Calculo de Limite de Funciones. Limites de funciones Algebraicas.
Ejercicios de limites y funciones final
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ASIGNACIÒN DE EJERCICIOS DE LA UNIDAD II MATEMATICA I. VALOR: 10%
Calcular los siguientes límites de funciones si existen.
( ) ( )( ) 0111
5
51
41
2121
14limlim
2limlim2lim1
4lim
22lim
1lim4
22lim
...
14
22lim)
2
11
11
21
1
21
1
2
1
2
1
=+−=+−
=+−−
+−−−=
++−
=+−
+−
+−
+−
+
−+−
−→−→
−→−→−→
−→
−→
−→−→
−→
yy
yyy
y
y
yy
y
y
yy
y
yy
y
yy
sumadepropiedadaplicando
y
yya
( )( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) 18
1
6.3
1
333
1
939
1
3
1lim
39
9lim
1.
39
9lim
39
3lim
.
9
3lim
9
3
lim
.0
0
993
1
3
1
9
3
11
lim)
99
99
99
9
−=−=+
−=+
−=
+−=
+/−///−//−
−+−
−=+−
−=
−−=
−
−
=
=−
−=
−
−
→→
→→
→→
→
xxxxx
x
comunfactor
xxx
x
xxx
x
conjucionaplicamos
xx
x
xx
x
fraccionesoresolviendxxb
xx
xx
xx
x
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )( )
22
22
2
2
2
22
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
32
42
3
4lim
3
4lim
23
24lim
...
65
86lim)
=
−−=
−−=
−−=
/−/−/−/−
+−+−
+
+
→
/−+//−
→
+
+−−
→
−−
→
t
t
t
tt
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
t
tt
tt
conjugamosyosfactorizan
tt
ttc
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 48
1
4.12
1
26266
1
226
1lim
2266
6lim
2266
6lim
2266
24lim
2266
24lim
2266
2222lim
..
0
0
3626
262
36
22lim)
6
6
6
6
6
6
26
−=−=−++
−=
−++−=
−++/−///−//−
−++−−=
−++−+−=
−++−−−=
−++−−+−−
=−
−−=−
−−
→
→
→
→
→
→
→
kk
kkk
k
kkk
k
kkk
k
kkk
k
kkk
kk
osfactorizamyconjugamos
k
kd
x
k
k
k
k
k
k
( )
( )( )
( ) 22
22
2
2.
2
2
2
2
1
4/cos
1
cos
1lim
cossoc
soclim
1.
coscos
coslim
coscos
cos
lim
cos1
coslim
.
0
0
4/tan1
4/cos4/
tan1
coslim)
2
4/4/
4/
4/4/
4
−=−=−=−=
−=−=////−////
////−////−=
−−
−=
−−
=−
−
−=−
−=−
−
→→
→
→→
→
π
πππ
ππ
π
ππ
π
xxxnesx
xnesx
comunfactor
xsenxx
xsenx
xsenxx
xsenx
x
senxxsenx
identidadaplicamos
sen
x
xsenxe
xx
x
xx
x
( ) ( )
( )
61
6
11
6lim
1
6lim
1
6
lim
...1
6lim)
6606lim
6lim..
6lim
996lim
.0
0
0
93093lim)
2
22
22
2
0
0
2
0
2
0
22
0
==+
=
+
=+
∞∞=
+
=+=+=/+/=
+=/−/++
=−+=−+
∞→
∞→∞→
∞→
→
→
→→
→
x
xx
x
x
x
x
x
xendividiendosolucionx
xg
hh
hhhcomunfactor
h
hh
h
hh
notableproductoh
hf
x
xx
x
h
h
hh
h
Ejercicios de funcionesUtilizar las propiedades de los logaritmos y resolver:
( ) ( )2 2 2
2 2
2
2 2
log 4 log 2 1 log 3
: log( . ) log log
log ( 4)(2 1) log 3( log )
( 4)(2 1) 3( . )
2 8 4 3( . . )
2 7 4 3 0 2 7 7 0
. . .
x x
propiedad a b a b
x x anular aritmos
x x propiedad distributiva
x x x igualando a cero
x x x x
buscamos las raices p
+ + − == +
+ − =+ − =
− + − =+ − − = ⇒ + − =
22
1
2
. . .
7 (7) 4(2)( 7)4
2 2.(2)
7 105
4
7 105
4
7 105
4
ara resolver la cuadratica
b b acx x
a
x
x
x
− ± − −− ± −= ⇒ =
− ±=
− +
− −
2) Dada las funciónes : ( ) ( ) 531273 2 −=+−= xxGxxxF
Encuentre:
( ) ( )
( ) ( )
2
2
2
2
2
2
) ( 2)
3( 2) 7( 2) 12
12 14 12 38
)
(3 5) 3 7 12 ( . )
3 5 3 7 12
3 10 17
)
( ( )) 3(3 5) 7(3 5) 12( . )
3 9 30 25 21 35 12(
a F
b G F x
X X X DISTRIBUIMOS SIGNOS
X X X
X X
c F G x
F G X X X PRODUCTO NOTABLE
X X x DISTRIBUTIV
−= − − − += + + =
−
= − − − + = − − + −= − + −
= = − − − +
= − + − + +
o
( ) ( )
2
2
2 2
2 2
2 2
)
27 90 75 21 47
27 111 122
3)
3( 3) 7( 3) 12 3 7 12
( . . . )
3 6 9 7 21 12 3 7 12
3 18 27 21 3
18 27
A
X X X
X X
F a F ad
a
a a a a
aproducto notable y distributiva
a a a a a
a
a a a
aa
a
= − + − += − +
− −
− − − + − − + =
− + − + + − + − =
− + + −=
− +=
3) Establezca si el enunciado es verdadero (V) o falso (F): justifique el falso
transformándolo en verdadero.
a.) 0
0
1 ( )
. 1
x x
x x
e e e f
e e e
−
−
+ = == =
b.) La función ( )11
2( ) 2
2
xxg x es equivalente a g x−
−= = ( f )
1 1 2( ) 2 2 .2
2
xx xg x − −= = = =
c.) El rango de ( )f x k= − donde K es constante, es el conjunto de dos reales negativos ( f )
el rango de f(x)=-k es (-k)
d.) Por propiedad ( ) ( )ln 3 2 ln 3 2xe x− = − ( f )
por propiedad ( )ln 3 2xe − =3x-2
4)
Grafique e indique dominio y rango de la siguiente función :
a) ( )
3 1
2 3 1
x si x
F xx si x
− ≥ −= + −
<
Solución: tabla de valores para graficarX≥-1
F (-1)=3-(-1)=4F (0)=3-0=3F (1)=3-1=2x<-1
y
F (-1)=2(-1)+3=1 3
F (-2)=2(-2)+3=-1
F (-3)=2(-3)+3=-3 2
x -1 0 1y 4 3 2
x -1 -2 -3y 1 -1 -3
-3 -2 -1 1 2 x
Dom f(x): R 3
Rg [f(x)]:(-∞.-1)U[1,+∞) -1
-2
-3
( )
( ]
) 2
2 0 2
2
. ( ) : ,2
b F x x
x x
x
Dom f x
= −− ≥ ⇒ − ≥ −≤
−∞
multiplicamos por menos uno
Tabla de valor
x -2 -1 0 1 2
y 2 1,7 1,4 1 0
( 2) 2 ( 2) 4 2
( 1) 2 ( 1) 3 1,7
(0) 2 0 2 1,4
(1) 2 1 1 1
(2) 2 2 0
F
F
F
F
F
− = − − = =
− = − − = =
= − = =
= − = =
= − =
rango f(x)=[0,+∞) y
2
1
x
-3 -2 -1 1 2 3
I PARTE: Completación.Complete con la palabra adecuada para darle sentido a la oración.
1.- La función ( )f x ax b= + es una función del tipo: __lineal_______________________su
rango es el conjunto __de los valores de y_____________________
2.- senxy = es una función__trigonometrica________________ el rango es ____________________
3.- La función ( ) xxF = se denomina __funcion identidad ________________, su gráfica es una ___recta___________ que pasa entre el primer ________________ y ____tercer___________ cuadrante. El dominio es conjunto___los valores de x y va de menos infinito a mas infinito_________________________________________________________
4.- La función ( ) xaxf = se denomina _funcion exponencial________________________ la gráfica intercepta al eje _y____ en el punto ______, el rango es los valores de y____rango: IR+_____________________
II PARTE: Pareamiento. Coloque dentro del paréntesis de la columna B el número que corresponde a la columna A para clasificar la función según el tipo. COLUMNA A COLUMNA B
( 4) Función identidad ( 3 ) Función por intervalo
( ) ( )3 21.) xf x e += ( 5 ) Función constante
( ) 22.) 2 4 5g x x x= − + − ( ) Función algebraica
( ) 4 2 03.)
4 0
x si xg x
si x
+ − < <= ≥
( 1 ) Función exponencial real
( )4.)h x x= ( ) Función lineal
5) ( )f x k= − ( 6) Función logaritmo naturalxxf ln)()6 =
( 2 ) Función cuadrática
I PARTE: Completación.Complete con la palabra adecuada para darle sentido a la oración.
1.- La función ( )f x ax b= + es una función del tipo: __lineal_______________________su
rango es el conjunto __de los valores de y_____________________
2.- senxy = es una función__trigonometrica________________ el rango es ____________________
3.- La función ( ) xxF = se denomina __funcion identidad ________________, su gráfica es una ___recta___________ que pasa entre el primer ________________ y ____tercer___________ cuadrante. El dominio es conjunto___los valores de x y va de menos infinito a mas infinito_________________________________________________________
4.- La función ( ) xaxf = se denomina _funcion exponencial________________________ la gráfica intercepta al eje _y____ en el punto ______, el rango es los valores de y____rango: IR+_____________________
II PARTE: Pareamiento. Coloque dentro del paréntesis de la columna B el número que corresponde a la columna A para clasificar la función según el tipo. COLUMNA A COLUMNA B
( 4) Función identidad ( 3 ) Función por intervalo
( ) ( )3 21.) xf x e += ( 5 ) Función constante
( ) 22.) 2 4 5g x x x= − + − ( ) Función algebraica
( ) 4 2 03.)
4 0
x si xg x
si x
+ − < <= ≥
( 1 ) Función exponencial real
( )4.)h x x= ( ) Función lineal
5) ( )f x k= − ( 6) Función logaritmo naturalxxf ln)()6 =
( 2 ) Función cuadrática