El método “Ramifica y acota” (Branch and Bound) (V) · que en uno de ellos hay una nueva...

Branch and Bound - 22

ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL

El método “Ramifica y acota” (Branch and Bound) (V)

La herramienta es muy flexible y permite una gran capacidad de maniobra. Pero esto mismo hace que sólo la práctica sea la que permita un uso eficaz de la misma.

Así pues, la estructura general de esta técnica consiste en:

• Un criterio para dividir los subconjuntos candidatos a contener la solución óptima encontrados en cada fase.

• El cálculo de una cota (inferior o superior) para los valores de la función en cada subconjunto candidato.

• Un criterio para seleccionar un subconjunto para una partición posterior.



Aplicación del método “Ramifica y acota” a un problema de programación lineal entera

5 259 6 49

1

0

2

50

x yx yx yx y ente

Max Z x y

ros

sujeto a+ ≤+ ≤≥ ≥

= +

.,

,

:.



1 2 3 4 5 6

2

1

5

4

3

(2.5, 4.5)

y

x

P0

Los puntos rojos configuran el espacio de

soluciones enteras.



De este problema tenemos una cota inferior inicial inmediata, Z = 0 , con x = y = 0.

En la etapa k tendremos disponibles una cota inferior z* y una lista de programas linales que difieren entre sí en las cotas entre las que se encuentran las variables de decisión de cada uno de ellos.

En la etapa inicial la lista de programas contiene tan sólo el programa propuesto, relajando (es decir, “prescindiendo de” ) la condición de que las variables sean enteras. En cada iteración, la técnica se desarrollará según el procedimiento que se describe en la siguiente diapositiva.



PROCEDIMIENTO1º: Si la lista de programas está vacía el proceso ha finalizado. En caso

contrario seleccionar y estudiar uno de los programas contenidos en ella.

2º: Resolver el programa seleccionado. Si no tiene solución o si el valor óptimo de la función objetivo no es mayor que z* , z* es la cota inferior de la etapa siguiente y volvemos al paso 1º. En otro caso, pasamos al paso 3º.

3º: Si la solución obtenida satisface el carácter entero de las variables, se retienen dichos valores, el valor de la función objetivo es la nueva cota inferior y volvemos al paso 1º. Si no es este el caso, se ejecuta paso 4º.

4º: Seleccionar una de las variables que, debiendo ser entera, no lo sea en la solución encontrada en el paso 3º. Supongamos que dicha variable es x y que su valor no entero es a. Entonces añadimos dos nuevos programas a la lista que son idénticos al programa que nos proporcionó esa solución, excepto que en uno de ellos hay una nueva restricción que establece que la cota inferior de x es E(a) + 1 y en el otro la nueva restricción establece que la cota superior de x es E(a). La cota inferior de Z se mantiene como referencia para estos dos nuevos programas.



1º) Resolvemos el problema P0 relajando la condición que exige que x e y sean enteros

1 2

5 259 6 49 5

0 0

Max Z x y

x yx yx y

sujeto a= +

+ ≤+ ≤≥ ≥

.,

:.

P0:

Aplicación del método siguiendo el procedimiento descrito



1 2 3 4 5 6

2

1

5

4

3

(2.5, 4.5)

y

x

Con fondo amarillo el conjunto de restricciones

relajado, eliminando la condición de que x e y sean enteros.

7 92 5 4 5

Solución óptimaZ

x y=

= =

* .. , .



1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P2

P01 2

5 259 6 49 5

0 0

7 92 5 4 5

Max Z x y

x yx y

Solución óptim

suj

x

Zx

y

e

a

t

y

o a= +

+ ≤+ ≤≥

==

≥

=

*

.

.,

.,

:

. .

P1

1 25 25

9 6 49 50 5

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≥

.

.,

4y ≤ 5y ≥

2º) Se ramifica el problema P0 en dos direcciones según que o , ya que no puede haber ninguna solución entera con .4 5y< <

4y ≤ 5y ≥



y

1 2 3 4 5 6

2

1

4

3

(2.5, 4.5)

x

(0, 5)

1 25 25

9 6 49 50 5

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≥

.

.,

P1



1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

60 5

Solución óptimaZ

x y=

= =

*

:

,

P0

P2 P1

1 2

5 259 6 49 5

0 0

7 92 5 4 5

Max Z x y

x yx y

Solución óptim

suj

x

Zx

y

e

a

t

y

o a= +

+ ≤+ ≤≥

==

≥

=

*

.

.,

.,

:

. .1 2

5 259 6 49 5

0 5

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≥

.

.,

1ª Cota entera

4y ≤ 5y ≥



yP2

x

(2.833, 4)

1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

1 2 3 4 5 6

2

1

5

4

3



7 6332 833 4

Solución óptimaZ

x y=

= =

* .. ,

1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

60 5

Solución óptimaZ

x y=

= =

*

,

P0

P2 P1

1 2

5 259 6 49 5

0 0

7 92 5 4 5

Max Z x y

x yx y

Solución óptim

suj

x

Zx

y

e

a

t

y

o a= +

+ ≤+ ≤≥

==

≥

=

*

.

.,

.,

:

. .1 2

5 259 6 49 5

0 5

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≥

.

.,

1ª Cota enteraSolución no entera, pero

superior a la cota entera encontrada. Hay que seguir ramificando.

4y ≤ 5y ≥



1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

60 5

Solución óptimaZ

x y=

= =

*

,

P0

P2 P1

1 2

5 259 6 49 5

0 0

7 92 5 4 5

Max Z x y

x yx y

Solución óptim

suj

x

Zx

y

e

a

t

y

o a= +

+ ≤+ ≤≥

==

≥

=

*

.

.,

.,

:

. .1 2

5 259 6 49 5

0 5

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≥

.

.,

1ª Cota entera

3x ≥2x ≤

1 25 25

9 6 49 52 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≤ ≤

.

.,

P3

1 25 25

9 6 49 53 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P4

6 82 4

Solución óptimaZ

x y

* .,=

= =

2ª Cota entera. Mejora la 1ª. Nueva referencia

4y ≤ 5y ≥



y

1 2 3 4 5 6

2

1

5

4

3

x

1 25 25

9 6 49 53 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P4



1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

60 5

Solución óptimaZ

x y=

= =

*

,

P0

P2 P1

1 2

5 259 6 49 5

0 0

7 92 5 4 5

Max Z x y

x yx y

Solución óptim

suj

x

Zx

y

e

a

t

y

o a= +

+ ≤+ ≤≥

==

≥

=

*

.

.,

.,

:

. .1 2

5 259 6 49 5

0 5

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≥

.

.,

1ª Cota entera

3x ≥2x ≤

1 25 25

9 6 49 52 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≤ ≤

.

.,

P3

1 25 25

9 6 49 53 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P4

6 82 4

Solución óptimaZ

x y

* .,=

= =7 5

3 3 75

Solución óptimaZ

x y

* ., .=

= =

Solución no entera mejor que la 2ª cota entera obtenida. Hay que seguir ramificando

4y ≤ 5y ≥



P21 2

5 259 6 49 5

0 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

3x ≥2x ≤

1 25 25

9 6 49 52 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≤ ≤

.

.,

P3

1 25 25

9 6 49 53 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P4

6 82 4

Solución óptimaZ

x y

* .,=

= =

4y ≥3y ≤

1 25 25

9 6 49 53 4 4

Max Z x yx yx y

x y y

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≥

.

., ,

1 25 25

9 6 49 53 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P5P6



1 2 3 4 5 6

2

1

5

4

3

y

x

1 25 25

9 6 49 53 4 4

Max Z x yx yx y

x y y

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≥

.

., ,

P5

No hay ningún punto de

ordenada 4 en este dominio



P2

P3

1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

3x ≥2x ≤

1 25 25

9 6 49 52 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≤ ≤

.

.,

1 25 25

9 6 49 53 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P4

6 82 4

Solución óptimaZ

x y

* .,=

= =

4y ≥3y ≤

1 25 25

9 6 49 53 4 4

Max Z x yx yx y

x y y

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≥

.

., ,

Infactible

1 25 25

9 6 49 53 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P5P6


ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA DEPARTAMENTO DE ORGANIZACIÓN INDUSTRIAL1 2 3 4 5 6

2

1

5

4

3

y

x

1 25 25

9 6 49 53 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P6

(3.5, 3)



P2

Infactible

1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

3x ≥2x ≤

1 25 25

9 6 49 52 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≤ ≤

.

.,

P3

1 25 25

9 6 49 53 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P4

6 82 4

Solución óptimaZ

x y

* .,=

= =

4y ≥3y ≤

1 25 25

9 6 49 53 4 4

Max Z x yx yx y

x y y

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≥

.

., ,

1 25 25

9 6 49 53 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P5P6

7 13 5 3

Solución óptimaZ

x y

* .. ,=

= =

Solución no entera mejor que la 2ª cota entera obtenida. Hay que seguir ramificando



Infactible

1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P2

3x ≥2x ≤

1 25 25

9 6 49 52 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≤ ≤

.

.,

P3

1 25 25

9 6 49 53 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P4

6 82 4

Solución óptimaZ

x y

* .,=

= =1 2

5 259 6 49 5

3 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P5

4y ≥3y ≤

1 25 25

9 6 49 53 4 4

Max Z x yx yx y

x y y

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≥

.

., ,

P6

1 25 25

9 6 49 53 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

1 25 25

9 6 49 53 3 3

Max Z x yx yx y

x y x

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≤

.

., ,

1 25 25

9 6 49 54 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

4x ≥3x ≤P8P7



2

1

5

4

3

y

x

(3, 3)

1 25 25

9 6 49 53 3 3

Max Z x yx yx y

x y x

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≤

.

., ,

P7



Infactible

1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P2

3x ≥2x ≤

1 25 25

9 6 49 52 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≤ ≤

.

.,

P3

1 25 25

9 6 49 53 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P4

6 82 4

Solución óptimaZ

x y

* .,=

= =

4y ≥3y ≤

1 25 25

9 6 49 53 4 4

Max Z x yx yx y

x y y

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≥

.

., ,

1 25 25

9 6 49 53 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P5P6

1 25 25

9 6 49 53 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

1 25 25

9 6 49 53 3 3

Max Z x yx yx y

x y x

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≤

.

., ,

1 25 25

9 6 49 54 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

4x ≥3x ≤P8P7

6 63 3

Solución óptimaZ

x y

* .,=

= =

Solución entera peor que P3



2

1

5

4

3

y

x

1 25 25

9 6 49 54 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P8

(4, 2.25)



Infactible

1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P2

3x ≥2x ≤

1 25 25

9 6 49 52 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≤ ≤

.

.,

P3

1 25 25

9 6 49 53 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P4

6 82 4

Solución óptimaZ

x y

* .,=

= =

4y ≥3y ≤

1 25 25

9 6 49 53 4 4

Max Z x yx yx y

x y y

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≥

.

., ,

1 25 25

9 6 49 53 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P5P6

1 25 25

9 6 49 53 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

1 25 25

9 6 49 53 3 3

Max Z x yx yx y

x y x

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≤

.

., ,

1 25 25

9 6 49 54 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

4x ≥3x ≤P8P7

Solución entera peor que P3

6 74 2 25

Solución óptimaZ

x y

* ., .=

= =

No entera y peor que P3: Se poda la rama



Finalizado el proceso de ramificación y poda, la solución óptima entera corresponde al subprograma P3:

1 25 25

9 6 49 52 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≤ ≤

.

.,

6 82 4

La solución óptimaZ

x

s

y

e* .

,=

= =



60 5

Zx y

== =

*

,

P01 2

5 259 6 49 5

0 0

Max Z x y

x yx yx y

sujeto a= +

+ ≤+ ≤≥ ≥

.,

:.

P1

1 25 25

9 6 49 50 5

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≥

.

.,

1 25 25

9 6 49 50 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P2

1ª Cota entera

3x ≥

2x ≤

1 25 25

9 6 49 52 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≤ ≤

.

.,

P31 2

5 259 6 49 5

3 4

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

P4

6 82 4

Solución óptimaZ

x y

* .,=

= =

2ª Cota entera. Mejora la 1ª. Nueva

referencia

4y ≥3y ≤

1 25 25

9 6 49 53 4 4

Max Z x yx yx y

x y y

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≥

.

., ,

P6

1 25 25

9 6 49 53 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

1 25 25

9 6 49 53 3 3

Max Z x yx yx y

x y x

= ++ ≤+ ≤

≥ ≤ ≤

.

., ,

1 25 25

9 6 49 54 3

Max Z x yx yx yx y

= ++ ≤+ ≤≥ ≤

.

.,

4x ≥3x ≤P8P7

P5

4y ≤ 5y ≥

Infactible

7 92 5 4 5

Zx y

== =

* .. , .

7 6332 833 4

Zx y

== =

* .. ,

7 53 3 75Z

x y

* ., .=

= =

7 13 5 3

Zx y

* .. ,=

= =6 63 3

Zx y

* .,=

= =

6 74 2 25

Zx y

* ., .=

= =

Resumen

El método “Ramifica y acota” (Branch and Bound) (V) · que en uno de ellos hay una nueva...

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