量子力学 I (2014 年度）

担当：前田 　京剛 (MAEDA, Atsutaka)

平成 26 年 10 月 6 日

[一般的なコンセプト］

・物性科学では日常言語となっている量子力学を初めて学ぶことを前提とし

て，今学期も含めて３学期間にわたるプログラムの口火を切る役割。

・量子力学演習 I と緊密な連携をとる。特に，解析力学の要約や，振動・波動現象の復習，種々の必要な物理数学の演習は「量子力学 I 演習」に譲る。・講義形式：板書を基本とする。

・単位認定：期末試験を行う。

[講義内容予定] (以下の話題の中から適宜選択する)

0. 序論

(a) はじめに

(b) 量子力学の生い立ち

黒体輻射とPlankの仮説，光量子仮説，光の粒子性の実証（Compton効果），de Broglie の物質波仮説，原子スペクトルの研究，Bohrの仮説と前期量子論 　など

1. 波動性と粒子性

(a) Einstein- de Broglie の関係

エネルギーと振動数の関係，運動量と波数の関係 　など

(b) ダブルスリットの実験

実験ビデオ鑑賞

(c) 不確定性原理

相補原理，不確定性原理

1

(d) 波束，波動関数

古典的波動方程式（線形編微分方程式）の解としての波束・古典

的不確定性の復習，量子論的波束，波動関数

2. Schrodinger 方程式

(a) Schrodinger 方程式

(b) （オプション）Schrodinger 方程式：経路積分の考え方

(c) 定常状態

固有値，固有状態，量子数，波動関数の解釈 　など

(d) 定常状態の簡単な解の例

自由電子，剛体壁のポテンシャル中の電子

3. 量子力学の基本的前提

(a) 波動関数の性質

一価性，確率論的解釈，確率密度の流れ，定常状態と非定常状態，

規格化など

(b) 演算子と期待値

期待値，エーレンフェストの定理など

(c) 量子力学的演算子の性質

線型性，固有値と固有状態，エルミート性など

(d) 規格化直交関数系

内積，完全性など

(e) 直交関数系と線形ベクトル空間

ヒルベルト空間，Dirac の bra-ket

(f) 交換関係と不確定性

4. 行列形式

(a) 行列力学

(b) 様々な表示

5. 量子力学系の性質の時間変化

(a) Schrodinger 表示

(b) Heisenberg 表示

Heisenberg の運動方程式

6. Schrodinger 方程式の解（一次元）

(a) 有限の深さのポテンシャル中の電子

束縛状態と散乱状態，トンネル効果

2

(b) 一次元二原子分子

結合軌道と反結合軌道

(c) 一次元周期ポテンシャル中の電子状態（一次元物質のモデル）

Bloch 関数とエネルギー・バンド

(d) 一次元調和振動子

生成消滅演算子，ゼロ点エネルギー

7. 付録:一次元井戸型ポテンシャルによる散乱・トンネル効果

3

[参考書（量子力学一般の教科書）]

1. 標準的なもの

量子力学の教科書は古今東西の名著から簡便なものまで，「星の数」ほ

どある。後者のタイプのものについては各人が必要に応じて個人の趣

味に合わせて選択してもらうこととし，ここでは，一生使えそうなもの

の中からいくつかを抜粋した。より専門的な参考書、話題を限定した専

門書などについては必要に応じて随時紹介する予定である。

・L. I. Schiff; Quantum Mechanics McGraw-hill Kogakusha, Tokyo(1955)

翻訳:新版量子力学（２分冊）（井上健訳）, 吉岡書店

やや古いが標準的な教科書。章末に演習問題があり，それは別巻として

解答集が出版されている。(後出)

・J. J. Sakurai; Modern Quantum Mechanics (Ed. S. F. Tuan) Ben-jamin, Menlo Park (1985)

翻訳:現代の量子力学（桜井明夫訳）, 吉岡書店

最近は多くの人がこの教科書を推薦する。現代的視点から書かれた名著

だが，一通り量子力学の初歩を学んだ人向け。章末に演習問題があり，

それは別巻として解答集が出版されている。（後出）

・A. Messiah; Quantum Mechanics (2 vol.) Dover, New York (1981)

翻訳:量子力学（３分冊）（小出昭一郎・田村二郎訳）, 東京図書

数多くある量子力学の参考書の中でも特に名著と呼ばれるもののうち

の一冊。辞典的にも使える。

・P.A.M. Dirac : The Principles of Quantum Mechanics (4th ed.)Oxford-Misuzu, 東京 (1958)

翻訳:量子力学（朝永振一郎他共訳）, みすず書房

量子力学の建設者の一人による書。簡潔だが，プラ・ケットなどについ

ての理解を深めるのにもよい。

2. 副読本的 なもの

・朝永振一郎：量子力学（第二版）（２分冊）（みすず書房，1969）

著者自ら述べているように，あまり急がずに量子力学を学びたいとい

うひとのための教科書。朝永ファン垂涎の書。

・R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. L. Sands : The Feynman lectureson Physics III Quantum Mechanics (Addison-Wesley, 1965)

翻訳：ファインマン物理学 V 　量子力学（砂川重信訳）（岩波書店）

4

すばらしい解説だが，日本の大学での講義の体系とは合わないので，副

読本とした。

・外村彰：目で見る美しい量子力学（サイエンス社，2010）

外村博士の一大研究史。どの章もたちまち引き込まれてしまうすばら

しい迫力。朝永振一郎「スピンはめぐる」の実験家版として，是非一読

を進めたい（日本物理学会誌書評参照）。

副読本に関しては，これに限った話ではない。

3. 演習書

・基本的には，この講義と並行して進められる「量子力学演習 I」をしっかり履修するのが最も基本。

・井上健監修，三枝寿勝・瀬藤憲昭： 　量子力学演習, 吉岡書店

Schiff の教科書の演習問題解答集。

・大槻義彦監修，飯高敏晃：演習現代の量子力学，吉岡書店

J. J. Sakurai の教科書の演習問題解答集。

・後藤憲一他共編：詳解 　理論・応用 　量子力学演習，共立出版

基本事項のまとめもついている。

4. 物理数学に関する参考書

・寺沢寛一：「自然科学者のための数学概論」（岩波書店）.

5

1 補足：熱輻射

1.1 理解すべき問題

ある温度に熱せられた物体はどういう色の光を出すか？

立方体の空洞（長さ L）の中に閉じ込められている光の振動数分布（どうい

う振動数の光がどのくらい存在しているか？）を考える。

輻射の全エネルギー：U ＝ V u = L3u (1)

輻射のエネルギー密度：u(T ) ≡∫ ∞

0

ρ(ν, T )dν (2)

輻射の密度分布（振動数がνからν + Δνの間にある電磁波のエネルギー）：ρ(ν, T )Δν(3)

1.2 Rayleigh - Jeans の説明

1.2.1 箱の中に存在する電磁波の規準モード

（振動・波動論の復習）３次元空間の波

Φ(r) ∝ eik·r (4)

2πν = c|k| (電磁波の分散関係（波の基本式）) (5)

定常波を構成する進行波の半波長の整数倍が L に等しいので，

k =(

2π2L

)(nx, ny, nz) (6)

nx, ny, nz = 1, 2, 3, 4, ...... (7)

1.2.2 規準モードのエネルギー分布

ρ(ν, T )Δν = g(ν) < ε > Δν (8)

g(ν)：振動数が ν から ν + Δν の間にある規準モードの数< ε >：一個の規準モードを作る基になった

　　　　　　　　　　　　　双極子モーメントのエネルギーの平均値

・g(ν) を求める(5)式・(6)式より，

6

ν2 =( c

2L

)2

(n2x + n2

y + n2z) ≡ ν2

x + ν2y + ν2

z (9)

Δni = 1 ⇒ Δν = (c/2L) (i = x, y, z) (10)

∴ Δν = 1 ⇒ Δni = (2L/c) (11)

g(ν)Δν = (ν空間の該当する体積)× (ν空間の状態密度（実空間の単位体積あたり）)

= （半径νの球の表面積）×（球殻の厚み）× (1/8)× 2× (2/c)3

= (4πν2)× (Δν) × (1/8)× 2× (2/c)3

=8πν2

c3Δν. (12)

（実空間の単位体積辺りの状態密度なので，(11)式において L = 1とおいた。また，因子 1/8 は ν 空間の第一象限だけを考えるためで，因子 2 は偏光の自由度）

・< ε > を求める

（双極子モーメントがエネルギー ε の状態にある確率）∝ e−ε/kBT

< ε >=∫εe−ε/kBTdε∫e−ε/kBTdε

= kBT (13)

この結果は，マクスウェル－ボルツマン統計（古典統計）の最も重要な帰結

であるエネルギー等分配則 に他ならない。従って，

ρ(ν, T ) = g(ν) < ε >=8πν2

c3kBT. (14)

これが，Rayleigh-Jeans の式である。

1.2.3 Rayleigh - Jeans の結果の問題点

・輻射の全エネルギーが発散してしまう→深刻な内部矛盾

・低周波では良く合う。低温になるほど，ズレが顕著。

　　→低温・高周波ほど，エネルギー等分配則が成り立っていない様に見える。

1.3 Wien の説明

輻射エネルギーの一般的な形を決める：

　　　　　　　　　　　　　Wien の displacement law (ずれ法則，変位則)（ある温度でのスペクトルがわかると，他の温度でのスペクトルも分かる）

1.3.1 諸準備

・輻射の圧力

P =13u =

13U

V(15)

7

∵) < Txx > = ExDx − 12E ·D +HxBx − 1

2H ·B (16)

= −13

{12E ·D +

12H ·B

}(17)

= −13u (18)

（Txx：Maxwell の応力テンソル　　　　　　（xx の意味：x 軸に垂直な面の単位面積に x 方向に働く力））

・輻射密度の温度依存性（Stephan - Boltzmann law）

u = (const.)× T 4 ≡ aT 4 (19)

∵) ΔS =ΔUT

+P

TΔV 　を用いると， (20)

∂2S

∂V ∂T=

1T

du

dT, (21)

∂2S

∂T∂V=

43T

du

dT− 4u

3T 2. (22)

これらを等置して，

du

dT= 4

u

T. (23)

・準静的に体積を変化させたときの規準モードの振動数の変化

（波長）∝ Lであるから，

ν ∝ 1L

= V −1/3. (24)

∴(∂ν

∂V

)S

= −13ν

V. (25)

・準静的に体積を変化させたときの系の温度の変化

U = V u = V aT 4 (26)

であるので， (∂U

∂V

)S

= aT 4 + 4aV T 3

(∂T

∂V

)S

, (27)

一方，(∂U

∂V

)S

= −P = −13u = −1

3aT 4. (28)

これらを等置して， (∂T

∂V

)S

= −13T

V. (29)

8

1.3.2 変位則の導出

V → V + ΔV へと準静的断熱的に体積変化を起こしたときの，ν と ν + δν

の間にある輻射のエネルギー・バランス

V → V + ΔV

T → T + ΔT

ν → ν + Δν

δν → δν + Δ(δν)

V ρ(ν, T )δν = PΔV δν + (V + ΔV )ρ(ν + Δν, T + ΔT )(δν + Δ(δν)). (30)

(25)式，(29)式から

ΔT = −T3

ΔVV

, (31)

Δν = −ν3

ΔVV

, (32)

Δ(δν) = −δν3

ΔVV

, (33)

であることを利用して，

ρ(ν + Δν, T + ΔT ) = ρ(ν, T ) +∂ρ

∂νΔν +

∂ρ

∂TΔT (34)

= ρ(ν, T )− ν

3∂ρ

∂ν

ΔVV− T

3∂ρ

∂T

ΔVV

. (35)

従って，

V ρδν =ρ

3δνΔV + (V + ΔV )

{ρ−

(ν

3V∂ρ

∂ν+

T

3V∂ρ

∂T

)ΔV

}δν

(1− ΔV

3V

).

(36)

これを整理すると，

ν

3∂ρ

∂ν+T

3∂ρ

∂T= ρ, (37)

が得られる。ここで，

ρ(ν, T ) =∞∑

m=0

∞∑n=0

amnνmT n (38)

とおいて，(37)式に代入すると，

m+ n− 3 = 0 (39)

が得られる。従って，

ρ = ν3∞∑

m=0

am

( νT

)m

(40)

≡ ν3φ(ν

T). (41)

∴ ρ(ν, T ) = ν3φ(ν

T). (ρ(ν, T )の一般形) (42)

9

1.3.3 Displacement law から直ちに得られる帰結

（１）Stephan - Boltzmann law 　：

　　　　　　　　　　　(42)式を積分すれば，変数変換の過程で明らか。（２）ρ(ν, T )が最大になる振動数 νmax：νmax ∝ T： (42)式を微分すれば，変数変換の過程で明らか。これを狭い意味での displacement lawと言うこともある。

1.3.4 Wienの式

以下の仮定を置き，変位則よりもさらに踏み込む。

（１）ρ(ν, T ) = (振動数 νの輻射を放出する物質粒子の数 N(ν))　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　×(νだけの関数 F (ν))

ρ(ν, T ) = F (ν)N(ν). (43)

（２）物質粒子が放出する輻射の振動数は，物質粒子のエネルギー E だけの

関数

E = f(ν) (44)

N(ν) = (const.)× e−f(ν)/kBT (45)

∴ ρ = F (ν)e−f(ν)/kBT = ν3φ(ν

T). (46)

∴ F (ν) = (const.)× ν3, (47)

f(ν) = λν. (48)

∴ ρ(ν, T ) = (const.)× ν3e−λν/kBT . (49)

∴ ρ(ν, T ) =8πν3

c3kBβe

−βν/T . (β = λ/kB：定数) (50)

これが，Wien の式である。

1.3.5 Wien の式の問題点

Rqyleigh-Jeans の式のような深刻な内部矛盾は無いが，低周波数側で全く合わない。高周波数側ではよく合う。

しかし，Maxwell 理論（電磁波の考え方）を全く無視していたということで，あまり評判は良くなかった。

10

1.4 Planckの輻射式の発見的導出

輻射のエントロピー：S

(Rayleigh-Jeans)

U = kBT (エネルギー等分配則) (51)

∴(∂S

∂U

)V

=kB

U=

1T, (52)

(∂2S

∂U2

)V

= −kB

U2(53)

(Wien)(∂S

∂U

)V

= −kB

hνlnU

hν=

1T, (54)

(∂2S

∂U2

)V

= −kB

hν

1U

(55)

Planck の考え：(53)式，(55)式の逆数を加えて，その逆数をとる(∂2S

∂U2

)V

= − kB

U(U + hν), (56)

(∂S

∂U

)V

= −kB

hνlnU + hν

U=

1T, (57)

これから U を求めると，Planckの式になる。

1.5 Wienの式の意味

輻射のエントロピー（(57)式を積分して求まる）

S = kB

[lnU + hν

hν+U

hνlnU + hν

U

]. (58)

Wienの式が実験とよくあう領域 (U � hν)では，

S � kBU

hν

(1− ln

U

hν

). (59)

・その領域で，与えられたエネルギー Eに対する，体積 V 内の振動数 ν の

輻射のエントロピーを考える。

E(ν, V ) = 8πν2

c3V U (60)

S(ν, V ) = 8πν2

c3kB

U

hν

(1− ln

U

hν

)V (61)

= kBE

hν

[1− ln

(c3E

8πhν3V

)]. (62)

11

体積 V , V0 のエントロピーの差 (V0 � V )

S − S0 = kBE

hνlnV

V0= kBn ln

(V

V0

)= kB ln

(V

V0

)n

. (63)

ただし，

n ≡ E

hν(64)

はエネルギー量子の数。ところで，

S = kB lnW (65)

であるから，

S − S0 = kB ln(W

W0

). (66)

従って，

W

W0=

(V

V0

)n

. 　　　：理想気体のエントロピーと同じ形 (67)

これは，エネルギー量子は，あたかも理想気体の分子一個のように振舞うこ

とを示している。

Wienの考え方：光を純粋に粒子として考えていることになる。Rayleig-Jeans の考え方：光を純粋に波（電磁波）として考えている。

実際は，純粋の波も，純粋の粒子も，輻射スペクトルを正しく理解するのに

は適切な描像ではないことは，既習。

1.5.1 補足の補足

・(21)式，(22)式の導出

∵) ΔS =1T

ΔU +P

TΔV 　を用いると， (68)

(∂S

∂T

)V

=1T

(∂U

∂T

)V

=V

T

du

dT, ∵)U = V u(T ) (69)

(∂S

∂V

)T

=1T

(∂U

∂V

)T

=u

T+P

T=

4u3T

. (70)

∴ ∂

∂V

{(∂S

∂T

)V

}T

=1T

du

dT, (21)式 (71)

∂

∂T

{(∂S

∂V

)T

}V

=4

3Tdu

dT− 4u

3T 2. (22)式 (72)

∴ 4u3T 2

=1

3Tdu

dT. (73)

∴ du

dT= 4

u

T. (74)

12

2 補足：δ 関数による規格化

2.1 Dirac δ 関数の表現

Dirac の δ 関数は以下の関係を満たすものとして定義される．

(1) δ(x) = 0 for x = 0, (75)

(2)∫ ∞

−∞δ(x)dx = 1. (76)

または，これと等価な条件として，h(x)を x = 0で連続な任意の関数として，

(3)∫ ∞

−∞h(x)δ(x)dx = f(0). (77)

を満たすものとして定義してもよい．Dirac の δ 関数を，様々な解析関数の

極限として表現することができる．ここでは，以下の表現が成り立つことを

示す．

δ(x) = limg→∞

sin gxπx

. (78)

そのために，関数 f(x) を以下のように定義する．

f(x) ≡ sin gxπx

. (79)

まず，x→0 のとき，明らかに，

f(x)→ sin gxgx

gx

πx=g

π(80)

であるから，もし，g →∞ならば，f(0)→∞. x = 0のときは, f(x)は振動しながら減衰してゆく関数であるが，最初にゼロをよぎるところは，x = π/g

であるので，g → ∞ のときは，x = 0 以外では値はゼロであると考えてよい．このことから，条件 (75)式は満たされていると考えてよい．　次に，条件 (76)式が満たされていることを示す．このためには，例えば，以下の二通りのやり方が考えられる．

［やり方 A］適当な積分路で，

I(z) ≡∮eiz

zdz (81)

を積分し，留数解析を行うことにより，∫ ∞

0

sinxx

dx =π

2(82)

が得られる．以下は，(88)式へ．［やり方 B］

I(α) =∫ ∞

0

e−αx sinxx

dx (83)

13

を考えると，

dI

dα=

∫ ∞

0

∂

∂α

(e−αx sinx

x

)dx

= −∫ ∞

0

sinxe−αxdx

= − 12i

∫ ∞

0

[e(i−α)xdx− e−(i+α)xdx]

=−1

α2 + 1(84)

であるので，

I(α) = − tan−1 α+ C. (C :積分定数) (85)

(83)式の定義から，I(∞) = 0であることを利用すると，

0 = −π2

+ C. (86)

従って，

I(α) = − tan−1 α+π

2(87)

が得られ，α = 0 とおくと，(82)式が得られる．従って， ∫ ∞

−∞

sin gxx

dx = π (88)

であるので， ∫ ∞

−∞f(x)dx = 1 (89)

となるが，この結果は g によらない．従って，条件 (76)が示せたことになる．これらから，(78)式が Dirac δ 関数の表現として使えることが分かった．

2.2 δ 関数による規格化

ϕk(x) ≡ Neikx (90)

に対して∫ ∞

−∞ϕ∗

k′ (x)ϕk(x)dx = N2 limg→∞

∫ g

−g

ei(k−k′)xdx

= N2 limg→∞

2 sin g(k − k′)xk − k′ ← (78)式

= 2πN2δ(k − k′). (91)

従って，N = 1/(2π)1/2 とおくのがよく，

ϕ(x) =1

(2π)1/2eikx. (92)

14

3 補足：Dirac の bra と ket

3.1 |x > の意味

（本節では「状態」と「波動関数」を区別する）

|x > : 確率１で，粒子が位置 xに発見できる状態（ヒルベルト空間の状態ベ

クトル）

ψ(x) ≡< x|ψ >：状態 |ψ >の中の，状態 |x >の混じりの大きさが波動関数ψ(x)(93)

ψx′(x)：状態 |x′ > の波動関数

ψx′(x) =< x|x′ > (94)

∴ |ψx′(x)|2 は，状態 |x′ > のときに，場所 x に粒子を発見する確率

x = x′ のときは，ψx′(x) = 0 (x = x′ だけは例外)従って，ψx′(x) ∝ δ(x− x′).全区間での積分は１にならなければならないので，係数は１でなければなら

ない。

∴ ψx′(x) =< x|x′ >= δ(x− x′). (ket|x >の規格直交性) (95)

一方， ∫ ∞

−∞dx|x >< x| = 1 (96)

であるので，

|ψ > = 1|ψ >=

∫ ∞

−∞dx|x >< x|ψ >

=∫ ∞

−∞dxψ(x)|x > . (97)

これが，「状態 ψ における，場所 x での粒子の発見確率振幅が ψ(x) である」ということの意味である。

・ある完全正規直交関数系 {φn(x)} を用いて，関数 F (x) を展開する。

F (x) =∞∑

n=1

cnφn(x). (98)

このとき，

∴ cn =∫ ∞

−∞dxφ∗(x)F (x)

=∫ ∞

−∞dx < φn|x >< x|F >

= < φn|F > . (99)

と表現できる。

15

3.2 bra-ket を用いた Schrodinger 方程式

物理量 Aに対応する演算子 A の固有状態を |ψ > とすると，

A|ψ >= a|ψ > . (100)

さらに具体的に進めるために，< x| との内積をとると，

< x|A|ψ > = < x|A∫ ∞

−∞dx′|x′ >< x′||ψ > ∵) (96)式

=∫ ∞

−∞dx′ < x|A|x′ >< x′|ψ >

=∫ ∞

−∞dx′ < x|A|x′ > ψ(x′). (101)

一方，(100)式から

< x|A|ψ >= a < x|ψ >= aψ(x) (102)

であるから，(101)式，(102)式を等値して，∫ ∞

−∞dx′ < x|A|x′ > ψ(x′) = aψ(x). (103)

（ヒルベルト空間の状態ベクトルの固有値問題）

（例１） A = px = −i� ∂∂x (運動量の x 成分)

このときは，

< x|px|x′ >= −i� ∂

∂xδ(x− x′) (104)

とすれば，∫ ∞

−∞dx′ < x|px|x′ > ψ(x′) = −i� ∂

∂xψ(x) = (�k)ψ(x) ∵) ψ(x) ∝ eikx

(105)

（例２）A = H (ハミルトニアン，エネルギー)同様に考えると，

< x|H|x′ >=(− �

2

2m∂2

∂x2+ V (x)

)δ(x− x′) (106)

となる。これが，ブラ・ケットを用いたシュレディンガー方程式の表現に他

ならない。

　< x|H|x′ >：ハミルトニアンの x 表示，xx′ 行列要素

16