Modulo de EjerciciosCalculo Univariado

Jaime Florez

2016

II

Modulo de Ejercicios

Calculo Univariado

Ingenierıa Agroindustrial

Universidad Del Tolima

Vida=

∫ muerte

nacimiento

felicidad

tiempod tiempo

Jaime A. Florez S.

Primera Version

Ibague - 2016

Introduccion

El presente modulo taller pretende ser una herramienta de apoyo en el

desarrollo del curso Calculo Univariado del programa ingenierıa agroindus-

trial de la Universidad Del Tolima, por ende se encuentra organizado de

manera que el educando identifique el conjunto de ejercicios a realizar tras

finalizar cada una de las 12 clases que compone el total del curso.

La tematica del curso y los ejercicios seleccionados responden a lo que

en la experiencia de su servidor es mas relevante para la formacion del in-

geniero agroindustrial en contraste con las limitaciones del medio y de la

intensidad horaria.

Ası pues, esta primera version de modulo de talleres se encuentra di-

vidido en tres Capıtulos (uno por cada parcial) y cada uno en 4 secciones

(una por cada clase presencial).

Los ejercicios del primer capıtulo tienen por objetivo principal que el

estudiante pueda identificar y redefinir (si es posible) las continuidades de

una funcion con indeterminacion y/o a trozos, proceso mediante el cual el

futuro ingeniero debera afianzar las habilidades algebraicas y trigonometri-

cas que necesita.

III

IV

En el segundo capıtulo los ejercicios planteados pretenden generar en el

educando las habilidades necesarias para determinar la derivada de cual-

quier funcion continua, culminando con ejercicios sencillos de optimizacion.

Finalmente, el tercer capıtulo pretende a generar las habilidades basicas

de integracion. En aras de conseguir este proposito, cada seccion se enfoca

en una tecnica de integracion. Desgraciadamente, el tiempo no es suficiente

para estudiar las fracciones parciales, por lo que el capıtulo culmina con

una seccion de bonus dirigida a las mentes inquietas que se interesen por

esta tecnica.

Considero ademas, que este material puede ser de utilidad para otros

actores, por lo que en mi calidad de academico y como defensor del copy

left, autorizo su reproduccion y divulgacion por medio digital y fısico. Si

es de su interes, puede solicitar una copia a la direccion electronica jaflo-

rezs@ut.edu.co

Fraternalmente,

Jaime A. Florez S.

Indice general

V

Capıtulo 1

Lımites

1.1. Clase 1: Acuerdo pedagogico

1.1.1 Repasar los casos de factorizacion.

1.1.2 Repasar las identidades trigonometricas.

1.1.3 Repasar lo concerniente a la ecuacion de la recta.

1.2. Clase 2: Funciones a trozos y lımites laterales

1.2.1 Grafica las siguientes funciones y halla los valores solicitados. Jus-

tifica detalladamente tus respuestas.

a. f(1) y lımx→1

f(x) para f(x) =

2 si x < 1

−1 si x = 1

−3 si 1 < x

1

2 CAPITULO 1. LIMITES

b. f(−4) y lımt→−4

f(t) para f(t) =

t+ 4 si t ≤ −4

4− t si −4 < t

c. g(2) y lımx→2

g(x) para g(x) =

x2 si x ≤ 2

8− 2x si 2 < x

d. h(1) y lımr→1

h(r) para h(r) =

2r + 3 si r < 1

2 si r = 1

7− 2r si r > 1

e. f(−2) y lımt→−2

f(t) para f(t) =

3 + t2 si t < −2

0 si t = −2

11− t2 si −2 < t

f. g(0) y lımx→0

g(x) para g(x) =

−2 si x < 0

2 si 0 ≤ x1.2.2 Indica si la afirmacion es verdadera o falsa, justifica detallada-

mente tu respuesta.

a. Para la funcion g(x) = x2−1x−1 g(1) no existe pero lım

x→1g(x) si.

b. Para la funcion g(x) =√x+9−3x g(0) no existe pero lım

x→0g(x) si.

c. Para la funcion g(x) = x2 − 1 g(1) no existe pero lımx→1

g(x) si.

d. f(2) = lımx→2

f(x) para la funcion f(x) =

2x− 1 si x 6= 2

1 si x = 2

1.3. CLASE 3: LIMITES INDETERMINADOS 3

1.3. Clase 3: Lımites indeterminados

1.3.1 Halla los siguientes lımites (si existen)

a. lımx→7

x2−49x−7 b. lım

t→5

t2−255−t c. lım

x→1/3

3x−19x2−1

d. lıms→4

3s2−8s−162s2−9s+4

e. lımy→−2

y3+8y+2 f. lım

x→4

3x2−17x+204x2−25x+36

g. lımx→−3

t3−27t−3 h. lım

x→−3

√x2−9

2x2+7x+3i. lımx→81

√81−99−x

j. lımx→−1

√x+5−2x+1 k. lım

x→1

3√x−1x−1 l. lım

h→0

√h+2−

√2

h

m. lımx→64

3√64−4x−4 n. lım

x→−5

3√−125+55+x o. lım

x→3

(x−1)5x5−1

p. lımx→0

1x+5− 1

5

x q. lımx→1

(x2

x−1 −1

x−1

)r. lım

x→4

2−√x

3−√2x+1

1.3.2 Halla los siguientes lımites (si existen)

a. lımθ→0

θ2

sin θ b. lımθ→0

sin2 θθ2

c. lımθ→0

1−cos θθ2

d. lımθ→0

tan θθ

e. lımx→0

2xsinx−x f. lım

θ→0

sin(2θ2)θ2

g. lımx→0

sin(2x)x cos(3x) h. lım

x→0

sinx√x

i. lımx→0

1−cos(2x)x j. lım

x→0

1x sin

(x3

)k. lım

x→0

(sin(3x))2

x2 cos(x)l. lımx→0

1−cos(x)sinx

m. lımx→0

tan(2x)tan(3x) n. lım

x→0x secx cscx o. lım

x→0

1−cos(2x)x sin(x) p. lım

x→0x cot(3x)

q. lımx→0

x−tanxsinx r. lım

x→0

1x2

sin2(x2

)s. lım

x→0

secx−1x secx t. lım

x→0x2 csc(2x) cot(2x)

1.4. Clase 4: Continuidad

1.4.1 En cada una de las figuras 1 a 7 se representa una funcion a

trozos. Indica a partir de la grafica en que puntos es discontinua la funcion

y si dicha discontinuidad es removible o escencial. Justifica detalladamente

tus procesos y respuestas.

1.4.2 Define las funciones f(x), g(x) y h(x) representadas en las figuras

1 a 3 como una funcion a trozos

4 CAPITULO 1. LIMITES

Figura 1.1: f(x)

Figura 1.2: g(x)

1.4. CLASE 4: CONTINUIDAD 5

Figura 1.3: h(x)

Figura 1.4: r(x)

6 CAPITULO 1. LIMITES

Figura 1.5: s(x)

Figura 1.6: u(x)

1.4. CLASE 4: CONTINUIDAD 7

Figura 1.7: v(x)

1.4.3 Determina si la funcion es continua o no. En caso de ser discon-

tinua, indica si la discontinuidad es escencial o removible, si es removible

redefine la funcion de modo que sea continua. Justifica detalladamente tus

procesos y respuestas.

a. f(x) = x2+x−6x+3 b. f(x) = x2−3x−4

x−4 c. g(t) = t3−27t−3

c. h(x) = x2−49x−7 d. f(t) = t2−25

5−t e. g(x) = 3x−19x2−1

f. f(t) = 3t2−8t−162t2−9t+4

g. h(y) = y3+8y+2 h. f(x) = 3x2−17x+20

4x2−25x+36

i. f(x) = x−9√x−3 j. f(x) = x−5√

x−1−2 k. g(x) =3√x−2x−8

l. h(x) =3√x+1−1

x m.3√64−4x−4 n.

3√−125+55+x

1.4.4 Determina cualeas de las funciones del numeral ?? son continuas.

En el caso de las discontinua, indica si la discontinuidad es escencial o

removible, si es removible redefine la funcion de modo que sea continua.

Justifica detalladamente tus procesos y respuestas.

Capıtulo 2

Derivadas

2.1. Clase 1: Derivada por lımites y teoremas de

diferenciacion

2.1.1 Halla la derivada de cada funcion con respecto a x, utilizando la

definicion

a. f(x) = π + 3x− 7x2 b. g(x) = 1x−4 c. h(x) =

√x

d. g(x) = x8 e. h(x) = 3x2 − 2x6 f. f(x) =√

5x− 2

g. g(x) = 3√x h. f(x) = 1

πx i. h(x) = 33√x

j. y = 2x4 − 3x3 k. y =3√

5x−√

2 l. f(x) = 1x+2

2.1.2 Halla la derivada de las siguientes funciones algebraicas utilizando

las reglas de diferenciacion

9

10 CAPITULO 2. DERIVADAS

a. y = 15x2 − 6x+ 12 b. f(t) = (2t2 − 4t+ 7)(5t− 4t5 + 1)

c. g(x) = 2t−πt3−t2+t d.h(x) = π

x5+ 1

x2+ 1

x

e. p(x) = 9x5+x2+x

f. s(x) = x5+x2+x9

g. f(t) = 43√t2 − 6

√x6 h. m(x) = (x2−1)(

√x3−1)

57√x5

i. n(x) = 6

√1+3x3

1−πx4 j. j(x) = (3x2 − 2x+ 1)(2x− 1)(√x− 1)

k. f(x) =

√1 +

√1 +√

1 + x l. y = 5

√(3x2−1)(2x−1)2

(3x3+1)4

m. y = 3

√16x4 + 5

x3+ 1√

xn. y = 3

√(3x−1)(2x−1)4x

(3x3+1)2

o. f(x) =35t−1

2t2

+7p. y =

3√

(3x−1)(2x−1)4x(3x3+1)2

2.2. Clase 2: Regla de la cadena y Derivada de las

funciones trigonometricas

2.2.1 Halla la derivada de las siguientes funciones trigonometricas uti-

lizando las reglas de diferenciacion

a. y = 4 sin θ − π3 cos θ b.f(x) = 6

3x7+ 2 tanx

c. f(x) = 4 sec2(x) d.h(t) = sec(t)2

e. y = 5 csc3(πx4 − 2x5)2 f.y =√

tan θ + tan√θ

g. g(x) = 6 cot(5x3+2)3 tan(3x4−10 h.y = sin(cos(x2+4))

2

i. f(x) = cos3(x)cot(x3)

j.y = 3√

csc(sec3(t))

k. g(t) = sin3(πt2 + 2t− 4) cos(√

3t+ 2) l.h(x) =tan(6x3+2) sec2( 6

x)√

csc(2x)

2.3. Clase 3: Derivada implıcita, exponencial y lo-

garıtmica

2.3.1 Halla la derivada de las siguientes funciones implıcitas

2.4. CLASE 4: MAXIMOS Y MINIMOS DE FUNCIONES UNIVARIADAS11

a. x2 + y2 = 4 b. (x− y2)(x+ xy) = 4 c.3√x2 − 3

√y2 − 2y = 2

d. (x+ y)3 = x3 + y3 e. x−yx−2y = 5 f. cos(πy)− 3 sin(πx) = 1

g. sin(x) = x(1 + cot y) h. sin(x+ y) = y2 cosx i. x√

1 + y + y√

1 + 2x = 2x

j. xx−y = x2 + y k.

√x+ y +

√xy = 8 l. xy = cot(xy)

2.3.2 Halla la derivada de las siguientes funciones logarıtmicas y expo-

nenciales

a. g(x) = log3 x2 b. y = (log5 x)4 c. y = ln(x+

√x2 − 1)

d. f(x) = 23x e. y = 43√x f. y = (e−t + et)3

g. y = log10x

x2−1 h. h(t) = log4 tan tt2

i. y = ln(lnx3)

j. f(x) = π5x2 k. y = ln(π+2x

3

csc5(3+4x)2l. g(t) = ecot

2 x

m. f(x) = ln√

x2−12−5x n. y = ln

(cos 4+x2

x

)o. f(t) = ln(sin(πt− 1))

2.3.3 Halla la derivada de las siguientes funciones

a. y = arcsin 2x3 b. f(x) = arccot( 2x) c. g(t) = arc cos t−1t+1

d. y = lnx(arcsecx3)4 e. h(x) =√arctanxe−5x f. y = 2arcsin(πx

2) − e3

g. f(x) = 52x3−3 arccsc(2− x5) h. f(x) = 7arc cos

√3−7x

log3 9xi. y =

√1− 5x arc cos(5x)

2.4. Clase 4: Maximos y mınimos de funciones

univariadas

2.4.1 Traza la grafica de las siguiente funciones hallando puntos crıticos,

maximos y mınimos, donde crece y/o decrece la funcion, puntos de inflexion

y concavidad

12 CAPITULO 2. DERIVADAS

a. y = x3 − 6x2 − 9x− 54 b. f(x) = x3 + x− 1

c. g(t) = t3 + 3t2 − 9 d. y = 2x3 − 6x+ 4

e. h(x) = x2 − 4x− 1 f. f(x) = 2x3 − 2x2 − 16x− 1

g. y = 3x4 + 2x3 h. g(x) = x3 − 3x2 + 3

i. l(x) = x4 − 4x3 j. y = x3 + 3x2

k. s(t) = t3 − 6t2 + 9t− 3 l. y = x3 − 3x2 − 9x+ 10

m. y = x3 − 2x2 + x− 1 n. r(t) = t3 − 3t+ 2

Capıtulo 3

Integrales

3.1. Clase 1: Integral como antiderivada y cambio

de variable

3.1.1 Halla la integral de cada funcion, haciendo la sustitucion adecua-

da. Verifica tu respuesta mediante diferenciacion.

a.∫ √

1− 6ydy b.∫

5√

3x− 4dx c.∫x 4√x2 − 5dx

d.∫x3(x4 − 1)dx e.

∫t4

(1−2t5)6dt f.∫

cos(4θ)dθ

g.∫

12t sin(3t2)dt h.

∫sec2(6x)dx i.

∫x2 sec( 2x3)dx

j.∫

sinx(5 + cosx)4dx k.∫

cos3 x sinxdx l.∫t3et

4dt

3.2. Clase 2: Integracion por partes

3.2.1 Halla la integral de cada funcion, aplicando la tecnica de integra-

cion por partes. Verifica tu respuesta mediante diferenciacion.

13

14 CAPITULO 3. INTEGRALES

a.∫x cosxdx b.

∫z sec2(3z)dz c.

∫arc cos(2x)dx

d.∫x secx tanxdx e.

∫t2e−3tdt f.

∫x3xdx

g.∫

ln tdt h.∫x2 sec2(6x)dx i.

∫ex cos(x)dx

j.∫x5exdx k.

∫x3√1−x2dx l.

∫ (ln t)2

t dt

3.3. Clase 3: integral de funciones trigonometri-

cas

3.3.1 Halla la integral de cada funcion trigonometrica.

a.∫

sin3 x cosxdx b.∫

cos2(3z)dz c.∫

sin3(2x)dx

d.∫

cos5 xdx e.∫

sin2 t cos3 tdt f.∫ex tan2(ex)dx

g.∫

cot3 tdt h.∫

tan4 xdx i.∫

csc3 xdx

j.∫

sec4 xdx k.∫

sec3 ztan4 z

dz l.∫

sin3 t cos3 tdt

3.4. Clase 4: Sustitucion trigonometrica y teore-

ma fundamental del calculo

3.4.1 Halla la integral de cada funcion, aplicando la tecnica de integra-

cion por sustitucion trigonometrica. Verifica tu respuesta mediante diferen-

ciacion.

a.∫

dxx2√4−x2 b.

∫ √4−z2z2

dz c.∫

dxx√4+x2

d.∫

x2√6+x2

dx e.∫

xx√x2−16dx f.

∫dx

(3+x2)3/2dx

g.∫

dx(5x2−9)3/2dx h.

∫x3√x2 − 9dx i.

∫x3√x2+9

dx

j.∫

x3√x2−9dx k.

∫z5√z2+2

dz l.∫

dtt2√16t2−9

3.4.2 Aplica el Teorema Fundamental del Calculo para hallar el area

sombreada de las siguientes figuras

3.5. BONUS: FRACCIONES PARCIALES 15

3.5. Bonus: Fracciones parciales

Halla la integral de cada funcion, aplicando la tecnia de integracion por

fracciones parciales. Verifica tu respuesta mediante diferenciacion.

a.∫

xx−6dx b.

∫z2

z+4dz c.∫

t−9t2+3t−10dt

d.∫

dxx2+3x−4dx e.

∫ 32

dxx2−1dx f.

∫ 10

x−1x2+3x+2

dx

g.∫

axx2−bxdx h.

∫ 10

2x+3x2+4x+4

dx i.∫ 10x3−4x−10x2−6x−6 dx

j.∫x2+2x−1x3−x dx k.

∫dz

z3+9z2+15z−25dz l.∫

t2

t3+3t2+3t+1dt

16 CAPITULO 3. INTEGRALES

Bibliografıa

[1] Stewart J., Calculus

[2] Leithold L., El Calculo.

[3] Swokowski E., Calculo con Geometrıa Analıtica.

[4] Edwards y Penney, Calculo con Geometrıa Analıtica.

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