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Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 1
Electromagnetics II전자기학 2
Prof. Young Chul Lee
초고주파 시스템 집적연구실Advanced RF System Integration (ARSI) Lab
http://cms.mmu.ac.kr/wizuniv/user/RFSIL/
제6장 : 정전 경계값 문제 3
Advanced RF System Integration (ARSI) Lab. Young Chul Lee 2
6.5 저항과 정전용량
■ 저항
▪ 단면이 일정하지 않은 도체의 저항
òò
×
×==
dsσE
dlE
IVR
▪ 저항 계산 과정
1. 적당한 좌표계를 선택한다.2. 도체 양단 사이의 전위차를 Vo로 가정한다.3. V를 구하기 위하여 Laplace 방정식 ∇2V의 해를 구한다. 다음 E= - ∇V로부터
E를, 그리고 I = ∫σE·dS로부터 I를 구한다.4. 마지막으로 Vo/I에 의해 R을 구한다.
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■ 평행판 커패시터
▪ 평행판 커패시터와 가정자리 전계효과
가정자리 전계효과
평행판 커패시터
▪ 정전용량 C: 두 도체 사이의 전위차 V에 대한 한쪽 극판에 대전된 전하량의 크기의 비
dlE
dsE
VQC
dlEVVV1
221
×
×==
×-=-=
òò
e
▪ 정전용량 C는 커패시터의 물리적인 성질을 나타내며, 단위는 farads(F)로 표시한다.
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▪ 주어진 두 도체의 정전용량을 얻기 위한 방법
1. 방법 1
(1) Q를 가정하고, Q의 항으로 V를 결정(Gauss 법칙 포함)(2) V를 가정하고, V의 항으로 Q를 결정(Laplace 방정식 풀이 포함)
2. 방법 2
(1) 적당한 좌표계를 선택한다.(2) 두 도체가 +Q와 -Q로 대전되어 있는 것으로 한다.
(3) Coulomb의 법칙이나 Gauss의 법칙을 사용하여 E를 구하고, V=-∫E·dI에 의해 V를 구한다. V의 절대값만 필요하기 때문에 음의 부호는 무시해도 된다.
(4) 최종적으로 C = Q/V로부터 C를 구한다.
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■ A. 평행판 커패시터
dεS
VQC
dxaaQ-dlEV
aQ-)(-aE
SQ
x0 x
1
2
xxs
s
==
=×úûù
êëé-=×-=
==
=
òò SQd
S
Sd
ee
eer
r
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▪ 비 유전률 계산 및 에너지
QV21
2CQ)
εSd(
2Q
S2εSdεQdv
SεQε
21W
2CQQV
21CV
21W
CC
22
22
2
v 22
2
E
22
E
0r
===
==
===
=
ò
e
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▪ Capacitor 연구 동향 1 ▪ DRAM(Memory Cell)
Cell
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▪ Capacitor 연구 동향 2
▪ Tunable Capacitor 1
Si-substrate
BZN 1
IDC( M1: Pt )
BZN 2
L S
SiO2
l
Si-substrate
BZN 1
IDC( M1: Pt )
BZN 2
L S
SiO2
l
0.0E+00
2.5E-13
5.0E-13
7.5E-13
1.0E-12
1.3E-12
1.5E-12
1.8E-12
2.0E-12
2.3E-12
0 5 10 15 20 25DC Bias [V]
Cef
f [F]
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
Tun
abili
ty [%
]
2.4GHz-Ceff5.8GHz-Ceff2.4GHz-C_t5.8GHz-C_t
0.0E+00
2.5E-13
5.0E-13
7.5E-13
1.0E-12
1.3E-12
1.5E-12
1.8E-12
2.0E-12
2.3E-12
0 5 10 15 20 25DC Bias [V]
Cef
f [F]
0%
10%
20%
30%
40%
50%
60%
70%
80%
90%
Tun
abili
ty [%
]
2.4GHz-Ceff5.8GHz-Ceff2.4GHz-C_t5.8GHz-C_t
▪ Structure and Device ▪ Measured results
▪ 세계 최저전압에서 최고 가변율
(2006 APL 발표)
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▪ Capacitor 연구 동향 3
▪ Tunable Capacitor 2
2E-10
3E-10
3E-10
4E-10
4E-10
5E-10
5E-10
6E-10
6E-10
7E-10
7E-10
0 1 2 3 4 5 6DC Bias [V]
Capacitance
[F]
0%
5%
10%
15%
20%
25%
30%
35%
40%
Tunabili
ty[%
]
C-Rect. C-FingerT-Rect. T-Finger
▪ 가장자리전계 (Fringing E-field)를이용한 가변율 증가
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▪ Capacitor 연구 동향 4▪ LPF
LL3
R=L=6.8 nH
LL1
R=L=6.8 nH
LL2
R=L=8.7 nH
CC3C=3.857 pF
CC2C=3.857 pF
CC1C=1.230 pF
CC4C=1.230 pF
TermTerm2
Z=50 OhmNum=2
TermTerm1
Z=50 OhmNum=1
550 um 250 um
Ctotal=1.3pF
515 um
0.5 1.0 1.5 2.0 2.50.0 3.0
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
-50
0
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
-10
-5
-50
0
freq, GHz
dB(SI_LPF7..S(1,1))dB(SI_LPF7..S(1,2))dB(SI_LPF7..S(2,1))dB(SI_LPF7..S(2,2))
dB(T
RX_T
2_72
..S(1
,1))
dB(T
RX_T
2_72
..S(1
,2))
dB(T
RX_T
2_72
..S(2
,1))
dB(T
RX_T
2_72
..S(2
,2))
M-S11, S22
M-S21
S-S11, S22
S-S21 L
C
C
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▪ Capacitor 연구 동향 5▪ Diplexer
Size: 3.45 x 4.0 x 0.7 mm3
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■ B. 동축 커패시터 (동축 원통형 커패시터)
▪ 내경=a, 외경=b (b>a), 길이=L인 동축도체▪ 두 도체 사이에 유전율이 ε인 균질의 유전체가 채워져 있고,▪ 도체 1과 2에 +Q와 –Q인 전하가 균일하게 분포
- 반경이 ρ(a<ρ<b)인 임의의 Gauss 원통표면에 Gauss의법칙을 적용,
abVQC
ab
ln
L ε π2/
lnεL 2π
Q
dρρa ρL2π
Q-dlEV
aρL 2π
QE
ρL2πεEdSEεQ
1
2 ρρ
1
2
ρ
ρ
==
=
×úû
ùêë
é=×-=
=
=×=
òò
ò
e
e
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■ C. 구형 커패시터
▪ 내부 구의 반경=a, 외부 구의 반경=b (b>a), ▪ 두 도체 사이에 유전율이 ε인 균질의 유전체가 채워져 있고,▪ 내부와 외부 도체구에 각각 +Q와 –Q인 전하가 균일하게 분포
- 반경이 r (a<ρ<b)인 임의의 Gauss 원통표면에 Gauss의법칙을 적용,
ba
ba
Va
b
11ε 4π
VQC
11ε π4
Q
draaεr π4
QdlE
ar ε 4π
QE
r 4πεEdSEεQ
rr2
1
2
r2
2r
-==
úûù
êëé -=
×úûù
êëé-=×-=
=
=×=
òò
ò
▪ b = ∞ (외부 도체가 무한히 큰 구형 커패시터)- C=4πεa- 다른 한 전도체로부터 멀리 떨어져 있는 어떤
도체구, 즉 고립된 도체구의 경우- 구와 같은 크기지만 불규칙한 모양의 도체라도
거의 같은 값의 정전용량을 가진다. - 고립된 물체(고체)나 장비의 일부분에서의 기생
용량을 추정하는데 이용.
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■ 커패시터의 직렬, 병렬 연결
▪ 직렬 연결- C1과 C2는 같은 전하량을 가짐.
21
21
21
CCCCC
C1
C1
C1
+=
+=
▪ 병렬 연결- 극판 사이의 전위차가 같음.
21 CCC +=
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■ 매질의 이완시간
▪ 매질이 균질일 때만 성립
σεRC
dlE
dsE
VQC,
dsσE
dlE
IVR
=
×
×==
×
×== òòò e
▪ 커패시터의 저항- R: 극판의 저항이 아니라 극판 사이의 누설저항.
[평행판 커패시터] [원통형 커패시터] [구형 커패시터] [고립도체]
σSdR
dSC
=
=e
σL2ln(b/a)R
ln(b/a)L2C
p
pe
=
=
σ4(1/b)-(1/a)R
(1/b)-(1/a)4C
p
pe
=
=
σa41R
4C
p
pe
=
= a
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Example■ 예제 6-12
그림에 있는 커패시터 각각에 대한 정전용량을 구하라. εr1 = 4, εr2 = 6, d = 5mm, S = 30 cm2로 하라.
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풀이(1)
pF26.53=C+C=C2d
Sεε=C,2d
Sεε=dS/2εε=C
(b)
pF25.46=C+C
CC=C
dSε2ε=C,
dSε2ε=
d/2Sεε=C
(a)
21
r202
r10r101
21
21
r202
r10r101
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6.6 영상법
■ 영상법
▪ 1848년 Lord Kelvin에 의해 도입된 영상법은 일반적으로 도체가 존재할 때 전하에의한 V, E, D와 ρS를 구하는데 사용.
▪ Poisson 방정식이나 Laplace방정식을 푸는 것이 아니고 도체의 표면이 등전위면이라는 사실을 이용하는 것.
▪ 이 방법은 모든 정전기장 문제에 적용하지는 못하지만, 약간 복잡한 문제를 간단한문제로 만들 수 있음.
영상이론은 접지된 무한한 완전도체평면 윗쪽에 존재하는 전하 구성요소를 전하 구성요소 그 자체와 이들의 영상, 그리고 도체평면 대신에등전위면으로 대치할 수 있다는 것을 나타낸 것이다.
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▪ 영상법을 적용하기 위한 조건
1. 영상전하들은 도체영역 내에 존재해야 함.2. 영상전하들은 도체표면의 전위가 0이나 상수가 되도록 위치해야 함.
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■ A. 접지된 도체평면 위의 점전하
▪ 완전도체평면으로부터 h만큼 떨어진 지점에 놓여 있는 점전하 Q고려
▪ 점 P(x, y, z)에서 전기장
),,(),0,0(),,(),,(),0,0(),,(
r4Qr-
r4Qr
EEE
2
1
32o
23
1o
1
-
hzyxhzyxrhzyxhzyxr+=--=-=-=
+=
+= +
pepe
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úû
ùêë
é+++
+++-
-++
-++= 2/32222/3222
o ])([)(
])([)(
4QE
hzyxahzyaxa
hzyxahzyaxa zyxzyx
pe
▪ z=0일 때 E는 단지 z성분만 가지므로 E는 도체표면에 수직이 됨.▪ P점에서 전위
00)V(z0,zAt
])([1
])([1
4QV
4Q-
4Q
VVV0zAt
dlE-V
2/12222/1222o
2o1o
==£
úû
ùêë
é+++
--++
=
+=
+=³
×=
-+
ò
hzyxhzyx
rr
pe
pepe
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▪ 유도된 전하의 면전하밀도
2/3222
0zn0ns
][2
|EεDρ
hyxQh
++=
== =
p
▪ 도체평면에 유도된 총 전하량
QhQh
dhQhhddQdddxdyyx
hyxQhdxdyds
-=+
=
+-=
+-=
=+=
++==
¥
¥ -
¥
¥
¥-
¥
¥-
ò
ò ò
ò ò ò
02/122
0
22/322i
2
0 0 2/322i
222
2/3222si
|][
)(21][
2Q
][22Q
,ρ][2
ρQ
r
rrp
rpfrr
p
frrp
p
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■ B. 접지된 도체평면 위의 선전하
▪ z=0인 접지된 도체평면으로부터 거리 h만큼 떨어진 지점에 위치한 전하밀도 ρL C/m인 선전하 고찰.▪ Q를 ρL로 대치시킨 것을 제외하고는 점 전하와 동일한 영상시스템이 적용.▪ 무한한 길이의 선전하 ρL이 x=0, z=h에 존재한다면 영상전하 –ρL은 x=0, z=-h에 있게 되며, 두 선전하는 y축에 평행함.
▪ 점 P(x, y, z)에서 전기장
úû
ùêë
é++++
--+-+
=
+=--=-=-=
-+=
+= +
2/3222/322o
L
2
1
1o
L
1o
L
-
])([)(
])([)(
2E
),0,(),,0(),,(),0,(),,0(),,(
a2
a2
EEE
11
hzxahzxa
hzxahzxa
hzxhyzyxhzxhyzyx
zxzx
per
rr
rper
rper
rr
- z=0일 때 E는 단지 z성분만 존재하므로 E는 도체표면에 수직임.
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▪ P점에서 전위
2/1
22
22
o
L
2211
2
1
o
L
2o
L1
o
L
)()(ln
2V
|ρ||,ρ|
ln2
ln2
ln2
VVV
dlE-V
úû
ùêë
é++-+
-=
==
-=
--
-=
+=
×=
-+
ò
hzxhzx
per
rrrr
per
rperr
per
- z<0에서는 V=0 즉, V(z=0) = 0
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▪ 도체표면에 유도된 표면전하
)(
|EεDρ
22
0zn0ns
hxhL+
-=
== =
pr
- 도체평면에서 단위길이당 유도된 전하
L
2/
2/L
i
22L
si
ρ
tan
ρρ
r
ap
r
a
pr
p
p
-=
-=
=
+-==
ò
ò ò
-
¥
¥-
hdh
hx
hxdxhdx