El sentido de los símbolos - XTEC · de los símbolos Abraham Arcavi [email protected]...
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El sentido de los símbolos
Abraham Arcavi
Departamento de Enseñanza de las
Ciencias
Instituto Científico Weizmann
Rehovot – Israel
Noviembre 2008
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Sentido, ¿en qué sentido?
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El sentido de los números
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El sentido de los números
Habilidad de entender y utilizar los
números tanto en un contexto
puramente matemático como en su
relación con el mundo que nos rodea.
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Para evaluar si sus alumnos sabían como
encontrar un todo dada una parte, Eva les dio a
sus alumnos la siguiente pregunta:
“3/5 de un número es 12, ¿cuál es el número?
Explica tu respuesta.
Ron escribió:
“12 * 2 = 24, 24:6=4, 24-4=20”.
- Es correcto?
- Si Ron fuera tu alumno, ¿cómo lo evaluarías?
Adaptado de Even, R., & Wallach, T. (2004). Between student observation and student assessment: A critical
reflection. Canadian Journal of Science, Mathematics, and Technology Education, 4(4), 483–495.
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130 3.25 130 6.50
130 13 =10
130 3.25 =40
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8
7
16
15
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BELGICA
30,528 km2
ISLANDIA
103,000 km2
10,160,800 habitantes
333 hab/ km2
267,000 habitantes
2.6 hab/ km2
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55 persones
per visita
50’
~1’ per
persone?
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55 x 85
50 x 90
60 x 80
= 4500
= 4800
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El sentido de los números - Habilidades
Modificar una operación para facilitar su cálculo
Estimar resultados/órdenes de magnitud
Relacionar operaciones y entender su esencia
Buscar, comprender, relacionar, crear
representaciones distintas de fenómenos númericos
Entender datos en contexto
Ser crítico con los datos
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¿El sentido de los símbolos?
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2
2
5
S = 6 S = 15
5
4 13
4
6 2 S = 10
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+
7
42
8
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1.1a x 0.9b = 0.99ab
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Equivalencia de expresión
≠
Equivalencia de sentido
2ba
La media aritmética de dos números
22
ba
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Equivalencia de expresión
≠
Equivalencia de sentido
Tomar un número impar cualquiera, elevarlo al
cuadrado y luego restarle 1. ¿Qué se puede
concluir acerca de los números obtenidos?
1)12( 2n
nn 44 2
)1(4 nn
]2
)1([8)]1([
2
8
nnnn
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Elección de representaciones
simbólicas apropriadas
Tomar un número impar cualquiera, elevarlo al
cuadrado y luego restarle 1. ¿Qué se puede
concluir acerca de los números obtenidos?
n 12 n
)1)(1( nn
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Revisión de los símbolos,
“desmodelización”
4(n-2)+10 5n – (n-2)
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Green Globs
Habilidad de construir una expresion simbolica
que responda a ciertos criterios
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5.3172)2(13.0x
xy
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Obsérvese que a veces el promedio de dos números es
el mismo valor que (el valor positivo de) su diferencia
(por ejemplo, el promedio de 10 y 30 es 20, y 30-
10=20, pero el promedio de 10 y 16 es 13, pero 16-
10≠13). Explore para cuales pares de números, su
promedio es el mismo que su diferencia (positiva).
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Ecuación de una circunferencia
que pasa por los puntos
(a,b), (-a,b) y (0,0)
(x2-4)/(d-2)
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Mostrar que si
a + b + c = 2 y a – b + c = -1
ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.
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Mostrar que si
a + b + c = 2 y a – b + c = -1
ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.
Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”
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Mostrar que si
a + b + c = 2 y a – b + c = -1
ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.
Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”
f(x) = ax2 + bx +c
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Mostrar que si
a + b + c = 2 y a – b + c = -1
ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.
Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”
f(x) = ax2 + bx +c
f f
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Mostrar que si
a + b + c = 2 y a – b + c = -1
ax2 + bx +c = 0 tiene dos raices reales distintas.
Hagamos un “pequeño cambio de lenguaje”
f(x) = ax2 + bx +c
f f
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- Amistad con los símbolos
- Capacidad “manipulativa”
- “Lectura a través” de los símbolos
- Capacidad de diseňo de expresiones simbólicas
- Equivalencia de expresión ≠ Equivalencia de sentido
- Elección de representaciones simbólicas apropriadas
- Revisión de los símbolos, “desmodelización”
- Capacidad de distinguir distintos roles
Sentido de los símbolos
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¿Capacidad innata ó adquirida?
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Dada la función f(x)=1/x. P es un punto
en el gráfico de la función (en el primer
cuadrante). La recta tangente al gráfico
en P crea, con los ejes cartesianos, un
triángulo rectángulo. ¿Cuales deben
ser las coordenadas de P, para que la
hipotenusa de ese triángulo tenga
longitud mínima/máxima?
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P(x0,1/x0)
IA – Proceso de solución:
- Trazado del gráfico
- Cálculo de la derivada de f(x), f ’(x)= -1/x2
- Formación de la ecuación de la tangente
y-y0=(-1/x02)(x-x0)
- Cálculo de las coordenadas de los puntos
de intersección con los ejes
(2x0, 0) and (0, 2/x0)
- Formación de la función longitud
2
0
2
0
44)(
xxxg
- Se pregunta: max o min?
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“Tengo un amigo que siempre hace eso [juega
con el problema para encontrarle algún
sentido], después de tal esfuerzo, en general
no tiene ni tiempo ni energías para embarcarse
en una solución simbólica, no se le reconoce lo
que pudo haber hecho, y fracasa en los
exámenes. Si no tengo necesidad, yo me
ocupo solamente de los símbolos, que es lo
que la maestra y el exámen quieren.”
Efectos de prácticas muy arraigadas
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¿Qué conocimientos presupone?
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Ser competente en álgebra
Transición flexible y oportuna entre
acciones automatizadas
atención a los significados
Posponer los significados y preferir un procedimiento rápido y eficaz
Interrumpir un procedimiento para conectar ideas y crear significados
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¿Qué subyace bajo esa flexibilidad?
Una gran dificultad:
Si el significado emerge con el uso, uno debería manipular símbolos para “sentirlos” y entenderlos, pero ¿cómo podemos usar algo sin entender su sentido?
Este círculo vicioso
puede ser una
trampa para el aprendizaje,
pero es al mismo tiempo,
su motor principal
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“… proceso, … , es como dos piernas
que hacen posible el caminar hacia
adelante gracias al hecho de que nunca
están exactamente en el mismo lugar, y
en un cierto momento, una de ellas está
adelante de la otra.”
Sfard, A. 2000. “Symbolizing mathematical reality into being: How mathematical
discourse and mathematical objects create each other”. In P. Cobb, K. E. Yackel &
K. McClain (Eds.), Symbolizing and communicating: perspectives on Mathematical
Discourse, Tools, and Instructional Design. Mahwah, NJ: Erlbaum, pp. 37-98).
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Implicaciones Paciencia intelectual
hacia
la comprensión parcial
SIGNIFICADOS
AUSENCIA DE
SIGNIFICADOS
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Una breve (y ciertamente parcial) conclusión
sobre implicaciones para la enseñanza
• Prácticas de aula apropiadas para todos
- sensibilidad hacia temas de significados simbólicos
- alentar desarrollo de ideas (aún parciales)
- hacer espacio para metacontenidos y reflexión
- legitimar la búsqueda informal de significados formales
- ejemplificar transiciones flexibles
- apoyar el desarrollo de la paciencia intelectual y dar el ejemplo
- cultivar un sentido del propósito
• Materiales de estudio