EJERSICIOS Baldor.pdf
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EjerciciosResueltosdelAlgebradeBaldor.Consultadoenlasiguientedireccinelectrnicahttp://www.quizma.cl/matematicas/recursos/algebradebaldor/index.htm.Definicin:Dosomstrminossonsemejantescuandotienenlasmismasletrasyafectadasporelmismoexponente.Reduccindedostrminossemejantesdelmismosigno
Procedimiento
Para reducir trminos semejantes con elmismo signo se suman loscoeficientes de todos los trminos y se antepone al coeficiente total elmismosignoquecomparten,yacontinuacinseescribelaparteliteral.
Reducir:1.x+2x.Solucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson1y2.Laparteliteraligualentodoslostrminosesx.1+2=3;x+2x=3x.2.8a+9aSolucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson8y9.Laparteliteraligualentodoslostrminosesa.8+9=17;8a+9a=17a.3.11b+9bSolucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel+.Loscoeficientesdelostrminosson11y9.Laparteliteraligualentodoslostrminosesb.11+9=20;11b+9a=20b.4.b5b.Solucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel.Loscoeficientesdelostrminosson1y5.Laparteliteraligualentodoslostrminosesb.1+5=6;b5b=6b.5.8mmSolucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel.Loscoeficientesdelostrminosson8y1.Laparteliteraligualentodoslostrminosesm.
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8+1=9;8mm=9m.6.9m7mSolucin:Elsignocomnatodoslostrminosesel.Loscoeficientesdelostrminosson9y7.Laparteliteraligualentodoslostrminosesm.9+7=16;9m7m=16m.
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Reduccindedostrminossemejantesdedistintosigno
Procedimiento Para reducir dos trminos semejantes de distinto signo, se halla ladiferencia entre los coeficientesde los trminos, colocando antesde estadiferenciaelsignodelcoeficientemayor(envalorabsoluto)yacontinuacinseescribelaparteliteral.
Nota:dostrminossemejantesconigualcoeficienteydistintosignoseanulan.
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Reduccindemsdedostrminossemejantesdesignosdistintos
Procedimiento Para reducirunpolinomio conmsdedos trminos semejantes y con signosdistintos,seprocedeas:1)Sereducenaunsolotrminotodoslospositivos.2)Sereducenaunsolotrminotodoslosnegativos.3) Secalcula ladiferenciaentre loscoeficientesde lostrminoshalladosen losdospasosanteriores.4)Elsignoqueprecederladiferenciahalladaenelpasoanteriorserelquetengaelcoeficientemayorenvalorabsolutodelostrminoshalladosenlospasos(1)y(2).5)Porltimo,seescribelaparteliteral.
Reducir:
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ReduccindetrminossemejantesReduccindeunpolinomioquecontengatrminossemejantesdediversasclases
Procedimiento1. Se agrupan los trminos semejantes de cada clase en un mismoparntesis2.Sereducenlostrminossemejantes3.Sedalarespuesta,ordenandoelpolinomioresultanteNota: recordemosque los trminossemejantessonaquellosque tienen lasmismasletrasyafectadasporlosmismosexponentes
Reducirlospolinomiossiguientes:
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Productosnotables
a)Cuadradodelasumadedoscantidades
Procedimiento1.Seidentificatantoelprimerocomoelsegundotrminodelbinomio2. "Elcuadradode lasumadedoscantidadeses iguala,elcuadradode laprimera cantidad, ms el doble producto de la primera cantidad por lasegunda,mselcuadradodelasegundacantidad"3.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadradoysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2
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b)Cuadradodeladiferenciadedoscantidades
Procedimiento1.Seidentificatantoelprimerocomoelsegundotrminodelbinomio2."Elcuadradodeladiferenciadedoscantidadesesiguala,elcuadradodelaprimeracantidad,menoseldobleproductodelaprimeracantidadporlasegunda,mselcuadradodelasegundacantidad"3.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadradoysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2
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c)Productodelasumaporladiferenciadedoscantidades
Procedimiento1. "Elproductode la sumapor ladiferenciadedoscantidadeses igualalcuadradodelminuendomenoselcuadradodelsustraendo"2.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadradoysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2.
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d)Cubodeunbinomio
Procedimiento1.Sedesarrollaelparntesis,observandosisetratadelcubo,delasumaoladiferenciadedoscantidades;enelprimercasoseprocedecomoindicaelpaso2,enelsegundocasoseaplicaelenunciadodelpaso3:2. "El cubo de la suma de dos cantidades es igual al cubo de la primeracantidadms el triplodel cuadradode laprimerapor la segunda,ms eltriplo de la primera por el cuadrado de la segunda, ms el cubo de lasegunda"3."Elcubodeladiferenciadedoscantidadesesigualalcubodelaprimeracantidadmenoseltriplodelcuadradode laprimeraporlasegunda,mseltriplo de la primera por el cuadrado de la segunda,menos el cubo de lasegunda"4.Paraelevarunmonomioalcuadrado,seelevaelcoeficientealcuadradoysemultiplicaelexponentedecadaletrapor2.
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e)Productodedosbinomiosdelaforma(x+a)(x+b)
Procedimiento1.Eldesarrollodelosparntesisdauntrinomio2. Elprimertrminoserelcuadradodelprimertrminode losparntesis(igualenambos)3. El segundo trmino ser el producto de la suma de los trminosindependientesporelprimertrminocomndelosparntesis4.Eltercertrminoserelproductodelostrminosindependientes
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Ejerciciosvarios.
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e)Factorcomn
Procedimiento1.Seidentificaelfactorcomn2.Sedividecadatrminodelpolinomioporelfactorcomn3.Seescribeelfactorcomnyacontinuacin,dentrodeunparntesis,loscocienteshalladosenelpasoanterior(cadaunoprecedidodesurespectivosigno)
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f)Factorcomnporagrupacindetrminos
Procedimiento1.Seagrupanlostrminosconvenientemente,utilizandoparntesis2.Sesacafactorcomndecadaunodelosparntesis3.Serealizaunasegundafactorizacin(elfactorcomnser,enestecaso,elparntesis
Factorizarodescomponerendosfactores:
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g)TrinomiocuadradoperfectoDefinicin :Una cantidadesun cuadradoperfecto cuandoesel resultadodelproductodedosfactoresiguales.
Procedimiento1.Seordenaeltrinomio2.Seextraelarazcuadradadelprimerytercertrminos3.Sehallaeldobleproductodelasracesobtenidasenelpasoanterior4.Sielproductohalladoenelpasoanterioresigualalsegundotrminodeltrinomioysielprimeroytercertrminostienen igualsigno,setratadeuntrinomiocuadradoperfectoyseFactorizarcomotal.5. Se escribe dentro de un parntesis las races cuadradas del primer ytercertrmino,separadasporelsignodelsegundotrmino,yelparntesiselevadoalcuadrado.
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h)Diferenciadecuadradosperfectos
Procedimiento1.Seextraelarazcuadradaalminuendoyalsustraendo2.Seabrendosparntesis3.Enelprimerparntesisseescribelasuma,yenelsegundoladiferencia,delasraceshalladasenelpaso1.
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i)Diferenciadecuadradosperfectos(casoespecial)
Procedimiento1.Seextraelarazcuadradaalminuendoyalsustraendo2.Seabrendosparntesis3.Enelprimerparntesisseescribelasuma,yenelsegundoladiferencia,delasraceshalladasenelpaso1.4.Sereduce,sieselcaso
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j)Trinomiocuadradoperfectoydiferenciadecuadradosperfectos (combinacindeestosdoscasos)
Procedimiento1.Seidentificaeltrinomiocuadradoperfecto(olos...)2.Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfecto3.Sefactorizaladiferenciadecuadradosresultante4.Sereduce,sieselcaso
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k)Trinomiocuadradoperfectoporadicinysustraccin
Procedimiento1.Seordenaeltrinomio2.Seextraelarazcuadradadelprimerytercertrminos3.Sehallaeldobleproductodelasraceshalladasenelpasoanterior4. Se compara el resultado obtenido en el paso anterior con el segundotrminodeltrinomio5. Se suma o resta, segn el caso, la cantidad necesaria para crear elsegundotrminodeltrinomiocuadradoperfecto6. Se restao se suma lamisma cantidadque se sumoo restoenelpasoanterior,paraqueelvalordelaexpresinnosealtere
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l)Trinomiocuadradoperfectoporadicinysustraccin
Factorizarunasumadedoscuadrados
Procedimiento1.Seextraelarazcuadradadeambostrminos2.Sehallaeldobleproductodelasraceshalladasenelpasoanterior3.Sesumayserestaelproductohalladoenelpasoanterior4.Sefactorizaeltrinomiocuadradoperfectoasformado5.Sefactorizaladiferenciadecuadrados
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Procedimiento1.Seordenaeltrinomio2. Se abren dos parntesis, en cada uno de los cuales se escribir unbinomio3.Sesacalarazcuadradadelprimertrminodeltrinomio,estarazserelprimertrminodecadaunodelosparntesis4. El signo que separe al binomio del primer parntesis ser el segundosignodeltrinomio5. Seaplica la "leyde los signos"alproductode los signosdel segundoytercer trminosdel trinomio;ste serelsignoque separeelbinomiodelsegundoparntesis6. Si lossignosson iguales,sebuscandosnmeroscuyasumasea igualalcoeficientedel segundo trminodel trinomioy cuyoproducto sea igualaltercertrminodeltrinomio7. Si lossignossondiferentes,sebuscandosnmeroscuyadiferenciaseaigualalcoeficientedel segundo trminodel trinomioy cuyoproducto seaigualaltercertrminodeltrinomio8.Elmayordelosnmeroshalladosenunodelospasosanterioresserelsegundo trmino del primer parntesis, elmenor de los nmeros ser elsegundotrminodelsegundoparntesis9. Si el tercer trmino esunnmeromuy grande sedescompone en susfactoresprimosparafacilitarlabsquedadelosnmerosrequeridosenlospasos7y8
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Casosespeciales
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Procedimiento
ParaFactorizarestaclasedetrinomiossellevaalaforma ysefactoriza1.Semultiplicaydivideeltrinomioporelcoeficientedelprimertrmino,estoespora2.Seescribeeltrinomiodeunaformaadecuada(delaformax2+bx+c)3.Seabrendosparntesis,encadaunodeloscualesseescribirunbinomio4. Se saca la raz cuadrada del primer trmino del trinomio, esta raz ser el primertrminodecadaunodelosparntesis5.Elsignoqueseparealbinomiodelprimerparntesisserelsegundosignodeltrinomio6.Seaplicala"leydelossignos"alproductodelossignosdelsegundoytercertrminosdeltrinomio;steserelsignoquesepareelbinomiodelsegundoparntesis7 Silossignossoniguales,sebuscandosnmeroscuyasumaseaigualalcoeficientedelsegundotrminodeltrinomioycuyoproductoseaigualaltercertrminodeltrinomio8 Si los signos son diferentes, se buscan dos nmeros cuya diferencia sea igual alcoeficientedelsegundotrminodeltrinomioycuyoproductosea igualaltercertrminodeltrinomio9. Elmayor de los nmeros hallados en uno de los pasos anteriores ser el segundotrmino del primer parntesis, elmenor de los nmeros ser el segundo trmino delsegundoparntesis10.Sieltercertrminoesunnmeromuygrandesedescomponeensusfactoresprimosparafacilitarlabsquedadelosnmerosrequeridosenlospasos7y811.Sefactorizanlosparntesisquetenganfactorcomn12.Sesimplifica
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Factorizarunaexpresinqueeselcubodeunbinomio
ProcedimientoEldesarrollodelcubodeunbinomioes:
Enestaclasedeejerciciossenosdaunaexpresincomoelmiembroderechode lasidentidadesanteriores,esdeciruncuadrinomio;ydebemosconstatarsisetratadeuncubo perfecto de binomios (como los miembros izquierdos de las expresionesanteriores);paralocualdebemosproceder:1.Seordenaelcuadrinomioenformadescendenteoascendenterespectoaunaletra2.Seextraelarazcbicadelprimeroycuartotrminosdelcuadrinomio3. Se observa si todos los signos son positivos o si se alternan positivonegativopositivonegativo4. Se triplicael cuadradode la raz cbicadelprimer trminopor la raz cbicadelcuartotrminoysecomparaconelsegundotrminodelcuadrinomiodado5. Se triplica la razcbicadelprimer trminoporelcuadradode la razcbicadelcuartotrminoysecomparaconeltercertrminodelcuadrinomiodado6. Si las dos comparaciones hechas en los pasos 4 y 5 son positivas, se trata deldesarrollodelcubodeunbinomioysefactorizacomotal:dentrodeunparntesisseescribenlasracescbicasdelprimeroycuartotrminosdelcuadrinomioyseparadasporelsignomsoporelsignomenos,segnelcaso;yseelevaalcuboelparntesis7. Si lasdoscomparacioneshechasen lospasos4y5sonnegativas,nosetratadeldesarrollodelcubodeunbinomioynosepuedefactorizarcomotal
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Sumaodiferenciadecubosperfectos
Procedimiento1.Seabrendosparntesis2.Enelprimerparntesisseescribelasumaoladiferencia,segnelcaso,delasracescbicasdelosdostrminos3.Enelsegundoparntesisseescribeelcuadradodelaprimeraraz,menos(siesunasumadecubos)oms(siesunadiferenciadecubos)elproductodelaprimerarazporlasegunda,maselcuadradodelasegundaraz
Descomponerendosfactores:
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Casosespeciales
Procedimiento1.Seabrendosparntesis2. Enelprimerparntesisseescribe lasumao ladiferencia,segnelcaso,de lasracescbicasdelosdostrminos3.Enelsegundoparntesisseescribeelcuadradodelaprimeraraz,menos(siesunasumadecubos)oms(siesunadiferenciadecubos)elproductodelaprimerarazporlasegunda,maselcuadradodelasegundaraz
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Combinacindecasosdefactores
Descomposicindeunaexpresinalgebraicaentresfactores
Procedimiento1.Sesacaelfactorcomn2.Sefactorizalaexpresinresultante,aplicandoelmtododefactorizacinrequerido por la forma del polinomio (estudiados en los diez casos defactorizacin:Ejercicios89a110)
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Descomponerentresfactores:
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Descomposicindeunaexpresinalgebraicaencuatrofactores
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Descomposicin de un polinomio en factores por el mtodo de evaluacin P r o c e d i m i e n t o
Recordemos que "un polinomio entero y racional en x, que se anula para x = a, es divisible por x - a" (Corolario del Teorema del residuo) 1. Sacamos los divisores del trmino independiente 2. Hallamos el valor del polinomio, P(x), para cada uno de los divisores hallados en el paso anterior 3. Tomamos como correcto el divisor, a, para el cual el polinomio se anula (da cero): hemos hallado uno de los factores del polinomio; este factor es, x - a 4. Buscamos los coeficientes del otro factor por medio de la "Divisin sinttica"
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Ejerciciosvariossobreladescomposicinenfactores
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ParacualquierpolinomioquetengaracesenterassepuedeaplicarlaregladeRuffini:Decirqueunpolinomiotienesracesenterasesencontrarvaloresdexnmerosenterosquealsustituirlosenelpolinomionosdacero.
Si un polinomio de, por ejemplo, cuarto grado , tiene cuatro racesenteras,,, , ,sefactoriza
Perocmoseobtienenlasraces?,porlaregladeRuffini
Ejemplo:Factorizar 4 16 12
SeaplicalaregladeRuffini,probandolosdivisoresdeltrminoindependiente,enestecasode12.Oseaquesepruebacon1,1,2,2,3,3,4,4,6,6,12y12
Probemosconuno
Secopianloscoeficientesdelpolinomio:
1 4 1 16 12
Yseescribeenunasegundalneaelnmerouno
1 4 1 16 121
Elprimercoeficientesecopiaabajoenunaterceralnea
1 4 1 16 121 1
Semultiplicaesecoeficiente,uno(1),porelnmeroqueestamosprobando,enestecasotambinuno(1),oseaunoporuno=uno(1).Esteunoseescribedebajodelsiguientecoeficiente,oseadel4
1 4 1 16 121 1 1
Sesuma4+1=3
1 4 1 16 121 1 1 3
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Semultiplica3por1=3yseescribedebajodelsiguientecoeficiente,1
1 4 1 16 121 1 3 1 3
Sesuma31=4yassucesivamente
1 4 1 16 121 1 3 4 12 1 3 4 12 0Comovemos laltimasumahadadocero.EsoquieredecirqueunoesunarazdelpolinomioyquenossirveparaFactorizar.
Sihubieradadodistintodecerohabraqueseguirprobandolosdemsdivisoresde12.
Loscoeficientesquehanquedadoenlaltimafila,enrealidadsonloscoeficientesdelcocientededividirelpolinomioentrex1,ylaltimasumaeselrestodedichadivisin.
Siescribimoslarelacinfundamentaldeunadivisinentera,oseaque
Dividendo=DivisorxCociente+Resto
4 16 12 1 3 4 12
De hecho ya hemos factorizado el polinomio, pero el segundo factor de tercer grado hay queintentarseguirfactorizando,denuevoporlaregladeRuffini.
Aplicandosucesivasvecesestareglaqueda:
1 4 1 16 121 1 3 4 12 1 3 4 12 02 2 2 12 1 1 6 02 2 6 1 3 0
Comolasracesson,1,2y2yelltimococienteesx3
Lafactorizacinfinales: 4 16 12 1 2 2 3
Sienlassucesivaspruebasnoencontramosningnrestocero,quieredecirqueelpolinomionosepuedefactorizardentrodelosnmerosreales.
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Cocientedeladiferenciadeloscuadradosdedoscantidadesentrelasumaoladiferenciadelascantidades
Procedimiento1.Factorizamosladiferenciadecuadradosenelnumerador2.Simplificamos.
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Cocientede lasumaodiferenciade loscubosdedoscantidadesentre lasumaodiferenciadelascantidades
Procedimiento1. Factorizamos la diferencia o la suma, segn el caso, de cubos en elnumerador2.Simplificamos.
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DmasoRojasNoviembre2007