Elasticidad modelamiento y tratamiento numérico Ahmed Ould Universidad de los Andes.
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Elasticidad Elasticidad modelamiento y tratamiento modelamiento y tratamiento
numériconumérico
Ahmed OuldUniversidad de los Andes
PROBLEMA MECÁNICOPROBLEMA MECÁNICO
1.Tensor de Deformación
2.Tensor de Esfuerzos
3.Ley de Comportamiento
4.Condiciones de Frontera
NotacionesNotaciones El índice repetidoEl índice repetido
Índice repetido=productoÍndice repetido=producto espacio del puntoun es ),,( 321 xxxx
1. Tensor de Deformación1. Tensor de Deformación
ejemplosejemplos
31
331
21321
00
040
002
))((
),,4,2(),,()( .1
xue
xxxxxxuxu
01
43
134
))((
),,,32(),,()( .2
32
32
1
1322
2
1321
xx
xx
x
xue
xxxxxxxxuxu
PropiedadesPropiedades
linealidad La )( )( ) ( 1. veuevue
)()( es esto simétrico es )( 2. ueueue jiij
bxxu
uue
)(
decir es rigido, movimiento de
entodesplazamiun es si soloy si 0)( .3
2. Tensor de Esfuerzos2. Tensor de Esfuerzos
nxxTRx
nT
xT
x
x ).()( que tal)( matriz una existe
decir Es . normal la de telienalemen depende que
mostrar puede Se .)( ezfuerzo de vector el llamada
fuerza"" una es punto elen B sobreA de efecto El
33
Propiedades del tensor de Propiedades del tensor de esfuerzos esfuerzos
1dimension en
resorte del tension la a equivale 2.
simétricoun tensor es )( .1 33 xRx
Ecuación de EquilibrioEcuación de Equilibrio
La suma de las fuerzas es nula sobre cualquier subdominio de un sólido dado.
externointerno
. dsn σ(u)fdx
0
entonces arbitrario es
0
fσdiv
dxdivσfdx
Y con el teorema de la divergencia
Ecuación de equilibrio
3,2,1 0 ,
ifσijij
Ensayos reologicos
ELASTICIDADELASTICIDAD
1dimensión en lkT
tr(e(u)) Iλμe(u)σ(u) 2
poisson de ecoeficient
Young de modulo
Lamé de escoeficient ,
E
.
υ)υ)((
Eυ λ
υ)(
Eμ
12112
En dimensión 3 : 1. como si fueran muchos resortes en todas la direcciones2. En el caso homogéneo isotropico
Itr(σE
σ(u)E
e(u) )1
Ejemplos de modulo de Young y Ejemplos de modulo de Young y coeficiente de Poissoncoeficiente de Poisson
aluminioaluminio
hierohiero
aceroacero
)/( 2mNE
111073.0 111013.2
111015.2
34.0
28.0
29.0
Sentido de Sentido de EE y y
333222111
331
21321
)( ,)( ,)(
00
00
001
)(
000
000
00
),,4,2(),,()( .1
cxE
sxucx
E
sxucx
E
sxu
sE
sE
sE
ue
s
xxxxxxuxu
Principio de trabajos Principio de trabajos virtualesvirtuales
Dado un tensor de esfuerzos. Para cualquier campo de desplazamiento admisible el trabajo de los esfuerzos internosEs igual a el de los externos.
externointerno
1
.. dsv Fdxvfσ:e(v)dxΓΩΩ
FORMULA DE GREEN
dxvdxv jijiijij ,, )(
dxvdxvvdxvejiijijjiij )(
2
1 )(:
,,,
dsnvdxv jijiijij
,
dsFvdxvfdxveItr
Si
dsFvdxvfdxve
iiii
iiii
)(:) ))u(e()u(e2(
entonces elastico elinealment materialun en
entonces entosdesplazami de campoun de
esfuerzos de tensor al ecorrespond
)(:
equilibrio delley lacon y
Problemas elípticosProblemas elípticos
Vvvlvua
u
IRVa
IRVVaV
)(),(
que talhallar es poblema El
lineal. forma una :y bilineal forma una
: real, vectorialespacioun Sea
únicasolucion
una tieneproblema el entonces continua
es y continuay elíptica es si :
u
laTeorema
Formulación variacional
0
3 en 0 ,admisibles entosdesplazami : ΓuIRuV
Aplicación a la elasticidad
dsv Fdxvfvl
:e(v)dxtr
xσ(u):e(v)dvua
ΓΩ
Ωijij
Ω
1
..)(
))u(e()u(e 2
),(
4. Condiciones de Frontera4. Condiciones de Frontera
0frontera la de parte una sobre
Dirichlet tipode sCondicione
Γuuo
ΓF
Γn
ΓFn
sobre lessuperficia fuerzas de campo es
de saliente normal vector el es
frontera la de parte una sobre .
Neumann tipoVon de sCondicione
1
1
Finalmente un problema mecánicoFinalmente un problema mecánicoEn general y de E.L. en particular En general y de E.L. en particular se compone de:se compone de:
1. Ecuaciones de equilibrioEcuaciones de equilibrio2. Ley de comportamientoLey de comportamiento3. Condiciones de fronteraCondiciones de frontera
Simplificación en dimensión 2Simplificación en dimensión 2 A veces la forma geométrica y la textura del los
sólidos o de las fuerzas externas permiten de reducir la dimensión del problema de 3 a 1 ó 2.
El caso mas usado es en dimensión 2 para cuerpos de grosor constante h, cando las fuerzas externas satisface lo siguiente1. La tercera componente de las fuerzas de volumen es 02. las fuerzas superficiales externas en las partes laterales
constantes en la dirección del grosor3. No hay fuerzas en las bases.
3,2,1,03 jσ j
Esfuerzos planosEsfuerzos planos
3,2,1,0)( 3 jue j
Deformaciones planasDeformaciones planas
EL modelo numéricoEL modelo numérico
1.1. Pasar a dimensiones finitasPasar a dimensiones finitas
2.2. Discretizacion y Elementos finitosDiscretizacion y Elementos finitos
3.3. Casos particularesCasos particulares
n
nnnnn
nn
n
u
Vvvlvua
Vu
VnV
únicasolucion una tiene
)(),(
que tal hallar de poblema El
de dimension de subespacioun Sea
n
n
u
uu
hallar es ahora problema El
deon aproximaci una es
deon aproximaci La u
n
iinnnn vV
1i2121 t.q, ,..., , . de base una ,...,, Sea
nilaii
n
jjj
,...,1 )(),(1
jj
n
jij ba
1
Sistema lineal
,...,1 )(),( así, Pero
,..,1 )(),( particularen , )(),( Pero
11nilau
niluaVvvlvua
ii
n
jjj
n
jjjn
iinnnnn
Bilinealidad
Cual es el problema en la Cual es el problema en la formulación ?formulación ?
Elegir las funciones de base de Elegir las funciones de base de manera que la matriz de este manera que la matriz de este sistema sea fácil a calcular y que el sistema sea fácil a calcular y que el sistema sea fácil a resolversistema sea fácil a resolver
Ejemplo en dimensión 1
en 0
en
u
fcuu
Ejemplo sencillo: la ecuación de Ejemplo sencillo: la ecuación de laplacelaplace
En dimensión 2:Buscar u tal que
)(),(
es problema este de naln variacioformulació la
vlvua
dafudacuvuu
Las consideraciones a tomar en la elección de las funciones
1. Un máximo de coeficientes de la matrice es cero2. Los que no lo son, deben ser fáciles a calcular
solución
La discretizasión
e eT T
e
e
gdxgdx
T
T
sincillos elementos sobre integralessumar a
reduce se integralcualquier caso, esteen y
e Te
dacuvuudacuvuuvua ),(
Laplace deecuación la de caso El 1.
e Te
davetr(e(u)) Iλμe(u)
davetr(e(u)) Iλμe(u)vua
)(:)2(
)(:)2(),(
lineal delasticida la de caso El 2.
Ejemplos:
T
ji
ji
davetr(e(u)) Iλμe(u)a
Ta
)(:)2(),(
elementeoun en lineal delasticidaen ),(Calcular 2.
uD
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
u
(u)
.:
001000100
010100000
000001010
100000000
000010000
000000001
2
2
2
ectorialnotacion v una a Pasando
3,3
2,3
1,3
3,2
2,2
1,2
3,1
2,1
1,1
1,3
3,2
2,1
3,3
2,2
1,1
)(:)(
ectorialnotación v una a Pasando
00000
00000
00000
0002
0002
0002
1,3
3,2
2,1
3,3
2,2
1,1
uSu(u)
T
jtt
iji dxSDDa ),(
notacion estaCon