El siguiente material ha sido diseñado para el buen provecho de los estudiantes de 11 del Instituto Alexander Von Humboldt.

Prof. Jonás De Arco.

Profesor Jonás De Arco Amador.Lic. Matemáticas y Física.

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e Ar

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ática

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Valor Absoluto

El valor absoluto de un número es la distancia que hay de dicho número al cero. Simbólicamente,

=

Por ser una distancia, el valor absoluto siempre es un número positivo.

EJEMPLOS: 0.55

=

=

La distancia entre y en la recta numérica es

=

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Propiedades del valor absoluto

2. Propiedad del cero: Si

3. Propiedad multiplicativa Ejemplo:

4. Propiedad del cociente:

5. = Ejemplo: 4 2

La segunda proposición es un absurdo, por lo tanto,

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Propiedades del valor absoluto6. Desigualdad triangular Ejemplo: 2 7. Simetría: Si =

8. Identidad de indiscernibles Si

9. Equivalencia propiedad aditiva:

10. Equivalencia entre V.A. y la raíz cuadrada:

11. Norma (o magnitud) de un número complejo: =

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Ecuaciones con valor absoluto

Para resolver ecuaciones con valor absoluto se aplica la definición simbólica y las propiedades de éste.

Resolver la ecuación:

Solución: ⋁ ⋁ ⋁ ⋁Solución:

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Ecuaciones con valor absoluto

Resolver la ecuación

Solución: (i) ó (ii)

De (i) se obtiene que:

De (ii) se deduce que

Soluciones: ó

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Inecuaciones con valor absoluto:Propiedad 1: Si k Que es lo mismo que decir: Si k k

Ejemplo:

Significa esto que x puede ser cualquier real entre -10 y 0

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Inecuaciones con valor absolutoPropiedad 2: Si kk

Ejemplo:Determinar los valores que x puede tomar en la inecuación Solución: ⋁ 3 ⋁ 7 Sol = (- ⋃ Lo que indica que x puede ser cualquier real menor e igual a 3 o mayor e igual que 7

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Radio de un intervaloSi es un punto de la recta numérica, todos los puntos alrededor de están a una distancia menor que ; es el radio del intervalo (, . Si es muy pequeño, la distancia entre es y si 0, entonces

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Un interesante ejercicio de inecuaciones

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Para interpretar el siguiente ejercicio, es necesario como mínimo, tener claras las propiedades del valor absoluto, las inecuaciones con valor absoluto, las operaciones entre intervalos, la representación gráfica de inecuaciones e intervalos y el manejo de las conectivas lógicas.

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¿Qué valor o valores puede Ud. asignar a la variable x en la expresión para que esta sea válida?

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El problema consiste en resolver la inecuación Solución: > ⋁ < Lo anterior se puede organizar así: ⋁ que es lo mismo que decir:

⋁

La inecuación inicial se ha transformado en dos inecuaciones con valor absoluto. Para resolverlas, aplicaremos las propiedades de las inecuaciones con valor absoluto. La solución final ( será la unión de las soluciones dadas en la primera y segunda desigualdad.

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Recordemos que la inecuación inicial se redujo a la siguiente: ⋁

Tomando la primera inecuación , se tiene que: < ⋀ <

De la primera desigualdad se deduce que , luego, > 0, es decir, > 0

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> 0 > 0

La solución de esta inecuación es

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De la segunda inecuación < se deduce que: , luego, ,

, o sea, , cuya

solución es )

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La solución parcial dada por es:

Recordemos que y )

Luego, ⋂)

)

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Ahora haremos el mismo análisis para la segunda desigualdad con valor absoluto:Recordemos que ⋁

Tomando la segunda inecuación se tiene que:

⋀ <

De la primera desigualdad se obtiene que < 0 , es decir, < 0

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como < 0, entonces, < 0.

La solución de esta última expresión es:

La segunda desigualdad es < , de la cual se deduce que + , luego, , es decir,

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como se dijo que , la solución es:

La solución parcial de , es la intersección, se tiene que

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Recordando que y

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La solución total se obtiene de la unión de y Recordemos que :) Luego, ⋃

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[) ] ⋃ )Lo anterior significa que en la desigualdad , x puede ser un número real menor que excepto o mayor que 5.