Egenskaber ved Krydsproduktet

Frank Nasser

12. april 2011

c©2008-2011.Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som

abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.Bemærk: Dette er en arkiveret udgave af dokumentet som muligvis

ikke er den nyeste tilgængelige.

Indhold1 Introduktion 1

2 Grundlæggende egenskaber 22.1 Antikommutativitet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Distributivitet og homogenitet med skaleringer . . . . 42.3 Krydsprodukt af to parallelle vektorer . . . . . . . . 52.4 Tripelprodukter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Retningen af krydsproduktet 11

4 Længden af krydsproduktet 124.1 Det udspændte parallellogram . . . . . . . . . . . . . 144.2 Parallelle vektorer 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Resumé

I dette dokument beviser vi nogle sætninger om krydspro-duktet (også kendt som vektorproduktet) af vektorer i rum-met.

1 IntroduktionVi skal bevise nogle af de vigtigste egenskaber ved krydsproduktetaf tredimensionelle vektorer.

Lad os starte med at minde om definitionen af krydsproduktet:

Definition 1

Hvis

v =

x1y1z1

og

w =

x2y2z2

er to vektorer i rummet, så defineres krydsproduktet eller vektor-produktet af v og w som vektoren:

v × w =

x1y1z1

× x2y2z2

=

y1 · z2 − y2 · z1z1 · x2 − z2 · x1x1 · y2 − x2 · y1

side 1

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Forudsætninger

For at læse dette dokument får du brug for at kende til tredimensio-nelle vektorer1. Du skal især kende til prikproduktet og de resultatersom gælder om dette.

2 Grundlæggende egenskaberAlle resultater i dette afsnit er kun interessante ud fra et teoretisksynspunkt. Det betyder at de meget sjældent er nyttige i praksis nårman regner med konkrete vektorer. Men til gengæld kan de brugestil at bevise andre (nyttige) sætninger om generelle vektorer.

Derfor kalder vi alle sætninger i dette afsnit for „lemmaer“ – altså„hjælpesætninger“.

2.1 AntikommutativitetDet første generelle resultat er i virkeligheden en „ikke–regel“. Detviser sig nemlig at den allermest almindelige regneregel som vi kenderfra andre produkter (f.eks. prikproduktet eller produktet af to reelletal), nemlig den kommutative lov, ikke gælder for krydsproduktet.

Lemma 1

Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så er:

v × w = −w × v

Med andre ord: Hvis man bytter om på faktorerne i et krydpro-dukt, så skifter resultatet fortegn. Eftersom resultatet er en vektorbetyder det at den vender den modsatte retning.

1Læs om vektorer i rummet her.

side 2

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Bevis. Dette bevis er meget let, fordi man overhovedet ikke har brugfor nogen ideer. Til gengæld er fremgangsmåden meget typisk forde fleste beviser i dette afsnit, så derfor tager vi det alligevel i alledetaljer.

Vi navngiver koordinaterne i de to vektorer:

v =

x1y1z1

og

w =

x2y2z2

Dermed er pr. definition:

v × w =

x1y1z1

× x2y2z2

=

y1 · z2 − y2 · z1z1 · x2 − z2 · x1x1 · y2 − x2 · y1

Mens den „omvendte“ udregning giver:

w × v =

x2y2z2

× x1y1z1

=

y2 · z1 − y1 · z2z2 · x1 − z1 · x2x2 · y1 − x1 · y2

Og nu er det tydeligt at se at alle koordinaterne ganske enkelt skifterfortegn ved at vi bytter om på de to vektorer.

En direkte konsekvens af antikommutativiteten er følgende:

Lemma 2

Hvis v er en tredimensionel vektor, så giver dens krydsproduktmed sig selv altid nulvektor:

v × v = −→0

side 3

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Bevis. Hvis man bytter om på de to faktorer (som er ens), så giverdet på den ene side nøjagtigt den samme beregning (og derfor sammeresultat), men på den anden side skal resultatet skifte fortegn ifølgelemma 1.

Så:v × v = −(v × v)

Den eneste vektor som er uændret når man skifter fortegn på dener nulvektoren. Derfor må vi have at:

v × v = −→0

(Man kunne selvfølgelig også bevise denne egenskab ved at navn-give koordinaterne i v og se hvad udregningen giver.)

2.2 Distributivitet og homogenitet med skalerin-ger

De to næste egenskaber kender vi allerede fra alle andre produkter.Den første siger at vi må „gange ind i parenteser“:

Lemma 3 (Den distributive lov)

Hvis u, v og w er tredimensionelle vektorer, så er:

u× (v + w) = u× v + u× w

Bevis. Hvis vi navngiver de tre vektorers koordinater og udregnerbåde venstresiden og højresiden, så kan vi se at de er ens hvis manhusker at reelle tal kan ganges ind i parenteser.

Det vil vi ikke gøre, fordi det er dødkedeligt og meget nemt. (Nårdu har læst beviserne for de næste hjælpesætninger, vil du væreenig.)

side 4

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Den anden siger at skaleringer kan flyttes rundt i forhold tilkrydsprodukter som man har lyst til:

Lemma 4 (Homogenitet med skalering)

Hvis v og w er tredimensionelle vektorer og r er en skalar, så er:

(r · v)× w = r · (v × w) = v × (r · w)

Bevis. Dette bevis springer vi også over fordi jeg er så umådeligtdoven. Det er igen bare et spørgsmål om at navngive koordinaternei de to vektorer, skrive alle tre udregninger op ved hjælp af dissekoordinater og konstatere at de giver det samme.

Øvelse 1

Nej, nu må det være nok! Bevis lige et af de to lemmaer i detteafsnit ved at følge den „opskrift“ som er angivet. (Lemma 4 er detnemmeste).

Så lover jeg til gengæld at jeg ikke springer flere beviser over.

2.3 Krydsprodukt af to parallelle vektorerMed regnereglerne fra det sidste afsnit kan vi udvide reglen fra lemma2 til noget som du sikkert allerede har indset:

Lemma 5

Hvis v og w er to parallelle vektorer i rummet, så er:

v × w = −→0

side 5

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Bevis. Hvis v og w er parallelle, så findes enten2 en skalar r sådanat:

v = r · w

eller sådan at:w = r · v

Vi tager udgangspunkt i det første tilfælde, men det andet tilfældehåndteres på nøjagtigt samme måde.

Vi beregner:

v × w = (r · w)× w = r · (w × w) = r · −→0 = −→0

Til allersidst i dette dokument kan vi bevise at logikken også gården anden vej: Hvis et krydsprodukt af to vektorer giver nul, så erde nødvendigvis parallelle.

2.4 TripelprodukterNu kommer der to små hjælpesætninger som virkelig kan forekommesære. Og beviserne er oven i købet et frygteligt bogstavrod. Men duvil opdage styrken i disse hjælpesætninger når du ser hvor nemt vitil gengæld kan bevise hovedsætningerne i de næste afsnit.

Det handler om hvad man kan finde på hvis man har tre vektorersom man vil gange med hinanden.

Lemma 6

Hvis u, v og w er tre vektorer i rummet, så er:

u • (v × w) = (u× v) • w

2Den eneste grund til at vi tillader to muligheder er at den ene vektor kunnevære nulvektor, og den anden forskellig fra nulvektor. I dette tilfælde er det kunen af de to muligheder som kan lade sig gøre.

side 6

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Den kræver lige lidt forklaring: Hvis man først laver et krydspro-dukt (hvilket giver en vektor) og derefter prikker resultatet med entredje vektor, så kan man åbenbart „flytte parentesen“ hvis man sam-tidigt bytter om på de to produkter.

Bemærk at det ikke ville give mening hvis man kun flyttede pa-rentesen, eftersom prikproduktet ville give et tal som resultat, og detkan ikke indgå i et krydsprodukt med en tredje vektor.

Beviset for denne regel er „lige ud ad landevejen“, men det bliverefterhånden temmeligt rodet. Sørg for at holde øje med hvor de en-kelte bogstaver kommer fra, og prøv endelig ikke på at lære bevisetuden ad.

Bevis. Vi navngiver de tre vektorers koordinater:

u =

x1y1z1

v =

x2y2z2

og

w =

x3y3z3

og regner begge sider af lighedstegnet ud.

Først venstresiden:

side 7

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

u • (v × w) =

x1y1z1

• y2 · z3 − y3 · z2z2 · x3 − z3 · x2x2 · y3 − x3 · y2

= x1 · (y2 · z3 − y3 · z2)

+ y1 · (z2 · x3 − z3 · x2)+ z1 · (x2 · y3 − x3 · y2)

= x1y2z3 − x1y3z2 + y1z2x3 − y1z3x2 + z1x2y3 − z1x3y2

og så højresiden:

(u× v) • w =

y1 · z2 − y2 · z1z1 · x2 − z2 · x1x1 · y2 − x2 · y1

• x3y3z3

= (y1 · z2 − y2 · z1) · x3

+ (z1 · x2 − z2 · x1) · y3

+ (x1 · y2 − x2 · y1) · z3

= y1z2x3 − y2z1x3 + z1x2y3 − z2x1y3 + x1y2z3 − x2y1z3

Men hvis man tager brillerne ordentligt på og kigger efter, så erdet præcis de samme led der kommer frem i begge udregninger (ogmed de samme fortegn). Jeg har farvelagt leddene for at gøre det lidtnemmere at opdage hvem der hører sammen.

Den næste sætning er endnu værre. Den handler i stedet om hvadder sker hvis man først udregner et krydsprodukt og derefter laverkrydsprodukt mellem resultatet og en tredie vektor. Regnereglen erkendt under navnet „Laplace–identiteten“, og den bliver faktisk brugtofte i fysik når man arbejder med f.eks. elektromagnetiske felter.

side 8

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Lemma 7

Hvis u, v og w er tre vektorer i rummet, så er:

u× (v × w) = (u • w) · v − (u • v) · w

Beviset er helt forfærdeligt. Men vi bliver glade for lemmaet se-nere, så vi må hellere få det overstået:

Bevis. Vi navngiver koordinaterne i de tre vektorer:

u =

x1y1z1

v =

x2y2z2

og

w =

x3y3z3

og regner begge sider af lighedstegnet ud. Først venstresiden:

side 9

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

u× (v × w) =

x1y1z1

× x2y2z2

× x3y3z3

=

x1y1z1

× y2 · z3 − y3 · z2z2 · x3 − z3 · x2x2 · y3 − x3 · y2

=

y1 · (x2 · y3 − x3 · y2)− (z2 · x3 − z3 · x2) · z1z1 · (y2 · z3 − y3 · z2)− (x2 · y3 − x3 · y2) · x1x1 · (z2 · x3 − z3 · x2)− (y2 · z3 − y3 · z2) · y1

=

y1x2y3 − y1x3y2 − z2x3z1 + z3x2z1##

(Jeg har undladt at skrive de to nederste koordinater fordi jeg er

doven).Nu til højresiden:

(u • w) · v − (u • v) · w = (x1x3 + y1y3 + z1z3) ·

x2y2z2

− (x1x2 + y1y2 + z1z2) ·

x3y3z3

Igen er jeg doven og nøjes med at udregne den første koordinat. Detgiver: x1x3x2 + y1y3x2 + z1z3x2 − (x1x2x3 + y1y2x3 + z1z2x3)

##

Eftersom leddene x1x2x3 både er lagt til og trukket fra i førstekoor-

side 10

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

dinaten, så kan denne vektor omskrives til: y1y3x2 + z1z3x2 − y1y2x3 − z1z2x3##

Og det er sandelig det samme som i den anden udregning.

Øvelse 2

Nu har jeg så brug for din hjælp igen: Opskriv de to andre koor-dinater i begge udregninger og se at de også bliver ens.

3 Retningen af krydsproduktetNu bliver det sjovt, fordi vi har tilpas mange hjælpesætninger påplads til at vi kan begynde at vise sætninger som rent faktisk erinteressante. Og den bedst nyhed er: Beviserne bliver enormt nemmefordi vi allerede har lavet alt det besværlige arbejde.

I første omgang har lemma 6 en meget vigtig konsekvens, nemligfølgende:

Sætning 8

Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så er krydsproduktetv × w en vektor som står vinkelret på både v og w.

Bevis. Husk at to vektorer er vinkelrette præcis hvis deres prikpro-dukt giver nul. Derfor undersøger vi hvad de to prikprodukter giver:

v • (v × w)

ogw • (v × w)

side 11

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Det første kan vi omskrive ved hjælp af lemma 6:

v • (v × w) = (v × v) • w = −→0 • w = 0

(I det andet lighedstegn brugte vi lemma 2.)Det andet prikprodukt kræver en ekstra dribling:

w • (v × w) = (v × w) • w = v • (w × w) = v • −→0 = 0

(Hvor vi startede med at bruge at prikproduktet opfylder den kom-mutative lov, så vi kan bytte om på de to vektorer som er prikketmed hinanden.)

Eftersom de to prikprodukter giver nul, kan vi konkludere at v×wer vinkelret på både v og w.

Det betyder at vi har nogenlunde styr på hvilken retning krydspro-duktet peger: Hvis man forestiller sig to vektorer indtegnet fra detsamme punkt, så vil de – medmindre de er parallelle – forløbe i enentydigt bestemt plan. Og krydsproduktet af de to vektorer vil såpege vinkelret ud fra denne plan.

4 Længden af krydsproduktetDen næste sætning er utroligt smuk. Hvis man læser andre beviserfor den, vil man se at de næsten altid er vildt besværlige3.

Men fordi vi har lavet vores forarbejde ordentligt, så er det en renfornøjelse at lave beviset. Inden vi formulerer sætningen minder jeglige om en sætning om prikproduktet:

Sætning 9

Hvis v og w er to vektorer, så gælder:

v • w = |v| · |w| · cos(α)3Du kan se en rigtig god gennemgang af et sådant bevis her

side 12

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

hvor α er vinklen imellem v og w.

Den sætning vi skal bevise ligner ganske meget:

Sætning 10

Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så gælder:

|v × w| = |v| · |w| · sin(α)

Prikproduktet og (længden af) krydsproduktet er altså to sider afsamme sag: Prikproduktet handler om cosinus til vinklen, og (læng-den af) krydsproduktet handler om sinus til vinklen.

Udover at de to sætninger ser godt ud ved siden af hinanden skalvi også bruge sætning 9 til at bevise sætning 10:

Bevis. Vi udregner længden af krydsproduktet i anden potens, fordivi på den måde kan lave en smart omskrivning:

|v × w|2 = (v × w) • (v × w)

Men lemma 6 handler om hvordan man prikker en vektor på etkrydsprodukt (vi betragter hele den sidste parentes som en tredjevektor):

= v • (w × (v × w))

og så har vi noget som vi kan bruge lemma 7 på (det w som stårlængst til venstre spiller rollen som u):

= v •(

(w • w) · v − (w • v) · w)

Hvis vi så bruger den distributive lov for prikproduktet til at „prikke“

side 13

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

v ind i parentesen, får vi:

|v × w|2 =(

(w • w) · (v • v)− (w • v) · (v • w))

=(|v|2 · |w|2 − (v • w)2

)Så bruger vi sætning 9:

|v × w|2 =(|v|2 · |w|2 − (|v| · |w| · cos(α))2

)=(|v|2 · |w|2 − |v|2 · |w|2 · cos(α)2

)

Og sætter |v|2 · |w|2 uden for parentes:

|v × w|2 = |v|2 · |w|2 ·(

1− cos(α)2)

Og til allersidst ringer vi til „idiotformlen“ for cosinus og sinus, somjo siger at:

cos(α)2 + sin(α)2 = 1

dvs.sin(α)2 = 1− cos(α)2

Så nu har vi at:

|v × w|2 = |v|2 · |w|2 · sin(α)2

Og ved at tage kvadratroden på begge sider, får vi det ønskede!

4.1 Det udspændte parallellogramNogle gange formulerer man sætning 10 som følgende:

side 14

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Sætning 11

Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så er længden afkrydsproduktet:

|v × w|

lig med arealet af det parallellogram som de to vektorer udspænderhvis de indtegnes fra det samme punkt.

Bevis. Hvis man tegner v og w ind fra det samme punkt, så vil højdeni det udspændte parallellogram være:

h = |w| · sin(α)

Og dermed er arealet af dette parallellogram:

A = |v| · h = |v| · |w| · sin(α)

4.2 Parallelle vektorer 2Til sidst kan vi bevise udvidelsen af lemma 5

Sætning 12

Hvis v og w er to tredimensionelle vektorer, så gælder:

v og w er parallellemv × w = −→0

Dermed kan krydsproduktet bruges til at kontrollere om to vek-torer er parallelle eller ej: Hvis krydsproduktet giver nul, så er de tovektorer parallelle, og ellers er de ikke!

side 15

c©MatBog.dk Registreret til: MatBog Versionsarkiv

Bevis. Vi mangler kun pilen opad, eftersom pilen nedad allerede erbevist i lemma 5.

Men hvis krydsproduktet af v og w giver nulvektor, så må længdenaf krydsproduktet også være nul. Det betyder at:

|v| · |w| · sin(α) = 0

Dermed må en vektorerne af vektorerne være nulvekter, eller ogsåmå sinus til vinklen imellem dem give nul. Det sidste betyder atvinklen må være enten 0◦ eller 180◦.

Uanset hvilken af disse muligheder der er tilfældet, er de to vek-torer parallelle (eftersom nulvektor siges at være parallel med allevektorer).

side 16