EJERCICIOS MECÁNICA DE FLUIDOS II

1) Demostrar que el coeficiente “C” de Chezy en tuberías circulares con superficie hidráulicamente lisa se puede expresar mediante la

siguiente fórmula: C=18 Log(3 .13 Re/C )Solución:

Se sabe V=C √RS=

V ¿

xLn (46 . 4R

δ0)

C√RS=√ gRSx

Ln(46 .4 (D /4 )δ 0

). .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .(α )

Pero

Vδ0

ν=11.6 ⇒ δ0=

11. 6νV|

Re=VDν

⇒ ν=VDRe

V ¿=V √ f8 y C=√8 gf

⇒ V ¿=V √gC

En () C= √g

0 .4Ln(46 .4∗D∗V|

4∗11.6∗V∗D /Re)

C= √g0 . 4

Ln(46 . 4∗V |∗Re

4∗11. 6∗V )= √g0 . 4

Ln (46 . 4∗V∗√g∗Re

4∗11. 6∗V∗C )⇒ C=18 Log(3 . 13Re/C )L.q.q.d.2) Se tiene un canal ancho cuyo fondo está formado por arena de

diámetro uniforme, fluye agua (flujo uniforme y ν=1. 5∗10−6m ²/ s ) donde a partir del nivel del agua a una profundidad de 0.5m la velocidad es 3m/s y a una profundidad de 1.6m la velocidad es 2.63m/s para una superficie hidráulicamente rugosa y velocidad de corte mínimo. Determinar:a) El diámetro que debe tener las partículas de arena b) El tirante del canalc) El caudal por unidad de anchod) La pendiente del canal e) El número de ReynoldSolución:

Para: h=y-0.5m ⇒ V ¿

0. 4Ln(30∗( y−0 . 5)

D )=3m / s .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(α )

Para: h=y-1 .6m ⇒ V ¿

0.4Ln(30∗( y−1 .6 )

D )=2 .63m / s .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. .( β )

V ¿=min imo ⇒V ¿Dν

≈75 . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(θ )

De (), () y ()a) D=0.001m y V ¿=0.112m / sb)y=2m

Vmed=V ¿

xLn(11∗R

K )=0 .1120 . 4

Ln (11∗20 .001 )

Vmed=2 .79m /sc)Q=V med∗A=2 .79 (1∗2 )Q=5 . 58m ³/ s /md)

V ¿=C√RS=0.112 ⇒ S=0 . 00064e)

Re=VDν

⇒ Re=3. 72∗106

3) Se tiene un canal ancho de tierra sin revestir cuyo fondo está formado por cantos rodados de diámetro uniforme, fluye agua (flujo uniforme) donde se instalan dos manómetros en cuyo extremo existe un tubo de Pitot tal como se muestra en la figura, h1=0.014m,

h2=0.035m, la densidad relativa del mercurio es 13.6, ν=10−6 m ²/ s ,ρS=2650kg /m ³a) ¿Cuál es el mínimo tamaño que debe tener las piedras para que el canal sea estable b) Hallar el tirante del canal con el diámetro mínimo de las piedras c) Hallar el caudal del canal con los datos anteriores. (Ancho unitario)d) Determinar la pendiente del canal con los datos anteriores.Solución:Por manometría P2−P1

γ=h1 (D . RHg−1 ). .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(∗)

P4−P3

γ=h2(D . RHg−1 ). .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(**)

Bernoulli: 1-2P1

γ+V 1

2

2g=P2

γ+V 2

2

2g⇒

P2−P1

γ=V 1

2

2 g

En (∗)V 1=√2gh1 (D . RHg−1 )=1 . 86m /sAnálogamente:V 3=√2gh2 (D . RHg−1 )=2 .94m /sSuperficie hidraulicamente rugosa

V h=V ¿

xLn(30h

K ) K=D

Para: h=y-0 .14

V h=V ¿

0 . 4Ln (30 y−4 .2

D )=V 1=1 . 86m /s . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .(1)

Para: h=y-0 .25

V h=V ¿

0 . 4Ln (30 y−7 . 5

D )=V 3=2 .94 m /s . .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .(2)

Asumiendo: D=0 . 05mCon D al ábaco⇒V ¿

cr=0 . 21m /s

Dividiendo (1 )/(2 ) Se tiene:y=0 .219m

en (1 ) V ¿

0 . 4Ln(30∗0 . 219−4 . 2

0 . 05 )=1.86m /s ⇒V ¿=0 .193m / s

Asumiendo: D=0 . 01mCon D al ábaco⇒V ¿

cr=0 . 093m /s

Dividiendo (1 )/(2 ) Se tiene:y=0 .184m

en (1 ) V ¿

0 . 4Ln(30∗0 . 184−4 . 2

0 . 05 )=1 .86 m /s ⇒V ¿=0 . 15m /s

De este gráfico V ¿=0 .175m/s a ) Para: V ¿=0 . 175m /s=V ¿

cr

Del abaco ⇒ Dmim=0 . 03m

b )

en (1 ) 0 . 1750 . 4

Ln(30 y−4 .20 . 03 )=1. 86

⇒ ymim=0. 21m

c ) Se sabe:

V med=R2/3 S1/2

n. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..( α )

V ¿=√ gRS . . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .( β )De éstas dos ecuaciones se obtieneV med

V ¿=R1/6

n√gPero R= y

⇒n=V ¿

V med

R1/6

√ g=0.175∗0 .211/6

V med √9 .81.. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .( I )

Pero: Vmed=V ¿

0 . 4Ln(11R

K )=0 .1750 .4

Ln(11∗0 .210.03 )

⇒V med=1 . 9m /s ⇒ Q=VA=1 .9∗0 .21∗1=0 .4m ³/ sQ=0 .4m ³/ sd )en ( I ) n=0 . 022

en ( α ) 1. 9=0 .212/3S1/2

0 .022⇒S=0.0139

4) Se tiene un canal trapezoidal cuyo talud es 1m, ancho del fondo del canal 1.20m, pendiente 0.001 y coeficiente de rugosidad n=0.015, se transporta un caudal de 4m³/s Calcular:a) El tirante normal.b) La energía específica correspondiente al flujo uniforme.c) El caudal máximo que podría ser transportado con la energía calculada anteriormente d) Si se desea cambiar el canal trapezoidal por un canal alcantarilla circular, para el mismo caudal máximo, pendiente y coeficiente de rugosidad. Determinar el diámetro de la tubería.Solución:

Revestimiento liso

A=(1 .2+ y ) y P=1.2+2 y √1+1²a )

Qn=A5 /3 S1/2

nP2/ 3 =(1.2+ y )5/3 y5/3∗0 . 0011/2

0. 015 (1 . 2+2 y√1+1²)2 /3 =4

y=1 . 14mb )

Ee= y+Q2

2gA 2. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. ..(∗)

Ee=1 .14+4²2∗9.81∗2.667 ²

⇒ Ee=1 .255m

c ) De (∗)Q=√(1. 255− y )19 .6(1 .2+ y ) y . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . ..(α )dQdy

=0 ⇒ yc=0.93m

en ( α) ⇒ Qmax=4 . 999≈5m ³/ s

d ) Qmax=5m ³/ s S=0 . 001n=0 .015 D=?Para: Q max ⇒θ=5 .278 rad=302. 409ºyD

=0 . 94

A=D ²8

(θ−senθ )=D ²8

(5 .278+0. 844 )=0. 765 D ²

P=D2

θ=2 .639 D

Q=A5/3 S1/2

nP2 /3 =(0. 765 D ²)5 /3 (0 .001)1/2

0 .015(2 .639 D )2/3 =5

⇒ D=2 . 08m Rpta

5) Un canal trapezoidal cuyo ancho de solado es 0.5m y talud igual a 0.5m, se debe conducir un caudal de 5m³/s con una velocidad media de 1.5m/s con la misma magnitud de área y talud óptimo otro canal desde el punto de vista hidráulico (máxima eficiencia hidráulica). Determinar las dimensiones de este último canal.Solución:

Para M . E .H y z=√33

( Optimo) ⇒ z=√33

=0.577

AMEH=(2√1+0. 577 ²−0 .577 )2 yAMEH=3.33m ²⇒ y=1 .386mPara M . E .Hb=2y (√1+z²−z ) ⇒ b=1. 6mDel ábaco: Con V=1 .5m/s y y=1. 386m⇒ F=0 .2mh= y+F=1. 386+0.2h=1. 586m Rpta

6) Se tiene un canal trapezoidal cuyo ancho de solado es 1m, talud es 0.5m y la pendiente 0.001, cuando el fondo del canal y talud fueron revestidos con cemento liso, el tirante normal medido fue de 1.20m para un caudal de 0.6m³/s, posteriormente se incrementó la rugosidad de este canal con un revestimiento de concreto sin acabar obteniéndose un tirante normal de 1.30m para un caudal de 0.45m³/s. Calcular:a) El Caudal Para un tirante normal de 1.5m si el fondo fuera rugoso y talud fuera liso.b) El caudal para un tirante normal de 1.40m si el fondo fuera liso y talud fuera rugosoc) El tirante alterno del tirante de la parte (a) con el caudal de la parte (a)Solución:Para Revestimiento lisoyn 1=1.20m y Q1=0 .6m ³/ sA1=(1+0.5∗1.2)1.2=1.92m²

P1=(1+2∗1.2√1+0. 5² )=3 .68m

De f Maning: n1=A1

5/3 S11/2

Q1 P12/3 =1 .925/3∗0 . 0011/2

0.6∗3 .682/3

⇒ n1=0.0656 liso

Para Revestimiento Rugosoyn 2=1.30m y Q2=0 .45m ³/ sA2=(1+0.5∗1.3 )1 .3=2 .145m ²

P2=(1+2∗1.3√1+0 .5² )=3 .91m

De f Maning: n2=A2

5 /3 S21/2

Q2 P22/3 =2.1455/3∗0 .0011/2

0. 45∗3 .912/3

⇒ n2=0 .1 Rugoso

a )PRugoso=1m

PLiso=2(1.5 )√1+0 .5² ⇒PLiso=3 .35m

⇒n=(3 .35∗0 .06563/2+1∗0 .13/2

1+3 .35 )2/3

=0 . 074

A=(1+0 . 5∗1 .5)∗1. 5=2 . 625m²P=1+2∗1 .5∗√1+0 .5²=4 . 354m

Q=A5/3 S1/2

nP2/3=2 .6255/3∗0 .0011 /2

0 .074∗4 .3542/3⇒Q=0 .8m ³/ s

b )PLiso=1mPRugoso=3 .35m

⇒n=(1∗0.06563 /2+3 .35∗0 .13/2

1+3 .35 )2/3

=0 .0927

A=(1+0 .5∗1 .4 )∗1 .4=2 .38m ²P=1+2∗1 .4∗√1+0.5²=4 .13m

Q=A5/3 S1/2

nP2/3 =2 .385/3∗0 .0011/2

0 .0927∗4 .132/3 ⇒Q=0 .56m ³/ s

c )y1=1.50m y2=? Q=0 .8m ³/ s Para tirantes alternos E1=E2

1 .5+Q ²2gA1

2= y2+

Q2

2gA22

1 .5+0.8²19 .62(1+0 .5∗1 .5 )1 .5

= y2+0 .8²19 .62(1+0 .5∗ y2) y2

⇒ y2=0 .2166m Rpta

7) Se tiene un canal alcantarilla cuya sección se muestra en la figura (R=1.5m).a) Calcular el tirante para una velocidad máxima b) Calcular el tirante para un caudal máximo

c) Si este canal se cambia por un canal trapezoidal cuyo talud es 0.5m y un tramo del canal se produce un salto hidráulico donde los tirantes de (a) y (b) son los tirantes conjugados. Calcular el ancho de solado =1.10, Q=4.85m³/s

Solución:

A=R(R−RCosθ2 )+R

2

2(θ−Senθ )

A=R2(1−Cosθ2 )+R

2

2(θ−Senθ )

⇒dA=R2

2 (Senθ2 −Cosθ+1)dθP=R+Rθ ⇒ dP=Rdθa ) Si : Vmax ⇒ PdA−AdP=0

R(1+θ )R2

2 (Senθ2 −Cosθ+1)dθ−(R3 (1−Cosθ2 )+R

3

2(θ−Senθ ))dθ=0

⇒(1+θ )(Senθ2 −Cosθ+1)=2−Senθ2

+θ−Senθ

Transformando

θ=4 .792 rad Luego θ=274 .561 º

De la figura : y=R−RCos274 .5612

=2 . 6m

b )Si : Qmax ⇒ 5 PdA−2 AdP=0

5(1+θ )(Senθ2 −Cosθ+1)=4−4Cosθ2

+2θ−2Senθ

θ=5.548 rad Luego θ=317 . 876 º

y=R−RCos317 .8762

=2 . 9m

c )y1=2. 60m y2=2.90mβ=1 .1 Q=4 .85 m ³/ sz=0 . 5Fe1=Fe2 Para tirantes conjugados

z1A1+βQ 2

gA1

=z2 A2+βQ2

gA2

. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .. . .. .. . .. .. . .. .. .(∗)

z1=6 .76+7. 8b6b+7 . 8

, z2=8 .41+8 . 7b6b+8 .7

A1=2 .6 b+3 .32 A2=2 . 9b+4 .205en (∗)b=1. 03m