UNIVERSIDAD ALAS PERUANASFACULTAD DE INGENIERIAS Y ARQUITECTURAESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL

TEMA:METODO DE HARDY CROSSDOCENTE:ING. ARANGURI CAYETANO DENIS INTEGRANTES:LEON VASQUEZ, SOLMAYRAASIGNATURA:Mecnica de fluidos IICICLO:Vi

CAJAMARCA, SETIEMBRE DEL 2014

EL MTODO DE HARDY CROSS

INTRODUCCION El mtodo de Hardy Cross es un mtodo para determinar el flujo en los sistemas de redes de tuberas donde se sabe que las entradas y salidas iterativo, pero el flujo dentro de la red no se conoce. El mtodo fue publicado por primera vez en noviembre de 1936 por su homnimo, Hardy Cross, profesor de ingeniera estructural en la Universidad de Illinois en Urbana-Champaign. El mtodo de Hardy Cross es una adaptacin del mtodo de distribucin de momentos, que tambin fue desarrollado por Hardy Cross como una manera de determinar los momentos en estructuras indeterminadas.

La introduccin del mtodo Hardy Cross para el anlisis de redes de flujo de tubo revolucion el diseo de suministro de agua municipal. Antes de que se introdujo el mtodo, la solucin de complejos sistemas de tuberas para la distribucin era extremadamente difcil debido a la relacin no lineal entre la prdida de carga y el flujo. El mtodo fue ms tarde hizo obsoleto por los algoritmos de resolucin de ordenador emplea el mtodo de Newton-Raphson u otros mtodos de resolucin que evitar la necesidad de resolver los sistemas de ecuaciones no lineales a mano.

HISTORIA:

En 1930, Hardy Cross public un artculo titulado "Anlisis de cuadros continuos mediante la distribucin de momentos fijo-End" en el que se describe el mtodo de distribucin de momentos, lo que cambiara la forma ingenieros en el campo realiz el anlisis estructural. El mtodo de distribucin de momentos se utiliz para determinar las distribuciones momento en estructuras de hormign indeterminadas y se dej para que los ingenieros disear de forma segura las estructuras de hormign a partir de la dcada de 1930 a 1960. En noviembre de 1936, la Cruz aplica el mismo mtodo geomtrico para resolver los problemas de distribucin de flujo en redes de tuberas, y public un documento titulado "Anlisis del flujo en redes de conductos o conductores."

GENERALIDADES:El Mtodo de Aproximaciones Sucesivas, de Hardy Cross, est basado en el cumplimiento de dos principios o leyes:Ley de continuidad de masa en los nudos;Ley de conservacin de la energa en los circuitos.El planteamiento de esta ltima ley implica el uso de una ecuacin de prdida de carga o de "prdida" de energa, bien sea la ecuacin de Hazen & Williams o, bien, la ecuacin de Darcy & Weisbach.La ecuacin de Hazen & Williams, de naturaleza emprica, limitada a tuberas de dimetro mayor de 2", ha sido, por muchos aos, empleada para calcular las prdidas de carga en los tramos de tuberas, en la aplicacin del Mtodo de Cross. Ello obedece a que supone un valor constante para el coeficiente de rugosidad, C, de la superficie interna de la tubera, lo cual hace ms simple el clculo de las "prdidas" de energa.Como quiera que el Mtodo de Hardy Cross es un mtodo iterativo que parte de la suposicin de los caudales iniciales en los tramos, satisfaciendo la Ley de Continuidad de Masa en los nudos, los cuales corrige sucesivamente con un valor particular,DQ, en cada iteracin se deben calcular los caudales actuales o corregidos en los tramos de la red. Ello implica el clculo de los valores de R y f de todos y cada uno de los tramos de tuberas de la red, lo cual sera inacabable y agotador si hubiese que "hacerlo a ua" con una calculadora sencilla. Ms an, sabiendo que el clculo del coeficiente de friccin, f, es tambin iterativo, por aproximaciones sucesiva.FUNDAMENTOS DEL MTODO DE HARDY CROSSEl mtodo se fundamenta en las dos leyes siguientes:1. Ley de continuidad de masa en los nudos:"La suma algebraica de los caudales en un nudo debe ser igual a cero"

DondeQij: Caudal que parte del nudo i o que fluye hacia dicho nudo.qi: Caudal concentrado en el nudo im : Nmero de tramos que confluyen al nudo i.2. Ley de Conservacin de la energa en los circuitos:"La suma algebraica de las "prdidas" de energa en los tramos que conforman un anillo cerrado debe ser igual a cero".

donde,hf ij:Prdida de carga por friccin en el tramo Tij.n : Nmero de tramos del circuito iECUACIONES BSICASLa ecuacin de Hazen & Williams originalmente expresa:

DondeV : Velocidad del flujo, m/s.C : Coeficiente de rugosidad de Hazen & Williams, adimensional.D : Dimetro de la tubera, m.Sf: Prdida unitaria de carga (m/m).

Por continuidad, Luego,

De la cual resulta:

Donde,Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.L : Longitud del tramo de tubera, m.hf: Prdida de carga, m.La ecuacin anterior se puede transformar de tal manera que el dimetro se exprese en pulgadas y el caudal en l/s, obtenindose la siguiente ecuacin.

Haciendo

Resulta:

La ecuacin de Darcy & Weisbach expresa, en trminos de velocidad del flujo, la siguiente:

donde f es el coeficiente de friccin, de DarcyY en trminos del caudal, expresa:

Haciendo;

Resulta:

En general, la ecuacin de prdidas de carga por friccin expresa:

Donde:r: Coeficiente de resistencia, cuyo valor depende del tipo de ecuacin empleada para el clculo.n: Exponente del caudal, que depende la ecuacin de resistencia empleada.n : 1.851, segn la ecuacin de Hazen & Williams.n : 2.0 segn la ecuacin de Darcy & Weisbach.El Mtodo de Hardy Cross corrige sucesivamente, iteracin tras iteracin, los caudales en los tramos, con la siguiente ecuacin general:

El coeficiente de friccin, f, de las ecuaciones (10) y (11), se calcula con la ecuacin de Colebrook & White, que expresa lo siguiente:

DONDE:k : El coeficiente de rugosidad de la tubera, mm.D : Dimetro de la tubera, mm.R : El nmero de Reynolds del flujo, adimensional.Ntese que la relacin k/D, en la ecuacin (16) debe ser adimensional.A su vez, el nmero de Reynolds, R, se calcula con la siguiente ecuacin:

DONDE:v : Velocidad del flujo, m/s.r: Densidad del fluido (agua), kg/m3.m: Viscosidad dinmica del fluido, kg/m.s.n: Viscosidad cinemtica del fluido, m2/s.D : Dimetro del conducto, m.Q : Caudal del flujo en el conducto, m3/s.La ecuacin (16) es una ecuacin implcita para f y, por lo tanto, se resuelve iterativamente, por ensayo y error, en la subrutina 400, aplicando el Mtodo de Newton & Raphson. Ntese que, para acelerar el clculo de f, en esta subrutina se emplea un valor inicial de f = X0, calculado con la siguiente frmula:

REDES DE TUBERA: MTODO DE HARDY CROSSA veces se presentan disposiciones de tuberas que no conforman una simple red de tuberas en serie o paralelo, en la Figura 1 se presenta una red de tuberas, en este caso en particular se tiene una disposicin de tres tuberas en paralelo; sin embargo, la configuracin de una red puede ser muy diversa.LAS VENTAJAS DEL MTODO HARDY CROSSLAS MATEMTICAS SIMPLESEl mtodo Hardy Cross es til porque se basa slo en las matemticas simples, evitando la necesidad de resolver un sistema de ecuaciones. Sin los mtodos de Hardy Cross, los ingenieros tendran que resolver los complejos sistemas de ecuaciones con exponentes variables que no pueden ser resueltos fcilmente con la mano.