El siglo XIX: El rigor sustituye a la intuición

El siglo XIXUna buena descripción de la situación del Análisis al comienzo

del siglo XIX aparece en la carta que escribe N. Abel (1802-1829) en Octubre de 1826, desde París, a su antiguo maestro Hansteen en Oslo:

Quiero dedicar todos mis esfuerzos a traer un poco de claridad a la prodigiosa oscuridad que uno encuentra hoy en el Análisis. La falta de unidad y planificación hace realmente sorprendente que haya tanta gente estudiando esta disciplina.

Lo peor de todo es la absoluta falta de rigor con que se trata. Sólo hay unas pocas proposiciones en análisis superior que hayan sido demostradas con todo rigor. Esto continuará así hasta que se descubra un método general.

Pero debo ser extremadamente cuidadoso, pues una vez admitidas las proposiciones sin una demostración rigurosa (es decir, sin demostración), arraigan tan profundamente en mí que en cada instante me expongo a utilizarlas sin ningún cuidado...

Carta de N. Abel Por todas partes aparece la desafortunada forma de

razonar de lo particular a lo general, y resulta extraño que, a pesar de todo, aparezcan tan pocas paradojas.

En mi opinión, la razón es que las funciones de las que, hasta ahora, se ha ocupado el análisis, pueden, en su mayor parte, expresarse por una serie de potencias.

Cuando aparecen otras para las que esto no es verdad (lo que, ciertamente, no sucede a menudo), los resultados pueden no ser ciertos, y así fluye una masa de proposiciones incorrectas ligadas una a la otra.

Necesidad de clarificarEl “método general” al que hace referencia Abel, pasa por

clarificar las nociones básicas de función, límite y continuidad, y su desarrollo, junto con el de los nuevos paradigmas de rigor a que dio origen, ocupó los dos últimos tercios del siglo XIX.

La nueva formulación de los conceptos será mucho más formal y rigurosa, según los criterios actuales, pero también mucho menos intuitiva.

En los años que van desde 1830-1880 se lograron desentrañar todas estas cuestiones gracias a los trabajos de Dirichlet, A. Cauchy, B. Bolzano y K. Weierstrass.

Hagamos un recorrido por el concepto de función y de límite

Concepto de función

No existe el concepto de dominio de una función, El corazón del problema para avanzar estaba en la confusión

entre el concepto de función y el de su representación.La separación de estos conceptos llevará a considerar una

función con independencia de su representación analítica.Permitirá introducir nuevas funciones más complejas que

obligarán a fijar los conceptos de continuidad, derivabilidad.

La evolución del concepto de función puede ser vista como una lucha entre dos visiones : la geométrica y la algebraica.

La concepción geométrica es gradualmente abandonada.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (Düren, actual Alemania 1805 -1859) , fue un matemático alemán al que se le atribuye la definición "formal" moderna de una función.Fue profesor en las universidades de Breslau (1826-1828), Berlín (1828-1855) y Gotinga, en donde ocupó la cátedra dejada por Gauss tras su muerte.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Sus aportaciones más relevantes se centraron en el campo de la teoría de números, prestando especial atención al estudio de las series, y desarrolló la teoría de las series de Fourier. Su primera publicación comprendió una demostración particular del teorema de Fermat para el caso n=5. Con posterioridad resolvió otros casos

En el campo del análisis matemático, aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos y estableció criterios de convergencia para las series.

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet

Pero sobre todo, perfeccionó la definición y concepto de función:

“y es una función de una variable x, definida en un intervalo a<x<b, si para cada valor de la variable x en este intervalo le corresponde un valor concreto de la variable y.

Además, es irrelevante la forma en que esta correspondencia se establezca”.

Concepto de límite

Concepto de límite

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy (París, 1789- 1857) matemático francés, investigó la convergencia y la divergencia de las series infinitas, ecuaciones diferenciales. Dio la demostración del teorema del número poligonal de Fermat, al que se habían dedicado sin éxito ilustres matemáticos contemporáneos como Gauss. ,

Augustin Louis CauchyOcupó varios puestos públicos menores y era

amigo de Joseph-Louis de Lagrange y Pierre Simon Laplace.

Estudió en École Polytechnique, fue contratado como ingeniero militar en 1812 para transformar el puerto de Cherbourg en el más importante de Francia e Inglaterra.

Sin embargo, su mala salud le obligó a abandonar este proyecto. Comenzó a dedicarse a la investigación científica y publicó varias obras importantes.

Fue nombrado profesor de mecánica en la École Polytechnique en 1816 y más tarde promovido a miembro de la Academia Francesa de las Ciencias.

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis CauchySin embargo, la demostración no es correcta. El error es anecdótico. Lo importante es que

traduce los conceptos de límite por desigualdades.

En su libro define el concepto de continuidad.

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis Cauchy

Augustin Louis CauchyUna de las características de los textos

citados de Cauchy es que en ellos no hay ni una sola figura lo que liberó al cálculo de sus ataduras geométricas,

Sin embargo, sus definiciones contenían términos tan imprecisos como “tan pequeño como queramos” y “disminuir indefinidamente hasta converger al límite cero”, o ideas de movimiento como “variable que se acerca a un límite” por no hablar de “infinitamente pequeños”.

Augustin Louis CauchyPor otra parte, Cauchy retomó la noción de integral como

límite de sumas, con un contenido digamos geométrico, algo que se había perdido al haberse subrayado durante todo el siglo XVIII la integral por medio de la antidiferenciación. Es decir:

S_n=(x_1-a)f(a)+(x_2-x_1)f(x1)+…+[x_n-x(_n-1)]f(x_(n-1))para una partición en el intervalo [a,b]. El límite de las sumas

cuando los diámetros de las particiones decrecen indefinidamente es la integral definida en el intervalo dado.

O sea, más o menos: ∫ f(x)dx=lim S_nProducto de esta tarea se han dado importantes

generalizaciones y aplicaciones del concepto de integral.

Bernard Bolzano

Bernard Placidus Johann Nepomuk Bolzano (Praga, 1781-1848), fue matemático, lógico, filósofo y teólogo bohemio. En matemáticas, se le conoce por el teorema de Bolzano, así como por el teorema de Bolzano-Weierstrass.Criticó el idealismo de Hegel y Kant afirmando que los números, las ideas, y las verdades existen de modo independiente a las personas que los piensen.

Bernard BolzanoEn 1796 Bolzano se inscribió en la Facultad

de Filosofía de la Universidad de Praga. Durante sus estudios escribió:

"Mi especial predilección por las Matemáticas se basa de modo particular en sus aspectos especulativos, en otras palabras, aprecio mucho la parte de las Matemáticas que es al mismo tiempo Filosofia."

Bernard BolzanoEntre 1800-1803 estudió Teología y preparó su

tesis doctoral en Geometría. Consiguió el doctorado en 1804, tras haber redactado una tesis en la que expresaba su opinión sobre las Matemáticas y sobre las características de una correcta demostración matemática. En el prólogo escribió:

"No podría sentirme satisfecho por una demostración estrictamente rigurosa, si ésta no derivase de los conceptos contenidos en la tesis que debe demostrarse."

Bernard Bolzano Debido a su relativo aislamiento en la ciudad de Praga,

desplazado de los grandes focos de influencia, su obra fue poco conocida y no tuvo la influencia que merecía por su rigor y profundidad.

Bernard Bolzano

Bernard Bolzano

¿El infinito?, mejor no tocarLa actitud predominante de los matemáticos ante el

problema del infinito: ignorarlo y seguir adelante. Es significativa, a este respecto, la opinión de K. F. Gauss (1777-1855), expresada en una carta escrita a su amigo Schumacher en en 1831:

“En lo que concierne a su demostración…protesto contra el uso que se hace de una cantidad infinita como una entidad real; esto nunca se permite en matemáticas.

El infinito es sólo una manera de hablar, puesto que se trata en realidad de límites…”.

B. BolzanoEn 1851, tres años después de su muerte,

apareció su obra Paradoxien des Unendlichen (Paradojas del Infinito) en la que se recogen sus reflexiones sobre la noción de infinito.

El infinito no se debe buscar en un proceso eternamente inacabado; al contrario, la posibilidad de tomar valores más y más grandes supone que el conjunto de esos valores es realmente infinito (considera un conjunto como un todo, sin necesidad de considerar separadamente cada uno de sus elementos).

B. Bolzano Introduce por primera vez un punto de vista

conjuntista en las Matemáticas. Su concepto de infinito: Llamaré infinita a

una multitud si todo conjunto finito es tan sólo una parte de ella.

Construye un conjunto infinito utilizando implícitamente la existencia de un conjunto infinito previo: el de los números.

Cae en un círculo vicioso, del que salir es imposible: para construir un conjunto infinito debe suponer la existencia de al menos un conjunto infinito.

El infinito y más alláReconoce la existencia de diferentes órdenes de

infinitud y se enfrenta al problema de comparar y establecer un orden entre los conjuntos infinitos.

no le parece que la existencia de una biyección sea criterio suficiente para afirmar que ambos conjuntos son “comparables" y elige como criterio la relación de inclusión entre conjuntos.

De esta forma puede comparar conjuntos infinitos pero no puede cuantificar el infinito .

Este conflicto profundo le impidió construir una aritmética coherente de magnitudes infinitas (por ejemplo, sostenía que la magnitud de un conjunto infinito cambia cuando se le añade un elemento.)

Karl T. W. Weierstrass

Karl Theodor Wilhelm Weierstraß (escrito Weierstrass cuando no está disponible el carácter "ß" ) (Ostenfeld 1815-1897) fue un matemático alemán que se suele citar como el «padre del análisis moderno».

A él se deben definiciones actuales de continuidad, límite y derivada de una función, que siguen vigentes hoy en día.

K. WeiertrassEstudió matemáticas en la Universidad de Münster. Era

conocido como profesor de instituto, cuando en 1854 publicó su trabajo sobre las funciones abelianas que causó sensación en la comunidad matemática.

Poco después, en 1856, ya era profesor de la Universidad de Berlín.

Los cursos que impartió durante más de 30 años atrajeron a numerosos matemáticos de toda Europa.

Discípulos suyos fueron Georg Cantor, Ferdinand Georg Frobenius, Wilhelm Killing, Leo Königsberger, Carl Runge, Sofia Kovalévskaya, M. Planck y D. Hilbert.

K. Weierstrass Weierstrass es considerado como el más grande analista del último

tercio del siglo XIX y se le ha llamado “el padre del Análisis moderno”.Entre otras cosas , desarrolló una teoría aritmética de los números

reales, y aunque no publicó mucho, su influencia fue enorme y sus conferencias magistrales fueron difundidas por toda Europa por sus numerosos discípulos.

También realizó aportes en convergencia de series, en teoría de funciones periódicas, funciones elípticas, convergencia de productos infinitos, cálculo de variaciones, análisis complejo, etc

Acometió la tarea de revisar radicalmente los conceptos fundamentales del Análisis y a este fin dedicó algunos de sus cursos.

K. WeierstrassLlevó a sus últimas consecuencias el proceso de aritmetización del Análisis. (alejamiento

de la geometría)Estaba convencido de que el Análisis debía ser liberado de los razonamientos

geométricos y de los conceptos intuitivos de espacio tiempo y movimiento y debía estar fundamentado sobre los números enteros positivos.

Una variable es sólo el símbolo que sirve para designar cualquier elemento del conjunto de valores que se le puede atribuir .

Una variable continua es aquella cuyo conjunto de valores no tiene puntos aislados. Weierstraß dio las definiciones actuales de continuidad, límite y derivada de una

función. Él tradujo por medio de desigualdades y de valores absolutos las definiciones verbales

de límite y de continuidad dadas por Cauchy y Bolzano.

K. WeierstrassLa definición de límite, tal como fue recogida por H. Heine (1821-1881)en sus notas es la

siguiente:“Se dice que L es el límite de la función f(x) para x=a si, dado cualquier ε, existe un δ₀ tal

que para 0<δ<δ₀, la diferencia f(a±δ)-L es menor en valor absoluto que ε”.Si tenemos ahora en cuenta que la definición de límite es el fundamento de las

definiciones de continuidad, derivada, integral y los distintos tipos de convergencia, comprenderemos hasta qué punto con esta definición nos hemos liberado por fin del sentido mágico de los infinitésimos .

K. WeierstrassAsí por ejemplo, esta clarificación le permitió probar un conjunto de resultados que

estaban entonces sin demostrar tales como: el teorema del valor medio, el teorema de Bolzano-Weierstrass y el teorema de

Heine-Borel.Curiosamente la letra griega ε que usaba Cauchy con un significado de “error”, se

ha convertido en el paradigma de la precisión en nuestras actuales definiciones heredadas de Weiertrass.

El rigor continúa su andadura

La nueva formulación de los conceptos será todavía más formal y rigurosa, y paralelamente mucho menos intuitiva.

Será necesario concretar el significado de “cantidad variable” y “variable continua”.

Para seguir avanzando será igualmente necesario acabar de una vez con las distinciones entre número y cantidad.

La fundamentación del sistema de números reales será debida a R. Dedekind y G. Cantor