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1
El Cuadernillo de Geometría Analítica fue elaborado en el Centro de Regularización y Apoyo Educativo Intelimundo, por el siguiente equipo:
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Dirección Académica y Proyectos de InvestigaciónMarisol Roman García y César Pasten Vilchis
Gerencia de innovación educativaRené Quiroz Díaz
Coordinación de diseñoJosé Iván Torres Hernández
AutorRené Quiroz Díaz y César Pasten Vilchis
Diseño de interiores y portadaStephanie Quiroz Roman
ISBN: En tramite.
Intelimundo (René Quiroz Díaz), Calle Aldama 23-B, San Antonio Tecomitl, Milpa Alta,C.P. 12100, México D.F.
Marzo de 2013Impreso en México / Printed in Mexico
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2
INTRODUCCIÓN A LA GEOMETRÍA ANALÍTICALa geometría analítica, es la parte de las matemáticas que establece una conexión entre el Álgebra y la Geometría Euclidiana.
1. Sistemas de coordenadas rectangulares.El sistema de coordenadas rectangulares divide al plano en cuatro cuadrantes por medio de dos rectas perpendiculares que se cortan en un punto 0 llamado origen.
2°. Cuadrante
(-x, y)
1er. Cuadrante
(x, y)
3er. Cuadrante
(-x, -y)
4°. Cuadrante
(x, -y)
Eje XAbscisas
Eje YOrdenadas
Origen(Cruce de ejes)
Los ejes X y Y se llaman ejes coordenadas y dividen al plano en cuatro regiones llamadas cuadrantes.
Observa que los cuatro cuadrantes se enumeran siempre en sentido contrario a las maneci-llas del reloj.
Abscisas: Es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje vertical o eje Y.
La “x”es positiva cuando este a la derecha del eje Y. La “x” es negativa cuando este a la izquierda del eje Y.
Ordenadas: Es la distancia perpendicular trazada desde un punto al eje horizontal o al eje X.
La “y” es positiva cuando está por encima del eje X. La “y” es negativa cuando está por de-bajo del eje X.
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3
Actividad.
1.- Las coordenadas sirven para fijar la posición de un: Punto.
2.- La distancia de un punto al eje Y se llama: Abscisas.
3.- La distancia de un punto al eje X se llama: Ordenadas.
4.- La pareja ordenada de números reales (X, Y) son las Coordenadas de un punto.
5.- ¿Cuál es la abscisa de P(2,3)? 2
6.- ¿Cuál es la ordenada de P(4,3)? 3
7.- ¿En qué cuadrante está un punto si sus coordenadas son negativas? 3er. Cuadrante.
8.- ¿En qué cuadrante está un punto cuya abscisa es negativa y cuya ordenada es positiva? 2°. Cuadrante.
9.- ¿En qué cuadrante se encuentra el punto B(−5,0)? Entre el 2° y 3er Cuadrante.
10.- ¿Cuáles son los signos de las coordenadas en cada uno de los cuadrantes?
Cuadrante IV
Cuadrante IICuadrante III
Abscisa: X Ordenada: Y
Cuadrante I
11.- Escribe las coordenadas de cada uno de los puntos.+Y
-Y
-x +x-5 -4 -3 -2 1 0 1 3 52 4
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5x y
( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),( ),
+--+
++--
-4-3-2-101234
4-2-320-5-404
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4
12.- Ubica los puntos en el plano y unelos en oden a las coordenadas dadas.
1614121086420-2-4-6-8-10-12-14-16-16
-14
-12
-10
-8
-6
-4
-2
-0
2
4
6
8
10
12
14
16
(-6,-2) (-8,-2) (-10,-4) (-12,-4) (-16,0) (-16,4)(-12,8) (-10,8) (-8,6) (-6,6) (-6,8) (-8,10) (-8,12) (-4,16) (0,16) (4,12) (4,10) (2,8) (2,6) (4,6) (6,8) (8,8) (12,4) (12,0) (8,-4) (6,-4) (4,-2) (2,-2) (2,-4) (4,-6) (4,-8) (0,-12) (-4,-12) (-8,-8) (-8,-6)(-6,-4) (-6,-2) (-6,0) (-4,-2) (0,-2) (2,0) (2,4) (0,6) (-4,6) (-6,4) (-6,0) (12,-16) (12,-12) (2,-2) (10,-10) (14,-10) (16,-12) (16,-8) (14,-6) (12,-6) (10,-10) (8,-10) (6,-16) (2,-16) (2,-14) (4,-10) (8, -10) (12,-12)
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5
2. Distancia entre dos puntos en el plano.Para obtener la distancia entre dos puntos cualesquiera en el plano cartesiano se recurrirá a la siguiente figura:
y
x
P1
P2
y2 - y1
x2 - x1
x1 x2
R
La distancia entre los puntos P1 y P2 se puede obtener mediante la construcción de un trián-gulo rectángulo cuyos catetos miden x2 − x1 y y2 − y1 respectivamente.
Aplicando el Teorema de Pitágoras se obtiene lo siguiente:
d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
d = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2
Actividad.
Determina la distancia entre los siguientes pares de puntos cuyas coordenadas son:
5.- I(2,-6), J(2,-2)
d = (2 - 2)2 + (-2 - (-6))2
d = (0)2 + (-2 + 6)2
d = 0 + (4)2
d = 0 + 16d = 16 = 4 u
1.- A(4,1), B(3,-2)
d = (3 - 4)2 + (-2 - 1)2
d = (-1)2 + (-3)2
d = 1 + 9d = 10 = 3.16 u
2.- C(-7,4), D(1,-11)
d = (1 - (-7))2 + (-11 - 4)2
d = (1 + 7)2 + (-15)2
d = (8)2 + (-15)2
d = 64 + 225d = 289 = 17u
3.- E(-1,-5), F(2,-3)
d = (2 - (-1))2 + (-3 - (-5))2
d = (2 + 1)2 + (-3 + 5)2
d = (3)2 + (2)2
d = 9 + 4d = 13 = 3.6 u
4.- G(0,3), H(-4,1)
d = (-4 - 0)2 + (1 - 3)2
d = (-4)2 + (-2)2
d = 16 + 4d = 20 = 4.47 u
6.- K(-3,1), L(3,-1)
d = (3 - (-3))2 + (-1 - 1)2
d = (3 + 3)2 + (-2)2
d = (6)2 + 4d = 36 + 4d = 40 = 6.32u
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6
Determina el perímetro de los triángulos cuyos vértices son los puntos coordenados:
2.- M(0,4), N(-4,1), O(3,-3)
M(0,4), N(-4,1)
d = (-4 - 0)2 + (1 - 4)2
d = (-4)2 + (-3)2
d = 16 + 9d = 25 = 5 u
N(-4,1), O(3,-3)
d = (3 - (-4))2 + (-3 -1)2
d = (3 + 4)2 + (-4)2
d = (7)2 + 16 d = 49 + 16d = 65 = 8.06 u
O(3,-3), M(0,4)
d = (0 - 3)2 + (4 - (-3))2
d = (-3)2 + (4 + 3)2
d = 9 + (7)2
d = 9 + 49d = 58 = 7.61 u
P = 25 + 65 + 58P = 5 + 8.06 + 7.61P = 20.67 u
1.- A(-2,5), B(4,3), C(7,-2)
A(-2,5), B(4,3)
d = (4 - (-2))2 + (3 - 5)2
d = (4 + 2)2 + (-2)2
d = (6)2 + 4d = 36 + 4d = 40 = 6.32 u
B(4,3), C(7,-2)
d = (7 - 4)2 + (-2 - 3)2
d = (3)2 + (-5)2
d = 9 + 25d = 34 = 5.83 u
C(7,-2), A(-2,5)
d = (-2 - 7)2 + (5 - (-2))2
d = (-9)2 + (5 + 2)2
d = 81 + (7)2
d = 81 + 49d = 130 = 11.40 u
P = 40 + 34 + 130P = 6.32 + 5.83 + 11.40P = 23.55 u
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7
Verifica que los puntos A(−2, −3), B(−4, −5), C(−1, −6), son los vértices de un triángulo isósceles.
La longitud de un segmento es de 13u y las coordenadas de uno de sus extremos son A(8,6), obtén la ordenada del otro extremo si su abscisa es −4.
A(-2,-3), B(-4,-5)
d = (-4 - (-2))2 + (-5 - (-3))2
d = (-4 + 2)2 + (-5 + 3)2
d = (2)2 + (-2)2
d = 4 + 4d = 8
B(-4,-5), C(-1,-6)
d = (-1 - (-4))2 + (-6 - (-5))2
d = (-1 + 4)2 + (-6 + 5)2
d = (3)2 + (-1)2
d = 9 + 1d = 10
C(-1,-6), A(-2,-3)
d = (-2 - (-1))2 + (-3 - (-6))2
d = (-2 + 1)2 + (-3 + 6)2
d = (-1)2 + (3)2
d = 1 + 9d = 10
A(8,6), B(-4,y2)
13 = (-4 - 8)2 + (y2 - 6)2
132 = (-4 - 8)2 + (y2 - 6)2
169 = (-12)2 + (y2 - 6)2
169 = 144 + (y2 - 6)2
169 - 144 = (y2 - 6)2
25 = (y2 - 6)2
25 = y2 - 6 5 = y2 - 65 + 6 = y2
11 u = y2
Comprobación
A(8,6), B(-4,11)
d = (-4 - 8)2 + (11 - 6)2
d = (-12)2 + (5)2
d = 144 + 25d = 169 d = 13 u
Los triángulos isósceles tienen dos lados iguales y dado que los vértices B, C y C, A son iguales si se trata de los puntos correctos.
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8
3. Área de un polígono.
Sean P1(x1,y1), P2(x2,y2), P3(x3,y3), … , Pn(xn,yn) los vértices de un polígono. El área (A) del polígono, es una función de las coordenadas de los vérti-ces que viene dada por la expresión:
x1x2x3
xnx1
y1y2y3
yny1
.
.
.
.
.
.
12A =
Actividad.
Determina el área de los siguientes polígonos definidos por los puntos:
2.- D(6,2), E(-1,7), F(-4,1)
6-1-46
2712
12A =
[42 + (-1) + (-8)] - [6 + (-28) + (-2)]
[42 - 1 - 8] - [6 - 28 - 2]
[33] - [-24]
33 + 24
57 = ( ) = = 28.5u2
12A =
12A =
12A =12A =
12A = 1
2571
572
1.- A(-4,-5), B(2,1), C(-1,3)
-42-1-4
-513-5
12A =
[-4 + 6 + 5] - [-12 + (-1) + (-10)]
[-4 + 11] - [ -12 - 1 - 10]
[7] - [-23]
7 + 23
30 = ( ) = = 15u2
12A =
12A =
12A =12A =
12A = 1
2301
302
Figura geométrica plana limitada por 3 o más rectas y tiene tres o más ángulos y vértices.
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9
4.- J(-3,1), K(-2,5), L(2,4), M(1,0)
-3-221-3
15401
12A =
[-15 + (-8) + 0 + 1] - [0 + 4 + 10 + (-2)]
[-15 - 8 + 0 + 1] - [0 + 4 + 10 - 2]
[-22] - [12]
-34 = ( ) = = 17u2
12A =
12A =
12A =
12
341
342
12A =
6.- R(-7,1), S(-5,4), T(2,3), U(0,-5) y V(-4,-3)
-7-520-4-7
143-5-31
12A =
[-28 + (-15) + (-10) + 0 + (-4)] - [21 + 20 + 0 + 8 + (-5)]
[-28 - 15 - 10 + 0 - 4] - [21 + 20 + 0 + 8 - 5]
[-57] - [44]
-101 = ( ) = = 50.5u2
12A =
12A =
12A =
12
1011
1012
12A =
3.- G(-4,0), H(0,0), I(0,-3)
-400-4
00-30
12A =
[0 + 0 + 0] - [12 + 0 + 0]
[0] - [12]
-12 = ( ) = = 6u2
12A =
12A =
12A =
12
121
122
5.- N(-4,1), O(-2,4), P(5,5), Q(3,2)
-4-253-4
14521
12A =
[-16 + (-10) + 10 + 3] - [-8 + 15 + 20 + (-2)]
[-16 - 10 + 10 + 3] - [-8 + 15 + 20 - 2]
[-26 + 13] - [35 - 10]
[-13] - [25]
-38 = ( ) = = 19u2
12A =
12A =
12A =
12
381
382
12A =
12A =
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10
Demuestra que los puntos son los vértices de un triángulo rectángulo y determina su área.
1.- A(2,-2), B(-8,4), C(5,3)
Distancia entre dos puntos.
A(2,-2), B(-8,4)
d = (-8 - 2)2 + (4 - (-2))2
d = (-10)2 + (4 + 2)2
d = 100 + (6)2
d = 100 + 36d = 136 = 11.66u
B(-8,4), C(5,3)
d = (5 - (-8))2 + (3 - 4)2
d = (5 + 8)2 + (-1)2
d = (13)2 + 1d = 169 + 1d = 170 = 13.03u
C(5,3), A(2,-2)
d = (2 - 5)2 + (-2 - 3)2
d = (-3)2 + (-5)2
d = 9 + 25d = 34 = 5.83u
Área:2-852
-243-2
12A =
[8 + (-24) + (-10)] - [6 + 20 + 16]
[8 - 24 - 10] - [42]
[-26] - [42]
-68 = ( ) = = 34u2
12A =
12A =
12A =
12
681
682
12A =
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
A
CB B,C = 13.03u
A,C = 5.83u A,B = 11.66u
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11
2.- D(0,9), E(-4,-1), F(3,2)
Distancia entre dos puntos.
D(0,9), E(-4,-1)
d = (-4 - 0)2 + (-1 - 9)2
d = (-4)2 + (-10)2
d = 16 + 100d = 116 = 10.77u
E(-4,-1), F(3,2)
d = (3 - (-4))2 + (2 - (-1))2
d = (3 + 4)2 + (2 + 1)2
d = (7)2 + (3)2
d = 49 + 9d = 58 = 7.61u
F(3,2), D(0,9)
d = (0 - 3)2 + (9 - 2)2
d = (-3)2 + (7)2
d = 9 + 49d = 58 = 7.61u
Área:0-430
9-129
12A =
[0 + (-8) + 27] - [0 + (-3) + (-36)]
[0 - 8 + 27] - [0 - 3 - 36]
[19] - [-39]
58 = ( ) = = 29u2
12A =
12A =
12A =
12
581
582
12A =
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
D
F
E
D,E = 10.77u F,D = 7.61u
E,F = 7,61u
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12
3.- G(3,-2), H(-2,3), I(0,4)
Distancia entre dos puntos.
G(3,-2), H(-2,3)
d = (-2 - 3)2 + (3 - (-2))2
d = (-5)2 + (3 + 2)2
d = 25 + (5)2
d = 25 + 25d = 50 = 7.07u
H(-2,3), I(0,4)
d = (0 - (-2))2 + (4 - 3)2
d = (0 + 2)2 + (1)2
d = (2)2 + 1d = 4 + 1d = 5 = 2.23u
I(0,4), G(3,-2)
d = (3 - 0)2 + (-2 - 4)2
d = (3)2 + (-6)2
d = 9 + 36d = 45 = 6.70u
Área:3-203
-234-2
12A =
[9 + (-8) + 0] - [12 + 0 + 4]
[9 - 8 + 0] - [16]
[1] - [16]
-15 = ( ) = = 7.5u2
12A =
12A =
12A =
12
151
152
12A =
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
G
IH
G,H = 7.07u
H,I = 2.23u
I,G = 6.70u
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13
Área:-2-60-2
8148
12A =
[-2 + (-24) + 0] - [-8 + 0 + (-48)]
[-2 - 24 + 0] - [-8 + 0 - 48]
[-26] - [-56]
30 = ( ) = = 15u2
12A =
12A =
12A =
12
301
302
12A =
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
J
K
LJ,K = 8.06u
K,L = 6.70u
L,J = 4.47u
4.- J(-2,8), K(-6,1), L(0,4)
Distancia entre dos puntos.
J(-2,8), K(-6,1)
d = (-6 - (-2))2 + (1 - 8)2
d = (-6 + 2)2 + (-7)2
d = (-4)2 + 49d = 16 + 49d = 65 = 8.06u
K(-6,1), L(0,4)
d = (0 - (-6))2 + (4 - 1)2
d = (0 + 6)2 + (3)2
d = (6)2 + 9d = 36 + 9d = 45 = 6.70u
L(0,4), J(-2,8)
d = (-2 - 0)2 + (8 - 4)2
d = (-2)2 + (4)2
d = 4 + 16d = 20 = 4.47u
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14
4. División de un segmento.
Sean P1(x1,y1) y P2(x2,y2) los extremos de un segmento de recta, entonces la relación en que el punto P(x,y) divide al segmento P1P2 en dos partes proporcionales se define como:
Y
y2
y
y1
x2x1 x0X
P2
P1
PQ
R
Por geometría, los triángulos ΔP1PQy ΔPP2R son semejantes, la proporcionalidad que existe entre sus lados es:
P1PPP2
P1QPR
QPRP2
= =
Por otro lado:
P1Q = x - x1, PR = x2 - xQP = y - y1, RP2 = y2 - y
Entonces:
• Para determinar la razón dados los extremos y el punto de división se emplea:
x - x1
x2 - xr = o
y - y1
y2 - yr =
• Para encontrar el punto de división dados los extremos y la razón se utiliza:
x1 + rx2
r + 1x = ;y1 + ry2
r + 1y =
Importante:
• Si el punto de división P esta entre los puntos P1 y P2 la razón es positiva.• Si el punto de división no está entre los puntos dados entonces la razón es negativa.
Comparación de dos cantidades de la misma especie.
NOTA:
CUANTAS VECES LA UNA CONTIENE A LA OTRA.
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15
Actividad.
Determina la razón en que el punto P divide al segmento de recta de extremos P1 y P2.
2.- P1(3,5), P2(-1,4), P(-5,3)
r = = = = = - 2 o r = = = = - 2 x - x1x2 - x
-5 - 3-1 - (-5)
-84
y - y1y2 - y
3 - 54 - 3
-21
-8-1 + 5
1.- P1(0,2), P2(-2,4), P(2,0)
r = = = = - o r = = = = - x - x1x2 - x
2 - 0-2 - 2
2-4
12
y - y1y2 - y
0 - 24 - 0
-24
12
3.- P1( , ), P2(2,1), P( , )
r = = = = - = - o r = = = = - x - x1x2 - x
-2 -
330
y - y1y2 - y
-1 -
34
12
1318
13
13
1213
16-
53
110
1318
34
1318
518
136
- 110
4.- P1(-5,1), P2(4,3), P(-3, )
r = = = = o r = = = = x - x1x2 - x
-3 - (-5)4 - (-3)
27
y - y1y2 - y
- 13 -
139
139
139
149
49 2
7-3 + 54 + 3
Encuentra las coordenadas de un punto P(x,y) según los elementos dados.
1.- P1(4,1), P2(5,-2), r = -2
x = = = = = = 6
y = = = = = -5
x1 + rx2r + 1
4 + (-2)(5)-2 + 1
4 + (-10)-1
4 -10-1
-6-1
y1 + ry2r + 1
1 + (-2)(-2)-2 + 1
1 + 4-1
5-1
P(6,-5)
2.- P1(-2,3), P2(4,5), r =
x = = = = = = 0.4
y = = = = = = 3.8
x1 + rx2r + 1
-2 + (4)
615
y1 + ry2r + 1
P(0.4,3.8)
23
23
23
23
83
53+ 1
-2 +53
3 + (5)
23
23 + 1
103
53
3 +19353
195
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16
3.- P1(0,5), P2(6,-1), r = 5
x = = = = = 5
y = = = = = = 0
x1 + rx2r + 1
306
y1 + ry2r + 1
P(5,0)
0 + (5)(6)5 + 1
0 + 306
5 + (5)(-1)5 + 1
5 + (-5)6
5 - 56
06
4.- P1(- ,0), P2(0,4), r =
x = = = = = - = -0.44
y = = = = = = 1.33
x1 + rx2r + 1
+ (0)
49
y1 + ry2r + 1
P(-0.44,1.33)
12
23
12
12
23
32+ 1
+ 032
0 + (4)
12
12 + 1
21
32
0 +2132
43
23
23-- -
Grafica y determina las coordenadas que dividen al segmento en 4 pares.
A(−3,2), B(1,6)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
x
A
B
R1R2
R3
Para R1:
= = = 3 r = 3
x = = = = = 0
y = = = = = 5
x1 + rx2r + 1
y1 + ry2r + 1
R1(0,5)
P1PPP2
AR1R1B
31-3 + (3)(1)
3 + 1-3 + 3
404
2 + (3)(6)3 + 1
2 + 184
204
Para R2:
= = = 1 r = 1
x = = = = = -1
y = = = = = 4
x1 + rx2r + 1
y1 + ry2r + 1
R2(-1,4)
P1PPP2
AR2R2B
22-3 + (1)(1)
1 + 1-3 + 1
2-22
2 + (1)(6)1 + 1
2 + 62
82
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17
Para R3:
= = r =
x = = = = = - = -2
y = = = = = = 3
AR3R3B
P1PPP2
13
13
x1 + rx2r + 1
-3 + (1)13
13 + 1
-3 + 13
43
8343
- 2412
2 + (6)13
13 + 1
y1 + ry2r + 1
2 + 63
43
12343
3612
R3(-2,3)
Grafica y determina las coordenadas de los puntos que dividen al segmento en 3 partes.
C(4,2) D(−5,7)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
C
D
R1 R2
Para R1:
= = = 2 r = 2
x = = = = = - = -2
y = = = = = 5.33
CR1R1D
P1PPP2
21
x1 + rx2r + 1
4 +(2)(-5)2 + 1
4 +(-10)3
4 - 103
63
x1 + rx2r + 1
2 +(2)(7)2 + 1
2 + 143
163
R1(-2,5.33)
Para R2:
= = r =
x = = = = = = = 1
y = = = = = = 3.66
CR2R2D
P1PPP2
12
x1 + rx2r + 1
4 + (-5)12
12 + 1
4 + - 52
32
2 + (7)12
12 + 1
y1 + ry2r + 1
2 + 72
32
11232
226
R2(1,3.66)12
4 - 52
32
3232
66
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18
Grafica y determina las coordenadas de los puntos que dividen al segmento en 5 partes.
E(-3,2) F(1,6)
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
F
E
R1R2R3
R4
Para R1:
= = = 4 r = 4
x = = = = = 0.2
y = = = = = 5.2
ER1R1F
P1PPP2
41
x1 + rx2r + 1
-3 +(4)(1)4 + 1
-3 + 45
15
x1 + rx2r + 1
2 +(4)(6)4 + 1
2 + 245
265
R1(0.2,5.2)
Para R2:
= = r =
x = = = = = - = -0.6
y = = = = = = 4.4
ER2R2F
P1PPP2
32
x1 + rx2r + 1
-3 + (1)32
32 + 1
-3 + 3252
2 + (6)32
32 + 1
y1 + ry2r + 1
2 + 182
52
22252
4410
R2(-0.6,4.4)
32
3252
610
-
Para R3:
= = r =
x = = = = = - = -1.4
y = = = = = = 3.6
ER3R3F
P1PPP2
23
x1 + rx2r + 1
-3 + (1)23
23 + 1
-3 + 2353
2 + (6)23
23 + 1
y1 + ry2r + 1
2 + 123
53
18353
5415
R3(-1.4,3.6)
23
7353
2115
-
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19
Para R4:
= = r =
x = = = = = - = -2.2
y = = = = = = 2.8
ER4R4F
P1PPP2
14
x1 + rx2r + 1
-3 + (1)14
14 + 1
-3 + 1454
2 + (6)14
14 + 1
y1 + ry2r + 1
2 + 64
54
14454
5620
R4(-2.2,2.8)
14
11454
4420
-
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20
2.- A(0,4),B(3,7)
Pm = , = , = (1.5,5.5)0 + 32
32
4 + 72
112
3.- A(−1,3),B(9,11)
4.- A(5,−7),B(11,−4)
Pm = , = , = 8,- = (8,-5.5)5 + 112
-7 + (-4)2
162
-7 - 42
112
Pm = , = , = (4,7)-1 + 92
82
3 + 112
142
5. Punto medio.El punto medio del segmento de recta, es aquel punto que lo divide en dos segmentos igua-les.
Y
X
y2
ym
y1
x1 xm x2
P1
Pm
P2
Por tanto, las coordenadas del punto medio son:
x1 + x2
2y1 + y2
2,Pm =
Actividad.
Determina las coordenadas del punto medio definido por los puntos:
1.- A(3,5),B(2,−1)
Pm = , = , = 2.5, = (2.5,2)3 + 22
5 + (-1)2
52
5 -12
42
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21
5.- A ,1 , B ,2 12
13
Pm = , = , = , = (0.41,1.5)+2
1 + 22
32
32
12
13
2
56 5
12
6.- A ,-2 , B ,1 23
14
Pm = , = ,- = ,-0.5 = (0.45,-0.5)+2
-2 + 12
12
23
14
2
1112 11
24
Si el punto medio de un segmento de recta es Pm(1,−3) y un extremo del segmento es P1(7,−1), ¿Cuál es la coordenada del otro extremo?
1=
(1)(2) = 7 + x22 - 7 = x2-5 = x2
7 + x22 -3 =
(-3)(2) = -1 + y2-6 - (-1) = y2-6 + 1 = y2-5 = y2
-1+ y22
P2(-5,-5)
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22
6. Inclinación de una recta.La inclinación de una recta es el menor de los ángulos que dicha recta forma con el semieje X positivo y se mide, desde el eje X a la recta, en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Pendiente: La pendiente de una recta se define como la tangente del ángulo de inclinación y se calcula con la siguiente expresión:
y2
y1
x2x1 X
Y
x2 - x1
P1(x1,y1)
P2(x2,y2)
y2 - y1
M
c. oc. a
y2 - y1x2 - x1
m =y2 - y1x2 - x1
Para calcular la magnitud del ángulo se despeja de la siguiente manera:
tan θ = m
θ = tan−1(m)
Los casos que se presentan para el valor de la pendiente y su ángulo de inclinación, son los siguientes.
Si m > 0 (positiva) entonces, elángulo es agudo (menor a 90°).
Si m < 0 (negativa) entonces, elángulo es obtuso (mayor a 90° y menor a 180°).
Si m = entonces, el ángulo esrecto (90°).
0 Si m = 0 entonces, el ángulo esllano (180°).
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
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23
Actividad.
Determina la pendiente de los siguientes pares de puntos.
1.- A(-3,5), B(2,7)
m = = 7 - 52 - (-3)
25
5.- I(0,4), J(-3,0)
m = = = 0 - 4-3 - 0
-4-3
43
3.- E(-1,2), F(4,-5)
m = = = - -5 - 24 - (-1)
-75
75
4.- G(8,-2), H(0,-1)
m = = = - -1 - (-2)0 - 8
1-8
18
6.- K(-5,1), L(1,-3)
m = = = - -3 - 11 - (-5)
-46
46
112
52
-
7.- M ,7 , H 3,-
m = = = - 2210
12
32
- 7 32
3 - 1 2
65
112
-
8.- O , , P - ,
m = = = - 572
35
35
23
34
- 35
34 - 2
335 - -
9.- Q 5, 3 , R 3,-
m = = =
32
32- - 3
13 - 5
-3 - 2 3 2 21
-3 - 2 3 -4
Encuentra la medida de los ángulos de inclinación de las rectas que pasan por los siguientes puntos.
4 - 72 - 5
-3-3
50
4 - (-1)7 - 7
50
Los vértices de un triángulo son los puntos G(2,−2), H(−1,4), I(4,5). Determina la pendiente para cada uno de sus lados.
G(2,-2), H(-1,4)
m = = = -24 - (-2)-1 - 2
6-3
H(-1,4), I(4,5)
m = = = 0.25 - 44 - (-1)
15
I(4,5), G(2,-2)
m = = = 3.5-2 - 52 - 4
-7-2
2.- C(4,-2), D(7,-2)
m = = = 0 -2 - (-2)7 - 4
03
3 - 2-2 - (-1)
1-1
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24
La pendiente de una recta es 3. Si la recta pasa por los puntos A(2,−1) y el punto B, cuya or-denada es −5, ¿Cuál es el valor de su abscisa?
23
3 =
3(x2 - 2) = -5 + 1 3x2 - 6 = -4 3x2 = -4 + 6 3x2 = 2
x2 =
-5 -(-1)x2 - 2
Una recta tiene un ángulo de inclinación de 45° y pasa por los puntos A y B. Si el punto A tiene las coordenadas (3,−2) y la ordenada de B es −1, encuentra su abscisa.
y2 - y1x2 - x1
tan 45° =
1 =
1(x2 - 3) = -1 + 2 x2 -3 = 1 x2 = 1 + 3 x2 = 4
-1 - (-2)x2 - 3
-1 + 2x2 - 3
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25
Actividad.
Demuestra si la recta l1 que pasa por los puntos A(3, −1) y B(−6,5) es paralela o perpendicu-lar a la recta l2 que pasa por los puntos C(0,2) y D(−2, −1).
6-9
-3-2 = = -1-18
18Es perpendicular
7. Líneas paralelas y perpendiculares.Si dos líneas rectas l1 y l2 son paralelas si sus pendientes son iguales.
m1 = m2
Dos líneas rectas l1 y l2 son perpendiculares entre sí, cuando el producto de sus pendientes es -1.
-1m2
Demuestra que la recta que pasa por los puntos A(−2,1) y B(1, −4), es paralela a la recta que pasa por los puntos C(8, −7) y D(5, −2).
C(8,-7), D(5,-2)
m2 = = -2 - (-7)5 - 8
5-3
A(-2,1), B(1,-4)
m1 = = -4 - 11 - (-2)
-53
-53
5-3=
Es paralela
Demuestra que los cuatro puntos A(−3,1), B(−2,5), C(2,4) y D(1,0), son los vértices de un cua-drado y que sus diagonales son perpendiculares.
Es un cuadrado por que sus vértices dan -1 entre si.
-4 -3 -2 -1 1 2 30
6
5
4
3
2
1
y
xA
B
C
D
A(3,-1), B(-6,5)
m1 = = 5 - (-1)-6 - 3
6-9
C(0,2), D(-2,-1)
m2 = = -1 - 2-2 - 0
-3-2
A(-3,1), B(-2,5)
m1 = = 5 - 1-2 - (-3)
41
C(2,4), D(1,0)
m3 = = 0 - 41 - 2
-4-1
B(-2,5), C(2,4)
m2 = = 4 - 52 - (-2)
-14
D(1,0), A(-3,1)
m4 = = 1 - 0-3 - 1
1-4
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26
Demostrar por medio de pendientes, que los puntos A(1,1), B(5,3), C(8,0) y D(4, −2) son vérti-ces de un paralelogramo.
Diagonal B(-2,5), D(1,0)
m1 = = 0 - 51 - (-2)
-53
Diagonal A(-3,1), C(2,4)
m2 = = 4 - 12 - (-3)
35
-53
35 = = -1-15
15Las diagonales son perpendiculares
A(1,1), B(5,3)
m1 = = 3 - 15 - 1
24
B(5,3), C(8,0)
m2 = = 0 - 38 - 5
-33
C(8,0), D(4,-2)
m3 = = -2 - 04 - 8
-2-4
D(4,-2), A(1,1)
m4 = = 1 - (-2)1 - 4
3-3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
A
B
C
D
Es un paralelogramo por que las pendientes (A,D) y (C,D) son paralelas al igual que lo son (B,C) y (D,A).
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27
8. Ángulo entre dos rectas.El ángulo α, medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj, desde la recta l1, de pendiente m1 a la recta l2 de pendiente m2 es:
m2 - m11 + m2m1
m2 - m11 + m2m1
Importante:
Para la correcta obtención del ángulo formado por dos rectas es necesario hacer de manera adecuada la selección de m1 y de m2, para ilustrar el procedimiento se obtendrá el valor del ángulo alfa.
Todo ángulo se mide en sentido contrario a las manecillas del reloj, por lo tanto el ángulo se mide como se indica en la figura.
m1 = 2 m2 = -3
2 -3
-3 - 21 + (-3)(2)-5
1 - 6-5-5
La selección de las pendientes se hará de la siguiente manera:
m1 Es siempre la pendiente donde comienza el ángulo, en este caso 2, m2 es siempre la pen-diente donde termina el ángulo, por lo tanto m2 será −3.
Actividad.
En los siguientes ejercicios determina los ángulos interiores de los triángulos.
1.- A(4,2), B(0,1), C(6, −1)
1 2 3 4 5 6 7 0
3
2
1
-1
-2
y
x
AB
C
m1
m2
m3
A(4,2), B(0,1)
m1 =
m1 = =
1 - 20 - 4-1-4
14
B(0,1), C(6,-1)
m2 =
m2 = = -
-1-16-0
-26
13
C(6,-1), A(4,2)
m3 =
m3 = = -
2-(-1)4 - 63-2
32
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28
ABC = tan-1
= tan-1
= tan-1
ABC = tan-1 = 32.47°
14
-14
13
-1 +
712
1121 -
7121112
13-
7 11
BCA= tan-1
= tan-1
= tan-1
BCA = tan-1 = 37.87°
13- -
32
-1 +
76
121 +
7632
32-
79
13
-
2.- D(−3, −1), E(4,4), F(−2,3)
D(-3,-1), E(4,4)
m1 =
m1 =
4 - (-1)4 - (-3)57
E(4,4), F(-2,3)
m2 =
m2 = =
3 - 4-2 - 4-1 -6
16
F(-2,3), D(-3,-1)
m3 =
m3 = = 4
-1 - 3-3 - (-2)-4-1
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
D
EF
m1
m2
m3
CAB = tan-1
= tan-1
= tan-1
CAB = tan-1 = -70.34° + 180° =
32
14
14
32
-1 +
74-
381 -
74-
58
145- 109.66°
- -
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29
FDE= tan-1
= tan-1
= tan-1
FDE = tan-1 = 40.42°
574 -
571 + (4)
2372071 +
237
277
2327
DEF = tan-1
= tan-1
= tan-1
DEF = tan-1 = 26.07°
57
57
16-
161 +
2342
5421 +
234247422347
3.- G(−2,1), H(3,4), I(5,−2)
G(-2,1), H(3,4)
m1 =
m1 =
4 - 13 - (-2)35
-3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
xG
H
I
m1
m2
m3
H(3,4), I(5,-2)
m2 =
m2 = = -3
-2 - 45 - 3
-62
I(5,-2), G(-2,1)
m3 =
m3 = = -
1 - (-2)-2 - 5
3-7
37
EFD = tan-1
= tan-1
= tan-1
EFD = tan-1 = -66.50° + 180° =
16
-
- 4161 + (4)
236231 +
236
532310
-
- 113.5°
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30
IGH = tan-1
= tan-1
= tan-1
IGH = tan-1 = 54.16°
35 -
351 +
3635
9351 -
36352635
37-
1813
37-
GHI = tan-1
= tan-1
= tan-1
GHI = tan-1 = 77.47°
35
185951 -
18545
92
-3 -351 + (-3)
-
-
-
4.- J(−4,1), K(2,3), L(1,−4)
J(-4,1), K(2,3)
m1 =
m1 = =
3 - 12 - (-4)26
13
K(2,3), L(1,-4)
m2 =
m2 = = 7
-4 - 31 - 2
-7-1
HIG = tan-1
= tan-1
= tan-1
HIG = tan-1 = 48.36°
187
971 +
187
16798
1 + (-3)37-
37 (-3)- -
L(1,-4), J(-4,1)
m3 =
m3 = = -
1 - (-4 )-4 - 1
5-5
55
= -1-5 -4 -3 -2 -1 1 2 30
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
xJ
K
L
m1
m2m3
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31
JKL = tan-1
= tan-1
= tan-1
JKL = tan-1 (2) = 63.43°
203
731 +
203
103
1 + (7) 13
13
7 -
¿Cuáles son las medidas de los ángulos interiores del paralelogramo, cuyos vértices son los puntos A(1,3), B(2,6), C(7,8), D(6,5)?
1 2 3 4 5 6 7 8 0
9
8
7
6
5
4
3
2
1
y
x
A
B
C
Dm1
m2m3
m4
A(1,3), B(2,6)
m1 =
m1 = = 3
6 - 32 - 1
31
B(2,6), C(7,8)
m2 =
m2 =
8 - 67 - 2
25
C(7,8), D(6,5)
m3 =
m3 = = 3
5 - 86 - 7
-3-1
D(6,5), A(1,3)
m4 =
m4 = =
3 - 51 - 6
-2-5
25
LJK = tan-1
= tan-1
= tan-1
LJK = tan-1 (2) = 63.43°
43
131 -
4323
13
13
- (-1)
1 + (-1)
KLJ = tan-1
= tan-1
KLJ = tan-1 = 53.13°-8-6
-1 - 71 + (-1)(7)
-8
1 - 7
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32
DAB= tan-1
= tan-1
= tan-1
DAB = tan-1 = 49.76°
135
651 +
135
115
1 + (3) 25
253 -
1311
BCD= tan-1
= tan-1
= tan-1
BCD = tan-1 = 49.76°
135
651 +
135
115
1 + (3) 25
253 -
1311
Dos rectas se cortan formando un ángulo de 135°. Sabiendo que la recta final tiene una pen-diente de −3, determina el valor de la pendiente de la recta inicial.
-24
135° = tan-1
tan(135°) =
-1 =
-1(1 - 3m1) = -3 - m1 -1 + 3m1 = -3 - m1 3m1 + m1 = -3 + 1 4m1 = -2
m1 = = -
1 + (-3)(m1)-3 - m1
1 + (-3)(m1)-3 - m1
1 - 3m1
-3 - m1
12
= tan-1
= tan-1
= tan-1
= tan-1 (-1) = -45° = 135°
52
321 +
5252
1 + (-3)
-3 -
-
-
12
-12
-
Comprobación
ABC= tan-1
= tan-1
= tan-1
ABC = tan-1 = -49.76° + 180°
135
651 +
135
115
1 + (3)25
25 - 3
1311
-
-
-
CDA= tan-1
= tan-1
= tan-1
CDA = tan-1 = -49.76° + 180°
135
651 +
135
115
1 + (3)25
25 - 3
1311
-
-
-
= 130.23°
= 130.23°
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33
9. Línea recta.La línea recta es el lugar geométrico de todos los puntos, tales que al tomar dos puntos dife-rentes P1 y P2, y obtener el valor de la pendiente, esta resulta siempre ser la misma.
AB
DC
E
mAE = mBD
Ecuación de la recta punto-pendiente de la recta.
Sea el punto A de coordenadas (x1, y1) y “m” una pendiente dada, la ecuación de la recta se puede obtener a partir del concepto de pendiente como se muestra a continuación.
y - y1x - x1
m =
m(x - x1) = y - y1
Ecuación de la recta punto - pendiente:
y - y1 = m(x - x1)
Al desarrollar esta ecuación, se llega a la ecuación de la recta en su forma general, que pue-de ser expresada con el siguiente formato:
Ax + By + C = 0
Actividad.
En los siguientes ejercicios determina la ecuación de la recta en su forma general, que satis-faga con las siguientes condiciones.
1.- A(1,3), m = 2
y - 3 = 2(x - 1)y - 3 = 2x - 2(-2x + y -1 =0)
2.- B(5,3), m = -2
y - 3 = -2(x - 5)y - 3 = -2x + 102x + y - 13 = 0
3.- C(3,-2), m = 1
y - (-2) = 1(x - 3)y + 2 = x - 3(-x + y + 5 = 0)
4.- D(0,-5), m = -4
y - (-5) = -4(x - 0)y + 5 = -4x4x + y + 5 = 0
2x - y + 1 = 0-x - y - 5 = 0
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34
5.- E(2,0), m =
y - 0 = (x - 2)
2y = 1(x - 2)2y = x - 2x - 2y -2 = 0
12
12
6.- F(-4,5), m =
y - 5 = (x - (-4))
2(y - 5) = 3(x + 4)2y - 10 = 3x + 123x - 2y + 12 + 10 = 03x - 2y + 22 = 0
32
32
7.- G(-1,-6), m = -
y - (-6) = - (x - (-1))
3(y + 6) = -5(x + 1)3y + 18 = -5x - 55x + 3y + 18 + 5 = 05x + 3y + 23 = 0
53
53
8.- H(0,0), m = -
y - 0 = - (x - 0)
5(y) = -4(x)5y = -4x4x + 5y + 0 = 0
45
45
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados.
Sean P(x1,y1) y Q(x2,y2) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de una recta, es posible determinar su ecuación.
y - y1 = m(x - x1)
y - y1 = (x - x1) y2 - y1x2 - x1
Calculando su pendiente:
Actividad.
En los siguientes ejercicios determine la ecuación de la recta que determinan los siguientes pares de puntos en su forma general.
1.- A(0,0), B(3,1)
y - 0 = (x - 0)
y = (x)3y = xx - 3y = 0
1 - 03 - 0
13
2.- B(0,0), B(-4,3)
y - 0 = (x - 0)
y = (x)-4y = 3x3x + 4y = 0
3 - 0-4 - 0
3-4
3.- D(1,1), E(4,3)
y - 1 = (x - 1)
y - 1 = (x - 1)3(y - 1) = 2(x - 1)3y - 3 = 2x - 22x - 3y - 2 + 3 = 02x - 3y + 1 = 0
3 - 14 - 123
4.- F(5,1), G(1,4)
y - 1 = (x - 5)
y - 1 = (x - 5)-4(y - 1) = 3(x - 5)-4y + 4 = 3x - 153x + 4y - 15 - 4 = 03x + 4y - 19 = 0
4 - 11 - 53-4
5.- H(-5,2), I(3,2)
y - 2 = (x - (-5))
y - 2 = (x - (-5))8(y - 2) = 0(x - 5)8y - 16 = 0
2 - 23 - (-5)08
6.- J(4,1), K(-2,-5)
y - 1 = (x - 4)
y - 1 = (x - 4)-6(y - 1) = -6(x - 4)-6y + 6 = -6x + 246x - 6y - 24 + 6 = 06x - 6y - 18 = 0
-5 - 1-2 - 4-6-6
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35
7.- L(5, ), M(-1, )
y - = (x - 5)
y - = (x - 5)
y - = (x - 5)
-24(y - ) = x - 5
-24y + 12 = x - 5x + 24y - 5 - 12 = 0x + 24y - 17 = 0
12
34
34
12-
-1 - 514-611
-24
12
12
12
12
8.- O , P
y - = (x - )
y + = (x + )
y + = - (x + )
-4(y + ) = 27(x + )
-4y - 1 = 27x + 927x + 4y + 9 + 1 = 027x + 4y + 10 = 0
15
274
15
920
115
14
14
25- ,1
413- ,-
- -14- 2
5- 13- -
13-
-13
13
14
14
13
Ecuación pendiente - ordenada al origen.
Una vez que se conoce la pendiente de una recta y su ordenada al origen (intersección con el eje Y), se determina la siguiente ecuación:
y = mx + b
Donde:
Y
X0
b
(0,b)
m = pendiente
b = ordenada al origen
Esta forma también se le conoce como forma simplifica-
da o reducida.
Actividad.
Observa y completa las siguientes ecuaciones expresadas tanto en su forma pendiente - or-denada como en su forma general (La ecuación general no puede estar en fracciones):
Forma y = mx + b Forma general mPendiente
bOrdenada al origen
35
y = - x - 2 3x + 5y + 10 = 0 -235-
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36
En las siguientes ecuaciones generales, obtén la ecuación pendiente - ordenada al origen y graficala.
1.- x + y - 3 = 0
y = -x + 3y x-1 40 31 2
2.- x - y - 2 = 0
y = x - 2y x-1 -30 -21 -1
3.- 3x - y + 4 = 0
y = 3x + 4y x-1 10 41 7
4.- 2x + y + 3 = 0
y = -2x - 3y x-1 -10 -31 -5
5.- 5x - 4y + 12 = 0
4y = 5x + 12y =
y = x + 3
y x-1 1.75 0 3 1 4.25
5x + 124
54
6.- 2x - 5y - 30 = 0
5y = 2x - 30y =
y = x - 6
y x-1 -6.4 0 -6 1 -5.6
2x - 305
25
7.- 4x + 9y - 63 = 0
9y = -4x + 63y =
y = x + 7
y x-1 7.44 0 7 1 6.55
-4x + 639
-49
8.- 2x + 7y - 4 = 0
7y = -2x + 4y =
y = - x +
y x-1 0.28 0 0.57 1 0.28
-2x + 47
27
47
-2 -1 1 20
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
x
3x - y + 4 = 0
34
y = - x + 3
2x - 3y + 3 = 0
y = -2x
12 -5
3x + 4y - 12 = 0
2x + y = 0
x - 2y - 10 = 0
y = 3x + 4
3y = 2x + 3y = x + 1 2
3
y = x - 5 12
0
+1
+3
+4
-2
3
3423
-
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37
Ecuación simétrica de la recta.La forma simétrica de la recta determina las intersecciones de la recta con los ejes y tiene la forma.
xa
yb+ = 1
Actividad.Transforma en su forma simétrica las siguientes ecuaciones.
1.- x + y - 4 = 0x + y = 4 4x4
y4+ = 1
2.- 2x - 5y + 5 = 02x - 5y = -5 -5x-52
+ y = 1
3.- x - 3y + 8 = 0x - 3y = -8 -8
+ = 1y83
x-8
4.- x + 8y - 4 = 0x + 8y = 4 4
+ 2y = 1x4
+ = 1x4
y2
5.- -3x + 4y + 12 = 0-3x + 4y = -12 -12
x4 + = 1y
-3
-3x-12 + = 14y
-12x + = 1y
-12-3
-124
6.- 3x + 5y - 10 = 03x + 5y = 10 103x10 + = 15y
10x + = 1y
2103
7.- x + 3y + 5 = 0
x + 3y = -5 -5
x-5 = + = 1y
12
12
12
x-5 + = 13y
-5
12
x-10 -5
3
8.- - x + y - 4 = 0
- x + y = 4 4x4 = + = 1y
1225
25
25
x-10
13
13
-
Grafica las siguientes rectas y posteriormente transformalas a su forma general.
1.- + = 1
5x + 4y - 20 = 0
x4
y5
x20
=20x4 + = 2020y
5
2.- + = 1
8x + 7y - 56 = 0
x7
y8
x56
=56x7 + = 5656y
8
3.- + = 1
7x + 6y - 42 = 0
x6
y7
x42
=42x7 + = 4242y
8
4.- + = 1
-11x + 10y + 110 = 0
x10
y-11
x-110
=-110x
10 + = -110-110y-11
6.- + = 1
-7x - 5y - 35 = 0
x-5
y-7
x35
=35x-5 + = 3535y
-7
5.- + = 1
-3x - 2y - 6 = 0
x-2
y-3
x6
=6x-2 + = 66y
-3
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
-11
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38
Rectas paralelas.
Son aquellas rectas que tienen la misma pendiente.
m1 = m2
Actividad.
Obtén la ecuación de la recta que pasa por A(−3,−1) y es paralela a la recta 2x + 3y − 5 = 0
Una recta pasa por el punto A(7,8) y es paralela a la recta que pasa por los puntos C(−2,2) y D(3,−4). Halla su ecuación.
-ABm =
-23m = y - y1 = m(x - x1)
y - (-1) = (x -(-3))
y + 1 = (x + 3)
3(y + 1) = -2(x + 3)3y + 3 = -2x - 62x + 3y + 3 + 6 = 02x + 3y + 9 = 0
-23
-23
C(-2,2), D(3,-4)
y - y1 = m(x - x1)
y - 2 = (x - (-2))
y - 2 = (x + 2) 5(y - 2) = -6(x + 2)5y - 10 = -6x - 126x + 5y - 10 + 12 = 06x + 5y + 2 = 0
-65
y2 - y1x2 - x1
m = = =-4 - 23 - (-2)
-65-65
A(7,8)
y - y1 = m(x - x1)
y - 8 = (x - 7)
5(y - 8) = -6(x - 7)5y - 40 = -6x + 42 6x + 5y - 40 - 42 = 06x + 5y - 82 = 0
-65
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39
Rectas perpendiculares.
Son aquellas rectas que cumplen con m1 ∙ m2 = -1
Actividad.
Encuentra la ecuación de la recta que es perpendicular a 3x + 4y − 5 = 0 y pasa por D(−2,−1).
3x + 4y - 5 = 0-ABm1 = = -3
4
-1m1
m2 = = =-1-34
43
D(-2,-1)
y - y1 = m(x - x1)
y - (-1) = (x - (-2))
y + 1 = (x + 2)
3(y + 1) = 4(x + 2)3y + 3 = 4x + 84x - 3y + 8 - 3 = 04x - 3y + 5 = 0
43
43
Demuestra que las rectas cuyas ecuaciones son 3x + 2y = 11 y 3y + 2x = 6 son perpendiculares.
3x + 2y = 113x + 2y - 11 = 0
-ABm1 = = -3
2
3y + 2x = 62x + 3y - 6 = 0
-ABm2 = = -2
3
-32
66
-23 = = 1
No son perpendiculares.
Encuentra la ecuación de la recta que pasa por el punto K(10,2) y es perpendicular a la recta 4x − 6y = 12.
4x - 6y = 124x - 6y - 12 = 0
-ABm1 = = -4
-6
-1m1
m2 = = = --123
32
K(10,2)
y - y1 = m(x - x1)
y - 2 = (x - 10)
2(y - 2) = -3(x - 10)2y - 4 = -3x + 303x + 2y - 30 - 4 = 03x + 2y - 34 = 0
46= = 2
3 - 32
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40
10. Distancia de un punto a una recta.
La distancia de un punto P1(x1,y1) a una recta Ax + By + C = 0 esta dada por la fórmula:
Y
X
Ax + By + C = 0
P1(x1,y1)
dAx1 + By1 + C
A2 + B2d =
Actividad.
Determina la distancia del punto a la recta indicada.
1.- P(1,4), 2x − 7y + 3 = 0
d = = = = 3.15
2.- N(−2,5), 3x + 4y − 5 = 0
d = = = = 95
3.- G(−1,7), 12x + 5y + 26 = 0
d = = = = 4913
4.- R(-3,-7), y - 3 = 0
d = = = = 10
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41
11. Circunferencia.Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que su distancia a un punto fijo llamado centro, siempre es constante:
Y
X
C(ℎ,k)
P(x,y)r
Definición:
Elementos:C: centro
r: radioP(x,y): punto cualquiera de la circunferencia
Ecuación de la circunferencia.
• Forma canónica
La ecuación de la circunferencia con centro en el origen (0,0) y radio r, esta dada por la fór-mula:
x2 + y2 = r2
• Forma ordinaria
La ecuación de la circunferencia con centro en el puto C(ℎ, k) y radio r, esta dada por la fórmula:
(x - ℎ)2 + (y - k)2 = r2
• Forma general
Esta ecuación se obtiene al desarrollar los binomios e igualar a cero la ecuación ordinaria.
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, donde A = C
Actividad.
Obtén la ecuación en su forma general de la circunferencia.
1.- C(0,0), r = 4
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 0)2 + (y - 0)2 = (4)2
x2 + y2 = 16x2 + y2 - 16 = 0
2.- C(0,0), r =
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 0)2 + (y - 0)2 =
x2 + y2 =
x2 + y2 - = 0
2
3434
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42
3.- C(3,-4), r = 6
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 3)2 + (y - (-4))2 = (6)2 x2 - 6x + 9 + (y + 4)2 = 36x2 - 6x + 9 + y2 + 8y + 16 = 36x2 + y2 - 6x + 8y + 25 = 36x2 + y2 - 6x + 8y + 25 - 36 = 0x2 + y2 - 6x + 8y - 11 = 0
5.- C(5,-12), r = 13
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 5)2 + (y - (-12))2 = (13)2 x2 - 10x + 25 + (y + 12)2 = 169x2 - 10x + 25 + y2 + 24y + 144 = 169x2 + y2 - 10x + 24y + 169 = 169x2 + y2 - 10x + 24y + 169 - 169 = 0x2 + y2 - 10x + 24y = 0
6.- C(-1,-6), r = 8
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - (-1))2 + (y - (-6))2 = (8)2 (x + 1)2 + (y + 6)2 = 64x2 + 2x + 1 + y2 + 12y + 36 = 64x2 + y2 + 2x + 12y + 37 = 64x2 + y2 + 2x + 12y + 37 - 64 = 0x2 + y2 + 2x + 12y - 27 = 0
Halla la ecuación de la circunferencia de centro en el origen y que pasa por el punto (6,0).
x2 + y2 = r2
x2 + y2 = (6)2
x2 + y2 = 36x2 + y2 - 36 = 0
Halla la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (3, −4) y pasa por el origen.
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - 3)2 + (y - (-4))2 = (5)2
x2 - 6x + 9 (y + 4)2 = 25x2 - 6x + 9 + y2 + 8y + 16 = 25x2 + y2 - 6x + 8y + 25 = 25x2 + y2 - 6x + 8y + 25 - 25 = 0x2 + y2 - 6x + 8y = 0
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43
Halla la ecuación de la circunferencia de centro en el punto (4, −1) y que pasa por (−1,3).
Encuentra la ecuación de la circunferencia que tiene como diámetro a A(−1,5) y B(−5, −7).
x1 + x22
y1 + y22Pm = C = ,
A(-1,5), B(-5,7)
-1 + (-5)2
5 + (-7)2 C = ,
-1 - 52
5 - 72 C = ,
-62
-22 C = ,
C = (-3,-1)
Halla la ecuación de la circunferencia de centro (−2,3) que es tangente a la recta 20x − 21y − 42 = 0.
(x - h)2 + (y - k)2 = r2
(x - (-2))2 + (y - 3)2 = (5)2
(x + 2)2 + y2 - 6y + 9 = 25x2 + 4x + 4 + y2 - 6y + 9 - 25 = 0x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0
d = r = = = = = = 5 14529
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44
Encuentra la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(7, −5) y cuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7x − 9y − 10 = 0 y 2x − 5y + 2 = 0
7x - 9y = 102x - 5y = -2
x72
y-9-5
(1)(2)
(1)(2)
= (7)(-5) - (-9)(2)
= -35 + 18 = -17TI
10-2
y-9-5
(1)(2)
= (10)(-5) - (-9)(-2)
= -50 - 18 = -68x72
TI10-2
(1)(2)
= (7)(-2) - (10)(2)
= -14 - 20 = -34
x = = = 4-68-17
y = = = 2-34-17
C(4,2)
Obtención del centro y radio a partir de la ecuación general.
A partir de la ecuación general pueden determinarse las coordenadas del centro y la longi-tud del radio; esto se realiza completando los trinomios cuadrados y simplificando.
El siguiente ejemplo muestra el procedimiento:
x2 + y2 − 6x + 8y − 11 = 0
Inicialmente se agrupan “x” y “y”, el termino independiente se coloca del lado derecho.
x2 − 6x + y2 + 8y = 11
Ahora se completan cuadrados tanto para “x” como para “y”, se suma la misma cantidad que se utiliza para completar el trinomio del lado derecho.
x2 - 6x + + y2 + 8y + = 11 + + 62
2 82
2 62
282
2
Desarrollando y simplificando:
x2 − 6y + 9 + y2 + 8y + 16 = 11 + 9 + 16(x − 3)2 + (y + 4)2 = 36
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45
Una vez llegando a la ecuación canónica se obtienen las coordenadas del centro y la lon-gitud del radio.
x - 3 = 0 y + 4 = 0x = 3 y = - 4
C(3,-4)
Actividad.
Encuentra las coordenadas de centro y la longitud del radio de las circunferencias siguientes.
1.- x2 + y2 + 6x - 4y - 12 = 0
x + 3 = 0 y - 2 = 0x = -3 y = 2
C(-3,2)
2.- x2 + y2 + 4x + 12y + 36 = 0
x2 + 4x + y2 + 12y = -36
x2 + 4x + + y2 + 12y + = - 36 + +
x2 + 4x + 4 + y2 + 12y + 36 = -36 + 4 + 36(x + 2)2 + (y + 6)2 = 4
42
2122
242
2122
2 x + 2 = 0 y + 6 = 0x = -2 y = -6
C(-2,-6)
3.- x2 + y2 - 8x - 2y + 1 = 0
x2 - 8x + y2 - 2y = -1
x2 - 8x + + y2 - 2y + = -1 + +
x2 - 8x + 16 + y2 - 2y + 1 = -1 + 16 + 1(x - 4)2 + (y - 1)2 = 16
-82
2-22
2-82
2-22
2 x - 4 = 0 y - 1 = 0x = 4 y = 1
C(4,1)
4.- x2 + y2 - 10x + 4y - 7 = 0
x2 + 6x + y2 - 4y = 12
x2 + 6x + + y2 - 4y + = 12 + +
x2 + 6x + 9 + y2 - 4y + 4 = 12 + 9 + 4(x + 3)2 + (y - 2)2 = 25
62
2-42
262
2-42
2
x2 - 10x + y2 + 4y = 7
x2 - 10x + + y2 + 4y + = 7 + +
x2 - 10x + 25 + y2 + 4y + 4 = 7 + 25 + 4(x - 5)2 + (y + 2)2 = 36
-102
242
2-10 2
242
2 x - 5 = 0 y + 2 = 0x = 5 y = -2
C(5,-2)
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46
5.- 2x2 + 2y2 + 12x - 2y - 3 = 0
2x2 + 12x + 2y2 - 2y = 3
x2 + 6x + y2 - y =
x2 + 6x + + y2 - y + = + +
x2 + 6x + 9 + y2 - y + = + 9 +
(x + 3)2 + (y - )2 =
62
2-12
26 2
2-12
2
232
32
14
32
14
12
434
x + 3 = 0 y - = 0
x = -3 y = .
C(-3, )
12
12
12
r2 =
r =
434434
6.- 3x2 + 3y2 - 6x + 5y = 0
3x2 - 6x + 3y2 + 5y = 0
x2 - 2x + y2 + y = 0
x2 - 2x + + y2 + y + = +
x2 - 2x + 1 + y2 + y + = 1 +
(x + 1)2 + (y + )2 =
-22
2
2
2
3
2536
2536
56
6136
53
53
53 -2
2
2
2
253
53
x + 1 = 0 y + = 0
x = -1 y = - .
C(-3,- )
56
56
12
r2 =
r =
6136
6136
Demuestra que las circunferencias 4x2 + 4y2 − 16x + 12y + 13 = 0 y 12x2 + 12y2 − 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.
4x2 - 16x + 4y2 + 12y = -13
x2 - 4x + y2 + 3y =
x2 - 4x + + y2 + 3y + = + +
x2 - 2x + 4 + y2 + 3y + = + 4 +
(x - 2)2 + (y + )2 = 3
-42
232
2
4
94
32
-134
-134
-42
232
2
-134
94
x - 2 = 0 y + = 0
x = 2 y = - .
C(2,- )
32
32
32
12x2 - 48x + 12y2 + 36y = -55
x2 - 4x + y2 + 3y =
x2 - 4x + + y2 + 3y + = + +
x2 - 2x + 4 + y2 + 3y + = + 4 +
(x - 2)2 + (y + )2 =
-42
232
2
12
94
32
-5512
-5512
-42
232
2
-5512
94
53
Las circunferencias son concéntricas por que tienen el centro en el mismo punto.
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47
12. Parábola.
Es el lugar geométrico que describe un punto que se mueve en el plano de tal manera que equidistan de un punto fijo llamado foco, y una recta fija, llamada directriz.
P(x,y)
D Y
V
D´R
F X
PF = PD
Elementos:
V: Vertice
F: Foco
DD´: Directriz
LR: Lado recto
p: parametro
(distancia del vértice al foco o a la directriz)p p
De acuerdo con el signo del parámetro se determina la concavidad de la parábola:
p es positivo p es negativo
Horizontal
Vertical
Formulas.
Parábola horizontal con vértice en elorigen.
Parábola vertical con vértice en elorigen.
Parábola horizontal con vértice en el origen.
Parábola vertical con vértice en el origen.
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48
Actividad.
Halla todos los elementos de la parábola y traza la gráfica.
1.- y2 = 4x y2 = 4px4p = 4
p = = 1 44
F = (1,0)
V = (0,0)-3 -2 -1 1 2 3
0
3
2
1
-1
-2
-3
y
xV F
D
D´
L
R
p p
2.- x2 = -12y x2 = 4py4p = -12
p = = -3 -124
F = (0,-3)
V = (0,0)
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
F
v
D D´
L R
p
p
3.- y2 + 12x = 0 y2 = - 12x y2 = 4px
4p = -12
p = = -3 -124
F = (-3,0) V = (0,0)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
x
D
D´
L
Rp p
VF
DD´: x + p = 0 x + 1 = 0 x = -1
DD´: y + p = 0 y + (-3) = 0 y - 3 = 0 y = 3
DD´: x + p = 0 x + (-3) = 0 x - 3 = 0 x = 3
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49
4.- x2 - 16y = 0 x2 = 16y x2 = 4px4p = 16
p = = 4 164
V = (0,0) F = (4,0) DD´: x + p = 0 x + 4 = 0 x = -4
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
xV F
D
D´
L
Rp p
5.- (20y - x2 = 0)- -20y + x2 = 0 x2 = 20y x2 = 4py
4p = 20
p = = 5204
V = (0,0)
F = (0,5)
DD´: y + p = 0 y + 5 = 0 y = -5
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
xV
F
D D´
L R
p
p
6.- 20x2 = 64y 5
x2 = y x2 = 4py
645
4p =
p = = 4
645
645 16
5
V = (0,0)
F = (0, )165
DD´: y + p = 0 y + = 0 y = -
165
165
165
645
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xV
F
D D´
L R
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50
Escribe la ecuación de la parábola con vértice en el origen que satisfaga las condiciones y traza la gráfica.
1.- Foco en (3,0) R: y2 = 12x
1 2 3 4 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xF
2.- Foco en (-4,0) R: y2 = -16x
-5 -4 -3 -2 -1 1 20
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
xF
3.- La directriz x + 4 = 0R: y2 = 16x
4.- La directriz y - 4 = 0R: x2 = -16y
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
x
D D´
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
x
D
D´
5.- LR = 10 y abre hacia la derecha.R: y2 = 10x
6.- LR = 8 y abre hacia arriba.R: x2 = 8y
1 2 30
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
x
L
R
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
3
2
1
-1
y
x
L R
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51
Formulas.
Parábola horizontal con vértice (h,k).
Ecuación canónica: (y - k)2 = 4p(x - ℎ)Vértice: V(ℎ,k)Foco: F(ℎ + p, k)Directriz: x + p = ℎLado recto: LR = │4p│Ecuación del eje y = kGeneral: Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Y
k
0 D´ ℎXR
pp F
P(x,y)
Eje
L
V
D
Parábola vertical con vértice (h,k).
Ecuación canónica: (x - ℎ)2 = 4p(y - k)Vértice: V(ℎ,k)Foco: F(ℎ,k + p)Directriz: y + p = kLado recto: LR = │4p│Ecuación del eje x = ℎGeneral: Ay2 + Dx + Ey + F = 0
Y
k
D´
ℎ X
Rp
p
F
P(x,y)
Eje
L
V
D
Actividad.
Determina todos los elementos de la parábola y traza la gráfica.
1.- y2 + 8x + 8 = 0 y2 = -8x - 8 y2 = -8(x + 1)(y - k)2 = 4p(x - h)(y - 0)2 = -8(x - (+1))(y - 0)2 = -8(x - 1)
4p = -8
p = = -2-84
V(h,k) =(-1,0)
F(h+p,k) = (-1 + (-2),0) = (-1 - 2,0) F = (-3,0)
DD´: x + p = h x + (-2) = -1 x - 2 = -1 x = -1 + 2 x = 1
-4 -3 -2 -1 1 20
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xV
D
F
D´
L
Rp p
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52
2.- x2 + 4y + 8 = 0 x2 = -4y - 8 x2 = -4(y + 2)(x - h)2 = 4p(y - k)(x - 0)2 = -4(y - (+2))(x - 0)2 = -4(y - 2)
4p = -4
p = = -1-44
V(h,k) =(0,-2) DD´: y + p = k y + (-1) = -2 y - 1 = -2 y = -2 + 1 y = -1
-3 -2 -1 1 2 30
1
-1
-2
-3
-4
y
x
VD
F
D´
L R
p
3.- y2 - 12x - 48 = 0 y2 = 12x + 48 y2 = 12(x + 4)(y - k)2 = 4p(x - h)(y - 0)2 = 12(x - (+4))(y - 0)2 = 12(x - 4)
4p = 12
p = = 3124
V(h,k) =(-4,0)
F(h,k + p) = (0 ,-2 + (-1)) = (0,-2 - 1) F = (0,-3)
F(h + p,k) = (-4 + 3,0) F = (-1,0)
DD´: x + p = h x + 3 = -4 x = -4 - 3 x = -7
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
y
xV F
D
D´
L
R
ℎ
42
4.- x2 + 4x + 16y + 4 = 0 x2 + 4x = -16y - 4
x2 + 4x + = -16y - 4 +
x2 + 4x + 4 = -16y - 4 + 4 (x + 2)2 = -16y (x - h)2 = 4p(y - k) (x - (+2))2 = -16(y - 0) (x - 2)2 = -16(y - 0)
242
2
4p = -16
p = = -4 -164
V(h,k) =(-2,0) F(h,k + p) = (-2,0 + (-4)) F = (-2,-4)
DD´: y + p = k y + (-4) = 0 x - 4 = 0 x = 4
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
xV
D
F
ℎ D´
L R
p
p
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53
102
5.- x2 + 10x - 20y + 25 = 0 x2 + 10x = 20y - 25
x2 + 10x + = 20y - 25 +
x2 + 10x + 25 = 20y - 25 + 25 (x + 5)2 = 20y (x - h)2 = 4p(y - k) (x - (+5))2 = 20(y - 0) (x - 5)2 = 20(y - 0)
2102
2
4p = 20
p = = 5204
V(h,k) =(-5,0) F(h,k + p) = (-5,0 + 5) F = (-5,5)
DD´: y + p = k y + 5 = 0 y = -5
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xV
D
F
-11 -12 -13 -14 -15
D´
L R
p
p
82
6.- y2 + 8y + 6x + 16 = 0 y2 + 8y = -6x - 16
y2 + 8y + = -6x - 16 +
y2 + 8y + 16 = -6x - 16 + 16 (y + 4)2 = -6x (y - k)2 = 4p(x - h) (y - (+4))2 = -6(x - 0) (y - 4)2 = -6(x - 0)
282
2V(h,k) =(0,-4)4p = -6
p = = -1.5 -64
F(h + p,k) = (0 + (-1.5 ), 4) F = (-1.5,-4)
DD´: x + p = h x + (-1.5) = 0 x - 1.5 = 0 x = 1.5
-3 -2 -1 1 20
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
x
V
D
F
D´
L
R
p
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54
4p = -20
p = = -5 -2048
2
7.- y2 + 8y + 20x + 56 = 0 y2 + 8y = -20x - 56
y2 + 8y + = -20x - 56 +
y2 + 8y + 16 = -20y - 56 + 16 (y + 4)2 = -20x - 40 (y + 4)2 = -20(x + 2) (y - k)2 = 4p(x - h) (y - (+4))2 = -20(x - (+2)) (y - 4)2 = -20(x - 2)
282
2
V(h,k) =(-2,-4)
F(h,p + k) = (-2 + (-5), -4) F = (-2 - 5,-4) F = (-7,-4)
DD´: x + p = k x + (-5) = -2 x - 5 = -2 x = -2 + 5 x = 3
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
V
D
F
-11
-12
-13
-14 D´
ℎ
k
p p
L
R
22
8.- x2 + 2x + 4y - 19 = 0 x2 + 2x = -4y + 19
x2 + 2x + = -4y + 19 +
x2 + 2x + 1 = -4y + 19 + 1 (x + 1)2 = -4y + 20 (x + 1)2 = -4(y - 5) (x -h)2 = 4p(y - k) (x - (+1))2 = -4(y - (+5)) (x - 1)2 = -4(y + 5)
222
24p = -4
p = = -1 -44
V(h,k) =(-1,5)
F(h,k + p) = (-1,5 + (-1)) F = (-1,5 - 1) F = (-1,4)
DD´: y + p = k y + (-1) = 5 y - 1 = 5 y = 5 + 1 y = 6
-4 -3 -2 -1 1 2 30
7
6
5
4
3
2
1
-1
y
x
V
LF
D´
R
D
pk
ℎ
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55
9.- 4x2 - 12x - 16y + 41 = 0 4 x2 - 3x = 4y -
x2 - 3x + = 4y - +
x2 - 3x + 2.25 = 4y - 10.25 + 2.25 (x - 1.5)2 = 4y - 8 (x - 1.5)2 = 4(y - 2) (x - h)2 = 4p(y - k) (x - (-1.5))2 = 4(y - (-2)) (x + 1.5)2 = 4(y + 2)
414
32
232
2414
4p = 4
p = = 4 44
V(h,k) =(1.5,2)
F(h,k + p) = (1.5,2 + 1) F = (1.5,3)
DD´: y + p = k y + 1 = 2 y = 2 - 1 y = 1
-2 -1 1 2 3 4 0
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
VD
F
D´
p
ℎ
k
10.- 16y2 + 8y - 24x + 49 = 0 16 y2 + y - x + = 0
y2 + y + = x - +
y2 + y + = x - + (y + )2 = x - 3 (y + )2 = (x - 2) (y - k)2 = 4p(x - h) (y - (+ ))2 = (x - (-2)) (y - )2 = (x + 2)
12
32
4916
12 2
212 3
24916 2
212
12
116
32
4916
116
14
32
14
32
14
32
14
32
4p =
p = = 4
32
32
38
V(h,k) =(2,- )14
F(h + p,k) = (2 + ,- ) F = ( ,- )
38
14
198
14
DD´: x + p = h x + = 2 x = 2 - x =
38 3
8138
38
32
1 20
1
-1
y
x
V F
D
D´
L
R
p
ℎ
k
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56
Escribe la ecuación de la parábola con base a los datos proporcionados.
1.- V(3,2),F(3,4) R: x2 - 6x - 8y + 25 =0
2.- V(-6,-4),F(0,4) R: y2 + 8y - 16x - 80 = 0
3.- V(2,4),F(-3,4) R: y2 - 8y + 20x - 24 = 0
4.- V(3,-1),F(3,-5) R: x2 - 6x + 16y + 25 = 0
5.- V(4,1), directriz: x = 2 R: y2 - 2y - 8x + 33 = 0
6.- V(4,1), directriz: y = -3 R: x2 - 8x - 16y + 32 = 0
7.- V(4,-2), LR = 8; abre a la derecha. R: y2 + 4y - 8x + 36 = 0
8.- V(1,2), LR = 8; abre hacia abajo. R: x2 - 2x + 8y - 15 = 0
9.- F(2,-3), directriz: x = 6 R: y2 + 6y + 8x - 23 = 0
10.- F(-2,2), directriz: y = 4 R: x2 + 4x + 4y - 8 = 0
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57
13. Elipse.Lugar geométrico de los puntos P(x, y) tales que la suma de distancias a dos puntos fijos lla-mados focos es igual a una constante (2a).
PF1 + PF2 = 2a
C: Centro.V1,V2: Vertices.F1,F2: Focos.B1,B2: Extremos del eje menor.V1V2 = 2a (eje mayor).F1F2 = 2c (eje focal).B1B2 = 2b (eje menor).
LR = (lado recto).
e = < 1 (excentricidad).
2b2
aca
Y
X
R1
F1
R2
V1
L1
B2
B1
F2V2
L2
C
P(x, y)
Elementos y ecuación.
Elipse horizontal con centro en el origen.
Elipse vertical con centro en el origen.
Y
X
R1
F1
R2
V1
L1
B2
B1
F2V2
L2
C(0, 0)
Y
X
R1F1
R2
V1
L1
B2 B1
F2
V2
L2
C(0, 0)
Ecuación canónica: + = 1
Vértices: V(±a,0)
Focos: F(±c,0)
Extremos del eje menor: B(0,±b)
x2
a2y2
b2
Ecuación canónica: + = 1
Vértices: V(0,±a)
Focos: F(0,±c)
Extremos del eje menor: B(±b,0)
x2
b2y2
a2
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58
Actividad.
Determina todos los elementos de la elipse y traza la gráfica.
x2
251.- + = 1y2
9
x2
a2 + = 1y2
b2
C = (0,0)V1V2: (±a,0) = (±5,0)F1F2: (±c,0) = (±4,0)B1B2: (0,±b) = (0,±3)V1V2 = 2a = 2(5) = 10F1F2 = 2c = 2(4) = 8B1B2 = 2b = 2(3) = 6
LR = = = = = 3.6
e = < 1 = < 1 = 0.8 < 1
2b2
a2(3)2
52(9)
5185
ca
45
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC V1V2F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
C = (0,0)V1V2: (0,±a) = (0,±5)F1F2: (0,±c) = (0,±4)B1B2: (±b,0) = (±3,0)V1V2 = 2a = 2(5) = 10F1F2 = 2c = 2(4) = 8B1B2 = 2b = 2(3) = 6
LR = = = = = 3.6
e = < 1 = < 1 = 0.8 < 1
2b2
a2(3)2
52(9)
5185
ca
45
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
5
6
-5
-6
y2
252.- + = 1x2
9
x2
b2 + = 1y2
a2
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59
x2
1693.- + = 1y2
144
x2
a2 + = 1y2
b2C = (0,0)V1V2: (±a,0) = (±13,0)F1F2: (±c,0) = (±5,0)B1B2: (0,±b) = (0,±12)V1V2 = 2a = 2(13) = 26F1F2 = 2c = 2(5) = 10B1B2 = 2b = 2(12) = 24
LR = = = =
e = < 1 = < 1
2b2
a2(12)2
132(144)
1328813
ca
513
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 0
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
y
x12 14 -12 -14
12
14
-12
-14
CV1
V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2R1
y2
94.- + = 1x2
4
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
-3 -2 -1 1 2 30
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
y2
255.- + = 1x2
16 C = (0,0)V1V2: (0,±a) = (0,±5)F1F2: (0,±c) = (0,±3)B1B2: (±b,0) = (±4,0)V1V2 = 2a = 2(5) = 10F1F2 = 2c = 2(3) = 6B1B2 = 2b = 2(4) = 8
LR = = = = = 6.4
e = < 1 = < 1 = 0.6 < 1
2b2
a2(4)2
52(16)
5325
ca
35
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1
B2
L1
L2 R2
R1
x2
b2 + = 1y2
a2
x2
b2 + = 1y2
a2
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60
x2
496.- + = 1y2
25
x2
a2 + = 1y2
b2
2b2
a2(5)2
72(25)
7507
ca
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xC V1
V2
F1
F2
B1
B2
L1L2
R2R1
7.- x2 + 4y2 = 4 4
x2
a2 + = 1y2
b2
x2
4 + = 1y2
1
2b2
a2(1)2
22(1)
222
ca
-2 -1 1 2 0
1
-1
y
xC V1
V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
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61
8.- 2x2 + 3y2 = 12 12
x2
a2 + = 1y2
b2
2x2
12 + = 13y2
12x2
+ = 1y2
123
122 x2
6 + = 1y2
4
2b2
aca
-3 -2 -1 1 2 30
2
1
-1
-2
y
xCV1
V2
F1
F2
B1
B2
L1L2
R2R1
9.- 9x2 + 4y2 = 36 36
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
-3 -2 -1 1 2 30
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
x2
b2 + = 1y2
a2
9x2
36 + = 14y2
36x2
+ = 1y2
364
369x2
4 + = 1y2
9
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62
10.- 16x2 + 25y2 = 400 400
C = (0,0)V1V2: (±a,0) = (±5,0)F1F2: (±c,0) = (±3,0)B1B2: (0,±b) = (0,±4)V1V2 = 2a = 2(5) = 10F1F2 = 2c = 2(3) = 6B1B2 = 2b = 2(4) = 8
LR = = = = = 6.4
e = < 1 = < 1
2b2
a2(4)2
52(16)
5325
ca
35
-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
xCV1
V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
Escribe la ecuación de la elipse con base a los datos proporcionados.
1.- F(±4,0), V(±5,0)
x2
25 + = 1y2
9
2.- F(0,±8), V(0,±17)
x2
225 + = 1y2
289
3.- Lr = 5, V(±10,0)
x2
100+ = 1y2
25
4.- F(0, ±6), semieje menor = 8
x2
16 + = 1y2
52
5.- F(±5,0), e = 58
x2
64 + = 1y2
39
6.- V(±5,0), B(0, ±4)
x2
25 + = 1y2
16
x2
a2 + = 1y2
b2
16x2
400 + = 125y2
400x2
+ = 1y2
40025
40016x2
25 + = 1y2
16
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63
Formulas.
Elipse horizontal con centro (h,k)
Ecuación: + = 1
Vértice: V(ℎ ± a, k)
Foco: F(ℎ ± c, k)
Extremos del eje menor: B(ℎ, k ± b)
(x-ℎ)2
a2(y-k)2
b2
Elipse vertical con centro (h,k)
Ecuación: + = 1
Vértice: V(ℎ, k ± a)
Foco: F(ℎ, k ± c)
Extremos del eje menor: B(ℎ ± b, k)
(x-ℎ)2
b2(y-k)2
a2
General
Actividad.
Determina todos los elementos de la elipse y traza la gráfica.
1.- + = 1(x - 3)2
16(y - 2)2
9
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 0
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
C V1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
a 2b2
a2(3)2
42(9)
4184
ca
yy
y
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64
2.- + = 1(x - 5)2
169(y + 5)2
49
-10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0
4
2
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
y
x
C V1
V2F1F2
B1
B2
L1L2
R2R1
2b2
a2(7)2
132(49)
49813
ca
3.- + = 1(y + 3)2
36(x - 6)2
16
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
(x - h)2
b2 + = 1(y - k)2
a2
a
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
2b2
a2(4)2
62(16)
6326
ca
ℎ,k
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65
4.- + = 1(x + 5)2
9(y - 1)2
4
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10
4
3
2
1
-1
-2
y
xC V1V2 F1F2
B2
L1L2
R2 R1
B1
5.- + = 1x2
16(y - 2)2
25
(x - h)2
b2 + = 1(y - k)2
a2
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
C = (ℎ,k) = (0,2)V1V2: (h,k±a) = (0,2±5) = (0,7) y (0,-3)F1F2: (h,k±c) = (0,2±3) = (0,5) y (0,-1)B1B2: (h±b,k) = (0±4,2) = (4,2) y (-4,2)V1V2 = 2a = 2(5) = 10F1F2 = 2c = 2(3) = 6B1B2 = 2b = 2(4) = 8
LR = = = =
e = < 1 = < 1
2b2
a2(4)2
52(16)
5325
ca
35
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66
6.- + = 1(x - 4)2
4(y - 3)2
9
(x - h)2
b2 + = 1(y - k)2
a2
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca 1 2 3 4 5 6 7
0
7
6
5
4
3
2
1
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
7.- x2 + 16y2 - 10x + 64y + 73 = 0
x2 - 10x + 16y2 + 64y = -73
x2 - 10x + +16(y2 + 4y) = -73 +
x2 - 10x + 25 + 16(y2 + 4y + ) = -73 + 25 + 16( )
(x - 5)2 + 16(y2 + 4y + 4) = -48 + 64(x - 5)2 + 16(y + 2)2 = 16 16
102
2102
2
42
242
2
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
(x - 5)2
16 + = 1(y + 2)2
1616
(x - 5)2
16 + = 1(y + 2)2
1
2b2
a2(1)2
424
12
ca
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
1
-1
-2
-3
-4
y
x
C V1V2F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
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67
8.- 4x2 + y2 - 16x - 6y - 11 = 0
4x2 - 16x + y2 - 6y = 11
4(x2 - 4x) + y2 - 6y + = 11 +
4(x2 - 4x + ) + y2 - 6y + 9 = 11 + 9 + 4( )
4(x2 - 4x + 4) + (y - 3) = 20 + 164(x - 2)2 + (y -3)2 = 36 36
42
242
2
62
262
2
(x - h)2
b2 + = 1(y - k)2
a2
(x - 2)2+ = 1(y - 3)2
36364
(x - 2)2
9 + = 1(y - 3)2
36
2b2
a2(3)2
62(9)
6186
ca
-2 -1 1 2 3 4 5 6 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
9.- 4x2 + 9y2 - 8x - 36y + 4 = 0
4x2 - 8x + 9y2 - 36y = -44(x2 - 2x) + 9(y2 - 4y) = -4
4(x2 - 2x + ) + 9(y2 - 4y + ) = -4 + 4( ) + 9( )
4(x2 - 2x + 1) + 9(y2 - 4y + 4) = -4 + 4 + 364(x - 1)2 + 9(y - 2)2 = 36 36
22
242
222
242
2
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
4(x - 1)2
36 + = 19(y - 2)2
36(x - 1)2
+ = 1(y - 2)2
364
369
(x - 1)2
9 + = 1(y - 2)2
4
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68
-3 -2 -1 1 2 3 4 50
5
4
3
2
1
-1
y
x
C V1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
10.- 5x2 + 9y2 + 30x - 36y + 36 = 0
2b2
a2(2)2
32(4)3
83
ca
5x2 + 30x + 9y2 - 36y = -365(x2 + 6x) + 9(y2 - 4y) = -36
5(x2 + 6x + ) + 9(y2 - 4y + ) = -36 + 5( ) + 9( )
5(x2 + 6x + 9) + 9(y2 - 4y + 4) = -36 + 45 + 365(x + 3)2 + 9(y - 2)2 = 45 45
62
242
262
242
2
(x - h)2
a2 + = 1(y - k)2
b2
5(x + 3)2
45 + = 19(y - 2)2
45(x + 3)2
+ = 1(y - 2)2
455
459
(x + 3)2
9 + = 1(y - 2)2
5
2b2
a2(5)
3103
ca
23
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 10
5
4
3
2
1
-1
y
x
C V1V2 F1F2
B1
B2
L1
L2
R2
R1
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69
Escribe la ecuación de la elipse con base a los datos proporcionados.
1.- V1(−2,3), V2(8,3) y F1(−1,3), F2(7,3)
(x - 3)2
25 + = 1(y - 3)2
9
2.- V1(−2,−5), V2(−2,3) y F1(−2, −4), F2(−2,2)
(x + 2)2
7 + = 1(y + 1)2
16
3.- V1(0,0), V2(8,0) y B1(4,3), B2(4,−3)
(x - 4)2
16 + = 1(y - 0)2
9
4.- B1(3,2), B2(3,6) y eje mayor = 10
(x - 3)2
25 + = 1(y - 4)2
4
5.- V1(−4,5), V2(16,5) y e = 45
6.- e = y F1(0,0) F2(0, −4)23
(x - 6)2
100 + = 1(y - 5)2
36(x - 0)2
5 + = 1(y + 2)2
9
7.- V1(−4,6), V2(−4, −4) y un foco F1(−4,−3) 8.- F1(−9,−2), F2(−3,−2) y e = 35
(x + 4)2
9 + = 1(y - 1)2
25(x + 6)2
25 + = 1(y + 2)2
16
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70
14. Hipérbola
Es el lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, llamados focos, es siempre cons-tante.
Elementos y ecuación.
Hipérbola horizontal con centro en el origen.
Y
XC
I1
L1
F1R1
V1
B2
V2
L2
F2R2
B1 P(x, y)
I2
C: CentroV1,V2: VérticesF1,F2: FocosB1,B2: Extremos del eje conjugadoV1V2 = 2a (eje transverso o real)F1F2 = 2c (eje focal)B1B2 = 2b (eje conjugado o imaginario)
LR = (lado recto)
e = < 1 (excentricidad)
l1 y l2: Asíntotas
ca
2b2
a
Ecuación canónica: - = 1
Vértices: V(±a,0)
Focos: F(±c,0 )
Extremos del eje conjugado: B(0,±b)
Ecuaciones de las asíntotas: l1: y = x ; y = - x ba
ba
x2
a2y2
b2
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71
Hipérbola vertical con centro en el origen.
Ecuación canónica: - = 1
Vértices: V(0,±a)
Focos: F(0,±c)
Extremos del eje menor: B(±b,0)
Ecuaciones de las asíntotas: l1: y = x ; y = - x ab
ab
y2
a2x2
b2
Actividad.
Determina todos los elementos de la hipérbola y traza la gráfica.
x2
81y2
91.- - = 1
2b2
a2(3)2
92(9)
9189
ca
ba
3x9
x3
ba
3x9
x3
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC V1V2
F1F2
B1
B2
L1L2
R2R1
l2
l1
x2
a2 - = 1y2
b2
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72
y2
8x2
52.- - = 1
2b2
aca
138
ab
85
ab
85
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
l2
l1
y2
16x2
43.- - = 1
2b2
a2(2)2
42(4)
484
ca
ab
42
ab
42
-3 -2 -1 1 2 30
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xC
V1
V2
F1
F2
B1
B2
L1
L2R2
R1
l2
l1
x2
b2 - = 1y2
a2
x2
b2 - = 1y2
a2
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73
x2
36y2
644.- - = 1
C = (h,k) = (0,0)V1V2: (±a,0) = (±6,0) = (6,0) y (-6,0)F1F2: (±c,0) = (±10,0) =(10,0) y (-10,0)B1B2: (0,±b) = (0,±6) = (0,6) y (0,-6)V1V2 = 2a = 2(6) = 12F1F2 = 2c = 2(10) = 20B1B2 = 2b = 2(8) = 16
LR = = = = =
e = > 1 = > 1 =
l1: y = x = x = x y l2: y = - x = - = - x
2b2
a2(8)2
62(64)
6128
9ca
106
ba
86
43
643
53
ba
86
43
-10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
xCV1
V2
F1
F2
B1
B2
L1L2
R2R1
l2
l1
x2
25y2
95.- - = 1
2b2
a2(3)2
52(9)
5185
ca
ba
35
ba
35
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xC V1V2F1
F2
B1
B2
L1L2
R2R1
l2
l1
x2
a2 - = 1y2
b2
x2
a2 - = 1y2
b2
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74
y2
46.- x2 - = 1
2b2
a2(2)2
12(4)
181
ca
ba
21
ba
21
-3 -2 -1 1 2 3 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
y
xCV1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
7.- 9x2 − 4y2 = 36 36
2b2
a2(3)2
22(9)
2182
ca
ba
32
ba
32
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
y
xCV1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
x2
a2 - = 1y2
b2
x2
1 - = 1y2
4
x2
a2 - = 1y2
b2
9x2
36 - = 14y2
36x2
4 - = 1y2
9
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75
8.- 4x2 − 9y2 = 36 36
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
ba
23
ba
23
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xCV1V2 F1
F2
B1
B2
L1L2
R2R1
l2
l1
9.- 4x2 − 5y2 - 20 = 0
2b2
aca
ba
ba
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xCV1V2
L1L2
R2 R1
l2
l1
F1F2
B1
B2
x2
a2 - = 1y2
b2
4x2
36 - = 19y2
36x2
9 - = 1y2
4
x2
a2 - = 1y2
b2
4x2
20 - = 15y2
20x2
5 - = 1y2
4
4x2 - 5y2 = 20 20
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76
10.- 5x2 − 6y2 + 30 = 0
y2
a2 - = 1x2
b2
5x2
-30 - = 16y2
-30y2
5 - = 1x2
6
5x2 - 6y2 = -30 -30
x2
6- - = 1y2
5-
2b2
aca
115
ab
5656
ab
56
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
y
xCV1V2 F1F2
L1L2
R2 R1
l2
l1
B1
B2
Escribe la ecuación de la hipérbola con base a los datos proporcionados.
1.- V(0,±3) y F(0,±5)
y2
9 - = 1x2
16
2.- F(±5,0), V(±4,0)
x2
16 - = 1y2
9
3.- Lr = , V(±3,0)83
x2
9 - = 1y2
4
4.- V(±6,0), e =
x2
36 - = 1y2
9
5.- F(±5,0), Eje real = 8
x2
16 - = 1y2
9
6.- F(0,±13), Eje imaginario = 24
y2
25 - = 1x2
144
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77
Formulas.
Hipérbola horizontal con centro (h,k)
Hipérbola vertical con centro (h,k)
ba
Ecuación: - = 1
Vértice: V(ℎ ± a,k)
Foco: F(ℎ ± c,k)
Extremos del eje conjugado: B(ℎ,k ± b)
Ecuaciónes de las asíntotas: l1: y - k = (x - ℎ) ; y - k = - (x - ℎ)
(y - k)2
b2(x - ℎ)2
a2
ba
ab
Ecuación: - = 1
Vértice: V(ℎ,k ± a)
Foco: F(ℎ,k ± c)
Extremos del eje conjugado: B(ℎ ± b,k)
Ecuaciónes de las asíntotas: l1: y - k = (x - ℎ) ; y - k = - (x - ℎ)
(x - ℎ)2
b2(y - k)2
a2
ab
General
Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0
Donde A y C de signo contrario.
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78
Determina todos los elementos de la hipérbola y traza la gráfica.
(x + 2)2
16(y - 3)2
91.- - = 1
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 50
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
y
x
C V1V2F1
F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
(x - ℎ)2
a2 - = 1(y - k)2
b2C = (h,k) = (-2,3)V1V2: (h±a,k) = (-2±4,3) = (2,3) y (-6,3)F1F2: (h±c,k) = (-2±5,3) =(3,3) y (-7,3)B1B2: (h,k±b) = (-2,3±3) = (-2,6) y (-2,0)V1V2 = 2a = 2(4) = 8F1F2 = 2c = 2(5) = 10B1B2 = 2b = 2(3) = 6
LR = = = = =
e = > 1 =
l1: y - k = (x - h) l2: y - k = - (x - h)
2b2
a2(3)2
42(9)
4184
ca
54
ba
ba
92
l1: y - 3 = (x - (-2))34
l1: y - 3 = (x + 2)34
l1: y - 3 = x +34
64
l1: y = x + + 334
64
l1: y = x +34
92
l2: y - 3 = - (x - (-2))34
l2: y - 3 = - (x + 2)34
l2: y - 3 = - x -34
64
l2: y = - x - + 334
64
l2: y = - x +34
32
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79
(y - 3)2
16(x + 2)2
92.- - = 1
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 30
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
l2
l1
(y - k)2
a2 - = 1(x - ℎ)2
b2C = (ℎ,k) = (-2,3)V1V2: (h,k,±a) = (-2,3,±4) = (-2,7) y (-2,-1)F1F2: (h,k±c) = (-2,3±5) = (-2,8) y (-2,-2)B1B2: (h±b,k) = (-2±3,3) = (1,3) y (-5,3)V1V2 = 2a = 2(4) = 8F1F2 = 2c = 2(5) = 10B1B2 = 2b = 2(3) = 6
LR = = = =
e = > 1 =
l1: y - k = (x - h) l2: y - k = - (x - h)
2b2
a2(3)2
42(9)
4184
ca
54
ab
ab
l1: y - 3 = (x - (-2))43
l1: y - 3 = (x + 2)43
l1: y - 3 = x +43
83
l1: y = x + + 343
83
l1: y = x +43
173
l2: y - 3 = - (x - (-2))43
l2: y - 3 = - (x + 2)43
l2: y - 3 = - x -43
83
l2: y = - x - + 343
83
l2: y = - x +43
13
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80
(x - 4)2
25(y - 5)2
253.- - = 1
(x - ℎ)2
a2 - = 1(y - k)2
b2
2b2
a2(5)2
52(25)
5505
ca
ba
ba
l1: y - 5 = (x - 4)55
l1: y - 5 = x - 4 l1: y = x - 4 + 5l1: y = x + 1
l2: y - 5 = - (x - 4)55
l2: y - 5 = -x + 4l2: y = -x + 4 + 5l2: y = -x + 9
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 12 14 16 0
16
14
12
10
8
6
4
2
-2
-4
-6
y
x
C V1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
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81
(y + 2)2
36(x - 1)2
254.- - = 1
(y - k)2
a2 - = 1(x - ℎ)2
b2
2b2
a2(5)2
62(25)
6506
ca
ab
ab
l1: y - (-2) = (x - 1)65
l1: y + 2 = x - 65
l1: y = x - - 265
65
l1: y = x - 65
165
l2: y - (-2) = - (x - 1)65
l2: y + 2 = - x +65
l2: y = - x + - 265
65
l2: y = - x - 65
45
253
65
65
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
l2
l1
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82
5.- x2 − 4y2 − 2x + 16y − 7 = 0
2b2
aca
102
ab
l1: y - 2 = (x - 1)28
l1: y - 2 = x -
l1: y = x - + 2
l1: y = x +
l2: y - 2 = - (x - 1)
l2: y - 2 = - x +
l2: y = - x + + 2
l2: y = - x +
12
12
12
12
12
32
ab
28
12
12
12
12
12
52
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2R2
R1
l2
l1
x2 - 4y2 - 2x + 16y = 7x2 - 2x - 4y2 + 16y = 7
x2 - 2x + + 4(y2 - 4y) = 7 +
x2 - 2x + 1 - 4(y2 - 4y + ) = 7 + 1 + (-4 )
(x - 1)2 - 4(y2 - 4y + 4) = 8 - 16(x - 1)2 - 4(y - 2)2 = -8 -8
22
222
2
42
242
2
(y - k)2
a2 - = 1(x - h)2
b2
(y - 2)2
2 - = 1(x - 1)2
8
(x - 1)2
-8 - = 14(y - 2)2
-8(y - 2)2
- = 1(x - 1)2
8-8-4
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83
6.- 9x2 − 4y2 + 18x - 24y + 9 = 0
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
ab
l1: y - 3 = (x - (-1))32
l1: y - 3 = (x + 1)
l1: y - 3 = x +
l1: y = x + + 3
l2: y - 3 = - (x - (-1))
l2: y - 3 = - (x + 1)
l2: y - 3 = - x -
l2: y = - x - + 3
3232
32
32
32
l1: y = x + 32
92
l1: y = - x -
ab323232
32
32
32
32
32
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 30
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
y
x
C
V1
V2
F1
F2
B1B2
L1
L2 R2
R1
l2
l1
9x2 + 18x - 9y2 - 24y = -9 9(x2 + 2x) - 4(y2 + 6y) = -9
9(x2 + 2x + ) - 4(y2 + 6y + ) = -9 + 9 +(-4 )
9(x2 + 2x + 1) - 4(y2 + 6y + 9) = -9 + 9 - 369(x + 1)2 - 4(y+ 3)2 = - 36 -36
22
262
2
(y - k)2
a2 - = 1(x - h)2
b2
(y + 3)2
9 - = 1(x + 1)2
4
9(x + 1)2
-36 - = 14(y + 3)2
-36(x + 1)2
- = 1(y + 3)2
-369
22
262
2
-36-4
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84
7.- 9x2 − 16y2 + 36x + 32y - 124 = 0
2b2
a2(3)2
42(9)
4184
ca
54
ba
l1: y - 1 = (x - (-2))34
l1: y - 1 = (x + 2)
l1: y - 1 = x +
l1: y = x + + 1
3434
64
34
64
l1: y = x + 34
52
ba
l2: y - 1 = - (x - (-2))34
l2: y - 1 = - (x + 2)
l2: y - 1 = - x -
l2: y = - x - + 1
3434
64
34
64
l2: y = - x - 34
12
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 0
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
y
xCV1V2
F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
9x2 + 36x - 16y2 + 32y = 124 9(x2 + 4x) - 16(y2 - 2y) = 124
9(x2 + 4x + ) - 16(y2 - 2y + ) = 124 + 9 +(-16 )
9(x2 + 4x + 4) - 16(y2 - 2y + 1) = 124 + 36 - 169(x + 2)2 - 16(y- 1)2 = 144 144
42
222
2
(x - h)2
a2 - = 1(y - k)2
b2
(x + 2)2
16 - = 1(y - 1)2
9
9(x + 2)2
144 - = 116(y - 1)2
144(x + 2)2
- = 1(y - 1)2
1449
42
222
2
14416
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85
8.- 4x2 − 9y2 - 4x + 18y - 44 = 0
2b2
a2(2)2
32(4)
383
ca
ba
l1: y - 1 = (x - 0.5)23
l1: y - 1 = x -
l1: y = x - + 1
l1: y = x -
23
23
13
23
23
l2: y - 1 = - (x - 0.5)
l2: y - 1 = - +
l2: y = - x + + 1
l2: y = - x +
13
ba2323
23
13
23
43
13
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 0
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
y
xC V1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
4x2 - 4x - 9y2 + 18y = 44 4(x2 - x) - 9(y2 - 2y) = 44
4(x2 - x + ) - 9(y2 - 2y + ) = 44 + 4 +(-9 )
4(x2 - x + ) - 9(y2 - 2y + 1) = 44 + 1 - 9
4(x - )2 - 9(y - 1)2 = 36
36
12
222
2
(x - h)2
a2 - = 1(y - k)2
b2
4(x - )2
36 - = 19(y - 1)2
36
364
12
222
2
369
14
12
12
(x - )2
- = 1(y - 1)212
(x - )2
9 - = 1(y - 1)2
4
12
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86
9.- 4x2 − y2 - 4y - 40 = 0
2b2
a2(6)2
32(36)
3723
ca
ba
l1: y - (-2) = (x - 0)63
l1: y + 2 = 2x l1: y = 2x - 2
l2: y - (-2) = - (x - 0)
l2: y + 2 = - 2xl2: y = - 2x - 2
ba
63
-9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
-9
-10
y
x
CV1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
4x2 - y2 - 4y = 40 4x2 - (y2 + 4y) = 40
4x2 - (y2 + 4y + ) = 40 +(- )
4x2 - (y2 + 4y + 4) = 40 - 44x2 - (y + 2)2 = 36 36
42
2
(x - h)2
a2 - = 1(y - k)2
b2
4x2
36 - = 1(y + 2)2
36
364
x2
- = 1(y + 2)2
36
x2
4 - = 1
42
2
(y + 2)2
36
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87
10.- x2 − y2 - 6x - 4y + 4 = 0
1 2 3 4 5 0
-1
-2
-3
-4
y
x
CV1V2 F1F2
B1
B2
L1L2
R2 R1
l2
l1
2b2
a2(1)2
12(1)
121
ca
ba
l1: y - (-2) = (x - 3)11
l1: y + 2 = x - 3 l1: y = x - 3 - 2
l2: y - (-2) = - (x - 3)
l2: y + 2 = - x + 3l2: y = - x + 3 - 2
ba
11
l1: y = x - 5 l 2: y = - x + 1
x2 - 6x2 - y2 - 4y = -4 x2 - 6x - (y2 - 4y) = -4
x2 - 6x + - (y2 + 4y) = -4 +
x2 - 6x + 9 -(y2 + 4y + ) = -4 + 9 + (- )
(x - 3)2 - (y2 + 4x + 4) = 5 - 4(x - 3)2 - (y + 2)2 = 1
62
2
42
2
(x - h)2
a2 - = 1(y - k)2
b2
62
2
(x - 3)2
1 - = 1(y + 2)2
1
42
2
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88
1.- C(-2,2), V1(4,2), F1(6,2) eje transversal paralelo al eje X.
2.- V1(3,1), V2(-3,1) y F1(5,1), F2(-5,1)
3.- V1(-4,4), V2(-4,-6) y F1(-4,5), F2(-4,-7)
4.- V1(-1,3), V2(3,3) e = 32
(x + 2)2
36 - = 1(y - 2)2
28
(y + 1)2
25 - = 1(x + 4)2
11
5.- F1(8,2), F2(2,2) e = 54
(x - 1)2
4 - = 1(y - 3)2
5
(x - 3)2
16 - = 1(y - 2)2
9
6.- C(-3,2), V(1,2) y eje imaginario = 4.
(x + 3)2
16 - = 1(y - 2)2
4
x2
9 - = 1(y - 1)2
16
Escribe la ecuación de la hipérbola con base a los datos proporcionados.