Ejer torsión
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1. Hallar el vector unitario tangente
a la curva dada por: r⃗ (t )=t i⃗+t 2 j⃗, cuando t=1
Solución:
La derivada de r⃗ ( t )
r⃗ ' (t )=i⃗+2 t j⃗
Por tanto, el vector unitario tangente es:
T (t)=r⃗ ' ( t )|r⃗ ' ( t )|
1
√1+4 t 2¿
Cuando t=1, el vector unitario tangente es
T (1 )= 1
√5¿
2. Hallar el vector normal unitario principal
Hallar N (t ) para la curva representada por
r⃗ (t )=3 t i⃗+2t 2 j⃗
Derivando, se obtiene
r⃗ ' (t )=3 i⃗+4 t j⃗ y |r⃗ ' (t )|=√9+16 t 2
Lo que implica que el vector unitario tangente es:
T (t)=r⃗ ' ( t )|r⃗ ' ( t )|
=1
√9+16 t2¿ (vector unitario tangente)
Ahora derivamos T (t) con respecto a t para obtener:
T ' (t )= 1
√9+16 t2(4 j⃗ )− 16 t
(9+16 t 2 )32
(3 i⃗+4 t j⃗ )
¿ 12
(9+16 t 2 )32
(−4 t i⃗+3 j⃗ )
|T ' (t )|=12√ 9+16 t 2
(9+16 t 2)3= 129+16 t 2
Por tanto el vector unitario normal principal es:
N ( t )= T ' (t)|T ' (t)|
¿ 1
√9+16 t2¿ (vector unitario normal
principal)
3. Las ecuaciones paramétricas de una curva C son x=x(s), y=y(s), z=z(s), siendo s la longitud de C medida desde un punto fijo de ella. Llamando r⃗ al vector de posición de un punto genérico de C, demostrar
que d r⃗ds
es un vector unitario
tangente a C.
El vector d r⃗ds
= dds
(x i⃗+ y j⃗+ z k⃗ )=dxdsi⃗+ dydsj⃗+ dzdsk⃗
es tangente a la curva x=x (s ) , y= y ( s ) , z=z (s). Para demostrar que su módulo es la unidad, tenemos:
|d r⃗ds|=√( dxds )2
+( dyds )2
+( dzds )2
=√ (dx )2+ (dy )2+(dz )2
(ds )2=1
4. Hallar el vector tangente unitario en un punto cualquiera de la cuerva x=t 2+1 , y=4 t−3 , z=2 t2−6 t
El vector tangente a la curva uno de sus puntos es:
d r⃗dt
=2t i⃗+4 j⃗+(4 t−6 ) k⃗
El módulo del vector es:
|d r⃗dt |=√ (2t )2+(4 )2+(4 t−6 )2
Luego el vector tangente unitario
pedido es T=2 t i⃗+4 j⃗+(4 t−6 ) k⃗
√(2 t )2+ (4 )2+ (4 t−6 )2
Observe que, como:
|d r⃗dt |=dsdt , T=
d r⃗dtdsdt
=d r⃗ds
5.Dada la curva x=t, y=t 2, z=23t 3,
hallar (a) la curvatura k, (b) la torsión τ
El vector posición r⃗=t i⃗+ t2 j⃗+ 23t 3 k⃗
Por lo tanto, d r⃗dt
=i⃗+2 t j⃗+2t 2 k⃗
dsdt
=|d r⃗dt |=√(1 )2+(2 t )2+(2 t 2 )2=1+2 t2
Y T=d r⃗ds
=d r⃗ /dtds /dt
= i⃗+2 t j⃗+2t2 k⃗
1+2t 2
dTdt
=(1+2 t 2) (2 j⃗+4 t k⃗ )−( i⃗+2 t j⃗+2t 2 k⃗ )(4 t)
(1+2 t2 )2=
−4 t i⃗+(2−4 t2 ) j⃗+4 t k⃗(1+2 t2 )2
Entonces
dTdt
=dT /dtds /dt
=−4 t i⃗+(2−4 t 2 ) j⃗+4 t k⃗
(1+2 t2 )3
Como dTds
=¿kN⃗ ,
k=|dTds |=√(−4 t )2+(2−4 t2 )2+(4 t )2
(1+2 t 2)3= 2
(1+2 t2 )2
De (a),
N⃗=1kdTds
=−2 t i⃗+ (1−2 t 2) j⃗+2t k⃗
1+2 t 2
Por lo tanto,
B⃗=T × N⃗=| i⃗ j⃗ k⃗1
1+2 t22 t1+2 t2
2 t 2
1+2 t2
−2 t1+2 t2
1−2 t 2
1+2 t22 t
1+2 t2|=2t 2 i⃗−2t j⃗+k⃗1+2 t2
De aquí d B⃗dt
=4 t i⃗+(4 t 2−2 ) j⃗−4 t k⃗
(1+2 t 2 )2 y
d B⃗ds
=
d B⃗dtdsdt
=4 t i⃗+(4 t2−2 ) j⃗−4 t k⃗
(1+2t 2 )3
También,
−τ N⃗=−τ [−2t i⃗+(1−2 t2 ) j⃗+2 t K⃗1+2 t 2 ].
Como d B⃗ds
=−τ N⃗ , se obtiene
τ= 2
(1+2t 2 )2