ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1....
Transcript of ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1....
![Page 1: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/1.jpg)
ELASTİK DALGA YAYINIMI
(7. Ders - 2016)
Prof.Dr. Eşref YALÇINKAYA
![Page 2: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/2.jpg)
Geçtiğimiz ders; Yansıyan ve iletilen dalgalar Yansıma (R) ve İletme katsayıları (T) Enerjinin ve frekansın korunması, genlik ve
dalga boylarındaki değişim Bu derste; Elastisite teorisi Gerilme ve bileşenleri Deformasyon ve bileşenleri
2 E.YALÇINKAYA
![Page 3: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/3.jpg)
Önceki bölümlerde bir ip üzerinde Newton’ın hareket denklemini uygulayarak, deforme edilen ipin yayılan dalgalara neden olduğunu bulmuştuk. Benzer şekilde deformasyona uğrayan katı yer küre, yayılan sismik dalgalara neden olur. Bu bölümde, elastik ortamda gerilme-deformasyon ilişkilerini kullanarak yer küre içinde yayılan dalga özelliklerini belirlemeye çalışacağız.
ELASTİSİTE TEORİSİ Stress – Strain
Gerilme - Deformasyon
3 E.YALÇINKAYA
![Page 4: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/4.jpg)
Hooke Kanunu
εσ E=Gerilme Elastik
parametre
Deformasyon
4 E.YALÇINKAYA
![Page 5: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/5.jpg)
Gerilme (stress) ve Bileşenleri Gerilme ; S alanı üzerine etkiyen F kuvvetinin bu alan bölümü şeklinde tanımlanır. Gerilme, kuvvetin şiddeti olarak düşünülebilir (sivri uçlu bir çekiç ve düz yüzeyli bir çekiç ile bir kaya parçalamayı düşünün). Gerilmenin matematiksel tanımı :
barPascalm
newtonSF 5
2 10−====σ
Gerilme vektörel bir büyüklüktür, yani genliği ve yönü vardır. Yatayda ve düşeyde bileşenlerine ayrılabilir.
5 E.YALÇINKAYA
![Page 6: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/6.jpg)
Bir hacim elemanı yüzeyleri üzerinde gerilme dokuz bileşeni olan tensör ile tanımlanır :
z
y
x
zzσ
yzσxzσ
zxσ
xxσ yxσ
zyσ
yyσxyσ
6 E.YALÇINKAYA
![Page 7: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/7.jpg)
Cisim içinde herhangi bir O noktasına etkiyen gerilme dokuz bileşeni olan bir tensördür ;
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
σσσσσσσσσ
σ =
Gerilme bileşenlerinin hepsi birbirinden bağımsız değildirler. Herhangi bir hareket söz konusu olmadığından küp denge konumundadır, dolayısı ile kübe etkiyen kuvvetlerin denge halinde olması gerekir.
7 E.YALÇINKAYA
![Page 8: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/8.jpg)
Örneğin kübü, merkezinden geçen ve z eksenine paralel bir eksen etrafında döndürmeye çalışan gerilmeleri göz önüne alırsak (σxy, σyx) küp denge durumunda olduğuna göre eşit olmaları gerekir :
z
y
x
xyσyxσ
yxxy σσ =
8 E.YALÇINKAYA
![Page 9: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/9.jpg)
Benzer şekilde x ve y eksenlerine paralel olan dönme eksenlerine göre momentlerin toplamını sıfır yaparsak;
zxxz
zyyz
σσ
σσ
=
=
Bu sebeple, daha önce tanımladığımız 9 gerilme bileşeninden sadece altısı birbirinden bağımsızdır.
zzyzxz
yzyyxy
xzxyxx
σσσσσσσσσ
σ =
9 E.YALÇINKAYA
![Page 10: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/10.jpg)
Kübün yüzeylerine dik olan σxx, σyy ve σzz gerilmeleri normal gerilmeler olarak bilinirler ve pozitif iseler çekme gerilmeleri, negatif iseler basınç gerilmeleri olarak adlandırılırlar.
zzσ
yyσ
xxσ
Diğer bileşenler σxy, σyx, σyz, σzy, σzx ve σxz kayma gerilmeleri olarak adlandırılırlar.
10 E.YALÇINKAYA
![Page 11: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/11.jpg)
yyσ−
zzσ−
xxσ−
Kayma gerilmelerinin tümünün sıfır olması ve σxx, σyy ve σzz gerilmelerinin birbirine eşit ve negatif olması hali “hidrostatik basınç” olarak bilinir.
11 E.YALÇINKAYA
![Page 12: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/12.jpg)
Deformasyon (strain) ve Bileşenleri Bir cismin birim miktarında gerilmeye karşı meydana gelen şekil ve hacim değişmesine strain (birim deformasyon veya yamulma) denir. Strain, bir noktanın komşu noktalara göre yer değiştirme miktarının, başlangıçtaki yeri ile referans noktası arasındaki uzaklığa bölümü şeklinde tanımlanabilir.
12 E.YALÇINKAYA
![Page 13: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/13.jpg)
δu
δx
xu
xx δδε =
δ x → 0 durumunda ;
xu
xx ∂∂
=ε
zwyv
zz
yy
∂∂
=
∂∂
=
ε
εz
x
Hacimsel deformasyon;
13 E.YALÇINKAYA
![Page 14: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/14.jpg)
zvyvxu
zz
yy
xx
∂∂
≡
∂∂
≡
∂∂
≡
ε
ε
ε x
y
z Uzunluktaki değişim miktarları ;
Pozitif işaretli iseler “genleşme” Negatif işaretli iseler “sıkışma”
14 E.YALÇINKAYA
![Page 15: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/15.jpg)
δu
δz
δw δx
θ2
θ1
ψ
212θθψπγ +=−=xz
Kayma (shear) deformasyonu;
)(tan 11 açıçılarküçükçokxw θδδθ ⇒=
)(tan 22 açıçılarküçükçokzu θδδθ ⇒=
)(21
21
21 θθεγ +== xzxz
)(21
zu
xw
xz ∂∂
+∂∂
=ε
boyutlar → 0 durumunda ;
zx
15 E.YALÇINKAYA
![Page 16: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/16.jpg)
)(21
)(21
)(21
zv
yw
xw
zu
xv
yu
zyyz
xzzx
yxxy
∂∂
+∂∂
≡≡
∂∂
+∂∂
≡≡
∂∂
+∂∂
≡≡
εε
εε
εε
Kayma deformasyonları ;
A D
B C
C’
D’
B’
z
y
16 E.YALÇINKAYA
![Page 17: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/17.jpg)
)(21
)(21
)(21
yu
xv
xw
zu
yw
zv
z
y
x
∂∂
−∂∂
≡
∂∂
−∂∂
≡
∂∂
−∂∂
≡
θ
θ
θ
Dönme deformasyonları ;
A D
BC
C’
D’
B’
z
y
17 E.YALÇINKAYA
![Page 18: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/18.jpg)
Böylece, bir nokta için
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂ ,,,,,,,,
gibi dokuz büyüklük bilinirse komşu noktaların rölatif yerdeğiştirmeleri hesaplanabilir. Deformasyon katsayıları aşağıdaki gibi tanımlayalım :
zvyvxu
zz
yy
xx
∂∂
≡
∂∂
≡
∂∂
≡
ε
ε
ε
)(21
)(21
)(21
zv
yw
xw
zu
xv
yu
zyyz
xzzx
yxxy
∂∂
+∂∂
≡≡
∂∂
+∂∂
≡≡
∂∂
+∂∂
≡≡
εε
εε
εε
)(21
)(21
)(21
yu
xv
xw
zu
yw
zv
z
y
x
∂∂
−∂∂
≡
∂∂
−∂∂
≡
∂∂
−∂∂
≡
θ
θ
θ
18 E.YALÇINKAYA
![Page 19: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/19.jpg)
Bu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (εxx, εyy, εzz) 2. Şekil değişimi (εxy, εyx, εxz, εzx, εyz, εzy) 3. Dönme (θx, θy, θz)
A D
BC
C’
D’
B’
A D
B C
C’
D’
B’
19 E.YALÇINKAYA
![Page 20: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/20.jpg)
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
εεεεεεεεε
ε =
zw
zv
yw
zu
xw
yw
zv
yv
yu
xv
xw
zu
xv
yu
xu
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=
21
21
21
21
21
21
ε
20 E.YALÇINKAYA
![Page 21: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/21.jpg)
Dilatasyon Dilatasyon; birim hacime tekabül eden hacim artmasıdır;
VV
V
∆=∆
→0lim
zw
yv
xu
zzyyxx
∂∂
+∂∂
+∂∂
=∆
++=∆ εεε
21 E.YALÇINKAYA
![Page 22: ELASTİK DALGA - İÜ Jeofizik KulübüBu denklemler üç tür deformasyona işaret ederler ; 1. Hacimsel değişim, genleşme veya daralma (ε xx, ε yy, ε zz) 2. Şekil değişimi](https://reader034.fdocument.pub/reader034/viewer/2022042309/5ed5a7b0740631020e41ceeb/html5/thumbnails/22.jpg)
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
εεεεεεεεε
ε =
zzzyzx
yzyyyx
xzxyxx
σσσσσσσσσ
σ =
STRESS STRAIN
εσ E=Hooke Kanunu
22 E.YALÇINKAYA