Ejercicios resueltos Estadística y probabilidad
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8/17/2019 Ejercicios resueltos Estadística y probabilidad
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EJERCICIOS PROBABILIDAD- TELETRAFICO
Nestor Fabian Delgado Poveda – Cod. 20161093006 – Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas -2016
25.5 Cierto calzado se recibe en cinco diferentes estilos, con cada estilodisonible en c!atro colores distintos" Si la tienda desea #ostrar ares de estoszaatos $!e #!estren la totalidad de los di%ersos estilos & colores 'C!(ntosdiferentes ares tendr)a $!e #ostrar*
T =4∗5=20
Ser( osible #ostrar !n total de + ares"
25.10 'De c!entas for#as distintas se !ede resonder !na r!eba de falso
%erdadero $!e consta de n!e%e re!ntas*
Por cada re!nta e.isten + osibles res!estas, a/ora, si son 0 re!ntas orla rela de #!ltilicaci1n, las n!e%e re!ntas tendr(n !n total de osiblesres!estas dado or2
T =(2 )9=512
25.15 3n contratista desea constr!ir n!e%e casas, cada !na con !n diferentedise4o" 'De c!antas for#as !ede colocar estas casas en !na calle si /a& seislotes en !n lado de la calle & tres en el lado o!esto*"
Para este caso tene#os n!e%e casas ara ordenar en 0 distintas for#as,entonces2
N =9 P9=362880
25.20 'De c!antas for#as se !eden llenar las cinco osiciones iniciales en !ne$!io de baloncesto con 5 6!adores $!e !eden 6!ar en c!al$!iera de lasosiciones*
V 85=
8 !
(8−5 )!
V 85=6720
Se !eden ordenar de 78+ osiciones distintas"
25.25 'C!(ntas er#!taciones distintas se !eden /acer con las letras de laalabra in9nito*
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Se tiene2
i=3
n=2
f , t , o=1
PR8321=
8 !
3 !2 !1!
PR8321=3360
61.5 Deter#ine el %alor de C de #odo cada !na de las f!nciones si!ientes!edan ser%ir co#o distrib!ci1n de robabilidad de la %ariable aleatoriadiscreta :2
a; f ( x )=c ( x2+4 ) ara x=0,1,2,3 <
Para $!e la f!nci1n sea !na distrib!ci1n de robabilidad debe c!#lir2
∑ x=0
3
f ( x )=1
∑ x=0
3
c( x2+4)=1
1=f (0 )+f (1 )+(2 )+f (3 )=4 c+5c+8c+13c
1=30c
c= 1
30
b; f ( x )=c (2
x )( 3
3− x) ara x=0,1,2 "
∑ x=0
3
c(2 x)( 33− x)=1
1=f (0 )+f (1 )+(2 )=c+6 c+3c
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1=10 c
c= 1
10
61.10 Enc!entre !na f1r#!la ara la distrib!ci1n de robabilidad de la
%ariable aleatoria X $!e reresenta el res!ltado c!ando se lanza !na %ez !n
solo dado"
P ( X =1 )=1
6
P ( X =2 )=1
6
P ( X =3 )=1
6
P ( X =4 )=1
6
P ( X =5)=1
6
P ( X =6 )=1
6
De esta for#a encontra#os $!e f ( x )=1
6 c!ando se lanza !na %ez !n solo
dado"
61.15 Encontrar la f!nci1n de la %ariable aleatoria $!e reresenta el si!ientee6ercicio2
“Un embarque de siete televisores contiene dos unidades defectuosas. Unhotel hace una compra al azar de tres de los televisores. SI x es el número deunidades defectuosas que compra el hotel, encuentre la distribución de
probabilidad de X .
P (0 )=2C 0∗5C 3
7C 3=
2
7
P (1 )=2C 1∗5C 2
7C 3
=4
7
P (2 )=2C 2∗5C 1
7C 3=
1
7
P ( x )=2Cx∗5C (3− x)
7C 3
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f ( X )=
{
2
7 0 ≤ x
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F ( X )= 2
27 (t + t 2
2 )| x2
F ( X )= 2
27
[( x+
x2
2
)−4
] F ( X )=
2
27 [ x2
2 + x−4 ]
F ( X )= 1
27 [ x2+2 x−8 ]
F ( X )= 1
27 [( x+4)( x−2)]
F ( X )={ 0 X 5
P (3≤ X ≤4 )= F (4 )− F (3 )= 1
27[ (8 ) (2 )−(7)(1)]
P (3≤ X ≤4 )=1
3
Cateor)a =
"=
"+
">"?
"@
"7
"8
istora#a de robabilidad
P>; P+@; P+;
61.25 Se seleccionan tres #onedas sinree#lazo de !na ca6a $!e contiene c!atro de diez centa%os & dos de cinco
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P( X +Y ≤ 12 )=24∫0
1
2 [ 1
2− y2
2 ] y dy
P( X +Y ≤ 1
2 )=12∫01
2
[1
4− y+ y2] y dy
P( X +Y ≤ 12 )=12∫0
1
2
[ 14 y− y2+ y3]dy
P( X +Y ≤ 12 )=12[ 18 y 2−13 y 3+ 14 y4]01/2
P( X +Y ≤ 12 )=[( 18 )( 14 )−13 ( 18 )+ 14 ( 116 )] P( X +Y ≤ 12 )=
1
16
b; Enc!entre la densidad #arinal ara el eso de las cre#as
g ( x )=∫0
1− x
24 xydy
g ( x )=24∫0
1− x
xydy
g ( x )=24 x [ y2
2 ]1− x0g ( x )=12 x [ (1− x )2 ]
g ( x )=12 x [ (1− x )2 ]0≤ x ≤1
c; Enc!entre la robabilidad de $!e el eso de los c/iclosos en !na ca6asea #enor de =5 de ilora#o si se sabe $!e las cre#as constit!&en>? de s! eso"
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P(0
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g ( x )= x+110
g ( x )= 1
10 , 2
10 , 3
10, 4
10
b; Distrib!ci1n #arinal de &
h ( y )= f (0, y )+ f (1, y )+ f (2, y )+f (3, y )
h ( y )= y
30+1+ y30
+2+ y30
+3+ y30
h ( y )=4 y+630
h ( y )=2 y+315
h ( y )= 3
15, 5
15, 7
15
80.15 Considere !n e.eri#ento $!e consiste en dos lanza#ientos de !ndado balanceado" Si X es el n#ero de c!atros & es el n#ero de cincos $!ese obtienen en los dos lanza#ientos del dado, enc!entre"
a; La distrib!ci1n de robabilidad con6!nta de : & <
7 =,7; +,7; >,7; ?,7; @,7; 7,7;@ =,@; +,@; >,@; ?,@; @,@; 7,@;? =,?; +,?; >,?; ?,?; @,?; 7,?;> =,>; +,>; >,>; ?,>; @,>; 7,>;+ =,+; +,+; >,+; ?,+; @,+; 7,+;= =,=; +,=; >,=; ?,=; @,=; 7,=;
= + > ? @ 7
f (0,0 )=1−20
36=
4
9 f (1,0 )=
2
9
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f (2,0 )= 1
36
f (0,1 )=2
9
f (0,2 )= 1
36
f (1,1 )= 1
18
b; P [( X , Y )∈ ] , donde ! es la rei1n |( x , y )2 x+ y
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80.25 De#!estre si las dos %ariables de f ( x , y ) son deendientes o
indeendientes"
g ( x )= ∫30
50
( x2+ y ²)dy
g ( x )= ! [ x2 y+ y3
3 ]3050
50(¿¿3−303)
3
20 x2+¿
g ( x )= ¿
g ( x )= [20 x2+ 983 ∗103]
h ( y )= ! ∫30
50
( x2
+ y ²)dx
h ( y )= [20 y 2+ 983 ∗103]h ( y ) g ( x)" f ( x , y )
Las %ariables son deendientes"
91.5 La distrib!ci1n de robabilidad de :, el n#ero de i#erfecciones or
cada = #etros de !na tela sintGtica, en rollos contin!os de anc/o !nifor#e,est( dada co#o2
Enc!entre el n#ero ro#edio de i#erfecciones en = #etros de tela"
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#=1 (0,37 )+2 (0,16 )+3 (0,05 )+4 (0,01)
#=0,88
91.10 Dos e.ertos en calidad de ne!#(ticos e.a#inan lotes de Gstos &asinan !nt!aciones de calidad a cada ne!#(tico en !na escala de tres!ntos" Sea X la !nt!aci1n dada or el e.erto ! & " la del e.erto #" Lasi!iente tabla resenta la distrib!ci1n con6!nta ara X & " "
Enc!entre # x & # y
# y=0,23+2 (0,5 )+3(0,27)
# y=2.04
# x=0,17+2 (0,5 )+3(0,33)
# x=2.16
91.15 La f!nci1n de densidad de la %ariable aleatoria contin!a :, el n#erototal de /oras, en !nidades de = /oras, $!e !na fa#ilia !tiliza !naasiradora en !n eriodo de !n a4o, se de9ne co#o2
Enc!entre el n#ero ro#edio de /oras or a4o $!e las fa#ilias !tilizan s!sasiradoras"
#=∫−$
$
xf ( x ) dx
#=∫0
1
x ² dx+∫1
2
2 x− x ²dx
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#=[ x ³]01+[ x2− x
3
3 ]12
#=1
3+
[(4−
8
3
)−
(1−
1
3
)]#=
1
3+[ 43−23 ]
#=1
3+2
3
#=1∗100horas=100horas
90.20 3na %ariable aleatoria contin!a X tiene la f!nci1n de densidad
Enc!entre el %alor eserado de g ( X )=e2 x
3
#g( x)=∫−$
$
g ( x ) f ( x)
#g ( x )=∫0
$
(e− x )(e2 x
3 )dx
#g ( x )=∫0
$
(e− x /3)dx
−3 e0
#g ( x )=lim x →$
−3e− x/3−¿ ;
#g ( x )=3
90.25 Re9erase a las %ariables c!&a distrib!ci1n de robabilidad se de9ne aartir del si!iente en!nciado2
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“Se sacan tres cartas sin reemplazo de las $% cartas ma&ores 'sotas, reinas & re&es( de una bara)a ordinaria de *% cartas. Sea X el número de re&es que seseleccionan & " el número de sotas
& enc!entre la #edia ara el n#ero total de sotas & re&es c!ando se sacan >cartas sin ree#lazo de las =+ cartas #a&ores de !na bara6a ordinaria de @+
cartas"
f (3,0 )=(4C 3 ) (4C 0 )
12C 3=
1
55
f (2,1 )=(4 C 2 ) (4C 1 )
12C 3=
6
55
f (1,2 )=(4 C 1 ) (4C 2 )
12C 3=
6
55
f (0,3 )=(4C 0 ) (4C 3 )
12C 3=
1
55
f (0,0 )=(4C 0 ) (4C 0 )(4C 3)
12C 3 =
1
55
f (1,1)=(4 C 1 ) (4C 1 )(4C 1)
12C 3 =
16
55
f (1,0 )=(4C 1 ) (4C 0 )(4C 2)
12C 3 =
6
55
f (0,1)=(4C 0 ) (4 C 1)(4C 2)
12C 3 =
6
55
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#( x , y )=( x+ y ) f ( x , y )
# ( x , y )= 6
55+12
55+ 3
55+ 6
55+32
55+18
55+12
55+18
55+ 3
55
# ( x , y )=110
55=2
123.5 De ac!erdo con la +hemical n-ineerin- ro-ress no%ie#bre de =00;,aro.i#ada#ente >H de todas las fallas de oeraci1n en las t!ber)as delantas $!)#icas so ocasionadas or errores del oerador"
a; 'C!(l es la robabilidad de $!e las si!ientes + fallas en las t!ber)as al#enos = se deban a !n error del oerador*
p=0.3
n=20
P ( X ≥10 )=1− P ( X ≤9 )
P ( X ≤9 )=∑% =0
9
(20C% )0,3% 0,720−%
P ( X ≤9 )=0,920
P ( X ≥10 )=1−0,9520
P ( X ≥10 )=0,04796
b; 'C!(l es la robabilidad de $!e no #as de ? de + falla se deban al error deloerador*
P ( X ≤ 4 )=∑% =0
4
(20C% )0,3% 0,720−%
P ( X ≤ 4 )=0,2375
c; S!ona, ara !na lanta esec)9ca, $!e de la #!estra aleatoria de + detales fallas, e.acta#ente @ sean errores de oeraci1n 'Considera $!e la cifrade >H anterior se ali$!e a esta lanta* Co#ente
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P ( X =5 )=(20C 3 )0,35 (0,7 )15
P( X =5) ,=855
Para este caso la robabilidad es !n %alor e$!e4o, esto er#ite $!e la cifra de
>H se ali$!e a esta lanta"
123.10 Sen !n reorta6e !blicado en la re%ista arade, !na enc!esta ani%el nacional de la 3ni%ersidad de ic/ian a est!diantes !ni%ersitarios delti#o a4o re%ela $!e casi 8H desar!eban el cons!#o de #ari/!ana" Si seseleccionan =+ est!diantes al azar & se les ide s! oini1n, enc!entre larobabilidad de $!e el n#ero $!e desar!eban f!#ar #ari/!ana sea"
a; C!al$!ier %alor entre 8 & 0"
P(7≤ X ≤9
)= P
( x ≤9
)− P( x ≤6
)
P (7≤ X ≤ 9 )=∑% =0
9
(12C% )0,7% 0,312−% −∑% =0
6
(12C% )0,7% 0,312−%
P (7≤ X ≤ 9 )=0,9434−0,2361
P (7≤ X ≤9 )=0,7073
b; a lo #(s @
P ( X ≤5 )=∑% =0
5
(12C% )0,7% 0,312−%
P ( X ≤5 )=0,0386
c; no #enos de 5
P ( X ≥8 )=1− P ( X ≤7 )
P ( X ≥8 )=1−∑% =07
(12C% )0,7%
0,312−%
P ( X ≥8 )=0,7237
123.15 Se sabe $!e ?H de los ratones inoc!lados con !n s!ero $!edanroteidos contra cierta enfer#edad, si se inoc!lan @ ratones enc!entre larobabilidad de $!e
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a; nin!no contraia la enfer#edad
P=0,4
n=5
P ( X =0 )=(5C 0 )0,400,6⁵
P ( X =0 )=0,0776
b; #enos de + contraian la enfer#edad
P ( X 3 )=1−(0,0776+0,2592+0,3456+0,2304)
P ( X >3 )=1−0.9128
P ( X >3 )=0.0872
123.20 Sen el eriodico US!/ /oda& =5 de #arzo de =00; de ? #illones detraba6adores en la f!erza laboral, @,5H res!lto ositi%o en !na r!eba dedoras" De $!ienes res!ltaron ositi%os, ++,@H f!eron !s!arios de coca)na &@?,?H de #ari/!ana"
a; 'C!(l es la robabilidad de $!e de = traba6adores $!e res!ltaron ositi%os,+ sean !s!arios de coca)na, @ de #ari/!ana & > de otras droas*
n=10
p1=0,225
p2=0,544
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p3=0,231
P=( 10253) (0,225 )2(0,544)⁵(0,231)³
P=(2525 ) (0,050625 ) (0,04764 ) (0,0123 )
P=0,07481
b; 'C!(l es la robabilidad de $!e de = traba6adores $!e res!ltaron ositi%os,todos sean !s!arios de #ari/!ana*
P=(1010)(0,544 )10(0,456)⁰
P=0,00227
c; 'C!(l es la robabilidad de $!e de = traba6adores $!e res!ltaron ositi%os,nin!no sea !s!ario de coca)na*
P=(1010)(0,775)10
P=0,07816
123.25 S!ona $!e ara !n e#bar$!e #!& rande de c/is de circ!itos
interados, la robabilidad de falla ara c!al$!ier c/i es "=" S!ona $!e sec!#len las s!osiciones en !e se basan las distrib!ciones bino#iales &enc!entre la robabilidad de $!e a lo #(s > c/is fallen en !na #!estraaleatoria de +"
n=20
p=0.10
P ( X ≤3 )=∑% =0
3
20C% (0.10 ) % (0,9 )20−%
P ( X ≤3 )=0,3486+0,7748+0,8178+0,5452
P ( X ≤3 )=0,8670
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139.5 Tres ersonas lanzan !na #oneda, & el disare6o aa los cafGs" Si todaslas #onedas tienen el #is#o res!ltado, se lanzan de n!e%o" Enc!entre larobabilidad de $!e se necesiten #enos de c!atro lanza#ientos"
Por #edio de la distrib!ci1n eo#Gtrica
P ( X
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Por #edio de la aro.i#aci1n de Poisson 2
p= 1
1000
'=10000∗ p=10
P (6≤ X ≤8 )=∑ x=0
8e− ' ( ' ) x
x ! −∑
x=0
5e− ' ( ' ) x
x !
P (6≤ X ≤8 )=0.3328−0.06708
P (6≤ X ≤ 8 )=0.2657
139.20 Los ca#bios en los rocedi#ientos de los aero!ertos re$!ieren !nalaneaci1n considerable" Los )ndices de lleadas de los a%iones es !n factori#ortante $!e se debe to#ar en c!enta" S!ona $!e los a%iones e$!e4osllean a cierto aero!erto, de ac!erdo con !n roceso de Poisson, con !n)ndice de 7 or /ora" De esta #anera, el ar(#etro de Poisson ara las
lleadas en !n eriodo de t /oras es &=6 t "
a; 'C!(l es la robabilidad de $!e e.acta#ente c!atro aerona%ese$!e4as lle!en d!rante !n eriodo de !na /ora*"
P ( X =4 )=e−6 (6 )4
4 !
P ( X =4 )=0.1338
b; 'C!(l es la robabilidad de $!e al #enos c!atro lle!en d!rante !neriodo de !na /ora*
P ( X ≥ 4 )=1−∑ x=0
3e−6 (6 ) x
x !
P ( X ≥ 4 )=1−0.1512
P ( X ≥ 4 )=0.8488
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c; Si de9ni#os !n d)a laboral co#o =+ /oras 'C!(l es la robabilidad de$!e al #enos 8@ e$!e4as aerona%es lle!en d!rante !n d)a*
&=6∗12
&=72
P ( X ≥75 )=1−∑ x=0
74e−72 (72 ) x
x !
P ( X ≥75 )=0.3773
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158.5 Dada la %ariable : nor#al#ente distrib!ida con #edia =5 & des%iaci1nest(ndar +"@ enc!entre
a; P( X
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0.91= −182.5
) =20.275
d; P(17
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b; 'C!(l es la robabilidad de $!e el anillo de !n ist1n tena !ndi(#etro interior entre 0,08 & ="> cent)#etros*
) 1=9.97−10
0.03 =−1
) 2=10.03−10
0.03 =1
P (9.97"@ &=7"++ incl!si%e or /ora*
'=15.90
( =1.50
P(13.75
-
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) 1=13.75−15.90
1.50 =−1.433
) 2=16.22−15.90
1.50 =0.2133
P (13.75
-
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'=*+ 2
b; ( 2=
( *− )2
12
+ ( x2)=∫
* x
2
*− dx
+ ( x2)=( 1*− )[ x3
3 ] *
= *
3− 3
3(*− )
( 2=
*3− 3
3(*− )−( *+ 2 )
2
=4 (*2+ *+ 2 )−3(*2+2 *+ 2)
12
( 2=
*2−2 *+ 2
12
( 2=
( *− )2
12