elasticnost plasticnost.pdf

7/25/2019 elasticnost plasticnost.pdf

1/49

GRAEVINSKI FAKULTETSARAJEVODiplomski studij - semestar IProf. Dr.-ing. Muhamed Zlatar

TEORIJA ELASTINOSTI I PLASTINOSTIUvod

Strana 1

2009/10

II MATERIJALNI NELINEARITET TAPNIH ELEMENATA

1. UVOD

Linearna teorija ograniena je na opis stanja ponaanja u podruju linearnog dijela zakonitosti napon-deformacija, tj. vrijedi Hook-ov zakon. Za najvee optereenje uzima se ono kod kojeg najjae napregnutovlakno sistema dostigne definisani elastini napon materijala kao npr. kod elika napon teenja T.Limitiranje na ovaj granini teret Fel,uu elastinom stadiju u pravilu je neekonomino, poto se ne koristesve rezerve nosivosti.

Kod poveanja optereenja iznad elastinog graninog stanja do stvarnog otkazivanja sistema mora seobuhvatiti to realnije nelinearno ponaanje materijala. Takoe predpostavljeni geometrijski nelinearitetvodi svaki nelinearni zakon materijala ka nelinarnoj vezi izmeu optereenja i statikih veliina. Nasuprotovoga bolje iskoritavanje materijala ima za posljedicu znatno poveanog raunskog napora.

Tanije raunsko opisivanje ponaanja pojedinih materijala je praktino nemogue zbog uticaja velikogbroja faktora sluajnog karaktera, tako da je eksperimentalno odreivanje osnovnih karakteristikamaterijala povezano sa znatnim rasipanjem rezultata, zbog razliitih uticaja kao to su veliina i oblikprobnih tijela, nain optereavanja, temperatura, nain proizvodnje itd. Stoga su u praksi uobiajenaznatnija pojednostavljavanja kako bi se koliko toliko pribliilo fizikom realitetu.

U slijedeim razmatranjima idealiziranje se odnosi na teoriju tapnih struktura. Naroito je potrebnonaglasiti da vrijede Bernoulli-eva i Navier-ove hipoteza takoe i kod prekoraenja granice teenja.Predpostavlja se i zakon materijala kao veza izmeu napona i deformacije u formi =(). Optereenjese jednoznano poveeva tako da se uticaj rastereenja i ciklinog optereenja nee obraivati.

Predpostavka ravnih presjeka (Bernouli-eva hipoteza) znai da i pored fiziki nelinearne teorije raspodjeladeformacija preko poprenog presjeka ostaje linearna. Zbog nelinernog zakona ponaanja materijala

proizilazi da naponi u poprenom presjeku nisu linearno rasporeeni. Zbog toga, u optem sluaju i kodnaprezanja istim savijanjem teina osa i neutralna linija se ne poklapaju, to je sluaj kod fiziki lineraneteorije.

U pojedinom poprenom presjeku u raunskom stanju loma (krti materijali) ili u stanju graninogoptereenja (materijali sa izraenim teenjem), presjene sile koje moe preuzeti presjek oznaavaju sekao unutarnje sile (Mi, Nii Qi). One ne samo da ovise od vrste materijala nego i od njihove meusobnekombinacije. Ovo zajedniko djelovanje unutarnjih sila oznaava se kao interakcija a uobiajeno jepredstavljanje preko interakcionih dijagrama. Za proraun veliina pomjeranja potrebno je poznavanjekonstituivnih jednadbi. Potrebno je napomenuti da ove veze u okvirima teorije tapnih sistema egzistirajusamo za podunu silu i momenat savijanja.

Postupak dokaza nosivosti cijelog sistema sastoji se u meusobnom uporeenju vanjskih presjenih sila

Ma, Nai Qaizazvanih spoljnjim dejstvima na konstrukciju, sa u prvom koraku proraunatim unutarnjimsilama koje moe preuzeti presjek. Kod statiki odreenih struktura mogue je same vanjske sile odreditina osnovu uslova ravnotee, dakle neovisno od vrste materijala.

Kod statiki neodreenih struktura, poto je potrebno ispuniti i uslove deformacija, presjene sile odvanjskih uticaja su ovisne od vrste materijala. Kod fizikog nelineariteta ovo ima za posljedicu znatnopoveanje raunskog truda poto se nesmiju primjeniti stavovi rada i princip superpozicije i poto je tanijaintegracija konstituivnih veza mogua samo u posebnim sluajevima. Tako i kod jednostavne bilinearnezakonitosti veze napon-deformacija, odreivanje veliina pomjeranja je komplicirano zato to nije poznatopodruje sistema u kojem se provodi nelinearni proraun. Za poetak potrebno je uraditi procjenu, takoda se rjeenje moe dobiti iterativnim putem.

Predpostavka geometrijskog lineariteta i kod jednostavnog linearno elastinog - idealno plastinog zakona

materijala vodi, uz daljnje idealiziranje, ka tzv. teoriji plastinih zglobova I reda. Ukoliko se, pored fizikognelineariteta, vodi rauna i o geometrijskom nelinearitetu, tada se radi o teoriji plastinih zglobova II reda.


2/49


TEORIJA ELASTINOSTI I PLASTINOSTINelinearno ponaanje materijala

Strana 2

2009/10

Slika 2.1 Linije -za razliite vrste materijala

(2.1)

2. NELINERNO PONAANJE MATERIJALA

2.1 Openito

Od velikog broja razliitih ponaanja materijala u ovom kursu dati e se ukratko opis onih materijala kojise u graevinskoj statici smatraju najvanijim.

Kod elastinog materijala linija napon-deformacija (-linija), kod nanoenja optereenja, u potpunostise poklapa sa linijom kod rastereenja, tj. kod opita na zatezanje postoji jednoznana veza izmeu silei promjene duine opitnog tijela. U ovom sluaju razlikuje se samo linearno i nelinearno elastinoponaanje materijala.

Kod neelastinog materijala ne egzistira pomenuta jednoznana veza izmeu sile i pomjeranja. Ukupnadeformacija sastoji se od elastinog i plastinog dijela. Kod rastereenja samo elastini dio se vraa takoda linije kod optereenja i rastereenja se vie ne poklapaju (sl.1).

2.2 Nelinearno elastian materijal

Razmatranje nelinearno elastinog ponaanja materijala pokazat e se na primjeru zategnutog tapa(sl.2.1). Kod jednoosnog opita na zatezanje mogue je npr. nelinearno elastino ponaanje materijalaizraziti kroz vezu sila-pomjeranje u obliku:

Uvoenjem elastinih konstanti E0 i E1, koje se dobijaju na osnovu karakteristika materijala c0 i c1odreenih putem opita i ako se dalje uvede tzv. inenjerska deformacija (uobiajena kod geometrijske


3/49



Strana 3

2009/10

(2.2)

Slika 2.2 Ponaanje nelinearno elastinog materijala.

(2.3)

(2.4)

linearnosti) , tada se dijeljenjem jednadbe (2.1) dobija:

gdje je,, odnosno

A0: povrina poprenog presjeka.

Poto je sila F konstantna po duini tapa, to kao i kod linearne teorije postoji linearna veza izme upomjeranja u i koordinate x, tako da je uN(x)=konst. Ovisnost izmeu pomjeranja u i sile F dobiva se

rijeavanjem jednadbe (2.2) po uN, tako da je,

odakle je,

Nakon integracije gornje jednadbe dobija se, da je,


4/49



Strana 4

2009/10

(2.5)

(2.6)

(2.7)

Oito je, da je integraciona konstanta u0=0, poto je u(x=0)=0.

Razvojem korijena u gornjoj jednadbi u red je:

i ukoliko se zadri samo linearni lan, tada se dobija poznati izraz iz linearne teorije elastinosti:

2.3 Idealiziranje zakonitosti kod materijalne nelinearnosti

U najveem broju sluajeva raunsko obuhvatanje problema sa nelinearnim ponaanjem materijala znatnoje tee nego to je to pokazano na prethodnom primjeru. Identifikacija karakteristika materijala na osnovuopita povezana je sa nizom potekoa tako da smo u pravilu prisiljeni na odreena pojednostavljenja. Ovose naroito odnosi na materijale kod kojih, pored ostalog, bitnu ulogu igra i vremenski faktor, kao to jenpr. beton, tako da bez idealiziranja zakona materijala svaki praktini proraun struktura bio bi nemogu.

Realniji proraun graninog optereenja struktura predpostavlja to preciznije poznavanje stvarnogprirodnog ponaanja materijala. Pored toga potrebno je kako kod materijala tako i kod nosivih strukturai njihovih elemenata uzimati u obzir tipine uticaje, kao to su npr. sopstveni naponi kod metalnihkonstrukcija ili uticaji puzanja kod betonskih konstrukcija. Danas se smatra da dimenzioniranje naosnovama elasto-statike ne daje mogunosti optimalnog iskoritavanja materijala, i da pravi odgovor dajeprimjena tzv. plasto-statike koja je orjentisana na granino optereenje. Uz to zadatak sigurnosti je daobuhvati mogua rasipanja mehanikih karakteristika materijala tako da su u svakom sluaju znaajnaraunska idealiziranja neophodna.

elik i aluminijum posjeduju duktilitet, tj. deformabilnost vie ili srednje veliine, drvo samo ogranieno,beton i opeka su krti materijali. Tek sa armaturom beton postaje pogodan za nosive strukture. Armirani

beton kao spregnuti materijal ujedinjuje osobine elika i betona.U graevinskoj mehanici openito se predpostavlja homogeno vrsto tijelo. Homogenitet egzistira samou makroskopskom smislu kod osrednjavanja preko veeg podruja tijela. To se takoe obuhvata putemstatistikog osrednjavanja, kod metala u irem podruju zrna, kod betona ukljuujui sve dodatnematerijale, kod drveta kroz presjek veeg broja vlakana ukljuujui i razgranjavanja. Osrednjavanjaukljuuju i slaba i loa mjesta, iji se obim moe tolerisati unutar pojedine kvalitetne klase.

Dimenzije poprenih presjeka u elementima graevine openito su toliko velike da su navedeni uslovihomogeniteta ispunjeni. Rezultati za mehanika svojstva materijala, dobivena na opitnim tijelimanormiranih veliina, mogu se prenijeti u realne konstrkcije ali uz odreena ogranienja: Kod metalnihkonstrukcija potrebno je uzeti i uticaje od sopstvenih napona izazvanih zavarivanjem ili npr. uticaje odoputanja (aluminij). Kod betona forma probnih tijela (kocka, prizma) ima uticaje na rezultate opita. Takoe

kod armiranobetonskih elemenata, vrstoe preko probnih tijela i one u realnim konstrukcijama slabijekoreliraju nego to je to sluaj kod elinih ili drvenih struktura.


5/49



Strana 5

2009/10

Slika 2.3 Razliiti -dijagrami uobiajeni u graevinskoj mehanici.

(2.8)

(2.9)

(2.10)

O osobinama izotropnosti govori se kada je mehaniko ponaanje materijala isto u svim pravcima. Usuprotnom ponaanje se naziva anizotropnim. Sa pozicije dokaza vrstoe materijala ovo je vrlo znaajno,jer to odreuje i lokalna rasipanja. Tako npr. elik i aluminij imaju razliite vrstoe u smjeru valjanja ipresovanja. Za beton kao spregnuti materijal, drvo, kao i kod vlaknastih vjetakih materijala sve ovo jeizraeno u znatnoj mjeri. U okvirima raunskih postupaka graevinske mehanike mora i moe se, zbogglobalnog osrednjavanja predpostaviti izotropnost.

Na sl. 2.3 pokazana su tri razliita -dijagrama od kojih je c) idealizirajui raunski dijagram linearnoelastian-idealno plastian. Razlike izmeu a) i b) su u tehnikom smislu, realno se radi o znatnijimsuptilnijim razlikama.

Ponaanje prema dijagramu (a) pokazuju normalni i laki betoni, kao i neki vjetaki materijali ali sa tzv.negativnim ojaanjem. Dijagram (b) je tipian za sve metale, takoe i za drvo napregnuto na pritisak. Kodnelegiranih (graevinskih) elika granica proporcionalnosti Plei relativno visoko i imaju izraenu zonuteenja, tako da je idealizacija sa dijagramom c) mogua i opravdana. Legirani i hladno obraeni elicikao i laki metali nemaju izraeno podruje teenja.

Postoji veliki broj faktora koji utiu na tok dijagrama napon-deformacija, npr. kod metala: nain obrade,temperatura itd., kod stjenskih materijala: stepen ovravanja, brzina nanoenja optereenja itd. Zapraktine proraune neophodna su znatnija pojednostavljavanja i normiranja, kako bi se mogli primjenitiuobiajeni raunski postupci kao i propisi koji se odnose na sigurnost.

Za materijale sa tzv. pozitivnim ojaanjem (sl. 2.3a) predloen je veliki broj zakonitosti istofenomenoloog tipa, kao npr.

Logaritamska forma:

Ludwik-ova forma:

Ramberg-Osgood-ova forma:

gdje su: m, n, 0parametri koji se odreuju na osnovu rezultata opita. Za aluminij moe se primjeniti i tzv.modificirana Ramberg-Osgood-ova forma:


6/49



Strana 6

2009/10

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

gdje se, T naziva tangetnim modulom. Ovaj zakon takoe je primjenljiv i u suajevima oplemenjenih elikakod kojih nije izraena zona teenja. Napon 0,2je onaj napon kod kojeg nakon potpunog rastereenjapreostaje deformacija 0,2%, i naziva se tehnikom granicom teenja i kao takav ekvivalentan je sanaponom na granici teenja T.

Interesantna je i veza za modelsko opisivanje materijala koji ima linearno-elastino ponaanje do P,

ojaanje i teenje do napona T:

Modul M moe se razliito usaglaavati. Znatne prednosti daje (Chwalla) tzv. tanh-zakon, koji zadovoljavai prelazne uslove T(P)=E i T(T)=0, u obliku:

2.3.1 Napon-deformacija u formi polinoma

Dijagram napon-deformacija materijala bez izraenog teenja u mnogim sluajevima moe seaproksimirati sa polinomom viega reda u obliku:

gdje se kakteristike materijala E i ciodreuju na osnovu opita.

Kod razmatranja konkretnog poprenog presjeka je koordinata x=konst. tako da naponi i deformacije nezavise od koordinate x. Stoga u daljnjem razmatranju umjesto(x,z), odnosno (x,z) primjenjuju se oznake(z) i , odnosno (z) i .

Na osnovu stava ekvivalentnosti koji vrijedi i kod nelinearnog ponaanja materijala je:

Uvrtavanjem (2.14) dobija se konstitutivna jednadba u obliku:


7/49


8/49



Strana 8

2009/10

h

h2

h2

z

y

M

1 1

2 2

Podruje II

Podruje II

PodrujeI

g

g

g

g

g

g

g

F

F

F

F

F

F

F

FF

F

F

FF

F

r2

r1

r2 r2

r1

r2

r1

r2

r1

r2

r1r1

I

I

1

1

1

1

1

1

1II

II

II

I

I

)

)

)

(z) (z)(z)

zz( )( )

( )( )

(+)(+)(+)(+)

1/3 a < 0,9.

Smanjenje vrijednosti granine nosivosti usljed M-Q interakcije u odnosu na sluaj sa zanemarenjemuticaja poprenih sila je 6%. Ako se uzme da se ova mala promjena odnosi na nosa sa vitkou=l/iy=300/8,26=36, to se moe zakljuiti, da se u praksi kod uobiajenih vitkijih nosaa, uticaj poprenesile na puni momenat plastinosti a time i na granino optereenje moe zanemariti. Ova predpostavkaesto se koristi u teoriji plastinih zglobova. Izuzetak je kada je nosaoptereen koncetrisanom silom ublizini oslonaca ili vorova kao i kod presjeka sa veim plastinim koeficijentom oblika poprenog presjeka.Intrakcija mora se u pravilu uzeti u obzir kod sistema sa veim stepenom uzdunog naprezanja.

5.4 Proraun graninog optereenja na osnovu teorema teorije plastinosti

5.4.1 Osnovne teoreme teorije plastinosti (granine teoreme)

Postoje tri osnovne teoreme granine analize, ije definisanje e se ovdje navesti bez detaljnijegmatematskog dokaza. Za matematsku interpretaciju uveden je pojam faktora optereenja , kojim se bilo


39/49


TEORIJA ELASTINOSTI I PLASTINOSTITeorija plastinih zglobova I reda

Strana 39

2009/10

(5.18)

(5.19)

(5.20)

koji skup (generalisanog) optereenja moe proporcionalno poveavati i definisati kao - skup optereenja

tj. (F1,

F2,...,

Fn). Osnovne teoreme grani

ne analize su:

Statika (donja granina) teorema: definie se na slijedei nain,

Ukoliko - skupu optereenja odgovara statiki dopustiva i sigurna raspodjela momenatasavijanja, vrijednost faktora optereenja mora biti manja ili jednaka graninoj vrijednosti gr,tj.,

U optem sluaju postoji veliki broj raspodjela momenata savijanja na nosivoj strukturi pri kojima jemogua ravnotea. Optereenja se u tim sluajevima nazivaju statiki dopustiva. Ukoliko je raspodjela

momenata i takva da vrijednost momenata niti u jednom presjeku ne prelazi vrijednost odgovarajuegplastinog momenta Mpltada se ta raspodjela naziva i sigurna. Obzirom na ovo proizilazi da konstrukcijamoe preuzimati samo optereenje kome odgovara statiki dopustiva i sigurna raspodjela momenatasavijanja.

Iz ove teoreme proizilazi da ne postoji statiki dopustiva i sigurna raspodjela momenata savijanja kod kojeje >gr. Primjenom statike teoreme odreuje se donja granica gr, pa se ona naziva i donja graninateorema.

Kinematska (gornja granina) teorema: definie se na slijedei nain,

Vrijednost faktora optereenja kojim se definie skup optereenja, a koji odgovara

predpostavljenom kinematskom mehanizmu, mora biti vea ili jednaka grani

noj vrijednosti

gr,tj.,

Pri nastajanju sloma konstrukcije, koji odgovara graninom optereenju, odnosno - skupu optereenja,stvarni kinematski mehanizam se moe smatrati uravnoteenim, a vrijednost graninog faktoraoptereenja gr se moe odrediti primjenom principa virtualnog rada. Za bilo koji drugi kinematskimehanizam kojeg doputaju veze moe se takoe odrediti faktor optereenja koji zadovoljavanejednadbu (5.19).

Primjenom ove teoreme odreuje se gornja granica faktora optereenja gr, pa se ona naziva i gornja

granina teorema.

Teorema o jednoznanosti: definie se na slijedei nain,

Ako se za posmatranu nosivu strukturu pod djelovanjem optereenja, moe utvrditi bar jednastatiki dopustiva i sigurna raspodjela momenata savijanja pri kojoj se formira dovoljan brojplastinih zglobova da strutura prelazi u kinematski mehanizam tada je to optereenje graninooptereenje a faktor optereenja je granini faktor gr, tj.,

5.4.2 Proraun graninog optereenja predpostavljanjem kinematskih mehanizama


40/49



Strana 40

2009/10

Slika 5.8 Trostruko statiki neodreena okvirna konstrukcija i mogui (dopustivi) kinematskimehanizmi za odreivanje graninig optereenja.

Iz predhodnog je jasno, da nosiva struktura pri slomu prelazi u kinematski lanac, odnosno kinematski

mehanizam sa jednim stepenom slobode, tako to je potrebno da se formira dovoljan broj plastinihzglobova. Uz pomograninih teorema mogue je direktno proraunati granino optereenje. Osnovna

potekoa je u tome, to je potrebno kombinacijama kinematskih mehanizama pronai onaj koji jemjerodavan za granino optereenje. U nosivoj strukturi formiraju se plastini zglobovi na mjestima gdjeje relativno naprezanje maksimalno ili otpornost minimalna. Kod djelovanja koncentrinih teretamaksimalno naprezanje se nalazi ili na mjestu djelovanja sile ili u vornim takama. Kod linijskogoptereenja ili u sluajevima promjenljive krutosti tapa na savijanje, poloaj plastinog zgloba u praviluse odreuje samo iterativnim putem.

Proraun graninog optereenja pomou teorije plastinih zglobova zadovoljava teoremu o jednoznanotiako su ispunjena etiri slijedea zahtjeva:

T Zadovoljeni su uslovi ravnotee,T

Na svakom mjestu sistema je *M*#Mpl,T Da je dostignut kinematski mehanizam strukture ili njenog dijela,T Disipacioni rad je pozitivan (MplApl$0).

Raspodjela presjenih sila, koja istovremeno zadovoljava statiku i kinematsku teoremu, takoezadovoljava i teoremu o jednoznanosti i daje stvarno granino optereenje sistema.

Potrebno je napomenuti da je nakon odreivanja graninog optereenja potrebno provjeriti mogunostrotacije plastinog zgloba. Ovo se naroito odnosi na armiranobetonske i prednapregnute nosive strukture.

Postupak primjene osnovnih graninih teorema, za proraun graninog optereenja, ovdje e se pokazatina jednostavnom primjeru okvirne konstrukcije optereene koncentrinim silama (sl.5.8). Uticaj podunei poprene sile na formiranje plastinih zglobova u ovom sluaju e se zanemariti, kako je to pokazanou dijelu 5.3. Za tri puta statiki neodreenu okvirnu konstrukciju na sl.5.8, zbog EI=konst. i EA=konst. nepostoji posebno mjesto gdje je otpornost smanjena, tako da se plastini zglobovi, zavisno od dopustivogkinematskog mehanizma, formiraju na mjestima maksimallnih naprezanja tj. u takama a do e (sl.5.8).Pored glavne forme mehanizma (oznaenog sa mehanizam ) i specijalne forme (oznaenog samehanizam) gdje se formira mehanizam na dijelu okvira (preka), takoe su kombinovana i dva mogua(dopustiva) mehanizma (oznaeni kao mehanizam i ).

Uslovi ravnotee jednostavno se formuliu pomou principa virtualnog rada (princip virtualnih pomjeranja;koji glasi: Zbir mehanikih radova svih vanjskih sila i sila veze na svakom virtualnom pomjeranju sistema


41/49



Strana 41

2009/10

(5.21)

(5.22)

(5.23)

Slika 5.9 Kinematski mehanizam , dijagram momenata i statiki sigurnaraspodjela momenata.

u ravnotei mora biti jednak nuli). Za predznak obratanja plastinog momenta u plastinom zglobu vrijedi

to je reeno u dijelu 5.1 (sl.5.2).

Za mehanizam (sl.5.9), na osnovu principa virtualnih pomjeranja (Wv+Wu=0) je:

odakle je faktor optereenja (1):

Momenat u sredini preke okvira je:

pa je odgovarajui dijagram momenata predstavljen na sl.5.9. Poto je max*M*>Mpl to znai, dapredpostavljeni mehanizam po kinematskoj teoremi daje gornju granicu za granino optereenje tj,


42/49



Strana 42

2009/10

(5.24)

(5.25)

(5.26)

(5.27)

(5.28)

(5.29)

Slika 5.10 Kinematski mehanizam i odgovarajui dijagram momenata.

Kao rezultat istraivanja mehanizma dobija se gornje ogranienje za optereenje na podruje:

Za kinematski mehanizam (sl.5.10), na isti nain je:

pa je faktor optereenja (2):

Poto za mehanizampripadaju samo tri plastina zgloba to je i raspodjela horizontalnih sila na stubovestatiki nepoznata. Kod predpostavke zanemarenja podune deformacije preke to se dobija raspodjelamomenata savijanja kakva je data na sl.5.10. Oito i u ovom sluaju raspodjela momenata savijanja nijesigurna, poto se na lijevom osloncu dobija da je Ma=3AMpl, pa

(2)daje gornje ogranienje, tj.,

Analiza kinematskog mehanizma (sl.5.11) daje:


43/49



Strana 43

2009/10

(5.30)

(5.31)

(5.32)

(5.33)

Slika 5.11 Kinematski mehanizam .

Slika 5.12 Kinematski mehanizam i pripadajui dijagram momenata.

pa se za (3)dobija neodreen izraz:

Ovo znai da za Mpl0, faktor optereenja (3)se mjenja

preko svih granica tj. (3)AF=F(3)kin64, pa formiranje ovogmehanizma i nije mogue.

Za mehanizam (sl.5.12) je:

odakle je za ovaj mehanizam faktor optereenja (4):

Momenat u sredini preke okvira je:

pa je raspodjela momenata savijanja na sl.5.12 statiki dopustiva, poto su ispunjeni uslovi ravnotee, ai sigurna, jer je zadovoljen uvjet max*M*>Mpl. Dakle, zadovoljeni su uslovi statike teoreme i uslovikinematske teoreme, pa je mehanizammjerodavan lomni mehanizam a raspodjela momenata savijanja


44/49



Strana 44

2009/10

(5.34)

(5.35)

(5.36)

odgovara graninom optereenju ((4)=gr), tj.,

I iz ovog primjera mogue je uoiti da prednost primjene ove metode je u direktnoj formulaciji uslovaravnotee na osnovu principa virtualnog rada. Praktina primjena ograniena je na relativno jednostavnenosive sisteme. Kod sloenijih struktura potrebno je istraiti veliki broj kinematskih mehanizama a kodlinijskog optereenja, kako je to venaglaeno, nije poznat ni poloaj plastinih zglobova.

Pored ovdje pokazane metode predpostavljenih mehanizama loma, postoji vei broj i drugih metoda na

osnovama graninih teorema, kao to su metoda slaganja mehanizama, metoda nejednaina, metodaraspodjele plastinog momenta i dr. One su pogodne za kompjutersku primjenu na principima tzv.linearnog programiranja.

5.5 Proraun graninog optereenja pomou teorije elastinosti

Poto prema teoriji plastinih zglobova, izvan plastinih zglobova vrijede zakoni teorije elastinosti, to sekod statiki neodreenih sistema, granino optereenje moe odrediti na osnovu primjene teorijeelastinosti. Sukcesivnim poveavanjem optereenja postupno se stvaraju i plastini zglobovi koji svakiput smanjuju statiku neodreenost.

Postupak odreivanja graninog optereenja pomou teorije elastinosti takoe e biti pokazan na istomprimjeru statiki neodreene okvirne konstrukcije iz prethodnog dijela (dio 5.4, sl.5.8).

Za optereenje F=FI(sl.5.13) uobiajenim proraunom trostruko statiki neodreeog okvirnog sistemadobija se dijagram momenata predstavljen na sl.5.13.a, oznaen sa MI. Sa tog dijagrama oito je, danajvea vrijednost momenata savijanja je na mjestu desnog ukljetenja (oznaenog kao vor e), pa ese na tom mjestu formirati i prvi plastini zglob. Iz uslova,

dobija se pripadajua vrijednost optereenja pri kojem e se formirati prvi plastini zglob,

Odgovarajui dijagram momenata dat je na sl.5.13.b.

Kod daljnjeg poveavanja optereenja za vrijednost 1AF, proraun se provodi na izmjenjenom sistemu,tj. na sistemu II sa jednim zglobom (sl.5.13.c). Sada se ponovo postavlja pitanje, na kojem mjestu e seformirati slijedei plastini zglob? Pri tome je potrebno, na osnovu zbira momenata savijanja MIna prvomsistemu i momenata 1AM na drugom sistemu, istraiti sva mjesta najveeg naprezanja ili najmanjeotpornosti. Iz uslova *MI+1AM*=*Mpl*dobijaju se pripadajue vrijednosti 1AF za porast optereenja dostvaranja drugog plastinog zgloba.


45/49



Strana 45

2009/10

(5.37)

Slika 5.13 Sukcesivno poveavanje optereenja i postupnoformiranje plastinih zglobova.

Prema sl.5.13 zbrajanjem *MI+1AM*dobija se:

Poto je od svih vrijednosti za (1AF) mjerodavna najmanja to se moe zakljuiti, da e se drugi plastinizglob formirati u voru d. Sada je ukupno naneeno optereenje pri kojem e se formirati drugi plastinizglob: FII=FI+1AF=2,567Mpl/l, a njemu pripadajui dijagram momenata savijanja prikazan je na sl.5.14.

Na isti nain daljnjim poveavanjem optereenja za (2AF) na sistemu III (sa dva plasina zgloba) izbrajanjem sa predhodnim stanjem dobija se mjesto i optereenje gdje se stvara trei plastini zglob.U ovom sluaju to je u voru c a vrijednost 2AF=0,390Mpl/l. Ukupno naneeno optereenje je

FIII=FII+2AF=2,957Mpl/l.


46/49



Strana 46

2009/10

Slika 5.14 Zbrajanje momenata savijanja za optereenje pri kojem se formira drugi plastini zglob.

Slika 5.15 Dijagrami momenata za dodatno optereenje nasistemima III i IV.

Slika 5.16 Kinematski mehanizam mjerodavan za granino optereenje.

Dodatno optereenje (3AF) na sistemu IV (sa tri plastina zgloba) je 3AF=0,043Mpl/l, pri kojem bi se daljeu voru a formirao etvrti plastini zglob i na taj nain dostigao kinematski mehanizam. Ukupno

optereenje pri kojem je dostignut mehanizam je FVI=FIII+3AF=3,000Mpl/l to odgovara graninomoptereenju predmetnog sistema.

Na sl.5.15 dati su odgovarajui dijagrami momenata za optereenja (2AF) i (3AF) na sistemu III i IV.

Na sl.5.16 prikazan je kinematski mehanizam mjerodavan za odreivanje graninog optereenja kao iodgovarajui dijagram momenata.

Kao kontrola tanosti rezultata moe posluiti kontrola uslova ravnotee na osnovama principa virtualnihpomjeranja (W=0), to jednostavno i brzo vodi do cilja i kod kompliciranih sistema. Ovdje bi to bilo

identino sa jednadbama (5.31) i (5.32).


47/49



Strana 47

2009/10

Slika 5.17 Rotacija prvogplastinog zgloba u voru e.

NAPOMENA:

Ako bi u prethodnom primjeru pojedini tapovi okvirne konstrukcije bili od valjanog I-profila (

N24), sa faktorom forme presjeka =Mpl/Mel,gr=1,14, uz koeficijent sigurnosti =1,8, tada seprema teoriji plastinih zglobova dobija doputeno optereenje za oko 40% vee u odnosu naono koje se dobije po teoriji elastinosti.

Prednosti prorauna graninog optereenja uz pomoteorije elastinosti je u tome, to se direktno dobijamjerodavan kinematski mehanizam. Takoe, na jednostavan nain se odreuju i odgovarajuedeformacione veliine (pomjeranja). Pored toga, kod velikih sistema, mogue je koristiti gotovekompjuterske programe koji su bazirani na teoriji elastinosti i koji su jako prisutni u irokoj inenjerskojpraksi.

5.6 Odreivanje deformacionih veliina

Kako je to prethodno reeno, proraun odgovarajuih deformacionih veliina, kako za kinematskimehanizam tako i za pojedine meufaze, moe se relativno jednostavno provesti na osnovama teorijeelastinosti. Postupak za odreivanje npr. progiba u stanju upotrebe ili veliine rotacije plastinog zglobaje principijelno isti.

Tako npr. za prethodno proraunatu okvirnu konstrukciju, za svakostanje sa n plastinih zglobova, deformacione veliine se proraunavajupo teriji elastinosti za odgovarajue optereenja (3AF), koje odgovararazlici sume pripadajuih optereenja sa n i sa (n-1) plastinih zglobova.Na kraju sve prethodne deformacione veliine se sumiraju kako bi se

dobile konane deformacione veliine.Bez prikaza detaljnog prorauna, na sl.5.17 data je ovisnost rotacijeprvog plastinog zgloba od optereenja u voru e okvirne konstrukcijesa sl.5.8, za koju je proraunato granino optereenje u predhodnimpoglavljima.

NAPOMENA:Prilikom prorauna dijelova rotacije plastinog zgloba uvoru e za sisteme II do IV (sl.5.13c i sl.5.15), primjenjen jepoznati stav o radu: 1A=IMAM/EI dx.

LITERATURA:

[1] Rothert, H., Gensichen, V.: Nichtlineare Stabstatik, Berlin; Springer, 1987.[2] Roik, K.: Vorlesungen ber Stahlbau, Berlin, Mnchen, Dsseldorf, Wilhelm Ernst & Sohn, 1978.[3] Thrliman, B., Ziegler, D.: Plastishe Berechnungsmethoden, Vorlesungen, ETH Zrich, 1963.[4] Muttoni, A.: Die Anwendbarkeit der Plastizittstheorie in der Bemessung von Stahlbeton, Intitut fr

Baustatik und Konstruktion ETH Zrich, Bericht Nr. 176, Birkhuser, 1990.[5] Koji, M.: Primjena teorije plastinosti, Mainski fakultet Kragujevac, Graevinski fkultet u Sarajevu,

1979.[6] Hodge, P.: Plastic Analysis of Structures, New York, McGraw-Hill, 1959.


48/49


TEORIJA ELASTINOSTI I PLASTINOSTISadraj

Strana I

2009/10

SADRAJ

1. UVOD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. NELINERNO PONAANJE MATERIJALA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 Openito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Nelinearno elastian materijal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Idealiziranje zakonitosti kod materijalne nelinearnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3.1 Napon-deformacija u formi polinoma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3.2 Bilinearna aproksimacija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3.3 Linearno elastian - idealno plastian zakon materijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103. INTERAKCIJA PRESJENIH SILA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 Osnovna ideja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123.2 Momenat savijanja sa podunom silom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.2.1 Pravokutni presjek, bilinearni zakon materijala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133.2.2 Pravokutni presjek, linearno elastian - idealno plastian zakon materijala . . . . . . . 18

3.3 Momenat savijanja sa poprenom silom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Uzduna sila sa poprenom silom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5 Momenat savijanja sa uzdunom i sa poprenom silom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4. ODREIVANJE GRANINOG OPTEREENJA NOSIVOG ELEMENTA . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5. TEORIJA PLASTINIH ZGLOBOVA I REDA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.1 Openito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.2 Naprezanje uzdunim silama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325.3 Nosasa M-Q interakcijom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.4 Proraun graninog optereenja na osnovu teorema teorije plastinosti . . . . . . . . . 37

5.4.1 Osnovne teoreme teorije plastinosti (granine teoreme) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.4.2 Proraun graninog optereenja predpostavljanjem kinematskih mehanizama . . . 39

5.5 Proraun graninog optereenja pomou teorije elastinosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.6 Odreivanje deformacionih veliina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46


49/49

GRAEVINSKI FAKULTET U SARAJEVUDiplomski studij (2009/10) - Semestar I

Prof. dr.ing. Muhamed Zlatar

TEORIJA ELASTINOSTI I PLASTINOSTINelinearnost linijskih elemenata

(Predavanja)

S j d b 2009

elasticnost plasticnost.pdf

Documents

Transcript of elasticnost plasticnost.pdf