Ecuaciones Dimensionales

Aplicación del Teorema de ∏ Buckingham

1. La experiencia y la experimentación demuestran que la diferencia de presiones entre la salida y

la entrada de una turbo máquina, depende del caudal Q turbinado, de la velocidad de giro de la

máquina N, de la densidad del fluido ρ, de la viscosidad cinemática υ del líquido turbinado y del

diámetro del rodete de la turbina D.

a) Se pide hallar los parámetros adimensionales de los que dependerá el fenómeno físico, si se

toman como entidades repetidas ρ, N y D.

2. La resistencia F sobre un proyectil de alta velocidad, depende de la velocidad "v" del proyectil,

de la densidad del fluido ρ, de la velocidad del sonido "a", del diámetro del proyectil D y de la

viscosidad del fluido µ.

a) Encontrar los parámetros adimensionales que definen el fenómeno físico, mediante el

Teorema de π. Hágase el problema por el método rápido

3. La ecuación que nos da la ley de resistencia para la circulación de un fluido por tuberías, es la

siguiente: F ( ρ, µ, ε, v, D, dp/dx) = 0

a) Aplicar el teorema de Buckingham para la determinación de los parámetros adimensionales.

Tómese como sistema de variables repetidas µ,ε,ρ.

4. La potencia obtenida en una hélice P depende de la densidad del aire ρ, el diámetro D, la

velocidad de la corriente v, la velocidad de rotación N, la viscosidad dinámica µ, y la velocidad

del sonido "a".

a) Encontrar los parámetros adimensionales que definan el fenómeno físico.

5. El empuje producido por una hélice cualquiera de un conjunto de hélices de aeroplano

geométricamente semejantes, se determina experimentalmente a partir de un ensayo en un

túnel aerodinámico con un modelo. El empuje F depende de la velocidad de rotación N, de la

velocidad de avance V, del diámetro D, de la viscosidad del aire µ, de la densidad ρ, y de la

velocidad del sonido a.

a) Hallar los parámetros adimensionales y la función que los relaciona, tomando como

variables repetidas ρ, N y D.

6. Determina de qué parámetros "π" adimensionales depende la pérdida de carga en una tubería,

sabiendo que la caída de presión es función del diámetro D, la longitud L, de la rugosidad ε , de

la velocidad media V, de la viscosidad del fluido que circula µ , de la densidad del mismo, de la

gravedad g y del módulo de elasticidad volumétrica K.

a) De los parámetros que obtengas, indica su nombre y la relación de fuerzas a que equivale.

Nota: Tómese como variables repetidas, ρ, v, D.

Favor leer la siguiente teoría antes de resolver los problemas

El teorema de P.W. Bridgman suele usarse para obtener formulas o ecuaciones empíricas a

partir de resultados experimentales. Su texto es: «Si empíricamente, fuera constatado que una

magnitud X depende de las magnitudes A, B, C..., independientes entre sí, entonces X puede ser

expresado de la forma siguiente:

X = K Aa Bb Cc…………

Donde K es una constante adimensional que debe ser evaluada experimentalmente y a, b, c...

son exponentes cuyos valores son evaluados mediante el análisis dimensional».

Se ha de señalar que las magnitudes físicas X, A, B, C,.. , suelen denominarse las variables

experimentales.

Problemas Propuestos

7. En un experimento se verifica que el periodo T0 de oscilación de un sistema masa-resorte

depende de la masa m del cuerpo y de la constante elástica ke del resorte. ¿Cuál es la ecuación

para el periodo de oscilación del resorte en función de m y de ke?

Las dimensiones de [ ke ] = MT –2 y [ T0 ] = T

8. La velocidad mínima necesaria para que un cuerpo lanzado de uno de los polos de la tierra no

regrese es v, esta velocidad se llama «velocidad de escape» y depende de la constante de

Gravitación Universal G, de la masa m y del radio R de la tierra. ¿Cuál es la fórmula para v?

La dimensión de [G] = M–1 L3 T –2

9. Una partícula se mueve con rapidez uniforme v en un círculo de radio r. Si su aceleración es

proporcional a una potencia de r, por ejemplo rn. Si su aceleración es también proporcional a

alguna potencia de v, por ejemplo vm. Determinar los valores de las potencias m y n.

10. La ecuación que representa a determinado fenómeno físico es:

x = A e –at Sen (b t + c)

Donde A, a, b y c son constantes, e la base de los logaritmos neperianos, x está en metros, t en

segundos y c en radianes. ¿Cuáles son las unidades de A, a y b respectivamente en el SI?

11. La presión sonora en una sala, puede ser obtenida a partir de una constante R que puede ser

determinada por la ecuación:

R = V / (t / k – V / A)

Donde t es el tiempo, V el volumen de la sala y A el área total de la sala. ¿Cuáles son las

unidades de la constante k en el SI?

12. Hallar los valores de los exponentes n y m para que la expresión mostrada sea

dimensionalmente correcta:

X α a n t m

Donde α significa proporcionalidad o proporcional. La expresión dada se lee X es proporcional a

a n, y X es proporcional a t m. También se puede leer X es directamente proporcional a a n y X es

directamente proporcional a t m.

13. Verificar si la ecuación correspondiente al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es

dimensionalmente correcta.

x = ½ a t 2

14. Aplicando el principio de Homogeneidad Dimensional, demostrar que:

a) M = C ρ v A (usando el sistema MLT) Dónde: M = gasto másico (masa por unidad de tiempo)

ρ = densidad de la mása v = velocidad lineal A = área de la sección transversal

15. Usando el Teorema π de Buckingham, encontrar tres grupos adimensionales para las variables involucradas en el flujo de un fluido a través de una presa. Se tiene las siguientes variables: q = gasto de descarga de fluido H= altura del fluido g = aceleración gravitacional ρ = densidad del fluido μ = viscosidad dinámica del fluido ς = tensión interfacial, en la interface aire –fluido Usar H, q y μ como las tres variables usadas en los cálculos de cada término π. Emplear el sistema MLT.