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Pensamiento matemático 3

Secundaria

Omar Vigueras Herrera



Secundaria

Este material fue elaborado para el Programa de Fortalecimiento de la Calidad en Educación Básica, en específico para el Proyecto Local “La escuela secundaria, un lugar donde todos y todas concluimos nuestros estudios”; por lo que no podrá comercializarse por ninguna vía, ya que es para uso exclusivo de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal.

Este programa es público, ajeno a cualquier partido político. Queda prohibido el uso para fines distintos a los establecidos en el programa.

3

Bloque 1 8

Desafío 1. Las carreras 10

Prácticas

1. Ecuaciones de segundo grado 12

2. Congruencia y semejanza de figuras 14

3. Criterios de congruencia y de semejanza 16

4. Proporcionalidad y gráficas 18

5. Gráficas cuadráticas 20

6. Eventos mutuamente excluyentes

e independientes 22

7. Encuestas y estadísticas 24

Matemáticas curiosas 30

Bloque 2 28

Desafío 2. Teorema de Pitágoras 30

Prácticas

8. Problemas de factorización 32

9. Rotación y traslación 34

10. Simetría axial y central 36

11. El Teorema de Pitágoras 38

12. Ejercicios del Teorema de Pitágoras 40

13. Eventos mutuamente excluyentes

y complementarios 42


Bloque 3 46

Desafío 3. Ecuaciones cuadráticas 48

Prácticas

14. Fórmula general 50

15. Problemas de congruencia y semejanza 52

16. Teorema de Tales 54

17. Homotecia 56

18. Gráficas de funciones cuadráticas 58

19. Gráficas de diferentes formas 60

20. Eventos independientes 62


Índice

Bloque 4 66

Desafío 4. Seno, coseno y tangente 68

Prácticas

21. Sucesiones cuadráticas 70

22. Sólidos de revolución 72

23. Elementos de una línea recta 74

24. Elementos de un triángulo rectángulo 76

25. Las razones trigonométricas 78

26. La razón de cambio 80

27. Análisis en las gráficas 82


Bloque 5 86

Desafío 5. Ecuaciones y sistemas de ecuaciones 88

Prácticas

28. Ecuaciones de segundo grado y problemas 90

29. Las cónicas 92

30. Volumen de cilindros y conos 94

31. Problemas de volumen de cilindros y conos 96

32. Modelos no lineales 98

33. Juegos justos 100


5 1

62


Fue elaborado por Ek Editores S. A. de C. V. para la Coordinación Sectorial de Educación Secundaria, perteneciente a la Dirección General de Operación de Servicios Educativos,

de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal. Presentación 4

Metodología 6AutorOmar Vigueras HerreraEdición y revisión técnicaM. Héctor Cano PinedaCoordinación de arte y diseñoMarcela NoveloDiseño de interiores y formaciónLylyán del Carmen Ramírez RamírezDiseño de portadaMauro MachucaImágenesShutterstock Inc.

Primera edición: febrero de 2015

D. R. © 2015, Ek Editores, S. A. de C. V.Avenida Pío X núm. 1210, Col. Pío XMonterrey, Nuevo León, C. P. 64710Tel.: (81) 83 56 75 05 y 83 35 17 04

México, D. F.Calle Sur 26 núm. 16, Col. Agrícola OrientalDelegación Iztacalco, México, D. F., C. P. 08500Tel.: (55) 51 15 15 40 y 22 35 71 12

Lada sin costo: 01800 841 7005www.ekeditores.com

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana Reg. Núm. 3728 ISBN edición digital: 978-607-8248-50-6

DERECHOS DE USOQueda prohibido copiar, reproducir, distribuir, publicar, transmitir, difundir, en cualquier modo o medio cualquier parte del material contenido en el archivo (texto e imágenes) con fines distintos a los personales o educacionales para los que fue creado, sin la autorización previa por escrito del editor. Sólo se podrá bajar el material a una computadora personal por licencia para uso exclusivamente personal y no comercial, limitado a una copia. Se prohíbe remover o alterar de la copia u original toda aquella leyenda de derechos de propiedad intelectual o la que manifieste la autoría del material.

Hecho en México / Made in Mexico

4 5

• Ideas diferentes del maestro sobre lo que signi-fica enseñar y aprender.

Se trata entonces de que el docente proponga proble-mas interesantes, debidamente articulados, para que los alumnos aprovechen lo que ya saben y avancen en el uso de técnicas y razonamientos cada vez más efica-ces. Lo que se pretende con esta estrategia didáctica es lo siguiente:

• Lograr que los alumnos se acostumbren a buscar por su cuenta cómo resolver los problemas que se les plantean, mientras el docente observa y cuestiona a los equipos de trabajo, tanto para conocer los procedimientos y argumentos que se ponen en práctica, como para aclarar dudas, destrabar procesos y lograr que los alumnos avancen.

• Acostumbrarlos a leer y analizar los enunciados de los problemas.

• Lograr que los alumnos aprendan a trabajar de manera colaborativa.

Esta estrategia didáctica ayuda a la correcta implemen-tación del currículo en Matemáticas, la transformación de la práctica docente, el logro de los aprendizajes y una mejora en la calidad educativa, ya que permite:

• Centrar la atención en los estudiantes y en sus procesos de aprendizaje.

• Planificar para potenciar el aprendizaje.

• Generar nuevos ambientes de aprendizaje.

• Trabajar en colaboración para construir el apren-dizaje.

• Generar materiales para favorecer el aprendizaje.

• Incorporar temas de relevancia social.

• Reorientar el liderazgo.

• Incorporar la tutoría y la asesoría académica en el aula.

• La evaluación continua y, por tanto, a los docen-tes les permite evaluar para aprender.

Actualmente los requerimientos de la sociedad a la es-cuela son muy diferentes de los de hace veinte años, debido al gran avance tecnológico en las comunicacio-nes y la electrónica, áreas que han cambiado la forma de vida de casi todos los habitantes del planeta. El gran avance tecnológico ha hecho que la sociedad de todo el mundo sufra cambios, creándose nuevas sociedades en el ámbito de las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones (TIC), y dando origen a la Sociedad de la Información y a las Sociedades del Conocimiento.

Entiéndase por Sociedad de la Información aquella en la cual la creación, distribución y manipulación de la in-formación forman parte importante de las actividades culturales y económicas, basándose en los progresos tecnológicos como la red de Internet, la cual juega un papel fundamental para el acceso e intercambio de in-formación.

Las Sociedades del Conocimiento, concepto más com-plejo, se refieren a los cambios en las áreas tecnológi-cas y económicas, basadas en la educación, formación de los nuevos ciudadanos y nuevas formas de trabajo. Estos cambios en nuestra sociedad son las causas de los actuales requerimientos a la educación actual, y por tanto a la escuela y a los maestros, ya que se necesita un nuevo tipo de ciudadano más acorde con la era tecno-lógica que se está viviendo y que posea competencias que le permitan desarrollarse en este tipo de socie-dades.

Los nuevos ciudadanos, hoy nuestros alumnos, necesi-tan adquirir competencias personales, sociales y profe-sionales, diferentes de las nuestras, y que hoy resultan imprescindibles. Esta presencia de la tecnología en mu-chas de las actividades que realizamos actualmente exige a su vez que los programas de estudio contem-plen nuevas temáticas y que el profesorado tenga de-terminados conocimientos, competencias y actitudes relacionados con las TIC, y que se comprometa con la búsqueda de estrategias adecuadas a los nuevos re-querimientos sociales.

De acuerdo con lo anterior, se requiere el cambio de rol del profesor para hacer frente a estos requerimientos,

centrándose la labor docente en el aprendizaje del alumno y tomando el papel de facilitador del conoci-miento y guía del alumno en el aprendizaje.

La forma de trabajar la asignatura de Matemáticas en el salón de clases también exige un cambio, ya que se nece-sita que el alumno desarrolle determinadas habilidades y destrezas para que sea competente en los aprendizajes esperados del Plan y de los Programas de Estudio.

La estrategia que se propone para el trabajo de la asignatura de Matemáticas, de acuerdo con los re-querimientos sociales de la actualidad, se basa en los principios pedagógicos que marca el Acuerdo 592, el cual establece utilizar secuencias de situaciones pro-blemáticas, contextualizadas lo más cercano al entor-no de los alumnos, que despierten el interés de éstos y los inviten a reflexionar, a encontrar diferentes for-mas de resolver los problemas, a formular argumentos que validen los resultados y que permitan llevar a cabo una evaluación continua e integral de la asignatura. Al mismo tiempo, las situaciones problémicas planteadas deberán aplicar justamente los conocimientos y las ha-bilidades que se requieren desarrollar.

Por otra parte, la solución de las situaciones planteadas deben construirse en el entendido de que existen diver-sas estrategias posibles de las cuales hay que usar al menos una, en la cual el alumno debe usar sus conoci-mientos previos para comprender dicha situación.

El reto para el alumno consiste en reestructurar algo que ya sabe, ya sea para modificarlo, ampliarlo, recha-zarlo o para volver a aplicarlo en una nueva situación. Este tipo de reto implica que la actividad intelectual fundamental en estos procesos de estudio se apoya más en el razonamiento que en la memorización, origi-nando que el conocimiento de reglas, algoritmos, fór-mulas y definiciones solo sea importante en la medida en que los alumnos lo puedan usar para solucionar pro-blemas y reconstruir en caso de olvido. Esta estrategia didáctica implica enfrentar a los alumnos y a los docen-tes a nuevos retos que requieren:

• Actitudes distintas del alumno frente al conoci-miento matemático.

Presentación

6 7

6. Inicio de los trabajos. El docente indica a los alumnos en cuanto tiempo deben solucionar la actividad. Por lo general, las actividades están diseñadas para que las resuelvan en un tiempo máximo de 20 minutos, pero queda a criterio del docente en función de los avances de su grupo. Es posible que algunas actividades se tengan que desarrollar en más de una sesión de clases, pero cuando no sea este el caso, el docente debe distribuir el tiempo de tal forma que pueda llevar a cabo las actividades posteriores.

7. Monitoreo de los equipos de trabajo. El moni-toreo consiste en supervisar el desarrollo de los trabajos de los equipos, asesorando y guiando a los alumnos en la resolución de la actividad, pero sin darles la respuesta, sólo ofreciendo suge-rencias sobre la información que necesitan para llegar a su objetivo. Una forma de hacer esto es formulando preguntas a los integrantes del equipo, pero sin dar las respuestas. En esta fase es cuando el docente registra las observacio-nes grupales e individuales con el propósito de evaluar las acciones y reacciones de los alum-nos, así como ajustar la estrategia de acuerdo con el grupo.

8. Puesta en común. La puesta en común es la discusión y análisis, entre los integrantes de los

equipos, de la situación problemática plantea-da, en la cual presentan y explican sus procedi-mientos y estrategias de solución, y tiene como objetivo la socialización de los aprendizajes ad-quiridos en los equipos de trabajo con los demás integrantes de los otros equipos.

Cada equipo de trabajo pasa al frente a presen-tar la forma en la cual solucionaron el desafío. El docente debe propiciar, por medio de cuestiona-mientos, el análisis de las respuestas dadas, de tal forma que induzca a los alumnos a comprobar cuál es la respuesta correcta.

El maestro no debe dar la respuesta, ésta la de-ben obtener los alumnos. Esto es con el fin de que adquieran confianza en las soluciones que dan y que las verifiquen, y de esta forma hacer-los independientes del maestro en este aspecto para que, en forma gradual, el alumno se haga responsable de sus decisiones.

9. Cierre de la sesión. Se refiere a las conclusiones del maestro con respecto a las observaciones de los trabajos que se llevaron a cabo; también tiene que ver con dejar actividades complemen-tarias, con respecto al tema tratado, o trabajos de investigación si así se requieren.

Metodología

Para la implementación en el aula de la estrategia didác-tica descrita, se deben considerar los siguientes puntos.

• El rol del docente cambia al dejar de ser la fuente de información única de los alumnos y convertir-se en un facilitador del aprendizaje y guía.

• El maestro no explica procedimientos, ayuda a los alumnos a reconstruirlos por medio de situa-ciones problemáticas contextualizadas, en lo posible, al entorno del alumno.

• Ésta es una estrategia para trabajar en el salón de clases el programa de estudios, no un libro de tareas.

• Los alumnos son responsables de sus respues-tas.

• Es labor del profesor fortalecer la comunicación y propiciar que alumnos con mayores dificultades de aprendizaje sean incluidos en las discusiones.

• Las dudas de los alumnos no reciben respuestas como tales, sino que se induce a que encuentren la respuesta por medio de preguntas.

• Hacer que los alumnos aprendan de sus propios errores, motivándolos para que exploren sobre nuevas soluciones.

• Respetar las opiniones de cada uno de los inte-grantes y permitirles que expresen tanto sus preguntas como sus aportaciones.

A continuación se describe un procedimiento general para la aplicación de la estrategia en el aula.

1. Indicaciones sobre la forma de trabajo. El do-cente proporciona las indicaciones para llevar a cabo los trabajos de esa sesión, como los mate-riales que se utilizarán, da las indicaciones con

respecto a la comunicación entre ellos, los espa-cios en los cuales pueden llevar a cabo las acti-vidades, su rol como docente durante el tiempo que dure la actividad, y algunas otras recomen-daciones acordes con el aula.

2. Acondicionamiento del aula. En función del tamaño del aula y el tipo de muebles, las indi-caciones del desafío a trabajar y el número de alumnos, el docente toma la decisión sobre la organización y acondicionamiento del aula para llevar a cabo las actividades correspondientes a la sesión. Se recomienda acomodar en forma circular a los alumnos de cada equipo o frente a frente cuando se trabaja en parejas..

3. Integración de los equipos de trabajo. Se reco-mienda que los equipos se conformen de manera heterogénea y al azar, ya que uno de los objeti-vos en el trabajo colaborativo por equipos es la interacción y unión entre todos los alumnos del grupo, y no la división entre ellos, es decir, que los más adelantados en la asignatura formen su equipo y los más atrasados formen otro, ya que también se pretende el aprendizaje entre ellos. Se recomienda mínimo dos y máximo cinco alum-nos por equipo.

4. Presentación de la situación problemática (Actividad). Una vez formados los equipos de trabajo, el docente presenta la actividad al grupo de acuerdo con el contexto de la situación pro-blemática planteada. Esta acción se debe llevar a cabo en un tiempo máximo de cinco minutos.

5. Distribución de las actividades. Aunque cada alumno debe tener su material, en el momento de trabajar en el aula por equipos, el docente sólo debe permitir un material por equipo de tra-bajo, esto con el fin de que se fomente el trabajo colaborativo, ya que si se entrega uno por alum-no, la tendencia es trabajar de forma individual.

8 9

Bloq

ue 1

En este bloque estudiarás: Resolución de ecuaciones de segundo grado y sus gráficas.

Criterios de congruencia y de semejanza.

La diferencia entre eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.

Contenido

Desafío 1Las carreras

Prácticas1. Ecuaciones de segundo grado2. Congruencia y semejanza de figuras3. Criterios de congruencia y de semejanza4. Proporcionalidad y gráficas5. Gráficas cuadráticas6. Eventos mutuamente excluyentes e independientes7. Encuestas y estadísticas

Matemáticas curiosas

5 1

62

10 11

Desafío 1ConsignaEsta actividad debe llevarse a cabo en equipos de 2 a 4 integrantes.

1. En su cuaderno o en una cartulina, dibujen un tablero como el que se muestra.

2. Consigan un par de dados por equipo (de preferencia de diferente color) y dos fichas, una roja y una azul o dos pedazos de papel.

Reglas

3. Jueguen dos carreras de la siguiente manera:

Carrera 1. Esta carrera se juega con solo un dado. La ficha roja avanza una casilla si al lanzar el dado cae 5 o 6, la ficha azul avanza una casi-lla si el dado cae en 1, 2 o 3. Si sale 4 ambas fichas retroceden una casilla (si están en la salida no retroceden).

Carrera 2. Esta carrera se juega con dos dados. La ficha roja avanza una ca-silla si la suma de los dados es 1, 2, 3, 4, 5, 10, 11 o 12, la ficha azul avanza una casilla si la suma de los dados es 6, 7, 8 o 9.

Durante la carrera, organicen la participación del equipo, de modo que uno de los integrantes del equipo lanza el dado, otro avanza la ficha que le corres-ponda y uno más registra el número que salió en el dado.

Antes de iniciar el juego, predigan qué ficha llegará en primero y segundo lu-gar y por qué.

Que los alumnos interpreten de forma adecuada el espacio muestral en una situación de probabilidad. Con esta actividad, además de poner en juego nuevamente la probabilidad frecuencial y la probabilidad clásica, se pretende que establezcan conexiones con el cálculo de probabilidades.

Intención didáctica

Mis respuestas

Mis dudasy preguntas

Las carreras

SALIDA

LLEGADA

1

2

3

456

7

8

9

10

12

13

1415 16 17

1819

20

11

12 13

Explica por qué una ecuación de segundo grado puede tener hasta dos soluciones.

Pregunta de reflexión

Mis respuestas


Matemáticasrápidas

1. ¿Qué número debes poner en el cuadro para que se cumpla la igualdad?a) 2 + = 13

b) 5 + = 3

c) (5)( ) = 20

d) ( )(7) = 49

2. Anota el resultado como se muestra en el ejemplo.

23 = (2)(2)(2) = 8a) 33 =

b) 72 =

c) 122 =

d) (−2)2 =

Una ecuación cuadrática con una incógnita es una igualdad en la que, des-pués de simplificarla; el exponente mayor de la incógnita es dos. Por ejem-plo, las ecuaciones de la columna izquierda son ecuaciones de segundo grado mientras que las de la derecha no lo son.

Son ecuaciones cuadráticas No son ecuaciones cuadráticas

2x 2 + 3x − 1 = x2 + 2 2x2 + 3x − 1 = 2x2 + 2

3x2 − 1 = 2 2x2 + 3x − 1 = x3 + 2

x2 = 0 2x2 + 3x + 1

La solución de una ecuación de segundo grado con una incógnita es un número que al ser cambiado por la incógnita y realizar las operaciones hace valida la igualdad. Por ejemplo:

El siguiente problema se resuelve utilizando una ecuación de segundo grado.

En un terreno rectangular la medida del ancho es el doble de la medida del frente. Si el área del terreno es de 98 metros cuadrados, ¿cuáles son las medidas?

Ecuaciones de segundo grado ActividadesPráctica 1

El número 1 es solución de la ecua-ción x2 − 2x + 1 = 0. Al sustituir 1 en lugar de x y realizar las operaciones del lado izquierdo de la igualdad queda:

(1)2 − 2(1) + 1 =(1)(1) − 2(1) + 1 =

1 − 2 + 1 = 0

El número 2 no es solución de la ecuación x2 − 2x + 1 = 0. Al sustituir 2 en lugar de x y realizar las operacio-nes del lado izquierdo de la igualdad queda:

(2)2 − 2(2) + 1 =(2)(2) − 2(2) + 1 =

4 − 4 + 1 = 1

Se utiliza la letra x para denotar el frente del terreno y entonces el enunciado “la medida del ancho es el doble de la medida del frente” indica que la medida del ancho del terreno es de 2x. Como el área (frente por ancho) del terreno es de 98 metros cuadrados, la ecuación que representa el problema es:

x(2x) = 98y de forma simplificada:

2x2 = 98.

Para resolver la ecuación 2x2 = 98; Se divide la ecuación entre 2: x2 = 98

2 = 49;Después, se aplica la raíz cuadrada en cada lado de la ecuación: x = √49 = 7.

Es decir, el frente del terreno mide 7 metros y el ancho 14 metros.

Frente

Anch

o

1. En un parque se va a construir una fuente circular que ocupe una superfi-cie de 28.26 m2. ¿Cuál debe ser el radio del círculo en donde irá la fuente?

2. En un terreno rectangular la medida del ancho es el triple de la medida del frente. Si el área del terreno es de 243 m2, ¿cuáles son las medidas del frente y del ancho?

3. Determina para cada ecuación cuál o cuáles de los números indicados son sus soluciones.

Ecuación Valores

a) 3x2 = 12 1, 0, −1, −2.

b) 3x2 − 3 = 24 0, 1, 2, 3

c) x2 + x − 2 = 0 −2, 0, 1, 2

4. Escribe una ecuación que tenga como soluciones al 1 y al 3.

5. Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones.

a) 2x2 = 72 Soluciones:

b) 2x2 + 2x = 0 Soluciones:

c) x2 − 7x = 0 Soluciones:

d) x2 + 3x = −2 Soluciones:

e) x2 + 4x = −4 Soluciones:

14 15

Toda figura es congruente a ella misma. ¿Es cierto que también toda figura es semejante a sí misma?


Mis respuestas



1. Marcas las figuras que tienen la misma forma que la siguiente:

Práctica 2Dos figuras son congruentes si tienen la misma forma y las mismas medidas, incluso si una de ellas se encuentra en diferente posición respecto de la otra. Dos figuras geométricas son congruentes cuando hay una correspondencia entre los vértices de una y los vértices de la otra, de tal manera que se cum-pla que la distancia entre dos vértices correspondientes de una figura y la otra sea la misma. Además, el ángulo comprendido entre dos pares de lados de una figura debe medir lo mismo que el ángulo comprendido entre los pares de lados correspondientes en la otra. Por ejemplo, los triángulos ABC y DEF son congruentes:

El vértice A es correspondiente con el vértice F, el B con el D y el C con el E, en este caso la medida del lado a es igual a la medida f, la del lado b a la del lado d y la del lado c al lado e. También el ángulo en el vértice A es igual al ángulo en el vértice F, el de B con el de D y el de C con el de E.

Cuando dos o más figuras tienen la misma forma pero diferente tamaño, se di-cen que son figuras semejantes. Es decir, dos figuras son semejantes cuando una de ellas es reducción o ampliación de la otra. Dos figuras geométricas son semejantes cuando hay una correspondencia entre los vértices de una y los vértices de la otra y existe una relación de proporcio-nalidad directa entre la medida de lados correspondientes. Además, los ángulos comprendidos entre las parejas de lados correspondientes miden lo mismo.

Por ejemplo, los cuadriláteros ABCD y EFGH son semejantes.

Congruencia y semejanza de figuras Actividades

1. Usa tu juego de geometría para determinar si las siguientes figuras son con-gruentes.

a)

b)

2. Construye dos figuras semejantes a la siguiente; una a razón 2 a 1 y una a razón 1 a 2.

El vértice A se corresponde con el vértice F, el B con el G, el C con el H y el D con el E. En este caso las medidas del cuadrilátero ABCD son el doble de las medidas del cuadrilátero EFGH. A la constante de proporcionalidad que permite encon-trar las medidas del cuadrilátero ABCD a partir de las del cuadrilátero EFGH se le llama razón de semejanza. En este caso es de 1 a 2.

f

e d

E

F

D

a

c

b

C

A B

f

F

C

c

d

b

a

B

D

AE

H

G

h

eg

Y

Z

X

K

L

J

L M

N

O

X

Y

ZW

2 cm

5 cm

16 17

¿Todo triángulo es semejante y también congruente a sí mismo?


Mis respuestas


Práctica 3

Para decir que dos triángulos son congruentes no es necesario verificar las me-didas de todos los lados y ángulos; los criterios de congruencia son condiciones necesarias y suficientes para verificarlo.

Criterios de congruencia y de semejanza


1. Marca las figuras que sean semejantes a la siguiente.

Criterio 1: lado, lado, lado (LLL). Dos triángulos son congruentes si los tres lados de uno miden lo mismo que los tres lados del otro.

Criterio 2: lado, ángulo, lado (LAL). Dos triángulos son congruentes si dos de los lados de uno y el ángulo comprendido entre estos dos lados, miden lo mismo que los dos lados y el ángulo entre ellos del otro triángulo.

Criterio 3: ángulo, lado, ángulo (ALA). Dos triángulos son con-gruentes si dos ángulos de uno y el lado común, miden lo mismo que dos ángulos y el lado común del otro triángulo.

También hay tres criterios que permiten determinar si dos triángulos son se-mejantes.

Criterio 1: ángulo, ángulo, ángulo (AAA). Dos triángulos son semejantes si los tres ángulos de uno miden lo mismo que los tres ángulos del otro.

Criterio 2: lado, lado, lado (LLL). Dos triángulos son semejantes si existe una relación de proporcionali-dad directa entre la medida de los lados de uno y la medida de los lados del otro.

Criterio 3: lado, ángulo, lado (LAL). Dos trián-gulos son semejantes si dos lados de uno son proporcionales a dos del otro y los ángulos comprendidos entre estas parejas de lados miden lo mismo.

S

R T

B

A C

F

G H

P

RQ

E D

F

S R

T

Actividades

1. Determina el criterio que justifica que los siguientes pares de triángulos son congruentes.

a) El triángulo grande es isósceles y la división que forma los dos triángulos es la mediatriz de la base.

b) El cuadrilátero es un romboide y la división que forma los dos triángulos es una de sus diagonales.

2. Determina el criterio que usarías para justificar que los siguientes pares de triángulos son semejantes.

a)

b)

c) Las líneas que forman los dos triángulos son paralelas.

21

30157

10

5

510

4 815

25

20

B

C

A

P

O

Q

4

3

12

16

6

8 10

18 19


1. Indica si cada enunciado es verdadero (V) o falso (F).

a) En una relación de proporcionalidad directa hay que sumar la constante de proporcionalidad para obtener la cantidad correspondiente a cualquiera de las cantidades. ( )

b) En una relación de proporcionalidad hay que multiplicar por la constante de proporcionalidad para obtener la cantidad correspondiente a cualquiera de las cantidades. ( )

¿En qué tipo de problemas la gráfica asociada no es una línea recta?


Mis respuestas


Práctica 4 Proporcionalidad y gráficas Actividades

1. En el siguiente plano cartesiano grafica los puntos que se representan en la tabla.

2. Ubica en el siguiente plano cartesiano los puntos que aparecen en las ta-blas y determina cuál de las gráficas está asociada a una relación de pro-porcionalidad directa. Usa un color diferente para cada gráfica.

Cuando resolvemos un problema es útil tener varias representaciones de éste. Entre las más usadas está la representación gráfica, la representación alge-braica y las tablas de datos.

Por ejemplo:La siguiente tabla muestra algunas medidas de equivalencias entre las escalas de temperatura en grados Celsius y en grados Fahrenheit.

La representación gráfica de esta relación es:

Si se representa a los grados Celsius con la letra C y a los grados Fahrenheit con la letra F, la expresión algebraica que permite calcular la temperatura en grados Celsius a partir de saber la temperatura en grados Fahrenheit es:

C = 59 (F − 32)

Usualmente se utilizan las letras x y y para representar las cantidades relacio-nadas de dos conjuntos correspondientes. Cuando la representación gráfica de un problema sea una línea recta entonces la expresión algebraica que le corres-ponde es de la forma:

y = mx + b

Este tipo de expresiones son llamadas lineales, donde el número b es la ordenada al origen, es decir, el punto en que la recta intersecta al eje y. Cuando la gráfica de una de estas expresiones pasa por el origen (punto de coordenadas (0, 0)), la relación entre los conjuntos es una relación de proporcionalidad directa y su expresión algebraica asociada es de la forma:

y = kx

Donde k es la constante de proporcionalidad.

Grados Fahrenheit Grados Celsius

95 35

77 25

59 15

32 0

23 −5

Velocidad de un automóvil

Tiempo en horas

Distancia recorrida en kilómetros

20 1660

10 830

5 415

1 83

0 0

Grados Celsius 10 20 50

Gráfica 1

x y Punto (x,y)

10 15 (10, 15)8 13 (8, 13)6 11 (6, 11)4 9 (4, 9)2 7 (2, 7)

Gráfica 2

x y Punto (x,y)

10 15 (10, 15)8 12 (8, 12)6 9 (6, 9)4 6 (4, 6)2 3 (2, 3)

Gráfica 3

x y Punto (x,y)

10 9 (10, 9)8 7 (8, 7)6 5 (6, 5)4 3 (4, 3)2 1 (2, 1)

Gra

dos F

ahre

nhei

t

1020304050607080

20 21


1. Para cada uno de los valores de x evalúa la expresión y = 3x − 1:

a) x = 1, y =

b) x = −1, y =

c) x = 2, y =

d) x = 5, y =

Práctica 5 Gráficas cuadráticas Hay situaciones de la naturaleza y problemas de diferentes ramas de la ciencia en donde dos conjuntos de cantidades se relacionan mediante una expresión cuadrática (no lineal). Al estudiar una relación entre dos conjuntos de cantida-des es muy importante tener en cuenta su gráfica y la expresión algebraica que la representa.

Tiempo (en segundos)

Altura (en metros)

10 490

8 313.6

6 176.4

4 78.4

2 19.6

1 4.9

0 0

La representación gráfica de esta relación es:

Si se representa con la letra t al tiempo en que tarda el objeto en llegar al piso y con la letra a la altura desde donde se deja caer el objeto, la expresión alge-braica que relaciona estas dos cantidades es:

a = (9.8)t2

Cuando la representación algebraica de un problema sea una expresión don-de una de las variables esté al cuadrado, se dice que la expresión algebraica es cuadrática. Su expresión en general es de la forma:

y = ax2 + bx + c

Las gráficas asociadas a estas expresiones son curvas llamadas parábolas.


¿Cuál es la diferencia entre las gráficas de las expresiones y = 2x2 y y = 6x2?

Mis respuestas


Actividades

1. Completa la tabla calculando el área de un cuadrado cuya medida de sus lados viene en la primera columna. Luego, ubica en el plano cartesiano los puntos que determinan los datos que completaste en la tabla y traza la gráfica.

2. Una inversión a dos años con interés compuesto produce una ganancia de acuerdo con la siguiente expresión algebraica.

I = P (r2+2r)

Donde I representa la ganancia, P representa el capital y r la tasa de inversión.

Completa la tabla para encontrar las diferentes ganancias a partir de dife-rentes tasas, y viceversa, cuando el capital invertido es de $5000.00.

Variación del área

Medida del lado Área del cuadrado

1

2

3

4

5

6

% 8 8.5 9 9.5 10

(r2 +2r) 0.177

I 995.13

En el plano cartesiano efectúa la gráfica usando los datos de la tabla. En el eje x representa la ganancia y en el eje y, la tasa de interés.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

550500450400350300250200150100 50 0

Altura (m)

Tiempo (s)

Por ejemplo:Al dejar caer un objeto desde dife-rentes alturas tarda diferentes tiem-pos en llegar al piso. La distancia y el tiempo son los dos conjuntos de cantidades que están relacionados con la caída de los objetos. La tabla muestra los tiempos que se regis-traron al dejar caer al piso una pesa de medio kilogramo desde diferen-tes alturas.

22 23


1. Si lanzas un dado, ¿qué es más probable que ocurra?

a) Obtener un 3.

b) Obtener cualquier número.

c) Obtener un número par.

Práctica 6 Eventos mutuamente excluyentes e independientes En el cálculo de probabilidades es importante distinguir los diferentes tipos de eventos que existen. A continuación mencionamos algunos de estos eventos.

Evento simple. Es cuando solamente hay una posibilidad de ocurrencia del evento dentro de todo el espacio muestral.

Por ejemplo, al lanzar un dado de seis caras, el evento obtener número tres, es un evento simple, ya que su probabilidad de ocurrencia es de 1

6 .

Eventos equiprobables. Son dos o más eventos que tienen la misma probabi-lidad de ocurrir.

Por ejemplo, al lanzar un dado de seis caras se pueden definir los siguientes eventos:Evento 1: Obtener un dos o un tres. Evento 2: Obtener un cuatro o un cinco.Los eventos 1 y 2 son equiprobables, dado que ambos tienen un tercio de pro-babilidad de ocurrir.

Eventos mutuamente excluyentes. Es cuando la ocurrencia de uno no afecta la ocurrencia del otro.

Por ejemplo, al lanzar un dado se pueden definir los eventos:Evento 1: obtener un número par.Evento 2: obtener un tres.Estos eventos son mutuamente excluyentes. La probabilidad de ocurrencia del evento 1 es de 1

2 y la del evento 2 es de 1

6 .

Eventos complementarios. Son aquellos que son mutuamente excluyentes y la suma de sus probabilidades es igual a 1.

Por ejemplo, al lanzar un dado se tienen los siguientes eventos:Evento 1: obtener uno o dos.Evento 2: obtener tres, cuatro, cinco o seis.Los eventos 1 y el 2 son complementarios, la probabilidad de ocurrencia del evento 1 es de 13 y la probabilidad de ocurrencia del evento 2 es de 2

3 . La suma de estos

valores es igual a 1; esto es, 13

+ 23

= 33

= 1.

Eventos independientes. Son aquellos en los que su ocurrencia no depende de la ocurrencia de los eventos anteriores.

Por ejemplo, considera el experimento de lanzar dos dados numerados, uno de ellos es rojo y el otro azul. El evento en el dado azul se obtiene un número par, es independiente de cualquier evento definido para el dado rojo.


¿Qué diferencia hay entre posible y probable?

Mis respuestas


5 1

64

32

Actividades

1. En una urna se tienen 6 fichas rojas y 3 azules, además las fichas están numeradas del 1 al 9.

Calcula la probabilidad de los eventos descritos en cada inciso.a) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una ficha roja?b) ¿Cuál es la probabilidad de extraer una ficha azul?c) Si todas las fichas azules tienen números impares, ¿cuál es la probabi-

lidad de sacar una ficha roja o una ficha con un número impar?

Considera que las fichas están numeradas del 1 al 9 iniciando por las azules.d) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha azul que tenga un número

par?e) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha azul que tenga un número

impar?f) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja que tenga un número

par?g) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja que tenga un número

impar?h) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea azul o que no

tenga un número par?i) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea azul o que no

tenga un número impar?j) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea roja o que no

tenga un numero par?k) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha que no sea roja o que no

tenga un número impar?l) ¿Cuál es la probabilidad de sacar una ficha roja que sea una ficha impar?

2. De los eventos de arriba indica al menos dos parejas de eventos que sean complementarios.

3. Inventa dos parejas de eventos que sean independientes entre ellos

Evento 1: Evento 2:

Evento 3: Evento 4:

24 25

1. La siguiente gráfica muestra la preferencia de los alumnos de una secundaria por los colores que en ella se indican.

Color favorito

Azul

Rojo

Verde

Morado

a) ¿Qué color tiene el doble de preferencia que el verde?

b) ¿Entre qué pareja de colores la preferencia es la misma que la del morado?


Práctica 7 Encuestas y estadísticas En la estadística es muy importante tener en cuenta los siguientes conceptos para poder tomar decisiones de manera adecuada.

Población. Es el conjunto de todos los elementos sobre el cual se está realizan-do la toma de datos o la observación de alguna o algunas características. En la mayoría de los casos se comparan poblaciones para establecer similitudes y diferencias.

Muestra. Cuando se va a hacer un estudio de alguna característica en específico de un grupo o parte de una población, es importante establecer el tamaño de una muestra (un grupo pequeño respecto al total de la población) ya que sería difícil y costoso entrevistar y obtener datos de toda la población. El tamaño de una muestra es siempre menor que el tamaño de la población.

Muestreo. Son las técnicas usadas para establecer el levantamiento de datos de la población. Normalmente se establece un cuestionario o entrevista como técnica principal del muestreo. También se entiende por muestreo a la acción o las acciones a realizar.

Encuesta. Son una serie de preguntas que se pueden realizar mediante un cuestionario o una entrevista acerca de algunas de las características corres-pondientes a la población. Es importante mencionar que en la toma de datos no se deben alterar los mismos, ya que de hacerlo puede provocar que se efec-túen tomas de decisiones incorrectas. Manejo de la información. Es el análisis cuantitativo de todos los datos del muestreo. Generalmente se establecen los instrumentos por analizar mediante la encuesta para poder presentar los datos, ya sea en forma de gráficas o tablas para poder establecer comparaciones con otros estudios hechos anteriormente. Por ejemplo, si queremos saber el desempeño de los alumnos en la materia español en una secundaria, es importante tener en cuenta:

• La población es el total de alumnos inscritos en la secundaria en la que se va a hacer el estudio.

• La muestra debe incluir el mismo porcentaje de hombres que de mujeres res-pecto de la población total y porcentajes correspondientes dependiendo de la cantidad de alumnos en cada grado.

• La muestra debe de incluir estudiantes de las diferentes estructuras socioeco-nomicas del país, en porcentajes significativos.

• El tipo de preguntas debe de ir enfocado al aprovechamiento de la materia español y referentes a los aprendizajes de dicha materia.

• Se debe indicar si el estudio va a ser anónimo y si los datos se van a manejar de manera confidencial.

• Se debe decidir la manera en que se va a manejar la información y como se va a presentar la misma.


¿Por qué es importante hacer un estudio de las enfermedades en los niños y los adultos?

Mis respuestas


Actividades

1. Se va a determinar el tipo de programas que les gusta más a los alumnos de secundaria. El estudio distinguirá entre programas deportivos, series de televisión, caricaturas, películas y telenovelas.

Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la población de estudio?

b) ¿Cuáles son las características más importantes que debe cubrir la muestra?

c) Indica qué tipo de muestreo utilizarían.

d) Elabora al menos tres preguntas que incluirías en la encuesta.

e) Apliquen la encuesta y presenten los resultados usando gráficas circula-res o de barras.

2. Se va a determinar si los materiales que se utilizan en el laboratorio de química son suficientes para poder realizar los experimentos.

Contesten las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es la población de estudio?

b) ¿Cómo se deben seleccionar los alumnos que intervendrán en el estudio?

c) ¿Cuáles son las características más importantes que debe cubrir la mues-tra?

d) Indica qué tipo de muestreo utilizarían.

e) Elabora al menos tres preguntas que incluirías en la encuesta.

f) Apliquen la encuesta y presenten los resultados usando gráficas circula-res o de barras.

26 27

Adivina la edad

Puedes adivinar la edad de cualquier persona siguiendo el pro-cedimiento que a continuación se describe:

a) Pide a alguien que le asigne a cada mes del año un núme-ro, es decir, enero es 1, febrero es 2, etc. Pide que identifi-que el número que corresponde al mes en que nació. (Por ejemplo, supongamos que nació el 22 de noviembre de 2000, entonces el mes es el 11)

b) Pide que duplique el número correspondiente al mes de su nacimiento y le sume 5 al resultado. (De acuerdo con el ejemplo, el doble de 11 es 22; 22 + 5 = 27)

c) Luego indícale que el resultado que obtuvo lo multipli-que por 50. (En este caso, 27 × 50 = 1 350)

d) Ahora indica que al resultado anterior le sume su edad. (1 350 + 14 = 1 364)

e) Pide que te dé el número resultante y réstale mentalmente 250. (1 364 – 250 = 1 114)

f) El número que obtendrás tiene tres o cuatro cifras. La in-terpretación de esta cantidad es la siguiente:

• Las dos últimas cifras corresponden a la edad que tiene la persona.

• La primera o las dos primeras cifras corresponden al mes de nacimiento. (En el ejemplo, el resultado es 1 114, las dos primeras cifras son el mes de nacimien-to: noviembre; y las dos últimas cifras son la edad: 14 años).

Practica este truco con tus amigos y familiares. ¡Sorpréndelos!

NotasMatemáticascuriosas

28 29

Bloq

ue 2

28 29

Contenido

Desafío 2Teorema de Pitágoras

Prácticas8. Problemas de factorización9. Rotación y traslación10. Simetría axial y central11. El Teorema de Pitágoras12. Ejercicios del Teorema de Pitágoras13. Eventos mutuamente excluyentes y complementarios


Transformaciones (reflexión, rotación o traslación) que se aplican a una figura para obtener la figura transformada.

Problemas que implican el uso del teorema de Pitágoras.

En este bloque estudiarás:

30 31

ConsignaEn parejas efectúen el siguiente procedimiento.

1. Reúnan el siguiente material:

• 3 hojas de papel (puede ser de colores).• Juego de geometría.

2. En cada una de las hojas de papel construyan lo que se indica.

a) Dibujen un triángulo rectángulo que tenga las medidas del que se mues-tra (aproximadamente en el centro de la hoja).

Desafío

b) En la primera hoja construyan triángulos equiláteros sobre cada uno de los lados del triángulo, es decir, uno sobre el lado de 4.5 cm, uno sobre el lado de 6 cm y uno más sobre el lado de 7.5 cm.

c) En la segunda hoja construyan cuadrados que tenga la medida de cada uno de los lados, uno sobre cada lado.

d) En la tercera hoja construyan una semicircunferencia que su diámetro sea la medida del lado sobre cada uno de ellos.

3. Con la construcción de la hoja 2, sabemos que el área de los cuadrados cons-truidos sobre los catetos es igual al área del cuadrado construido sobre la hipotenusa.

a) ¿Sucede lo mismo con el área de los triángulos equiláteros construidos sobre los catetos, respecto del área del triángulo equilátero construido sobre la hipotenusa? Expliquen.

b) ¿Sucede lo mismo con el área de las semicircunferencias construidas sobre los catetos, respecto del área de la semicircunferencia construida sobre la hipotenusa? Expliquen.

c) Calcula las áreas de los triángulos y las semicircunferencias para verificar tu respuesta.

Que los alumnos comprendan de manera empírica el teorema de Pitágoras. Si bien, el teorema de Pitágoras se enuncia de manera algebraica, su enunciado geométrico ampliado es representativo de la situación.


Mis respuestas


Teorema de Pitágoras

2

4.5 cm

7.5 cm

6 cm

32 33

Práctica 8¿Por qué las ecuaciones de segundo grado pueden tener una o dos soluciones?


Mis respuestas



1. Resuelve las siguientes operaciones:

a) 3 (5 + 2) = b) −7 (−2 − 1) = c) 3 (−5 + 3) =

d) (−3 + 2) 2 =

Resolver problemas que impliquen la solución de ecuaciones de segundo gra-do, puede ser más simple si se identifican los factores de estas ecuaciones. El proceso para conocer estos factores se conoce como factorización. Si se reco-noce el tipo de ecuación que se debe resolver, es posible conocer de antemano la factorización que se debe realizar.

Por ejemplo, el desarrollo del binomio al cuadrado (x + 3)2 da como resultado x2 + 6x + 9, por tanto, si partimos de la expresión x2 + 6x + 9, la podemos poner como el producto de (x + 3)(x + 3).

Para resolver ecuaciones de segundo grado por factorización se hace lo siguiente:

• Primero se iguala a cero la ecuación; x2 + 5x + 6 = 0

• Luego se busca la factorización; dos números que sumados den como resul-tado el coeficiente del termino en x (en este caso 5) y multiplicados den el término independiente (en este caso 6). Los números buscados son 2 y 3.

• Una vez encontrados los números se colocan en los binomios: (x + 3)(x + 2) = 0.

• Finalmente, las soluciones de la ecuación son x1 = −3 y x2 = −2.

• Por último, se verifica si los valores encontrados son soluciones de la ecua-ción original. Para ello se sustituyen en lugar de x y se realizan las operaciones para comprobar la igualdad. Para −3:

(−3)2 + 5(−3) + 6 = 9 − 15 + 6 = 0Para −2:

(−2)2 + 5(−2) + 6 = 4 − 10 + 6 = 0

Ahora observa el siguiente método. Si se tiene la ecuación x2 − 8x = 0, se reescri-be la ecuación de la siguiente forma:

0 = x2 − 8x = (x + __)(x + __)

Se buscan dos números que sumados den −8 y multiplicados den 0. Los números son −8 y 0.

x2 − 8x = (x − 8)(x + 0).

Las soluciones son: x1 = 8 y x2 = 0.

También hay ecuaciones con una sola solución. Por ejemplo, la ecuación x2 + 8x + 16 = 0 se factoriza como:

x2 + 8x + 16 = (x + 4)(x + 4)

Las dos soluciones de esta ecuación son ambas iguales a −4.

Problemas de factorización1. Resuelve los siguientes problemas.

a) Para la ecuación 10x − x2, calcula el valor cuando:

•x = 5.

•x = 10.

b) La altura de un rectángulo mide x y su altura x + 4.

•Escribe la fórmula para calcular el área del rectángulo.

•Si el área del rectángulo es de 32 cm2, ¿cuáles son las medidas del rec-tángulo?

c) ¿Qué números consecutivos dan como resultado 56?

d) Escribe una ecuación de segundo grado en la que los números 7 y 11 sean las soluciones.

e) Si los catetos de un triángulo rectángulo miden x y x + 1 centímetros, y el área del triángulo es de 120 centímetros cuadrados, ¿cuál es la medida de cada cateto?

Actividades

34 35

1. Realiza las transformaciones de las siguientes figuras.

a) Una traslación de la figura A desplazándola dos unidades hacia la dere-cha y cinco unidades hacia abajo.

b) Una rotación de la figura B respecto al eje x.

2. Realiza las transformaciones de las siguientes figuras.

a) Una reflexión de la figura A respecto a la recta l y luego una traslación de siete unidades hacia la derecha y tres unidades hacia abajo.

En algunas ocasiones requerimos copiar un dibujo o un mapa, para ello es im-portante tomar en cuenta que las formas no deben cambiar.

Las siguientes definiciones nos serán útiles para poder trazar figuras en el plano cartesiano, ya sea en la misma o distinta posición.

TraslaciónUna traslación es cuando una figura cambia de lugar sin cambiar de orienta-ción. Por ejemplo, la figura roja es la traslación de la figura azul; en este caso la figura se trasladó ocho unidades (o cuadros) hacia la derecha.

ReflexiónLa reflexión de una figura se da como en un espejo. Para trazar la reflexión de una figura respecto a una recta, se trazan líneas perpendiculares a la recta des-de esta a los puntos de la figura y copiar su medida del otro lado de la recta a partir de esta. Por ejemplo:

En el plano la figura A es la original. La figura B es una traslación de la figura A, se movió cinco unidades hacia abajo y cuatro unidades hacia la derecha. La figura C es una rotación de la figura A respecto al eje x. La figura D es una re-flexión de la figura C respecto del eje y.

Práctica 9


1. Responde verdadero o falso para cada enunciado.

a) Todos los cuadrados tienen la misma forma y el mismo tamaño:

b) Todos los triángulos rectángulos son de la misma

forma:

Rotación y traslación¿Una rotación respecto a una línea cambia de posición la figura?


Mis respuestas


Actividades

D C

A

B

A

P

l

654321

-1-2-3-4-5-6

-6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

A

B

y

x

36 37

Práctica 10


¿Todos las formas y figuras tienen un eje de simetría?


Mis respuestas


1. Responde verdadero o falso para cada enunciado.

a) Si se traza una mediatriz sobre un lado de un

triángulo equilátero se forman dos triángulos semejantes:

b) Si se traza la bisectriz del

ángulo diferente de un triángulo

isósceles los triángulos

formados no son semejantes:

Hacer el trazo de figuras semejantes midiendo ángulos y medidas de lados pue-de llegar a ser complicada y de mucho trabajo. Sin embargo, la simetría axial y la simetría central nos permitirán explorar de una mejor manera las propiedades de las figuras semejantes.

Simetría central La simetría central es la que se da cuando dos figuras son simétricas con res-pecto a un punto. Para trazar una figura simétrica a otra con respecto al punto, se trazan rectas que van desde cada vértice de la figura al punto y se prolongan más allá de este. Después, se miden las rectas de los vértices al punto y se copia la medida en las prolongaciones de cada recta. En estas medidas se marcan los vértices de la nueva figura para trazarla. Observa este procedimiento en la siguiente figura.

Para trazar una figura de la mitad del tamaño de la original se debe dividir cada distancia, de los vértices de la figura al punto, entre dos y en estas medidas mar-car los vértices de la nueva figura y trazarla.

Simetría axialLa simetría axial se da cuando dos figuras son simétricas con respecto a una recta (eje de simetría). Para trazar una figura simétrica con respecto a una recta, se trazan rectas perpendiculares al eje de simetría que vayan desde cada vértice de la figura y se prolonguen la misma distancia más allá del eje. Observa este procedimiento en la siguiente figura.

Simetría axial y central

C

B

A

O

A´

B´

C´

A

B

C

A´

B´

C´

e

1. Traza las figuras que se indican.

a) Un triángulo simétrico al verde del doble de tamaño. El eje de simetría debe ser el punto A.

b) Un triángulo simétrico al verde de la mitad de tamaño. El eje de simetría debe ser el punto B.

2. Utiliza la simetría axial para completar la siguiente figura.

Actividades

A

B

P

38 39

1. Utiliza los datos de las figuras para completar la tabla.

ActividadesPráctica 11

Si los lados de un triángulo cumplen la relación del teorema de Pitágoras, ¿se trata de un triángulo rectángulo?


Mis respuestas


En un triángulo rectángulo, a los lados que forman el ángulo recto se les llama catetos y al lado opuesto al ángulo recto se le llama hipotenusa.

A la relación que tienen las medidas de los lados en cualquier triángulo rectán-gulo se le conoce como Teorema de Pitágoras, el cual dice: la suma del cuadrado de cada uno de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa.

En la siguiente imagen se muestra un triángulo rectángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 centímetros respectivamente. Si se contruye un cuadrado en cada lado del triángulo y se calcula el área de cada uno, se obtiene que la suma del área de los cuadrados que se forman en los catetos es igual al área del cuadrado que se forma en la hipotenusa. Como puedes ver, se cumple el Teorema de Pitágoras.

El Teorema de Pitágoras


1. Resuelve.

a) 32 + 42 = b) 602 + 52 = c) (1.5)2 + 22 =

c = 5 cm

b = 4 cm

a =

3 cm

AA = 9 cm2

BB = 16 cm2

CC = 25 cm2

hipotenusa

cateto

cateto

a

bc Teorema de Pitágoras

a2 + b2 = c2

13 cm

12 cm

5 cm A

C

B

17 cm

15 cm

8 cmA

C

B

61 cm 60 cm

11 cm

C B

A

Triángulo A2 B2 A2 + B2 C2

a)

b)

c)

¿Cuál o cuáles de los triángulos no es un triángulo rectángulo?

2. Determina si las siguientes medidas de los lados de un triángulo cumplen la relación del teorema de Pitágoras.

a) Catetos: 1.5 cm y 2 cm; hipotenusa, 2.5 cm.

b) Catetos: 6 cm y 2.5 cm; hipotenusa, 6.5 cm.

c) Catetos: 1cm y 2 cm; hipotenusa, 2 cm.

d) Catetos: 6 cm y 8 cm; hipotenusa, 9 cm.

e) Catetos: 6 cm y 8 cm; hipotenusa, 10 cm.

f) Catetos: 10 cm y 4 cm; hipotenusa, 11 cm.

3. Construye los triángulos del ejercicio anterior que cumplen con el Teorema de Pitágoras.

b)

c)

a)

A

B

C

40 41

Práctica 12¿Por qué el teorema de Pitágoras no funciona para todos los triángulos?


Mis respuestas


El Teorema de Pitágoras se puede utilizar cuando se desconoce una de las medi-das de un triángulo rectángulo. En el siguiente ejemplo se conocen las medidas de los catetos del triángulo rectángulo pero se desconoce la hipotenusa.

Para conocer el valor de la hipotenusa (x) se escribe la relación del Teorema de Pitágoras y se sustituyen los valores conocidos.

82 + (15)2 = x2

Se resuelve la ecuación: 64 + 225 = x2

x2 = 289

x = √289 = ±17

Finalmente, como la medida del lado es positiva, se descarta la solución nega-tiva. Por tanto, la hipotenusa del triángulo mide 17 cm.

Analiza la forma en que se resuelve el siguiente problema: si la base de un trián-gulo isósceles mide 4 cm y su altura mide 8 cm, ¿cuál es la longitud de los lados del triángulo?

Se traza la figura correspondiente, en la cual se puede ob-servar que los catetos miden 2 cm y 8 cm, respectivamente, y lo que hace falta conocer es la hipotenusa. Se escribe la relación del Teorema de Pitágoras:

22 + 82 = x2

Se resuelve la ecuación: 4 + 64 = x2

x2 = 68

x = √68 = ±8.24

La medida de los dos lados es de 8.24 cm.

Ejercicios del Teorema de Pitágoras


1. Resuelve.

a) 52 − 42= 2

b) 602 − 52 = 2

c) (2.5)2 − 22 = 2

15 cm

x8 cm

4 cm

8 cm

Actividades

1. Calcula la altura de la casa si sabemos que la escalera mide 18 metros, está colocada a 5 metros del edificio y apoyada en la pared.

2. Calcula la altura de un triángulo equilátero que mide 4 centímetros de cada lado.

3. Calcula la medida que falta en cada triángulo.

a)

b)

18 metros

5 metros

4 cm

4 cm

4 cm

c

b

513

12 9

42 43

Práctica 13¿Hay eventos que son excluyentes y que no sean complementarios?


Mis respuestas


Para calcular la probabilidad de que ocurran ciertos eventos, es importante sa-ber identificar de que tipo de eventos se tratan.

Regla de la sumaSirve para calcular la probabilidad de que dados dos eventos (A y B), ocurra al menos uno de ellos. La probabilidad de que ocurra el evento A, o bien, el evento B, se calcula como la suma de la probabilidad de que ocurra cada evento por separado menos la probabilidad de que ocurran los eventos de manera simul-tánea. Es decir:

P(A o B) = P(A) + P(B) − P (A y B)

Un caso particular es cuando la probabilidad de ocurrencia simultánea de dos eventos diferentes es igual a cero. Por ejemplo, si se va a lanzar un dado y el evento A es que salga 2, mientras que el evento B es que salga 4, P(A) = 1

6 y P(B) = 16 ,

pero la probabilidad de que salga un 2 y un 4 a la vez es cero, es decir, P(A y B) = 0. Por otro lado, si el evento C es que el dado caiga en 2 o en 4 (C = A o B) la proba-bilidad es:

P(A o B) = P(A) + P(B) = 16 + 1

6 = 26

De este modo es importante identificar este tipo de situaciones. Dos eventos son mutuamente excluyentes si no hay posibilidad de que ocurran de manera simultánea, en este caso la probabilidad de ocurrencia es simplemente la suma de las probabilidades.

También existen eventos que pueden complementarse entre sí. Por ejemplo, si se va a lanzar un dado y el evento A es que salga un número impar, entonces el evento complementario de A es que al lanzar el dado salga un número impar.

Dos eventos A y B son complementarios si:

• La probabilidad de ocurrencia de A y B de manera simultánea es cero.

• La probabilidad de que ocurra A o de que ocurra B es uno (1).

Al complemento de un evento A se le nombra A´.

Por ejemplo, en el caso de que el evento A sea que al lanzar un dado salga un núme-ro par, su complemento A´ es que salga un número impar y además se cumple que no puede salir un número par e impar a la vez, es decir, P(A y A´) = 0.

La probabilidad de ocurrencia es P(A o A´) = P (A) + P(A´) = 1.

Eventos mutuamente excluyentes y complementarios 1. En una urna hay 3 canicas blancas, 4 negras y 8 amarillas. Calcula la probabi-

lidad de que ocurran los siguientes eventos.

a) Se saque una canica blanca.

b) Se saque una canica que no sea amarilla.

c) Se saque una canica blanca o amarilla.

d) Se saque una canica que sea negra o amarilla.

2. A una excursión asistieron 42 niños de 14 años, 66 niños de 15 años y 32 ni-ños de 16 años. Uno de los niños se separa de los demás para ir al sanitario.

Calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.

a) Que el niño que se separó no tenga 16 años.

b) Que el niño que se separó tenga 14 años; o bien, 16 años

c) Que el niño que se separó tenga 15 o 16 años

3. Para la fiesta de cumpleaños de Rebeca, llegaron 56 niños, las características

de éstos son: 18 compañeros de escuela, 12 familiares, 20 compañeros de su clase de natación y 6 llegaron sin invitación. Uno de los asistentes se fue antes de que se partiera el pastel. Calcula la probabilidad de cada uno de los siguientes eventos.

a) El invitado que se fue va a la misma clase de natación o llego sin invitación.

b) El invitado que se fue es un familiar.

c) El invitado que se fue es un familiar o un compañero de escuela.

d) El invitado que se fue va a su clase de natación o es un compañero de escuela.

Actividades


1. Indica qué región de la figura tiene mayor área.

4 cm

2 cm

44 45

Multiplicaciones por 2 y mitades

Lee el siguiente relato.

Hace algunos años cuando estudiaba en la facultad de ciencias de la UNAM, me encontré con un compañero que me dijo que solamente sabía multiplicar por dos y sacar mitades. Yo no creí que hubiera llegado a la facultad sin saber multiplicar por otras cantidades.

Él me dijo que sí sabía multiplicar por cualquier número pero solamente usaba multiplicaciones por 2 y sacaba mitades.

Incrédulo le dije que si me podía explicar.

-¡Por supuesto!- me dijo, -dime qué números quieres que multi-plique-

Yo le dije: -Multiplica 28 por 17-

Y en un pedazo de papel escribió lo siguiente.

Número que disminuye (a la mitad)

Número que aumenta (al doble)

Suma

28 17

14 34

7 68 68

3.5→3 136 136

1.5→1 272 272

476

Después de efectuar su procedimiento, finalmente me dijo: -El resultado es 476-.

Le pedí que me explicara que hizo y me dijo: -En cada colum-na coloqué uno de los factores. Al primer factor le fui sacando su mitad, si el resultado es decimal lo redondeo hacia abajo. Al otro factor lo fui duplicando. Finalmente, sumé los resultados que da el duplicar el segundo factor, pero solamente aquellos que corres-ponden a las cifras impares que dan al sacar la mitad del primer factor. El número que me dio es el resultado de multiplicar los dos factores (28 y 17).

Practica este procedimiento y trata de averiguar por qué funciona.

Matemáticascuriosas

Notas

46 47

Bloq

ue 3 Contenido

Desafío 3Ecuaciones cuadráticas

Prácticas14. Fórmula general15. Problemas de congruencia y semejanza16. Teorema de Tales17. Homotecia18. Gráficas de funciones cuadráticas19. Gráficas de diferentes formas20. Eventos independientes


Problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.

Problemas de congruencia y semejanza.


48 49

ConsignaEn equipos de tres compañeros, planteen y resuelvan los siguientes proble-mas.

1. El profesor Luis pidió el apoyo de algunos padres de los alumnos de una se-cundaria para cercar un terreno con forma rectangular de 750 m2, que será destinado a construir un vivero y un pequeño huerto. Como parte de los trabajos de construcción, se usaron 110 m de malla para cercar el terreno.

Con estos datos, el profesor Luis debe entregar un proyecto con las dimen-siones del terreno y los costos que se requerirán. Ayúdalo a encontrar algu-nos de esos datos.

a) ¿Cuáles son las medidas del terreno?

Largo:

Ancho:

Desafío

2. El profesor consideró que era oportuno compartir algunos problemas si-milares al del terreno con sus alumnos:

a) Los lados de un triángulo rectángulo son tres números enteros conse-cutivos, ¿qué números son estos?

Catetos: y

Hipotenusa:

b) En la ecuación x2 − kx + 36 = 0, ¿qué valor tiene k?

Valor de k :

3. Compartan sus resultados con otros equipos.

4. Comente qué procedimientos emplearon para dar respuesta a cada una de las situaciones.

Que los alumnos resuelvan problemas en los que deban plantear y resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita.


Mis respuestas


Ecuaciones cuadráticas

3

50 51

¿Por qué hay ecuaciones de segundo grado que no tienen solución?


Mis respuestas



1. Calcula el valor de y para cada uno de los valores de x en la expresión.

x2 − 6x + 3 = y

• x = −2, y = • x = −1, y = • x = 0, y = • x = 1, y = • x = 2, y =

Para encontrar las soluciones de una ecuación de segundo grado con una in-cógnita el método más eficiente es el de la fórmula general.

Una ecuación de la forma:

ax2 + bx + c = 0

Tiene como solución:

x = −b ± √b − 4ac2a

2

Esta última es la fórmula general. Nota que la letra a representa el coeficiente del término cuadrático, la b representa el coeficiente del término lineal y la letra c representa el término independiente.

El primer paso para aplicar la fórmula es igualar la ecuación a cero.

Por ejemplo en la ecuación:

2x2 − 6x + 3 = 0

Los valores de los coeficientes son:

a = 2 b = −6

c = 3

Se sustituyen en la fórmula general:

x = −(−6) ± √(−6) − 4(2)(3)2(2)

2

Se realizan las operaciones:

x = 6 ± √36 − 244

= 6 ± √124

Se toma la raíz positiva y luego la negativa para encontrar las dos soluciones:

x1 = 6 + √124

= 2.36 x2 = 6 − √124

= 0.63

Fórmula general Práctica 14 1. Resuelve las siguientes ecuaciones con la fórmula general.

a) 2x2 + 4x − 6 = 0

b) 7x2 + 21x − 28 = 0

c) −x2 + 4x −7 = 0

d) 12x2 − 3x + 3 = 0

2. El área del rectángulo es de 91 cm2. Encuentra la medida de cada uno de los lados.

3. Calcula el perímetro del triángulo si se sabe que su área es de 6 cm2.

Actividades

x + 1

x

x + 6

x

52 53

1. Determina el valor de x en cada una de las siguientes figuras. Utiliza los crite-rios de congruencia y semejanza.

2. Resuelve los siguientes problemas.

a) La sombra de un edificio se proyecta a 100 m de la pared. Si se coloca una regla de 1 m a una distancia de 1.28 m de donde termina la sombra, como se muestra en la imagen, la sombra de la regla coincide con la del edificio. ¿Cuál es la altura del edificio?

b) Dos vigas de 5.7 m de largo se colocan como se muestra en la figura. Si en la base las vigas quedan separadas por 1.8 m y la altura del triángulo mayor es 4 veces la del triángulo más pequeño, ¿a qué distancia quedaron los extremos superiores de las vigas?

Si las vigas forman dos triángulos isósceles, ¿a qué distancia del suelo se cruzan las vigas?

¿Crees que para el cálculo de medidas que no se puedan hacer directamente, solamente se pueden utilizar los criterios de congruencia y semejanza? Explica tu respuesta.


Mis respuestas



1. Determina si los enunciados son verdaderos o falsos.

a) Si una figura A es congruente a una figura B y la figura B no es congruente a una figura C. Entonces la figura A no es congruente a la figura C.

b) Si una figura A es semejante a una figura B y la figura B es semejante a una figura C. Entonces la figura A es semejante a la figura C.

Práctica 15 Problemas de congruencia y semejanzaLos criterios de semejanza y de congruencia son útiles para determinar algu-nas medidas y resolver problemas. Por ejemplo, para determinar el valor de x en la siguiente figura.

Podemos identificar que los triángulos ABD y DBC son congruentes debido a que:

• El lado AB mide lo mismo que el lado BC.• El lado BD es común a ambos triángulos.• Ambos triángulos son triángulos rectángulos.

De este modo, por el criterio de congruencia Lado, Lado, Lado (LLL) los triángu-los ABD y DBC son congruentes. Por tanto, el segmento CD (x) mide 4.7.

Ahora, observa lo que sucede cuando dos triángulos son semejantes.

Como las rectas BE y CD son paralelas, los ángulos en B y C son iguales, lo mis-mo que en E y D. Por el criterio ángulo, ángulo, ángulo (AAA), los triángulos ABE y ACD son semejantes.

Los segmentos correspondientes son proporcionales, 2aa

= x + 3x + 1

, pero como 2aa

= 2, entonces:

2 = x + 3x + 1

Se despeja la ecuación: 2(x + 1) = x + 3, 2x + 2 = x + 3, 2x − x = 3 − 1, por último x = 2.

Actividades

x + 1

7 − 2x

3b

b

x12

1.8 cm

1.28 m

1 m

100 m

x

4.7

A

B C

D

a

a

x + 3

x + 1

A

B

C D

E

54 55

¿Qué sucede en el teorema de Tales si todas las rectas son paralelas?


Mis respuestas


Práctica 16


1. Determina si los enunciados son verdaderos o falsos.

a) Si una figura A es congruente a una figura B y la figura B es congruente a una figura C. Entonces la figura A es congruente a la figura C.

b) Si una figura A es semejante a una figura B y la figura B no es semejante a una figura C. Entonces la figura A es semejante a la figura C.

Teorema de TalesEl teorema de Tales proporciona una herramienta poderosa para calcular me-didas desconocidas y también dividir segmentos en partes iguales.

Una de las versiones del teorema de Tales dice:

“Si a dos rectas cualesquiera (como las rectas l1 y l2) son cortadas transversal-mente por dos o más rectas paralelas entre sí (como las rectas r1, r2 y r3) enton-ces los segmentos de recta que se forman tienen una relación de proporciona-lidad directa”.

La relación de proporcionalidad que se forma es:

ABA´ B´

= BCB´ C´

O bien

ABA´ B´

= ACA´ C´

O bien

BCB´ C´

= ACA´ C´

1. Utiliza el teorema de Tales para calcular el valor de x.

2. Resuelve el siguiente problema.

En la colonia de Juan hay dos avenidas que atraviesan tres calles paralelas como se muestra en el mapa.

• Juan vive en la esquina de Jazmín y Av. Las Flores.• La distancia de la casa de Juan a la tintorería es de 134 metros.• La distancia de la casa de Juan a la farmacia es de 103 metros.• Claudia vive en la esquina de la Rosa y Av. Los Pinos.• La distancia de la casa de Claudia a los abarrotes don Manolo es de 207 metros.

¿Qué distancia hay de la casa de Claudia a la heladería?

Actividades

17

x

7

13

2x − 6x − 4

43

C. de la Rosa

C. de Jazmín

C. Violeta

Av. Las Flores

Av. Los Pinos

Claudia

TintoreríaLa plancha de vapor

Abarrotes Don Manolo

Juan

Helados Polo Norte

FarmaciaSan Tito

a) b)

l1

A

B

A´

B´

l2

r1

r2

r3

56 57

1. Dibuja una figura semejante al siguiente triángulo donde cada una de las me-didas de la nueva figura mida la tercera parte de la original.

2. Dibuja una figura semejante a la siguiente. Su tamaño debe ser más grande que el de la original. Utiliza el centro de homotecia.

3. Las siguientes figuras son homotéticas encuentra el centro de homotecia y determina la razón de semejanza entre las figuras.


1. Tacha las figuras que son semejantes a la figura roja.

¿Qué relación hay entre la simetría central y la homotecia?


Mis respuestas


Práctica 17 HomoteciaUna homotecia es una transformación hecha en alguna figura geométrica de tal manera que la figura resultante es semejante a la figura original.

Para trazar una figura homotética a otra se hace lo siguiente.

Se elige un punto fuera de la figura, se trazan rectas de ese punto a cada uno de los vértices de la figura y se prolongan.

Para hacer una figura del doble del tamaño de la original, se copia la distancia de cada vértice al punto y la colocamos sobre la recta que une al vértice.

Finalmente, se unen los puntos y la figura formada tiene el doble del tamaño de la original.

Para hacer una figura del triple del tamaño de la original, se realizan los mis-mo pasos, pero ahora se copia el doble de la distancia. Para hacer una figura de la mitad del tamaño, se divide la medida entre dos y se copia del punto hasta antes de cada vértice. El punto se llama centro de la homotecia.

Actividades

58 59

Una función cuadrática en general es de la forma:

f(x)= y =ax2 + bx + c

Para elaborar la gráfica de una ecuación cuadrática se construye una tabla de valores para determinar los puntos donde pasará la gráfica.

Por ejemplo, para las ecuaciones.• y = x2 − 2• y = −x2 + 3

La tabla de valores para cada una de ellas es:

Después, se ubican los puntos correspondientes en el plano cartesiano.

A este tipo de curvas se les llama parábolas.


1. Calcula el valor para y cuando el valor de x es de −2, −1,0,1,2. y = 2x + 3

Práctica 18 Pregunta de reflexión

¿Por qué la parábola se considera cónicas?

Mis respuestas


Gráficas de funciones cuadráticas

Valor de x

Valor de y = x 2 − 2

−3 y = (−3)2 − 2 = 9 − 2 = 7

−2 y = (−2)2 − 2 = 4 − 2 = 2

−1 y = (−1)2 − 2 = 1 − 2 = −1

0 y = (0)2 − 2 = 0 − 2 = −2

1 y = (1)2 − 2 = 1 − 2 = − 12 y = (2)2 − 2 = 4 − 2 = 2

3 y = (3)2 − 2 = 9 − 2 = 7

Valor de x

Valor de y = −x 2 + 3

−3 y = −(−3)2 − 2 = −9 + 3 = −6

−2 y = −(−2)2 − 2 = −4 + 3 = −1

−1 y = −(−1)2 − 2 = −1 + 3 = 2

0 y = −(0)2 − 2 = 0 + 3 = 3

1 y = −(1)2 − 2 = −1 + 3 = 2

2 y = −(2)2 − 2 = −4 + 3 = −1

3 y = −(3)2 − 2 = −9 + 3 = −6

y = x2 − 2y = −x2 + 3

Actividades

1. La familia del Valle quiere cercar un terreno con 100 m de alambrada.

• Escribe la fórmula para calcular el perímetro de un rectángulo de base a y altura b.

• Escribe la fórmula para calcular el área de un rectángulo de base a y altura b.

• Despeja b de la fórmula del perímetro.

• En la siguiente tabla están anotados los valores de la base a. Completa la tabla con los valores de la altura b de forma que el perímetro sea 100 m y comprueba el valor del área respectiva.

a b = 50 − a 2a + 2b = 100 A = ab

10 100 m 400

20 100 m 600

30 100 m 600

40 100 m 400

• En el siguiente plano cartesiano localiza los puntos de la tabla.

• Según la gráfica, ¿entre qué valores se encuentra el valor máximo del área?

60 61


1. ¿Qué tipos de gráficas conoces?


¿Cómo se llaman las gráficas que están compuestas por varios tipos?

Mis respuestas


Hay muchas situaciones que se pueden plantear elaborando gráficas. En los siguientes problemas construirás gráficas formadas por diferentes secciones.

Gráficas de diferentes formas

Actividades

1. Un repartidor sale del servicio de paquetería en su motocicleta a las 13:30 de la tarde. En quince minutos llega a su primer lugar de reparto que se en-cuentra a 8 km de distancia. Veinte minutos después se traslada al segundo lugar de reparto que se encuentra a 12 km de distancia. Completa la gráfica para determinar la distancia recorrida respecto al tiempo del recorrido del repartidor.

Tiempo en horas Distancia recorrida en kilómetros

13:30 0

13:45 8

14:05

20

En el siguiente plano cartesiano completa el recorrido del repartidor.

2. Otro repartidor que se traslada en bicicleta salió, junto con el repartidor ante-rior del servicio de paquetería a las 13:30 y la velocidad promedio a la que iba fue de 15 kilómetros por hora. Si él se traslada al segundo lugar de entrega:

• ¿Cuánto tiempo tarda en llegar?

• En el mismo plano cartesiano del ejercicio anterior grafica el recorrido del repartidor en bicicleta (usa un color diferente).

3. En una cisterna, que tiene una capacidad de 5 000 litros, hay tres tipos de llaves. La siguiente gráfica muestra el flujo de agua que tiene cada una de las llaves.

¿Cuál de las tres llaves tiene mayor presión al empezar a llenar?

4. Daniela sale de casa y camina a la parada de autobús y espera el transporte que la lleva a la biblioteca. La gráfica muestra el recorrido de Daniela.

• ¿Qué distancia hay de la casa de Daniela a la biblioteca?

• ¿Cuántos minutos tardó en llegar el autobús?13:30 13:45 14:00 14:15 14:30 14:45 15:00 15:15

20

18

16

14

12

10

8

6

4

2

Tiempo (horas)

Dis

tanc

ia (k

m)

Tiempo (h)

1 25 3 4

5000

4000

3000

2000

1000

Cap

acid

ad (l

)

20 40 60 80 100 120

5

4

3

2

1

Tiempo (min)D

ista

ncia

(km

)

62 63

1. Considera el lanzamiento de un dado y calcula las siguientes probabilidades.

a) Que salga un número impar.

b) Que salga un número par.

c) Que salga un número menor o igual que 5.

d) Que salga un número menor que 3.



¿Qué diferencia hay entre eventos mutuamente excluyentes y eventos independientes?

Mis respuestas


Algunos cálculos de probabilidades pueden ser complejos, por esta razón es importante saber identificar el tipo de eventos que se están estudiando.

Por ejemplo, si se lanzan dos dados, uno rojo y uno azul, la probabilidad de que al sumar los números que salen sea 3 es 2

36, ya que solo es posible sumar 3 si el dado rojo sale uno y el azul sale 2, o el rojo sale 2 y el azul sale 1. En este caso solamente hay dos casos favorables y el número de casos totales es 36.

Sin embargo, la probabilidad, de que la suma de los dados sea 2 es 136, pues

solamente hay un caso favorable (que en los dos dados salga 1). En este caso se considera el evento A de que salga 1 en el dado rojo y el evento B que salga 1 al lanzar el dado azul. Ambos eventos tienen la misma probabilidad de ocu-rrir, 1

6.

La probabilidad de que ocurran A y B de manera simultánea es:

P(A) ∙ P(B) = 16 ∙ 1

6 = 136

Cuando dos eventos cumplen esta propiedad se dice que son independientes.

Es decir, dos eventos A y B son independientes si la probabilidad de que ocu-rran los dos de manera simultánea es igual al producto de las probabilidades de cada uno de ellos:

P(A y B) = P(A) ∙ P(B)

Otro tipo de situaciones en donde se presentan estos eventos es cuando se combinan dos situaciones diferentes. Por ejemplo, si se lanza un dado y se ex-trae una bola de una urna que tiene 7 bolas rojas y 8 bolas negras, y el evento C es que salga un número par en el dado y que salga una bola roja, este evento es la combinación de los eventos A y B, donde;

• Evento A: que salga un número par en el dado (P(A) = 12 )

• Evento B: que salga una bola roja de la urna (P(B) = 715)

Entonces:

P(C) = P(A y B) = P(A) ∙ P(B) = 12 ∙ 7

15 = 730

Eventos independientes Actividades

1. Se van a lanzar tres monedas al mismo tiempo. Calcula la probabilidad de que en las tres monedas el resultado sea águila. Además, expresa el evento como eventos independientes.

2. Ana y Araceli tiran un dado al mismo tiempo. Si en alguno de los dados sale un 2 entonces Ana gana, pero si en los dos dados sale un 2, ambas pierden. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas pierdan?

3. Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad de que en uno de ellos salga un número impar y en el otro dado salga un número par?

4. Para hacer una rifa se vendieron 1000 boletos. Cada boleto tiene un número de tres cifras que van desde el número 000 hasta el número 999. Para elegir el número ganador se va a determinar una de las siguientes reglas.

• Regla 1: Se hacen 1000 boletos (uno de cada número), se meten a una urna y de ella se saca el boleto ganador.

• Regla 2: Se hacen tres urnas, se colocan números del 0 al 9 en cada una de ellas y luego se extrae un número de cada una de ellas para formar el núme-ro ganador.

Calcula la probabilidad que hay en cada regla de que un número arbitrario sea el ganador.

64 65

Números capicúa

Se dice que número es capicúa si se lee de izquierda a derecha igual que de derecha a izquierda. Por ejemplo.

El número 55 es un número capicúa.

El 121 también es un número capicúa.

El 23432577523432 es otro.

Una conjetura en matemáticas es el hecho de que, a partir de cualquier número, siempre se puede encontrar un número ca-picúa.

Por ejemplo, si empezamos con el 13, hay que sumarle a este número el mismo número solamente con sus cifras invertidas y al resultado aplicarle el mismo proceso, en algún paso el núme-ro obtenido es un número capicúa.

De esta forma:

13 + 31 = 44

Este número ya es un número capicúa. Probemos ahora con 96.

96 + 69 = 165, no es capicúa.

165 + 561 = 726, no es capicúa.

726 + 627 = 1353, no es capicúa.

1353 + 3531 = 4884, ya es un número capicúa.

Practica este procedimiento y encuentra al menos cinco núme-ros capicúa.


Notas

66 67

Bloq

ue 4 Contenido

Desafío 4Seno, coseno y tangente

Prácticas21. Sucesiones cuadráticas22. Sólidos de revolución23. Elementos de una línea recta24. Elementos de un triángulo rectángulo25. Las razones trigonométricas26. La razón de cambio27. Análisis en las gráficas


Expresiones generales cuadráticas para definir el enésimo término de una sucesión.

Problemas que implican el uso de las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.

El significado del rango y la desviación media.


68 69

ConsignaEn parejas, planteen y resuelvan los siguientes problemas.

Don Emilio es el encargado del mantenimiento de una zona habitacional. Como parte de sus tareas, la administración del lugar le ha solicitado que haga un conteo del número de lámparas fundidas y, la altura a la que se en-cuentran, para sustituirlas por otras nuevas.

Debido a que no tiene una escalera lo suficientemente larga, recurrió a un método indirecto de medición que consiste en utilizar un clinómetro para calcular el ángulo de elevación que se forma entre la horizontal y la línea de visión del observador y al objeto (en este caso la lámpara). Los datos que obtuvo fueron que a una distancia de 7 metros, el ángulo de elevación es de 60°. Además, el clinómetro lo empleó a una altura de 1.5 m res-pecto del piso.

1. Respondan las siguientes preguntas.

a) En el triángulo que se forma, ¿el lado de 7 m es cateto o hipotenusa?

b) El lado correspondiente a la altura, ¿es cateto o hipotenusa?

c) ¿Qué razón trigonométrica involucra estos lados y el ángulo?

d) Con los datos que acaban de definir, ayuden a Don Emilio a calcular la altura de las lámparas.

Altura =

2. Apliquen el razonamiento anterior y resuelvan.

En una revista de interés general, se menciona que de la base de un monte a la cúspide hay una distancia de 650 metros y la pendiente es de 30 gra-dos.

¿Cuál es la altura del monte?

3. Compartan sus respuestas con otros compañeros e identifiquen qué cál-culos hicieron para obtener las respuestas.

Que los alumnos planteen y resuelvan problemas de distancias poco accesibles, usando las razones trigonométricas seno, coseno y tangente.


Mis respuestas


Seno, coseno y tangente

Desafío 4

altura = ?

1.5 m

7 m60O

x

)30o

650m

70 71

¿Para qué se usa la fórmula general de una sucesión de figuras?


Mis respuestas



1. Escribe los tres términos que siguen, en cada sucesión.

a) 1, 3, 5, 7, 9, , , ,…

b) 4, 8, 12, 16, 20 , , , …

Sucesiones cuadráticasPráctica 21 1. Observa la siguiente sucesión de figuras y completa la tabla.

1 2 3 4 5

Número de figura 1 2 3 4 5 6 7

Número de puntos de la figura 2 6

Número de líneas de la figura 1 7

a) Completa la tabla para calcular la fórmula general que define la sucesión de puntos que tiene la figura.

Sucesión 2 6 12 20

Primeras diferencias entre términos consecutivos 6 − 2 12 − 6 20 − 12

4 6 8

Segundas diferencias en-tre términos consecutivos

6 − 4 8 − 6

2 2

b) Usa las ecuaciones de la tabla y calcula la fórmula general de la sucesión de puntos que tienen las figuras.

2a = 23a + b = 4

a + b + c = 2

2. Para la siguiente sucesión de figuras, construye en tu cuaderno las tablas para obtener la fórmula general de la sucesión del número de puntos de cada figura.

1 2 3 4 5

Actividades

En las sucesiones, tanto numéricas como de figuras, se puede encontrar la regla de correspondencia que determina las características de cualquiera de los términos de la sucesión.

Por ejemplo, en la sucesión 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14,…, el primer término de la suce-sión es t1 = 2, el segundo es t2 = 4, el tercer término es t3 = 6, y así sucesivamente; en general el n-esimo término o lugar de la sucesión es tn = 2n.

Hay métodos para encontrar la expresión algebraica de ciertas sucesiones de números o figuras. Por ejemplo, la sucesión 5, 8, 11, 14, 17, 20,… se coloca en una tabla como la siguiente:

Sucesión 5 8 11 14 17 20

Diferencia entre términos consecutivos

8 − 5 11 − 8 14 − 11 17 − 14 20 − 17

3 3 3 3 3

Observa que la primera diferencia de términos consecutivos es constante, en este caso 3. La regla general que modela la sucesión es de la forma 3n + b, y para encontrar el valor de b solo hay que sustituir en el primer término.

5 = 3(1) + b = 3 + b

Es decir b = 2. Por tanto, la fórmula general de la sucesión es 3n + 2.

Para sucesiones más complejas, como 6, 11, 18, 27, 38,…, se elabora una tabla como la siguiente:

Sucesión 6 11 18 27 38 51

Primeras diferencias entre términos consecutivos

11 − 6 18 − 11 27 − 18 38 − 27 51 − 38

5 7 9 11 13

Segundas diferencias entre términos consecutivos

7 − 5 9 − 7 11 − 9 13 − 11

2 2 2 2

Esta expresión es de la forma: an2 + bn + c, donde los números a, b y c cumplen:

2a = 23a + b = 5

a + b + c = 6

Así, a = 1, b = 2 y c = 3.

La expresión algebraica es n2 + 2n + 3.

72 73


Práctica 22

1. Indica cuales de los siguientes nombres son cuerpos geométricos.

a) Cuadrado

b) Cubo

c) Triángulo

d) Pirámide

e) Prisma

f) Esfera

g) Cilindro

h) Cono

¿Cuántas caras tiene un cilindro y cuántas un cono?


Mis respuestas


Un sólido de revolución es el que se obtiene al girar una figura geométrica plana sobre un eje.

Por ejemplo:Si se hace girar un rectángulo sobre uno de sus lados se obtiene un sólido o cuerpo geométrico llamado cilindro, como se muestra en la figura.

Si se hace girar un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos se obtiene un sólido o cuerpo geometrico llamado cono, como se muestra en la figura.

Si tomamos medio círculo y lo hacemos girar con respecto al diámetro se ob-tiene un cuerpo geométrico llamado esfera, como se muestra en la figura.

Sólidos de revolución

Eje de giroEje de giro

Eje de giroEje de giro

Eje de giro Eje de giro

1. En un pedazo de cartulina copia este desarrollo plano y construye un cono.

2. Copia en una cartulina el desarrollo plano del cilindro y ármalo. Elabora una explicación de cómo se hacen las medidas para el desarrollo plano.

Actividades

r

2pr

r

a

74 75

1. Escribe el valor de la pendiente de las siguientes rectas; además, mide con tu transportador y determina cuál recta tiene mayor pendiente.

a)

b)

c)

Práctica 23


1. Indica en cada una de las expresiones cuál es la ordenada al origen.

a) y = 3x + 2

b) y = 5x -2

c) y = -2x2 + 1

d) y = x3 + 4

La pendiente de una recta es el ángulo de inclinación que tiene la recta con respecto a eje horizontal, como se ve en las siguientes figuras.

La recta azul y la recta roja tienen diferente inclinación a simple vista. Observa que se marcó el ángulo que forma cada recta con el eje x. El ángulo de incli-nación de la recta roja es mayor que el ángulo de inclinación de la recta azul.

Hay varias formas de encontrar la pendiente de una recta; por ejemplo, la ecuación de la recta y = ax + b, el número a resulta en la pendiente.

Observa la gráfica de la siguiente ecuación:

y = 23x + 1

La pendiente es 23 e indica que cada que cada vez que se avanzan tres unida-

des hacia la derecha se avanzan dos unidades hacia arriba como se muestra en la gráfica.

Elementos de una línea recta¿Si dos rectas tienen la misma pendiente entonces son la misma recta?

Pregunta de reflexiónActividades

Mis respuestas


76 77

Práctica 24

En dos triángulos rectángulos semejantes, se cumple cierta relación entre al-gunos de los cocientes que relacionan las medidas de sus lados.

Por ejemplo:

Los triángulos son semejantes pues hay una relación de proporcionalidad di-recta entre las medidas de sus lados.

Observa que el ángulo A tiene la misma medida en ambos triángulos. Al lado opuesto al ángulo A se le llama cateto opuesto al ángulo A, al lado que forma el ángulo A, se le llama cateto adyacente al ángulo A.

Para estos ángulos se calculan los cocientes formados por las medidas de sus lados como se muestra en la tabla.

Triángulo naranja

Cociente entre el cateto opuesto al ángulo A

y la hipotenusa

Cociente entre el cateto adyacente al ángulo A

y la hipotenusa

Cociente entre el cateto opuesto al ángulo A

y el cateto adyacente

COH

= 6

10 = 0.6

CAH

= 8

10 = 0.8

COCA

= 68

= 0.75

Y en el triángulo azul.Triángulo azul

Cociente entre el cateto opuesto al ángulo A y la

hipotenusa

Cociente entre el cateto adyacente al ángulo A y

la hipotenusa

Cociente entre el cateto opuesto al ángulo A y el

cateto adyacente

COH

= 35

= 0.6CAH

= 45

= 0.8COCA

= 34

= 0.75

Estas medidas no cambian para los triángulos rectángulos semejantes entre sí.

Elementos de un triángulo rectángulo

1. Lee los siguientes enunciados y marca con ü los que correspondan a propiedades del triángulo rectángulo.

( ) Tiene dos ángulos agudos.

( ) Cumple la relación del teorema de Pitágoras.

( ) Los ángulos que no son rectos miden lo mismo.

1. Para cada uno de los siguientes triángulos, mide los lados y el ángulo A co-rrespondientes. Completa la tabla para calcular los cocientes con respecto a los ángulos indicados.

a)

Medida del ángulo A:

Cateto opuesto entre hipotenusa para

el ángulo A

Cateto adyacente entre hipotenusa para

el ángulo A

Cateto opuesto entre cateto adyacente

al A

b)

Medida del ángulo A:

Cateto opuesto entre hipotenusa para

el ángulo A

Cateto adyacente entre hipotenusa para

el ángulo A

Cateto opuesto entre cateto adyacente

al A

Dados dos triángulos rectángulos semejantes entre sí, ¿por qué solo se hacen los cocientes para los ángulos agudos?


Mis respuestas


Actividades

Cateto adyacente al ángulo A

Cateto opuesto al ángulo A



10 cm6 cm

8 cm

Hipotenusa

A



4 cm

3 cm5 cm

AMatemáticasrápidas

78 79

Práctica 25


1. Indica si es posible construir un único triángulo con las siguientes indicaciones.

a) Que tenga un ángulo recto.

b) Que tenga dos ángulos de 45°.

c) Que dos de sus lados midan 8 cm.

¿Solamente existen estas tres razones trigonométricas?


Mis respuestas


Para cualquiera de los ángulos agudos en un triángulo rectángulo, se dan nombres específicos a los cocientes estudiados en la práctica anterior, de la siguiente manera:

Seno del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo A y la hipo-tenusa.

sen(A) = COH

Coseno del ángulo A es el cociente entre el cateto adyacente al ángulo A y la hipotenusa.

cos(A) = CAH

Tangente del ángulo A es el cociente entre el cateto opuesto al ángulo A y el cateto adyacente al ángulo A.

tan(A) = COCA

Estas tres razones o cocientes son llamadas razones trigonométricas y son muy importantes en la resolución de problemas que implican lados y ángulos de triángulos rectángulos.

Observa que las razones trigonométricas se definieron para la medida de un ángulo específico; es decir, si el ángulo cambia los catetos opuesto y adya-cente cambian con relación al ángulo, por tanto, las razones trigonométricas también cambian.

Las razones trigonométricas

A



Hipotenusa

1. Usa tu calculadora para obtener los siguientes valores.

Razón trigonométrica Medida del ángulo Asen(48°) = cos(A) = 1367tan(12°) = tan(A) = 1cos(69°) = sen(A)= 0.5tan(80°) = tan(A) = 2

2. Usa tu calculadora para obtener el valor del ángulo para cada uno de los siguientes casos.

Medida del ángulo A Razón trigonométricasen(A) = 0.9563 cos (32°) =tan(A) = 9.0036 tan (78°) =cos(A) = 0.9858 sen (21°) =tan(A) = 4846 tan (10°) =

3. Calcula el valor de x para cada uno de los siguintes triángulos.

b)a)

d)c)

f)e)

Actividades

8 cmx

40° x

50° 9 cm

33 cm

42°

x20°

12 cm

x

x

14 cm

30°

38°

18 cmx

80 81

a) ¿Qué competidor va más rápido, el azul o el verde?

b) ¿Qué competidor llegó en segundo lugar?

c) ¿Qué relación hay entre la pendiente y la velocidad a la que corrió cada competidor?.

2. En el gimnasio hay un aparato que se requiere mucha fuerza para usarlo. La gráfica muestra la fuerza que se debe usar y la distancia que se desplaza el aparato.

a) ¿Cuál es la razón de cambio de la gráfica anterior?

b) ¿Qué fuerza hay que ejercer para que el resorte se estire un metro?

3. Una cisterna con agua se vaciará para su limpieza. La gráfica muestra la re-lación entre la altura que tiene el agua de la cisterna y el tiempo transcurrido durante el vaciado.

a) ¿Cuál es la razón de cambio asociada a la gráfica?

b) ¿Qué altura tenía el agua en la cisterna a la hora y media de iniciado el vaciado de la misma?

Práctica 26Cuando dos conjuntos de cantidades están relacionados, al dar un valor para una de las cantidades se obtiene otro valor para su correspondiente cantidad en el otro conjunto. Es importante medir qué tanto cambian estos valores; es decir, si aumentamos cierta cantidad a otra fija, cómo se refleja esto respecto a sus correspondientes cantidades.

Cuando una relación entre dos conjuntos es lineal la razón de cambio es siempre constante y la constante es la pendiente de la recta.

Observa la siguiente gráfica y la relación que la representa. Por cada unidad que se desplaza en el eje x hacia la derecha hay que desplazarse dos unidades hacia arriba en el eje y.

La razón de cambio es 21

= 2. Que es la pendiente de la recta.

La razón de cambio


1. Calcula el valor de y para cada uno de los valores de x indicados.

y = 13

x + 1

Para:x = 2, y =

x = 3, y =

x = 4, y =

Actividades

¿La razón de cambio siempre es constante?


y = 2x − 2

1. La siguiente gráfica muestra la distancia recorrida y el tiempo que hicieron dos competidores en 1000 metros.

Mis respuestas


Fuer

za (N

)

Estiramiento (cm)50

1000

Dis

tanc

ia (m

)

Tiempo (h)2

1

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8

12

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Dis

tanc

ia (m

)

Tiempo (min)10

1000

0

82 83

Práctica 27


¿Para qué se usan las medidas de dispersión?


Mis respuestas


Cuando analizamos los conjuntos de datos para elaborar gráficas y analizar la información obtenida, es importante tener en cuenta las siguientes defini-ciones.

Si ya calculaste el promedio o media geométrica del conjunto de datos, es con-veniente encontrar la media para determinar que tanto se alejan estos entre sí.

Desviación mediaLa desviación media de un conjunto de datos es el promedio de la diferencia entre el valor absoluto de la media y cada uno de los datos.

Dx = x1 − x + x2 − x + ... + xn − x

N

Por ejemplo:

Las calificaciones de Ana en los 5 bimestres fueron: 10, 8, 4,10 y 4. Su promedio es:

P = 10 + 8 + 4 + 10 + 45

= 365

= 7.2

La desviación media es

DM = 10 − 7.2 + 8.7.2 + 4 −7.2 + 10 − 7.2 + 4 − 7.25

=

2.8 + 0.8 + −3.2 + 2.8 + − 3.25

= 2.56

RangoEl rango de un conjunto de datos es la diferencia que hay entre el mayor de los datos y el menor.

Por ejemplo, en el caso de las calificaciones de Ana el rango es:

Rango =10 − 4 = 6

Las estaturas (en metros) de un grupo de 10 amigos son:

1.42 1.40 1.41 1.35 1.43 1.50 1.55 1.49 1.49 1.43

El rango para este conjunto de datos es:

Rango = 1.55 − 1.35 = 0.2

Análisis en las gráficas

1. Calcula la media, la moda y la mediana del siguiente conjunto de datos.

Datos: 10, 9, 11, 15, 13, 12, 11, 13, 15, 20, 15, 13, 12, 11.

Media:

Moda:

Mediana:

1. Juan tuvo las siguientes calificaciones por bimestre: 7, 7, 7, 8 y 8. Calcula el promedio y la desviación media de este conjunto de datos.

a) Compara los promedios de Ana y de Juan y determina a quién le fue mejor.

b) Compara las desviaciones medias para Ana y Juan y determinen cuál es mayor y si eso indica algo significativo en la situación.

2. En un estudio, para comparar el aprovechamiento de los estudiantes del turno matutino y vespertino de primero de secundaria, se obtuvieron los datos que se muestran en la siguiente tabla.

Matutino 6 10 10 8 8 7 9 6 8 5 8 8 7 9 9 10 9 10 6 7

Vespertino 10 10 6 8 9 5 10 10 6 6 8 9 8 10 10 7 6 5 7 10

a) Completa la siguiente tabla usando los datos anteriores. Después responde

las preguntas.

CalificaciónMatutino Vespertino

No. de estudiantes No. de estudiantes

5

6

7

8

9

10

Total

Indicador Calificación Calificación

Media

Mediana

Moda

Desviación Media

Rango

b) ¿Cuántos estudiantes están en los extremos, es decir, con calificaciones de 10 o de 5?

c) ¿Qué indicador de tendencia central (media, mediana o moda) muestra estas diferencias?

d) ¿Qué medida de dispersión (desviación, media o rango) muestra estas diferencias?

Actividades

84 85

Los puentes de Königsberg

En el siglo XVIII, en una ciudad llamada Königsberg (situada en la antigua Prusia, hoy Kaliningrado, perteneciente a Rusia) había siete puentes que conectaban cada una de las orillas del río Pregel con dos islas interiores.

Se dice que los puentes eran el orgullo del pueblo de Königs-berg, pues su arquitectura era muy hermosa; además, decían que era imposible recorrerlos todos (los siete puentes) pasando una sola vez por cada uno de ellos.

La siguiente imagen representa la forma en que estaban situa-dos los puentes.

Determina si es posible un recorrido que pase solamente una vez por cada uno de los puentes.


Notas

86 87

Bloq

ue 5

Contenido

Desafío 5Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

Prácticas28. Ecuaciones de segundo grado y problemas29. Las cónicas30. Volumen de cilindros y conos31. Problemas de volumen de cilindros y conos32. Modelos no lineales33. Juegos justos


Problemas que involucran ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones y ecuaciones de segundo grado.

Problemas que implican calcular el volumen de cilindros y conos.

Lectura y representación gráfica y algebraica de relaciones lineales y cuadráticas.

Problemas de probabilidad de eventos complementarios, mutuamente excluyentes e independientes.


88 89

Desafío

ConsignaEn equipos de tres compañeros, planteen y resuelvan los siguientes proble-mas:

1. La familia Godínez se iniciará en el cultivo de café, ya que la región en donde viven tiene las condiciones de clima y altura propicias para ello. Los Godínez calcularon una inversión inicial que les permite cultivar una su-perficie rectangular de 1000 metros cuadrados y disponen de 140 metros de malla para cercarlo.

¿Cuáles son las medidas del largo y del ancho del terreno destinado al cul-tivo del café?

a) Largo:

b) Ancho:

2. Don Genaro, líder productor de café de aquella región, recomendó a la fa-milia Godínez sembrar dos tipos de café:

• La semilla del tipo A, con un costo de $40.00 por hectárea.• La semilla del tipo B, con un costo de $60.00 por hectárea.

Además, el costo de la mano de obra que deberán pagar es:

• $200.00 para sembrar la semilla del tipo A.• $100.00 para sembrar la semilla del tipo B.

Si van a invertir $4800.00 en semillas y $14 000.00 en mano de obra, ¿cuán-tas hectáreas de cada cultivo se van a sembrar?

a) Hectáreas con semillas del tipo A:

b) Hectáreas con semillas del tipo B:

3. Un agricultor vendió a la familia Godínez 18 costales de semillas de café del tipo A y 13 costales de semillas del tipo B, todo por $3 500.00.

Si cada costal de semillas del tipo B es cuatro veces el costo de un costal de semillas del tipo A, ¿cuál es el valor de cada costal?

a) Costal de semillas del tipo A:

b) Costal de semillas del tipo B:

Que los alumnos planteen y resuelvan problemas de ecuaciones de primer grado, de segundo grado o sistemas de ecuaciones lineales.


Mis respuestas


Ecuaciones y sistemas de ecuaciones

5

90 91

¿Hay más ecuaciones de otros grados que se puedan resolver?


Mis respuestas



1. Calcula el valor que falta en cada caso.

a) 2+ = 15

b) 2( ) + 3 = 23

c) 17 − ( ) = 17

Ecuaciones de segundo grado y problemas


El planteamiento de un problema es importante para poder determinar qué tipo de ecuaciones son las que se van a resolver. Hasta el momento has re-suelto ecuaciones de primer y segundo grado con una o dos incógnitas. Ahora aprenderás a resolver sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas, es decir, dos ecuaciones que representen un mismo problema.

Manolo tiene $290.00 en monedas de $5.00 y de $10.00. Si en total tiene 35 monedas, ¿cuántas son de $5.00 y cuántas de 10.00?

Para resolver el problema se realiza lo siguiente:

• Con la letra x se representa el número de monedas de $5.00.• Con la letra y se representa el número de monedas de $10.00.• Por un lado, los $290.00 que tiene Manolo se representa con la ecuación

5x + 10y = 290.• Por otro lado, el total de monedas se representa con la ecuación x + y = 35.

De esta forma tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

{5x + 10y = 290 x + y = 35

Para resolverla se despeja una de las variables de una de las ecuaciones. En este caso x de la segunda ecuación:

x = 35 − y

Se sustituye el valor obtenido de x en la primera ecuación y se despeja la se-gunda variable:

5(35 − y) + 10y = 290

Es decir:

5y = 115y = 23

Se sustituye el valor de y en el despeje de la primera variable:

x = 35 − 23 = 12

y = 23 y x = 12 son soluciones del sistema de ecuaciones lineales.

Por tanto, Manolo tiene 23 monedas de $10.00 y 12 monedas de $5.00.

1. Resuelve los siguientes problemas. Plantea y resuelve una ecuación de primer grado, una ecuación de segundo grado, o bien un sistema de ecuaciones.

a) Un caballo le dice a un asno, “¡Yo no debería de cargar tantos sacos de maíz!, yo fui hecho para correr, no para cargar”. El asno le contesta: “No te quejes tanto, si yo cargara uno de tus sacos entonces llevaría el doble de sacos de los que tienes; y si tu cargaras uno de los sacos que llevo yo, entonces llevaríamos el mismo número de sacos”. ¿Cuántos sacos de maíz carga el caballo y cuántos el asno?

b) Lourdes es 6 años mayor que Lucía y la suma de los cuadrados de sus edades es igual a 356. ¿Qué edad tiene cada una?

c) La siguiente figura tiene un perímetro de 270 cm. ¿Cuál es el valor de x?

x

x

x

x

x

x

92 93

1. Determina el radio de la sección circular que se obtiene al cortar un cono de 34.2 cm de altura y 22.5 cm de diámetro a 15 cm del vértice del cono sobre el eje.

2. Un cono de 14 cm de altura y 7 cm de radio se corta paralelo a la base de manera que el cono pequeño que resulta tiene un radio de 5.7 cm. ¿A qué altura desde la base se hizo el corte?

3. La pantalla de una lámpara tiene las medidas que se indican en la imagen. ¿Qué diámetro tiene la parte circular de arriba de la lámpara?

4. La luz de una lámpara del alumbrado público forma un cono luminoso cuyo diámetro en la base mide 2.5 m. Para calcular la altura de la lámpara, alguien colocó paralelamente al piso una lámina que fue levantada hasta que el diámetro del cono de luz midió 2 m. Si en ese punto la lámina estaba a un metro del suelo, calcula la altura de la lámpara.

¿Cuántas cónicas conoces?


Mis respuestas



1. Indica qué es un cuerpo geométrico y cuáles de ellos conoces.

Las cónicas ActividadesPráctica 29

Así como las figuras geométricas pueden formar otras figuras geométricas, los cuerpo geométricos tienen la misma capacidad e incluso propriedades que sirven para generar otro tipo de figuras planas.

Por ejemplo, si se tiene un cilindro o un cono y se hacen cortes sobre ellos con un plano (como si fuera un cuchillo), las caras que resultan del corte sobre el sólido tienen particularidades y formas muy específicas.

En la imagen se muestran las diferentes formas que resultan de cortar un cono y un cilindro dependiendo de la inclinación del plano.

En particular, cuando se corta un cono y estos de forma paralela a su base, la curva que se forma es un círculo y el radio cada vez es menor mientras se acercan los cortes al pico del cono.

El radio de los círculos, al hacer el corte, junto con la altura a la que se hace dicho corte, son cantidades directamente proporcionales.

h´r´

h

r

Círculo

Elipse

Parábola

Hipérbola

30 cm

15 cm

94 95

Para calcular el volumen de un cilindro o de un cono, se aplican las siguientes fórmulas.

Volumen del cilindro:V = pr 2 h

Donde V es el volumen del cilindro, r es el radio del círculo de la base y h es la altura del cilindro.

Volumen del cono:V = pr 2 h

3

Donde V es el volumen del cono, r es el radio del círculo de la base y h es la altura del cono.

¿Qué otros cuerpos geométricos tienen volumen y cómo se calcula?


Mis respuestas



1. Calcula el volumen de los siguientes sólidos.

a)

b)

Volumen de cilindros y conos ActividadesPráctica 30

2 cm

3 cm

2 cm

2 cm

2 cm1 cm

Radio

Altura

1. La anaconda es una serpiente que habita en el Amazonas, la cual puede llegar a medir 10.5 m de largo y 32 cm de diámetro. Si se supone que su cuerpo es un cilindro perfecto, ¿cuál es su volumen?, ¿cuánto mide el área de la superficie que cubre su piel?

2. Uno de los árboles más altos del mundo son las Secuoyas. Algunos de estos enormes árboles tienen nombre, como es el caso del National Geopraphic Tree, secuoya de forma cilíndrica con una altura de 112.71 m y 4.3 m de diá-metro en la base. ¿Qué volumen tiene?

3. Los silos tipo torre son estructuras construidas con diversos materiales, como hormigón, acero, madera, cemento, entre otros; suelen emplearse para alma-cenar granos o materiales. Calcula el volumen que puede contener el silo de la siguiente figura. Considera únicamente las partes conformadas por el cono inferior y el cilindro.Base

Altura

4.57 m

6.45 m Cilindro

2.8 mCono

96 97

A continuación se resuelve un problema usando las fórmulas del volumen de un cilindro o de un cono.

Los siguientes dos recipientes serán usados para hornear la base de un pastel. Determina cuál de ellos tendrá un mayor volumen (es decir, alcanzará para más personas).

Para el cilindro verde el volumen es:

V = (3.14) (10)2 (6.5) = 314(6.5) = 2041 cm3.

Para el cilindro azul el volumen es:

V = (3.14) (8)2 (7.5) = (200.96)(7.5) = 1 507.2 cm3.

Por tanto, el recipiente verde tiene mayor capacidad.

La siguiente figura muestra un cono de papel de los que se usan para beber agua. Determina cuántos mililitros de agua le caben (recuerda que un milili-tro es un centímetro cubico).

Su volumen es:

V = (3.14)(3)2 (10)3

= (28.26)(10)3

= 282.63

= 94.2

Si no se sabe la altura de un cilindro, ¿se puede calcular su volumen?


Mis respuestas



1. ¿Qué envases o recipientes conoces que tengan la forma de un cono o de un cilindro?

Problemas de volumen de cilindros y conos



a) Dos cilindros tienen la misma altura de 10 cm, pero la capacidad de cada uno de ellos son distintos. La del primero es de 2 litros y la del segundo es de 1 litro. Calcula el radio de cada uno de los cilindros.

b) Una copa de vidrio tiene las dimensiones que se indican en la imagen.Determina qué cantidad de líquido le cabe si está completamente llena.

2. Dos cilindros tienen la misma base pero diferente altura. El primero tiene capacidad de un litro y el segundo de dos litros. Cuál es la altura de cada uno de los cilindros.

8 cm

5 cm

10 cm6.5 cm

8 cm7.5 cm

10 cm

6 cm

98 99

¿Por qué son importantes las relaciones cuadráticas?


Mis respuestas



1. Resuelve los siguientes acertijos.

a) ¿Quién es el hijo de mis padres que no es mi hermano?

b) Piensa un número, multiplícalo por 2, agrégale 10, divídelo por la mitad, quítale el número que pensaste, y el número que te quedó es 5. ¿Para qué número se obtiene este resultado?

Modelos no lineales Práctica 32Como ya aprendiste, la gráfica asociada a una situación que relaciona dos conjuntos de cantidades, brinda información acerca de la manera en que es-tán relacionados esos conjuntos.

Particularmente, estudiaste las relaciones cuya gráfica asociada es una línea recta y su expresión algebraica es de la forma:

y = mx + b

Cuando la relación entre dos conjuntos de cantidades es cuadrática, la expre-sión asociada a la situación es de la forma:

y = ax2 + bx + c

Por ejemplo:

El peso ideal de una persona adulta depende de su estatura. Si E representa la estatura de la persona medida en centímetros, la fórmula que permite deter-minar el peso ideal de una persona, medido en kilogramos, es:

P = 0.75 E − 62.5

Para determinar si Guillermina está dentro de su peso ideal, si se sabe que ella mide 1.65 metros y pesa 63 kilógramos. Se utiliza la fórmula anterior, recor-dando que la estatura se debe poner en centímetros.

P = 0.75(165)− 62.5 = 123.75 − 62.5 = 61.25

Por lo que Guillermina está 1.75 kg por encima de su peso ideal.

b) El volumen del cilindro se calcula usando la fórmula

V = pr2 h

Donde la letra V representa el volumen, r el radio de la base y h la altura.

• Escribe una fórmula para calcular la altura de un cilindro si se conoce el radio de la base y el volumen del cilindro.

• Usa la fórmula que encontraste para calcular la altura de un cilindro en el que el radio de la base mide 3 cm y el volumen es de 2826 cm3. Considera a p como 3.14.

• Escribe una fórmula para calcular el radio del círculo de la base si se conoce la altura y el volumen del cilindro.

c) El volumen de un cono se calcula usando la fórmula

V = (pr2 h)3

Donde la letra V representa el volumen, r el radio de la base y h la altura.

• Escribe una fórmula para calcular la altura de un cono si se conoce el radio de la base y el volumen del cono.

• Escribe una fórmula para calcular el radio del círculo de la base en un cono si se conoce la altura y el volumen del cono.

• Usa la fórmula que encontraste para calcular la altura de un cono en el que el radio de la base mide 3 cm y el volumen es de 2826cm3. Con-sidera a p como 3.14.


a) La forma más común de medir la temperatura es en grados centígrados y en grados Fahrenheit. La fórmula para cambiar de grados centígrados a grados Fahrenheit es:

F = (1.8) C + 32

Donde C representa la temperatura en grados centígrados y F la tempe-ratura en grados Fahrenheit.

Escribe la fórmula que permitE calcular la temperatura en grados centígrados a partir de conocer la temperatura en grados Fahrenheit.

Actividades

100 101

¿Qué diferencia hay entre probabilidad clásica y probabilidad frecuencial?


Mis respuestas



1. Indica la diferencia entre azar y probabilidad.

Juegos justos

Actividades

Práctica 33Cuando participamos en un juego es importante determinar si el juego es de azar o no; estos es, si su resultado puede predecirse con toda seguridad. Por ejemplo, los siguientes son juegos de azar:

• Lanzar una moneda.• Lanzar dos dados.• Sacar una bola de una urna.

Si en un juego de azar todos los resultados posibles tienen la misma probabi-lidad de ocurrencia, se dice que los eventos son equiprobables y en ese caso se dice que el juego es justo.

Por ejemplo:

Al lanzar un dado, el evento de que el dado caiga en el número 1 tiene la mis-ma probabilidad de que caiga el 2, o el 3, o el 4, o el 5 o el 6. En este caso todos tienen 16 de probabilidad de ocurrir, por tanto, estos seis eventos son equipro-bables.

Por otra parte, el evento que caiga el número 1 y el evento que salga un nú-mero par, no son equiprobables; pues el primero tiene 1

6 de probabilidad de

ocurrir mientras que el segundo tiene 12

de probabilidad.

1. Valentina y Jesús jugaron a lanzar dos dados. Valentina gana si la suma de los dados es un número par. Jesús gana si la suma de los dados es impar.

a) Completa la tabla para conocer el espacio muestral.

Suma de los dados Casos posibles

2 (1, 1)

3 (1, 2), (2, 1)

4

5

6

7

8

9

10

11

12

b) ¿Los eventos son equiprobales?. Explica tu respuesta.

2. En una feria hay un puesto en el que se puede ganar un premio si el juga-dor tira un dado y sale 6.

Un jugador que participó y perdió muchas ocasiones, protestó diciendo que el dado estaba alterado. Para probar esto tiró 120 veces el dado y apun-tó los resultados. Según él, si el dado fuera legal debía salir 20 veces el nú-mero 6 y salieron 5.

a) ¿Estás de acuerdo con el participante?

b) Explica tu respuesta.

c) ¿Qué harías tú para saber si un dado es legal?

3. Para reunir dinero y poder hacer su fiesta de fin de cursos, los alumnos de tercer grado van a rifar una pantalla plana. Ellos hicieron 100 boletos y so-lamente vendieron 72. Amelia dice que se pongan los 100 números en una urna; y Carmen dice que no, que solamente pongan los números de los 72 que se vendieron.

a) Teresa compró tre boletos. Si la rifa se lleva a cabo como dice Amelia, ¿qué probabilidad tiene Teresa de ganar la rifa?

b) Si la rifa se lleva a cabo como dice Carmen, ¿qué probabilidad tiene Teresa de ganar la rifa?

4. El juego del melate consiste en escoger seis numeros de una planilla en la que aparecen los primeros 56 números. El total de combinaciones posibles es de:

56 × 55 × 54 × 53 × 52 × 51

a) Calcula el número de combinaciones ganadoras posibles.

b) Calcula la probabilidad de que al comprar un boleto, éste sea el ganador.

c) Si Juana compró un boleto y el primer número en salir es uno de los que eligió, ¿qué probabilidad de ganar tiene Juana?

5. Al lanzar dos dados, se suman el número de puntos que marcan ambos. Indica qué eventos son equiprobables.

( ) Que la suma sea igual a 6. ( ) Que la suma sea igual a 7. ( ) Qué la suma sea igual a 8.

102 103

¡Más área!

En una cartulina se ha dibujado un cuadrado de 8 cm de lado y se ha marcado en su interior una cuadricula por cada centímetro.

Luego, se marcaron dos triángulos A y B y dos trapecios C y D, como lo muestra la figura 1.

BA

DC

Figura 1El área total del cuadrado es de 64 cm2 .

En una segunda construcción, supuestamente se han reprodu-cido los dos triángulos A y B, así como los dos trapecios C y D; acomodados como se muestra en la figura 2.

BD

AC

Figura 2El rectángulo formado tiene 13 cm de largo y 5 cm de ancho, por lo que su área es de 65 cm2 , esto es, ¡1 cm2 más que la figura 1!De acuerdo con la construcción, el área de la figura 1 debe ser igual al área de la figura 2, pues ambas están formadas por las mismas partes.

¿Cómo es esto posible? ¿Hay algún error o engaño?


Notas

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Secundaria




Secundaria

Este material fue elaborado para el Programa de Fortalecimiento de la Calidad en Educación Básica, en específico para el Proyecto Local “La escuela secundaria, un lugar donde todos y todas concluimos nuestros estudios”; por lo que no podrá comercializarse por ninguna vía, ya que es para uso exclusivo de la Administración Federal de Servicios Educativos en el Distrito Federal.

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