Ejercicio # 4: Desplazamientos Laterales (Derivas)
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EJERCICIO N° 4: HALLA LAS DERIVAS §i Y LOS DESPLAZAMIENTOS Δi EN CADA NIVEL. EN EL EDIFICIO DE LA FIGURA, SE CONOCEN LOS PESOS SISMICOS Wi DE LOS DIFERENTES NIVELES, Y EL CORTE VASAL Vo. SE EXIGE NIVEL DE DISEÑO 3. LA ESTRUCTURA ES METALICA TIPO I, DE TRES PISOS, Y APOYA SOBRE UN SUELO CON T* = 0.8. LA CONSTRUCCION ES DEL TIPO A, CON ELEMENTOS NO ESTRUCTURALES SUSCEPTIBLES DE SUFRIR DAÑOS POR DEFORMACIONES DE LA ESTRUCTURA. SE PIDE HALLAR LAS FUERZAS DE PISO Fi Y LAS DERIVAS Y DESPLAZAMIENTOS DE CADA NIVEL ANALIZANDO EL SISMO EN EL EJE X Inercia en vigas= 4,32 × 10−3𝑚4
Planos y detalle en columna
40 cm
5 cm
40 c
m
seccion transversal columnas
TERMINOS PARA CALCULOS DE DERIVAS Y DESPLAZAMIENTOS
W = PESO
Vo = CORTE VASAL
T* = APOYO ESTRUC. METALICA. = 0.8
Fi = FUERZA DE PISO
§i = DERIVAS
Δi = DESPLAZAMIENTO
Ft = FUERZA LATERAL
T = PERIODO FUNDAMENTAL DE LA ESTRUCTURA (TIEMPO EN
SEGUNDOS)
Σ = SUMATORIA
h = ALTURA
Kc = RIGIDES DE LAS COLUMNAS
Kv = RIGIDES DE LAS VIGAS
δe = DERIVA ELASTICA
OJO: SI NO DAN LA T* EN EL
ENUNCIADO NOS DARA LA FORMA
ESPECTRAL Y DE ALLI
ENTRAMOS ALA NORMA EN LA
PAG 35 PARA OPTENER T*
El periodo fundamental de la estructura resulta:
Tipo I = Si la estructuras es de concreto armado
Formula 𝑇 = 0,07 ℎ𝑛0,75 === Concreto Armado
𝑇 = 0,08 ℎ𝑛0,75 ===Metálico
En caso de ser tipo II, III, IV .Se usaría 𝑇 = 0,05 ℎ𝑛0,75
Y como es tipo I
𝑇 = 0,080 × ℎ𝑛0,075 = 0,08 × 100,75 = 0,45 seg
La fuerza lateral se calcula:
𝐹𝑡 = 0,06𝑇
𝑇∗= 0,02 𝑉𝑂 = 0,06
0.45
0,8− 0,02 124,8 = 1,72𝑡
Pero Ft debe estar acotado por los siguientes valores:
0,04 × 𝑉𝑜 ≤ 1,72 ≤ 0,1 × 𝑉𝑜
Donde: 0,04 × 124,8 ≤ 1,72 ≤ 0.10 × 124,8
5 ≤ 1,72 ≤ 12,48
No cumple, falla por debajo, debido a que el valor calculado de Ft=1,72
ton es menor que 5 ton, que seria el valor mínimo permitido por la
norma.
Por lo tanto se adopta: Ft = 5 ton.
Se realiza la tabla anterior para calcular las fuerzas de piso fi. En wi se
colocan los pesos correspondientes a cada nivel , hi la altura de entrepiso
de manera acumulada y en wi x hi, se multiplica cada peso de cada
entrepiso por la altura correspondiente a cada nivel.
NIVEL Wi hi Wi x hi fi vi
3 340 10 3400 57,62 57,62
2 380 4 2660 41,17 98,19
1 420 7 1680 26 124,79
∑ ∑ = 1140 ∑ = 7740
Para el nivel 3 (caso particular para la losa de techo)
𝐹𝑖 = 𝐹𝑡 − 𝑉𝑜 × 𝑤𝑖 𝑥 ℎ𝑖
∑𝑤𝑖 𝑥 ℎ𝑖+ 𝑓𝑡
𝐹3 = 124,8 − 5 × 3400
7740+ 5 = 57.62 𝑡𝑜𝑛
V3 = 𝐹3
V3= 57,62 ton.
Para el calculo de fi en los diferentes niveles:
𝐹𝑖 = 𝐹𝑡 − 𝑉𝑜 × 𝑤𝑖 𝑥 ℎ𝑖
∑𝑤𝑖 𝑥 ℎ𝑖
𝐹2 = 124,8 − 5 × 2660
7740= 41,17 𝑡𝑜𝑛
V2= 41,17 + 57,62 ton= 98,79 (se le suma el valor de vi del nivel superior)
Inercia en Vigas
𝐼𝑛𝑒𝑟𝑐𝑖𝑎 = 4,32 × 10−3 𝑚4
(Dato del ejercicio)
𝐼𝑥 ∶ 4,32 × 10−3𝑚4
𝐼𝑥 = 4,32 × 10−3𝑚4 × (100)4
𝑚4𝑐𝑚4
𝐼𝑥 = 432000 𝑐𝑚4
Inercia en columnas : (area hueca)
𝐹1 = 124,8 − 5 × 1680
7740= 26 𝑡𝑜𝑛
V1= 26 + 98,79 ton= 124,8 ton (se le suma el valor de vi del nivel superior)
40 cm
5 cm
40 c
m
seccion transversal columnas𝐼𝑦 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠 =
40 3 × 40
12 − 30 3 × 30
12= 145833,33 𝑐𝑚4
𝑘𝑐1𝐴 = 145833,33 × 2
400= 729,17 𝑐𝑚3
𝐾𝐶1𝐵 = 𝐾𝐶1𝐶 = 729,17 𝑐𝑚3
Nivel 2 = Nivel 3 (Por se la misma altura de entrepiso de 3 m)
𝐾𝐶2𝐴 = 1458333,33 × 2
300= 972,22 𝑐𝑚3
Nivel 1 Rigideces de columnas
𝑘𝑐 = 𝐼𝑥 × 𝑁 º 𝑐𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛𝑎𝑠
ℎ
𝐾𝐶2𝐵 = 𝐾𝐶2𝐶 = 729,17 𝑐𝑚3
𝐾𝑉 = 432000 × 1
600= 720 𝑐𝑚3
Caso # o2 de wuilburg
𝑅1 = 48 × 𝐸
ℎ14 × ℎ1 ∑ 𝑘𝑐1
+ℎ1 + ℎ2
∑𝑘𝑣 +∑𝑘𝑐112
𝑅𝐼𝐴 =48 × 2,1 × 106
4004 × 400729,17
+ (400 + 300)
720 +729,1712
𝑅𝐼𝐴 = 81531,41 𝑘𝑔/𝑐𝑚
𝑅𝐼𝐴 = 𝑅𝐼𝐵 = 𝑅𝐼𝐶 = 81531,41 𝑘𝑔/𝑐𝑚
𝑅1𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 81531,43 × 3 = 244594,23𝑘𝑔
𝑐𝑚
Rigideces de Vigas
𝐾𝑉 = 𝐼 × 𝑁º 𝑑𝑒 𝑣𝑖𝑔𝑎𝑠
𝑙
Nivel # 02 caso# 03 de wuilburg
𝑅2𝐴 = 48 × 𝐸
ℎ24 × ℎ2 ∑ 𝑘𝑐2
+ℎ1 + ℎ2
∑𝑘𝑣 +∑𝑘𝑐112
+ℎ2 + ℎ3∑𝑘𝑣
𝑅2𝐴 =48 × 2,1 × 106
3004 × 300972,22
+(400 + 300)
720 +729,1712
+(300 + 300)720
𝑅2𝐴 = 113353,46 𝑘𝑔/𝑐𝑚
𝑅2𝐴 = 𝑅2𝐵 = 𝑅2𝐶 = 113353,46 𝑘𝑔/𝑐𝑚
𝑅2𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 113353,46 × 3 = 340060,33 𝑘𝑔/𝑐𝑚
Nivel #3 caso #5 de wuilburg
𝑅 =48 × 2,1 × 106
ℎ𝑖4 × ℎ𝑖∑ 𝑘𝑐𝑖+ℎ𝑖𝑛𝑓 + ℎ(𝑛𝑖𝑣𝑒𝑙)
∑ 𝑘+ℎ𝑖 + ℎ(𝑠𝑢𝑝 )∑ 𝑘𝑣
𝑅3𝐴 = 48 × 2,1 × 106
3004 × 300972,22
+(300 + 300)720
+(300 + 0)720
𝑅3𝐴 = 1352449,99𝑘𝑔
𝑐𝑚
𝑅3𝐴 = 𝑅3𝐵 = 𝑅3𝐶 = 135249,99𝑘𝑔
𝑐𝑚
𝑅3𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 135249,99 × 3 = 405749,97𝑘𝑔
𝑐𝑚
Nivel Hi (m) Fi (ton) Vi (ton) Ri
(tn/m)
δei (cm) Δei (cm) δi (cm) Δi (cm) Ɛ
3 3 57,62 57,62 405,75 0,142 0,940 0,681 4,511 0,00226 2 3 41,17 98,19 340,06 0,288 0,798 1,382 3,83 0,0044 1 4 26 124,79 244,59 0,510 0,510 2,448 2,448 0,00616
Para obtener las rigideces en (Ri ton/m)
𝑅𝐼 = 244549,23𝑘𝑔
𝑐𝑚×(1 𝑡𝑜𝑛)
1000 𝑘𝑔= 244,59 𝑡𝑜𝑛/𝑚
𝑅2 = 340060,33𝑘𝑔
𝑐𝑚×1𝑡𝑜𝑛
1000𝑘𝑔= 340,06 𝑡𝑜𝑛/𝑚
𝑅3 = 405749,97𝑘𝑔
𝑐𝑚×1𝑡𝑜𝑛
100 𝑘𝑔= 405,75 𝑡𝑜𝑛/𝑚
𝛿𝑒 =𝑣𝑖
𝑅𝑖
𝛿𝑒1 =124,8
244,59= 0,510𝑐𝑚
𝛿𝑒2 =98,19
340,06= 0,288 𝑐𝑚
𝛿𝑒3 =57,62
405,75= 0,142 𝑐𝑚
Suma acumulada (Δei)= suma acumulada de 𝛿𝑒𝑖
(Δe1)= 0,510
(Δe2)= 0,510 + 0,288=0,798
(Δe3)= 0,798 + 0,142=0,94
Factor de reducción ND3 R= 6
Tipo I
Metálico
Acero
𝛿𝑖 = 0,8 × 𝑅 × 𝛿𝑒𝑖 (derivas totales)
Factor de reducción: se busca en la norma sismoresistente COVENIN
1756-2001 en la página 29, nos ubicamos en estructuras metálicas y
para la estructura seria Tipo I, se obtiene un R=6
𝛿3 = 0,8 × 6 × 0,142 = 2,448 𝑐𝑚
𝛿2 = 0,8 × 6 × 0,288 = 1,382 𝑐𝑚
𝛿1 = 0,8 × 6 × 0,510 = 0,681 𝑐𝑚
휀 =𝛿
ℎ
휀1 =2,511
400= 0,00628
휀2 =1,382
300= 0,00461
휀3 = 0,681
3000,00227
< 𝟎, 𝟎𝟏𝟐 𝒔𝒊 𝒄𝒖𝒎𝒑𝒍𝒆
Como el tipo de estructura es A y es susceptible de sufrir danos por
deformaciones el valor límite de la deriva máxima total (휀) se busca en la
siguiente tabla 10.1 de la Norma sismo resistente 1756-2001 (pag. 58)