Ekonometria - Przep ywy miedzyga eziowe. Model...
Transcript of Ekonometria - Przep ywy miedzyga eziowe. Model...
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
EkonometriaPrzepływy międzygałęziowe. Model Leontiefa.
Jakub Mućk
Katedra Ekonomii Ilościowej
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 1 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Outline
1 Przepływy międzygałęziowe
2 Model Leontiefa
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 2 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Oznaczenia i definicje
Numeracja gałęzi: i, j = 1, 2, . . . ,n.Produkcja globalna i-tej gałęzi: Xi .Przepływ z i-tej do j-tej gałęzi: xi,j .Produkcja końcowa w i-tej gałęzi: Yi .Amortyzacja środków trwałych w j-tej gałęzi: Aj .Koszty związane z zatrudnieniem w j-tej gałęzi: x0j .Zysk j-tej gałęzi: Zj .
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 3 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Przykład TPM
i Xixij
Yi1 2 3 . . . n1 X1 x1,1 x1,2 x1,3 . . . x1,n Y12 X2 x2,1 x2,2 x2,3 . . . x2,n Y23 X3 x3,1 x3,2 x3,3 . . . x3,n Y3...
......
......
. . ....
...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn
Aj A1 A2 A3 . . . Anx0j x0,1 x0,2 x0,3 . . . x0,nZj Z1 Z2 Z3 . . . ZnXj X1 X2 X3 . . . Xn
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 4 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Przykład TPM
i Xixij
Yi1 2 3 . . . n1 X1 x1,1 x1,2 x1,3 . . . x1,n Y12 X2 x2,1 x2,2 x2,3 . . . x2,n Y23 X3 x3,1 x3,2 x3,3 . . . x3,n Y3...
......
......
. . ....
...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn
Aj A1 A2 A3 . . . Anx0j x0,1 x0,2 x0,3 . . . x0,nZj Z1 Z2 Z3 . . . ZnXj X1 X2 X3 . . . Xn
Xi - produkcja globalna i-tej gałęzi.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 4 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Przykład TPM
i Xixij
Yi1 2 3 . . . n1 X1 x1,1 x1,2 x1,3 . . . x1,n Y12 X2 x2,1 x2,2 x2,3 . . . x2,n Y23 X3 x3,1 x3,2 x3,3 . . . x3,n Y3...
......
......
. . ....
...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn
Aj A1 A2 A3 . . . Anx0j x0,1 x0,2 x0,3 . . . x0,nZj Z1 Z2 Z3 . . . ZnXj X1 X2 X3 . . . Xn
xi,j - przepływ z i-tej do j-tej gałęzi.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 4 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Przykład TPM
i Xixij
Yi1 2 3 . . . n1 X1 x1,1 x1,2 x1,3 . . . x1,n Y12 X2 x2,1 x2,2 x2,3 . . . x2,n Y23 X3 x3,1 x3,2 x3,3 . . . x3,n Y3...
......
......
. . ....
...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn
Aj A1 A2 A3 . . . Anx0j x0,1 x0,2 x0,3 . . . x0,nZj Z1 Z2 Z3 . . . ZnXj X1 X2 X3 . . . Xn
Yi - produkcja końcowa w i-tej gałęzi.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 4 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Przykład TPM
i Xixij
Yi1 2 3 . . . n1 X1 x1,1 x1,2 x1,3 . . . x1,n Y12 X2 x2,1 x2,2 x2,3 . . . x2,n Y23 X3 x3,1 x3,2 x3,3 . . . x3,n Y3...
......
......
. . ....
...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn
Aj A1 A2 A3 . . . Anx0j x0,1 x0,2 x0,3 . . . x0,nZj Z1 Z2 Z3 . . . ZnXj X1 X2 X3 . . . Xn
Aj - amortyzacja środków trwałych w j-tej gałęzi.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 4 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Przykład TPM
i Xixij
Yi1 2 3 . . . n1 X1 x1,1 x1,2 x1,3 . . . x1,n Y12 X2 x2,1 x2,2 x2,3 . . . x2,n Y23 X3 x3,1 x3,2 x3,3 . . . x3,n Y3...
......
......
. . ....
...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn
Aj A1 A2 A3 . . . Anx0j x0,1 x0,2 x0,3 . . . x0,nZj Z1 Z2 Z3 . . . ZnXj X1 X2 X3 . . . Xn
x0j - koszty związane z zatrudnieniem w j-tej gałęzi.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 4 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Przykład TPM
i Xixij
Yi1 2 3 . . . n1 X1 x1,1 x1,2 x1,3 . . . x1,n Y12 X2 x2,1 x2,2 x2,3 . . . x2,n Y23 X3 x3,1 x3,2 x3,3 . . . x3,n Y3...
......
......
. . ....
...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn
Aj A1 A2 A3 . . . Anx0j x0,1 x0,2 x0,3 . . . x0,nZj Z1 Z2 Z3 . . . ZnXj X1 X2 X3 . . . Xn
Zj - zysk w j-tej gałęzi.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 4 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
W gospodarce są tylko 2 sektory (sektor I oraz sektor II).W sektorze I wykorzystano 50j wyprodukowanych w tym sektorze oraz 20jz sektora II.W sektorze II wykorzystano 20j wyprodukowanych w sektorze I oraz 40j wsektorze II.Amortyzacja wyniosła 3j w każdym sektorze.Koszty pracy w sektorze I i II wyniosły odpowiednio 12j oraz 18j, a zyskodpowiednio 15j oraz 19j.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 5 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X12 X2
Ajx0jZjXj
W gospodarce są tylko 2 sektory (sektor I oraz sektor II).
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 6 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 502 X2 20
Ajx0jZjXj
W sektorze I wykorzystano 50j wyprodukowanych w tym sektorze oraz 20jz sektora II.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 6 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 202 X2 20 40
Ajx0jZjXj
W sektorze II wykorzystano 20j wyprodukowanych w sektorze I oraz 40j wsektorze II.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 6 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 202 X2 20 40
Aj 3 3x0jZjXj
Amortyzacja wyniosła 3j w każdym sektorze.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 6 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 202 X2 20 40
Aj 3 3x0j 12 18ZjXj
Koszty pracy w sektorze I i II wyniosły odpowiednio 12j oraz 18j,
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 6 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 202 X2 20 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj
Koszty pracy w sektorze I i II wyniosły odpowiednio 12j oraz 18j, a zyskodpowiednio 15j oraz 19j.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 6 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Można uzupełnić produkt końcowy, który dla każdej gałęzi wynosi 100.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 6 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Zużycie pośrednie, popyt pośredni (suma elementów i-tego wiersza):n∑
j=1
xi,j (1)
Równanie podziału produkcji globalnej:
Xi =n∑
j=1
xi,j︸ ︷︷ ︸popyt pośredni
+ Yi︸︷︷︸popyt końcowy
(2)
Koszty materiałowe dla j-tej gałęzi:n∑
i=1
xi,j (3)
Koszty materialne dla j-tej gałęzi:n∑
i=1
xi,j + Aj (4)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 7 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Łączny koszt produkcji:n∑
i=1
xi,j + Aj + x0,j (5)
Zysk dla j-tej gałęzi:
Zj = Xj −( n∑
i=1
xi,j + x0,j + Aj
)(6)
Produkcja czysta (VA) lub wartość dodana:
Dj = x0,j + Zj = Xj −n∑
i=1
xi,j (7)
Wartość dodana brutto:DBrutto
j = Dj + Aj (8)Równanie kosztów:
Xj =n∑
i=1
xi,j + Aj + x0,j + Zj (9)
Warunek równowagi ogólnej:n∑
j=1
(Aj + x0,j + Zj
)=
n∑i=1
Yi (10)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 8 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 9 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Koszty materiałoweI sektor: 50 + 20 = 70
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 9 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Koszty materiałoweI sektor: 50 + 20 = 70II sektor: 20 + 40 = 60
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 9 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Koszty materialneI sektor: 50 + 20 + 3 = 73
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 9 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Koszty materialneI sektor: 50 + 20 + 3 = 73II sektor: 20 + 40 + 3 = 63
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 9 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Łączny koszt produkcjiI sektor: 50 + 20 + 3 + 12 = 85
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 9 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Łączny koszt produkcjiI sektor: 50 + 20 + 3 + 12 = 85II sektor: 20 + 40 + 3 + 18 = 81
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 9 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Wartość dodana (produkcja czysta)I sektor: D1 = 12 + 15 = 27
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 9 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Wartość dodana (produkcja czysta)I sektor: D1 = 12 + 15 = 27II sektor: D2 = 18 + 19 = 37
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 9 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Wartość dodana bruttoI sektor: Dbrutto
1 = 12 + 15 + 3 = 30
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 9 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Wartość dodana bruttoI sektor: Dbrutto
1 = 12 + 15 + 3 = 30II sektor: Dbrutto
2 = 18 + 19 + 3 = 40
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 9 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Rachunki narodowe
Produkt Krajowy Brutto (PKB):
PKB =n∑
i=j
(Aj + x0j + Zj) (11)
Produkt Krajowy Netto (PKN):
PKN =n∑
i=j
(x0j + Zj) (12)
Saldo Hanlu Zagranicznego (SHZ)
SHZ = EX − IM (13)
gdzie EX to eksport, a IM to import.Dochód Narodowy Brutto (DNB):
DNB = PKB − SHZ (14)
Dochód Narodowy Netto (DNN):
DNN = PKN − SHZ (15)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 10 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Przykład TPM (cd.)
i Xixij
Yi1 2 3 . . . n1 X1 x1,1 x1,2 x1,3 . . . x1,n Y12 X2 x2,1 x2,2 x2,3 . . . x2,n Y23 X3 x3,1 x3,2 x3,3 . . . x3,n Y3...
......
......
. . ....
...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn
Aj A1 A2 A3 . . . Anx0j x0,1 x0,2 x0,3 . . . x0,nZj Z1 Z2 Z3 . . . ZnXj X1 X2 X3 . . . Xn
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 11 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Przykład TPM (cd.)
i Xixij
Yi1 2 3 . . . n1 X1 x1,1 x1,2 x1,3 . . . x1,n Y12 X2 x2,1 x2,2 x2,3 . . . x2,n Y23 X3 x3,1 x3,2 x3,3 . . . x3,n Y3...
......
......
. . ....
...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn
Aj A1 A2 A3 . . . Anx0j x0,1 x0,2 x0,3 . . . x0,nZj Z1 Z2 Z3 . . . ZnXj X1 X2 X3 . . . Xn
Produkt Krajowy Brutto (PKB):
PKB =n∑
i=j
(Aj + x0j + Zj)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 11 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Przykład TPM (cd.)
i Xixij
Yi1 2 3 . . . n1 X1 x1,1 x1,2 x1,3 . . . x1,n Y12 X2 x2,1 x2,2 x2,3 . . . x2,n Y23 X3 x3,1 x3,2 x3,3 . . . x3,n Y3...
......
......
. . ....
...n Xn xn,1 xn,2 xn,3 . . . xn,n Yn
Aj A1 A2 A3 . . . Anx0j x0,1 x0,2 x0,3 . . . x0,nZj Z1 Z2 Z3 . . . ZnXj X1 X2 X3 . . . Xn
Produkt Krajowy Netto (PKB):
PKN =n∑
i=j
(x0j + Zj)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 11 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Efektywność procesów gospodarczych
Współczynnik materiałochłonności:
mj =
∑ni=1 xij
Xj(16)
Współczynnik płacochłonności:
pj =x0j
Xj(17)
Rentowność:rj =
Zj
Xj − Zj(18)
Rentowność brutto:rBrutto
j =Zj + Aj
Xj − (Zj + Aj)(19)
Wydajność pracy:ωj =
Xj
Lj(20)
Współczynnik importochłonności:
mimportj =
ximp,j
Xj(21)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 12 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 13 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Współczynnik materiałochłonności:I sektor: m1 = (50 + 20)/100 = 0.7 = 70%
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 13 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Współczynnik materiałochłonności:I sektor: m1 = (50 + 20)/100 = 0.7 = 70%II sektor: m2 = (20 + 40)/100 = 0.6 = 60%
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 13 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Współczynnik płacochłonności:I sektor: p1 = 12/100 = 0.12 = 12%
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 13 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Współczynnik płacochłonności:I sektor: p1 = 12/100 = 0.12 = 12%II sektor: p2 = 18/100 = 0.18 = 18%
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 13 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Rentowność:I sektor: r1 = 15/(100− 15) ≈ 17.6%
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 13 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Rentowność:I sektor: r1 = 15/(100− 15) ≈ 17.6%II sektor: r2 = 19/(100− 19) ≈ 23.5%
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 13 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Rentowność bruttoI sektor: rBrutto
1 = (15 + 3)/(100− 15− 3) ≈ 22.0%
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 13 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Rentowność bruttoI sektor: rBrutto
1 = (15 + 3)/(100− 15− 3) ≈ 22.0%II sektor: rBrutto
2 = (19 + 3)/(100− 19− 3) ≈ 28.2%
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 13 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Outline
1 Przepływy międzygałęziowe
2 Model Leontiefa
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 14 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Macierz struktury kosztów i macierz Leontiefa
Macierz struktury kosztów A (relacji input-output):
A = [aij ] =[
xij
Xj
]=
x1,1X1
x1,2X2
. . .x1,nXnx2,1
X1
x2,2X2
. . .x2,nXn
......
. . ....
xn,1X1
xn,2X2
. . .xn,nXn
(22)
gdzie aij to udział materiałów i-tej gałęzi wykorzystanych w produkcji j-tejgałęzi.Zależność pomiędzy macierzą struktury kosztów a współczynnikiem materia-łochłonności:
mj =n∑
i=1
ai,j (23)
Macierz Leontiefa:L = I −A (24)
Jeśli każde mi < 0 to wtedy macierz Leontiefa jest nieosobliwa.Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 15 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Macierz struktury kosztów i macierz Leontiefa
Macierz struktury kosztów A (relacji input-output):
A = [aij ] =[
xij
Xj
]=
x1,1X1
x1,2X2
. . .x1,nXnx2,1
X1
x2,2X2
. . .x2,nXn
......
. . ....
xn,1X1
xn,2X2
. . .xn,nXn
(22)
gdzie aij to udział materiałów i-tej gałęzi wykorzystanych w produkcji j-tejgałęzi.Zależność pomiędzy macierzą struktury kosztów a współczynnikiem materia-łochłonności:
mj =n∑
i=1
ai,j (23)
Macierz Leontiefa:L = I −A (24)
Jeśli każde mi < 0 to wtedy macierz Leontiefa jest nieosobliwa.Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 15 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Macierz struktury kosztów i macierz Leontiefa
Macierz struktury kosztów A (relacji input-output):
A = [aij ] =[
xij
Xj
]=
x1,1X1
x1,2X2
. . .x1,nXnx2,1
X1
x2,2X2
. . .x2,nXn
......
. . ....
xn,1X1
xn,2X2
. . .xn,nXn
(22)
gdzie aij to udział materiałów i-tej gałęzi wykorzystanych w produkcji j-tejgałęzi.Zależność pomiędzy macierzą struktury kosztów a współczynnikiem materia-łochłonności:
mj =n∑
i=1
ai,j (23)
Macierz Leontiefa:L = I −A (24)
Jeśli każde mi < 0 to wtedy macierz Leontiefa jest nieosobliwa.Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 15 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Macierz struktury kosztów i macierz Leontiefa
Macierz struktury kosztów A (relacji input-output):
A = [aij ] =[
xij
Xj
]=
x1,1X1
x1,2X2
. . .x1,nXnx2,1
X1
x2,2X2
. . .x2,nXn
......
. . ....
xn,1X1
xn,2X2
. . .xn,nXn
(22)
gdzie aij to udział materiałów i-tej gałęzi wykorzystanych w produkcji j-tejgałęzi.Zależność pomiędzy macierzą struktury kosztów a współczynnikiem materia-łochłonności:
mj =n∑
i=1
ai,j (23)
Macierz Leontiefa:L = I −A (24)
Jeśli każde mi < 0 to wtedy macierz Leontiefa jest nieosobliwa.Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 15 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Model Leontiefa
Założenie: relacja input-output, wyrażona macierzą A, jest stała w czasie.Wtedy: X1
X2...
Xn
=
x1,1 + x1,2 + . . . + x1,n + Y1x2,1 + x2,2 + . . . + x2,n + Y2
...xn,1 + xn,2 + . . . + xn,n + Yn
=
=
a1,1X1 . . . + a1,nXn + Y1a2,1X1 + . . . + a2,nXn + Y2
...an,1X1 + . . . + an,nXn + Yn
=
a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n
......
. . ....
an,1 an,2 . . . an,n
X1
X2...
Xn
+
Y1Y2...
Yn
Zapis macierzowy:
X = AX + Y (25)
gdzie X to macierz produktu globalnego, a Y to macierz produktu końco-wego.Tożsamość dla Y :
Y = (I −A) X (26)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 16 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Model Leontiefa
Założenie: relacja input-output, wyrażona macierzą A, jest stała w czasie.Wtedy: X1
X2...
Xn
=
x1,1 + x1,2 + . . . + x1,n + Y1x2,1 + x2,2 + . . . + x2,n + Y2
...xn,1 + xn,2 + . . . + xn,n + Yn
=
=
a1,1X1 . . . + a1,nXn + Y1a2,1X1 + . . . + a2,nXn + Y2
...an,1X1 + . . . + an,nXn + Yn
=
a1,1 a1,2 . . . a1,na2,1 a2,2 . . . a2,n
......
. . ....
an,1 an,2 . . . an,n
X1
X2...
Xn
+
Y1Y2...
Yn
Zapis macierzowy:
X = AX + Y (25)
gdzie X to macierz produktu globalnego, a Y to macierz produktu końco-wego.Tożsamość dla Y :
Y = (I −A) X (26)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 16 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Model Leontiefa (cd)
Model Leontiefa jest liniowy, a zatem addytywny i jednorodny:
(I −A) (αX1 + βX2) = α (I −A) X1 + β (I −A) X2 = αY1 + βY2, (27)
dla α, β ∈ R oraz X1,X2 ∈ Rn .Wniosek: model Leontiefa można aplikować do analizy przyrostów, tj. zmianproduktu globalnego/końcowego:
L∆X = ∆Y . (28)
Interpretacja elemetów macierz Leontiefa L, tj. Li,j : przyrost pro-duktu końcowego w gałęzi i wynikający ze wzrostu produktu globalnego wgałęzi j o jednostkę, ceteris paribus.Interpretacja elemetów macierz odwrotnej do macierzy LeontiefaL−1, tj. L−1
i,j : jaki przyrost produkcji globalnej w gałęzi i spowoduje wzrostproduktu końcowego w gałęzi j o jednostkę, ceteris paribus.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 17 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Prognozy a model Leontiefa
Prognozy I rodzaju: znane X (lub ∆X) i nieznane Y (lub ∆Y ):
LX = Y . (29)
Prognozy II rodzaju: znane Y (lub ∆Y ) i nieznane X (lub ∆X):
L−1Y = X . (30)
Prognozy mieszane: znane w sumie n (liczba sektorów) wartości Y i X(lub Y i X).=⇒ rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 18 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Prognozy a model Leontiefa
Prognozy I rodzaju: znane X (lub ∆X) i nieznane Y (lub ∆Y ):
LX = Y . (29)
Prognozy II rodzaju: znane Y (lub ∆Y ) i nieznane X (lub ∆X):
L−1Y = X . (30)
Prognozy mieszane: znane w sumie n (liczba sektorów) wartości Y i X(lub Y i X).=⇒ rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 18 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Prognozy a model Leontiefa
Prognozy I rodzaju: znane X (lub ∆X) i nieznane Y (lub ∆Y ):
LX = Y . (29)
Prognozy II rodzaju: znane Y (lub ∆Y ) i nieznane X (lub ∆X):
L−1Y = X . (30)
Prognozy mieszane: znane w sumie n (liczba sektorów) wartości Y i X(lub Y i X).=⇒ rozwiązanie odpowiedniego układu równań.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 18 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 19 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
TPM - przykład
i Xxij
Yj1 21 X1 50 20 302 X2 20 40 40
Aj 3 3x0j 12 18Zj 15 19Xj 100 100
Macierz relacji input-output:
A =[ 50
10020
10020
10040
100
]=[ 1
215
12
25
](31)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 19 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
O ile zmieni się produkt końcowy jeżeli produkt globalny w sektorach I i IIzmieni się odpowiednio o α i β (α, β ∈ R)?
Korzystamy z prognozy pierwszego rodzaju
L∆X = ∆Y .
gdzie ∆X = [α, β ]T .Macierz Leontiefa:
L = I −A =[
1 00 1
]−[ 1
215
12
25
]=[ 1
2 − 15
− 12
35
](32)
Ostatecznie prognoza I rodzaju:
∆Y =[ 1
2 − 15
− 12
35
][α
β
]=[ 1
2α−15β
35β −
15α
]. (33)
Łączna zmiana produktu końcowego wyniesie: 3/5α+ 2/5β.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 20 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
O ile zmieni się produkt końcowy jeżeli produkt globalny w sektorach I i IIzmieni się odpowiednio o α i β (α, β ∈ R)?
Korzystamy z prognozy pierwszego rodzaju
L∆X = ∆Y .
gdzie ∆X = [α, β ]T .Macierz Leontiefa:
L = I −A =[
1 00 1
]−[ 1
215
12
25
]=[ 1
2 − 15
− 12
35
](32)
Ostatecznie prognoza I rodzaju:
∆Y =[ 1
2 − 15
− 12
35
][α
β
]=[ 1
2α−15β
35β −
15α
]. (33)
Łączna zmiana produktu końcowego wyniesie: 3/5α+ 2/5β.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 20 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
O ile zmieni się produkt końcowy jeżeli produkt globalny w sektorach I i IIzmieni się odpowiednio o α i β (α, β ∈ R)?
Korzystamy z prognozy pierwszego rodzaju
L∆X = ∆Y .
gdzie ∆X = [α, β ]T .Macierz Leontiefa:
L = I −A =[
1 00 1
]−[ 1
215
12
25
]=[ 1
2 − 15
− 12
35
](32)
Ostatecznie prognoza I rodzaju:
∆Y =[ 1
2 − 15
− 12
35
][α
β
]=[ 1
2α−15β
35β −
15α
]. (33)
Łączna zmiana produktu końcowego wyniesie: 3/5α+ 2/5β.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 20 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
O ile zmieni się produkt końcowy jeżeli produkt globalny w sektorach I i IIzmieni się odpowiednio o α i β (α, β ∈ R)?
Korzystamy z prognozy pierwszego rodzaju
L∆X = ∆Y .
gdzie ∆X = [α, β ]T .Macierz Leontiefa:
L = I −A =[
1 00 1
]−[ 1
215
12
25
]=[ 1
2 − 15
− 12
35
](32)
Ostatecznie prognoza I rodzaju:
∆Y =[ 1
2 − 15
− 12
35
][α
β
]=[ 1
2α−15β
35β −
15α
]. (33)
Łączna zmiana produktu końcowego wyniesie: 3/5α+ 2/5β.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 20 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
O ile powinien się zmienić produkt globalny aby produkt końcowy w sekto-rach I i II zmieni się odpowiednio o γ i δ (γ, δ ∈ R)?
Korzystamy z prognozy drugiego rodzaju
L−1∆Y = ∆X .
gdzie ∆Y = [γ, δ]T .Macierz odrotna do macierzy Leontiefa:
L−1 =[ 1
2 − 15
− 12
35
]−1
=[
3013
1013
1013
2513
](34)
Ostatecznie prognoza II rodzaju:
∆X =[ 30
131013
1013
2513
][γ
δ
]=[ 30
13γ + 1013δ
1013γ + 25
13δ
]. (35)
Łączna zmiana produktu globalnego powinna wynieść: 40/13γ + 35/13δ.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 21 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
O ile powinien się zmienić produkt globalny aby produkt końcowy w sekto-rach I i II zmieni się odpowiednio o γ i δ (γ, δ ∈ R)?
Korzystamy z prognozy drugiego rodzaju
L−1∆Y = ∆X .
gdzie ∆Y = [γ, δ]T .Macierz odrotna do macierzy Leontiefa:
L−1 =[ 1
2 − 15
− 12
35
]−1
=[
3013
1013
1013
2513
](34)
Ostatecznie prognoza II rodzaju:
∆X =[ 30
131013
1013
2513
][γ
δ
]=[ 30
13γ + 1013δ
1013γ + 25
13δ
]. (35)
Łączna zmiana produktu globalnego powinna wynieść: 40/13γ + 35/13δ.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 21 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
O ile powinien się zmienić produkt globalny aby produkt końcowy w sekto-rach I i II zmieni się odpowiednio o γ i δ (γ, δ ∈ R)?
Korzystamy z prognozy drugiego rodzaju
L−1∆Y = ∆X .
gdzie ∆Y = [γ, δ]T .Macierz odrotna do macierzy Leontiefa:
L−1 =[ 1
2 − 15
− 12
35
]−1
=[
3013
1013
1013
2513
](34)
Ostatecznie prognoza II rodzaju:
∆X =[ 30
131013
1013
2513
][γ
δ
]=[ 30
13γ + 1013δ
1013γ + 25
13δ
]. (35)
Łączna zmiana produktu globalnego powinna wynieść: 40/13γ + 35/13δ.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 21 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
O ile powinien się zmienić produkt globalny aby produkt końcowy w sekto-rach I i II zmieni się odpowiednio o γ i δ (γ, δ ∈ R)?
Korzystamy z prognozy drugiego rodzaju
L−1∆Y = ∆X .
gdzie ∆Y = [γ, δ]T .Macierz odrotna do macierzy Leontiefa:
L−1 =[ 1
2 − 15
− 12
35
]−1
=[
3013
1013
1013
2513
](34)
Ostatecznie prognoza II rodzaju:
∆X =[ 30
131013
1013
2513
][γ
δ
]=[ 30
13γ + 1013δ
1013γ + 25
13δ
]. (35)
Łączna zmiana produktu globalnego powinna wynieść: 40/13γ + 35/13δ.
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 21 / 22
Przepływy międzygałęzioweModel Leontiefa
Wyznacz zmianę produktu końcowego w I sektorze i produktu globalnego w II sek-torze, jeżeli:
zmiana produktu globalnego w pierwszym sektorze jest równa α,zmiana produktu końcowego w drugim sektorze jest równa β,
gdzie α, β ∈ R.
Korzystamy z prognozy mieszanej[ 12 − 1
5
− 12
35
][β
∆X2
]=[
∆Y1
α
](36)
czyli układ równań: {∆Y1 = 1
2β −15 ∆X2
α = 35 ∆X2 − 1
2β(37)
Rozwiązanie: {∆Y1 = 1
3β −13α
∆X2 = 53α+ 5
6β(38)
Jakub Mućk Ekonometria Ćwiczenia 10 Przepływy międzygałęziowe 22 / 22