut av spenningskilden i figuren er motsatt av det som er beregnet, men siden ladningsmengden for elektroner er negativ vil strømmen I altså bli positiv, I=−I e .

Det er kreftene fra det elektriske feltet som driver elektronene. Den elektriske feltstyrken i

ledningsbiten er E=V B

L V/m . Et elektron påvirkes av et elektrisk felt med kraften F=q⋅E

som igjen gir en aksellerasjon ut fra sammenhengen F=m⋅a . Hvis vi antar at et elektron gikk

uhindret gjennom ledningsbiten ville det få hastigheten umax=a⋅ t= Fm⋅ t=q⋅E

m⋅ t .

Elektronbevegelsen består av aksellerasjon og oppbremsing, ny aksellerasjon og ny oppbremsing, og så videre. Hvis vi antar at elektronene oppnår i gjennomsnitt halvparten av hastigheten umax kan vi gå videre med uttrykket for strømmen i ledningsbiten,

I e=q⋅n⋅u⋅A=q⋅n⋅q⋅E⋅ t2⋅m

⋅A=n⋅q2⋅t2⋅m

⋅A⋅E=n⋅q2⋅ t

2⋅m⋅A

L⋅V b=K⋅V b

Det omfattende uttrykket ovenfor ender opp med at vi kan sette opp følgende enkle sammenheng mellom spenningen over ledningsbiten og strømmen som går der:

V b

I e= 1

K . Det er vanligere å sette dette opp som V b

I e=R .

Konstanten R er resistansen i ledningsbiten, R= 2⋅mn⋅q2⋅ t

⋅LA=⋅L

A og er gitt av lengde og

tverrsnittsareal og noen konstanter fra atomfysikken.

I teorien ovenfor er faktisk Ohms lov utledet teoretisk ut fra et tenkt tilfelle der elektrontransporten lar seg beregne ut fra enkel mekanikk. I vanlige materialer stemmer ikke dette, temperaturforhold vil for eksempel blande seg sterkt inn i det virkelige uttrykket. Resistansen vil vanligvis stige (eller falle) jevnt med temperaturøkninger. Det er vanlig å beregne resistansen ved temperaturen T ut fra resistansverdien R20 ved T=20 oC: R=R20 [1T−20] . Konstanten α er temperaturkoeffisienten.

6 01_DC

Effekt og energi

Effekt er arbeidsintensitet, p=dwdt . Den elektriske energien som leveres er w, eller uttrykt med

effekten som w=∫ p⋅dt . I en elektrisk krets leverer spenning- og strømkildene effekt til forbrukselementene (motstander, lamper, ovner). Effekten er en øyeblikksstørrelse.

Elektrisk effekt er gitt som p=dwdt

=dwdq

⋅dqdt

=v⋅i Måleenhet for effekt: 1 watt = 1 W = 1 J/s.

I et statisk tilfelle vil effekten være P=V⋅I=R⋅I 2=V 2

R.

Dersom en spenning på 12 V koples over en motstand på 3 ohm i 5 sekunder blir effektomsetningen

P=V 2

R=

122

3=48 Watt og motstanden tilføres energien W=P⋅t=48⋅5=240 Joule .

Tapseffekt

Strømmen I gjennom et kretselement og spenningen V over elementet kan angis med polariteter som vist til høyre. Verdien P=V⋅I kalles i dette tilfellet tapseffekten i elementet. Tapseffekt får vi altså av uttrykket

P tap=I inn⋅V over

Levert effekt

Strømmen I gjennom et kretselement og spenningen V over elementet kan angis med polariteter som vist til høyre. Verdien P=V⋅I kalles i dette tilfellet levert effekt fra elementet. Levert effekt får vi altså av uttrykket

P levert=I ut⋅V over

I en krets med både kilder og tapselementer er total effekt lik null, eller samlet tapseffekt er lik samlet levert effekt.

Elektriske kretserEn elektrisk krets er en sammenkopling av kretselementer. Disse elementene er spenningskilder, strømkilder, motstander, kondensatorer, spoler og andre komponenter. Alle disse komponentene regnes som ideelle. Elementene er koplet sammen i grener mellom noder:

Her har vi en krets med 7 elementer koplet mellom nodene A, B, C, D og E. Elementene er generelt tegnet som [] enten det dreier seg om en spenningskilde, strømkilde, motstand eller andre

01_DC 7

komponenter. I en slik krets er det et par enkle sammenhenger som lar oss beregne ukjente spenninger og strømmer. Disse reglene er også kjent som Kirchoffs lover:

Summen av spenningene rundt i en lukket sløyfe er NULL

Vi kan gå i en sløyfe med for eksempel å starte med node A som utgangspunkt og summere alle spenninger i sløyfa A->C->D->E->A:

VAA = VAC + VCD + VDE + VEA

Ovenfor har vi egentlig målt spenningen mellom node A og node A ved å legge sammen delspenninger. Svaret må bli null, hvis ikke ville vi kunne gå rundt i sløyfa og måle og neste gang komme til en større spenning, og neste gang en enda større spenning, og så videre. Legg merke til indeksene i uttrykket for VAA:

VAC betyr spenningen i node A målt med node C som referanse. VCD betyr spenningen i node C målt med node D som referanse....VEA betyr spenningen i node D målt med node A som referanse.

Vi kunne også ha gått den andre veien rundt i sløyfa og satt opp summen av delspenningene,

VS = VEA + VDE + VCD + VAC= -VAE - VED - VDC - VCA = -(VAE + VED + VDC + VCA) = - VAA

Uansett hvilken sløyfe vi velger for å summere delspenninger vil det ende med null som svar.

Summen av strømmene inn til en node er NULL

I node C møtes strømmene I1, I2 og I5 alle gitt med retning inn mot noden. Summen av strøm inn til noden er IC = I1 + I2 + I5. Resultatet må bli null, i motsatt fall måtte det snike seg strøm inn eller ut av noden utenom ledningene, og dette er umulig – iallefall i de kretsene vi skal ta for oss.

I node E møtes strømmene I3, I4 og -I5, der I3 og I4 går inn til noden og I5 går ut fra noden. Summen av strøm inn til noden er IE = I3 + I4 + -I5 .

Denne loven gjelder også for et lukket kretsområde. I kretsen ovenfor kan vi for eksempel tegne en ring rundt de 4 øverste elementene slik at strømmen inn til venstre er I1 + I2 og strømmen inn fra høyre er I5. Vi får da at I1 + I2 + I5 = 0.

Oppgave 1Se kretsen ovenfor.Gitt at VAB = 5 V VAC = 8 V VDC = 7 V VAE = 3 V

I1 = 5 A I4 = 3 A I5 = -2 A

Beregn VBC VDE VAD VCE

I2 I3

8 01_DC

Seriekopling av motstanderVi lar en strøm på 3 A gå gjennom en motstand på 4 ohm og videre gjennom en motstand på 5 ohm:

Det er satt inn nodemarkeringer A, B og C på ledningene. Hvis dette skal være en seriekopling av to motstander skal all strøm som igår gjennom R1 gå videre gjennom R2. Hvis det for eksempel på en eller annen måte sniker seg inn en ekstra strøm inn til node B har vi ikke en ren seriekopling.Vi bruker ohms lov og finner VAB = 3∙4=12 V og VBC=3∙5=15 V. Spenningen VAC finner vi ved å summere delspenningene VAB og VBC:

VAC = VAB + VBC = R1∙I + R2∙I = 12+15 = 27 V

Hvis vi tar bort de 2 motstandene og i stedet kopler inn en enkelt motstand Rs mellom nodene A og B – slik at spenningen VAB fortsatt skal være 27 V, må denne motstanden ha følgende verdi,

VAC = VAB + VBC = R1∙I + R2∙I = (R1 + R2)I = Rs∙I dvs. Rs = R1 + R2

Fortsetter vi tankeeksperimentet med en seriekopling av N motstander mellom nodene A og Z får vi følgende formel for ekvivalent seriemotstand, Rs:

VAZ = VAB+VBC+VCD+...+VWZ = (R1+R2+R3 +...+ RN)I = Rs∙I dvs. Rs = R1+R2+R3+...+RN

Begrepet ekvivalent seriemotstand brukes til å forenkle beregninger i elektriske kretser. Her ser du et utsnitt av en større krets der R1 og R2 er koplet mellom nodene A og C:

Det er bare mellom nodene A-B-C at vi har en seriekopling fordi det er samme strøm som går igjennom begge elementene. Hvis vi tenker oss R1 og R2 erstattet med en Rs på 9 ohm betyr det at strømmer og spenninger alle andre steder i kretsen blir de samme, men vi mister selvsagt node B i beregningene.

01_DC 9

Eksempel 1Her er en spenningskilde og tre motstander koplet i serie. Kretsen har 4 noder (koplingspunkter) med navn a, b, c og d.

Det er satt inn voltmetre for å registrere spenningene over hver motstand. Legg merke til hvordan voltmetrene er koplet til nodene, spenningsavlesningene viser spenningsforskjellen mellom (+)-inngangen og (-)-inngangen.

Vanligvis brukes en RØD måleledning til (+)-inngangen og en SORT måleledning til (-)-inngangen. Det øverste voltmetret vil vise spenningen i node a i forhold til node b, eller Vab med andre ord.

Voltmetrene bruker ikke strøm for å finne måleresultatene. Det går ikke strøm i måleledningene.

Resistansverdiene i kretsen er satt opp uten enheter, verdiene er 3 ohm, 1 ohm og 2 ohm.

I kretsen ovenfor er det vist at strømmen gjennom motstandene er 2A.– Hva blir spenningsavlesningene?– Hvor stor spenning gir spenningskilden?

Ohms lov gir svarene: V ab=R I=3⋅2=6 V V bc=R I=1⋅2=2 V V cd=R I=2⋅2=4 V

Men, er voltmetrene koplet opp til å registrere Vab, Vbc og Vcd?

Voltmeter VM1 måler Vab og viser dermed 6 V.Voltmeter VM2 måler Vcb = -Vbc og viser dermed -2 V.Voltmeter VM3 måler Vcd og viser dermed 4 V.

Spenningskilden er koplet med (+)-pol til node a og (-)-pol til node d og leverer spenningen som kan måles til Vad. Kirchoffs spenningslov sier i dette tilfellet at V abV bcV cdV da=0 , som gir at

V da=−V abV bcV cd

Spenningskilden gir spenningen V ad=−V da=V abV bcV cd=624=12 V

Eksempel 2

10 01_DC

Ohms lov girV bd=R16⋅– I 1=R164=44 som gir R1=5 ohm

V 1=R164⋅−I 1=5644=60 volt

Parallellkopling av motstanderVi lar en strøm I gå gjennom to motstander som begge er koplet mellom nodene A og B:

Spenningen over begge motstandene er VAB. Ohms lov gir 2 uttrykk for dette:VAB = R1∙IaVAB = R2∙Ib

Kirchoffs strømlov setter opp at summen av strømmene inn til en node er lik null. For node A har vi at I er regnet positiv inn mot noden, men Ia og Ib er regnet positiv ut fra noden. Det vil med Kirchoffs formulering bety

I + -Ia + -Ib = 0

eller med litt omstokking: I = Ia + Ib .

Vi snur litt på uttrykkene for VAB og får at Ia = VAB / R1 og Ib = VAB / R2 . Legger vi så sammen de 2 strømmene har vi

I=I a I b=V AB

R1

V AB

R2 =V AB

1 R1

1 R2

Kan vi erstatte R1 og R2 med bare én motstand, Rp, slik at strømmen fortsatt blir som før? I så fall blir strømmen I = VAB / Rp , altså

I=V AB

R p=V AB

1 Rp

=V AB1 R1

1 R2

som gir parallellkoplingsformelen: 1 Rp

= 1 R1

1 R2

Hvis vi trikser litt med dette uttrykket kan formelen også skrives som: Rp=R1 ⋅R2

R1 R2

Hva med N motstander koplet i parallell? Hva blir resulterende motstand, Rp?

Her har vi at I = Ia + Ib + Ic +...+Iw = VAB /R1 + VAB /R2 + VAB /R3+...+VAN /RN = VAB /Rp

som med forkorting av VAB gir den generelle parallellkoplingsformelen

1 Rp

=1 R1

1 R2

1 R3

... 1 RN

01_DC 11

SpenningsdelingI en seriekopling av to eller flere motstander vil total spenning fordele seg i over hver av dem forhold til resistansverdiene.

Strømmen I lager spenningsfall, V AB=R1⋅I og V BC=R2⋅I

Spenningen over seriekoplingen, V s=V ABV BC=R1⋅IR2⋅I=R1R2 I

Spenningen over R1 i forhold til total spenning: V AB

V s=

R1⋅IR1R2 I

=R1

R1R2

Spenningen over R1: V AB=V s⋅R1

R1R2

Spenningen over R2: V BC=V s⋅R2

R1R2

StrømdelingI en parallellkopling med to eller flere motstander vil total strøm fordele seg til hver av dem i forhold til de inverse verdiene av resistansene.

Det er samme spenning VAB over motstandene: I 1=V AB

R1 og I 2=

V AB

R2

Total strøm inn til node A er null: I 0=I 1 I 2=V AB

R1

V AB

R2

Strømmen gjennom R1 i forhold til total strøm: I 1

I 0=

V AB

R1

V AB

R1

V AB

R2

=

1R1

1R1

1R2

Strømmen gjennom R1: I 1=

1R1

1R1

1R2

⋅I 0=R2

R1R2⋅I 0

Strømmen gjennom R2: I 2=

1R2

1R1

1R2

⋅I 0=R1

R1R2⋅I 0

12 01_DC

Stjerne- og trekantkoplingEn trekantkoplet last (Rab, Rbc, Rca) kan erstattes med en stjernekoplet last (RA, RB og RC) slik at kretsen utenfor lasten oppfatter de to lastkoplingene som likeverdige. Det betyr at strømmene inn til nodene A, B og C er like store for de to lastkoplingene, og det samme gjelder spenningene mellom nodene A, B og C. Legg merke til at stjernekoplingen innfører en node som ikke finnes i trekantkoplingen.

Områdene som er merket Elektrisk krets er en generell krets med kilder og motstander – eller for eksempel en eneste spenningskilde mellom nodene A og B der node C ikke er tilkoplet:

Spenningskilden til venstre har en resulterende lastmotstand mellom nodene A og B gitt av Rab i parallell med seriekoplingen av Rbc og Rca. Spenningskilden til høyre har en resulterende lastmotstand mellom nodene A og B gitt av seriekoplingen av RA og RB:

RARB=Rab∥RbcRca=1

1Rab

1

RbcR ca

Hvis en enkelt spenningskilde koples til nodeparet B-C eller C-A vil kan vi sette opp tilsvarende sammenhenger mellom resistansverdiene:

RBRC=Rbc∥RcaRab=1

1Rbc

1

RcaRab

og RCRA=Rca∥RabRbc=

11

Rca

1RabRbc

Disse 3 uttrykkene kan omformes til

RA=Rca⋅Rab

RcaRabRbcRB=

Rab⋅Rbc

RabRbcRcaRC=

Rbc⋅Rca

RbcRcaRab

som gir omregning fra trekant- til stjernelast, eller

Rab=RARCRA⋅RC

RB Rbc=RBRA

RB⋅RA

RC Rca=RCRB

RC⋅RB

RA

som gir omregning fra stjerne- til trekantlast.

Elektrisk krets Elektrisk krets

01_DC 13

Utfordring 1Finn resistansverdiene for trekantkoplingen dersom resistansverdiene i den tilsvarende stjernekoplingen er RA=RB=RC=R .

Utfordring 2Finn resistansverdiene for stjernekoplingen dersom resistansverdiene i den tilsvarende trekantkoplingen er Rab=Rbc=∞ og Rca=R .

Utfordring 3Beregn resistansverdien mellom nodene A og B:

14 01_DC

Oppgave 2

Oppgave 2.1Beregn disse spenningene:

VAB = VA =

VBC = VB =

VDC = VC =

VAC = VD =

VDB =

Oppgave 2.2Beregn disse spenningene:

VAB = VA =

VBC = VB =

VDC = VC =

VAC = VD =

VDB =

Oppgave 2.3a) Beregn resistansverdi for den motstanden som kan erstatte sammenkoplingen av 2, 3 og 6-ohms motstandene.

b) Beregn I1, I2 og I3

c) Beregn effekttapet i hver av motstandene.

d) Beregn avgitt effekt fra spenningskilden.

Oppgave 2.4a) Beregn samlet belastningsresistans for spenningskilden.

b) Beregn spenningene

VAB = VA =

VAC = VB =

VDB = VD =

01_DC 15

Elektriske kilder

Egenstyrte kilder

SpenningskildenEn ideell spenningskilde holder en konstant elektrisk potensialforskjell mellom mellom to noder – uavhengig av belastningsforholdene mellom nodene. Strømmen som spenningskilden leverer er bestemt av belastningen mellom nodene. Et grensetilfelle er at belastningen består av en kortslutning, det vil si en potensialforskjell på 0 Volt. Det blir da en umulighet at spenningskilden skal greie å holde en potensialforskjell ulik null.

Egenstyrte kilder er teoretiske komponenter som brukes i modeller for praktiske, virkelige kilder.

Vs er den ideelle spenningskilden, R er en belastning (ytre krets). Strømmen er gitt av Ohms lov. R kan ha verdi fra uendelig ned mot null, men ikke null.

Sett ut fra kilden Vs1 består den ytre kretsen av en resistans og en annen ideell spenningskilde. Strømmen I kan være positiv eller negativ – alt etter verdiene på Vs1 og Vs2.

En praktisk spenningskilde kan tenkes å være en ideell spenningskilde i serie med en resistans (indre motstand).

Spenningen V ut fra den praktiske kilden er Vs for den indre ideelle kilden minus spenningsfallet over indre motstand Ri.

Den praktiske kilden leverer Vs volt med åpne klemmer. Korslutningsstrømmen er Ik = Vs / Ri .

StrømkildenEn ideell stømkilde leverer en konstant strøm til en ytre krets – uavhengig av belastningsforholdene. Spenningen over strømkilden er bestemt av den ytre kretsen.

Is er den ideelle strømkilden, R er en belastning (ytre krets). Spenningen over kilden er gitt av Ohms lov, V=R∙Is. R kan ha verdi fra null opp mot uendelig, men ikke uendelig. Hvorfor?

16 01_DC

Den ytre kretsen for strømkilden bestemmer spenningen over strømkilden, VI:

VI = VS + VR = Vs + R∙Is

Felles for kildene ovenfor er at de leverer konstant verdi for spenning eller strøm. Denne verdien er gitt en gang for alle. Dette er egenstyrte eller uavhengige kilder.

En praktisk strømkilde kan tenkes satt sammen av en ideell strømkilde i parallell med en motstand.

Strømmen I ut fra den praktiske kilden er Is for den indre ideelle kilden minus strømmen som deles gjennom den indre motstand Ri.

Den praktiske kilden leverer Is Ampere til en kortslutning. Kilden kan ha åpne klemmer (uendelig belastning).

KildeomvandlingsprinsippetEn praktisk strømkilde kan regnes om til en praktisk spenningskilde etter kildeomvandlingsprinsippet. Den ene kan betraktes som en Thevenin-ekvivalent med VTh i serie med RTh, den andre som en Norton-ekvivalent med IN i parallell med RN.

VTh = IN∙ Ri I N=

V Th

Ri

Hvis kildene skal levere samme tomgangsspenning har vi at VTh = RN∙IN og skal de levere samme

kortslutningsstrøm gir det V Th

RTh=I N . Med 'nullskrudde' kilder ser vi at RTh=RN, altså,

RTh = RN = Ri VTh = IN∙ Ri I N=

V Th

Ri

RegneksempelEn ideell strømkilde, en motstand og en ideell spenningskilde er koplet mellom nodene A og B.

Spenningskilden gir at VAB=2 V.

Strømkilden gir at I1=2A.

Ohms lov gir at I2=2/2=1A og at PR=22/2=2W

Kirchoffs strømknutepunktslov gir at I3=1-2=-1A

Strømkilden har 2V over seg og spenningskilden 'leverer' -1A.

Spenningskilden leverer 2∙-1=-2W

Strømkilden leverer 2∙2=4W

01_DC 17

En ideell strømkilde, en motstand og en ideell spenningskilde er koplet mellom nodene A og B.

Spenningskilden gir at VAB= -2 V.

Strømkilden gir at I1=2A.

Ohms lov gir at I2=-2/2= -1A og at PR=22/2=2W

Kirchoffs strømknutepunktslov gir at I3=-(2--1)= -3A

Strømkilden har -2V over seg og spenningskilden leverer 3A.

Spenningskilden leverer 2∙3=6W

Strømkilden leverer -2∙2=-4W

De to kretsene ovenfor viser at ideelle kilder 'må finne seg i' å levere negativ effekt. Det er en konsekvens av at

En ideell spenningskilde bestemmer spenningen mellom nodene den er koplet til. Strømmen gjennom spenningskilden er bestemt av ytre krets.En ideell strømkilde bestemmer strømmen den leverer ut - og henter inn. Spenningen over strømkilden er bestemt av ytre krets.

Fremmedstyrte kilderSom et hjelpemiddel til analyse av transistorer, operasjonsforsterkere, transformatorer og andre kretselementer er det nyttig å innføre fremmedstyrte kilder. Et annen navn for disse er avhengige kilder. Felles for de 4 utgavene av styrte kilder er at selve kildelementene har samme egenskaper som ved egenstyrte kilder. Forskjellen fra egenstyrte kilder er at verdien for levert strøm eller spenning bestemmes av en strøm- eller spenningsreferanse i kretsen utenfor kilden.

En spenningsstyrt spenningskilde leverer spenningen Vs som er gitt av den målte spenningen Vx multiplisert med en konstant faktor A. Faktoren har dimensjon Volt/Volt.Kildesymbolet er viser en DC spenningskilde, men kan like gjerne være en sinus- eller pulskilde.

En strømstyrt spenningskilde leverer spenningen Vs som er gitt av den målte strømmen Ix multiplisert med en konstant faktor B. Faktoren har dimensjon Volt/Ampere.

Spenningsstyrt strømkilde

En spenningsstyrt strømkilde leverer strømmen Is som er gitt av den målte spenningen Vx multiplisert med en konstant faktor C. Faktoren har dimensjon Ampere/Volt.

18 01_DC

En strømstyrt strømkilde leverer strømmen Is som er gitt av den målte strømmen Ix multiplisert med en konstant faktor D. Faktoren har dimensjon Ampere/Ampere.

Her er en strømstyrt strømkilde brukt som modell for en transistor som er koplet mellom punktene B, C og E.

Strømmen gjennom R2 kan beregnes hvis V1, R1 og D-faktoren er kjent.

V2 og R2 har ingen (teoretisk) innflytelse på strømmen gjennom disse, den er bestemt av styrestrømmen og forsterkningsfaktoren i den styrte kilden.

I LTSpice har strømstyrte kilder ikke eget symbol, de må settes sammen av både en F-kilde og en spenningskilde (på 0 V) som fører den strømmen som skal styre strømkilden eller spenningen. Slik kan vi lage en forenkling av en transistorforsterker:

Her er en modell av en (tapsfri) transformator med omsetningsforhold på 4 basert på ideelle styrte kilder, en strømstyrt strømkilde til venstre og en spenningsstyrt spenningskilde til høyre. Spenningen over lasten blir 4 ganger større enn generatorspenningen på 220V. Strømmen gjennom lasten styrer strømkilden slik at generatorstrømmen blir 4 ganger større enn laststrømmen.

01_DC 19

Simulering med SpiceSpice (Simulating Program with Integrated Circuit Emphasis) er et velutviklet simulatorprogram for analoge og digitale kretser. En simulering består grovt sett av 4 stadier:

Lag en kretsbeskrivelse.Velg analysemetode.Start simuleringen.Se på resultatene.

Spice er behandlet i et eget hefte. Her er følger en kort introduksjon.

Lag en kretsbeskrivelse

Kretsbeskrivelsen kan gjøre på flere måter, enten rent tekstbasert eller grafisk med en skjemaeditor. Her velger jeg å demonstrere den tekstbaserte beskrivelsen som også ligger i bunnen av de grafiske kretstegningene. Kretsen består av komponenter som 'koples' mellom nummererte noder. Node 0 må alltid være med, den definerer 0 Volt i kretsen.

Hver komponent settes opp i en linje i en tekstfil, se Eks2.cir. Linjer som starter med * er kommentarer. Først noteres typen av komponent der første bokstav avgjør hvilken komponent det gjelder,

C = kondensatorI = strømkildeL = spoleR = motstandV = spenningskilderosv.osv.

Dernest settes det opp mellom hvilke noder komponenten er koplet opp, og til slutt gis komponentverdien.

Komponentene plasseres i valgfri rekkefølge. Den første komponenten nedenfor er en spenningskilde med +pol til node 1 og -pol til node 0 som leverer 2 Volt DC. Deretter følger fire motstander og nok en spenningskilde:

V_1 1 0 DC 2 R_1 2 0 3 R_2 3 0 4 R_3 1 2 5 V_2 3 2 DC 6 R_4 1 3 7

Velg analysemetode

Deretter kan det settes opp analysekommandoer og .end som avslutter det hele. I vårt tilfelle er vi ikke interessert i spesielle analyser – bortsett fra den DC-beregningen som alltid vil bli gjort.

Her ser du hvordan dette er satt opp i LTSpice:

20 01_DC

Start simuleringen

Teksten i Eks2.cir blir sendt til beregningsmodulen i LTSpice hvis du klikker på Run-ikonet. Først blir kretsbeskrivelsen lest igjennom og hvis spice godkjenner teksten blir det startet beregninger – i motsatt fall får vi en feilmelding. Her gikk det glatt, og resultatene vises slik:

Se på resultatene

Beregningene blir lagt i en fil med navnet Eks2.raw som vises i vinduet ovenfor. Som du ser vil alle nodespenningene og strømmen gjennom kretskomponenter og spenningskildene bli beregnet. Du kan også be om å få andre verdier som for eksempel effekttap.

Spice med skjemategner

Den samme kretsen kan også tegnes inn i Spice. Komponentene hentes fra menylinja og plasseres i skjemavinduet. Deretter trekkes ledninger mellom nodene. Nodene får automatisk navn av skjemategneren, men vi kan også sette inn de nodenavnene vi ønsker. Her er kretsen fra Eksempel 2 tegnet inn i LTSpice:

01_DC 21

22 01_DC

Kretsteorier

Ohms lov og Kirchoffs loverSom introduksjon til kretsanalyse med maskelikninger regner vi først igjennom en DCkrets med Ohms og Kirchoffs lover.

Eksempel 1 – Krets med spenning- og strømkilde

Kretsen inneholder 3 motstander, 1 spenningskilde og 1 strømkilde koplet opp mellom nodene A, B, C og D. Vi skal finne følgende størrelser:

1. Strømmen ut av spenningskilden 2. Spenningen over strømkilden 3. Effekttap i hver motstand 4. Levert effekt fra hver kilde

Det finnes ikke en entydig oppskrift på hvordan slike kretsproblemer løses. Vi kan i prinsippet starte hvor som helst og sette opp uttrykk basert Ohms lov og Kirchoffs strøm- og spenningslov - og deretter forenkle uttrykkene til vi står igjen med løsning for den enkelte strøm eller spenning. Senere skal vi se på en mer systematisk måte å gjøre dette. Her starter vi for eksempel med den ukjente spenningen over motstanden på 7 ohm, VCA og setter opp uttrykk for strømmene inn til node C:

I1 + I2 + I3 = 0 → I1 + 8 + -VCA/7 = 0 0 Dette ser ikke greit ut, vi har nå en likning med 2 ukjente. Strømmen I3 kan beregnes av Ohms lov som I3 = VAC / 7 som altså er det samme som I3 = -VCA / 7. Fortegnet, dvs. polariteten er viktig å plassere riktig! Strømmen I1 og spenningen over motstanden på 4 ohm henger også sammen i Ohms lov,

I1 = VBC / 4 → I1 = (6 - VCA) / 4 1 - altså en sammenheng mellom I1 og VCA. Setter dette inn i 0 og får

(6-VCA)/4 + 8 - VCA/7 = 0 → VCA = 24.18 [V] Resten går glatt:

1. Strømmen ut av spenningskilden I1 = (6-VCA)/4 = (6-24.18)/4 = -4.55 [A]

01_DC 23

2. Spenningen over strømkilden VDA = VDC + VCA = 5∙8 + 24.18 = 64.18 [V]

3. Effekttap i hver motstand P4 = RI2 = 4∙4.552 = 82.81 [W] P7 = V2/R = 24.182/7 = 83.54 [W] P5 = R∙I2 = 5∙82 = 320 [W]

4. Levert effekt fra hver kilde PV = V∙Iut = 6·(-4.55) = -27.30 [W] PI = V∙Iut = 64.18∙8 = 513.4 [W]

I DCkretser har vi noen enkle sammenhenger som må kombineres for å finne ukjente strømmer eller spenninger:

Ohms lov: V = R∙ISpenningsfallet V regnes positivt der strømmen I går inn i motstanden. I kretsen ovenfor har vi for eksempel:

VBC = 4∙(-4.55) = -18.18 [V]VCD = 5∙(-8) = -40 [V]I3 = VAC/7 = -VCA/7 = -24.18/7 = -3.45 [A]

Kirchoffs strømlov: summen av alle strømmene inn til en node er 0.I1 + I2 + I3 = -4.55 + 8 + -3.45 = 0 [A]

Kirchoffs spenningslov: summen av spenningene rundt en sløyfe er 0.VAB + VBC + VCA = -6 + -18.18 + 24.18 = 0 [V]VAB + VBC + VCD + VDA = -6 + -18.18 + -40 + 64.18 = 0 [V]

Eksempel 2 – Krets med spenningskilder og motstander.

Her ser du en krets som består 2 spenningskilder og 4 motstander koplet opp mellom nodene 0, 1, 2 og 3:

Vi vil nå bestemme de viktigste strømmene i denne kretsen. Ved å bruke Kirchoffs 2 lover på en systematisk måte kan dette bli enkelt. Det er tegnet inn 3 maskestrømmer I1, I2 og I3 med strømretning 'med klokka'. Strømmene gjennom kretskomponentene blir dermed:

2V-kilden fører strømmen I1 ut av +pol7ohm-motstand fører strømmen I2 mot høyre4ohm-motstand fører strømmen I3 nedover5ohm-motstand fører strømmen I1-I2 mot høyre

24 01_DC

3ohm-motstand fører strømmen I1-I3 nedover6V-kilden fører strømmen I3-I2 ut av +pol

Det som er oppnådd med dette oppsettet er at summen av strømmene inn til en hvilken som helst node er null, eks. node 2:

Fra venstre: I1-I2

Fra høyre: I2-I3

Nedenfra: I3-I1

Sum: I1-I2 + I2-I3 + I3-I1 = 0

Denne kretsen består av 6 grener (branch) og 4 noder. Det kan vises at antall masker (mesh) blir antall grener minus antall noder pluss 1, dvs. 6-4+1 = 3. Dette tilsvarer antall 'vindusåpninger' du ser i koplingsskjemaet.

Vi setter opp Kirchhoffs spenningslov for hver enkelt maske, på formen spenningsfall = drivspenning:

Maske 1: V20 + V12 = V10

Maske 2: V13 + V21 = V23

Maske 3: V02 + V30 = V32

OBS! Du kan selvsagt velge å sette dette opp ved å gå rundt maskene i den retningen du vil, men hvis vi konsekvent følger maskestrømmens retning får vi et ryddig oppsett av likningene som vi til slutt må løse.

Setter inn tallverdier i de 3 maskelikningene:

Maske 1: V20 + V12 = V10 → 3∙(I1-I3) + 5∙(I1-I2) = 2Maske 2: V13 + V21 = V23 → 7∙I2 + 5∙(I2-I1) = -6Maske 3: V02 + V30 = V32 → 3∙(I3-I1) + 4∙I3 = 6

Rydder opp og samler ledd med I1, I2 og I3:

(3+5)∙I1 - 5∙I2 - 3∙I3 = 2 -5∙I1 + (7+5)∙I2 - 0∙I3 = -6 -3∙I1 - 0∙I2 + (3+4)∙I3 = 6

De 2 leddene med 0∙I3 er satt inn for å lage en matriseform på dette likningssettet med 3-likninger-og-3-ukjente. Løsningen er enkel med kalkulator eller Matlab. Hva blir svaret?

MaskelikningsmetodenDe samme likningene som beregner maskestrømmene i regneeksemplet kan vi sette opp enklere uten å gå i detaljer for hver enkelt komponent slik det ble gjort ovenfor. Metoden er basert på superposisjonsprinsippet som blir gjennomgått senere:

1- Tegn inn maskestrømmer i retning 'med klokka'.For hver maske gjør du følgende,2 - Sett opp spenningsfallet som hovedmaskestrømmen alene vil gi.3 - Legg til spenningene som nabomaskestrømmene vil gi i maska.4 - Sett summen av spenningsfallene til drivspenningen i maska.

01_DC 25

For kretsen ovenfor kan vi ganske enkelt sette opp:

(3+5)∙I1 - 5∙I2 - 3∙I3 = 2 -5∙I1 + (7+5)∙I2 - 0∙I3 = -6 -3∙I1 - 0∙I2 + (3+4)∙I3 = 6

Legg merke til at leddene 0∙I2 og 0∙I3 betyr at det er 0 ohm resistans i den greina som maske 1 og 3 har felles. Likningssettet har symmetri om hoveddiagonalen dersom vi har fått med alle faktorene på riktig måte.

Kalkulatoren tar seg av detaljene i likningsløsningen og gir dette svaret:

I1 = 0.4473[A] I2 = -0.3136[A] I3 = 1.049[A]

Eksempel 3 - Maskelikninger for krets med VDC, IDC og R

Kirchhoffs spennigslov sier at summen av delspenningene i en maske er lik null. For maske 1 og 2 er dette enkelt,

Maske 1: V20 + V12 = V10

dvs. 7∙(I1-I3) + 4∙(I1-I2) = 6

Maske 2: V21 + V32 + V43 = V41

dvs. 4∙(I2-I1) + 5∙(I2-I3) + 3∙I2 = -2

De samme 2 likningene kan settes opp ved først å la maskestrømmen lage spenningsfall og deretter justere for virkningen av nabomaskestrømmene:

(4+7)∙I1 - 4∙I2 - 7∙I3 = 6 -4∙I1 + (3+5+4)∙I2 - 5∙I3 = -2 Fordelen med å sette det opp slik er at løsningen av likningssettet blir enklere å utføre med kalkulator eller Matlab.

Strømkilden i denne kretsen leverer en konstant strøm på 8 A og vil få en spenning over sine klemmer, V30, bestemt av den ytre kretsen. Denne ukjente spenningen setter vi i første omgang inn i likningssettet som om den var en drivspenning i maske 3 på samme måte som de konstante spenningene i maske 1 og 2. Kirchoffs ligning for maske 3 blir da:

-7∙I1 - 5∙I2 + (7+5)∙I3 = -V30

likningssettet ser foreløpig slik ut med symmetri om diagonalen og med 4 ukjente (!) størrelser

26 01_DC

(4+7)∙I1 - 4∙I2 - 7∙I3 = 6 -4∙I1 + (3+5+4)∙I2 - 5∙I3 = -2 -7∙I1 - 5∙I2 + (7+5)∙I3 = -V30

Strømkilden bestemmer at I3 = -8. Dessuten flyttes den ukjente V30 fra høyre side over til venstre side,

11∙I1 - 4∙I2 - 7∙(-8) = 6 -4∙I1 + 12∙I2 - 5∙(-8) = -2 -7∙I1 - 5∙I2 + 12∙(-8) + V30 = 0

-og etter siste rydding har vi 3 ligninger med 3 ukjente,

11∙I1 - 4∙I2 + 0∙V30 = -50 -4∙I1 + 12∙I2 + 0∙V30 = -42 -7∙I1 - 5∙I2 + 1∙V30 = 96

-og satt opp på matriseform:

[ 11 −4 0−4 12 0−7 −5 1]⋅[ I 1

I 2

V 30]=[−50

−4296 ]

Matlab tar seg av resten:

>> V = [11, -4, 0; -4, 12, 0; -7, -5, 1];>> H = [-50; -42; 96];>> linlign(V, H)ans = -6.6207 -5.7069 21.1207

I1 = -6.62[A], I2 = -5.71[A], I3 = -8.00[A], V30 = 21.12[V]

En tekstbasert PSpice simulering kan verifisere resultatene:

* 2vdcidc4r.cirV_2 1 4 DC 2R_3 4 3 3R_4 1 2 4R_5 2 3 5V_6 1 0 DC 6R_7 2 0 7I_8 0 3 DC 8.END

NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE( 1) 6.0000 ( 2) 9.6552 ( 3) 21.1210 ( 4) 4.0000

VOLTAGE SOURCE CURRENTSNAME CURRENT V_2 -5.707E+00 V_6 6.621E+00

01_DC 27

Eksempel 4 - Maskelikninger for krets med VDC, IDC og R

Maskestrømmene er ikke tegnet inn som strømbaner, men satt inn som strømpilene I1, I2 og I3. Kirchoffs spennigslov sier at summen av delspenningene i en maske er lik null. For maske 1 er dette enkelt:

(2+3)∙I1 - 2∙I2 - 3∙I3 = -4 Strømkilden i denne kretsen leverer en konstant strøm på 6 A og vil få en spenning over sine klemmer, V13, bestemt av den ytre kretsen. Denne ukjente spenningen setter vi i første omgang inn i likningssettet som om den var en drivspenning i maske 2 og 3 på samme måte som den konstante spenningen -4 i maske 1. Kirchoffs ligninger for maske 2 og 3 blir da:

-2∙I1 + (2+5)∙I2 - 0∙I3 = V13

-3∙I1 - 0∙I2 + (3+7+8)∙I3 = -V13

Likningssettet ser foreløpig slik ut med symmetri om diagonalen og med 4 ukjente (!) størrelser:

5·I1 - 2·I2 - 3·I3 = -4 -2·I1 + 7·I2 - 0·I3 = V13

-3·I1 - 0·I2 + 18·I3 = -V13

Strømkilden bestemmer at I2-I3 = 6 , slik at vi kan eliminere I2 eller I3. Velger å gå videre med at I3 = I2 - 6 Dessuten flyttes den ukjente V13 fra høyre side over til venstre side,

5·I1 - 2·I2 - 3·(I2-6) = -4 -2·I1 + 7·I2 - 0·(I2-6) - V13 = 0 -3·I1 - 0·I2 + 18·(I2-6) + V13 = 0 -og etter litt faktorisering og flytting av konstantledd,

5·I1 - 5·I2 + 0·V13 = -4 - 18 -2·I1 + 7·I2 - 1·V13 = 0 -3·I1 + 18·I2 + 1·V13 = 0 + 108

-og satt opp på matriseform:

[ 5 −5 0−2 7 −1−3 18 1 ]⋅[ I 1

I 2

V 13]=[−22

0108 ]

28 01_DC

Matlab tar seg av resten:

>> V = [5, -5, 0; -2, 7, -1; -3, 18, 1];>> H = [-22; 0; 108];>> linlign(V, H)

ans = -0.1000 4.3000 30.3000

I1 = -0.1[A], I2 = 4.3[A], I3 = I2-6 = -1.7[A], V13 = 30.3[V]

En tekstbasert PSpice simulering kan verifisere resultatene:

* vdcidcr2.cirR_2 0 1 2R_3 1 2 3V_4 2 0 DC 4R_5 0 3 5I_6 3 1 DC 6R_7 3 4 7R_8 2 4 8.END

NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE NODE VOLTAGE( 1) 8.8000 ( 2) 4.0000 ( 3) -21.5000 ( 4) -9.6000

VOLTAGE SOURCE CURRENTSNAME CURRENTV_4 -1.000E-01

SuperposisjonsprinsippetFiguren illustrerer en krets som består av egenstyrte kilder og motstander. Slike komponenter er lineære, enten leverer de konstante strømmer eller spenninger – eller så er det en lineær sammenheng (ohms lov) mellom strøm og spenning.

Hver enkelt kilde bidrar til grenstrømmer (Ix) eller spenninger mellom noder (Vy) uavhengig av hverandre.

Prinsippet går ut på å finne en grenstrøm eller nodespenning ved å summere bidragene fra hver enkelt kilde med alle andre kilder satt til null.

Matematisk sagt har vi at I x=A⋅V 1B⋅V 2C⋅V 3D⋅V 4E⋅I 1F⋅I 2

og tilsvarende at V y=P⋅V 1Q⋅V 2R⋅V 3S⋅V 4T⋅I 1U⋅I 2

der vi på en eller annen smart måte må bestemme faktorene A-F og P-U. I uttrykket for Ix ser vi at A kan finnes hvis vi lar de andre leddene bli null ved at kildene skrues til null leveranse (kortslutning/brudd). Deretter lar vi neste kilde være aktiv med de øvrige nullskrudd – og fortsetter til alle får levere hver sin gang. For hver av disse deloperasjonene beregnes bidraget til strømmen Ix eller

01_DC 29

spenningen Vy – og til slutt summeres bidragene.

En strømkilde som leverer 0 Ampere tilsvarer et brudd i kretsen.En spenningskilde som leverer 0 Volt tilsvarer en kortslutning.

Vi tar for oss en enkel krets med en spenningskilde, en strømkilde og to motstander. For å gjøre arbeidet oversiktlig tegnes kretsen om slik at vi ser tydelig at i den ene beregningen skal spenningskilden være aktiv og strømkilden være passiv (levere 0 A) – og i neste beregning er det spenningskilden sin tur til å være passiv (levere 0 V) mens strømkilden er aktiv:

Her er en krets med 2 kilder. Vi ønsker å finne strømmen Ix ved hjelp av superposisjon.

Strømkilden nullstilles (leverer 0A, dvs: er et brudd) og strømbidraget fra spenningskilden blir:

I x' =

V 1

R1R2= 8

62=1 A

Spenningskilden nullstilles (leverer 0V, dvs. er kortslutning) og strømbidraget fra strømkilden blir

I x' '=−I 1

R1

R1R2=−4 6

62=−3 A

Dermed får vi I x= I x' I x

' '=1 – 3=−2 A

Vi kan vise at dette er riktig ved å finne strømmen Ix i den opprinnelige kretsen ut fra de vanlige kretsteoriene:

R2 I x=V bc

V dc=V bc – V 1

I R1=V bc – V 1

R1=

R2 I x – V 1

R1

I x I R1= I xR2 I x –V 1

R1=−I 1

I x R1R2=V 1 – I 1 R1

I x=V 1

R1R2– I 1

R1

R1R2= 8

62– 4 6

62=1 – 3=−2 A

I dette oppsettet ser vi at de to delstrømmene for Ix har verdier slik superposisjonsprinsippet sier.

I en krets med flere kilder blir det fort mange skjemaforenklinger og delberegninger som må gjøres for å finne det endelige resultatet. Hvis vi er ute etter tallsvar er maskelikningsmetoden å foretrekke, hvis

30 01_DC

vi skal gjøre en analyse av hvordan de enkelte kildene påvirker det endelige er superposisjon den enkleste metoden.

Resiprositet og toportEn krets med en spenningskilde og flere lineære (ohmske) elementer har en innbygget gjensidighet når det gjelder påvirkning og respons. Med påvirkning menes at en spenning koples mellom to noder – og respons er resulterende strøm i en gren i kretsen. Her er et eksempel:

Spenningskilden på E = 7 V driver en strøm som fordeler seg mellom 5 ohm og 3+4 ohm og gir

I x=E

65∥34 5

534=E 5

107= 35

107 A

Her er spenningskilden flyttet til den grena der strømmen Ix ble beregnet og vi beregner strømmen Iy der kilden ble flyttet fra:

I y=E

345∥65

56=E 5

107= 35

107 A

Beregningene ovenfor viser resiprositeten i nettverket mellom høyre og venstre gren,

En slik oppkopling mellom to nodepar kalles en toport. Den kan generelt beskrives av 4 parametre på enten resistans- eller konduktansform. Her er den samme kretsen vist med spenningskilder koplet til hver av portene:

Maskelikningene som lager sammenheng mellom V1, I1, V2 og I2 blir slik:

11 I 1 −5⋅−I 2 = V 1

−5 I 1 12⋅−I 2 = −V 2

Legg merke til at maskestrømmen på høyre side er satt til -I2 for å gi samsvar med det vanlige likningsoppsettet. En liten omforming av likningen ovenfor gir

V 1 = 11 I 1 5 I 2 = R11 I 1 R12 I 2

V 2 = 5 I 1 12 I 2 = R21 I 1 R22 I 2

01_DC 31

Koeffisientene R11, R12, R21 og R22 kalles gjerne resistansparametrene for toporten. Legg merke til bruken av indeksene,

R11 er egenresistansen i maska innenfor port 1

R12 er gjensidig resistans fra maske 1 til maske 2

R21 er gjensidig resistans fra maske 2 til maske 1

R22 er egenresistansen i maska innenfor port 2

Med utgangspunkt i likningene ovenfor kan vi tegne opp en krets som er ekvivalent med den opprinnelige kretsen. Du ser muligens hvordan denne vil bli, men først kommer likningsoppsettet nok en gang med noe omskrevne verdier:

65 I 1 −5⋅−I 2 = V 1

−5 I 1 57⋅−I 2 = −V 2

Dette er faktisk likningssettet til en krets som kan koples opp slik og som er toportekvivalenten til kretsområdet innenfor a-b og g-h:

Vi går nå litt tilbake til innledningen om resiprositet. Setter vi V2=0 og V1=7 har vi den første kretsen og likningssettet med tallverdier fra kretsen gir

I 2=V 1

R21

R12 R21 – R11 R22=−35

107 A

Tilsvarende vil V1=0 og V2=7 tilsvare krets nr. 2 som gir

I 1=V 2

R12

R12 R21−R11 R22=−35

107 A

Årsaken til at verdiene er like store er at R21 = R12. Dette gjelder for alle resiproke toporter, den gjensidige påvirkningen fra port 1 til port 2 er like stor som fra port 2 til port 1.

Maksimal effektoverføringEn praktisk spenningskilde som er belastet med en resistans RL vil drive en strøm gjennom både indre motstand og lasten:

32 01_DC

Strømmen IL gjennom lastmotstanden beregnes med Ohms lov, I L=V i

RiRL og spenningen VL kan

for eksempel beregnes som spenningsdeling, V L=V i

RL

RiRL.

Effektomsetningen i RL blir P L=V L⋅I L=V i

RL

RiRL⋅

V i

RiRL=V i

2 RL

RiRL2

Med for eksempel Vi=6 V og Ri=4 ohm og RL som variabel vil vi få følgende uttrykk for effekten som funksjon av lastresistansen:

P LRL=36RL

4RL 2

Et plot av denne funksjonen i SciLab ser slik ut,

Det ser ut som om at en lastresistans på 4 ohm mottar mest mulig effekt fra kilden (toppunkt ca. 0.56 W). Hvis kilden belastes med en RL slik at den har en tapseffekt på for eksempel 0.1 W kan vi lese av at RL≈0.2 ohm og RL≈90 ohm er to resistansverdier som begge gir dette tapet.

Hvis vi ønsker å finne den eksakte RL-verdien som gir maksimum effekt kan vi bruke teknikken med å finne toppunktet for en kurve ved å derivere funksjonsuttrykket og finne hvilken RL-verdi som gir null for den deriverte:

dPL

dRL=V i

2 RiRl2−2 RL RiRL

RiRL 4

som kan forenkles hvis Ri≠RL:

dPL

dRL=V i

2 Ri−RL

RiRL3

Den deriverte er null for RL = Ri og dette gjelder uavhengig av verdien på Vi. Dette er teoremet om maksimum effektoverføring:

For å overføre maksimal effekt til en last som er koplet til en praktisk spenningskilde må verdien av lastmotstand være lik verdien av kildens indre motstand.

Ved maksimum effektoverføring er

P L=V i

2

4 RL2 I L=

V i

2 RLV L=

V i

2

Legg merke til at

– Verdien av kildens indre spenning har ingen betydning for verdien av den gunstigste

01_DC 33

lastvresistansen for maksimum effektoverføring, men størrelsen på den overførte effekten er selvsagt avhengig av spenningen.

– Teoremet takler ikke en ideel spenningkilde med indre motstand på 0 ohm. Det ville gi umulige verdier for levert strøm hvis RL = Ri = 0.

En genrell lineær krets har en Theveninekvivalent innenfor et valgt nodepar som tilsvarer en praktisk spenningskilde slik at VTh = Vi og RTh = Ri. Hvis kretsen blir belastet i nodeparet med en lastverdi tilsvarende RTh vil den gi maksimum effektoverføring til lasten.

Med komponentverdier Vi=6, Ri=4 vil maksimum effekt bli levert til RL=4 og effekverdien blir

P L=V i

2

4 RL2 =

62

4⋅42=3664

=0.563 W

som er PL-verdien til toppunktet for kurven ovenfor.

34 01_DC

Thevenins ekvivalentThevenins ekvivalent er et av de viktigste teoremer til analyse av elektriske kretser. Det ble først formulert av Helmholz 30 år tidligere, men Leon-Charles Thevenin fikk æren for det. Han kalte det selv for teoremet om ekvivalent generator. En tilsvarende generatorekvivalent ble også presentert av Edward L. Norton.

Teoremet sier aten krets med lineære kretselementer innenfor to noder kan erstattes med en spenningskilde i serie med en resistans.

Her ser du til venstre en nokså kompleks sammenkopling av lineære elementer der det er markert to noder, A og B. Teoremet sier at hele kretskoplingen 'innenfor' A og B kan erstattes av den enkle koplingen til høyre. Ved hjelp av enkle kretsteorier kan vi beregne ekvivalentverdiene VTh og RTh når vi kjenner verdiene til alle kretselementene i den virkelige kretsen.Teoremet gjelder i forhold til to valgte nodepar. Hvis vi i kretsen ovenfor velger X og Y som kretsnoder vil verdiene VTh og RTh få andre verdier.

Theveninekvivalenten er spesielt nyttig til å finne ut hvordan en krets svarer på en ytre belastning mellom det valgte nodeparet. En ytre last koplet til det valgte nodeparet vil gi samme strøm/spenning til denne lasten som Theveninekvivalenten vil gi til den samme ytre lasten. Dette gjelder også om den ytre lasten er kortslutning, tomgang (åpen krets) eller til og med en annen lineær krets.

Verdiene av VTh og RTh kan finnes på følgende måte:

1. Sett en ytre last på R=∞ (åpne klemmer) mellom A og B både på Theveninekvivalenten og den originale kretsen. Spenningen Voc mellom A og B vil nå være lik VTh fordi spenningsfallet over RTh i dette tilfellet er null.

2. Sett en ytre last på R=0 (kortslutning) mellom A og B både på Thevenekvivalenten og den

originale kretsen. Strømmen Isc i kortslutningen fra A til B vil nå være lik V Th

RTh.

3. Med verdier for Voc og Isc kan RTh beregnes som RTh=V oc

I sc.

Dette må vi prøve med noen eksempler:

Her er en krets med 3 noder som gir følgende mulige valg av nodepar, A-B, B-C og A-C.

Vi tar først for oss kretsen sett i forhold til nodeparet A-B og gjør beregninger i forhold til oppskriften ovenfor.

01_DC 35

1. Tomgangsspenningen finnes som spenningsdeling, V oc=9 663

=6 V

2. Kortslutningsstrømmen beregns med ohms lov, I sc=93=3 ohm

3. Theveninresistansen finnes med ohms lov, RTh=V oc

I sc=6

3=2 ohm

Dermed får vi følgende Theveninekvivalent i forhold til nodeparet A-B:

La oss teste om teorien stemmer hvis vi henger på en ytre lastmotstand på 2 ohm til nodeparet A-B:

Spenningen VAB i den opprinnelige kretsen lar seg beregne som spenningsdeling mellom 6||2 ohm og 3 ohm:

V AB=9 6∥26∥23

=9 1.51.53

=3 V

Spenningen VAB for Theveninekvivalenten belastet med 2 ohm blir

V AB=6 222

=3 V

Utfordring:Finn Theveninekvivalenten for kretsen innenfor nodeparet B-C og gjør samme beregninger som ovenfor.

Hvordan blir Theveninekvivalenten innenfor nodeparet A-C? Det er faktisk det samme som å spørre om Theveninekvivalent til en ideell spenningskilde. De to motstandene på 3 og 6 ohm vil nå ikke ha noe å si for strøm/spenning til ytre last mellom A og C.

36 01_DC

De to motstandene på 3 og 6 ohm vil ikke ha betydning for tomgangsspenningen mellom A og C eller strømmen i en kortslutning fra A til B.

Theveninekvivalenten består dermed av en spenningskilde på VTh=9 V og en RTh = 0.

Resistansverdien for RTh lar seg også beregne på en annen måte enn som vist i pkt.3 i oppskriften ovenfor. RTh er ikke avhengig av verdiene på spenning eller strøm som kildene i kretsen leverer. Derfor kan vi som et knep sette kildenes leveranser til null, det vil si å erstatte spenningkilder med kortslutninger og strømkilder med brudd – og deretter beregne RTh ut fra resistansene alene. I kretsen ovenfor vil vi da ganske enkelt finne at RTh=6∥3=2 ohm .

Nok et eksempel:

Her er en krets med 4 noder. Vi velger nodeparet A og C som lastpunkter og vil finne Theveninekvivalenten.

1. VTh beregnes som åpen-klemme spenning, det vil si VAC i kretsen til venstre.

2. RTh finnes som resistansverdien mellom A og C med kortslutninger i stedet for spenningskildene.

1. Setter opp maskelikninger for å beregne maskestrømmer,

7 I 1 −4 I 2 = 2−4 I 1 9 I 2 = 6

med løsning I1 = 0.8936 A og I2 = 1.0638 A

som gir V AC=V Th=25⋅−1.0638=−3.3191 V

2. Tegner om kretsen med nullstilte kilder (kortslutninger) og beregner RTh:

Med litt godvilje ser du at de 3 motstandene nå står i parallell med hverandre:

RTh=3∥4∥5= 113

14

15

=1.2766 ohm

01_DC 37

Eksempel på bruk av kretsteorierNedenfor er strømmen i en variabel lastmotstand beregnet med 4 ulike metoder. Det viser seg at å erstatte kretsen som lasten er koplet til med sin Theveninekvivalent gir enkleste beregninger for ulike lastverdier.

DCkrets med lastmotstandMed utgangspunkt i kretseksemplet nedenfor blir Thevenins ekvivalent presentert. Underveis blir både Kirchoffs kretslover og superposisjonsprinsippet brukt.

Denne kretsen drives av både en spenningskilde på 4 Volt og en strømkilde på 3 Ampere. Vi skal nedenfor gjøre beregninger av strømmer og spenninger med flere metoder.

La oss si at du ønsker å finne strømmen gjennom motstanden RL for verdiene 7 ohm, 0.7 ohm og 77 ohm. Det vil også være interessant å finne den verdien av RL som gjør at den får størst mulig effekt fra kretsen.

Kirchoffs strøm- og spenningslovSummen av strømmene inn til øvre node er null. Det er mulig å sette opp indirekte uttrykk for strømmene ut fra for eksempel den ukjente spenningen Vx over strømkilden:

Kirchoffs strømlov gir:

Ia + Ib + Ic + Id = 0

Setter opp uttrykk for strømmene ut fra Ohms lov:

I a=−V x – 4

5I b=

−V x

6I c=3 I d=

−V x

7og summerer:

−V x – 45

−V x

63

−V x

7=0

som har løsningen Vx = 7.4579 Volt.

Og dermed kan vi bestemme strømmen gjennom lastmotstanden på 7 ohm:

IRL = 7.458 / 7 = 1.0654 [A].

Og så må vi gjenta beregningene for RL=0.7 og RL=77 ...

38 01_DC

Laststrøm som funksjon av lastresistansDen samme beregningen som i forrige avsnitt skal nå gjøres med samme komponentverdier, men med RL som ukjent størrelse. Bruker samme framgangsmåte og summerer strømmene inn til øvre node.

Summen av strømmene inn til øvre node er null. Det er mulig å sette opp indirekte uttrykk for strømmene ut fra for eksempel den ukjente spenningen Vx over strømkilden:

Kirchoffs strømlov gir:

Ia + Ib + Ic + Id = 0

Setter opp uttrykk for strømmene ut fra Ohms lov:

I a=−V x – 4

5I b=

−V x

6I c=3 I d=

−V x

RL

og summerer:−V x – 4

5−V x

63

−V x

RL=0

som har løsningen

V x=114

1130RL

Laststrømmen finnes av Ohms lov:

I RL=V x

RL= 114

1130RL

RL

= 1143011 RL

Og dermed kan vi bestemme strømmen gjennom motstanden på 7 ohm:

IRL = 114 / (30+11·7) = 1.0654 [A].

Og så må vi gjenta beregningene for RL=0.7 og RL=77 ved å sette inn i det enkle uttrykket for IRL.

I dette eksemplet gikk det ganske greit å finne sammenhengen mellom laststrøm og lastspenning. I andre kretser kan dette bli problematisk. Vi foretrekker å løse slike oppgaver numerisk.

01_DC 39

MaskelikningerMaskelikningsmetoden lar oss i første omgang bestemme hovedstrømmene i kretsen. I dette tilfellet er laststrømmen lik strømmen i maska til høyre:

I1, I2 og I3 er de tre fiktive maskestrømmene som har retning med klokka rundt i sine masker.

Strømkilden har den ukjente spenningen Vx

over seg.

56 I 1 −6 I 2 −0 I 3 = 4−6 I 1 6 I 2 −0 I 3 = −V x

−0 I 1 −0 I 2 7 I 3 = V x

Dessuten: I3 – I2 = 3 som gir I2 = I3 - 3

Rydder opp i likningssettet:

11 I 1 −6 I 3 −0 V x = −184−6 I 1 6 I 3 1 V x = 18−0 I 1 7 I 3 −1 V x = 0

som gir løsningen IL = I3 = 1.0654 A

Og så må vi gjenta beregningene for RL=0.7 og RL=77 ...

SuperposisjonsberegningSuperposisjonsprinsippet kan også brukes til å finne laststrømmene. Med utgangspunkt i kretsen ovenfor lar vi spenningskilden virke normalt mens strømkilden leverer null (brudd) – og beregner bidraget til strømmen gjennom RL fra spenningskilden. Deretter lar vi strømkilden levere og kortslutter spenningskilden og finner bidraget til strømmen gjennom RL fra strømkilden. Den virkelige strømmen er summen av de 2 bidragene.

Strømkilden er nullskrudd, dvs. brudd.

Spenningskilden er nullskrudd, dvs. kortslutning.

Strømmen IRL' som spenningskilden gir alene er

40 01_DC

I RL '= 456|| 7⋅

17

16

17

=0.2243 A

Strømmen IRL'' som strømkilden gir alene er

I RL ' '=3

17

15

16

17

=0.8411 A

IRL = I' + I" = 0.2243 + 0.8411 = 1.0654 A

Og så må vi gjenta beregningene for RL=0.7 og RL=77 ...

Thevenins ekvivalentKretsen som RL er koplet til kan erstattes av sin Thevenin-ekvivalent, en ideell spenningskilde VTh i serie med en motstand RTh.

==>

Nedenfor er det beregnet at VTh = 10.3636 V og RTh = 2.7273 ohm. Foreløpig stoler vi på at det stemmer og kan da glatt beregne laststrøm for RL = 0.7 ohm, RL = 7 ohm og RL = 77 ohm ut fra et

enkelt uttrykk: I RL=V Th

RThRRL

For RL = 0.7 ohm: IL = 10.3636 / (2.7273+0.7) = 3.0238 [A]For RL = 7 ohm: IL = 10.3636 / (2.7273+7) = 1.0654 [A]For RL = 77 ohm: IL = 10.3636 / (2.7273+77) = 0.1300 [A]

Altså, Thevenin fant ut at kretsområdet til venstre for punktene A-B kan erstattes av en spenningskilde (VTh=10.3636V) i serie med en motstand (RTh=2.7273ohm), og at en hvilken som helst last tilkoplet den originale kretsen til samme punkter får samme strøm/spenning som om den koples til Theveninekvivalenten.

Denne viktige setningen gjelder for kretser som er koplet sammen av lineære elementer. Motstander, spennings- og strømkilder er lineære elementer. Operasjonsforsterkere og andre elektroniske komponenter kan også være lineære komponenter. Setningen gjelder også i AC-kretser med sinuskilder, motstander, spoler og kondensatorer. Og videre gjelder setningen for transiente kretser med kondensator eller spole tilkoplet lastpunktene. Lasten kan være alt fra kortslutning til brudd.

Kretsområdet som skal erstattes lar seg belaste utvendig tilsvarende sin Theveninekvivalent. Kretsen er redusert til en praktisk spenningskilde i serie med en motstand. I virkeligheten vil laststrømmen settes sammen av bidrag fra de enkelte kildene i Theveninområdet.

Dette er ikke slik å forstå at en elektrisk krets har bare én Theveninekvivalent. Det er først når vi

01_DC 41

merker oss 2 noder at vi kan finne Theveninekvivalenten for kretsområdet innenfor disse nodene. En krets kan altså ha mange Theveninekvivalenter – alt etter hvilke nodepar vi ser den fra.

Hvordan finnes VTh og RTh?

==>

Utgangspunktet er at setningen gjelder for alle lastverdier, ikke bare 7 ohm som i den konkrete oppgaven. Hvis vi går til det ekstreme vil det si at lasten kan være på null ohm eller uendelig ohm:

Tomgang, RL = ∞ ohm

==>

I tomgang vil spenningen over ekvivalentklemmene bli lik VTh fordi det ikke går laststrøm i en brutt krets og det blir ikke spenningsfall over RTh. Den spenningen som den originale kretsen gir ved uendelig stor last vil vi kunne beregne - og har dermed funnet VTh. Bruker for eksempel superposisjonsprinsippet:

VTh = 3·(5||6) + 4·6/(5+6) = 10.3636 [V]

Kortslutning, RL = 0 ohm

==>

Strømmen gjennom kortslutningen for Theveninekvivalenten vil gi en strøm på Isc = VTh / RTh. Den samme strømmen gir en kortslutning av den originale kretsen - og kan beregnes. Dermed finner vi RTh

= VTh / Isc. Bruker fortsatt superposisjonsprinsippet:

Isc = 3 + 4/5 = 3.8 A --> RTh = 10.3636/3.8 = 2.7273 [ohm]

Direkte beregning av RTh

Theveninmotstanden kan finnes på en enklere måte. Det viser seg at RTh ikke blir forandret om kildene innenfor det originale kretsområdet har andre verdier - også null!! Dermed kan alle kilder 'nullskrues', det vil si å erstatte alle spenningskilder med kortslutning og alle strømkilder med brudd,

42 01_DC

==>

I dette tilfellet finner vi at RTh = 5 || 6 = 2.7273 [ohm]

Etterpåklokskap

I det første eksemplet fant vi ut at strømmen gjennom en lastmotstand for Theveninområdet på 7 ohm blir 1.0654 A. Vi 'ser også lett at' RTh er 2.7273 ohm. Dermed kan VTh beregnes,

1.0654 = VTh / (2.7273+7) --> VTh = 1.0654·9.7273 = 10.3636 [V]

Etterpåklokskap 2

I det andre eksemplet ble det satt opp et uttrykk for laststrøm som funksjon av lastresistans:

I RL=V x

RL= 114

3011 RL

Her forkorter vi slik at faktoren foran RL blir 1:

I RL=114

3011 RL= 10.3636

2.7273RL

og observerer selvsagt at dette kan tolkes kretsmessig som at laststrømmen tilsvarer at en spenning på 10.3636 Volt driver strøm gjennom en seriekopling av 2.7273 ohm og RL. Med andre ord komponentene i Thevenins ekvivalent.

Maksimum effektoverføringBelastningsforholdene til en motstand RL koplet til den originale kretsen er akkurat de samme som om RL koples til kretsens Thevenin-ekvivalent. Effektomsetningen i RL lar seg enkelt beregne:

P RL=V L⋅I L=V Th

RL

RThRL⋅

V Th

RThRL=V Th

2 ⋅RL

RThRL2

Vi lar Matlab plotte denne funksjonen med RL som variabel i området ~0 til 10000 ohm og med komponentverdier fra kretsen ovenfor: >> RL=0.001:.01:10000; VTh=10.3636; RTh=2.7273;>> IRL=VTh./(RTh+RL); VRL=VTh.*RL./(RTh+RL); PRL=VRL.*IRL;>> plot(RL, VRL); hold on; plot(RL, IRL); plot(RL, PRL)

01_DC 43

På grunn av det store verdiområdet for RL er det valgt å bruke logaritmisk skalering på x-aksen.

Vi finner topppunktet for effektkurven ved å derivere uttrykket for PRL. Overlater det nok en gang til Matlab. Nå er RL, VTh og RTh definert som symbolske variable:>> syms RL VTh RTh;>> IRL=VTh/(RTh+RL); VRL=VTh*RL/(RTh+RL); PRL=VRL*IRL;>> diff(PRL)ans = 671276281/6250000/(RTh+RL)^2-671276281/3125000*RL/(RTh+RL)^3>> solve(RL, ans)ans = RThMatlab finner at den deriverte av PRL er null for RL = RTh. Vi kunne også ha verifisert at det er et topppunkt slik kurven viser.

Like utenpå – forskjellige inniVi kan ikke forlange mer av Thevenin-ekvivalenten enn det reklamen sier – nemlig at når vi kopler en lastmotstand til klemmene x-y i den originale kretsen vil laststrøm og lastspenning bli som om den var koplet til Thevenin-ekvivalenten for kretsen sett ut fra klemmeparet x-y. De interne forholdene i den originale kretsen er ikke slik som internt i Theveninekvivalenten.

Som illustrasjon på dette kan vi beregne effektforholdene inne i kretsen og dens ekvivalent ved for eksempel RL = RTh.

PRL = RL·IL2 = RL·(VTh / (RTh+RL))2 = 2.7273·(10.3636/(2·2.7273))2 = 9.8453 Watt

Kilden inne i Thevenin-ekvivalenten leverer

PVTh = VTh·IL = VTh·(VTh /(RTh + RTh)) = 10.3636·10.3636 / (2·2.7273) = 19.6906 Watt

Kildene inne i kretsen leverer

VL = VTh / 2 = 5.1818 Volt

PI = 5.1818 · 3 = 15.55 Watt

PV = 4·(-0.236) = -0.946 Watt

Ptot = PI + PV = 15.55 – 0.946 = 14.60 Watt

Tallene ovenfor illustrerer at kretsen og dens ekvivalent har forskjellige interne effektforhold, de leverer samme effekt til ytre last, men total levert effekt inne i Thevenin-ekvivalenten er 19.69 Watt mens total levert effekt fra kildene i kretsen er 14.60 Watt.

En simulering med Pspice viser det samme:

44 01_DC

Transistortrinn med TheveninekvivalentHer er et regneeksempel som illustrerer bruken av de grunnleggende kretsteoriene brukt for å analysere en transistorforsterker. En forenklet modell av transistoren beskriver virkemåten ved hjelp av en strømstyrt strømkilde og en egenstyrt spenningskilde. Ved å sende en liten strøm mellom klemmene inngangsklemmene (B og E) kan det styres en strøm som for eksempel er 345 ganger kraftigere i kretsen utenfor utgangsklemmene C og E.

Halvlederfysikken forklarer transistorens virkemåte ut fra teorier om valensbånd, ladningstransport og elektriske felter. Når en transistor skal brukes som forsterkerelement må den føre en viss grunnstrøm som varierer i styrke bestemt av signalspenningen som trinnet skal forsterke. Med god tilnærming kan denne grunnstrømmen beregnes ut fra transistormodellen til høyre der vi finner en egenstyrt spenningskilde og en strømstyrt strømkilde. Nodene B, C og E kalles gjerne base, kollektor og emitter. Spenningskilden mellom B og E holder nokså konstant spenning, VBE = 0.65 V. Strømkilden 'måler' strømmen IB og leverer en strøm som for eksempel kan være 345 ganger større enn IB. Dermed har vi følgende sammenhenger gitt av Kirchoffs lover:

I BIC=I E I C=I B⋅345

Legg merke til at den styrte strømkilden bestemmer strømmen i den kretsen der den er tilkoplet og at spenningen VCE er bestemt av den ytre kretsen.

Her er en kopling med transistortrinn der vi skal beregne strømmene som transistoren fører:

01_DC 45

Transistoren erstattes med sin DC-ekvivalent slik at vi har redusert problemet til en krets med 3 masker og 3 ukjente maskestrømmer. Men hvorfor ikke gjøre litt forenkling før vi kjører i vei? Legg merke til at spenningen over de 2 motstandene til venstre er konstant lik 12 V. Vi kan sette opp en ny spenningskilde for å markere det. Når vi først er i gang med forenkling putter vi denne nye 12Vkilden og motstandene på 33k og 180k inn i en Theveninboks:

Verdiene på VTh og RTh beregnes til

V Th=12 33k33k200k

=1.86 V og RTh=33k || 220k=27k9 ohm

slik at den effektive kretsen vi regner på er følgende:

Velger å bruke maskelikningsmetoden her,

27k91k I 1 −1k I 2 = 1.7 – 0.65−1k I 1 5k1k I 2 =−V EC – 12

Maskestrømmene er valgt på normal måte og tilsvarer transistorstrømmene:

IB = I1 IC = - I2

Dessuten gir betingelsene for den strømstyrte kilden at I2 = - 345 I1 som gir I1 = - I2 / 345:

−27k91k345 I 2 −1k I 2 = 1.05

1k345

I 2 5k1k I 2 =−V EC – 12

46 01_DC

Velger å la VCE = -VEC bli en av de ukjente på venstre side i likningen:

−27k91k

345 −1k I 2 0V CE = 1.05

1k345

5k1k I 2 −1V CE = –12

som har løsningen I2 = -0.97 mA og VCE = 6.2 V .

Transistoren fører altså kollektorstrømmen IC = 0.97 mA og har spenningen VCE = 6.2V over seg.

Transiente kretser med TheveninekvivalentDen klassiske ladekretsen for en kondensator består av en DC spenningskilde og en motstand i serie med kondensatoren:

Spenningene vR og vC er transiente, dvs. tidsfunksjoner:

V =v Rt vC t =R⋅i t vC t =R⋅dvC t

dtvC t

Dette uttrykket setter opp en sammenheng mellom vC(t) og den tidsderiverte av vC(t). Det er en differensiallikning med løsning

vC t =V – V –V 0e− t

RC

der V0 er spenningen over kondensatoren ved t=0.

Du finner flere detaljer om dette i heftet Transient.pdf.

Hva så om kondensatoren er koplet til en mer komplisert krets, som denne:

La oss si at bryteren B åpner og lukker regelmessig med periode på 1 sekund.

Hva blir tidsuttrykket for spenningen over kondensatoren? Skal vi bruke den ferdige formelen ovenfor må kretsen utenfor kondensatoren reduseres til den klassiske VRC-løkka. Theveninekivalenten 'av kretsen utenfor C' er opplagt svaret, men i dette tilfellet er det snakk om 2 forskjellige ekvivalenter – en med lukket bryter og en med åpen bryter:

Åpen bryter:

VTh er tomgangsspenningen med åpen bryter og blir lik spenningsfallet over motstanden på 5 ohm. RTh finnes ved å tenke seg begge spenningskilder kortsluttet. Tidskonstanten for denne ladefasen blir

01_DC 47

Tå = RThå·C = 3.5294·0.006 = 21.24 ms.Full oppladning tar tiden 5·Tå = 5·21.24 = 105.9 ms.

Lukket bryter:

VThl er tomgangsspenningen med lukket bryter. Legg merke til at kortslutningen medfører at greina med 8 ohm og 7 Volt blir kortsluttet – og kommer ikke med i beregningen av VThl eller RThl. Tomgangsspenningen skaffes av spenningsdelingen mellom 5 og 4 ohm. RThl finnes som parallellverdien av 4 og 5 ohm når 3V-kilden erstattes med kortslutning. Det vil selvsagt foregå elektrisk aktivitet i de andre komponentene også, men det har ingen innvirkning på ladeforløpet.Tidskonstanten for denne ladefasen blir

Tl = RThl·C = 2.2222·0.006 = 13.3333 ms.Full oppladning tar tiden 5·Tl = 5·13.3333 = 66.6667 ms.

Bryteren er lukket i 0.5s og åpen i 0.5s og begge disse intervallene er lengre enn tiden for full oppladning. Tidsuttrykket for spenningen vC(t) blir dermed:

Åpen bryter: vC t =−1.1765−−1.1765−1.6667e−t

0.02124=−1.17652.8432e−t

0.02124 V

Lukket bryter: vC t =1.6667−1.6667−−1.1765e−t

0.01333=1.6667−2.8432e−t

0.01333 V

Her er resultatet av en simulering med Spice:

Ti me0s 0. 5s 1. 0s 1. 5s 2. 0s 2. 5s 3. 0s

V( C1: 2) 0-2. 0

-1. 0

0

1. 0

2. 0

-1. 0

1. 0

VC( t )