Ejemplos de Lineas de Transmision Cap.4

Propagación de Ondas

Tema 4: Ejemplos de Líneas de Transmisión

Pablo Luis López Espí y Jesús Alpuente Hermosilla

Ingeniería de Telecomunicación Tema 4

1

Ejem

plos

de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Ejemplos de Líneas de Transmisión

Cable coaxial.Ondas de tensión y de corriente.Parámetros primarios.Impedancia característica.Potencia transmitida. Potencia máxima.Atenuación.Modelos comerciales.Modos superiores.

Líneas de tirasMateriales dieléctricos. Propiedades de los sustratos comerciales.Línea biplaca.

Ondas de tensión y corriente.Parámetros primarios y secundarios.Potencia trnasmitida.Atenuación.


2

Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Cable coaxial

Cable coaxial:

Planteamos la ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas

2a 2bε

E

H

2 0tV∇ =

Si la frecuencia es suficientemente baja, en cada sección transversal hay una estructura de campos tipo TEM.

Si la frecuencia es alta en el coaxial pueden aparecer modos TE y TM.


3

Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Cable coaxial. Ecuación de Laplace.

Ecuación de Laplace en coordenadas cilíndricas

Además el cable coaxial tiene simetría con respecto a φ por lo que la variación de V con respecto a esta coordenada es nula.

Condiciones de contorno

En el conductor interior el potencial vale V0, V(ρ = a) = V0.

En el conductor exterior el potencial es cero, V(ρ = b) = 0.

2

2 2

1 1 0V Vρρ ρ ρ ρ ρ

⎛ ⎞∂ ∂ ∂+ =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

1 0Vρρ ρ ρ

⎛ ⎞∂ ∂ =⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠


4

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Cable coaxial. Ecuación de Laplace (II)

Para satisfacer la ecuación anterior, el término que se encuentra dentro del paréntesis debe ser igual a una constante:

Despejando queda:

La ecuación diferencial anterior tiene por solución:

Sabemos por las condiciones de contorno que V(a) = V0 y que V(b) = 0

1V Cρρ

∂ =∂

1V Cρ ρ

∂ =∂

( ) ( )1 2lnV C Cρ ρ= +

( )( )( )0

ln

lnbV V

ab

ρρ =


5

Ejem

plos

de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Cable coaxial. Campos y corriente.

Una vez conocido el potencial es posible hallar la distribución de los campos:

Operando se llega a:

La corriente I0 se calcula a través de la circulación del campo magnético a través de una curva que encierre uno de los conductores

( )1 ˆ

t t

t t

E V

H z Eη

= −∇

= ×

r

r

( )0 1 ˆ

lnt

VEb

aρ

ρ=

( )0 1 ˆ

lnt

VHb

aφ

ρη=

⋅

( ) ( )

( )

( )

00

1 1

20

0

00

1 ˆ ˆln

ln

2ln

tC C

VI H dl a db a

aV d

ba

VIb

a

π

φ φ φη

φη

πη

⎛ ⎞⎜ ⎟= = ⋅ ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

=⋅

⋅=⋅

∫ ∫

∫

rr


6

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de

Líne

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e Tr

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n.

Cable coaxial. Parámetros primarios.

Inductancia

Capacidad

Resistencia

Conductancia

ln( / ) ( / )2

b a H mμπ

=l

2 ( / )ln( / )

c F mb aπε=

1 1 1 ( / )2 2 C

r ma b

ωμπ σ⎛ ⎞= + Ω⎜ ⎟⎝ ⎠

2 ( / )ln( / )

Dg S mb aπσ=


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de

Líne

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n.Cable coaxial. Impedancia característica y potencia transmitida

La impedancia característica del cable coaxial es:

Potencia transmitida:

0

0

ln2C

V bZI a

ηπ

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )12T t tP e E H dS∗⎡ ⎤= ℜ ×⎣ ⎦∫

ˆdS d d zρ ρ φ= ⋅ ⋅ ⋅r

20 0

0

ˆˆ1 ˆ2 ln ln

b

Ta

V VP e d d zb ba a

π ρ φ ρ ρ φρ ρη

∗

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟= ℜ × ⋅ ⋅ ⋅

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

2 20 0 0

0

1 12 ln ln ln

b

Ta

V V VP e d db b ba a a

π πρ φρη η

∗

⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟= ℜ ⋅ ⋅ =

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟⋅ ⋅⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫


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n.

Cable coaxial. Potencia máxima.

La potencia máxima que se puede transmitir por un cable coaxial está limitada por el campo eléctrico máximo o campo eléctrico de ruptura:

Sustituyendo este valor en la expresión de la potencia transmisible se obtiene:

( )0 1(máx)

lnt RUP

VE Eb a

a= ≤

( )2

2

ln(máx) RUP

T

bE b aP

ba

πη⋅ ⋅=


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de

Líne

as d

e Tr

ansm

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n.

Cable coaxial. Atenuación del conductor.

Atenuación en un cable coaxial debida a los conductores

Sustituyendo el valor del campo H

212lc S S

c

P R H dl= ∫2 2

1 2

12lc S t t

C C

P R H dl H dl⎡ ⎤

= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

( )2 2

02 2

0

1 1 1 12 ln

lc SVP R d

b a ba

π

φη

⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ( )2

02 2lnS

lcR V a bP

b aba

πη

⋅ +⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠


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Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Cable coaxial. Atenuación del dieléctrico.

Atenuación debida al dieléctrico

Sustituyendo los valores de la conductividad y del campo eléctrico transversal:

22 2

0

1 12 2

b

ld D D tS a

P E dS E d dπ

σ σ ρ ρ φ= = ⋅ ⋅∫ ∫ ∫

( )2 2

002

0

1 ''2 ln

b

lda

V drP db r

a

π

ωε ε φ= ⋅ ⋅∫ ∫ ( )2

0 0''ln

ldVP

ba

ωε ε π=


11

Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Cable coaxial. Atenuaciones.

Constantes de atenuación: La atenuación total se minimiza eligiendo el valor de b/a.

El mínimo está en b/a = 3,6. la impedancia característica del medio es ZC = 77 Ω

Para transmitir la máxima capacidad de potencia:

Valor óptimo en b/a = 1,65. La impedancia característica que se obtiene es de ZC = 30 Ω

Solución de compromiso es tomar 50 Ω a la que corresponde un valor de b/a = 2,3

( )2 ln

''2 '

SC

D

R a bb ab

ak

αη

εαε

+=

=


12

Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

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n.Cable coaxial. Atenuaciones (II).


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Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Cable coaxial. Modelos comerciales.


14

Ejem

plos

de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Cable coaxial. Modelos comerciales (II).


15

Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Cable coaxial. Modos superiores.

El cable coaxial, además del modo TEM fundamental estudiado, puede propagar también modos TE y TM, conocidos como modos superiores.Estos modos pueden propagarse a partir de una frecuencia mínima o frecuencia de corte.El primero de los modos superiores confinados es el TE01

Su longitud de onda de corte está dada por:

( )C a bλ π= +


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Ejem

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n.

Líneas de tiras. Materiales dieléctricos.

Propiedades:Bajas pérdidas: Valores bajos de tangente de pérdidas.Alta constante dieléctrica: reduce las dimensiones del circuito.Buena resistencia mecánica.Buena conducción térmica. Temperatura de transición alta.Alta uniformidad en las propiedades.Alto valor del campo eléctrico de ruptura.


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Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

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n.Líneas de tiras. Propiedades de los sustratos comerciales.

Se venden en planchas de distintos tamaños y espesores de dieléctrico (d) y metal (t)

d

t

ε, μ, σD

177,8.00705

142,24.00564

106,68.00423

71,12.00282

35,56.00141

17,78.00071/2

9,14.000361/4

Grosor (μm)

Grosor (in)Peso (oz./ft2)


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Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

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n.Líneas de tiras. Propiedades de los sustratos comerciales.

Existe una amplia variedad en cuanto a las tangentes de pérdidas y constantes dieléctricas:

0.002310.2 +/- 0.25RT/Duroid 6010Rogers

0.00310.0AR 1000Arlon

0.00126.15 +/- 0.15RT/Duroid 6006Rogers

0.00204.50 +/- 0.045TMM-4Rogers

0.00264.5 +/- 0.15AR 450Arlon

0.014 (*)3.9-4.4FR4

0.0033.00 +/- 0.05AD 300Arlon

0.00283.00 +/- 0.05TLC-30Taconic

0.00092.17 +/- 0.02Ultralam 217Rogers

Tangente de pérdidas a 10 GHzεNombreFabricante


19

Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

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n.

Línea biplaca.

Está formada por dos conductores planos paralelos .

L

d

W

ε, μ, σD

Entre ambos conductores es posible definir un potencial eléctrico.


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Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Línea biplaca. Ecuación de Laplace.

Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas

Condiciones de contorno

En el conductor superior el potencial vale V0, V(y = d) = V0.

En el conductor inferior el potencial es cero, V(y=0) = 0.

2

2 0d Vdy

=

La ecuación diferencial anterior tiene por solución:

Sabemos por las condiciones de contorno que V(a) = V0 y que V(b) = 0

1 2( )V y C y C= +

0( ) VV y yd

=


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Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Línea biplaca. Campos y corriente.

Una vez conocido el potencial es posible hallar la distribución de los campos:

Operando se llega a:

La corriente I0 se calcula a través de la circulación del campo magnético a través de una curva que encierre uno de los conductores

( )1 ˆ

t t

t t

E V

H z Eη

= −∇

= ×

r

r

0ˆtVE yd

= −

0ˆtVH x

dη=

⋅

( )00

1 1

0

0

00

ˆ ˆtC C

W

VI H dl x dx xd

V dxd

V WId

η

η

η

⎛ ⎞= = ⋅ ⋅ =⎜ ⎟⋅⎝ ⎠

=⋅

⋅=⋅

∫ ∫

∫

rr


22

Ejem

plos

de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Línea biplaca. Parámetros primarios.

Inductancia

Capacidad

Resistencia

Conductancia

( / )d H mW

μ=l

( / )Wc F md

ε=

2 ( / )2 C

r mW

ωμσ

= Ω

( / )DWg S md

σ=


23

Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.Línea biplaca. Impedancia característica y potencia transmitida

La impedancia característica del cable coaxial es:

Potencia transmitida:

0

0C

V dZI W

η= =

( )12T t tP e E H dS∗⎡ ⎤= ℜ ×⎣ ⎦∫

ˆdS d d zρ ρ φ= ⋅ ⋅ ⋅r

0 0

0 0

1 ˆ ˆ ˆ.2

d W

TV VP e y x dx dy zd dη

∗⎡ ⎤⎛ ⎞= ℜ − × ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟⋅⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫

20

2TV WP

dη=


24

Ejem

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de

Líne

as d

e Tr

ansm

isió

n.

Línea biplaca. Atenuación.

Atenuación debida a los conductores

Atenuación debida al dieléctrico

“Interesan materiales dieléctricos con baja tangente de pérdidas y conductores con alta conductividad”

( ) 1 CC

C

Np md

ωμαη σ

=

( ) 2tan

2D Np m

dW

ωε δαη

=⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Ejemplos de Lineas de Transmision Cap.4

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