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CALCULO VECTORIAL: Tarea 1

1. Sean u = (1,−2) y v = (−3, 2) dos vectores en R2. Resuelva las operaciones y represente-las graficamente en el plano

a) u b) v c) u + vd) u − v e) 1

3 u d) 4u − 12 v.

2. Sean u = (2, 5,−4) y v = (3, 4,−5) dos vectores en R3. Resuelva las operaciones y repre-sentelas graficamente en el espacio

a) u b) v c) u + vd) u − v e) 1

3 u d) 4u − 12 v.

3. En la FIGURA se muestran dos vertices de un paralelepıpedo rectangular que tiene ladosparalelos a los planos de coordenadas. Determine las coordenadas de los restantes seisvertices.

restantes seis vértices.

FIGURA 11.2.9

(3, 3, 4)

(21, 6, 7)z

x

y

4. Use la formula de distancia y el Teorema de Pitagoras para determinar si los siguientespuntos forman un triangulo rectangulo, isosceles, equilatero, etc:

a) A = (3, 5, 2), B = (2, 3,−1) y C = (6, 1,−1).

b) D = (6, 3, 4), E = (2, 1,−2) y F = (4,−1, 10).

c) G = (1, 2, 3), H = (4, 1, 3) y I = (4, 6, 4).

5. Determine que pares de vectores formados por los lados de los siguientes puntos son pa-ralelos

A(0, 0, 0) B(3, 0, 0) C(0, 5, 1) D(3, 5, 1)E(2, 0, 5) F(5, 0, 5) G(2, 5, 6) H(5, 5, 6)

6. Decir para que valores de c los vectores (c, 2,−1) y (1,−1, 2) son:

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a) ortogonales;

b) forman un angulo agudo.

7. Encontrar la componente del vector (2,−2, 1) en:

a) la direccion1√3(1, 1,−1).

b) la direccion de el vector (3, 2,−6).

8. Pruebe usando metodos vectoriales que las diagonales de un paralelogramo tienen longi-tudes iguales si y solo si este es un rectangulo.

a) Encontrar el area del triangulo con vertices P1P2P3.

b) Encontrar la ecuacion del plano los tres puntos P1, P2, P3.

c) Encontrar la interseccion de este plano con la lınea paralela al vector v = (1, 1, 1) quepasa por el punto S = (−1, 0, 0).

9. Los ocho vectores de el cubo centrado en el origen de R3, con lados de longitud dos, estanen (±1,±1,±1).

a) Encontrar los cuarto vertices del cubo, comenzando con (1, 1, 1), que forman un te-traedro regular. Confirmar tu respuesta encontrando la longitud de una arista y expli-cando por que todas las aristas tienen la misma longitud.

b) Una molecula de metano consiste de un atomo de hidrogeno en cada uno de los verti-ces de un tetraedro regular y un atomo de carbono en el centro. Encontrar el “angulode la union”, es decir el angulo formado por los vectores de el atomo de carbono ydos atomos de hidrogeno (usar una calculadora).

c) Usar el producto punto para encontrar el angulo entre dos aristas adyacentes de el te-traedro; y el angulo entre dos aristas opuestas. Explicar su respuesta usando simetrıa.

10. Encontrar la componente (Proyuv) del vector v = (2,−2, 1) en:

a) la direccion del vector u =1√3(1, 1,−1).

b) la direccion del vector u = (3, 2,−6).

11. Encontrar el area del triangulo con vertices

P = (2, 0, 1), Q = (3, 1, 0), R = (−1, 1,−1).

Para los ejercicios del 5 al 7 considere los puntos P(0, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(1, 0, 1) y S(0, 1, 1).

12. Dibuje P, Q, R y S; calcule la distancia entre cada par de ellos.

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13. Hallar el angulo entre cada par de aristas, PQ, PR, PS, etc.

14. Calcular el area de cada cara y el area total del objeto.

15. Investigue una formula para calcular el volumen de una piramide triangular y usela paracalcular el volumen del objeto generado por P, Q, R y S

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CALCULO VECTORIAL: Tarea 2

1. Obtener los valores de a y b tales que (1, a, 4)× (2, b, 3) = (10, 5,−5).

2. Encontrar el area del triangulo en espacio que tiene vertices en los puntos A(2, 0, 1), B(3, 1, 0)y C(−1, 1,−1).

3. Verificar que el producto cruz × generalmente no satisface la ley asociativa, realizando elcalculo de

(i × i)× j y i × (i × j).

4. Encontrar el volumen del tetraedro con vertices P(1, 0, 1), Q(−1, 1, 2), R(0, 0, 2) y S(3, 1,−1).

5. Cuatro vectores son colocados perpendicularmente sobre las cuatro caras de un tetraedroen el espacio. Cada vector esta apuntando hacia afuera del tetraedro y tiene longitud iguala el area de la cara. Mostrar que la suma de estos cuatro vectores es cero.

6. Muestre usando la definicion de producto vectorial que

u × (v × w) = (u · w)v − (u · v)w.

7. Calcule el volumen del paralelepıpedo con vertices en 1

A(0, 0, 0) B(3, 0, 0) C(0, 5, 1) D(3, 5, 1)E(2, 0, 5) F(5, 0, 5) G(2, 5, 6) H(5, 5, 6)

1En el transcurso de la semana agregare algunos otros ejercicios dada la austeridad de esta serie.

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CALCULO VECTORIAL: Tarea 3

1. Encontrar las ecuaciones de los siguientes planos:

a) pasa por el punto (2, 0,−1) y es perpendicular a i + 2j − 2k,

b) pasa por el origen, (1, 1, 0) y (2,−1, 3),

c) pasa por (1, 0, 1), (2,−1, 2) y (−1, 3, 2),

d) pasa por los puntos (1, 0, 1), (0, 1, 1) y es paralelo a i − j + 2k.

2. Encontrar las ecuaciones parametricas para las rectas:

a) que pasa por el punto (1, 0,−1) y es paralelo al vector 2i − j + 3k,

b) que pasa por el punto (2,−1,−1) y es perpendicular a el plano x − y + 2z = 3,

c) pasa por (1, 0, 1) y (−1, 3, 2).

3. Encuentre la linea que pasa por los puntos (0, 1, 2) y (2, 0, 3) y determine donde intersectaal plano x + 4y + z = 4.

4. Encuentre la linea que pasa por (1, 1,−1) y es perpendicular al plano x + 2y − z = 3,posteriormente determine donde esa recta intersecta al plano 2x − y + z = 1.

5. Sea L la interseccion de los planos 3x + y − 4z = 5 y 2x + 3x − z = 4. Si P es el plano conecuacion x − 2y + 3z = 1, hallar L ∩ P.

6. Obtenga la ecuacion canonica del plano que contiene a la rectas que se cortan dadas por laecuaciones

x3=

y − 1−1

=z − 2

3y

x−1

=y − 1

2=

z + 2−5

.

7. Sean a, b y c son numeros distintos de cero,

a) determine la ecuacion canonica del plano que pasa por los puntos (a, 0, 0), (0, b, 0) y(0, 0, c).

b) muestre que la ecuacion encontrada en el inciso anterior puede expresarse como

xa+

yb+

zc= 1.

8. Se va a construir un paralelepıpedo de carton, el ingeniero especifica que cuatro de susvertices se pueden ubicar en los puntos P(0, 0, 0), Q(1, 1, 0), R(1, 0, 1) y S(0, 1, 1) del espa-cio. Determine

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a) Los otros cuatro vertices del paralelepıpedo.

b) La cantidad total de carton que se necesitara (medida en area).

c) El volumen que sera capaz de contener dicho objeto.

9. Obtenga la ecuacion canonica del plano que contiene a las rectas que se cortan dadas porla ecuaciones

x − 12

=y + 3

4=

z7

yx − 1−1

=y + 3

5=

z−2

.

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