Etude dune structure treillis

[Tapez un texte]

Ce document a t conu par lassociation ACCESMAD a destination des lves de lenseignement technique de Madagascar. Il propose une mthode pdagogique dassimilation des contenus du texte des programmes intitul:REPOBLIKANI MADAGASIKARA

Module de formation : mcanique et rsistance des matriauxLES SYSTEMES TRIANGULES PLANSRef:SMF/05/04Objectif gnral intermdiaire: A lissue du sous-module, lapprenant sera capable de DETERMINER la nature et lintensit des efforts dans les barres dun systme triangul en vue de leur prdimensionnement Exercice propos: tude dune structure treillisI-Objectifsde lexercice : -vrifier si la structure est bien isostatique,

-utiliser la mthode graphique de Crmona pour valuer les efforts dans la structure,-utiliser une mthode nergtique pour valuer un dplacement.

II-Enonc:On considre la poutre suivante:

On demandedeffectuer les recherches suivantes:

1- vrifier que la structure est isostatique,

2-valuer les ractions aux appuis,

3-dterminer les efforts dans chacune des barres par une mthode graphique,

4-sachant que la section des barres est A=706.9mm2, valuer les dplacements vertical VD et horizontal HD au point D. On utilisera une mthode nergtique. On vrifiera les rsultats avec le logiciel RDM6.III-Rsolution1- La structure est isostatique si le nombre de forces inconnues (Ninc) dans la structure et lextrieur de celle-ci est gal au nombre dquations dquilibre (Neq)

1-a Nombre de Barres (B) et nombre de nuds(N):

Un treillis est une structure triangule articule sur des nuds. En consquence les barres ne reoivent que des efforts normaux. Les nuds constituent les sommets des triangles .Un nud se trouve donc lintersection dau moins 2 barres.

Le point G ne recevant quune barre nest pas un nud. La barre GF nappartient pas un triangle form de 3 barres ; elle ne fait que transmettre la raction en G sur le nud F.

La poutre treillis est donc limite au domaine A, B, C, D, E, F, A, elle possde 6 nuds et 9 barres.

B=9 et N=6

1-b-Nombre de forces inconnues:

Leffort normal dans chaque barre constitue une inconnue. Lensemble des 9 barres apportent donc B= 9 inconnues.

Les actions des liaisons extrieures aux points A et G sont galement des inconnues.

La raction (RG) en G est loppose de leffort normal apport par la barre GF. Celle-ci possde une composante horizontale, soit XG .

La raction (RA) en A soppose aux efforts normaux apports par les deux barres AB et AF, elle possde deux inconnues XA et YA . Les actions de liaison reprsentent donc 3 inconnues.

Le nombre total dinconnues est donc gal :

Ninc=B+3=121-c-Nombre dquationsdquilibre:

Chaque nud est en quilibre. La somme des projections (algbriques) des forces sur x et sur y doivent tre nulle ce qui entraine deux quations dquilibre par nud.

Neq=2.N=12La relation B+3=2N ou B=2N-3 est vrifie; elle est souvent retenue pour caractriser lisostaticit.

2-Dtermination des ractions aux appuis:

Commenons par choisir un repre rectangulaire Gxy (voir fig). Reprsentons les projections des forces agissant en A et G. La barres FG est articule en G et F, elle ne transmet quun effort normal de direction horizontale lappui G ,la composante verticale YG est donc nulle. Attention ici le sens des forces est celui des axes du repre , il ne correspond pas forcment au sens rel. Cest le signe aprs calcul qui le dterminera.

Le systme tant en quilibre, le principe fondamental de la statique(P.F.S) permet d'crire les 2 conditions:

a- La somme des forces extrieures agissant sur la structure doit tre nulle:

Les forces extrieures sont: la charge dexploitation P et les ractions aux appuis en A et G

Soit, en projetant sur Ox (les projections tant des grandeurs algbriques):

Puis sur Oy:

b-La somme des moments des forces extrieures en un point doit tre nulle: Cest le point G qui est choisi pour valuer les moments:

Lquation des moments en G se rsume :

3-Efforts dans les barres (utilisation de la mthode graphique de Crmona):3-1 Principe de la construction

La structure est partage en domaines numrots (ici de 1 8).Ces domaines sont dlimits par les barres et les forces extrieures la structure.

Par exemple, la force P partage le plan en 2 domaines 3 et 1. La force P est reprsente par le segment 3-1 sur le graphique.

La structure est en quilibre, cela signifie qu' chaque nud, la somme des forces est nulle. On trace pour chaque nud un polygone en mettant les forces bout bout. Celui-ci doit se fermer.Le polygone ne peut tre construit que si les efforts dans 2 barres au plus qui convergent vers le nud sont inconnus.

Il nest pas possible par exemple de commencer la construction partir du nud E point dintersection de 4 barres ayant des efforts encore inconnus.

Commenons par lquilibre du nud D. Reprsentons la force P par le segment 3->1.

A partir de lextrmit (point 1) traons une parallle la barre DE puis partir de lorigine (point 3) tracer une parallle DC. Lintersection donne le point 4. Point de fermeture du polygone du nud D.

On tracera ensuite le polygone au nud C: Celui-ci ne reoit aucune force extrieure et reoit 2 barres de mme direction horizontale (CD et CB). Ceci permet daffirmer que leffort dans la barre CE est nul (voir plus loin lexplication*). Les points 4 et 5 du Crmona sont donc confondus.

Il est possible de passer ensuite lquilibre du nud E qui reoit les deux barres EB et EF dont les efforts sont encore inconnus. On ralisera lquilibre des nuds: B puis F puis A.

3-2 Exploitation du graphique: En tournant autour du nud dans le sens horaire 3->1->4->3 on dduit le type de sollicitation: Ainsi 1->4 dsigne la force dans la barre DE; sur le graphique elle agit en diagonale vers le haut, elle pousse donc sur le noeud D, cette barre est donc comprime.

De mme 4->3 reprsente la force dans la barre DC; sur le graphique Crmona celle-ci agit de la droite vers la gauche, elletire donc sur le nud D, cette barre est donc tendue.

Ayant choisi au dpart une chelle des forces, la longueur des segments construits permet de dterminer l'intensit des forces.

Regroupons les rsultats dans un tableau:Remarque: La somme vectorielle des forces extrieures P+XG+XA+YA correspond au polygone:

3->1->2->8->3 sur le crmona. Cette somme est nulle puisque la structure treillis dans son ensemble est en quilibre sous leffet des charges extrieures.

NoeudCharge extrieure

ou barre arrivant sur le nud Rfrence sur le graphique CrmonasollicitationIntensit

DForce P3->1Force ext.P=20kN

DE1->4compressionP.=28.2kN

DC4->3tractionP=20kN

CCD3->4tractionP=20kN

CE4->5Effort nul0

CB5->3tractionP=20kN

EED4->1compressionP.=28.2kN

EF1->6compression2.P=40kN

EB6->5tractionP.=28.2kN

BBC3->5tractionP=20kN

BE5->6tractionP.=28.2kN

BF6->7compressionP=20kN

BA7->3traction2.P=40kN

FXG1->2Force ext3.P=60kN

FB7->6compressionP=20kN

FA2->7TractionP.=28.2kN

FE6->1Compression2P=40kN

AXA2->8Force ext3P=60kN

AB3->7traction2P=40kN

YA8->3Force extP=20kN

7->2tractionP.=28.2kN

EQ Efforts valus par le logiciel RDM6

(*) vrifions que leffort dans le montant CE est nul: considrons 3 forces sexerant sur un mme nud et dont deux ont le mme support.

Effectuons la somme vectorielle:F2+F3+F1 en plaant les vecteurs bout bout comme lindique la figure ci-dessous.

Sachant que les deux forces F1 et F2 ont mme support, sur le polygone des forces elles sont parallles. Dans ce cas celui-ci ne peut se fermer .Lquilibre nest possible que si :

Ce rsultat est gnral:Lorsquun nud ne recevant aucune charge extrieure est le point dintersection de 3 barres dont deux ont mme support, les efforts dans les deux barres de mme support sont opposes et leffort dans la troisime barre est nul Les questions suivantes sont traites pour les lecteurs voulant

approfondir leurs connaissances dans le domaine nergtique.

Elles sont considres hors programme des lyces

4-dplacements du point D:

4-a: dplacement vertical VDNous allons mettre en uvre une mthode nergtique pour valuer ce dplacement

Sous leffet de la force extrieure P, la structure se dforme lastiquement.

P et VDy ayant mme direction

Le travail de cette force lastique est:

En labsence de frottements ce travail est converti en nergie potentielle lastique du systme dform soit U.

Le potentiel sexprime simplement en fonction des lments du torseur de cohsion de chaque section M (moment flchiss) ,N(effort normal),T(effort tranchant) ,Mt(moment de torsion) du systme .

Dans le cas prsent, lnergie potentielle est celle emmagasine par chacune des barres lors de sa dformation en traction ou compression.(en consquence M,T et Mt=0)De plus les efforts tant constants tout le long de la barre de longueur Li , la relation gnrale scrit:

La sommation tant ralise pour les n barres de section Si, soumises Ni

La conservation de lnergie permet dcrireque (1)=(2), on obtient la relation de Clapeyron, soit:

(Equation de Clapeyron applicable si le dplacement cherch a mme support que la force extrieure au point D)

Il est intressant de prsenter les calculs dans un tableau.(voir ci-aprs)

Nous avons considr la section Si=S identique pour chaque barre ce qui permet de mettre ce terme en facteur dans lexpression ci-dessus.

La dernire colonne du tableau indique la part de flche rsultant de la dformation de chaque barre.Par application de la formule de Clapeyron prcdente

Il faut donc valuer cette expression barre aprs barre et faire la somme.

-4-Note:il est possible daccder la feuille de calcul dans Excel en slectionnant limage ci-dessus , puis en cliquant droit:objet feuille de calcul,ouvrir

4-a:dplacement horizontal du point D (HD):

Cette fois les directions de P et du dplacement en D cherch ne sont plus identiques

La solution la plus commode est dutiliser le thorme de Bertrand de Fontviolant (BdF).

Le principe de la mthode consiste considrer 2 tats de charge du mme systme:

Etat 0 (ou tat rel): poutre soumise aux forces extrieures (ici P). Nous recherchons le dplacement horizontal au point D dans cet tat.

Etat 1 (ou tat fictif unitaire): la mme structure est soumise une force unit applique au point D Cette force unit a mme direction que le dplacement cherch (soit ici horizontale)

Le thorme de BdF (qui dcoule du thorme de Castigliano) snonce comme suit:

(Ni)o dsigne leffort normal dans la barre i la structure tant dans ltat 0,

(Ni)1 dsigne leffort normal dans la mme barre ,la structure tant dans ltat 1.La somme tant tendue toute les barres.

Les efforts (Ni)0 sont reports depuis le tableau prcdent.

Les efforts (Ni)1 sont tous nuls sauf pour les 3 barres AB,BC,CD o ces derniers sont gaux 1N.

Pour calculer HD, il suffit de reprendre le tableau prcdent et y ajouter la colonne des (Ni)1.

Le rsultat est immdiat:

Note:il est possible daccder la feuille de calcul dans Excel en slectionnant limage ci-dessus , puis en cliquant droit:objet feuille de calcul,ouvrir

Pour vrifier ces rsultats, on trouvera ci-dessous les dplacements des nuds donns par le logiciel RDM6.

Le point D tudi correspond au nud 4 :

Dplacement vertical: dy=-3,83mm; dplacement horizontal: dx=0,539mm!

(La mthode de BDF tait utilisable pour valuer VD; il fallait alors considrer la poutre dans ltat rel soumise P puis la poutre dans ltat fictif soumise en D F=1N force verticale et appliquer lquation de BDF.)

(Pour obtenir les efforts dans les barres dans ltat fictif (Ni)1 il suffit de multiplier les valeurs Ni(o) par F/ P )

(Cette mthode permet dobtenir les dplacements en nimporte quel point de la structure, ce qui nest pas le cas avec Clapeyron)

Informations biographiques

Nom:Eugne Bertrand de Fontviolant

N(e) en 1861 Romilly-sur-Seine, Aube (10),

Dcd(e) en 1954 Vallesvilles, Haute-Garonne (31),

Education: Diplm de l'Ecole Centrale de Paris

EMBED Excel.Sheet.8

EMBED Excel.Sheet.8

_1433785342.unknown

_1433785362.unknown

_1433788223.unknown

_1433788253.unknown

_1435074184.xlsFeuil1

barreE(Mpa=N/mm2)S(mm2)effort N (N)L(mm)VD(mm)

DE210000706.92820010000.27

CD210000706.92000010000.13

CE210000706.9010000.00

CB210000706.92000010000.13

BE210000706.92820014140.38

BF210000706.92000010000.13

FE210000706.94000010000.54

AB210000706.94000010000.54

AF210000706.92820014140.38

BF210000706.92000010000.13

GF210000706.96000010001.21

dplacement vertical total(mm)thorme de Clapeyron3.85

_1433785366.unknown

_1433787962.xlsFeuil1

barreE(Mpa)S(mm2)(Ni)0 (N)(Ni)1 (N)L(mm)HD(mm)

DE210000706.928200010000.00

CD210000706.920000110000.13

CE210000706.90010000.00

CB210000706.920000110000.13

BE210000706.928200014140.00

BF210000706.920000010000.00

FE210000706.940000010000.00

AB210000706.940000110000.27

AF210000706.928200014140.00

BF210000706.920000010000.00

GF210000706.960000010000.00

dplacement horizontal(mm)thorme de BDF0.54

_1433785365.unknown

_1433785357.unknown

_1433785359.unknown

_1433785343.unknown

_1433785340.unknown

_1433785341.unknown

_1433785338.unknown