ESTADSTICA BIDIMENSIONAL

1.- Se considera la tabla estadstica siguiente:

X 2 4 3 5

Y 1 2 1 1 3

a) Calcule el valor de sabiendo que la media de X es 3.

Tenemos que la media se calculara como 2 4 3 5

3 14 15 15

x

b) Mediante la correspondiente recta de regresin lineal, haga una prediccin del valor que se obtiene para Y cuando X=4.5. Halle el cuadrado del coeficiente de correlacin entre

X e Y y explique la fiabilidad de la prediccin anterior.

Construimos la tabla siguiente:

X Y ni xini yini xi2ni yi

2ni xi yi ni

2 1 1 2 1 4 1 2

4 2 1 4 2 16 4 8

1 1 1 1 1 1 1 1

3 1 1 3 1 9 1 3

5 3 1 5 3 25 9 15

5 15 8 55 16 29

Y por tanto

3, 2

1.6, 0.8

1

X

y

XY

x S

y S

S

y con estos resultados 1

0.88392 0.8

r

y por tanto,

entre las dos variables existe una relacin estadstica directa muy fuerte y tiene sentido

calcular la recta de regresin para realizar las predicciones. Realizado este clculo se

obtiene que la recta de regresin de Y sobre X ser 0.5 0.1y x y para el caso de que

x=4.5 se obtiene que 2.35y .

El cuadrado de r ser 2 0,78r , por lo que podremos decir que el 78% de la

variabilidad de Y quedara explicada por la variable X, lo cual da una alta fiabilidad.

2.- Se pasa un cuestionario a un grupo de 40 alumnos para medir su dominio del vocabulario (X) y su capacidad de razonamiento (Y). Con los resultados se han obtenido las

siguientes cantidades: 2 21800, 86000, 1390, 53100, 66500x x y y x yi i i i i i

a) Halle la recta de regresin de Y sobre X.

Realizamos todos los clculos: 1800

4540

xixn

,

139034.75

40

yiyn

,

22

286000 45 11,1840

iX

xS x

n

,

22

253100 34.75 10.9540

iY

yS y

n

6650045 34.75 98.75

40

i iXY

x yS xy

n

y por lo tanto

98.750.8065

11.18 10.95r

y se

trata, por tanto, de una relacin estadstica directa y fuerte siendo la recta de regresin

de Y sobre X 0.79 0.8y x

b) Qu capacidad de razonamiento cabe esperar para un alumno que tiene una puntuacin de 60 en dominio del vocabulario?.

Basta sustituir en la ecuacin calculada la x por el valor de 60, obtenindose 46.6y en

capacidad de razonamiento.

ESTADSTICA BIDIMENSIONAL

3.- La informacin estadstica obtenida de una muestra de tamao 6 sobre la relacin existente entre el nmero de horas de estudio dedicado a la preparacin de un examen y

la puntuacin obtenida en dicho examen, se refleja en la siguiente tabla:

Horas de estudio (X) 15 20 25 32 18 34

Puntuacin (Y) 50 60 70 92 70 84

a) Halle la ecuacin de la recta de regresin de Y sobre X. Realizamos los clculos reflejados en la siguiente tabla estadstica

X Y xini yini xi2ni yi

2ni xi yi ni

15 50 15 50 225 2500 750

20 60 20 60 400 3600 1200

25 70 25 70 625 4900 1750

32 92 32 92 1024 8464 2944

18 70 18 70 324 4900 1260

34 84 34 84 1156 7056 2856

144 426 3754 31420 10760

Y tenemos que 24, 7.05

89.3371, 13.99

X

XY

Y

x SS

y S

y con estos datos la recta de regresin

sera 1.7987 27.83y x

b) Obtenga el coeficiente de correlacin lineal entre X e Y e interprtalo.

89.330.906

7.05 13.99r

, y la relacin que existe entre las dos variables es estadstica

directa y muy fuerte, es decir la nube de puntos est muy cerca de la recta de regresin

y por lo tanto las predicciones serian muy fiables.

4.- La estatura y pesos de 10 jugadores de baloncesto de un equipo son:

Estatura (X) 186 189 190 192 193 193 198 201 203 205

Pesos (Y) 85 85 86 90 87 91 93 103 100 101

a) Halla la recta de regresin de Y sobre X.

X Y ni xini yini xi2ni yi

2ni xi yi ni

186 85 1 186 85 34596 7225 15810

189 85 1 189 85 35721 7225 16065

190 86 1 190 86 36100 7396 16340

192 90 1 192 90 36864 8100 17280

193 87 1 193 87 37249 7569 16791

193 91 1 193 91 37249 8281 17563

198 93 1 198 93 39204 8649 18414

201 103 1 201 103 40401 10609 20703

203 100 1 203 100 41209 10000 20300

205 101 1 205 101 42025 10201 20705

10 1950 921 380618 85255 179971

Y con estos clculos 195, 6.066

37.692.1, 6.564

X

XY

Y

x SS

y S

y la recta de regresin sera

1.0217 107.139y x

b) Halla el coeficiente de correlacin.

ESTADSTICA BIDIMENSIONAL

El coeficiente de correlacin lineal ser 37.6

0.9446.066 6.564

r

, y la relacin que existe

entre las dos variables es estadstica directa y muy fuerte

c) Si el equipo ficha a un jugador que mide 208 cm, se puede predecir su peso? En caso afirmativo, obtenerlo.

Basta sustituir en la ecuacin calculada la x por el valor de 208, obtenindose 105.38y

como peso en Kg estimado. Esta prediccin es muy fiable ya que 2100 89.16F r

indica que el 86% de la variabilidad del peso queda explicada por la variable estatura.

5.- Las puntuaciones obtenidas por un grupo de alumnos de 2 Bachillerato en una batera de test que mide la habilidad verbal (X) y el razonamiento abstracto (Y) son las siguientes:

X Y 20 30 40 50

[25, 35) 6 4

[35, 45) 3 6 1

[45, 55) 2 5 3

[55, 65) 2 7

Se pide:

a) Existe correlacin entre ambas variables? Aunque no es necesario, traslado esta tabla de doble entrada a una de simple entrada y

realizo en ella los clculos(tambin los podra haber realizado en esta tabla)

Variable

X

Variable

Y Marca

de X

Marca

de Y ni xini yini xi2ni yi

2ni xi yi ni

25 35 20 30 20 6 180 120 5400 2400 3600

25 35 30 30 30 4 120 120 3600 3600 3600

35 45 20 40 20 3 120 60 4800 1200 2400

35 45 30 40 30 6 240 180 9600 5400 7200

35 45 40 40 40 1 40 40 1600 1600 1600

45 55 30 50 30 2 100 60 5000 1800 3000

45 55 40 50 40 5 250 200 12500 8000 10000

45 55 50 50 50 3 150 150 7500 7500 7500

55 65 40 60 40 2 120 80 7200 3200 4800

55 65 50 60 50 7 420 350 25200 17500 21000

39 1740 1360 82400 52200 64700

Y con estos clculos 44.615, 11.058

103.15634.872, 11.064

X

XY

Y

x SS

y S

y el coeficiente de

correlacin sera 103.156

0.84311.058 11.064

r

lo que nos muestra que existe relacin

estadstica positiva o directa fuerte entre ambas variables.

b) Segn los datos de la tabla, si uno de estos alumnos obtiene una puntuacin de 70 puntos en razonamiento abstracto, en cunto se estimar su habilidad verbal?

En este caso tendremos que calcular la recta de regresin de X sobre Y, ya que el dato

conocido es de Y y el que queremos estimar es de X. Con los clculos realizados

tendremos que esta recta ser: 2103.156

44.615 ( 34.872)122.42

XY

Y

Sx x y y x y

S y

simplificada 0.843 15.23x x y en el caso de y=70 tendremos que 74,216x ,

resultado fiable (F=71%) aunque se pierde algo de fiabilidad ya que el valor que

queremos estimar se encuentra fuera del rango de la variable.